chuong 1 co so pp sphh.ppt

8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt

1/19

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM

Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döïng - BM KTTNN

Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG

E-mail: [email protected] or [email protected]

Web: http://www4.hcmut.edu.vn/~nguyenthong/index

Tél. (08) 38 691 592 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễn Thống



2

NỘI DUNG MÔN HỌC CHƯƠNG 1: Cơ sở pp. Sai phân hữu hạn.CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán.CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán.CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn.CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến

dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu uốn).




3

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS.

Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 19992. Water Resources systems analysis. Mohamad

Karamouz and all. 20033. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB

KHKT 1978

4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học.Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.

5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT

19976. The Finite Element Method in Engineering. S. S.RAO 1989.

7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. PGS. TS. Nguyễn Thống



4

KIEÅM TRA- Trong tröôøng hôïp coù kieåm tra giöõa kyø

thôøi gian laø 45 ph.- Thi tự luận cuoái moân hoïc 90ph.Chuù yù: Mang theo maùy tính laøm baøi taäp trong

lớ p. Cho phép tham khảo tài liệu cá nhân.




5

MỤC ĐÍCH MÔN HỌC

Giới thiệu các phương pháp số xácđịnh gần đúng lời giải của các bàitoán vi phân đạo hàm riêng (tuyến tính hoặc phi tuyến) mà ta KHÔNG thể tìm được lời giải giải tích chính xác.

Trong số các phương pháp số có:Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) & Phần tử hữu hạn (PTHH), &Thể tích hữu hạn (TTHH).

.PGS. TS. Nguyễn Thống



6

CƠ SỞ

PHƯƠNG PHÁP

SAI PHÂN HỮU HẠN

(SPHH)

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/19




7

Hiện tượng vật lý biểu diễn

toán học bằng phương trìnhđạo hàm riêng lời giải cho phép nghiên cứu hiện tượng.




8

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Đạo hàm riêng ( ĐHR)

f (x,y,z,t): hàm xác định trong một miền không gian R3 x, y, z: ba biến không gian độc lập ; t:

biến thời gian độc lập.* Ký hiệu ĐHR cấp 1 của f:

đối với x :Tương tự với y & z

xf or

x

f




9

* ÑHR caáp 2 cuûa f :

2f/ x2 = ( / x)(f/ x) = f xx , 2f/ y2 =( / y)(f/ y) = f yy

2f/ t2 = ( / t)(f/ t) = f tt , 2f/ xy= ( / x)(f/ y) = f xy

ÑHR caáp 2 lieân tuïc f xy = f yx , f xz

= f zx , f yz = f zy , ....




10

ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG Dạng tổng quát:

F(x, y, z, t, U, Ut, Ux, Uy, Uz, Uxy, Uxz,Uyz, …) = 0

Biến phụ thuộc U (ẩn số phải tìm )

* Cấp của PTĐHR là cấp cao nhấtcủa các ĐHR có trong PT




11

ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG

* PTĐHR là tuyến tính nếu:Tất cả các ĐHR có mặt trong PT đều ở

dạng tuyến tính

Không có hệ số liên kết với các ĐHR chứa biến phụ thuộc.

Nếu không PTĐHR là phi tuyến.




12

PHÂN LOẠI PT ĐHR

Theo ý nghĩa vật lý

Theo toán học


3/19




13

Phân biệt bài toán theo ý nghĩa vật lý

Bài toán cân bằng (giá trị biên)miền kín thỏa mãn các điều kiện biên cho sẵn:

Ví dụ:

Bài toán thấm ổn định

Bài toán phân bố ứng suất tỉnh trong kết cấu.




14

Phân biệt bài toán theo ý nghĩa vật lý

Bài toán lan truyền miền hở thỏa mãn các điều kiện biên cho sẵn vàđiều kiện ban đầu:

Ví dụ:

Bài toán khuếch tán, đối lưu chất trong môi trường chất lỏng.




15

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc 2 dạng tổng quát:

u(x,y) hàm ẩn số cần tìmx,y các biến độc lập chỉ không gian

a, b,c,d,e,f : các hàm số tuyến tính của x,yg(x,y) hàm đã xác định

)y,x(gu.f y

ue

x

ud

y

uc

yx

u b

x

ua

2

22

2

2




16

Phân loại về mặt toán học

b2 – 4ac > 0 bài toán dạng hyperbol

b2 – 4ac < 0 bài toán dạng ellip

b2 – 4ac = 0 bài toán dạng parabol




17

DẠNG TOÁN HỌC ELLIP

Mô tả vấn đề kỹ thuật: Cân bằng

PGS. Dr. Nguyễn Thống

Laplacet/P0y

u

x

u2

2

2

2

Poissont/Py

u

x

u2

2

2

2




18

DẠNG TOÁN HỌC HYPERBOL

Mô tả vấn đề kỹ thuật: Lan truyền

Songt/Px

ua

t

u2

22

2

2

luuDoit/Px

u

t

u


4/19




19

DẠNG TOÁN HỌC PARABOL Mô tả vấn đề kỹ thuật: Khuếch tán

Fourier t/Px

u

t

u

2

2




20

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN LANTRUYỀN NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONG MÔI

TRƯỜNG DÒNG CHẢY UPT đối lưu ( không khuếch tán) :

f t + u f x = 0

f(x,t): nồng độ chất, u(x, t): thành phần lưu tốc theo phương x.

PTĐHR tuyến tính cấp 1, loại hyperbolic.




21

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁNKHUẾCH TÁN CHẤT f TRONG MÔITRƯỜNG (TỈNH)

PT khuếch tán ( không đối lưu) f t = f xx

: hệ số khuếch tán (> 0).a = , b = c = 0 = b2 – 4ac = 0

PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại parabolic.




22

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁNLAN TRUYỀN & KHUẾCH TÁN (ĐỒNG THỜI) CỦA NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONGMÔI TRƯỜNG DÒNG CHẢY

PT đối lưu - khuếch tán: f t + u f x = f xx

PTĐHR tuyến tính cấp 2




23

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN LAN

TRUYỀN SÓNG f tt = c

2 f xx

c: tốc độ truyền sóng. a = c2, b = 0, c = -1

b2 – 4ac = 4c2 > 0

PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại hyperbolic.




24

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN

THẤM PT Laplace f xx + f yy = 0

PT Poisson f xx + f yy = G(x, y)

G(x,y): số hạng nguồn

a = 1, b = 0, c = 1

b2 – 4ac = - 4 < 0PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại elliptic.


5/19




25

MIỀN KÍN &MIỀN HỞ




26

MIỀN KÍN

Miền lờigiải

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN

X

Y

Biên

Điều kiệnbiên U(x,y) =???

O




27

MIỀN HỞ Miền lờigiải

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU X, Y

t

Biên

Điềukiệnbiên

U(x,y,t) =???

O

Điềukiện ban

đầu

Phương lan truyền




28

ĐIỀU KIỆN BIÊN Khi giải các phương trình đaọ hàm

riêng biểu diễn một hiện tượng vật lýbất kỳ đều cần phải có ĐIỀU KIỆN BIÊN. ĐIỀU KIỆN BIÊN là giá trị (hoặc

gradient) của biến nghiên cứu đã

được xác định tại các vị trí biên (không còn là ẩn số của bài toán).




29THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH

ĐIỀU KIỆN BIÊN

H=z+p/ Biết

H=?




30

CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN Biên Dirichlet: Giá trị trên biên

của hàm ẩn phải tìm U là đã biết tại các vị trí trên biên:

)t,z,y,x(f u


6/19




31

Miền lời giảiU cần tìm

X

Y

Biên

U(bien)=Know U(x,y) =???

O




32

CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN

Biên Neuman: Giá trị đạo hàmtheo phương (thẳng góc với biên) của hàm ẩn U đã biết.

)t,z,y,x(f n

u




33

Miền lời giảiU cần tìm

X

Y

Biên

U(x,y) =???

O )t,z,y,x(f n

u

n




34THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH

ĐIỀU KIỆN BIÊNloại Neuman 0

n

H

H(x,y)=?




35

CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN

Biên Cauchy: Là tổ hợp 2 loại biên trên.

, , f đã biết

)t,z,y,x(f n

u)z,y,x(u)z,y,x(




36

Chú ý:

Biên C thường gồm nhiều phần vàtrên mỗi phần phải có một và chỉ một loại ĐKB.

Tuy nhiên ĐKB này có thể thay đổi trong quá trình giải bài toán(trường hợp bài toán mô phỏng theo thời gian).


7/19




37

ĐIỀU KIỆN

BAN ĐẦU




38

ĐKBĐ chỉ cần khi xét bài toán lan truyền (PT parabolic hay hyperbolic với biến thời

gian t).

PTĐHR cấp 1:

t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) (x,y,z)

PTĐHR cấp 2:

t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) (x,y,z)

và f t (x,y,z,0) = h(x,y,z) (x,y,z)g(x,y,z) , h(x,y,z): hàm số đã biết.




39

TÓM TẮT

Giải bài toán ĐHR cần có:

Điều kiện biên

Điều kiện ban đầu (khi bàitoán có biến thời giantrong ẩn số phải tìm)




40

SAI PHÂN HỮU HẠN

(SPHH)




41

SPHH là phương pháp số ứng dụng

để giải các phương trình đạo hàmriêng với các bước cơ bản sau: Rời rạc hoá miền tính toán 1D

hoặc 2D (ô lưới chử nhật), hoặc 3D(khối chử nhật) Chỉ xét tính toán biến nghiên cứu

tại các điểm nút ô lưới.




42

1D x

y=f(x)

y1y2

y3 Yn-1

yn Yn+1

x

Số giá trị Y (vô cực) trên miền liên tục X giảm xuốngchỉ còn một số vị trị hữu hạn trên X

Vị trí xác định giá trị biếnnghiên cứu (hữu hạn vị trí)


8/19




43

1D

i =0 N nút mạng lưới: vị trí xácđịnh giá trị biến cần tìmxi : bước lưới khoảng cách 2 nútkế tiếp (có thể khác nhau từ vị trínày sang vị trí khác).

i (i+1) (i+2)(i-1)(i-2) X

(

xi)




44

2D

X, i

Y, j

(i,j) (i+1,j)(i-1,j)

(i,j+1)

(i,j-1)

xi

yi




45

3D

X, i

Z, k

(i,j+1,k)(i-1,j,k)

(i,j,k+1)

(i,j,k-1)x

i

yi

(i+1,j,k)

(i,j,k)

(i,j-1,k)

Y, jzi




46

Tại các nút ô lưới Các đạo hàmriêng (hoặc đạo hàm) được xấp xỉ bằng các sai phân phương trìnhđại số. Áp dụng cho “tất cả” các nút ô

lưới nhận được hệ phương trình tuyến tính của các ẩn số đại

lượng nghiên cứu tại nút lưới.




47

Hệ phương trình này

KẾT HỢP với cácphương trình biểu thị các ĐIỀU KIỆN BIÊN sẽ đủ hệ gồm có N phương trình độc lập tuyến tínhđể xác định N ẩn số.




48

Bài toán cân bằng: hệ

phương trình được giải 1 lần Bài toán mô phỏng hiện

tượng theo thời gian: hệ phương trình được giải một lần & kết quả tương ứng tại 1thời điểm & sau đó tiếp tục tiến lên theo thời gian.


9/19




49

CHÚ Ý Bài toán PHI TUYẾN (các hệ số hệ phương trình phụ thuộc giá trị biến

nghiên cứu !) CẦN PHẢI GIẢI LẶP

Lời giải là một xấp xỉ tốt của lời giải chính xác (về nguyên tắc KHÔNGBIẾT) CẦN XEM XÉT: xét sai số cắt bỏ, tính nhất quán, tính ổn định.




50

Ví dụ xét bài toán 2D

Thiết lập lưới chử nhật và thay thế U(x,y) bởi U(i x,j y). Định vị các nút theo i, j Phương

trình sai phân được viết theo i, j vàcác điểm lân cận của nó.

Giả thiết xem Ui,j như là U(x0,y0):




51

Quy ước:

Ui+1,j = U(x0+ x,y0) &

Ui-1,j = U(x0- x,y0)

Ui,j+1 = U(x0,y0 + y ) &

Ui,j-1 = U(x0,y0- y )




52

CHÚ Ý Thông thường người ta hay

chọn x= y Thường ta hay dùng chỉ số

dưới để chỉ KHÔNG GIAN & chỉ số TRÊN để chỉ biến THỜI GIAN.

t

j,iUChỉ thời gian Chỉ không gian




53

SAI PHÂN TIẾN -FORWARD

(KHÔNG GIAN)




54

Định nghĩa về đạo hàm riêng của

U(x,y) tại vị trí (x0,y0):

Hy vọng rằng [U(x0+ x,y0)-U(x0,y0)]/ x sẽ là một xấp xỉ “hợp lý” của

0x

)y,x(U)y,xx(Ulim

x

U 0000

x

U


10/19




55

Triển khai chuỗi Taylor của U(x0+ x,y0) chung quanh (x0,y0):

xxxwith

!n

x

x

U

)!1n(

x

x

U...

!2

x

x

U

xxU)y,x(U)y,xx(U

00

n

n

n

1n

x

1n

1n2

x

2

2

x

0000

00

0




56

Sơ đồ sai phân “tiến” (không gian):

(Forward)

....

!2

x

x

U

x

)y,x(U)y,xx(U

x

U

0

00

x

2

2

0000

y,x




57

Viết dưới dạng chỉ số:

sai số cắt bỏ

Ta gọi

biểu thức SAI PHÂN của

x

UU

x

U j,i j,1i

j,i

x/UU j,i j,1i

j,i

x/U




58

CHÚ Ý

Sai số cắt bỏ được hiểu là:

[Sai số cắt bỏ] = [Đạo hàm riêng] – [Biểu thức SPHH]

Người ta hay sử dụng ký hiệu 0cho sai số cắt bỏ :

)x(0x

UU

x

U j,i j,1i

j,i




59

GỈA THIẾT & TÍNH CHẤT

Khi x đủ nhỏ:

Với K là số thực dương Không biết giá trị chính xác của

0(

x) & chỉ xét được nó thay đổi thế nào khi x 0. Thừa nhận:

xK )x(0

x0x0 2 PGS. TS. Nguyễn Thống



60

SAI PHÂN LÙI -BACKWARD

(KHÔNG GIAN)


11/19




61

Triển khai chuỗi Taylor của U(x0- x,y0) chung quanh (x0,y0):

...

x

U1...

!2

x

x

U

xx

U)y,x(U)y,xx(U

00

0

x

1n

1nn

2

x

2

2

x

0000




62

Sơ đồ sai phân “lùi” (không gian):

Dưới dạng chỉ số:

)x(0x

)y,xx(U)y,x(U

x

U 0000

y,x 00

)x(0x

UU

x

U j,1i j,i

j,i




63

TÓM TẮT

x0 (x0+ x)(x0- x)

X,iUI,J

UI+1,J UI-1,J

Sơ đồ sai phân

Forward theokhông gian

Sơ đồ sai phânBackward theo

không gian

Vị trí khaitriển Taylor




64

BÀI TẬP 1Chứng minh:

(Sơ đồ sai phân trung tâm)

2 j,1i j,1i

j,i

)x(0x2

UU

x

U




65

TÓM TẮT

Sai phân tiến:

Sai phân lùi:

Sai phân trung tâm:

)x(0x

UU

x

U j,1i j,i

j,i

)x(0x

UU

xU j,i j,1i

j,i

2 j,1i j,1i

j,i

)x(0x2

UU

x

U




66

BÀI TẬP 2

Hãy dùng ý nghĩa đồ thị để giải thíchvề xấp xỉ sai phân của đạo hàm bậc 1 tại C:

x0 (x0+ x)(x0- x)X

UA

BC

x x


12/19




BÀI TẬP 3

Trong không gian 2D, tìm xấp xỉ của đạo hàm riêng bậc 2:

?x

U)y,x(K

x&?

x

)y,x(U

j,i

2

00

2




68

BÀI TẬP 4

Trong không gian 2D, tìm xấp xỉ của đạo hàm riêng bậc 2:

?y.x

)y,x(U

j,i

00

2




69

XẤP XỈ THEO

THỜI GIAN




70

Các nghiên cứu trên chỉ tập trungxem xét đạo hàm riêng theo khônggian của biến nghiên cứu U(x,y,z,t). Trong phương trình đạo hàm riêng

còn gặp các số hạn:

cần xấp xỉ trong p/p SPHH.

2

2

t

U;

t

U




71

Tương tự như khai triển Taylor

áp dụng với biến không gian,với biến thời gian ta cũng có saiphân tiến, sai phân lùi cho xấp xỉ :

t

U




72

SAI PHÂN THEO THỜI GIAN

Sai phân tiến:

Sai phân lùi:

Xem giải thích bằng đồ thị sau

)t(0tUU

tU

t

j,i

1t

j,i

t

j,i

)t(0t

UU

t

U 1t

j,i

t

j,i

t

j,i


13/19




73

GIẢI THÍCH BẰNG ĐỒ THỊ (2D)

Sai phân tiến:time

tt+1

tt

Unknown

KnownUt+1(i,j)

Ut(i,j) Ut(i+1,j)

Ut(i-1,j)

Ut(i,j-1)

Ut(i,j+1)

X

Y




74

GIẢI THÍCH BẰNG ĐỒ THỊ (2D)

Sai phân lùi:time

tt

tt-1

Unknown

KnownUt(i,j)

Ut-1(i,j)

Ut(i+1,j) Ut(i-1,j)

Ut(i,j-1)

Ut(i,j+1)

X

Y




75

SAI PHÂN SƠ ĐỒ HIỆN

& SAI PHÂN SƠ ĐỒ ẨN




76

SAI PHÂN SƠ ĐỒ HIỆN Sơ đồ sai phân hiện (Explicit)

được gọi khi ta dùng sơ đồ SAIPHÂN TIẾN (forward difference)khi xấp xỉ theo thời gian.

Các số hạng sai phân trongcác số hạng đạo hàm (riêng)

theo không gian đều lấy ở thời điểm cũ.




77

Ví dụ: Xét phương trình truyền nhiệt 1D:

Dùng sai phân tiến đối với đạo hàmtheo thời gian & sai phân trung tâmcho số hạng đạo hàm theo không gian

Phương trình sai phân viết chođiểm (j):

2

2

x

)t,x(T

t

)t,x(T




78

Hay:

Giá trị được xác định “trực tiếp” từ các giá trị của nó & giá trị của các nút lân cận trong “quá khứ” đã biết (thời điểm t).

2

t

1 j

t

j

t

1 j

t

j

1t

j

x

TT2T

t

TT

2

t

1 j

t

j

t

1 jt

j

1t

jx

TT2TtTT

1t

jT


14/19


15/19




85

Bài tập 3Hãy viết phương trình sai phân

theo sơ đồ ẨN (i,j,t+1) chophương trình nước ngầm bão hoà(thấm không ổn định-thấm thayđổi theo thời gian) và có áp 2Dtrong môi trường không đồng chất và không đẳng hướng:




86

Trường hợp 1: Mạng lưới tính K trùngvới mạng lưới tính h (Ki,j)

Trường hợp 2: Mạng lưới tính K so levới mạng lưới tính h (ví dụ Ki+1/2,j)

S hệ số phụ thuộc tính chất nước & đất (g/t hằng số), K hệ số thấm.

y

hy,xK

yx

hy,xK

xt

)t,y,x(hS




87

Hướng dẫn:

Xác định biểu thức tính ai và b theoK &

bh.ah.a

h.ah.ah.a

1t

1 j,i5

1t

1 j,i4

1t

j,1i3

1t

j,1i2

1t

j,i1

t

.h




88

CHÚ ÝChỉ tìm được lời giải phương trình

sai phân hữu hạn ([P/t đạo hàm riêng]-[Sai số cắt bỏ]) với hy vọng là sai số làm tròn là bé & bỏ qua.

Chấp nhận lời giải sai phân với điều kiện sai phân phaỉ thỏa tính NHẤT

QUÁN & tính ỔN ĐỊNH (theo định lýLax hội tụ).




89

TÍNH NHẤT QUÁN (Consistency)

Định nghĩa: Sự khác biệt giữa biểu thức sai phân hữu hạn vàphương trình đạo hàm riêng sẽ BIẾN MẤT khi ta thu nhỏ lưới MỘT CÁCH BẤT KỲ.

Lim lưới 0 [P/t đaọ hàm riêng]-[P/t saiphân hữu hạn] = Lim lưới 0 [Sai số cắt bỏ] 0




90

TÍNH CHẤT

Sai số làm tròn dạng 0( t),0( x),… có tính NHẤT QUÁNSai số cắt bỏ dạng 0( t/ x),…

không có tính NHẤT QUÁNvì t/

x bất định khi t 0 &x 0, trừ khi lưới thu nhỏ

theo cách mà t/

x 0.


16/19




91

TÍNH ỔN ĐỊNH

Ta nói sơ đồ sai phân ổn định (dùng khi

bài toán giải lặp hoặc bài toán giải theothời gian):

Sai số vì bất kỳ lý do nào KHÔNG ĐƯỢC PHÉP tăng liên tục qua cácbước giải từ thời điểm này sang thời điểm kế.




92

TÍNH ỔN ĐỊNH

Chứng minh tính ổn định đòi hỏi khối lượng

tính toán lớn & phức tạp.Quan hệ giữa tính NHẤT QUÁN, HỘI TỤ & ỔN ĐỊNH Định lý tương đương của Lax:

Với một bài toán giá trị ban đầu được thiết lập thỏa đáng & một xấp xỉ sai phân hữu hạn của nó thỏa đ/k nhất quán, tính ổn định lđiều kiện cần & đủ để lời giải hội tụ .




93

TÍNH HỘI TỤ

LỜI GIẢI THEO

THỜI GIAN




94

Khi sơ đồ sai phân hội tụ Lời giải của phương trình sai phânTIẾN VỀ lời giải phương trìnhđạo hàm riêng khi kích thước lưới thu nhỏ

Thông thường khi sơ đồ lànhất quán & ổn định lời giải

nói chung là hội tụ theo thời gian.




95

CÁC LOẠISAI SỐ




96

Sai số làm tròn số: Độ

chính xác máy tính là hữu hạn các giá trị số sẽ “bị” làm tròn.


17/19


18/19




103

Trong đó:M momen uốn (+ nếu thớ dưới bị

căng) q cường độ tải phân bố (+ từ dưới lên)

y độ võng (+ hướng lên trên)E module đàn hồi dầm khi kéo

hoặc nénJ momen quán tính tiết diện




104

Yêu cầu: Dùng pp. SPHH chiachiều dài dầm thành 4 đoạn

bằng nhau và xác định Momen & độ võng của dầm tại các vị trí này.




105

Hướng dẫn: Giải M trước với M0=M4=0

Viết pt. sai phân với sơ đồ trung tâm chopt. đạo hàm riêng của M, pt (1).

Áp dụng pt. này lần lượt cho các điểm 1,2, 3 có 3 pt. biểu diễn quan hệ Mi

q0

Lh=L/4 h h h0

1 2 3 4




106

Đáp số:

Momen M1 = 0.0391q0L2

M2 = 0.0625q0L2

M3 = 0.0547q0L2

Độ võng y1 = -0.00463q0L4 /EJy2 = -0.00682q0L4 /EJ

y3 = -0.00513q0L4 /EJ




107

Bài tập 2: Xét một dầm có tiết diện

không đổi trên nền đàn hồi. Phương trình vi phân chuyển vị y có dạng:

k hệ số nền, q tải trọng phân bố, Emodule đàn hồi, J momen quán tính

qkydx

ydEJ

4

4




108

a. Gọi m là số đoạn chia dầm, viết phương trình sai phân tại nút i.

b. Biết rằng momen M & lực cắt Q trongdầm có quan hệ với chuyển vị y như sau:

Giả thiết 2 đầu dầm là tự do (M=0, Q=0). Viết phương trình sai phân ở 2 đầu dầm.

3

3

2

2

dx

ydEJ

dx

dMQ&M

dx

ydEJ


19/19




109

HD: L chiều dài dầm, h=L/m

i

4

2i1ii4

4

1i2i qEJ

hyy4ym6y4y

4

EJ

hL

0yy2y2y&0yy2y2112101

2m1mm2m1mm1m yy4y4y&yy2y




110

Chú ý: Với m đoạn (m+1) ẩn số tại nút phải có (m+1)

phương trình (đltt).Sau khi giải có yi sẽ xác

định được M & Q theo phương trình vi phân tương ứng.




111

Áp dụng Xem sơ đồ sau. Cho m=4, =L(h/EJ)1/4= 4:

q0

Lh=L/4h

1 2 3 4

x

y0-1-2

EJ

hqy;

EJ

hq751.0y

;EJ

hq493.0y;

EJ

hq245.0y;

EJ

hq007.0y

4

04

4

03

4

02

4

01

4

00




112

HEÁT CHÖÔNG

chuong 1 co so pp sphh.ppt

Documents