Ch 3 : Risky Assets (สนทรพยทมความเสยง)

323 373, Nawarat Ekkarntrong, Ph.D

Risky Assets(สนทรพยทมความเสยง)

x เราไมสามารถคาดการณราคาตลาดในอนาคตของสนทรพยชนดนได

x ในทนหากพดถง risky asset จะมองเปนหนสามญ (common stock)

x Common stock : หลกทรพยทบรษทออกจ าหนายเพอระดมทนมาด าเนนกจการx ผถอหนสามญมสทธรวมเปนเจาของบรษท มสทธออกเสยงลงมตในทประชมผถอ

หน เพอเลอกตงกรรมการบรษท รวมตดสนใจในนโยบายการด าเนนงานของบรษทและรวมตดสนใจในปญหาส าคญของบรษท

x ไดรบผลตอบแทนในรปแบบเงนปนผล (dividend) เมอราคาหนเพงสงขนตามศกยภาพของบรษท

x มสทธในการจองซอหนออกใหม เมอบรษทเพมทนขยายกจการ

x หากบรษทยกเลกกจการ จะไดรบสวนแบงในสนทรพยของบรษทจากยอดสทธ หลงจากช าระคนเจาหนและพนธะตาง ๆ หมดแลว

x อาจเรยกวา ordinary share

Market prices

x Market prices depend on the choices and decisions made by a great number of agents acting under conditions of uncertainty.

x It is therefore reasonable to treat the prices of asset as random.

3.1 Dynamics of Stock Prices (การเคลอนทของราคาหน)

x 𝑆 𝑡 : ราคาหน ณ เวลา 𝑡x สมมต 𝑆 𝑡 > 0, ∀𝑡 ≥ 0x ณ ปจจบน, 𝑡 = 0, 𝑆 0 = ราคาปจจบนของหน (รโดยทวกน)

x ราคาในอนาคต 𝑆 𝑡 , 𝑡 > 0 --- เปนราคาทยงไมทราบ

x 𝑆 𝑡 ∶ a positive random variable on a probability space Ω,

x The probability space Ω consists of all feasible price movement ‘scenarios’ 𝜔 ∈ Ω.

x 𝑆 𝑡, 𝜔 : the price at time 𝑡 if the market follows scenario 𝜔 ∈ Ω.

Stock

SL = { w , , Wz , . . .

, Wn ,- ' ' }

SHI : r → ( o,

x )

For discrete time

x 𝑡 = 𝑛𝜏, โดย x 𝑛 = 0,1,2,…x 𝜏 คอ fixed time step อาจเปน ป, เดอน, สปดาห, วน, ...

x One year = the unit measure of time --- 𝜏 = 1

x a month --- 𝜏 = 152

x A day --- 𝜏 = 1365

x ใชสญลกษณ 𝑆 0 , 𝑆 1 , 𝑆 2 ,… . , 𝑆 𝑛 ,… แทนการใช 𝑆 0 , 𝑆 𝜏 , 𝑆 2𝜏 , 𝑆 3𝜏 ,… , 𝑆 𝑛𝜏 ,…

ตวอยาง 3.1

x พจารณาตลาดทมความเปนไปได 2 แบบ คอ ระยะเฟองฟของเศรษฐกจ (boom), 𝜔1, กบ ระยะซบเซาของเศรษฐกจ (recession), 𝜔2

x ราคาปจจบนของหนในตลาดคอ $10 ซงหลงจากนอก 1 ) อาจขนสงเปน $12 ถาธรกจเฟองฟ หรอลดลงเปน $7 ถาธรกจซบเซา

x จะไดวา

d

d

SCO ) Sa )

Scenario

w,

( boom ) 10 12

wz ( recession ) 10 9

ตวอยาง 3.2

x สมมต ตลาดมความเคลอนไหวได 3 แบบ นนคอ Ω = 𝜔1, 𝜔2, 𝜔3

x ราคาหน บน 2 ชวงเวลาเปนดงนScenario Slo )

. ":: ÷::÷

.

you¥ Ws •

w ' 52 53

58 I •57 -

56 -

TT aWs54 -

53 -a Wz

52 - so 0

51 -

50 -

49 -

{, i 7 t

°I 2

Definition 3.1: Return

x สมมต หนไมมการจายปนผล (dividend)

x อตราผลตอบแทน (Rate of return), return 𝐾 𝑛,𝑚 บนชวงเวลา 𝑛,𝑚 นยามโดย

x นนคอ เมอพจารณา 1 ชวงเวลา 𝑛 − 1, 𝑛 แทนดวย 𝐾 𝑛x จะได

x จะไดวา

Ken ,m ) =

SCMI-stm-uooscm.sn/ntkcn,mD

Scn )

Kin ) = Scn ) - Sen - I )

-

Sch - I )

KIM Sin -11 = Scn , -San - , )

one - step return

I.

Sin ) =Sin - n ( a + Kc #

ตวอยาง 3.3

x จากสถานการณในตลาด ตามตวอยาง 3.2, return เปนตวแปรสม ซงมคาดงตอไปน

W,

55 58 GO

WZ 55 58 52

Wz 55 5253

yS"" )

yS%KG ) H2 )

Scenario

w, 58f =

5.45% 6015T=3 .tt

52 -58 =- 10.341 -

Wz 5.45%-5g

52-55 = -5.454 53-52 = 2.92%

Wy - -

55 52

หมายเหต

x ถาหนมการจายปนผลท 𝑑𝑖𝑣 𝑛 ณ เวลา 𝑛x ท าใหนยามของผลตอบแทน (return) เปลยนไป

x โดยทวไปแลว เมอมการจายปนผล ราคาหนจะตกลงดวยปรมาณการจายปนผล

x นนคอ เมอมการจายปนผล 𝑑𝑖𝑣 𝑛 จะสงผลตอ 𝑆 𝑛x ผลคอ ผลงทนทซอหน ณ เวลา 𝑛 − 1 จะจาย 𝑆 𝑛 − 1 และมความตงใจ

ทจะขายหน ณ เวลา 𝑛 เพอจะไดเงน _____________

x ดงนน ผลตอบแทน (return) จะเปน

Kin , = Scn7+divcn)-IScn - it

ตวอยาง 3.4one-step return & return over a longer time interval

x สมมต 𝑆 0 = $ 100 ✓.

110 I.121 w ,

•

100 wz

\.

go.hrWs

① Warm

Wz 12 ) -510 ) = Of .

Kcop ) =

} Kent Ken > 1494

KCI ) = 710 =707 '

100

KEL ) = 1oo =- 9.09T

110

② Imran w,

Kcqz ) = 121-1002=21% } Kci ) -114275140,4

I 00

KCI ) = not .

,KC ) -- not .

Proposition 3.1

x 1 + 𝐾 𝑛,𝑚 = 1 + 𝐾 𝑛 + 1 1 + 𝐾 𝑛 + 2 +⋯+ 1 + 𝐾 𝑚 ; 𝑛 ≤ 𝑚

Imran n,

htt,

n -12,

. . .

,M ;

Scm = Scm - 1) fi - Kemi)

= Sch - 2) ( It

Kern- D) ( It Kimi )

:I

= Scn ) ( it Keith) ( t - Ken-14

) . . . ( it Kemi )

#

Definition 3.2 :Logarithmic return

x The logarithm return บนชวง 𝑛,𝑚 เปนตวแปรสม ทนยามโดย

x 𝑘 𝑛,𝑚 = ln 𝑆 𝑚𝑆 𝑛

x One-step logarithm return, 𝑘 𝑛

Semi -

- son , eka, ,/

FIT -it Khim

kin,

m ) -

- by ( it Ken,

m )Ken

,m )

It Ken,

n ) = e

Kim = Ken . i,

n , = he SentSin - D

Sch ) = Sch - ye" "

④ 88ns we div In ) Tdkm , = by Scnstdivcnl

Sen - I )

Proposition 3.2

x ถาหน ไมมการจายปนผล (no-dividend) จะไดวาx 𝑘 𝑛,𝑚 = 𝑘 𝑛 + 1 + 𝑘 𝑛 + 2 +⋯+ 𝑘(𝑚)

Gnr m ten,htt

,n +2

,. . ' IM

pj, my

an Scm ) = Scm - De

= Scm . z ,ekin

- "

e

Kim )

I

"K ( ntl ) kchtz ) KLM )

=

Sensee .

.. e

Sem ,Ken -11 ) t Ken -12 ) t . .

. t Kim ,

-= e

Scn )

he Sch )=

k ( m ,n ) =Kent , > t kin -12A .

..

t Kent

÷#

Expected Return

x ถาเราทราบการแจกแจงความนาจะเปนของ return 𝐾 บนชวงเวลาหนง

x สามารถค านวณคาคาดหวงของ return 𝐾, E(𝐾) ซงเรยกวา expected return

x ตวอยาง หากเราประมาณความนาจะเปนของความเคลอนไหวในการทสภาพเศรษฐกจจะตกต า (recession) ชะงก (stagnation) และเฟองฟ (boom) เปน 14, 12, 14

ตามล าดบ

x ถาผลตอบแทนรายปของหนตวหนง (ทเราสนใจ) และมความเปนไปตามสภาพเศรษฐกจขางตน ถกคาดการณไววาเปน −6%, 4%, 30% ตามล าดบ

x จะได expected annual return คอ

Eckl = (-6%1/14) t I 441ft) t (30%44)

= 8 Y .

#

Proposition 3.3 one-step return

x ถา one-step return 𝑘 𝑛 + 1 ,… , 𝑘 𝑚 เปนอสระตอกน แลว

x 1 + E 𝐾 𝑛,𝑚 = 1 + E 𝐾 𝑛 + 1 ቀቁ

1 +E 𝐾 𝑛 + 2 … 1 + E 𝐾 𝑚

Etc ) = C

Elxty ] = E EX ] t ELY ]

Ela XI -- a ECX ]

ELXY ] = ECXILYJ

for X. Y independent .

Mn I t Ken,

m ) = ( It Kenai ) ( it Kenta ) . . . ( it Kim ) )C prop. 3.1)

*

หมายเหต

x ในกรณของ logarithm returns,

an prop .3.2

,

Ken,

m ) = Kanti ) t Kontz ) t . . . + Kim )

Elkin .ms/--ECkcntDItElkcn-izDt.i.tElkcmi ]

3.2 Binomial Tree model :Condition 3.1

x ตวแบบนนยามภายใตเงอนไขดงตอไปน

x Condition 3.1

x The one-step return 𝐾 𝑛 on stock are identically distributed independent random variable such that

x𝐾 𝑛 = ቊ𝑢 with prob. 𝑝𝑑 with prob. 1 − 𝑝

x At each time step 𝑛, where −1 < 𝑑 < 𝑢 and 0 < 𝑝 < 1.

112,3 ,c e -

,- . ,

iii.d .

Condition 3.2

x The one-step return 𝑟 on a risk-free investment is the same at each time step and 𝑑 < 𝑟 < 𝑢

§ =it Ka )

Slo )

Sa ) = 1014 -1km )

=LSloth -147 dunno sina.nl p

Scot lied ) - I - p

Sem - Scoicitugici. di.

idnnmrm.nu/in/pici-p5"

for i = 0,1 , 2,3 ,. - ' in

04 h = 10, p = 0.5

,

Scot - I,

U = O . I ,d= - o.

I

i=o,Scion -- Siollituiiitds "

with prob . (f) poops"

= 0.3486 - 0.000977

i - I,

Sho ) = 0.467 - 0.0097656

nprob .

:÷÷÷

...

Hahah,lB.am•. . . . .

. .

0.5 7.0 7.5 2.0 2.5

qz,#%%xy3µ"¥Pn.%,u+uKitd)if:i÷,¥sea.ie#I.smmdiTithsm*h%af

.

sinned'

3.2.1 Risk-Neutral Probability

x เรมจาก พจารณา การเคลอนไหวของ Expected stock prices, 𝐸 𝑆 𝑛x For 𝑛 = 1,

it u - pKc " = { u d - i - p

EG m ) =pSloth tu ) th -

p ) Scola t d)

=Slo) I path ) t a -

p ) C Itd ) ]= Sco ) f Elkin ] )

Proposition 3.4

x The expected stock prices for 𝑛 = 0,1,2, … are given by

x 𝐸 𝑆 𝑛 = 𝑆 0 1 + 𝐸 𝐾 1𝑛

gin one - step return Kal,

KID,

. . .true or :rio8v

IN It KCI ),

I -11427,

. . .

- n

Arm E (SCH) = E ( Sco) fitkin ) ( it Ken ) .. . ( Itkln ) ))

= Sco ) ( It Elka 'D ( It Elka )) . . . ( I -1 Elkins ))n

= Sco) ( rt Elka ) ))

( :' ECK Cl D= ECIKCLD = . - .

= Elkins )

room ,

Kosuth"

#

ISoftEffi) = Scull -1 Elke 'D)

"

ลงทนใน risk freeasset และ risky asset

x ถาน าเงน 𝑆 0 ไปลงทนใน risk free asset ณ เวลา 0x เมอเวลาผานไป 𝑛-time step เงนกอนนจะเพมขนเปน 𝑆 0 1 + 𝑟 𝑛

x การลงทนในหน (risky asset)

x เกยวของกบความเสยง

x นกลงทนทชอบเสยง มกจะอยากให 𝐸 𝐾 1 > 𝑟 เพอใหไดผลตอบแทนทสง

x High Risk, High Return!!

x Risky return is high with small non-zero probability and low with large probability.

x Risk seeker

yi

E Lr

Kal -- { D pm.o.am . . ,

O prob .

0-999 . -

Elka ) ) er

Gosh lnood LIV mm I future ( an nooo Iv )

Agnus To odd too refund ( I 1 info )

Tw X kfowonourrnvrormrifoooninorr

I IN X = 499 f 500-1=499 )

iron X = - I

e . :*:x¥÷÷÷l÷÷÷3*÷÷*

Risk-neutral

x กรณท 𝐸 𝑘 1 = 𝑟 เราจะอางถง risk-neutral

x ให 𝑝∗ แทน ความนาจะเปนของเหตการณหนง

x ให 𝐸∗ แทน คาคาดหวงของเหตการณหนง

x และสอดคลองกบ

x 𝐸∗ 𝑘 1 = 𝑝∗𝑢 + 1 − 𝑝∗ 𝑑 = 𝑟

Kai

Kk

P*=r-du- d

𝑝∗

x 𝑝∗ เปนเพยงคาในเชงนามธรรม ซงอาจจะเทากบหรอไมเทากบคาความนาจะเปนจรงในตลาด (𝑝) กได

x 𝑝 = 𝑝∗ เฉพาะใน risk-neutral market เทานน

3.2.2 Martingale Property

E#

Gcn) -

- Seol Gtr )"

; r=E*lkH )

#Sco )n

a③ Govan 2- step binomial tree and d 5107--100

U = 0.2 ,D= - 0.1

,r = 00.1

INp* = ret = I

u - d 3

11 o : Ep f SCH ) = Slo ) ( Itr)&= 100 ( 7+0.1/2=127

iggy144

SH ) = ko

213My. ,ag

Eat 51271547 -420 )

100%13 = 1311144) tf )C lot )•".sr

= 132

= 120 ( 7+0.1 )

Edsall SG ) -90 ) = Ez( ios ) -11,181 )

= 99 = 90 ( 7+0.1 )

Mawashi mum Sin ) N ios niaz

proposition 3.5 the risk - neutral conditional expectation of Senta

-

E *C Santillan , ) = Sch ) I Hr )

⇐*

I Sentul Son) = x ) = xp * fun txa - p* I lid )

Mrm p* C Itu ) ta - p* ) fit d) =ftp.uti-d-fp- Pod

( on p . =r÷ dracopay- per -d)

C

rtd-1Itd = Itr

dad Eadscntlllscnl - x ) -

- xfitr )*

Ep ( Sinti ) Ischl ) = Sch ) City

citri" "

'E*GnH , I Sens ) = Sch ) c , + r , c , + rj" " )

Nr - n

Sch ) =Scn ) Gtr )

Tdiscounted stock prices

5m##,Hn+nlsiI I I

O h ht

Corollary 3.6 Martingale Property .

1-For any

h -

- 91,33 ,-

- -

citri" "

'EaHntnkn¥*( 5in - in 15cm ) = In )

is " ,sina.int" "

"

sina.inE!ri④dsm

to'

n

'

nt ,