第九章 Polar码

本章内容

Polar码简介

信道极化

Polar码的编码

Polar码的译码

2

Polar码简介

Polar码是由土耳其Bilkent大学教授Erdal Arikan于

2007年基于信道极化理论提出的一种线性信道编码方法

，该码字是唯一能够从理论上达到香农限的编码方法，并

具有较低的编译码复杂度，当码长为N时，复杂度为

O(NlogN)。Polar码的核心思想就是信道极化理论，

不同的信道对于的极化方法也有区别。

3

Polar码的理论基础就是信道极化，它包括信道合并和信

道分解两部分。当合并信道的数目趋于无穷大时，则会出

现极化现象：一部分信道将趋于无噪信道，另外一部分则

趋于全噪信道，这种现象就是信道极化。无噪信道的传输

速率会达到信道容量I(W)，而全噪信道的传输速率趋于

0。Polar码的编码策略正是应用了这种现象的特性，利

用无噪信道传输用户的有用信息，全噪信道传输约定的信

息或者不传信息。

基于信道极化理论提出的极化码，是第一类被证明在码长

无限长时、采用逐次消除译码算法可严格达到二元对称信

道容量的信道编码方案。

4

BSC和BEC信道

5

0 0

1 1

p

1-p

1-p

p

0 0

1 1

p

1-p

1-p

pE

1 1

2 2 2( ) 0 0

( | )max ( , ) ( ) ( | ) log 1 log ( ) (1 ) log (1 )

( )i j

j i jp x j i i

p y xC I X Y p x p y x p p p p

p y= =

= = = + + − −∑∑

1 1

2( ) 0 0

( | )max ( , ) ( ) ( | ) log 1

( )i j

j i jp x j i i

p y xC I X Y p x p y x p

p y= =

= = = −∑∑

二进制离散无记忆信道（BDMC）有两个主要的信道参

数：信道容量和Bhattacharyya参数。

给定一个BDMC信道W：XY，X和Y为输入和输出，令

P(Y|X)为信道转移概率，其中X∈{0,1}。对于信道W，信道容量I(W)和Bhattacharyya参数Z(W)（简记为

Z参数）分别为：

6

1 ( | )( ) ( | ) log 1 12 ( | 0 ) ( |1)2 2

y Y x X

P y xI W P y xP y P y∈ ∈

=+

∑∑

( ) ( | 0 )( |1)y Y

Z W P y P y∈

=∑

这两个参数分别用于速率和可靠性的衡量。I(W)是等概信

源通过信道W可靠传输的最高速率。巴氏参数Z(W)是信

道使用一次最大似然判决错误概率的上限。I(W)和Z(W)的取值范围都为 [0,1]，当 I(W)≈1时，Z(W)=0;Z(W)≈1时，I(W)=0。

信道极化过程信道极化过程包括信道合并和信道分解。将N个BDMC信道

W通过线性变换合并成WN，然后再将WN拆分为相关的信

道 ，就是信道极化现象的具体实现过程。信道

极化是当信道容量I(W)在N趋于无穷时，一部分的信道容

量接近1，而另一部分的信道容量趋于0，这样可以在完美

信道上发送信息比特，在噪声信道上发送休眠比特（一般为

0）。

7

(i)N{W :1 }i N≤ ≤

W

W

W

WN

(1)NW

(2)NW

( )NNW

信道合并 信道分解

Original channels(uniform)

Splitting channels(polarized)

.

.

.

.

.

.

信道合并

信道合并是对N个独立的二进制离散信道W使用递归方式

生成信道WN：XNYN，其中N=2n，n≥0。递归从第

0级(n=0)开始，这一级只有一个W，定义W1=W。递

归的第1级(n=1)是合并两个独立的W1，得到W2：

X2Y2，W2的转移概率为:

W2(y1,y2|u1,u2)=W(y1|u1⊕u2)W(y2|u2)

8

W

u2 W

u1 x1

x2

y1

y2

W2

1 2 1 2

1 2 2

1 0[ , ] [ , ]

1 1[ , ]

x x u u

u u G

=

=

n=2时有W4：x4y4，这时它是由两个n=1的W2：

x2y2信道复合而成，转移概率为

9

W

u2 W

u1 x1

x2

y1

y3

W2

W

W

x3

x4

W2

u3

u4

R4

y2

y4

W4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

4 4 2 44 1 1 2 1 1 2 3 4 2 3 2 4

1 1 2 3 4 2 3 4 3 2 4 4 4

4 4 41 1 4

| | , | ,

| | | |

|

W y u W y u u u u W y u u

W y u u u u W y u u W y u u W y u

W y u G

= ⊕ ⊕

= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

=

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 4

1 0 0 01 0 1 0

[ , , , ] [ , , , ]1 1 0 01 1 1 1

[ , , , ]

x x x x u u u u

u u u u G

=

=

( ) ( )1 1 1| |NN N N

i iiW y x W y x

==∏

( ) ( )1 1 1 1| |N N N N NN NW y x W y u G=

推广到一般情况，信道转移概率为：

其中

10

u2

u1

RN

uN/2-1

WN

s1

s2

sN/2-1

sN/2uN/2

uN

uN-1

uN/2+1

sN-1

sN

sN/2+1

sN/2+2uN/2+2

WN/2

WN/2

v1

v2

vN/2-1

vN/2

vN/2+1

vN/2+2

vN-1

vN

( ) ( )1 1 1 1| |N N N N NN NW y x W y u G=

nN NG B F⊗=

1 01 1

F =

( )2 / 2N N NB R I B= ⊗

例如： ( )2 24 4 4 2 2G B F R I B F⊗ ⊗= = ⊗

B4是一个比特翻转向量，即

(a00,a01,a10,a11)(a00,a10,a01,a11)，R4是一个排

列运算，即实现将奇数位放

在前面，偶数位放在后面，

如(1,2,3,4)(1,3,2,4)

N=4时，

N=8时，

11

1 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1

NG

=

1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 01 1 0 0 0 0 0 01 1 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 01 0 1 0 1 0 1 01 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1

NG

=

信道分解

N个独立BDMC合并而成的信道WN，经过信道分解为相

关的信道{ }，且整个系统的信道容量不变

。Arikan给出的信道分解方法：假定一个译码过程，如

果已经按照顺序译出了信息 中的 ，并且假定 译

码过程中没有发生错误，那么此时新的信道实际上已经成

为了一个概率信道，即已经知道了信道接收的数据 ，

又有了前i-1次的译码结果 ，此时的信道转移概率

Arikan定义为：

12

1Nu 1

1iu − 1

1iu −

1Ny

11iu −

( ) 1: , 1i N iNW x y x i N−→ × ≤ ≤

( ) ( )1

( ) 11 1 1 11

1, | |2N N i

i

i N i i N iN NN

u X

W y u u W y u−

+

−−

∈∑

( ) :1iNW i N≤ ≤

13

u2

u1

u3

u4

u8

u7

u5

u6

x2

x1

x3

x4

x8

x7

x5

x6

W

W

W

W

W

W

W

W

y2

y1

y3

y4

y8

y7

y5

y6

18W（）

28W（）

38W（）

48W（）

58W（）

68W（）

78W（）

88W（）

81y

81 1,y u

8 21 1,y u

8 31 1,y u

8 41 1,y u

8 51 1,y u

8 61 1,y u

8 71 1,y u

u2

u1

u3

u4

u8

u7

u5

u6

将8个独立的合并而成的信道

将合并而成的信道分解为8个相互关联的子信道

上式的计算复杂度是指数型的，对于一般的短码是OK的

，但是对于码长比较长时极化作用才明显的极化码来说，

直接计算不适用，需要将上式写成迭代形式，即需要计算

概率对（ ）只需要转而计算（ ），这

样就是线性复杂度。

14

2 1 22 2,i i

N NW W−,i i

N NW W

( ) ( ) ( )2

(2 1) 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 2 22 1 1 2 1 1 1, 1, 2 1 2 1 1, 2

1, | , | , |2

i

i N i i N i i i N iN i N o e i i N N e i

uW y u u W y u u u u W y u u− − − − −

− − += ⊕ ⊕ ⋅∑

( ) ( ) ( )(2 ) 2 2 1 ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 2 22 1 1 2 1 1, 1, 2 1 2 1 1, 2

1, | , | , |2

i N i i N i i i N iN i N o e i i N N e iW y u u W y u u u u W y u u− − − −

− += ⊕ ⊕ ⋅

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该图是从右往左迭代

信道极化

从信道合并与信道分解的过程中，信道会产生一些特殊的

性质，即导致一部分的信道容量 趋于1，而另一部

分的信道容量 趋于0，这就是信道极化现象。

当信道是错误概率为0.5的BEC、N=28和220时，信道

极化现象如下图。N=28时，信道容量为0和1所占的比

例都大约为39%，当N=220时，0和1都大约为49%，即编码块长度N增大时，信道极化越明显。

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( )( )iNI W

( )( )iNI W

极化码编码

利用极化现象构造一种接近于对称信道容量I(W)的编码

，称为极化码编码，核心就是利用分解后的信道 来

发送数据，这些信道的错误概率接近于0。

极化码是一种线性分组码，编码过程主要依赖于生成矩阵

的构造和信息位的选取。对于N≥2，有

其中G1=I1，矩阵

由于 ，从而

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( )iNW

( ) ( )/ 2 2 / 2N N N NG I F R I G= ⊗ ⊗

1 01 1

F =

( ) ( )/ 2 / 2=N N N NI F R R F I⊗ ⊗

( )( ) ( )/ 2 2 / 2 / 2N N N N N NG R F I I G R F G= ⊗ ⊗ = ⊗

则 ，带入GN，有

上式中运用到 ，其中A=I2，

B=RN/2，C=F， ，这样可得到

式中 ，可简写为

，是一个排列运算矩阵，称为比特翻转

运算。

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nN NG B F⊗=

( )/ 2 / 2 / 4N N NG R F G= ⊗

( )( )( ) ( )( )2/ 2 / 4 2 / 2 / 4=N N N N N N NG R F R F G R I R F G⊗= ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

/ 4ND F G= ⊗

( ) ( ) ( )( )AC BD A B C D⊗ = ⊗ ⊗

( )( ) ( )2 / 2 4 / 4 / 2 2N N N N NB R I R I R I R⊗ ⊗ ⊗

( )2 / 2=N N NB R I B⊗

极化码编码又称为GN-陪集编码，其块长度N严格定义为

2的幂次方，即N=2n，

将所要传送的信息比特放在特定的比特位置上，这样才会

有比较可靠的传输，对于任意一个{1,…,N}的子集A，

则A的补集为Ac，即 ，其

中GN(A)定义为GN的子矩阵，根据集合A来选取GN(A)

的行， GN(A)的陪集即为GN(Ac)，根据集合A的补集来

选取GN(Ac)的行， GN-陪集编码就是根据选取具体的

GN的行来进行编码构造。如果给定A和 ，将uA作为

一个自由变量，就可以得到从源码块uA到码字 的映

射。

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1 1N N

Nx u G=

( ) ( )1 1 cN N c

N A N NAx u G u G A u G A= = ⊕

cAu

1Nx

GN-陪集编码被定义为一个参数向量（N，K，A， ）

，A为集合{1,…,N}的子集，K是编码的维数，同时决

定了A集合内变量的个数， 为休眠比特（一般情况为

0），编码速率为K/N。

比如，给定一个参数向量(8,4,{4,6,7,8},(1,1,0,0))

，则对应的编码为

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cAu

cAu

( ) ( )

8 81 1 8

4 6 7 7

1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

, , , 1,1,0,01 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0

x u G

u u u u

=

= +

极化码的信息位选取：主要有Monte-Carlo法、BEC方

法以及密度进化方法。

极化码的译码基本方法主要有：连续消除(SuccessiveCancellation, SC) 译 码 、 置 信 传 播 (BeliefPropagation, BP) 译 码 、 线 性 规 划 (LinearProgramming, LP) 译 码 、 基 于 SC 列 表

(Successive Cancellation List, SCL)译码、最大

似然(Maximum Likelihood, ML)译码等。

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