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8/16/2019 CAPITULO VI ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA.pdf

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CURSO: MECANICA DE FLUIDOS I CAPITULO: VI ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta Página 1

1

CAPITULO VI

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HODRAULICA

6.1 INTRODUCCION:

Si bien es cierto que algunos problemas en hidráulica son resueltos solo con el análisis (losproblemas de la hidrostática por ejemplo), también lo es que hay numerosos casos en los que tienen

que recurrirse a la experimentación. Además muchas estructuras hidráulicas son construidas solo

después que han sido estudiadas en modelos; en el modelo se reproducen naturalmente las

características reales del prototipo.

Con el objeto de simplificar las experiencias se usa parámetros adimensionales, como el número de

Reynolds por ejemplo, estos parámetros facilitan también la comunicación entre los

experimentadores e investigadores, lo que permite el intercambio de resultados y el avance

consiguiente.

6.2 ANALISIS DIMENSIONAL:

Análisis dimensional es un proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de los

fenómenos f ısicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una nueva visión de sus soluciones. A

partir de este análisis surge la importancia que tienen el uso de distintos parámetros

adimensionales. Las ventajas de ello son:

1. Reducir el número de variables.

2. Dar una guía de como realizar experiencias sobre modelos a escala.

El objetivo es identificar los parámetros adimensionales importantes que describen un flujo y la

interacción del mismo con un cuerpo sólido.

VARIABL ES Y PARAMETROS:

En general adoptamos algunas variables en el problema en estudio como variables independientes.

Las que habitualmente consideramos son las coordenadas del punto considerado ( x, y, z ) y el

instante t .

Existen algunas variables dependientes, o funciones de campo, que dependerán de cada problema

considerado.En los problemas de mecánica de fluidos tenemos generalmente: Velocidad (v), Presión ( p) y

Densidad ( ρ ).

Se suelen también considerar algunas variables como parámetros fısicos y otras como datos del

problema.

Parámetros Fısicos:

• µ viscosidad dinámica

• c velocidad de propagación del sonido

Datos:

• L Longitud característica.

• L Velocidad característica


2/9



2

• L presión de referencia

MAGNITUDES DIMENSIONALES Y MAGNITUDES ADIMENSIONALES

Magnitudes Dimensionales: son aquellas cuyos valores numéricos dependen de las escalas

elegidas.

Magnitudes Adimensionales: son en cambio independientes del sistema de unidades adoptado.

Mediante la técnica del análisis dimensional se puede expresar cualquier magnitud física (velocidad,

viscosidad, etc.) en función de solo tres dimensiones fundamentales (L, M, T o L , F, T) , y con ello

facilitar los aspectos antes enunciados.

Ejemplo de aplicación.

Ejemplo: Expresar en termino de las magnitudes fundamentales L, F, T las unidades de masa (m),

densidad y viscosidad .

2

1

2

24

2

3

12

2

FTL LT

FL

dv

dyt

dy

dy

t

T FL LT

FL

g

y

L FT LT

F

a

F m

( Ec. 6.1 )

Procediendo de esta manera es como se ha confeccionado la Cuadro No 6.1:

MAGNITUDES

UNIDADES

(FLT) (MLT)

reaVolumenVelocidad Aceleración

Velocidad angular(Rad./sg)FuerzaMasaPeso especificoDensidadPresiónViscosidadViscosidad cinemáticaModulo de elasticidadPotenciaParCaudalEsfuerzo de corteTensión superficialPeso

L

L3

LT-1 LT-2

T-1FFL2L-1

FL-3

FL- 4T2

FL- 2

FTL-2

L2T- 1

FL- 2

FLT- 1

FLL3T- 1

FL-2 FL-1

F

L

L3

LT-1 LT- 2

T- 1MLT- 2

MML -2T- 2

ML-3 ML-1T- 2

ML- 1T-1

L2T- 1

ML- 1T- 2

ML2T- 3 ML2T-2 L3T- 1

ML-1T-2

MT-2

MLT-2

CUADRO No 6.1

UNIDAD DE DIFERENCIAS MAGNITUDES EN TÉRMINOS DE LAS FUNDAMENTALES.


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3

6.3 EL TEOREMA DE DE BUCKINGHAN.

Cuando el número de variables o magnitudes físicas son 4 o mas el teorema de PI de Buckingham

constituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas magnitudes en un

numero menor de grupos adimensionales significativos., a partir de los cuales puede establecerseuna ecuación. Los grupos adimensionales se llaman grupos o numero PI. Si en un fenómeno físico

en cuestión intervienen n magnitudes físicas q de las cuales k son dimensiones fundamentales (por

ejemplo, fuerza, longitud y tiempo; o bien masa, longitud y tiempo) y otras q (tales como velocidad,

densidad, viscosidad, presión y área), entonces matemáticamente:

0),( 211 ==nqqq f (Ec. 6.2 )

Que pueden reemplazarse por:

0),π,(πφ 321 ==== nπ (Ec. 6.3 )

Donde cualquier numero π no depende mas que de (k+1) magnitudes físicas q y cada uno de los

números π son funciones monómicas independientes adimensionalmente, de las magnitudes q.

PROCEDIMIENTO:

1. Se escriben las n magnitudes q, que interviene en un problema en particular, anotando sus

dimensiones y el numero k de dimensiones fundamentales. Existirán (n-k) números π.

2. Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las

mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en

las magnitudes seleccionadas.

3. El primer grupo π puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas elevada

cada una a un exponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia

conocida (normalmente se toma igual a 1).

4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las

restantes variables para establecer el nuevo numero π.

5. En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos mediante el análisisdimensional.

RELACIONES UTILES:

1. Si una magnitud es adimensional constituye un grupo π sin necesidad de aplicar el

procedimiento anterior.

2. Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un

numero adimensional π. Por ejemplo L/L es adimensional, y por lo tanto, un numero π.

3. Cualquier numero π puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida π -1. Por ejemplo

π3 puede reemplazarse por π32, o π2 por 1/ π2.


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4

4. Cualquier numero π puede sustituirse por su producto por una constante numérica. Por ejemplo,

π1 puede reemplazarse por 3 π1.

5. Cualquier numero π puede expresarse como función de otros números π. Por ejemplo si hay dos

números π¸ π1=φ( π2).

6.4 SEMEJANZA HIDRAULICA:

SEMEJANZA GEOMETRICA:

Existen semejanzas geométricas entre modelo y prototipo cuando las relaciones entre las

dimensiones homologas son iguales:

r Lm L

m L

A

A

L L

L

p

m

r

P

m

2

2

2

(Ec. 6.4 )

SEMEJANZA CINEMATICA:

Existen semejanza cinemática entre modelo y prototipo si:

1. Las trayectorias de partículas homologas son geométricas semejantes.

2. Las relaciones entre las velocidades de las partículas homologas son iguales.

RELACIONES DE VELOCIDAD:

r

r

m P

P m

P

P

m

m

P

m

L

L

T L

T L

T

L

T

L

V

L=== (Ec. 6.5 )

RELACIONES DE ACELERACION:

22

2

2

2 .

r

r

m P

P m

P

P

m

m

p

m

T

L

T L

T L

T

L

T

L

a

a (Ec. 6.6 )

RELACIONES DE CAUDAL:

T

L

T L

T L

T

L

T

L

Q

Q r

m P

p M

P

p

m

m

p

m

3

3

3

3

3

. (Ec. 6.7 )

SEMEJANZA DINAMICA:


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5

Entre modelo y prototipo, semejantes geométrica y cinemáticamente existe semejanza dinámica

cuando las relaciones entre las fuerzas homólogas son iguales.

En general, las fuerzas existentes son las fuerzas: vis co sas, grav itato rias, elástic as , debidas a la

presión y debido a la tensión superficial.

El Ingeniero que ensaya un modelo hidráulico estudia únicamente las fuerzas predominantes.Felizmente, en la mayoría de los problemas con líquidos llega a predominar sólo una fuerza de entre

las mencionadas, a parte de la fuerza de inercia. Dicha fuerza puede ser la viscosa, la gravitatoria o

la elástica.

La consideración de la fuerza predominante se hace a través de un parámetro adimensional. Estos

parámetros son los que a continuación se deducen.

NUMERO DE REYNOLDS: Encierra el efecto de la viscosidad y se obtiene planteando la relación

entre las fuerzas de inercia y viscosidad.

v

VLVt

L L

V

V L

Ady

dv

ma

A

ma Re =====

μμ.μ 2

22 ρ ρ

τ (Ec. 6.8 )

Donde:

L : Es una longitud característica.

En tuberías se usa generalmente el diámetro (D).

NUMERO DE FROUDE: Encierra el efecto de la gravedad y se obtiene planteando la relación entre

las fuerzas de inercia y gravitatoria.

gL

V

g L

V L

mg

ma 2

3

22

ρ

ρ==

A la raíz cuadrada de esta expresión se llama número de Froude :

gL

V F (Ec. 6. 9 )

Donde:

L : Es una longitud característica.

En canales se usa el tirante de agua (Y).

NUMERO DE EULER: Encierra el efecto de la presión y se obtiene planteando la relación entre las

fuerzas de inercia y presión.

p

V

pL

V L

pL

LT L

pA

ma E

2

2

22

2

23

μ

ρ.ρ.ρ==== (Ec. 6. 10 )

NUMERO DE MACH: Encierra el efecto de la compresibilidad del flujo y se obtiene planteando la

relación entre las fuerzas de inercia y elástica.


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6

E

V

EL

V L

EA

ma 2

2

22ρρ

==

A la raíz cuadrada de esta expresión y un arreglo se llama número de Mach.

p E

V

M (Ec. 6. 11)

NUMERO DE WEBER: Encierra el efecto de la tensión superficial y se obtiene planteando la relación

entre las fuerzas de inercia y tensión superficial.

222 LV

L

V L

L

maW (Ec. 6.12 )

COMENTARIO:

Como ya se insinuara, en los problemas de interés del Ingeniero Civil predomina por lo general una

fuerza, siendo esta fuerza unas veces la viscosa otras la gravitatoria. Conviene entonces subrayar

que deberá verificarse en el modelo y el prototipo el mismo R e si en el fenómeno que se estudia

predomina la viscosidad, o el mismo F si predomina la gravedad.

6.5 APLICACIONES:

EN SISTEMAS A PRESION:

Se sabe que en los sistemas a presión predomina el efecto viscoso por lo que deberá verificarse:

pm ee R R

p

p p

m

mm

v

LV

v

LV ..

1.

=

r

r r

v

LV

Además: r

r

r L

vV

r

r

r

r

r v

L

V

LT ==

3

2

4

2

2

r

r

r

r r

r

r

r L

v

L

v L

T

La ===

r r

r

r

r r r r Lv L

v LV AQ === 2

r r

r

r

r r r r r v L

v Lam F ρρ 23

2

3===

2

2

2

ρ

r

r r

r

r

r

L

v

L

F P == (Ec. 6.13 )


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7

El Número de Reynolds se usa como el criterio de semejanza en la prueba de modelos de naves

aéreas, cuerpos sumergidos, medidores de gasto, transiciones, etc, en los cuales las características

del flujo están sujetas a efectos viscosos. Cuanto menor es el Re mayor es el efecto de la

viscosidad.

EN SISTEMAS A SUPERFICIE LIBRE:

Se sabe que en los sistemas a superficie libre predomina la fuerza gravitatoria, por lo que deberá

verificarse:

pm F F

p

p

m

m

L g

V

L g

V

.0

.

1. Lr g

V r (Ec. 6.14 )

En lo que sigue se supondrá que modelo y prototipo ocurren en el mismo lugar, g r =1.

Además:

21

r r LV

21

r

r

r

r LV

LT

1 r r g a

25

21

2 . r r r r r r L L LV AQ

33

r r r r r r r r L g Lam F

El Número de Froude se usa como el criterio de semejanza en la prueba de modelos de canales,

vertederos, saltos hidráulicos, compuertas, ondas, etc., en los cuales el efecto viscoso es escaso y

la fuerza de gravedad la más importante. Cuanto menor es el F mayor es el efecto de la gravedad.

6.6 ASUNTOS CONEXOS:

EL NUMERO DE EULER:

Ciertamente el número de Euler rige en aquellos fenómenos donde son preponderantes los cambios

de presión p y los problemas de flujo bidimensional, sobre todo.

Es decir:

p

V E

Δ

ρ 2

μ = (Ec 6.15 )

Se llama coeficiente de presión (numeral 5.4) a la relación:


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8

2

ρv

Δ2

pC p = (Ec. 6.16 )

De donde resulta que:

E

C p2 (Ec. 6.17)

Por otro lado, se denomina número de cavitación ( σ ) a la forma que adopta el coeficiente de

presión cuando se utiliza un origen de referencia para medir la presión (0

); es decir,

2

ρσ

2

0

V

P P = (Ec. 6.18)

Unas veces se usa como presión de referencia la de vaporización:

2

2v

P P v

(Ec. 6.19)

otras veces la de cavitación,

2

2v

P P cC

(Ec. 6.20)

El número de cavitación se emplea como parámetro adimensional para establecer la semejanza

entre modelo y prototipo de las máquinas; hidráulicas (bombas y turbinas).

EL NUMERO DE MACH:

Este parámetro toma en consideración la comprensibilidad del flujo. En Ingeniería Hidráulica, el

único fenómeno donde se producen valores muy altos de presión que obligan a considerar la

compresibilidad del agua es el del golpe de ariete. Pero este fenómeno es mejor estudiado

analíticamente, de modo que bien puede decirse que en la hidráulica no se emplea nunca el número

de Mach, el que tiene su mejor aplicación en el estudio que se hace de naves aéreas en el túnel

supersónico.

EL NUMERO DE WEBER:

Este parámetro se usa en ensayos de ondas capilares en canales pequeños y en el estudio del

movimiento capilar del agua en los suelos, por lo que bien puede decirse que no tiene mayor

importancia en los problemas de la hidráulica.

MODELAJE:

En los proyectos hidráulicos hay a veces estructuras para diseñar las cuales no hay formulas ni

graficas disponibles, de modo de que el único medio para el dimensionamiento apropiado de talesestructuras es su estudio en modelo.


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9

Para la construcción del modelo de algunas estructuras hidráulicas se requiere de un espacio

grande. La primera decisión a tomar se refiere entonces a la escala, siendo el costo y el espacio

disponible los factores más importantes en la decisión.

En cuanto a la escala misma se procura siempre que la semejanza geométrica sea exacta, inclusoen lo que se refiere al tamaño de las esperanzas. Existen ocasiones sin embargo en las que

procedimiento así resultan en el modelo dimensiones demasiado pequeñas para resultados

satisfactorios; de modo que en tales circunstancias se hace necesarias recurrir a una escala vertical

diferente a la escala horizontal, dando lugar a un modelo distorsionado.

Generalmente se recurre al modo distorsionado en estructuras fluviales, en las que las dimensiones

horizontales son muy grandes en proporción a las dimensiones verticales.

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