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CAPITULO VI
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HODRAULICA
6.1 INTRODUCCION:
Si bien es cierto que algunos problemas en hidráulica son resueltos solo con el análisis (losproblemas de la hidrostática por ejemplo), también lo es que hay numerosos casos en los que tienen
que recurrirse a la experimentación. Además muchas estructuras hidráulicas son construidas solo
después que han sido estudiadas en modelos; en el modelo se reproducen naturalmente las
características reales del prototipo.
Con el objeto de simplificar las experiencias se usa parámetros adimensionales, como el número de
Reynolds por ejemplo, estos parámetros facilitan también la comunicación entre los
experimentadores e investigadores, lo que permite el intercambio de resultados y el avance
consiguiente.
6.2 ANALISIS DIMENSIONAL:
Análisis dimensional es un proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de los
fenómenos f ısicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una nueva visión de sus soluciones. A
partir de este análisis surge la importancia que tienen el uso de distintos parámetros
adimensionales. Las ventajas de ello son:
1. Reducir el número de variables.
2. Dar una guía de como realizar experiencias sobre modelos a escala.
El objetivo es identificar los parámetros adimensionales importantes que describen un flujo y la
interacción del mismo con un cuerpo sólido.
VARIABL ES Y PARAMETROS:
En general adoptamos algunas variables en el problema en estudio como variables independientes.
Las que habitualmente consideramos son las coordenadas del punto considerado ( x, y, z ) y el
instante t .
Existen algunas variables dependientes, o funciones de campo, que dependerán de cada problema
considerado.En los problemas de mecánica de fluidos tenemos generalmente: Velocidad (v), Presión ( p) y
Densidad ( ρ ).
Se suelen también considerar algunas variables como parámetros fısicos y otras como datos del
problema.
Parámetros Fısicos:
• µ viscosidad dinámica
• c velocidad de propagación del sonido
Datos:
• L Longitud característica.
• L Velocidad característica
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• L presión de referencia
MAGNITUDES DIMENSIONALES Y MAGNITUDES ADIMENSIONALES
Magnitudes Dimensionales: son aquellas cuyos valores numéricos dependen de las escalas
elegidas.
Magnitudes Adimensionales: son en cambio independientes del sistema de unidades adoptado.
Mediante la técnica del análisis dimensional se puede expresar cualquier magnitud física (velocidad,
viscosidad, etc.) en función de solo tres dimensiones fundamentales (L, M, T o L , F, T) , y con ello
facilitar los aspectos antes enunciados.
Ejemplo de aplicación.
Ejemplo: Expresar en termino de las magnitudes fundamentales L, F, T las unidades de masa (m),
densidad y viscosidad .
2
1
2
24
2
3
12
2
FTL LT
FL
dv
dyt
dy
dy
t
T FL LT
FL
g
y
L FT LT
F
a
F m
( Ec. 6.1 )
Procediendo de esta manera es como se ha confeccionado la Cuadro No 6.1:
MAGNITUDES
UNIDADES
(FLT) (MLT)
reaVolumenVelocidad Aceleración
Velocidad angular(Rad./sg)FuerzaMasaPeso especificoDensidadPresiónViscosidadViscosidad cinemáticaModulo de elasticidadPotenciaParCaudalEsfuerzo de corteTensión superficialPeso
L
L3
LT-1 LT-2
T-1FFL2L-1
FL-3
FL- 4T2
FL- 2
FTL-2
L2T- 1
FL- 2
FLT- 1
FLL3T- 1
FL-2 FL-1
F
L
L3
LT-1 LT- 2
T- 1MLT- 2
MML -2T- 2
ML-3 ML-1T- 2
ML- 1T-1
L2T- 1
ML- 1T- 2
ML2T- 3 ML2T-2 L3T- 1
ML-1T-2
MT-2
MLT-2
CUADRO No 6.1
UNIDAD DE DIFERENCIAS MAGNITUDES EN TÉRMINOS DE LAS FUNDAMENTALES.
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6.3 EL TEOREMA DE DE BUCKINGHAN.
Cuando el número de variables o magnitudes físicas son 4 o mas el teorema de PI de Buckingham
constituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas magnitudes en un
numero menor de grupos adimensionales significativos., a partir de los cuales puede establecerseuna ecuación. Los grupos adimensionales se llaman grupos o numero PI. Si en un fenómeno físico
en cuestión intervienen n magnitudes físicas q de las cuales k son dimensiones fundamentales (por
ejemplo, fuerza, longitud y tiempo; o bien masa, longitud y tiempo) y otras q (tales como velocidad,
densidad, viscosidad, presión y área), entonces matemáticamente:
0),( 211 ==nqqq f (Ec. 6.2 )
Que pueden reemplazarse por:
0),π,(πφ 321 ==== nπ (Ec. 6.3 )
Donde cualquier numero π no depende mas que de (k+1) magnitudes físicas q y cada uno de los
números π son funciones monómicas independientes adimensionalmente, de las magnitudes q.
PROCEDIMIENTO:
1. Se escriben las n magnitudes q, que interviene en un problema en particular, anotando sus
dimensiones y el numero k de dimensiones fundamentales. Existirán (n-k) números π.
2. Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las
mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en
las magnitudes seleccionadas.
3. El primer grupo π puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas elevada
cada una a un exponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia
conocida (normalmente se toma igual a 1).
4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las
restantes variables para establecer el nuevo numero π.
5. En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos mediante el análisisdimensional.
RELACIONES UTILES:
1. Si una magnitud es adimensional constituye un grupo π sin necesidad de aplicar el
procedimiento anterior.
2. Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un
numero adimensional π. Por ejemplo L/L es adimensional, y por lo tanto, un numero π.
3. Cualquier numero π puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida π -1. Por ejemplo
π3 puede reemplazarse por π32, o π2 por 1/ π2.
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4. Cualquier numero π puede sustituirse por su producto por una constante numérica. Por ejemplo,
π1 puede reemplazarse por 3 π1.
5. Cualquier numero π puede expresarse como función de otros números π. Por ejemplo si hay dos
números π¸ π1=φ( π2).
6.4 SEMEJANZA HIDRAULICA:
SEMEJANZA GEOMETRICA:
Existen semejanzas geométricas entre modelo y prototipo cuando las relaciones entre las
dimensiones homologas son iguales:
r Lm L
m L
A
A
L L
L
p
m
r
P
m
2
2
2
(Ec. 6.4 )
SEMEJANZA CINEMATICA:
Existen semejanza cinemática entre modelo y prototipo si:
1. Las trayectorias de partículas homologas son geométricas semejantes.
2. Las relaciones entre las velocidades de las partículas homologas son iguales.
RELACIONES DE VELOCIDAD:
r
r
m P
P m
P
P
m
m
P
m
L
L
T L
T L
T
L
T
L
V
L=== (Ec. 6.5 )
RELACIONES DE ACELERACION:
22
2
2
2 .
r
r
m P
P m
P
P
m
m
p
m
T
L
T L
T L
T
L
T
L
a
a (Ec. 6.6 )
RELACIONES DE CAUDAL:
T
L
T L
T L
T
L
T
L
Q
Q r
m P
p M
P
p
m
m
p
m
3
3
3
3
3
. (Ec. 6.7 )
SEMEJANZA DINAMICA:
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Entre modelo y prototipo, semejantes geométrica y cinemáticamente existe semejanza dinámica
cuando las relaciones entre las fuerzas homólogas son iguales.
En general, las fuerzas existentes son las fuerzas: vis co sas, grav itato rias, elástic as , debidas a la
presión y debido a la tensión superficial.
El Ingeniero que ensaya un modelo hidráulico estudia únicamente las fuerzas predominantes.Felizmente, en la mayoría de los problemas con líquidos llega a predominar sólo una fuerza de entre
las mencionadas, a parte de la fuerza de inercia. Dicha fuerza puede ser la viscosa, la gravitatoria o
la elástica.
La consideración de la fuerza predominante se hace a través de un parámetro adimensional. Estos
parámetros son los que a continuación se deducen.
NUMERO DE REYNOLDS: Encierra el efecto de la viscosidad y se obtiene planteando la relación
entre las fuerzas de inercia y viscosidad.
v
VLVt
L L
V
V L
Ady
dv
ma
A
ma Re =====
μμ.μ 2
22 ρ ρ
τ (Ec. 6.8 )
Donde:
L : Es una longitud característica.
En tuberías se usa generalmente el diámetro (D).
NUMERO DE FROUDE: Encierra el efecto de la gravedad y se obtiene planteando la relación entre
las fuerzas de inercia y gravitatoria.
gL
V
g L
V L
mg
ma 2
3
22
ρ
ρ==
A la raíz cuadrada de esta expresión se llama número de Froude :
gL
V F (Ec. 6. 9 )
Donde:
L : Es una longitud característica.
En canales se usa el tirante de agua (Y).
NUMERO DE EULER: Encierra el efecto de la presión y se obtiene planteando la relación entre las
fuerzas de inercia y presión.
p
V
pL
V L
pL
LT L
pA
ma E
2
2
22
2
23
μ
ρ.ρ.ρ==== (Ec. 6. 10 )
NUMERO DE MACH: Encierra el efecto de la compresibilidad del flujo y se obtiene planteando la
relación entre las fuerzas de inercia y elástica.
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E
V
EL
V L
EA
ma 2
2
22ρρ
==
A la raíz cuadrada de esta expresión y un arreglo se llama número de Mach.
p E
V
M (Ec. 6. 11)
NUMERO DE WEBER: Encierra el efecto de la tensión superficial y se obtiene planteando la relación
entre las fuerzas de inercia y tensión superficial.
222 LV
L
V L
L
maW (Ec. 6.12 )
COMENTARIO:
Como ya se insinuara, en los problemas de interés del Ingeniero Civil predomina por lo general una
fuerza, siendo esta fuerza unas veces la viscosa otras la gravitatoria. Conviene entonces subrayar
que deberá verificarse en el modelo y el prototipo el mismo R e si en el fenómeno que se estudia
predomina la viscosidad, o el mismo F si predomina la gravedad.
6.5 APLICACIONES:
EN SISTEMAS A PRESION:
Se sabe que en los sistemas a presión predomina el efecto viscoso por lo que deberá verificarse:
pm ee R R
p
p p
m
mm
v
LV
v
LV ..
1.
=
r
r r
v
LV
Además: r
r
r L
vV
r
r
r
r
r v
L
V
LT ==
3
2
4
2
2
r
r
r
r r
r
r
r L
v
L
v L
T
La ===
r r
r
r
r r r r Lv L
v LV AQ === 2
r r
r
r
r r r r r v L
v Lam F ρρ 23
2
3===
2
2
2
ρ
r
r r
r
r
r
L
v
L
F P == (Ec. 6.13 )
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El Número de Reynolds se usa como el criterio de semejanza en la prueba de modelos de naves
aéreas, cuerpos sumergidos, medidores de gasto, transiciones, etc, en los cuales las características
del flujo están sujetas a efectos viscosos. Cuanto menor es el Re mayor es el efecto de la
viscosidad.
EN SISTEMAS A SUPERFICIE LIBRE:
Se sabe que en los sistemas a superficie libre predomina la fuerza gravitatoria, por lo que deberá
verificarse:
pm F F
p
p
m
m
L g
V
L g
V
.0
.
1. Lr g
V r (Ec. 6.14 )
En lo que sigue se supondrá que modelo y prototipo ocurren en el mismo lugar, g r =1.
Además:
21
r r LV
21
r
r
r
r LV
LT
1 r r g a
25
21
2 . r r r r r r L L LV AQ
33
r r r r r r r r L g Lam F
El Número de Froude se usa como el criterio de semejanza en la prueba de modelos de canales,
vertederos, saltos hidráulicos, compuertas, ondas, etc., en los cuales el efecto viscoso es escaso y
la fuerza de gravedad la más importante. Cuanto menor es el F mayor es el efecto de la gravedad.
6.6 ASUNTOS CONEXOS:
EL NUMERO DE EULER:
Ciertamente el número de Euler rige en aquellos fenómenos donde son preponderantes los cambios
de presión p y los problemas de flujo bidimensional, sobre todo.
Es decir:
p
V E
Δ
ρ 2
μ = (Ec 6.15 )
Se llama coeficiente de presión (numeral 5.4) a la relación:
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2
ρv
Δ2
pC p = (Ec. 6.16 )
De donde resulta que:
E
C p2 (Ec. 6.17)
Por otro lado, se denomina número de cavitación ( σ ) a la forma que adopta el coeficiente de
presión cuando se utiliza un origen de referencia para medir la presión (0
); es decir,
2
ρσ
2
0
V
P P = (Ec. 6.18)
Unas veces se usa como presión de referencia la de vaporización:
2
2v
P P v
(Ec. 6.19)
otras veces la de cavitación,
2
2v
P P cC
(Ec. 6.20)
El número de cavitación se emplea como parámetro adimensional para establecer la semejanza
entre modelo y prototipo de las máquinas; hidráulicas (bombas y turbinas).
EL NUMERO DE MACH:
Este parámetro toma en consideración la comprensibilidad del flujo. En Ingeniería Hidráulica, el
único fenómeno donde se producen valores muy altos de presión que obligan a considerar la
compresibilidad del agua es el del golpe de ariete. Pero este fenómeno es mejor estudiado
analíticamente, de modo que bien puede decirse que en la hidráulica no se emplea nunca el número
de Mach, el que tiene su mejor aplicación en el estudio que se hace de naves aéreas en el túnel
supersónico.
EL NUMERO DE WEBER:
Este parámetro se usa en ensayos de ondas capilares en canales pequeños y en el estudio del
movimiento capilar del agua en los suelos, por lo que bien puede decirse que no tiene mayor
importancia en los problemas de la hidráulica.
MODELAJE:
En los proyectos hidráulicos hay a veces estructuras para diseñar las cuales no hay formulas ni
graficas disponibles, de modo de que el único medio para el dimensionamiento apropiado de talesestructuras es su estudio en modelo.
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Para la construcción del modelo de algunas estructuras hidráulicas se requiere de un espacio
grande. La primera decisión a tomar se refiere entonces a la escala, siendo el costo y el espacio
disponible los factores más importantes en la decisión.
En cuanto a la escala misma se procura siempre que la semejanza geométrica sea exacta, inclusoen lo que se refiere al tamaño de las esperanzas. Existen ocasiones sin embargo en las que
procedimiento así resultan en el modelo dimensiones demasiado pequeñas para resultados
satisfactorios; de modo que en tales circunstancias se hace necesarias recurrir a una escala vertical
diferente a la escala horizontal, dando lugar a un modelo distorsionado.
Generalmente se recurre al modo distorsionado en estructuras fluviales, en las que las dimensiones
horizontales son muy grandes en proporción a las dimensiones verticales.