cap´ıtulo 2 conjuntos, relaciones y...

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Capıtulo 2

Conjuntos, relaciones y grafos

2.1. Conjuntos

Se partira de la nocion intuitiva de objeto y de unos entes matematicosque se denominaran conjuntos.

Definicion 12. Un conjunto es una coleccion de objetos bien definidosy diferenciables entre sı. A los objetos que constituyen un conjunto se lesdenomina elementos del mismo.

Los conjuntos se designan, habitualmente, por letras latinas mayusculas:A,B, . . . y los elementos por letras latinas minusculas: a, b, . . .; si a es unelemento del conjunto A, se dira que a pertenece al conjunto A, y se escribiraa ∈ A. En caso contrario, se dira que el elemento no pertenece al conjunto yse denotara a 6∈ A.

Un conjunto A esta bien definido cuando, dado un objetoo cualquiera x,es cierta una y solo una, de las proposiciones x ∈ A y x 6∈ A.

Al conjunto que carece de elementos se le denomina conjunto vacıo, yse denota por ∅ o por { }.

Ejemplo 18. La proposicion “Todos los alumnos que aprobaran Matematicasen junio” no define adecuadamente un conjunto puesto que, dado un alumno,no se puede afirmar de antemano si aprobara o no en junio.

Un conjunto puede ser definido por extension, enumerando todos y cadauno de sus elementos, o por compresion, diciendo cual es la propiedad quelos caracteriza.

Ejemplo 19. Algunos conjuntos definidos por comprension:

A = {x ∈ Z ; x2 ≤ 16}

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46 CAPITULO 2. CONJUNTOS, RELACIONES Y GRAFOS

B A

Figura 2.1: Inclusion de Conjuntos, A ⊂ B.

B = {x ∈ N ; x divide a 20}

∅ = { }

Ejemplo 20. Los mismos conjuntos definidos por extension:

A = {0, 1, 2, 3, 4,−1,−2,−3,−4}

B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Como se aprecia en este ejemplo, se utilizan las llaves “{” y “}” paradelimitar los elementos que componen un conjunto.

2.1.1. Inclusion

Definicion 13. Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es un subcon-

junto de B, y se expresa A ⊆ B, cuando todos los elementos de A sontambien elementos de B, es decir:

∀x [x ∈ A =⇒ x ∈ B]

se dira que A esta incluıdo o contenido en B. Cuando A no esta contenido enB, se escribira A * B (lo cual quiere decir que existe a ∈ A tal que a 6∈ B).

Cualquier conjunto A, siempre admite como subconjuntos al conjuntovacıo ∅ y al propio conjunto A. Estos se denominan subconjuntos impropioso triviales. En otro caso, se dice que B es un subconjunto propio de A.

Si B ⊆ A y B 6= A, se dice que B esta contenido estrictamente en A y sedenota B ⊂ A.

En la figura 2.1 se muestra, mediante Diagramas de Venn, un conjunto Asubconjunto de otro B.

Definicion 14. El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dadoA se denomina partes de A y se denota P(A).

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2.1. CONJUNTOS 47

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, se verifica que

B ∈ P(A) ⇔ B ⊆ A

Ejemplo 21. Si A = {a, b} ⇒ P(A) ={

∅, {a}, {b}, A}

.

Si A = {a, b, c} ⇒ P(A) ={

∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}

, A}.

Ejemplo 22. Las afirmaciones I), III), IV ), V ), V III), IX) y XI) son ver-daderas.

i) ∅ ⊆ ∅.

ii) ∅ ∈ ∅

iii) ∅ ⊆ {∅}

iv) ∅ ∈ {∅}

v) {a, b} ⊆ {a, b, c, {a, b, c}}

vi) {a, b} ∈ {a, b, c, {a, b, c}}

vii) {a, ∅} ⊆ {a, {a, ∅}}

viii) {a, ∅} ∈ {a, {a, ∅}}

ix) N ⊆ Z

x) N ∈ Z

xi) {2} ∈ P(Z)

xii) {2} ⊆ P(Z)

Definicion 15. Un conjunto A es finito si tiene un numero n ∈ N deelementos; este numero se llama cardinal y se denota |A| o #A. En casocontrario, se dice que A es no finito.

Si A es un conjunto finito, tambien lo es P(A).

Ejemplo 23. A = {a, b, c} es un conjunto finito con |A| = 3. El conjunto

P(A) ={

∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}

, A} es finito y su cardinal es 8.

B = {n ∈ N, n es par} no es finito.

Definicion 16. Dos conjuntos A y B son iguales si, simultaneamente, severifica A ⊆ B y B ⊆ A, es decir:

A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A

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U

A

Figura 2.2: Complementario de A respecto a U .

2.2. Operaciones entre conjuntos

2.2.1. Complementacion

Cuando, en un contexto determinado, se consideran siempre conjuntosque son subconjuntos de uno dado U , a dicho conjunto de referencia U se ledenomina conjunto universal o universo.

Definicion 17. Dado un conjunto U y un subconjunto A ⊆ U se llama com-

plementario del conjunto A, y se denota A, al subconjunto de U formadopor todos los elementos que no pertenecen a A, es decir:

A = {x ∈ U ; x 6∈ A}

Observese que la propiedad que determina al complementario de A es lanegacion de la propiedad que determina a los elementos de A.

En la figura 2.2 se muestra, en la zona rayada, el conjunto complementariode A respecto a U .

Propiedades 1. Dado un conjunto U y dos subconjuntos suyos A y B, severifican las siguientes propiedades:

i) ∅ = U .

ii) U = ∅.

iii) ¯A = A.

iv) A ⊆ B ⇔ B ⊆ A.

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2.2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 49

A B

Figura 2.3: Union de conjuntos:A ∪ B.

A B

Figura 2.4: Interseccion de con-juntos: A ∩B.

2.2.2. Union

Definicion 18. Dados dos conjuntos A y B se llama union de A y B, y serepresenta A∪B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a Ao a B:

A ∪B = {x ; x ∈ A ∨ x ∈ B}

En la figura 2.3, la zona rayada reprsenta el conjunto A ∪ B.

Ejemplo 24. Dados A = {a, b, c} y B = {m, s} tenemos A∪B = {a, b, c,m, s}.

Propiedades 2. Dados los conjuntos A, B y C, subconjuntos de U , la unionde conjuntos verifica las siguientes propiedades:

i) A ⊆ (A ∪ B) , B ⊆ (A ∪B).

ii) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B.

iii) A ⊆ C ∧ B ⊆ C ⇔ (A ∪ B) ⊆ C.

iv) A ∪ A = A (Propiedad Idempotente).

v) A ∪ B = B ∪ A (Propiedad Conmutativa).

vi) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C (Propiedad Asociativa).

vii) A ∪ U = U

viii) A ∪ ∅ = A.

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2.2.3. Interseccion

Definicion 19. Dados dos conjuntos A y B se llama interseccion de A y B,y se representa A∩B, al conjunto formado por los elementos que pertenecena A y a B, es decir:

A ∩ B = {x ; x ∈ A ∧ x ∈ B}

De la definicion se sigue que un elemento pertenece a la interseccion sipertenece a los dos conjuntos. En la figura 2.4 on the previous page la zonarayada indica el conjunto interseccion A ∩B.

Ejemplo 25. 1. Dados A = {a, b, c} y B = {m, s} tenemos A ∩B = ∅.2. Sean A = {a, x}, B = {b, x} y C = {x, y}. A ∩ B = {x} ⊆ C y, sin

embargo, A * C y B * C.3. Dados A = {a, b, c} y B = {m, a, s, t} tenemos A ∩ B = {a}.

Propiedades 3. Dados tres conjuntos A,B y C, subconjuntos de U , la in-terseccion verifica las siguientes propiedades:

i) (A ∩B) ⊆ A, (A ∩B) ⊆ B.

ii) A ⊆ B ⇔ A ∩B = A.

iii) C ⊆ A ∧ C ⊆ B ⇔ C ⊆ (A ∩B).

iv) A ∩A = A (Propiedad Idempotente).

v) A ∩B = B ∩ A (Propiedad Conmutativa).

vi) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Propiedad Asociativa).

vii) A ∩ U = A (U es el conjunto universal).

viii) A ∩ ∅ = ∅.

Propiedades 4. Con la notacion anterior, la union y la interseccion verifi-can ademas las siguientes propiedades conjuntas:

i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Ver figura 2.5 on the facing page).

ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Ver figura 2.6 on the next page).

iii) A ∪ A = U .

iv) A ∩ A = ∅.

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2.2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 51

A

B C

Figura 2.5: A ∪ (B ∩ C).

A

B C

Figura 2.6: A ∩ (B ∪ C).

v) (A ∪ B) = A ∩ B (Primera Ley de De Morgan).

vi) (A ∩ B) = A ∪ B (Segunda Ley de De Morgan).

Como consecuencia, si A,B ⊆ U son dos subconjuntos de U , se verificaque

A = A ∩ U = A ∩ (B ∪ B) = (A ∩B) ∪ (A ∩ B)

Definicion 20. Si dos conjuntos no tienen ningun elemento en comun, sedice que son disjuntos, es decir:

A y B son disjuntos ⇔ A ∩B = ∅

2.2.4. Diferencia

A BA

Figura 2.7: Diferencia de conjuntos

Definicion 21. Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia entre A yB, y se representa A\B o A−B , al conjunto formado por los elementos deA que no pertenecen a B:

A\B = {x ∈ A ; x 6∈ B}

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A

B

1 2 3

a

b

b

(1, a)b

(2, a)b

(3, a)

b

(1, b)b

(2, b)b

(3, b)

Figura 2.8: Representacion grafica de A×B

En la figura 2.2.4 on the preceding page se muestran dos conjuntos Ay B y, representado por el area rayada, el conjunto A − B. Se aprecia confacilidad que A\B y B\A son, en general, distintos. Por otro lado, es claroque A\B = A ∩ B

Ademas, se verifica que

A\B = A ⇔ A ⊆ B ⇔ A ∩B = ∅ ⇔ B ⊆ A ⇔ B\A = B

2.2.5. Producto Cartesiano

Definicion 22. Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano

de A por B, y se denota A×B, al conjunto constituido por pares ordenadosde elementos, el primero perteneciente al conjunto A y el segundo al B. Estoes:

A× B = {(a, b) ; a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ejemplo 26. El producto cartesiano A×B de los conjuntos A = {1, 2, 3} yB = {a, b} es el conjunto:

A× B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Cuando sea posible, es util representar graficamente el producto carte-siano por medio de diagramas de coordenadas cartesianas. Para ello se tomandos rectas OX y OY , perpendiculares u oblicuas, de forma que el punto Oes la interseccion de ambas. Este punto recibe el nombre de origen, la rectaOX es el eje de abscisas y la OY es el eje de ordenadas. El conjunto A serepresenta linealmente en OX, y el B en OY . Los elementos (a, b) de A×B serepresentan por puntos resultantes de la interseccion de la paralela a OY pora con la paralela a OX por b. En la figura 2.8 se muestra la representacionen coordenadas cartesianas del ejemplo anterior.

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d), elementos del producto cartesianoA×B, son iguales si a = c y b = d. Es claro que, en general, A×B 6= B×A.

Se puede extender la definicion de producto cartesiano a n conjuntos.

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2.3. RELACIONES 53

Definicion 23. Dados n conjuntos A1, A2, . . . , An se define su productocartesiano como:

A1 ×A2 × · · · × An = {(a1, a2, . . . , an) ; ai ∈ Ai, ∀ i = 1, 2, . . . , n}

Finalmente, si A y B son conjuntos finitos, tambien lo es A×B y se tieneque:

|A×B| = |A|.|B|

2.3. Relaciones

El concepto de relacion esta presente en distintas situaciones de nuestravida cotidiana. Por ejemplo, hay una relacion entre el nombre de un alumno,la titulacion en la que esta matriculado y la nota media de dicho alumno.Tambien, hay una relacion que liga una lınea aerea, el numero de vuelo, elpunto de partida, el destino, la hora de salida y la hora de llegada de unvuelo. Estas relaciones involucran elementos de varios conjuntos y son muyutilizadas para representar bases de datos informaticas.

Definicion 24. Si tenemos n conjuntos, Ai con i = 1, . . . , n, se dice que unsubconjunto R ⊆ A1 × · · · × An es una relacion sobre A1, A2, . . . , An. Noscentraremos en el caso n = 2. Dados dos conjuntos A y B, una relacion

binaria de A en B es un subconjunto cualquiera R del producto cartesianoA× B.

Si el par ordenado (a, b) pertenece a R, se dira que a esta relacionadocon b, y se denotara aRb.

Dado un conjunto A, se llama relacion en A a cualquier subconjunto Rde A×A.

Una relacion en A es, por tanto, una relacion en la que coinciden elconjunto inicial y el final.

Ejemplo 27. i) Para los conjuntos A y B del ejemplo 26, se tiene que

A× B = {(1, a) , (1, b) , (2, a) , (2, b) , (3, a) , (3, b)}.

Una posible relacion serıa R = {(1, a) , (2, b) , (3, a)}.

En la figura 2.9 on the following page se muestran, mediante puntos,los elementos de A× B, y mediante cırculos los de R.

ii) Para el producto cartesiano R × R, seran A = B = R. Una posiblerelacion podrıa ser C = {(x, y) ∈ R × R ; x2 + y2 = r2}, siendo r unnumero real positivo.

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A

B

1 2 3

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b

b b b

b b b

Figura 2.9: Representacion graficade R ⊂ A× B

R

R

r

Figura 2.10: Representacion grafi-ca de C ⊂ R × R

1

A

2

B

3

C

4

D

5

E

6

F

7

G

8

H

9

I

10

J

Figura 2.11: Tablero de una parti-da de barcos: X × Y .

1

A

2

B

3

C

4

D

5

E

6

F

7

G

8

H

9

I

10

J

Figura 2.12: Flota de barcos (F)y torpedos disparados (T ) en untablero de barcos (X × Y ).

En la figura 2.10 se muestran los conjuntos A y B (los ejes cartesianos),y toda la superficie del papel, en la que se encuentran los ejes, queconstituye el producto cartesiano A×B = R × R = R2. Los elementosde la relacion C seran los puntos de ese plano que verifiquen la ecuacionque la caracteriza. En la figura, esos puntos se encuentran sobre la lıneafina que, como se aprecia, forma una circunferencia de radio r.

iii) El estado de una partida de un juego de barcos se determina, habitual-mente, en un tablero cuadrado de 100 casillas, ordenadas en 10 filas y10 columnas numeradas respectivamente del 1 al 10 y de la A a la J ,tal como se muestra en la figura 2.11. Si llamamos X al conjunto delas filas del tablero e Y al de las columnas, las casillas del tablero seranpares ordenados de la forma (x, y) ∈ X × Y .

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2.3. RELACIONES 55

La situacion de la flota de barcos en el tablero bien puede considerarseuna relacion F ⊂ X×Y . En concreto, los barcos que se muestran en eltablero de la figura 2.12 on the preceding page constituyen la relacion:

F = {(B, 2) , (B, 3) , (B, 4) , (E, 8) , (F, 8) , (G, 8) , (H, 3) , (H, 4) , (H, 5)}

Por otra parte, los sucesivos intentos de hundir la flota, indicados enla figura 2.12 on the facing page mediante torpedos, constituyen otrarelacion T de la forma:

T = {(D, 6) , (E, 2) , (F, 8) , (H, 5) , (I, 9)}

Los impactos que los torpedos han producido en los barcos, seran larelacion interseccion entre ambas: I = F ∩ T = {(F, 8), (H, 5)}.

2.3.1. Propiedades de una relacion binaria

Sea A un conjunto y R una relacion binaria en A, Se dice que R es

i) Reflexiva si∀a ∈ A aRa

ii) Simetrica si∀a1, a2 ∈ A [a1Ra2 =⇒ a2Ra1]

iii) Antisimetrica si

∀a1, a2 ∈ A [(a1Ra2) ∧ (a2Ra1) =⇒ a1 = a2]

iv) Transitiva si

∀a1, a2, a3 ∈ A [(a1Ra2) ∧ (a2Ra3) =⇒ a1Ra3]

Ejemplo 28. i) Dado cualquier conjunto A, la relacion (⊆) “estar con-tenido en” definida en P(A) es reflexiva, antisimetrica y transitiva.

ii) Si A = N,Z,Q o R, la relacion (≤) “ser menor o igual que” es tambienreflexiva, antisimetrica y transitiva.

iii) Dados dos numeros enteros a y b, se dice que a divide a b y se denotaa|b, si existe un numero entero m tal que b = am. Es facil comprobarque es reflexiva y transitiva. Cuando la restringimos a un subconjuntoA de numeros enteros del mismo signo (es decir A ⊆ Z+ o A ⊆ Z−),verifica, ademas la propiedad antisimetrica.

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2.3.2. Representacion mediante grafos dirigidos

Hay varias formas de representar una relacion entre conjuntos finitos.Una de ellas es enumerar sus pares ordenados. Hay otra forma importante derepresentar una relacion binaria en A, si el conjunto A es finito, y es con ungrafo dirigido. Para ello, se dibujan tantos puntos como elementos tenga A yuna flecha de a a b si (a, b) ∈ R o, lo que es lo mismo, si aRb. En el grafo sevisualizan las distintas propiedades de la relacion. Por ejemplo, la relacion esreflexiva si, y solo si, hay un lazo en cada vertice.

Cuando la relacion es simetrica, en vez de flechas consideraremos unaarista (segmento).

Ejercicio Dibuja el grafo dirigido que representa la relacion en A ={a, b, c, d, e}

R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, d), (d, a), (d, b)}.

2.3.3. Relacion de Equivalencia

Definicion 25. Una relacion de equivalencia en un conjunto A es unarelacion R que satisface las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva.

En adelante, utilizaremos el sımbolo ∼ para referirnos a una relacion deequivalencia.

Las relaciones de equivalencia permiten agrupar elementos relacionadosentre sı en subconjuntos llamados clases de equivalencia:

Definicion 26. Dado un conjunto A dotado de una relacion de equivalencia∼, se llama clase de equivalencia del elemento a ∈ A, y se denota por[a], al conjunto de los elementos de A que estan relacionados con a mediante∼, es decir:

[a] = {x ∈ A ; x ∼ a}

Ejemplo 29. En Z, la relacion:

a ≡2 b⇐⇒ a− b es un multiplo de 2

es una relacion de equivalencia. Esta relacion se puede extender, consideran-do cualquier entero positivo m y definiendo:

a ≡m b⇐⇒ a− b es un multiplo de m

Un numero entero x pertenece a la clase de equivalencia [r], con 0 ≤ r ≤m− 1, si r es el resto de la division de x entre m.

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2.3. RELACIONES 57

La relacion de equivalencia del ejemplo m = 2 divide a los elementos delconjunto Z en dos clases de equivalencia:

A = {los numeros pares} y la otra B = {los numeros impares}.

Si la relacion es ≡m, tenemos m clases de equivalencia: [0], [1], . . . , [m−1].

Propiedades 5. Las clases de equivalencia verifican las siguientes propiedades:

i) Dos elementos a1 y a2 estan relacionados entre sı (a1 ∼ a2) si, y solo si,determinan la misma clase de equivalencia ([a1] = [a2]). Teniendo estoen cuenta, una clase de equivalencia puede representarse por cualquierade sus elementos.

Demostracion. Si a1 ∼ a2 y a ∈ [a1], entonces a ∼ a1 y a1 ∼ a2, nospermiten deducir que a ∼ a2, es decir a ∈ [a2].

Recıprocamente, si las clases coinciden, entonces a1 ∈ [a1] = [a2], esdecir a1 ∼ a2.

ii) Dos elementos a1 y a2 no estan relacionados si, y solo si, [a1]∩[a2] = ∅.

Demostracion. Si a1 6∼ a2 y a ∈ [a1] ∩ [a2], entonces a1 ∼ a y a ∼ a2,ası que a1 ∼ a2, lo que contradice la hipotesis de partida. El recıprocoes analogo.

Definicion 27. Una familia {Ai}i∈I de subconjuntos no vacıos de un con-junto A que verifica:

A =⋃

i∈I

Ai

Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j

se le llama particion de A.

Es facil comprobar que una particion define una relacion de equivalenciay viceversa. Si {Ai}i∈I es una particion de A y a, b ∈ A, se dice que a ∼ b si,y solo si, existe i ∈ I tal que a, b ∈ Ai.

Ejemplo 30. Sea A = {cadenas de longitud 8 formadas por 0 y 1}

i) Los conjuntos A1 = {cadenas en A que empiezan por 1}, A2 = {cadenasen A que empiezan por 00} y A3 = {cadenas en A que empiezan por01} forman una particion de A.

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ii) Los conjuntos A1 = {cadenas en A que empiezan por 11}, A2 ={cadenas en A que empiezan por 00} y A3 = {cadenas en A que em-piezan por 01} no forman una particion de A.

Definicion 28. Dada una relacion de equivalencia ∼ definida en un conjuntoA, se llama conjunto cociente de A respecto a ∼, y se denota A/ ∼, alconjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia determinadas en Apor ∼. En el ejemplo que estamos manejando, el conjunto cociente Z/ ≡m

tiene m elementos. Este conjunto se denota Zm y se llama conjunto de restosmodulo m.

2.3.4. Relacion de orden

A menudo empleamos relaciones para ordenar algunos o todos los elemen-tos de un conjunto.

Definicion 29. Si 4 es una relacion binaria en A reflexiva, antisimetrica ytransitiva, se dice que es una relacion de orden.

Una relacion de orden 4 en un conjunto A es de orden total si dadosdos elementos cualesquiera a, b de A, siempre se pueden comparar, es decira 4 b o b 4 a. Un ejemplo de relacion de orden total es la relacion ≤ en N,Z,Q o R, mientras que las relaciones “ ⊆ ” y “divide a” definidas anteriormenteno son de orden total.

Definicion 30. Un poset (A,4) es un conjunto A y una relacion de orden4 definida en el.

Ejemplo 31. i) Son ejemplos de posets (P(A),⊆) y (N, |).

ii) Sea (L,≤) un alfabeto, es decir un conjunto finito totalmente ordenadoy sea L∗ el conjunto de palabras que se pueden formar con los elementosde L. El orden de L se puede extender a L∗ siendo la relacion de ordenresultante de orden total y llamada orden lexicografico por ser el ordendel diccionario. Ası, las palabras l1l2 . . . lp y l′1l

′

2 . . . l′

q estan relacionadasy verifican que l1l2 . . . lp ≤ l′1l

′

2 . . . l′

q, si ocurre:

para algun k < p, se tiene que li = l′i (con i = 1, . . . , k), lk+1 ≤ l′k+1

y lk+1 6= l′k+1 (por ejemplo, casa y caso)

p ≤ q y li = l′i, para i = 1, . . . , p (por ejemplo, casa y casas).

iii) En la mayorıa de las organizaciones y empresas existe un enorme flujode informacion. Muchas veces este flujo de informacion esta restringido

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2.3. RELACIONES 59

por niveles de seguridad. Para organizar los niveles de seguridad sepuede utilizar una relacion de orden de la siguiente manera: a cadanivel se le asigna un par (k, A), donde A es un subconjunto de lasdistintas categorıas dentro de la organizacion (por ejemplo, categorıasprofesionales), y k es un numero entre 0 y 3. Es muy sencillo estableceruna relacion de orden entre estos pares de elementos, ya que (k1, A1) ≤(k2, A2) si y solo si A1 ⊂ A2 y k1 ≤ k2. Una vez que se ha establecidoesta relacion de orden, se permitira el paso de informacion de un nivel(k, A) a otro (n,B) si, y solamente si, (k, A) ≤ (n,B).

Por ejemplo, en un gobierno de un paıs podemos definir las categorıas{Presidente, Primer Ministro, Ministro, Secretario}. Una informacionde tipo (2, {Presidente, Secretario}) podra ser utilizada por una infor-macion tipo (2, {Presidente, Secretario, Ministro}), pero no al reves.

Cuando (A,4) es un poset finito, se puede representar con un diagramade Hasse que consiste en un conjunto de vertices (denotando los elementosde A) y una serie de aristas (sin flecha). Dibujaremos una arista ascendentede x a y si y cubre a x, es decir, x ≤ y y no hay “elementos intermedios”entre ambos, es decir, si z ∈ A es tal que x ≤ z ≤ y, entonces z = x o z = y.

Definicion 31. Dos posets (A,4) y (B,≤) son isomorfos si existe unaaplicacion biyectiva f : A→ B, de modo que:

a 4 a′ ⇐⇒ f(a) ≤ f(a′).

Ejemplo 32. Los posets (P({a, b, c}),⊆), (D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, |)1 y ({0, 1}3, R) son isomorfos 2.

D30

12

3

5

6

10

1530

1Dm denota el conjunto de divisores positivos de m.2R es la relacion dada por (a, b, c) ≤ (a′, b′, c′) ⇔ (a ≤ a′) ∧ (b ≤ b′) ∧ (c ≤ c′)

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2.3.5. Elementos distinguidos en un poset

Sea (P,≤) un poset.

Definicion 32. Un elemento m ∈ P es un maximal si 3

¬∃p ∈ P [(m ≤ p) ∧ (m 6= p)],

es decir, no hay elementos en P “estrictamente mayores” que m.

Definicion 33. Un elemento n ∈ P es un minimal si 4

¬∃p ∈ P [(p ≤ n) ∧ (n 6= p)],

es decir, no hay elementos en P “estrictamente menores” que n.

Un poset puede tener varios maximales y varios minimales y, si es finito,tiene al menos un maximal y al menos un minimal. Si P es un poset finito,dado p ∈ P existe al menos un maximalm de P (respectivamente, un minimaln de P ) tal que p ≤ m (respectivamente, n ≤ p).

Definicion 34. Un elemento M ∈ P es maximo de P si p ≤M , para todop ∈ P .

Definicion 35. Un elemento m ∈ P es mınimo de P si m ≤ p, para todop ∈ P .

Proposicion 2. Se verifican los siguientes enunciados:

i) El maximo, si existe, es unico.

ii) El mınimo, si existe, es unico.

iii) Si P es finito, P tiene maximo si, y solo si, tiene un un unico maximal.

iv) Si P es finito, P tiene mınimo si, y solo si, tiene un un unico minimal.

Sea ahora Q ⊆ P un subconjunto de P .

Definicion 36. Un elemento a ∈ P es una cota superior de Q en P siq ≤ a, para cualquier q ∈ Q.

Definicion 37. Un elemento b ∈ P es una cota inferior de Q en P sib ≤ q, para cualquier q ∈ Q.

3Equivalentemente, ∀p ∈ P [(m ≤ p) → (m = p)].4Equivalentemente, ∀p ∈ P [(p ≤ n) → (n = p)].

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2.3. RELACIONES 61

Definicion 38. Un elemento a ∈ P es supremo de Q si

a es una cota superior de Q en P , es decir, q ≤ a, para todo q ∈ Q.

Si b es otra cota superior de Q en P , necesariamente a ≤ b.

Queda claro que, si el conjunto de cotas superiores de Q en P es no vacıo,entonces el supremo es el mınimo de dicho conjunto.

Definicion 39. Un elemento c ∈ P es ınfimo de Q si

c es una cota inferior de Q en P , es decir, c ≤ q, para todo q ∈ Q.

Si d es otra cota inferior de Q en P , necesariamente d ≤ c.

Igual que ocurre con el supremo, si el conjunto de cotas inferiores de Qen P es no vacıo, entonces el ınfimo es el maximo de dicho conjunto.

Proposicion 3. Se verifican los siguientes enunciados:

i) El supremo de Q, si existe, es unico.

ii) El ınfimo de Q, si existe, es unico.

iii) Existe el maximo de Q si, y solo si, existe el supremo y este es unelemento de Q.

iv) Existe el mınimo de Q si, y solo si, existe el ınfimo y este es un elementode Q.

Ejemplo 33. En el conjunto P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 20}, se considerala relacion de orden parcial de divisibilidad y el subconjunto Q = {1, 2, 4, 10}.Es facil ver que Q no tiene maximo porque tiene dos maximales (4 y 10). Elsupremo de Q en P es 20. Por otro lado, el unico minimal 1 es mınimo eınfimo. Por su parte, P tiene tres maximales (8, 12 y 20), no tiene maximoy su mınimo es 1.

P

1

23 5

6 10

128

4

20

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2.4. Aplicaciones

El concepto de aplicacion (funcion) es de gran importancia en Informati-ca. Una funcion es el modo mas natural de implementar la correspondenciaentre los datos y el resultado de un proceso de calculo en un ordenador. Losllamados lenguajes funcionales como OCAML, HASKELL, etc., se funda-mentan en este concepto y suelen identificar programa y funcion.

Definicion 40. Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Una aplicacion f deA en B es una regla que asocia a cada elemento a de A un unico elementode B que se denomina imagen de a y se denota f(a).

El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final. La relacionentre a y b debida a f se suele representar de la forma:

f : A −→ Ba f (a) = b

Se suele denominar funcion a la correspondencia f : A → B si A y Bson conjuntos numericos. Con frecuencia, se utiliza la letra x para denotarlos elementos del conjunto inicial de f , y la letra y para los elementos delconjunto final.

Hz·10144, 28

rojo

4, 63

naranja

5, 17

amarillo

5, 35

verde

6, 12

azul

6, 97

violeta

7, 49

Figura 2.13: Aplicacion del espectro visible

Ejemplo 34. i) Se puede considerar que el arco iris define una aplicacionque asocia a cada rango de frecuencias del espectro electromagnetico,un color de los que percibimos tal como se muestra en la figura 2.13.

ii) El horario de un ferrocarril define una aplicacion que asocia a cadaestacion a, b, c, . . . un numero que sirve para expresar la medida deltiempo (8h, 8h30m, 8h57m,. . .) que invertira el tren en llegar a cadaestacion.

Puesto que a cada estacion solo le puede corresponder una hora dellegada del tren, esta correspondencia entre estaciones y horarios esefectivamente una aplicacion.

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2.4. APLICACIONES 63

iii) Una tabla de seguros de vida es una funcion que asocia cada edad delsolicitante (1 ano, 2 anos, 3 anos, etc.) el importe de las primas queha de pagar para suscribir tal seguro.

iv) La regla que permite calcular el perımetro p de una circunferencia mul-tiplicando su diametro 2r (siendo r el radio) por la constante π, esuna funcion real de variable real, ya que el conjunto inicial es el de losnumeros reales, R, y coincide con el de llegada. Se representa:

p = f(r) = 2πr

v) La correspondencia que asigna a cada numero real x el valor real rsiendo r2 = x no es aplicacion.

Dos aplicaciones f : A→ B y g : C → D son iguales si A = C, B = D yf(a) = g(a), para cualquier elemento a de A.

Definicion 41. Sea f : A → B una aplicacion y sean A1 ⊆ A y B1 ⊆ Bdos subconjuntos de A y B respectivamente. Definimos la imagen por f delconjunto A1 como:

f(A1) := {f(a) ; a ∈ A1} ⊆ B

y la imagen recıproca por f del conjunto B1 como:

f−1(B1) := {a ∈ A ; f(a) ∈ B1} ⊆ A

Si tomamos como A1 = A, al conjunto f(A) = Imf le denominamosconjunto imagen.

Ejemplo 35. Sea f : A = {1, 2, 3} → B = {x, y, z, t} la aplicacion dada porf(1) = x, f(2) = z, f(3) = z. Es claro que

f({1}) = {x}, f({2}) = {z}, f({3}) = {z}

y, por otro lado,

f−1({x, y}) = {1} y f−1({y, t}) = ∅.

Propiedades 6. Sea f : A → B una aplicacion y sean A1, A2 ⊆ A yB1, B2 ⊆ B subconjuntos de A y B respectivamente. Se verifica:

i) f(∅) = ∅, f−1(∅) = ∅ y f−1(B) = A

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b

b

b

b

b

b

b

1

2

3

x

y

z

t

Figura 2.14: Aplicacion entre conjuntos

ii) Si A1 ⊆ A2, entonces f(A1) ⊆ f(A2)

iii) Si B1 ⊆ B2, entonces f−1(B1) ⊆ f−1(B2)

iv) f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2)

La igualdad no es cierta, en general. Basta tomar A1 = {2} y A2 = {3}en el el ejemplo 35.

v) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2)

vi) f−1(B1 ∩ B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2)

vii) f−1(B1 ∪ B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2)

viii) A1 ⊆ f−1 (f(A1))

Si tomamos A1 = {2} en el ejemplo 35 comprobamos que {2} ⊂f−1(f({2}) = f−1({z}) = {2, 3}

ix) f (f−1(B1)) ⊆ B1

Si tomamos B1 = B = {x, y, z, t} en el ejemplo 35 comprobamos quef(f−1({x, y, z, t}) = f({1, 2, 3}) = {x, z} ⊂ {x, y, z, t}.

Definicion 42. Se dice que una aplicacion f : A→ B entre A y B es:

i) inyectiva si dos elementos distintos de A tienen diferente imagen enB, esto es:

∀ a1, a2 ∈ A [a1 6= a2 =⇒ f(a1) 6= f(a2)]

ii) sobreyectiva si todo elemento de B es imagen, al menos, de un ele-mento de A, es decir:

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2.4. APLICACIONES 65

∀b ∈ B, ∃a ∈ A, [b = f (a)].

iii) biyectiva o biunıvoca si es inyectiva y sobreyectiva.

Es interesante destacar que si los conjuntos A y B son finitos y f : A→ Bes una aplicacion entre ellos, se verifica que:

Si f es inyectiva entonces |A| ≤ |B|.

Si f es sobreyectiva, entonces |A| ≥ |B|.

Si f es biyectiva entonces |A| = |B|.

Conviene destacar que, si bien no todas las aplicaciones que se pueden definirentre conjuntos con el mismo cardinal son biyectivas, siempre es posible en-contrar una aplicacion biyectiva entre ellos.

Ademas, se verifica el siguiente resultado que sera de utilidad en la prac-tica:

Proposicion 4. Si A y B son dos conjuntos finitos con el mismo cardinal yf : A→ B es una aplicacion entre ellos, son equivalentes:

f es inyectiva

f es sobreyectiva

f es biyectiva

Demostracion. Si A = {a1, . . . , an}, entonces f(A) = {f(a1), . . . , f(an)} y, alser f inyectiva, |f(A)| = |A| = |B|. Puesto que f(A) ⊆ B y tienen el mismocardinal, es obvio que f(A) = B, es decir f es sobreyectiva. Recıprocamente,si f es sobreyectiva y f(a1) = f(a2) con a1 6= a2, entonces |f(A)| < |A| = |B|,lo que contradice la sobreyectividad de f .

Definicion 43. Dados tres conjuntos A, B y C, y dos aplicaciones f y gtales que

f : A −→ Ba −→ f (a) = b

g : B −→ Cb −→ g (b) = c

se llama composicion de f con g a la aplicacion:

g ◦ f : A −→ Ca −→ (g ◦ f) (a) = g [f (a)] = g (b) = c

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Ejemplo 36. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y sean f, g : A → A las aplicacionesdefinidas por f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = 1 y g(1) = 5, g(2) =4, g(3) = 3, g(4) = 2 y g(5) = 1. Es evidente que (g◦f)(a) = 5 y (f◦g)(a) = 1,para todo a ∈ A. Por lo tanto, g ◦ f 6= f ◦ g.

La composicion de aplicaciones tiene la propiedad asociativa, es decir,dadas tres aplicaciones f : A −→ B, g : B −→ C y h : C −→ D :

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f

Proposicion 5. Sean f : A→ B y g : B → C dos aplicaciones cualesquiera.Se verifica que:

Si f y g son inyectivas, tambien lo es g ◦ f

Si f y g son sobreyectivas, tambien lo es g ◦ f

Si f y g son biyectivas, tambien lo es g ◦ f

Demostracion. Si f y g son inyectivas y a1, a2 son dos elementos de A talesque (g ◦ f)(a1) = (g ◦ f)(a2), entonces g(f(a1)) = g(f(a2)) (por definicion decomposicion). Puesto que g es inyectiva, se verifica que f(a1) = f(a2) y, lainyectividad de f permite concluir que a1 = a2.

La demostracion de las otras dos afirmaciones es un sencillo ejercicio.

Definicion 44. Se llama aplicacion identidad a una aplicacion IA de A aA de la forma:

IA : A −→ Aa −→ IA(a) = a

Es inmediato comprobar que dada cualquier aplicacion f : A → B severifica que f ◦ IA = f = IB ◦ f

Definicion 45. Sea f : A → B una aplicacion. Se llama aplicacion in-

versa de f , y se denota por f−1, a una aplicacion f−1 : B → A tal que, sib es un elemento de B,

f−1(b) = a⇐⇒ b = f(a)

Puede que no exista aplicacion inversa de f .

Proposicion 6. Dada una aplicacion f : A→ B, f admite inversa si, y solosi, f es biyectiva. Ademas,

Si f es inversible, su inversa f−1 es la unica aplicacion verificandof ◦ f−1 = IB y f−1 ◦ f = IA

Si f es inversible, su inversa f−1 tambien lo es y (f−1)−1 = f

Si f : A → B y g : B → C son dos aplicaciones inversibles, entoncesg ◦ f tambien lo es y (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

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2.5. GRAFOS 67

2.5. Grafos

La teorıa de grafos es una disciplina antigua con muchas aplicacionesmodernas. Sus ideas basicas las introdujo el gran matematico suizo Leon-hard Euler en el siglo XVIII. Euler utilizo los grafos para resolver el famosoproblema de los puentes de Konigsberg.

Los grafos se emplean para resolver problemas de diversas areas. Puedenutilizarse, por ejemplo, para determinar si se puede o no implementar uncircuito sobre una placa de una sola capa, para estudiar la estructura de unared de internet, para determinar si dos ordenadores estan conectados o nodentro de una red informatica, para hallar el camino mas corto entre dosciudades en una red de transportes, ...

El primer trabajo sobre la teorıa de grafos aparece en 1736 y fue escritopor el matematico Leonnard Euler (1700-1783). Este trabajo comienza con ladiscusion de un problema surgido en la ciudad de Konigsberg (ahora Kalin-ingrado, Rusia). La ciudad estaba dividida en cuatro partes por los dos brazosen los que se bifurca el rıo Pregel. Estas cuatro partes eran las dos regionesa orillas del rıo Pregel, la isla de Kneiphof y la region que quedaba entreambos brazos del rıo. Siete puentes conectaban entre sı estas regiones en elSiglo XVII. La figura siguiente ilustra las regiones y los puentes.

RÌO PREGEL B C

A

D

Los habitantes se preguntaban: ¿Es posible recorrer los siete puentespasando por todos ellos una unica vez, partiendo y llegando al mismo sitio?Para tratar de resolver el problema, conocido como Problema de los puentesde Konigsberg, Euler represento esquematicamente las areas de tierra porpuntos y los puentes por lıneas conectando esos puntos. El resultado consti-tuye un ejemplo de grafo:

e1

e2

e4

e6

e7

A

B C

D

e5

e3

V = {A,B,C,D}E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}e1 = {A,B}, . . . e7 = {C,D}

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De la obtencion de algunas propiedades basicas de grafos, Euler dedujoque no era posible recorrer todos los puentes una sola vez.

2.6. Conceptos basicos

Consideraremos grafos finitos no dirigidos.Por ejemplo, una red de ordenadores puede ser representada por un grafo

no dirigido donde cada ordenador este representado por un punto y dos or-denadores conectados entre sı se representarıa por una arista.

Definicion 46. Un grafo es un par G = (V,E), donde V es un conjuntofinito no vacıo, cuyos elementos se llaman vertices o nodos, y E es unafamilia, cuyos elementos se llaman aristas. Una arista es un “par no orde-nado” de vertices de V .

Se dice que dos vertices u y v de G son adyacentes si {u, v} es una aristade G. Si e = {u, v}, se dice que la arista e incide en los vertices u y v, que laarista e conecta u y v, o que los vertices u y v son extremos de la arista e.

Segun esta definicion de grafo, se admiten aristas multiples, es decir,aristas distintas que inciden en los mismos vertices (como las aristas e1 ye2 del ejemplo de los puentes de Konigsberg) y lazos, es decir, aristas de laforma e = {v, v}. Se dira que un grafo es simple si no tiene lazos ni aristasmultiples.

Nota: No todos los textos utilizan la misma nomenclatura.

Si G = (V,E) es un grafo con |V | = n, se dice que G es un grafo finito deorden n.

El grado de un vertice de un grafo es el numero de aristas incidentes enel, exceptuando los lazos, cada uno de los cuales contribuye con dos unidadesal grado del vertice. El grado del vertice v se denota por ∂(v)

A los vertices de grado 0 se les denomina aislados. Se dice que un verticees una hoja, si tiene grado 1.

Ejemplo 37.

v1

v2

v3v4

v5

v7

v6

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2.6. CONCEPTOS BASICOS 69

∂(v1) = 2 ∂(v6) = 0 ∂(v7) = 1

∂(v2) = 7 ∂(v5) = 2 ∂(v3) = 4 ∂(v4) = 4

Proposicion 7. La suma de los grados de todos los vertices de un grafoG = (V,E) es igual al doble del numero de aristas.

Demostracion. Al calcular la suma de los grados de los vertices, cada aristacontribuye con dos unidades, ya que cada una es incidente con dos vertices(posiblemente iguales). Luego la suma de los grados de los vertices es 2 ×no de aristas.

Proposicion 8. En un grafo finito el numero de vertices de grado impar espar.

Demostracion. Sean V1 y V2 el conjunto de vertices de grado impar y elconjunto de vertices de grado par, respectivamente, del grafo G = (V,E).Entonces,

∑

v∈V

∂(V ) =∑

v∈V1

∂(v) +∑

v∈V2

∂(v)

Como ∂(v) es par si v es un elemento de V2,∑

v∈V2∂(v) es par. Entonces,

∑

v∈V1

∂(v) =∑

v∈V

∂(v) −∑

v∈V2

∂(v) = 2|E| −∑

v∈V2

∂(v)

es par. Como todos los terminos que se suman en∑

v∈V1

∂(v) son impares, tiene

que haber un numero par de sumandos. Por tanto, hay un numero par devertices de grado impar.

Definicion 47. Sea G = (V,E) un grafo. Si G′ = (V ′, E ′) es otro grafodonde V ′ ⊆ V y E ′ ⊆ E se dice que G′ es subgrafo de G (notese que,puesto que G′ es un grafo, cada arista de E ′ es incidente con vertices de V ′).

Ejemplo 38. Sea G = (V,E) de los puentes de Konigsberg. El grafo G′ =(V ′, E ′) con V ′ = {v1, v3, v4} y E ′ = {e5, e7} es subgrafo de G, pero G′′ =(V ′′, E ′′) con V ′′ = {v1, v3, v4} y E ′′ = {e5, e6, e7} no lo es, pues e6 = {v2, v4}y v2 /∈ V ′′.

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e1

e2

e4

e5

e6

e7

v1

v2 v4

v3

G = (V,E)

e3 e7

e5

v3

v4

v1G = (V ,E )

e7

e5

v3

v4

v1

e6

G = (V ,E )

Ejemplo 39. Un grafo puede tener varios subgrafos:

Grafo

a b

cd

1

2

3 4

5

a b

cd

1

2

4

a

cd

3

a b

cd

a b

cd

ab c d e

a b

cd

f

a

cdg

a b

cd

h

a

c

i

Subgrafos

2.7. Matriz de adyacencia de un grafo

Existen distintas maneras de representar un grafo de forma convenientepara su estudio mediante un ordenador. Las mas importantes son las repre-sentaciones matriciales, una de ellas es la siguiente.

Sea G = (V,E) un grafo con |V | = n, supongamos que los vertices de Gse enumeran como v1, v2, ..., vn. La matriz de adyacencia de G con respectoa este listado de los vertices es la matriz cuadrada de orden n cuyo elementode lugar (i, j) es

aij = numero de aristas que unen el vertice vi con el vertice vj

Ejemplo 40. Veamos un ejemplo de matriz de adyacencia:

Mat

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2.7. MATRIZ DE ADYACENCIA DE UN GRAFO 71

v1 v2

v3 v4

v5

v1 v2 v3 v4 v5

v1

v2

v3

v4

v5

0 1 1 0 01 0 1 1 01 1 0 1 10 1 1 0 00 0 1 0 0

Notese que la matriz de adyacencia es simetrica y que permite conocerrapidamente el grado de un vertice vi, simplemente sumando los elementosde la fila o columna i de A (cada lazo, al igual que antes, cuenta 2).

n∑

j=1

aij = ∂vi =n

∑

j=1

aji

Si G no tiene lazos aii = 0, ∀i.Si G es simple, su matriz de adyacencia solo tiene ceros y unos.

Ejemplo 41. En el ejemplo anterior de los puentes de Konigsberg

e1

e2

e4

e5

e6

e7

v1

v2 v4

v3

G = (V,E)

e3

la matriz A es una matriz de orden 4

A =

0 2 0 12 0 2 10 2 0 11 1 1 0

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v1

v2

v3

v4

v5 v6

v7

e1

e2

A =

0 2 0 1 0 0 02 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 01 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0

El elemento a44 es 2 pues e1 “entra y sale” del mismo vertice v4, por loque ha de ser contada dos veces en v4, anade 2 unidades al grado de v4.

Es claro que esta matriz especifica completamente el grafo que representapuesto que exhibe todo lo referente a los vertices, aristas y las relaciones entreellos.

2.8. Grafos isomorfos

A menudo se necesita saber si es posible o no dibujar dos grafos de lamisma forma. Se dispone de una terminologıa muy util para los grafos quetienen la misma estructura.

Definicion 48. Dos grafos G = (V,E) y G′ = (V ′, E ′) se dice que sonisomorfos si hay aplicaciones biyectivas ϕ : V → V ′ y ψ : E → E ′ tales que

e = {u, v} ∈ E ⇔ ψ(e) = {ϕ(u), ϕ(v)} ∈ E ′.

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2.8. GRAFOS ISOMORFOS 73

Son isomorfos Son isomorfos

Son isomorfos No isomorfos No isomorfos

Son isomorfos

Ver si dos grafos son o no isomorfos es difıcil. Para resolver este problemasuelen buscarse datos necesariamente comunes a todos los grafos isomorfos:

i) |V | = |V ′|

ii) |E| = |E ′|

iii) ∂v = ∂(ϕ(v)), ∀v ∈ V

Aunque no es suficiente el que estos tres puntos se cumplan para que dosgrafos sean isomorfos. Por ejemplo:

@ @

Si dos grafos G y G′ son isomorfos solo varıa la apariencia, es decir,que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos, circuitos, numero devertices, numero de aristas, etc.

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2.9. Conexion

De manera informal, un camino es una secuencia de aristas que comienzanen un vertice del grafo y recorre ciertas aristas del grafo siempre conectandopares de vertices adyacentes.

Definicion 49. Sea k un entero no negativo y sean u y v vertices de un grafoG = (V,E). Un camino o trayectoria de longitud k de u a v en G es unasecuencia de k aristas e1, e2, ..., ek tal que e1 = {x0, x1}, e2 = {x1, x2}, ...,ek = {xk−1, xk}, donde x0 = u y xk = v.

Si el grafo es simple, denotamos este camino por su secuencia de verticesx0, x1, ..., xk (ya que al enumerar estos vertices se determina el camino deforma unica). Notese que un camino de longitud cero consiste en un unicovertice.

Un camino que comienza y termina en un mismo vertice se llama circuito.Por ejemplo, un lazo es un circuito de longitud 1.

Un camino se dice simple o propio si en el no se repiten los vertices.Cuando se trata de un circuito, de dira que es simple o propio si los unicosvertices que se repiten son los extremos.

Ejemplo 42. En el grafo de la figura (a), d, a, c, a, b es un camino (no simple)de longitud 4, y a, c, b, a es un circuito (simple) de longitud 3. Sin embargo,a, b, d, c no es una trayectoria ya que {b, d} no es una arista del grafo.

El numero de caminos de cierta longitud que hay entre dos vertices de ungrafo se puede determinar usando su matriz de adyacencia.

Teorema 3. Sea G un grafo, A su matriz de adyacencia con respecto a laordenacion v1, v2, ..., vn y k un entero positivo. El numero de caminos delongitud k de vi a vj es igual al elemento de lugar (i, j) de la matriz Ak.

Demostracion.

Se hace por induccion en k.

i) Para k = 1 es la definicion de A.

ii) Supongamos que el resultado es cierto para r, es decir, que el elementodel lugar (i, j) de la matriz Ar es el numero de caminos de longitud rde vi a vj. Como Ar+1 = ArA, el elemento del lugar (i, j) de Ar+1 es elproducto de la fila i de Ar por la columna j de A, es decir,

bi1a1j + bi2a2j + ...+ binanj,

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2.9. CONEXION 75

donde bis es el elemento del lugar (i, s) de Ar.

Un camino de longitud r+ 1 de vi a vj esta formado por un camino delongitud r de vi a algun vertice intermedio vs y por una arista de vs avj . Por la regla del producto, el numero de caminos de ese tipo es elproducto del numero de caminos de longitud r de vi a vs, que es bis,por el numero de aristas de vs a vj, que es asj . Al sumar todos esosproductos para todos los posibles vertices intermedios vs, se obtiene elresultado que buscamos en virtud de la regla de la suma.

Nota. Si entre dos vertices de un grafo de orden n hay un camino delongitud mayor o igual que n, algun vertice debe estar repetido y esto indicaque dicho camino tiene algun circuito. Suprimiendo estos de modo que elcamino resultante no pase por ningun vertice mas de una vez, se obtiene uncamino de longitud menor que n que conecta los vertices dados.

En el grafo (a) (ver 39), dados dos vertices cualesquiera siempre se puedeencontrar una trayectoria que los una. Esto conduce a un concepto muyimportante en la teorıa de grafos: la conexion.

Definicion 50. Si u y v son vertices de un grafo G, se dice que estan

conectados si, y solo si, u = v o existe un camino que los une.

Esta es una relacion de equivalencia en V y sus clases de equivalenciadefinen una particion de V , {V1, V2, . . . , Vr}. Para cada i = 1, 2, . . . , r elsubgrafo inducido (Vi, EV i) tiene todas las aristas de G que inciden en dosvertices cualesquiera de Vi y se denomina componente conexa de G. Dosgrafos isomorfos tienen el mismo numero de componentes conexas.

Definicion 51. Un grafo se dice conexo si tiene una unica componenteconexa, es decir, todos los vertices del grafo estan relacionados (cada par devertices estan conectados, al menos, por un camino). En otro caso el grafose dice disconexo.

Ejemplo 43. En el ejemplo ya visto 39,

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Grafo

a b

cd

1

2

3 4

5

a b

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1

2

4

a

cd

3

a b

cd

a b

cd

ab c d e

a b

cd

f

a

cdg

a b

cd

h

a

c

i

Subgrafos

Son grafos conexos a, b, c, e, f, i. Son grafos no conexos d (tiene dos com-ponentes), g (tiene 3 componentes), h (tiene dos componentes).

Las componentes conexas de un grafo son sus subgrafos conexos maxi-males.

Para comprobar si un grafo es conexo podemos utilizar la matriz de adya-cencia del grafo pues, como consecuencia del teorema 3 y de la nota anterior,se tiene que: Un grafo G es conexo si, y solo si, todos los elementos no diago-nales de A+A2 + ...+A(n−1) son no nulos, siendo A la matriz de adyacenciade G.

Ejemplo 44. La red de internet se puede pensar como un grafo, donde losvertices son las paginas web, y las aristas enlaces entre ellas. Para hacernosuna idea de la magnitud de este grafo, diremos que en 1999 una instantaneade la red produjo un grafo con mas de 200 millones de vertices y mas de 1500millones de aristas.

Este enorme grafo tiene varias componentes conexas, estando la mayorde ellas compuesta por el 90 % de las paginas web existentes. Dentro de estaenorme componente conexa podemos definir un subgrafo, al que llamaremosGSCC (giant strongly connected component, en ingles), que es el mayor quecumple que se puede llegar a cualquier pagina web desde cualquier otra paginaweb dentro de el sin mas que seguir enlaces (notese que se puede pensar comoun grafo dirigido, de tal manera que habra una arista entre una pagina a yotra b si en la pagina a hay un enlace a la pagina b). Las paginas web que nose encuentran dentro de la GSCC se pueden clasificar en tres tipos: paginasdesde las que se puede acceder a la GSCC, pero no se puede acceder a ellasdesde la GSCC; paginas a las que se puede acceder desde la GSCC, perodesde ellas no se puede acceder a la GSCC; y paginas desde las que no se

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2.10. ARBOLES 77

accede a la GSCC ni se puede acceder desde la GSCC. Cada uno de estostipos tiene, curiosamente, mas o menos, el mismo numero de paginas web.

2.10. Arboles

Los arboles son particularmente utiles en informatica, pues se empleanen un amplio espectro de algoritmos. Por ejemplo, se usan para constuiralgoritmos eficientes que localizan elementos en una lista, para modelar pro-cedimientos que se llevan a cabo mediante una secuencia de decisiones, paraconstruir codigos Huffman (codigos compresores eficientes, que ahorran costesen la transmision de datos y en su almacenamiento), etc.

Definicion 52. Un arbol es un grafo conexo y sin circuitos.

Puesto que un arbol no puede tener circuitos, tampoco puede tener lazoso aristas multiples, por tanto, es un grafo simple.

Ejemplo 45. Son arboles los grafos siguientes

1 elemento 2 elementos 3 elementos 4 elementos 5 elementos

mientras que el siguiente no lo es

Teorema 4. Para un grafo G = (V,E) son equivalentes:

(i) G es un arbol

(ii) Cada par de vertices distintos de V esta conectados por un unico camino.

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(iii) |V | = |E| + 1 y G es conexo.

(iv) |V | = |E| + 1 y G no tiene circuitos.

Ejemplo 46. Una importante manera de conectar procesadores en paralelo esmediante un arbol. El grafo que representa este tipo de red es un arbol binariocompleto, que conecta 2k − 1 procesadores, donde k ∈ N. Un procesador queno es ni raız ni hoja tiene 3 conexiones bidireccionales, una hacia su padrey otras dos hacia sus hijos.

Veamos un ejemplo de uso de 7 procesadores en arbol que se ocupan dela tarea de sumar 8 numeros {x1, x2, . . . , x8} en 3 pasos:

Paso 1 El procesador P4 suma x1 y x2, el P5 suma x3 y x4, y ası sucesivamente,hasta P7.

Paso 2 Los procesadores envıan el resultado a sus padres P2 y P3, que sumanlos numeros que les llegan.

Paso 3 P2 y P3 envıan sus resultados a P1, que los suma, y devuelve el resul-tado.

Notese que este algoritmo en paralelo se realiza en menos pasos que en elalgoritmo en serie, que realiza 7 pasos, consistentes en sumar un numerocon el resultado de la suma de los anteriores.

b b b b

b b

b

P4 P5P6 P7

P3 P2

P1

cap´ıtulo 2 conjuntos, relaciones y...

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