Álgebra - basurto castillo

Vistenos en: www.pearsoneducacion.net

ISBN 978-607-32-0935-9

Basurto Castillo

lgebra

Basurto C

astillo

lgebra

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denritsTexto tecleadou-libros.com

LGEBRALGEBRA

Eduardo Basurto HidalgoMaestro en Ciencias en la especialidad de Matemticas

Educativas CINVESTAV

Gilberto Castillo PeaCatedrtico de la Escuela Normal Superior de Mxico

Revisin tcnicaLorenzo Snchez Alavez

Maestro de Ciencias en la especialidad de Matemtica Educativa CINVESTAV

A01_ALGEBRA-(individual).indd 1A01_ALGEBRA-(individual).indd 1 9/1/11 2:58:28 PM9/1/11 2:58:28 PM

BASURTO HIDALGO EDUARDO,CASTILLO PEA GILBERTOlgebra

Primera edicinPEARSON EDUCACIN, Mxico. 2012 ISBN: 978-607-32-0935-9 rea: CienciasFormato: 21 27 cm Pginas: 144

Adaptacin de la obra: Matemticas I, 1 Edicin, de Eduardo Basurto Hidalgo y Gilberto Castillo Pea, publicado

por Pearson Educacin de Mxico S.A., publicada como Prentice Hall, Copyright 2010. ISBN 978-607-442-426-3.

Todos los derechos reservados

Editor: Enrique Quintanar Duarte email: [email protected] Custom: Lilia Moreno OlveraEditor de desarrollo: Araceli Caldern SalasSupervisores de produccin: Gustavo Rivas Romero y Juan Jos Garca Guzmn

PRIMERA EDICIN, 2012

D.R. 2012 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5 Piso Col. Industrial Atoto C.P. 53519 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN: 978-607-32-0935-9ISBN E-BOOK: 978-607-32-0936-6

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 14 13 12 11

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LGEBRABloque 1 Expresin algebraica 4

Leccin 1 Transformaciones algebraicas I 4

Bloque 2 Operaciones fundamentales 15

Leccin 1 Transformaciones algebraicas II 15

Bloque 3 Ecuaciones lineales 60

Leccin 1 Ecuaciones lineales con una variable 60

Leccin 2 Sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables 79

Leccin 3 Situaciones que se resuelven con sistema de ecuacionesde primer grado con dos variables 94

Leccin 4 Caractersticas de los sistemas de ecuaciones lineales 3 : 3 100

Leccin 5 Sistemas de ecuaciones lineales 3 : 3. Mtodos algebraicos 105

Bloque 4 Ecuaciones cuadrticas 109

Leccin 1 Ecuaciones cuadrticas en una variable 109

Leccin 2 Situaciones que se resuelven mediante ecuaciones cuadrticas de una variable 122

Leccin 3 Ecuaciones cuadrticas en una variable 128


Parte 1Lenguaje algebraico

Unidades de competencia

Construye modelos algebraicos haciendo uso de constantes y literales para representar la realidad.

Identifi ca las caractersticas presentes en tablas, grfi cas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas, y los traduce a un lenguaje algebraico.

M01_ALGEBRA.indd 2M01_ALGEBRA.indd 2 9/8/10 1:32:45 PM9/8/10 1:32:45 PM

Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

Argumenta la solucin obtenida de un problema con mtodos numricos, gr cos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Lenguaje algebraicoCompetencias disciplinares

Conocimientos HabilidadesActitudes y valores

Analiza y modela situaciones.

Reconoce los elementos que integran una expresin algebraica.

Distingue cmo se opera cada uno de los elementos de las expresiones algebraicas.

Reconoce constantes y variables en problemas contextualizados.

Representa con expresiones algebraicas situaciones diversas.

Transforma expresiones algebraicas en representaciones equivalentes.

Asume una actitud de apertura que favorece la solucin de problemas.

Propone formas creativas de solucionar un problema.

Asume una actitud de respeto y tolerancia hacia sus compaeros y hacia su entorno; en un clima de colaboracin y ayuda mutua con responsabilidad logrando un estado de equidad e igualdad.

3


4 Bloque I

Leccin 1

Transformaciones algebraicas I

El gobierno del estado de Chiapas, para promover el turismo nacional y extranjero, pone a disposicin del pblico distintas rutas tursticas que pueden utilizarse para conocer la belleza que tiene nuestro estado.

Para ello, en la pgina de Internet de turismo estatal, muestra un mapa con lneas que representan las carreteras estatales y federales, en ellas se destacan las rutas utilizando como criterio el inters que puede tener un paseante, asimis-mo, se hace una descripcin de lo que puede encontrarse en cada ruta.

A continuacin mostramos el mapa tomado de la pgina de turismo estatal.

PRODUCTO

Bloque I Expresin algebraica

Tomado de: www.chiapaspictures.com/displayimage.php?album=48&pos=0


5Leccin 1

Ruta Maya

Sugiere al paseante una serie de destinos relacionados con las cultura maya, en ella se incluyen bellos destinos naturales, ecoturismo y ruinas arqueolgicas; todos ellos relacionados con esta civilizacin.

Ruta Zoque

El eje central de esta ruta es la etnia zoque, o como ellos se hacen llamar O'dept, que signi ca gente de palabra, en ella se puede experimentar la belleza natural que los rodea, sus costumbres, artesanas y arquitectura propias de este grupo de personas.

Ruta Culturas Vivas

Los chamulas, formados por las etnias mayas: tzotzil, tzeltal, mame, tojolobal y chol son el eje de inters que domina la Ruta Culturas Vivas, en ella destaca un recorrido en el que el paseante puede conocer algunas de las costumbres y edi ca-ciones. Es un recorrido que destaca por su contenido cultural y social.

Ruta Dos Chiapas

En esta ruta destacan dos ciudades, Chiapa de Corzo y San Cristbal, que repre-sentan el Chiapas colonial indgena y el Chiapas colonial de la corona espaola, que al mismo tiempo pueden ser dignos representantes de los leones en el escudo estatal. Esta ruta destaca por la belleza natural y cultural.

Ruta Costa Soconusco

Para los paseantes que gustan de los destinos costeros, se sugiere la Ruta Costa Soconusco, en ella destacan los manglares, el volcn Tacan, los cafetales, planta-ciones variadas y las playas.

Ruta Valles

Es un paseo por los valles chiapanecos, especialmente sugerido para el turista vido de aventuras y experiencias deportivas, en ella se disfruta el turismo rural en el que se destacan haciendas y ncas del siglo XIX.

Ruta Camino Real

Paseo sugerido por la belleza natural acompaada por hermosos paisajes paradi-siacos; el camino comienza en Comitn de Domnguez y termina a 90 kilmetros de la frontera guatemalteca. El trayecto sigue la carretera Panamericana.

De esta forma las rutas tursticas son las siguientes:


6 Bloque I

Ahora deseamos construir un modelo matemtico que permita elegir un itinerario en el que se pueda visitar algunas secciones de varias rutas y que sea cmodo en cuanto a la distancia entre cada uno de los destinos.

Para lograr el cometido empezaremos por introducir elementos matemticos que representen distintas ventajas y desventajas.

1. Consideramos introducir la variable x, que es la suma de los puntos que tienen las poblaciones por las rutas que pasan por ella, por ejemplo, Chia-pa de Corzo tendra 3 puntos debido a que por ella pasan 3 rutas tursticas, mientras que Pichucalco tiene 1 punto porque por ella pasa una sola ruta. De manera que si elegimos estos pueblos para visitar en nuestro itinerario, entonces x = 4, debido a que es la suma de los puntos de ambos pueblos.

2. Ahora tomaremos la variable y, que representa la suma de puntos por ele-gir pueblos o localidades que se encuentran una junto de la otra en una misma carretera; por ejemplo, si en el itinerario se eligen Jiquipilas y Cinta-lapa, entonces se gana un punto, ya que las poblaciones se encuentran en la misma carretera y una detrs de la otra; si se toma Jiquipilas, Cintalapa y Rosendo Salazar, la ruta tiene 2 puntos por estar estas poblaciones, una despus de otra, en la misma carretera, en este ltimo caso y = 2.

3. La variable z que utilizaremos en el itinerario se encuentra relacionada por el inters que tiene el turista que visita Chiapas; puede tomar 3 valores, 0 si el itinerario no considera ninguna poblacin del inters del turista, 5 pun-tos si se eligen 3 poblaciones que tienen destinos de inters y 10 puntos si se incluyen ms de 3 poblaciones que son de inters del turista.

Ahora podemos establecer un modelo matemtico que permita elegir un itinerario, para ello utilizaremos el valor P, que se encuentra representado por la siguiente expresin algebraica:

P = x + y + z El mejor itinerario es el que tiene la mayor cantidad de puntos.

Evala las siguientes rutas descritas a continuacin de acuerdo con las condiciones y la expresin algebraica, utiliza el espacio para realizar las operaciones necesarias.

Un turista interesado en los deportes y la aventura considera los siguientes itinerarios. Cul de ellos resultara ms atractivo de acuerdo con la representacin analtica?

1. Ocozocoautla, Cascada el Aguacero, Jiquipilas y Rosendo Salazar.

2. Berriozbal, Tuxtla Gutirrez, San Cristbal y Oxchuc.

3. Agua Azul Chabn, Agua Clara, Cascada Misolj y Palenque.


7Leccin 1

Ahora considera las siguientes situaciones:

De los itinerarios que mencionamos en el problema anterior, cul puede resultar ms adecuado para una persona interesada en visitar zonas relacionadas con etnias? Justi ca tu respuesta haciendo uso de operaciones con la expresin algebraica.

Elige 5 localidades chiapanecas que convengan visitar a un turista interesado en destinos arqueolgicos y que obtengan un buen puntaje al utilizar el modelo algebraico que hemos descrito. Utiliza el espacio para realizar operaciones.

Compara el itinerario que elegiste con el de tus compaeros. En el espacio que se muestra a continuacin escribe el que consideres ms adecuado y por qu.

Con la ayuda de tu profesor discutan qu otro tipo de variables pueden utilizarse en el modelo algebraico, por ejemplo, pueden considerar dar un puntaje por los destinos que pueden resultar ms econmicos, tambin pueden discutir si las variables descritas en el modelo que hemos utilizado son convenientes o carecen de sentido, en caso necesario, pueden substituir las variables por otras que sean ms convenientes.

Escriban sus conclusiones en las siguientes lneas, es importante considerar que es necesario justi car sus razones con sentidos matemticos:


8 Bloque I

Lenguaje comn

Lenguaje algebraico

Lenguaje comn

Lenguaje algebraico

La suma de 10 y x 10 + x La cuarta parte de un nmeroa4

Un nmero aumentado en 7 x + 7

La raz cuadrada de un nmero a

El producto de dos nmeros

a b o (a)(b) Cinco veces un nmero 5x

El cociente de dos nmeros

a/b o ab

El cubo de la diferencia de dos nmeros x y( )3

Un nmero disminuido en 4 y 4 El triple de c 3c

El cuadrado de un nmero x2Un nmero a la cuarta potencia

a4

El doble de la suma de dos nmeros 2(x + y)

La diferencia del cubo de dos nmeros x y

3 3

OperacinPalabras que se asocian con esta

operacin

Otras palabras relacionadas

Suma agregar aumentar

Resta diferencia disminuir

Multiplicacin producto tantas veces

Divisin cociente entre

Veamos algunos ejemplos comunes:

Las operaciones bsicas en matemticas se caracterizan por smbolos como +, , , /, EXP ( ) y radicales (

_ ). En el lenguaje comn, dichas operaciones llegan a ser

expresadas de diferentes formas.

Completa la siguiente tabla:

Lenguaje algebraico


9Leccin 1

1 x + y 16 Cinco veces z ms 3.7

2 Un nmero disminuido en 16

17 (a + b)3

3 Un tercio de W 18 100 (a b)

4 Cinco tercios de la mitad de x

19 k x3

5 1 entre el doble de t 20 Ana tiene dos aos ms que Juan

6 El doble de la suma de b y 1

21 Ramn es 4 aos menor que Irma

7 a + b3 22

El costo de una docena de tortillas es n. Cunto cuesta una tortilla?

8 El total de das en x horas

23El costo de z kilos de chiles si cada kilo cuesta $5

9 18.24 veces un nmero 24Si r son los das que llo-vi en el ao, cuntos das no llovi?

10 Dos veces t menos 9 25 K veces un nmero

11 El cociente de dos nmeros es 100

26 Laura es 7.5 cm ms alta que Pedro

12 Tres dcimos de la poblacin infantil

27 La raz cuadrada de la suma de dos nmeros

13 (k x)2 28El cubo de la diferencia del triple de un nmero menos el doble de otro

14 La suma de dos nmeros es 98

29 El cociente del cuadrado de dos nmeros

15 La quinta parte de un nmero es 15

30 El cuadrado del cociente de dos nmeros

Coloca la expresin que corresponda en cada enunciado; es decir, los enunciados en lenguaje natural escrbelos en lenguaje simblico y viceversa.


10 Bloque I

El lgebra es utilizada para expresar situaciones en las que intervienen cantidades conocidas y desconocidas. Por ejemplo, podemos representar los siguientes enun-ciados haciendo uso del lenguaje algebraico:

1. Juanita agrega $9 a lo que tiene ahorrado. Si x representa lo que haba aho-rrado Juanita, entonces sus nuevos ahorros pueden expresarse como:

x + 9

2. Juan perdi ocho chas en el ltimo juego. Si y representa el nmero de chas que tena Juan, entonces el nmero de chas con las que se qued despus del juego es:

y 8

3. Alberto duplic el dinero que tena en la ltima apuesta. Si z representa el dinero con el que contaba antes de la apuesta, entonces la cantidad con la que se qued se puede expresar como:

2z

4. Pedro y Jos dividieron sus ganancias entre la mitad. Si q representa las ganan-cias que obtuvieron, entonces la cantidad que le toc a cada uno se expresa como:

q2

El lenguaje algebraico nos permite hacer operaciones con cantidades conocidas y desconocidas; para ello, nos valemos de literales, que pueden ser utilizadas como constantes, valores conocidos, valores desconocidos. Llegan a representar varios valores, in nidad de ellos, e incluso la ausencia de un valor que d solucin a un problema. En las siguientes situaciones se muestra la forma en la que el lgebra nos permite trabajar con ese tipo de cantidades:

Ejemplo 1

La mam de rika la deja en la tienda de autoservicio para que compre algunas cosas que necesita para la escuela.

1. rika compra $100 en tiles escolares. Qu cantidad de dinero tiene despus de la adquisicin?

Como la cantidad de dinero que tiene rika no se conoce, entonces la representaremos con una lite-ral, como por ejemplo S; ahora, mediante una diferencia, expresaremos qu parte de ese dinero se ha gastado:

S 100

2. Al regresar a su casa, despus de la compra de sus tiles escolares, rika gasta $20 en el pasaje. Cun-to dinero tiene ahora?


11Leccin 1

I. En cada una de las siguientes situaciones representa la cantidad resultante hacien-do uso de expresiones algebraicas.

1. Eduardo tiene una caja llena de tornillos. Cuntos tornillos quedan en la caja despus de los siguientes cambios?

a) Ocupa ocho tornillos para sujetar una puerta.

b) Utiliza cuatro tornillos para jar una bomba de agua.

c) Compra cinco tornillos y los deposita en la caja.

Ejemplo 2

Despus de una semana jugando volados con sus compaeros, Manuel ha ganado cierta cantidad de tarjetas coleccionables. El da de hoy sale con la intencin de seguir ganando.

1. Llegando a la escuela se enfrenta con su amigo Pedro y le gana 10 tarjetas. Cuntas tarjetas tiene ahora Manuel?

En vista de que no conocemos la cantidad de tarjetas que tena Manuel al salir de su casa, entonces ocuparemos una literal para representarla; por ejemplo, la t. Por lo tanto, la representacin de tarjetas de Manuel es:

t + 10

2. Despus, Manuel pierde 12 de sus tarjetas con Luis. Cuntas tarjetas le quedan a Manuel?

t + 10 12

que puede simpli carse como:

t 2

Despus de las compras, rika cuenta con S 100 pesos, ahora debe regresar a su casa y gastar parte del dinero. Expresamos la cantidad que le queda como:

S 100 20

que tambin puede escribirse de manera simpli cada como:

S 120

LO QUE APREND


12 Bloque I

2. En una bolsa hay cierto nmero de canicas. Determina la expresin alge-braica que implica el nmero de canicas dentro de la bolsa despus de las siguientes situaciones:

a) Se pierden 10 canicas en el primer juego.

b) Se ganan 16 canicas en el segundo juego.

3. Se tiene una cantidad ahorrada en el banco. Cunto dinero queda en la cuenta bancaria despus de los siguientes movimientos?:

a) Se retiran $400 de la cuenta.

b) Una semana despus se depositan $600.

4. Un bibliotecario tiene almacenados cierto nmero de libros. Con qu cantidad se queda si hace los siguientes cambios?:

a) El bibliotecario duplica la cantidad de libros que guarda en su librera.

b) Vende 16 libros el lunes.

c) Vende 24 libros el martes.

d ) Compra 14 libros el mircoles.

e) Vende un libro el jueves.

f ) Compra 80 libros el viernes.

5. Gustavo tiene cierto nmero de hojas blancas para sus trabajos escolares. Cuntas hojas le quedan despus de hacer las siguientes tareas?:

a) Utiliza la mitad de las hojas en un trabajo.

b) Compra 100 hojas para reponer las que ha utilizado.

c) Utiliza 20 hojas en la siguiente tarea.

d ) Su hermana le regala 200 hojas.

Notacin y clasifi cacin

Funcin

Es un conjunto de parejas ordenadas de nmeros (x, y), tales que en el con-junto no hay dos parejas ordenadas distintas que contengan el mismo primer nmero.


13Leccin 1

Ejemplo 1

Consideramos que el conjunto A, mostrado a continuacin, es una funcin ya que las parejas ordenadas que lo forman son distintas y ninguno de los valores que se encuentra en la primera posicin se encuentra repetido.

A = {(1, 4), (2, 8), (3, 12,), (4, 16)}

Algunas funciones se encuentran formadas por infinidad de parejas ordenadas, por lo que es necesario utilizar ecuaciones para representarlas.

Clasificacin de funciones

Es necesario definir dos tipos de funciones especiales para, a partir de ella, establecer la clasificacin de funciones.

Funcin identidad:

Su representacin analtica es f(x) = x y se encuentra formada por un conjunto de parejas ordenadas que tienen el valor de x y y iguales entre s.

Funcin constante:

Tiene como representacin analtica la expresin f(x) = k, donde k es un nmero real; son funciones en las que sus parejas ordenadas tienen en la primera posi-cin distintos nmeros, pero el valor de y se mantiene constante en un nmero.

A partir de estas definiciones podemos clasificar las funciones en dos tipos: las algebraicas y las trascendentes.

Las funciones algebraicas son aquellas que tienen como representacin analti-ca expresiones que tienen operaciones algebraicas entre la funcin identidad y la funcin contante, dentro de ellas podemos considerar:

Funciones algebraicas

Las funciones polinomiales: tienen como forma expresiones algebraicas que tienen forma de polinomios. Dentro de ellas podemos considerar las funciones lineales, cuadrticas y de grado superior.

Las funciones racionales: son aquellas que resultan de dividir dos funciones polinmicas.

Ejemplo:

Funciones lineales:

f(x) = mx + b

Funciones cuadrticas:

f(x) = ax2 + bx + c

Funciones de grados superiores:

g(x) = a1xn + a2x

n1 + a3xn2 + ... + anx + an+1

g(x) = 2x2 4x + 5

x2 5x + 8


14 Bloque I

Las funciones trascendentes son aquellas en las que su representacin analtica no pueden expresarse como funciones algebraicas. Dentro de ellas encontramos:

Ejemplos de funciones trascendentes

Las funciones trigonomtricas: dentro de ellas encontramos las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante y sus inversas.

Las funciones exponenciales: que resultan de tener una constante elevada a la variable x. Su representacin analtica es f(x) = ax

Funciones logartmicas: son aquellas que tienen como representacin analtica expresiones que utilizan logaritmos. Por ejemplo:

T(x) = logbx


15Leccin 1

Bloque II Operaciones fundamentales En un explorador de una computadora conectada a Internet escribe en la barra de direccin: http://xrjunque.nom.es/precis/polycalc.aspx. Se trata de una calculadora polinmica por medio de la cual podrs comprobar tus resultados o bien experimentar trasformaciones algebraicas que te parezcan interesantes.

Leccin 1 Transformaciones algebraicas IIInformacin com

plem

entaria

Un monomio o trmino es una expresin que se encuentra formada por nmeros y literales que indican una multiplicacin; en un monomio no aparece la adicin ni la sustraccin. Por ejemplo:

5 3 2x y

Es un trmino o monomio, debido a que indica una multipli-cacin:

5 53 2x y x x x y y=

Ejemplos de monomios son:

9, 8x2, 10x3y5, 4x2y4, 2m, 3mn2

En un monomio es importante que los exponentes de las literales sean naturales.

Un polinomio se encuentra formado por dos o ms monomios; definimos el poli-nomio de una variable como:

a x a x a x a x an n n n n1 21

32

1+ + + + + ...

Monomios y polinomios

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16 Bloque II

Un polinomio recibe su nombre a partir del nmero de trminos que tiene; as:

Nombre Nmero de trminos Ejemplo

Monomio Formado por un trmino 6x

Binomio Formado por dos trminos 2 8x

Trinomio Formado por tres trminos 4 5 72x x+

Adicin de polinomios (suma y resta)

Para empezar con las operaciones con polinomios es necesario que definamos los trminos semejantes, que son aquellos que tienen las mismas letras y los mis-mos exponentes en cada literal. Ejemplos de trminos semejantes son:

4 2 3x y y 8 2 3x y

34

3m n y 8 3m n

No son trminos semejantes:

4 2 3x y y 8 3 2x y

ya que aun cuando tienen las mismas literales, no tienen los mismos exponentes en cada una de las letras.

Para reducir trminos semejantes es necesario que los trminos sean semejantes; para ello, sumamos los coeficientes, mientras las literales se mantienen con sus exponentes.

Ejemplo 1

Sumar los polinomios 6 9 5 103 2x x x + y 8 7 5 53 2x x x + .

Para reducir los trminos semejantes, en primer momento es necesario identificarlos; a continuacin, se suman o restan los coeficientes de acuerdo con el signo que tienen. Los trminos semejantes en las expre-siones son:

6 3x y 8 3x

5 2x y 7 2x

donde: a1xn, a2x

n1, a3xn2, an1x y an son monomios o trminos del polinomio; a1, a2,

a3 , an1, an son llamados coeficientes y pertenecen a los nmeros reales, mientras que n es un nmero natural.

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17Leccin 1

Ejemplo 2

Sumar los polinomios + +7 4 9 103 2x x x y + + 12 8 5 102 3x x .

Nuevamente, la primera tarea consiste en determinar los trminos que son semejantes; para ello, ubicamos que stos tienen las mismas literales con los mismos exponentes. Despus, sumamos o restamos los coefi-cientes de acuerdo con su signo.

+ + + + + = + +7 4 9 10 12 8 5 10 7 4 93 2 2 3 3 2x x x x x x x( ) 110 12 8 5 1017 4 10 2

2 3

3 2

x x x

x x x

+ + = + + +

Observa que cuando no hay otro trmino semejante con el cual sumar, entonces el trmino se pasa sin sufrir cambio.

9x y 5x

10 y 5

Ahora sumamos o restamos los coeficientes de acuerdo con su signo, de manera que se obtiene:

6 9 5 10 8 7 5 5 6 9 5 103 2 3 2 3 2x x x x x x x x x + + + = + +( ) 88 7 5 514 2 4 15

3 2

3 2

x x x

x x x

+=

Ejemplo 3

Restar 3 5 62x x + de 6 4 82x x+ .

Al nmero que le vamos a restar lo llamamos minuendo, mientras que el nmero que se va a restar es el sustraendo, de manera que la resta se puede expresar de la siguiente forma:

6 4 8 3 5 62 2x x x x+ +( )

Observa cmo el sustraendo se coloca entre parntesis para indicar la resta; este signo se multiplica por cada uno de los trminos para efectuar la resta. Lo anterior es posible gracias a la propiedad distributiva.

6 4 8 3 5 6 6 4 8 3 5 6

3 9

2 2 2 2

2

x x x x x x x x

x

+ + = + + = +

( )

xx 14

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18 Bloque II

I. Realiza las sumas de las siguientes expresiones:

1. 3x, 8x

2. 9m, 2m

3. 5x, 7x

4. 5m, 4m

5. 3x, 9x

6. 54

2q , 18

2q

7. 2 9x + , 7 4x +

8. 5 9x , 2 8x +

9. +7 8n , 4 5n

10. 11 2x , +8 6x

II. Efecta las restas que a continuacin se enuncian:

1. De 5 82x , restar 4 92x +

2. De 9 9x + , restar 6 7x

Ejemplo 4

A 56

9x restar +34

16

x .

Ahora, en el enunciado se menciona primero al minuendo y despus al sustraendo, por lo que escribimos y hacemos la resta de la siguiente forma:

56

934

16

56

934

16

1912

556

x x x x

x

+ = +

=

LO QUE APREND

M02_ALGEBRA.indd 18 9/6/10 7:23:37 PM

19Leccin 1

3. Restar 85

1x + de 2 10x

4. Restar 9 102x x de 8 12 2x x

5. De 8 3 2x x , restar +5 82x

6. De 9 6x , restar 9 112x

7. De 712

8 62m m + , restar 34

812

2m m+

8. Restar 9 12 5 2k k + de 9 9 122k k+

9. Restar 7 8 12 2x x de 8 7 112x x +

10. De 7 6 112x x+ + , restar 8 6 112x x

11. De 9 4 9 123 2n n n+ + , restar 5 5 12 83 2n n n +

III. Realiza los siguientes ejercicios de aplicacin:

1. Pro por cio na cua tro fra ses que in di quen la ope ra cin de su ma.

2. Pro por cio na cua tro fra ses que in di quen la ope ra cin de res ta.

3. Pro por cio na cua tro fra ses que in di quen la ope ra cin de mul ti pli ca cin.

4. Pro por cio na cua tro fra ses que in di quen la ope ra cin de di vi sin.

5. Ex pli ca por qu c + 0.25 no re pre sen ta el cos to de un ar t cu lo in cre men ta-do en 25 por cien to.

6. Ex pli ca por qu c 0.10 no re pre sen ta el cos to de un ar t cu lo dis mi nui do en 10 por cien to.

PRcTIcA DE hAbILIDADEs

1. Edad. Guadalupe tie ne una edad de n aos. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te su edad den tro de 7 aos.

2. Edad. Jos Luis tie ne una edad de t aos. Es cri be una ex pre sin que re pre-sen te la de Antonio, si s te tie ne cua tro ve ces ms edad que aqul.

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20 Bloque II

3. Plu mas. En una ven ta, una plu ma mar ca Maya cues ta $4. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te el cos to de com prar x plu mas.

4. Pre cio nue vo. Un ar t cu lo que cues ta r pe sos es in cre men ta do en $6. Es cri-be una ex pre sin que re pre sen te el pre cio nue vo.

5. Mo to ci cle ta. Renata ven de su mo to ci cle ta. Pe da x pe sos por ella pe ro re ba j el pre cio a la mi tad. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te el nue vo pre cio.

6. Za pa tos. Alejandro va a com prar za pa tos. La tien da tie ne una ven ta al dos por uno, es de cir: que al com prar un par se re ga la otro. Es cri be una ex pre-sin que re pre sen te el n me ro de pa res de za pa tos que ob ten dr Alejandro si com pra y pa res.

7. Ji ra fa en cre ci mien to. En un ao, la es ta tu ra, h, de una ji ra fa se in cre men ta en 0.8 m. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te su es ta tu ra ac tual.

8. Lec tu ra ve loz. Daniel so la leer p pa la bras por mi nu to. Des pus de to mar un cur so de lec tu ra ve loz, su ve lo ci dad au men t a 60 pa la bras por mi nu to. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te su ve lo ci dad nue va de lec tu ra.

9. Pre cio de ac cio nes. En 2002, el pre cio p de una empresa ca y 8%. Es cri be una ex pre sin pa ra el pre cio des pus de que ba j.

10. Re ci clar llan tas. Ca da ao, en Mxico se de se chan t llan tas. S lo se re ci-cla el 7% de to das. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te el n me ro de las llan tas re ci cla das.

11. Vi ta mi nas. En una cp su la de vi ta mi nas So la ray, el n me ro de mi li gra mos de ri bo fla vi na es 5 me nos que una d ci ma del n me ro de mi li gra mos de vi ta mi na C. Si n re pre sen ta el n me ro de mi li gra mos de s ta, es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de mi li gra mos de ri bo fla vi na.

12. Po bla cin. En 2001, Chi na te na la po bla cin ms gran de, mien tras que In dia te na la se gun da ms gran de. Si p re pre sen ta la po bla cin de In dia, en mi llo nes, es cri be una ex pre sin pa ra la po bla cin de Chi na si s ta te na 40 mi llo nes ms que 1.2 ve ces la po bla cin de In dia.

13. As cen so. Su pn que el l ti mo ao Jo s Ri ve ra te na un sa la rio de m pe sos. Es te ao re ci bi un as cen so y su nue vo sa la rio es de $16,000 ms ocho no ve nos del an te rior. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te su sa la rio nue vo.

14. Mon ta a ru sa. En una ba ja da es pe c fi ca de cier ta mon ta a ru sa en los Uni ver sal Stu dios, la ve lo ci dad de los ca rros que des cien den es 12 mi llas por ho ra ma yor que 8 ve ces la ve lo ci dad, s, de los que su ben por otro lu gar. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te la ve lo ci dad de los ca rros que ba jan por la pen dien te es pe c fi ca.

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21Leccin 1

15. Ren ta de ca mio ne ta. Jos Antonio ren t una ca mio ne ta pa ra ha cer un via-je. Hi zo un pa go dia rio de $45 y una ta ri fa por dis tan cia de 40 cen ta vos por kilmetros. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te su cos to to tal, si via ja x kilmetros en un da.

16. In cre men to de la po bla cin. La ciu dad de Morelos tie ne una po bla cin de 4000. Si s ta se in cre men ta en 300 per so nas por ao, plan tea una ex pre-sin que re pre sen te la po bla cin en n aos.

17. Di ne ro. Laura vio que te na x mo ne das de 25 cen ta vos en su bol sa. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te la can ti dad de di ne ro en cen ta vos.

18. Es ta tu ra. La es ta tu ra de Sandra es de x metros y y centmetros. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te su es ta tu ra en centmetros.

19. Pe so. El pe so de Javier es de x kilos y y gramos. Plan tea una ex pre sin que re pre sen te su pe so en gramos.

20. Re cin na ci do. El be b re cin na ci do de Claudia tie ne una edad de m mi nu-tos y s se gun dos. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te su edad en se gun dos.

21. Equi po de ven tas. El equi po de ven tas de el Cafetal se in cre men t en 4% de 2001 a 2002. Si n re pre sen ta el n me ro de per so nas en di cho equi po en 2001, es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro en 2002.

22. Reac to res nu clea res. El n me ro de reac to res nu clea res en Eu ro pa Oc ci-den tal es de 137 me nos que 2.4 ve ces el n me ro en los Es ta dos Uni dos. Si r re pre sen ta el n me ro en los Es ta dos Uni dos, es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro en Eu ro pa Oc ci den tal.

23. Ma na tes. Un ma na t en par ti cu lar (tam bin se los co no ce co mo va ca ma ri na) per di el 2% de su pe so en los me ses de in vier no. Si su pe so ori gi-nal era de p kilogramos, es cri be una ex pre sin pa ra su nue vo pe so.

24. Im pues tos. Por me dio de una pla nea cin fis cal cui da do sa, Roberto pu do re du cir sus im pues tos fe de ra les de 2002 a 2003 en un 18%. Si sus im pues-tos de 2002 fue ron por t pe sos, es cri be una ex pre sin que re pre sen te los de 2003.

25. Con teo de ca lo ras. Ca da re ba na da de pan blan co tie ne 110 ca lo ras, y ca da cu cha ra di ta de mer me la da de fre sa tie ne 80. Si Camila se pre pa ra un snd wich (2 re ba na das de pan) de mer me la da de fre sa y uti li za x cu cha ra-di tas de s ta, es cri be una ex pre sin que re pre sen te el n me ro de ca lo ras que con tie ne el snd wich.

26. Cre ci mien to de Las Ve gas. De acuer do con la U.S. Cen sus Bu reau, Las Ve gas, Ne va da, tu vo el cre ci mien to ms gran de de po bla cin en tre 1990 y 2000 que cual quier otra de las ciu da des prin ci pa les de los Es ta dos Uni dos. En 2000, la po bla cin de Las Ve gas fue de 38,156 me nos que el do ble de la que te na en 1990. Si p re pre sen ta la que ha ba en 1990, es cri be una ex pre sin pa ra la que Las Ve gas te na en 2000.

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22 Bloque II

27. Co les te rol. Un hue vo pro me dio de po llo con tie ne cer ca de 275 mi li gra-mos (mg) de co les te rol, y una on za de po llo, 25 mg. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te la can ti dad de co les te rol en x hue vos de po llo y y on zas de po llo.

28. Lec tu ra de eti que tas de ali men tos. De acuer do con los li nea mien tos de Es ta dos Uni dos, ca da gra mo de car bo hi dra tos con tie ne 4 ca lo ras, ca da gra mo de pro te na tie ne 4 ca lo ras, y en ca da gra mo de gra sa hay 9 ca lo-ras. Es cri be una ex pre sin que re pre sen te el n me ro de ca lo ras en un pro duc to que con tie ne x gra mos de car bo hi dra tos, y gra mos de pro te na y z gra mos de gra sa.

Es cri be ca da ex pre sin ma te m ti ca en for ma de enun cia do. (Hay mu chas res pues-tas co rrec tas).

29. x 3 30. 4x + 1 31. 6x 7 32. 4x 2 33. 2 3x 34. 2(x 1) 35. x + 5 36. 3x 4 37. 7x 6 38. 5 x 39. 4 + 6x 40. 3(x + 2)En los ejer ci cios 41 a 68 da mos una va ria ble que re pre sen ta una can ti dad. Ex pre sa la can ti dad que se es pe ci fi ca en tr mi nos de la va ria ble que da mos. Por ejem plo, pa ra el enun cia do Juan Carlos tie ne 2 aos ms que el tri ple de la edad de Ren, en ton ces la edad de Juan Carlos se re pre sen ta ra co mo 3d + 2. Con el enun cia do El sa la rio de scar en 2003 fue 8% ma yor que el de 2002, s, en ton ces el sa la rio de scar en 2003 se re pre sen ta ra co mo s + 0.08s. 41. Edad. Ana tie ne 5 aos ms que la edad de Diego, d. Es cri be una ex pre-

sin pa ra la edad de Ana.

42. Edad. El hi jo de Romn tie ne un ter cio de la edad de Gildardo. Es cri be una ex pre sin pa ra la edad del hi jo.

43. Ca rre ra do cen te. Araceli ha prac ti ca do la do cen cia du ran te 6 aos me nos que Hugo, h. Es cri be una ex pre sin pa ra el tiem po que Araceli ha si do maes tra.

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23Leccin 1

44. Di ne ro. Se di vi den cien pe sos en tre Pablo y Luis, l. Es cri be una ex pre sin pa ra la can ti dad de Pablo.

45. Tie rra. En dos ca mio nes co lo ca mos un to tal de seis cien tos kilogramos de tie rra. Si en uno de ellos po ne mos a kilogramos, es cri be una ex pre sin pa ra la can ti dad de tie rra que co lo ca mos en los dos ve h cu los.

46. Com pra de te le vi sin. Una te le vi sin mar ca Sony cues ta 1.4 ve ces lo que una RCA, r. Es cri be una ex pre sin pa ra el cos to de la Sony.

47. Uti li da des. M ni ca y Ju lia com par ten las uti li da des, en por cen ta je, de una tien da de ju gue tes. Es cri be una ex pre sin pa ra la can ti dad que re ci be Ju lia si lo que re ci be M ni ca es m.

48. Ca lo ras. Las ca lo ras en una por cin de mez cla de nue ces es de 280 ca lo ras me nos que el do ble del n me ro de ca lo ras de una cas ta a, c. Es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de ca lo ras en una por cin de mez cla de nue ces.

49. N me ro de em plea dos. En Los Altos, el n me ro de em plea das mu je res es de 6 me nos que dos ter cios de los hom bres, m. Es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de mu je res em plea das.

50. Su per fi cie del te rri to rio. El es ta do con ma yor su per fi cie de los Es ta dos Uni dos es Alas ka, y el que tie ne me nos es Rho de Is land. El rea de Alas ka es 462 mi llas cua dra das ms que 479 ve ces la de Rho de Is land, r. Es cri be una ex pre sin pa ra el rea de Alas ka.

51. Jon ro nes. En el bis bol pro fe sio nal, el l der de to dos los tiem pos en cuan-to a jon ro nes es Hank Aa ron, y Ba be Ruth es el se gun do. Hank Aa ron hi zo 673 jon ro nes me nos que el do ble de los de Ba be Ruth, r. Es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de jon ro nes que ano t Hank Aa ron.

52. Es pe ran za de vi da. En 2001, el pas con la es pe ran za de vi da ms ele va da era Ja pn, y el que te na la ms ba ja era Bots wa na. La es pe ran za de vi da pro me dio en Ja pn era de 9.3 aos ms que el do ble de Bots wa na, b. Es cri-be una ex pre sin pa ra la es pe ran za de vi da pro me dio en Ja pn. (Fuen te: Na cio nes Uni das).

53. Mu seo sa tu ra do. En 2000, el n me ro de vi si tan tes al Na tio nal Air and Spa-ce Mu seum (que for ma par te del Smith so nian) fue de 2.7 mi llo nes me nos que el do ble del n me ro que acu di al Louv re, en Pa rs, p. Es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de vi si tan tes que tu vo en 2000 el Air and Spa ce Mu seum. (Fuente: USA Today).

54. Bo le to pa ra el ci ne. En abril de 2001, el pre cio pro me dio de un bo le to pa ra el ci ne en los Es ta dos Uni dos era de 70 cen ta vos me nos que 30 ve ces el pre-cio pro me dio en 1928, p. Es cri be una ex pre sin pa ra el pre cio, en cen ta vos, de un bo le to pa ra el ci ne en abril de 2001. (Fuen te: Mo ney Ma ga zi ne).

55. Via je al tra ba jo. El tiem po pro me dio de via je al tra ba jo en el es ta do de Nue va York (el pro me dio ms ele va do) es de 15 mi nu tos me nos que el tri-ple del tiem po del via je pro me dio en Da ko ta del Nor te (el pro me dio ms ba jo), n. Es cri be una ex pre sin pa ra el tiem po pro me dio de via je rum bo al tra ba jo en el es ta do de Nue va York. (Fuen te: USA To day).

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24 Bloque II

56. Es pec t cu los en Broad way. Al 2 de sep tiem bre de 2001, la obra que ha ba per ma ne ci do ms tiem po en car te le ra en Broad way era Cats, y en se gun do lu gar A Cho rus Li ne. Es ta l ti ma tu vo 16,318 me nos re pre sen ta cio nes que el tri ple del n me ro que tu vo Cats, c. Es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de re pre sen ta cio nes que tu vo A Cho rus Li ne.

57. Me dia na del in gre so. De acuer do con la U.S. Census Bureau, en el ao 2000, Nue va Jer sey fue el es ta do con la me dia na del in gre so do ms ti co ms ele va da. La me dia na en Estados Unidos fue de $67,109 me nos que el do ble de la de Nue va Jer sey, n. Es cri be una ex pre sin pa ra el pro me dio (me dia na) de Estados Unidos.

58. Pre cio de ac cio nes. El pre cio de las ac cio nes de En ron en enero de 2002 fue de $0.60 me nos que 1 ____ 130 ve ces su pre cio en ene ro de 2001, p. Es cri be una ex pre sin pa ra el pre cio de las ac cio nes de di cha em pre sa en ene ro de 2002.

59. In cre men to de las ven tas. Jaime es re pre sen tan te de una com pa a de su mi nis tros m di cos. Sus ven tas de 2003 au men ta ron 20% so bre las de 2002, s. Es cri ba una ex pre sin pa ra las ven tas de 2003.

60. Con su mo de elec tri ci dad. El con su mo de elec tri ci dad de Jorge en 2003, dis mi nu y 12% res pec to del que tu vo en 2002, e. Es cri ba una ex pre sin pa ra el con su mo de 2003.

61. Au men to sa la rial. Sara, in ge nie ra, tu vo un au men to de sa la rio de 15% so bre el del ao an te rior, s. Plan tea una ex pre sin pa ra su sa la rio de es te ao.

62. Golf fe me nil. Ka rrie Webb fue la ju ga do ra de golf fe me nil que ms di ne ro ga n tan to en 1999 co mo en 2000. Sus in gre sos se in cre men ta ron al re de-dor de 18% de 1999 a 2001. Si w re pre sen ta los in gre sos de Ka rrie Webb, es cri be una ex pre sin pa ra s tos en 2000.

63. Tien da de piz zas. El n me ro de clien tes de Pizzas Pablo's dis mi nu y 12% de sep tiem bre a oc tu bre. Si f re pre sen ta el n me ro de clien tes en sep tiem-bre, es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de ellos en oc tu bre.

64. Ca sos de gri pe. El n me ro de ca sos de gri pe en Guadalajara dis mi nu y 2% en re la cin con el ao an te rior. Si f re pre sen ta el n me ro de ca sos de gri pa en di cha po bla cin du ran te el ao an te rior, es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de ca sos en es te ao.

65. Cos to de un ca rro. El cos to de un au to nue vo que se ad quie ra en Tuxtla Gutierrez in clu ye un im pues to de 7% so bre la ven ta. Si c re pre sen ta el cos-to del ca rro an tes de im pues tos, es cri be una ex pre sin pa ra el cos to to tal, que in clu ya el im pues to.

66. Ven ta de ca mi se tas. En una ven ta de re ma te con 25% de des cuen to en to dos los ar t cu los, Jorge com pr una ca mi se ta nue va. Si c re pre sen-ta el cos to an te rior a la ven ta, plan tea una ex pre sin pa ra el pre cio de ven ta de la ca mi se ta.

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25Leccin 1

67. Con ta mi na cin. El ni vel de con ta mi na cin en De troit dis mi nu y en 50%. Si p re pre sen ta el ni vel que ha ba an tes de la dis mi nu cin, es cri be una ex pre sin pa ra el nue vo ni vel.

68. Ca li fi ca cio nes. El n me ro de es tu dian tes que ob tu vie ron una ca li fi ca cin de A en es te cur so, se in cre men t en 100%. Si n re pre sen ta el n me ro de los que sa ca ron A an tes del in cre men to, es cri be una ex pre sin pa ra el n me ro de es tu dian tes que aho ra lo gra ron una A.

Lee con cuidado cada uno de los ejercicios 69 a 86. Despus selecciona una letra que represente una de las cantidades y enuncie con exactitud lo que la letra (o variable) represente. Despus escribe una ecuacin para representar el problema. Por ejemplo, si se dice que La edad de Rubn es el doble de la de Enrique, y la suma de ambas es 20, quiz se haga que g represente la edad de Enrique, por lo que la de Rubn sera 2g. Como la suma de las dos edades es 20, la ecuacin que buscamos es 2g g 20. Como pudimos utilizar letras diferentes para representar la variable, es posible que haya otras respuestas. Por ejemplo, 2a a 20 tambin sera aceptable si empleamos la letra a para representar la edad de Enrique.

69. Dos n me ros. Un n me ro es el cu dru plo de otro. La su ma de los dos n me ros es 20.

70. Edad. Ma ra tie ne 6 aos ms que Da ni ela. La su ma de sus eda des es 48.

71. En te ros con se cu ti vos. La su ma de dos en te ros con se cu ti vos es 41.

72. En te ros pa res. El pro duc to de dos en te ros pa res con se cu ti vos es 728.

73. N me ros. El do ble de un n me ro, dis mi nui do en 8 es 12.

74. En te ros con se cu ti vos. Pa ra dos en te ros con se cu ti vos, la su ma del ms pe que o y el do ble del ms gran de es 29.

75. N me ros. Un quin to de la su ma de un n me ro y 10 es 150.

76. Tro te. Miguel ngel co rre 5 ve ces ms dis tan cia que Josefina. La dis tan cia to tal que re co rren los dos es de 13 kilmetros.

77. Am trak. Un tren de Am trak re co rre 4 mi llas me nos que el do ble de la dis-tan cia que via ja otro de Sout hern Pa ci fic. La dis tan cia to tal que re co rren am bos es de 890 mi llas.

78. Via je en ca rre ta. En un via je en ca rre ta, el n me ro de mu cha chas fue 8 me nos que el do ble del n me ro de chi cos. El to tal de to dos los que iban en la ca rre ta fue de 24.

79. Ca rro nue vo. Car lota Daz com pr un ca rro nue vo. El cos to del ve h cu lo ms el im pues to de 7% so bre la ven ta fue de $32,600.

80. Cha ma rra de por ti va. Luis ngel com pr una cha ma rra de por ti va con un 25% de des cuen to. Pa g por ella $195.

81. Cos to de la co mi da. Bertha co mi en un res tau ran te. El cos to de la co mi da ms la pro pi na de 15% fue de $42.50.

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26 Bloque II

82. Cin tas de vi deo. Luisa com pr una re pro duc to ra de vi deos en $208; el pre cio es ta ba re ba ja do un 10%.

83. Sa la rio. En 2000, el rea me tro po li ta na con el sa la rio pro me dio anual ms ele va do fue San Jo s, Ca li for nia, y el se gun do lu gar era San Fran cis co. El sa la rio pro me dio en San Jo s fue al re de dor de 1.28 ve ces el pro me dio en San Fran cis co. La di fe ren cia en tre los pro me dios de las dos ciu da des fue de $16,762. (Fuen te: Bu reau of La bor Sta tis tics).

84. Es pe ra za de vi da. Las mu je res vi vie ron mu cho ms en 2000 de lo que vi van en 1900. La es pe ran za de vi da pa ra las mu je res de Es ta dos Uni dos, en 2000, fue de 16.9 aos me nos que el do ble de su es pe ran za de vi da en 1900. La di fe ren cia en am bas es pe ran zas fue de 31.4 aos. (Fuen te: U.S. Cen sus Bu reau.)

85. Ci ru ga con l ser. El n me ro de ci ru gas of tl mi cas con l ser fue de 0.55 mi llo nes ms en 2000 que en 1999. La su ma to tal de ellas en 1999 y 2000 fue de 2.45 mi llo nes. (Fuen te: U.S. News and World Re port.)

86. Fe rro ca rril. En una va f rrea es tre cha, la dis tan cia en tre los rie les es al re de dor de 64% de la dis tan cia en tre los de una va es tn dar. La di fe ren cia en las dis-tan cias en tre los rie les de una va es tn dar y otra es tre cha es de casi 1.67 pies.

En los ejer ci cios 87 a 98, ex pre sa ca da ecua cin en for ma de enun cia do. (Exis ten mu chas res pues tas co rrec tas.)

87. x + 2 = 5 88. x 5 = 2x 89. 3x 1 = 2x + 4 90. x 3 = 2x + 3 91. 4(x 1) = 6 92. 4x + 6 = 2(x 3) 93. 5x + 6 = 6x 1 94. x 3 = 2(x + 1) 95. x + (x + 4) = 8 96. x + (2x + 1) = 5 97. 2x + (x + 3) = 5 98. 2x (x + 3) = 6 99. Ex pli ca por qu el cos to de la com pra de x ar t cu los a 6 pe sos ca da uno

es t re pre sen ta do por 6x.

100. Ex pli ca por qu el cos to de la com pra de x ar t cu los a y pe sos ca da uno es t re pre sen ta do co mo xy.

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27Leccin 1

Multiplicacin de monomios

Para multiplicar dos monomios es necesario que utilicemos las leyes de los expo-nentes. Recuerda que si tienes dos potencias de la misma base los exponentes se suman, es decir:

a a am n m n = +

Por ejemplo, si deseamos multiplicar x4 por x6 es necesario considerar que el exponente nos indica las veces que se requiere multiplicar la literal, en este caso x; por lo tanto, la multiplicacin se puede efectuar de la siguiente forma:

x x x x4 6 4 6 =

Las potencias se expresan como:

x x x x x4 = y x x x x x x x6 =

Entonces, podemos escribir la multiplicacin de la siguiente manera:

x x x x

x x x x x x x x x x

x

4 6 4 6

10

= = =

De manera sinttica, es posible expresar la multiplicacin haciendo uso de la ley de la multiplicacin de potencias de la misma base como sigue:

x x x x4 6 4 6 10 = =+

La ley de la multiplicacin de potencias de las mismas bases funciona debido a que, en general, es posible expresar las potencias de forma ordenada y hacer el mismo desarrollo que vimos en el ejemplo anterior. Es decir:

a a a am n m n =

Pero como

am= a a a . . . a

m veces

an= a a a a . . . a

n veces

Por lo que es posible escribir la multiplicacin de potencias de la misma base como

am an = a a a . . . a a a a a . . . a

m veces n veces

{}

} }

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28 Bloque II

de manera que

am an = a a a . . . a a a a a . . . a

m + n veces

Entonces podemos escribir la multiplicacin de manera simplificada como:

a a am n m n = +

Ejemplo 1

Multiplicar 5 4x por 6 8x .

Es posible realizar la operacin de la siguiente manera:

5 6 5 64 8 4 8x x x x = Por la propiedad simtrica de la igualdad.

= 5 64 8x x Un monomio es una multiplicacin.

= 5 6 4 8x x Por la propiedad conmutativa.

= ( ) ( )5 6 4 8x x Por la propiedad asociativa de la multiplicacin.

= +30 4 8x Ley de los exponentes para la multiplicacin.

= 30 12x

El proceso algebraico, de manera simplificada, si queremos multiplicar 5 4x por 6 8x equivale a multiplicar los coeficiente y sumamos los exponentes.

5 6 304 8 12x x x =

Ejemplo 2

Multiplicar 56

5m por 43

4m .

Nuevamente es posible efectuar la operacin multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes.

56

43

2018109

5 4 9

9

m m m

m

=

=

{

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29Leccin 1

Multiplicacin de un monomio por un polinomio

Cuando deseamos multiplicar un monomio por un polinomio, utilizamos la pro-piedad distributiva, es decir, a cada elemento del polinomio lo multiplicamos por el monomio.

Ejemplo 1

Multiplicar 5 2x por 6 4 8 103 2x x x + .

Multiplicamos el monomio por cada uno de los trminos del polinomio de la siguiente forma:

5 6 4 8 10 5 6 5 4 5 8 52 3 2 2 3 2 2 2x x x x x x x x x x( ) + = + xxx x x x

2

5 4 3 2

10

30 20 40 50

= +

Ejemplo 2

Multiplicar 56

4x por 35

8 934

3 2x x x + .

+ =

56

35

8 934

56

35

4 3 2 4 3x x x x x x556

81

56

91

56

34 2 4 4x x x x x

+

44

1530

406

456

1524

12

203

1

7 6 5 4

7 6

= + +

= + +

x x x x

x x552

58

5 4x x

Multiplicacin de un polinomio por otro polinomio

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio es necesario que cada uno de los trminos de uno de los polinomios se multiplique por los trminos del otro. Lo anterior es posible debido a la propiedad distributiva; por ltimo, si existieran trminos semejantes, habr que reducirlos.

Ejemplo 1

Multiplicar 5 7 82x x + por 6 5x . Se expresa como:

( )( )5 7 8 6 52x x x +

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30 Bloque II

En este ejemplo es necesario que realicemos tres pasos para obtener el producto; primero se requiere que multipliquemos 6x por cada uno de los trminos del primer polinomio; a continuacin haremos lo mismo con 5 y por ltimo reduciremos los trminos semejantes.

1. ( )( ) ...5 7 8 6 5 5 6 7 6 8 62 2x x x x x x x x + = + +

2. ( )( ) ( )5 7 8 6 5 5 6 7 6 8 6 5 52 2 2x x x x x x x x x + = + + 77 5 8 530 42 48 25 35 403 2 2

x

x x x x x

( ) ( ) + = + +

3. ( )( )5 7 8 6 5 30 67 83 402 3 2x x x x x x + = +

Otra forma de resolver la operacin es utilizando un arreglo con los polinomios que vamos a multiplicar; en el ejemplo que estamos resolviendo se vera as:

5 7 8

6 5

2x x

x

+

Se procede de la misma forma que en el proceso descrito anteriormente, primero se multiplica 6x por cada uno de los elementos del primer polinomio, a continuacin se deja un espacio de manera que los trminos que son semejantes se puedan colocar en la misma columna, por ltimo se reducen para simplificar la expresin.

5 7 8

6 5

30 42 48

25 35 40

30 67

2

3 2

2

3 2

x x

x

x x x

x x

x x

+

+ + + 883 40x

Ejemplo 2

Multiplicar 3 4 5 43 2x x x + + por 2 6 93x x+ .

Un mtodo para encontrar el producto, requiere de completar el segundo polinomio, agregando el trmino faltante con coeficiente cero.

2 6 9 2 0 6 93 3 2x x x x x+ = + +

Ahora procederemos a realizar el mismo proceso que en el ejemplo anterior; multiplicamos cada uno de los trminos de un polinomio por los trminos del otro y reducimos los trminos semejantes.

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31Leccin 1

3 4 5 4

2 0 6 9

6 8 10 8

0 0

3 2

3 2

6 5 4 3

5 4

x x x

x x x

x x x x

x x

+ ++ +

+ ++ ++ +

+ + +

0 0

18 24 30 24

27 36 45 36

6

3 2

4 3 2

3 2

6

x x

x x x x

x x x

x + + 8 28 43 66 21 365 4 3 2x x x x x

Sin embargo, debe notarse que con un poco de cuidado, se puede prescindir del trmino 0x2, para obtener el mismo producto.

I. Realiza los siguientes productos:

1. ( )( )3 6 2x x

2. ( )( )7 55 3m m

3. ( )( )7 53 2x x

4. ( )( )4 54 6n n

5. 37

98 4k k ( )

6. 652

2 8x x( )

7. 45

16

5p p

8. 5 6 9 23 2x x x +( ) 9. 8 4 3 4 33 2k k k k( ) +

10. 4 3 8 6 73 4 3m m m m( )+

Productos notables

Algunas multiplicaciones entre polinomios pueden efectuarse a travs de procesos simplificados debido a la naturaleza de los polinomios involucrados. stos se lla-man productos notables y los estudiaremos a continuacin.

LO QUE APREND

M02_ALGEBRA.indd 31 9/6/10 7:24:13 PM

32 Bloque II

Augustus de Morgan (1806-1871) destaca que el simbolismo fcil de manejar acerca el lgebra al pueblo.

binomio al cuadrado

Modelo algebraico de un binomio al cuadrado.

El binomio al cuadrado tiene la forma ( )a b+ 2 o ( )a b 2 en los dos casos, se impli-ca que lo que se encuentra en el interior del parntesis debe ser multiplicado por s mismo, de manera que podemos expresar y realizar el producto de la siguiente forma:

( ) ( )( )a b a b a b+ = + +2

a b

a b

a ab

ab b

a ab b

++

++ ++ +

2

2

2 22

En el segundo caso, podemos expresar la potencia y el binomio como:

( ) ( )( )a b a b a b = 2

a b

a b

a ab

ab b

a ab b

+ +

2

2

2 22

Binomio al cuadrado ( )a b a ab b = +2 2 22

Si el binomio es una suma, entonces el producto es el cuadrado del primer trmino ms el doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado del segundo trmino.

( )a b a ab b+ = + +2 2 22

Si el binomio es una diferencia, entonces el producto es el cuadrado del primer trmino menos el doble producto del primero por el segundo trmino ms el cuadrado del segundo trmino.

( )a b a ab b = +2 2 22

M02_ALGEBRA.indd 32 9/6/10 7:24:18 PM

33Leccin 1

Modelo geomtrico de un binomio al cuadrado.

Deseamos obtener el rea de un cuadrado en el que su lado se encuentra forma-do por dos segmentos, a y b, de manera que se puede expresar cada lado como l a b= + .

Ahora dividiremos el cuadrado de manera que sea posible observar las partes que constituyen el rea que deseamos obtener.

a a

a

a

a + b

a + b

b b

b

b

a

a

b

b

Se clasifica el desarrollo del simbolismo en lgebra en 3 etapas. La primera es el lgebra retrica, utilizada en el antiguo Egipto.

Es necesario que consideremos dos cuestiones relacionadas con el rea del cua-drado que buscamos; primeramente, que se puede obtener a partir de la expresin A l= 2 y que el rea es posible expresarla como la suma de cuatro reas que se encuentran en su interior, dos cuadrados y dos rectngulos iguales.

A l

A A A A a b

=+ + + = +

2

1 2 2 32( )

Si obtenemos el rea de cada una de las figuras que se encuentran en el interior del cuadrado, llegamos a la expresin que representa un binomio al cuadrado.

a ab ab b a b

a ab b a b

a b a

2 2 2

2 2 2

2 2

2

+ + + = ++ + = +

+ =

( )

( )

( ) ++ +2 2ab b

El producto resultante de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.

Ahora encontraremos la expresin de la diferencia de dos trminos al cuadrado siguiendo el modelo geomtrico; para ello utilizaremos un cuadrado que tiene

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34 Bloque II

como lado el segmento a; si le quitamos el segmento b, entonces lo que quedar es el segmento a b.

Podemos obtener el rea utilizando la frmula del rea de un cuadrado.

A l

A a1

2

12

==

Ahora dividimos el cuadrado para ver cmo se encuentra constituido.

El rea que deseamos obtener es la que aparece en la figura en color gris medio, por lo que habr que restar al rea del cuadrado mayor las reas de los rectngulos, es decir:

A a ab b a b

A a ab ab b

A a ab b

= = += +

2

2 2

2 22

( )

b

a

a b

b

b

a

a b a b

a b

a

Luca Pacioli (1445-1514 o 1517). En su trabajo se observa una modificacin importante en la simbologa. Es considerada la segunda fase en el desarrollo del lgebra: lgebra sincopada.

Ejemplo 1

Efectuar ( )3 4 2x + .

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

a b a ab b

x x x

+ = + ++ = + +

2 2 2

2 2 2

2

3 4 3 2 3 4 4

== + +9 24 162x xEn Francia, Franois Vite desarrolla una simbologa muy sencilla, y marca as la llegada del lgebra simblica.

En Francia, Franois Vite desarrolla una

M02_ALGEBRA.indd 34 9/6/10 7:24:26 PM

35Leccin 1

Ejemplo 2

Realizar ( )4 5 2x .

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

a b a ab b

x x x

= + = +

2 2 2

2 2 2

2

4 5 4 2 4 5 5

== +16 40 252x x

binomios conjugados

Los binomios tienen la forma ( )( )a b a b+ para determinar la forma simplificada de realizar este producto podemos efectuar el producto de la siguiente manera:

a b

a b

a ab

ab b

a b

+

+

2

2

2 2

Por lo que ( )( )a b a b a b + = 2 2.

El resultado del producto de dos binomios conjugados se llama diferencia de cua-drados.

=

b

a

a ab

(a+b) (ab)

b2

a2

Ejemplo

Determinar ( )( )5 9 5 9x x + .

En vista de que la multiplicacin tiene la forma de los binomios conjugados, entonces podemos ocupar la forma simplificada de realizar el producto.

( )( )

( )( ) ( ) ( )

a b a b a b

x x x

x

+ = + =

=

2 2

2 25 9 5 9 5 9

25 22 81

Nota: Es importante que consideres que existe una diferencia en cuanto a la forma en la que opera: 92 y (9)2. En el primer caso, = = 9 9 9 812 ( ) y en el segundo, ( ) ( )( ) = =9 9 9 812 .

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36 Bloque II

I. Realiza los siguientes productos.

1. ( )4 7 2x +

2. ( )5 2 2x +

3. ( )6 7 2x +

4. ( )2 11 2x +

5. 56

82

m +

6. ( )3 8 2m

7. ( )7 1 2m

8. 512

2

k

9. 18

42

p

10. ( )( )6 9 6 9x x +

Factorizacin

La factorizacin es un proceso mediante el cual es posible escribir un nmero o una expresin como una multiplicacin.

Ejemplo

Factorizar 108.

Cuando factorizamos nmeros, preferimos que los factores en los que descomponemos el nmero sean nmeros primos.

108542793 3

3322

1

108 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3

Cuando vamos a factorizar expresiones algebraicas, es necesario que consideremos la forma y los elemen-tos que tienen stas, para, a partir de ello, poner en marcha una tcnica para factorizar.

LO QUE APREND

M02_ALGEBRA.indd 36 9/6/10 7:24:37 PM

37Leccin 1

Factor comn

Las expresiones algebraicas que tienen factor comn pueden tener alguna de las siguientes caractersticas, o ambas; sus trminos son divisibles en un nmero comn o cuentan con una letra presente en cada uno de los trminos del polinomio.

Ejemplo 1

Factorizar 18 45 272x x + .

El polinomio que queremos factorizar tiene como coeficientes 18, 45 y 27; estos nmeros cuentan con el mximo comn divisor 9.

Para factorizar el polinomio, colocaremos el 9 a la izquierda de un parntesis.

18 45 27 92x x + = ( )

4545 27

18 27

3 3 5

3 9 9 153 3 5

51

1 1 1 1 1

2 Estos nmeros dividen a los tres nmeros al mismo tiempo

Mximo comn divisor: 3 3 = 9

A continuacin, dentro del parntesis colocaremos nmeros y letras que, al ser multiplicadas por 9, den como resultado el polinomio que deseamos factorizar.

18x2 45x + 27 = 9(2x2 5x + 3)

Ejemplo 2

Factorizar 6 12 214 5 3x x x + .

Para factorizar esta expresin, consideraremos dos cosas: primero veremos que el mximo comn divisor es el 3 y que en cada trmino se encuentra presente x. Para factorizar, colocaremos a la izquierda del parn-tesis 3x3, ya que es la literal que tiene el menor exponente.

6x4 12x5 + 21x3 = 3x3 ( )

En el interior del parntesis pondremos nmeros y letras que, al ser multiplicados por 3x3, den como resul-tado el polinomio que estamos factorizando.

6x4 12x5 + 21x3 = 3x3 (2x 4x2 + 7)

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado tienen la forma ax2 + bx + c donde ax2 recibe el nombre de trmino cuadrtico, bx es el trmino lineal y c es el trmino independiente.

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38 Bloque II

Decimos que un trinomio es cuadrado perfecto cuando sus literales y coeficientes se encuentran relacionados, de manera que el trmino lineal se obtiene al multi-plicar por 2 el producto de las races cuadradas de los trminos cuadrtico e inde-pendiente.

Un ejemplo de un trinomio cuadrado perfecto es 4x2 + 14x + 49 para comprobarlo, determinamos cules son los elementos que lo integran y si cumplen con la rela-cin enunciada.

4x2 es el trmino cuadrtico

14x es el trmino lineal y

49 es el trmino independiente

14 =14 2 4 49

14 2 2 7

14 14

2x x

x x

x x

===

( )( )14 = 2(2x)(7)

14 = 14x

Otro ejemplo de un trinomio cuadrado perfecto es 25 30 92x x + , ya que:

25x2 es el trmino cuadrtico

30x es el trmino lineal y

9 es el trmino independiente

30 2 25 9

30 2 5 3

30 30

2x x

x x

x x

===

( )( )

Observa que para comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto, no es necesario que consideremos el signo del trmino lineal.

Los trinomios cuadrados perfectos provienen de binomios al cuadrado como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 para comprobarlo, realizaremos el proceso que enunciamos en la explicacin anterior.

a2 es el trmino cuadrtico

2ab es el trmino lineal

b2 es el trmino independiente

2ab =2 2

2 2

2 2

2 2ab a b

ab a b

ab ab

===

( )( )2ab = 2(a)(b)

2ab = 2ab

Por ello es posible concluir que para factorizar un trinomio cuadrado perfecto slo hay que expresarlo como un binomio al cuadrado, es decir,

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

= a2+ b2 + ab + ab = a2 +2 ab + b2

(a + b)2

b ab

ab

b2

a2a

ab

M02_ALGEBRA.indd 38 9/6/10 7:24:44 PM

39Leccin 1

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Factorizar 81 18 12m m + .

Primeramente comprobaremos que el trinomio cuadrado sea perfecto.

81 2m es el trmino cuadrtico18m es el trmino lineal y1 es el trmino independiente

18 m = 18 2 81 1

18 2 9 1

18 18

2m m

m m

m m

===

( )( )18 m = 2(9 m)(1)

18 m = 18 m

Para factorizar el trinomio slo es necesario expresarlo como un binomio al cuadrado, para ello tomamos las races de los trminos cuadrtico e independiente; formaremos el binomio teniendo especial cuidado en el signo del trmino lineal, que determina si los trminos se suman o se restan.

81m2 18m + 1 = (9m 1)2

Factorizar 9x2 + 15x + 4.

Primero comprobaremos si el trinomio cuadrado que nos han proporcionado es o no un trinomio cuadrado perfecto.

9 2x es el trmino cuadrtico15x es el trmino lineal y4 es el trmino independiente

15 15 2 9 4

15 2 3 2

15 12

2x x

x x

x x

( )( )15 2(3x)(2)

15 12x

Por lo tanto, el trinomio no es un cuadrado perfecto; para factorizarlo, es necesario utilizar otro tipo de tcnica.

Los griegos utilizaron una simbologa que se ha clasificado como retrica y sincopada.

Diferencia de cuadrados

Las diferencias de cuadrados son binomios en los cuales sus trminos se encuentran separados por el signo negativo, adems de que los nmeros o las expresiones alge-braicas que las forman pueden expresarse como potencias elevadas al cuadrado.

Un ejemplo de una diferencia de cuadrados es 25 162x que es un binomio cuyos trminos se encuentran separados por el signo menos, adems de que:

25x2 = (5x)2

16 = (4)2

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40 Bloque II

Por ello la diferencia que analizamos se puede expresar como:

25x2 16 = (5x)2 (4)2

Las diferencias de cuadrados son productos de binomios conjugados. Lo anterior puede comprobarse a partir de la forma que stos presentan.

a2 b2 = (a b)(a + b)

Para factorizar una diferencia de cuadrados es necesario que se utilice la raz cuadrada de cada uno de los trminos y se arreglen en forma de binomios conjugados.

Ejemplo

Factorizar 36 252x .

Primero comprobaremos que la expresin es una diferencia de cuadrados.

36 6

25 5

2x x==

36x2 25 = (6x)2 (5)2

Ahora que sabemos que la expresin que queremos factorizar es una diferencia de cuadrados; utilizaremos la forma de binomios conjugados.

a2 b2 = (a b)(a + b)

36x2 25 = (6x)2 (5)2 = (6x 5)(6x + 5)

Factorizacin combinada

Algunas expresiones algebraicas que son factorizables tienen, al mismo tiempo, dos formas de factorizacin involucradas.

Ejemplo 1

Factorizar 6 242x .

El binomio que deseamos factorizar tiene como factor comn al nmero 6.

6x2 24 = 6(x2 4)

En la expresin resultante es posible factorizar utilizando diferencias de cuadrados.

6x2 24 = 6(x2 4)

= 6(x 2)(x + 2)

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41Leccin 1

Ejemplo 2

Factorizar x4 8x2 + 16.

El trinomio que deseamos factorizar es un trinomio perfecto, debido a que cumple con la propiedad que mencionamos en otra seccin, pero sus trminos no tienen los nombres que les dimos en ese momento.

8 2 16

8 2 4

8 8

2 4

2 2

2 2

x x

x x

x x

===

( )( )

Por lo tanto, es posible factorizar la expresin como un binomio al cuadrado.

x4 8x2 + 16 = (x2 4)2

La expresin que ha quedado en el interior del parntesis es una diferencia de cuadrados, por lo que se puede factorizar como binomios conjugados.

x x x

x x

x x

4 2 2 2

2 2

2 2

8 16 4

4 4

2

+ = = =

( )

( )( )

( ) 22 22

2 2 2 2

= + +

( )

( )( )( )( )x x x x

I. Clasifica las siguientes expresiones en polinomios que tienen un factor comn, trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados.

1. k x2 10 25 +

2. x2 36

3. m x2 6 9+ +

4. 16 32 122 3 4h h h +

5. 49 812n

6. 36 1212k

7. 9 30 252m m+ +

8. 18 27 456 5 4x x x +

9. 7 14 492x x

10. s219

LO QUE APREND

M02_ALGEBRA.indd 41 9/6/10 7:24:55 PM

42 Bloque II

II. Factoriza cada una de las expresiones de la seccin anterior.

III. Factoriza las expresiones algebraicas que se muestran a continuacin; en cada una de ellas se utiliza ms de una forma de factorizacin de esta leccin.

1. 8 16 82x x +

2. 5 802k

3. 4 24 363 2x x x +

4. x x4 250 625 +

5. x4 81

6. 6 48 964 3 2x x x+ +

7. x x3 36

8. x x x5 38 16 +

En parejas, analicen los siguientes diseos y contesten las preguntas que se I. indican. La cantidad anotada en cada parte de la figura representa su rea.

1.

a) Escriban una expresin que represente el rea de todo el rectngulo.

b) Escriban una expresin que represente la medida del largo.

c) Escriban una expresin que represente la medida del ancho.

d ) Si el rea de un rectngulo se obtiene multiplicando la medida de su largo por su ancho, escribe la expresin que representa dicho produc- to en este caso.

e) Las expresiones que escribiste en los incisos a) y d ), son equivalentes?

Por qu?

x 1 1

x 1 1

x 1 1

PRODUcTO

Factorizacin de trinomios

M02_ALGEBRA.indd 42 9/6/10 7:24:59 PM

43Leccin 1

2.




d ) Si el rea de un rectngulo se obtiene multiplicando la medida de su largo por su ancho, escribe la expresin que representa dicho producto en este caso.

e) Las expresiones que escribiste en los incisos a) y d ) son equivalentes?

Por qu?

3.






Por qu?

x 2 x x x x

x 1 1 1

x 2 x x x

M02_ALGEBRA.indd 43 9/6/10 7:24:59 PM

44 Bloque II

II. Reunidos en grupos de tres integrantes, realicen lo siguiente:

1. Diseen un modelo de rectngulo, como los anteriores, para representar las siguientes expresiones algebraicas:

a) 2x2 + 4x

b) x2 + 7x + 12

c) 6x2 +17x +12

Factorizacin

La factorizacin es un proceso que consiste en, dada una expresin algebraica (producto), encontrar los factores que la producen.

En el bloque anterior exploramos algunas formas de factorizacin; a continuacin se expondrn otros casos de este tipo de transformaciones algebraicas.

Los babilnicos utilizaban lge-bra alrededor de 1810 antes de Cristo. En la imagen se representa a Hammurabi, rey babilnico.

4.






Por qu?

x 1

x 1

x 1

x 2 x

x 2 x

M02_ALGEBRA.indd 44 9/6/10 7:24:59 PM

45Leccin 1

4.






Por qu?

Factorizacin por agrupacin

Este proceso consiste en agrupar los trminos que tengan al menos un factor comn; stos se factorizan y se repite el proceso.

Factorizacin de un trinomio de la forma ax 2 + bx + c, cuando a = 1

Consideremos el producto de dos binomios (x + m)(x + n).

(x + m)(x + n) = x2 + mx + nx + mn

= x2 + (m + n)x + mn

Hasta aqu tenemos el producto de los binomios, ahora podemos sustituir las lite-rales de la siguiente forma:

b = m + nc = mn

(x + m)(x + n) = x2 + bx + c

En seguida veremos lo explicado de manera inversa; podemos decir que es posible factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, de la siguiente manera:

x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

siempre y cuandob = m + nc = mn

Ejemplo 1

Factorizar ax + ay + bx + by en trminos de x y y.

ax + bx + ay + by Agrupacin de los trminos con factor comn.

x(a + b) + y (a + b)Factorizamos aquellos trminos que tienen un factor comn.Como observamos, quedan dos trminos con un factor comn (a + b), los cuales volvemos a factorizar.

(a + b) (x + y) Esta expresin es la factorizacin del polinomio.

Ejemplo 1

Factorizar x2 x 42 de donde se puede considerar que c = 42 y b = 1.

Ejemplo 2

Factorizar 2x2 +8y 4xy 4x.2x2 +8y 4xy 4x = 2x2 4x + 8y 4xy

= 2x(x 2) 4y(x 2) = (2x 4y) (x 2)

En la imagen, solucin griega a ecuaciones de segundo grado. Elementos de Euclides.

M02_ALGEBRA.indd 45 9/6/10 7:25:00 PM

46 Bloque II

Factorizacin de un trinomio de la forma ax 2 + bx + c, cuando a 1

Para factorizar ax2 + bx + c, consideraremos una expresin distinta de ella; para facilitar el proceso, multiplicaremos por a para obtener:

a(ax2 + bx + c) = a2x2 + ab + ac

La expresin que ahora tenemos es a veces mayor que el polinomio que pretende-mos factorizar. Podemos representar el producto que acabamos de obtener de la siguiente forma:

(ax)2 + b(ax) + ac = (ax)2 + b(ax) + q

Ahora, debemos encontrar dos nmeros que multiplicados den como producto 42; los cuales pueden ser:

6 y 7 6 y 7 14 y 3 14 y 3 21 y 2 21 y 2 41 y 1 42 y 1

Ahora bien, de todas estas posibilidades, la nica pareja que sumados dan 1, son 6 y 7.

Entonces: x2 x 42 = (x + 6) (x 7).

ComprobacinPara comprobar el resultado, es necesario que multipliquemos los factores; si hemos factorizado correc-tamente la expresin, el producto debera ser el trinomio inicial.

(x + 6)(x 7) = x2 + 6x 7x 42 = x2 + 6x 7x 42 = x2 x 42

Ejemplo 2

Factorizar x2 +12x +35.

Debemos encontrar dos nmeros que, multiplicados, den 35; stos pueden ser:

1 y 35 1 y 35 7 y 5 7 y 5

en caso de ser nmeros enteros, pero sumados deben dar 12. De esta manera, (1) + (35) = 36, (1) + (35) = 36, (5) + (7) = 12 y (7) + (5) = 12. Luego, los nmeros son 5 y 7.

Entonces: x2 +12x + 35 = (x + 5) (x + 7). Portada de la obra de Diofanto, considerado padre del lgebra.

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47Leccin 1

Observa que el polinomio que tenemos es de la forma del polinomio que facto-rizamos en el apartado anterior, por lo que es posible factorizarlo de una manera semejante.

En el apartado anterior

x 2 + bx + c = x + m( ) m + n( )b = m + nc = mn

ax( )2 + b ax( ) + q = ax + m( ) ax + n( )b = m + nq = mn

En este tipo de factorizacin

La factorizacin que hemos obtenido es vlida, exceptuando porque se obtuvo a partir de un polinomio a veces mayor al polinomio que inten-tamos factorizar; para obtener la factorizacin que buscamos, debemos dividir la factorizacin entre a.

En el polinomio mayor:

ax( )2 + b(ax)+ ac = ax( )2 + b(ax)+ q = (ax + m)(ax + n) , donde q = ac

En el polinomio que factorizamos:

ax2 + bx + c = a

2x2 + abx + aca

=ax( )2 + b(ax)+ ac

a=

ax( )2 + b(ax)+ qa

= (ax + m)(ax + n)a

Por lo tanto:

ax2 + bx + c = (ax + m)(ax + n)

a

siempre y cuando: b = m + n y q = ac = mn.

Ejemplo 1

Factorizar 5x2 11x + 6.

Multiplicamos por 5 el polinomio original, por lo que obtenemos:

25x2 11(5x)+ 30 = (5x)2 11(5x)+ 30 .

Buscamos dos nmeros que al mismo tiempo sumen 11 y su producto sea 30.

(6) + (5) = 11 y (6) (5) = 30

de donde (5x)2 11(5x) + 30 = (5x 5) (5x 6), pero el polinomio es cinco veces mayor al polinomio que pretendemos factorizar.

Por ello: 5x2 11x + 6 = ( )( ) ( )( )

( )( )5 5 5 6

55 1 5 6

51 5 6

x x x xx x

= =

Actual puerto de Alejandra, hogar de Diofanto, padre del lgebra.

Faro de Alejandra.

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48 Bloque II

I. Factoriza las siguientes expresiones:

1 ax + ay bxby = 5 ax bx + 8ay 8by =

2 ambm+anbn= 6 3m 2n 2nx3 + 3mx3 =

3 6ax 3bx+ 2ay by = 7 x2 a2 + x a2x =

4 2ax+ 4bx 2ay + 4by = 8 4a2 1a2 + 4a =

1 x2 + 7x + 10 = 6 b2 20b + 100 = 11 y2 9y + 20 =

2 a2 + 6a + 9 = 7 a2 15a + 56 = 12 a2 + a2 =

3 a2 a 30 = 8 y2 5y 24 = 13 x2 x 6 =

4 y2 11y + 18 = 9 b2 3b 10 = 14 a2 7a + 18 =

5 n2 n 2 = 10 12 8x + x2 = 15 x2 5x 36 =

1 20x2 + x 1 = 3 6x2 11ax 10a2 = 5 y2 9y + 20 =

2 21a2 + 11a 2 = 4 6 5a2 6a4 = 6 a2 + a 2 =

Ejemplo 2

Factorizar 6x2 + 7x 3.

Multiplicando por 6 el polinomio original, tenemos: 36x2 + 7(6x)18 = (6x)2 + 7(6x)18.

Ahora buscamos dos nmeros que al mismo tiempo sumen 7 y que su producto sea 18.

De las 6 posibilidades que existen, slo 9 y 2 satisfacen las dos condiciones simultneamente, pues

(+9) + (2) = 7 y (+9) (2) = 18

Entonces, (6x)2 + 7(6x) 18 = (6x + 9) (6x 2), pero el polinomio que hemos factorizado es seis veces mayor que el polinomio que pretendamos factorizar.

Por ello: 36x2 + 7(6x) 18 =

(6x + 9)(6x 2)6

= (6x + 9)(6x 2)(3)(2)

= (6x + 9)(3)

(6x 2)(2)

= (2x + 3)(3x 1)

Divisin de polinomiosPara dividir un polinomio entre otro, consideramos dos formas; la primera es haciendo uso del algoritmo; la otra es haciendo uso de las propiedades estudia-das hasta este momento.

LO QUE APREND

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49Leccin 1

Ley de los exponentes para la divisinNuestra intencin es determinar la divisin de potencias de la misma base, es decir,

am

an

Por la definicin de potencia, es posible ver que escribir el numerador como la multiplicacin del nmero a, tantas veces como indique el valor de m; asimismo, el denominador llega a ser escrito de manera equivalente como la multiplicacin de a tantas veces como indica n. { }Tantas veces como indica m

am

an= a a a a a a ... a a

a a a a ... a a

Tantas veces como indica n

La propiedad fundamental de las fracciones nos permite eliminar los factores que son comunes al numerador y al denominador.

Tantas veces como indica m

am

an= a a a a a a ... a a

a a a a ... a a= a a ... a

Tantas veces Tantas veces como indica n como indica m y n

Eliminamos en el numerador tantos nmeros como hay nmeros iguales en el denominador.

{ } }Por ello, es posible representar la divisin de potencias de la misma base como:

am

an= amn

Divisin de un monomio entre otro monomio

Ejemplo 1

Determinar

x8

x3.

Podemos determinar la operacin que se solicita de dos formas: por la definicin de potencia o, de manera sinttica, utilizando la expresin que acabamos de obtener.

Por la definicin de potencia:

x8

x3= x x x x x x x x

x x x= x x x x x = x5

China tiene aportes importantes a la matemtica, por ejemplo Liu Hui J propone en el ao 263 una aproximacin del nmero pi.

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50 Bloque II

De manera sinttica:

x8

x3= x83 = x5

Normalmente ocupamos la forma sinttica para resolver este tipo de operaciones.

Ejemplo 2

Determinar

q10

q4.

q10

q4= q104 = q6

Ejemplo 3

Determinar

18m4

2m6

Es necesario considerar por separado los coeficientes y las literales.

18m4

2m6= 9 2

2m46

= 9m2

Hemos efectuado la operacin indicada; sin embargo, el exponente en la literal es negativo, por lo que es nece-sario realizar un proceso que nos permita determinar un exponente equivalente, pero con signo positivo.

2= 0 2Por la propiedad de la existencia del

neutro aditivo.

9m2 = 9m0 2 Por el principio de sustitucin.

= 9 m

0

m2

Inverso de la ley de los exponentes para la divisin.

amn = a

m

an

= 9 1

m2

Todo nmero real elevado a la cero potencia es 1.

ao = 1

= 9

m2 Multiplicando.

Concluimos que

18m4

2m6= 9

m2.

Ejemplo 4

Simplificar la expresin

4x10

18x.

4x10

18x= 2 2

2 9x101

= 29

x 9

Los antiguos hindes tenan mtodos algebraicos muy desarrollados.

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51Leccin 1

Divisin de un polinomio entre un monomio

Divisin de un polinomio entre otro polinomio (algoritmo)

Empezaremos por dar un requisito para utilizar el algoritmo de la divisin de poli-nomios; la expresin algebraica racional debe ser impropia, es decir, el numerador tiene un polinomio de exponente mayor que el denominador.

El algoritmo de la divisin, que tambin se basa en la propiedad distributiva, permite resolver divisiones exactas e inexactas. Para explicarlo, nos valemos de un ejemplo.

Ejemplo

Determinar

12x6 17x5 6x4 + 2x3

4x3.

Utilizamos la propiedad distributiva, de manera que dividimos cada uno de los trminos del numerador entre el denominador.

12x6 17x 5 6x 4 + 2x 3

4x 3= 12x

6

4x 3 17x

5

4x 3 6x

4

4x 3+ 2x

3

4x 3

= 3 44

x63 174

x 53 2 32 2

x 43 + 1 22 2

x 33

= 3x 3 174

x 2 32

x1 + 12

x 0

= 3x 3 174

x 2 32

x + 12

Ejemplo 1

Determinar el cociente de:

6x2 7x 192x 5

.

Pasos Desarrollo Explicacin

1. 2x 5 6x2 7x 19 Empezamos por hacer un arreglo que permita la divisin.

2. 2x 5 6x2 7x 19

3x

Dividimos el primer trmino del dividendo entre el divisor, es decir,

6x2

2x= 3x.

El resultado se coloca en la parte de arriba del arreglo en la posi-cin del cociente.

3.

2x 5 6x2 7x 193x

6x2 +15x

Multiplicamos cada uno de los trminos del divisor por el trmino que hemos encontrado del cociente; el producto lo colocamos en la parte inferior del arreglo, pero con los signos cambiados.

Multiplicamos: 3x(2x 5) = 6x2 15x.

Agregamos: 6x2 +15x.

La cultura hind hizo aportaciones muy importantes a la matemtica.

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52 Bloque II

4.

2x 5 6x2 7x 193x

6x2 +15x8x

Sumamos o restamos los trminos semejantes del arreglo de acuer-do con su signo.

5.

2x 5 6x2 7x 193x

6x2 +15x8x

Bajamos los trminos restantes del dividendo, que es 19, en este caso.

6.

2x 5 6x2 7x 193x + 4

6x2 +15x8x 19

Repetimos el proceso.

Dividimos el primer trmino del dividendo entre el

divisor, es decir,

8x2x

= +4 . El resultado lo colocamos

en la parte superior del arreglo.

7.

2x 5 6x 2 7x 193x + 4

6x 2 + 15x8x 19

8x + 20

Multiplicamos el trmino que acabamos de encontrar por cada uno de los trminos del divisor; el resultado lo colocamos en la parte inferior del arreglo cuidando cambiar cada signo.

Multiplicamos: 4(2x 5) = 8x 20 .

Agregamos: 8x + 20 .

8.

2x 5 6x 2 7x 193x + 4

6x 2 + 15x8x 19

8x + 201

Simplificamos los trminos semejantes en la parte inferior del arreglo.

El cociente de la divisin es 3x + 4 ; la divisin no es exacta, debido a que tenemos un residuo de 1.

Otra forma de expresar la respuesta es:

6x2 7x 192x 5

= 3x + 4 + 12x 5

Ejemplo 2

Determinar el cociente y el residuo de la divisin

3x3 8x2 + 8x 2

.

Debido a que el polinomio del numerador est incompleto, le hace falta el trmino lineal; utilizaremos un polinomio equivalente para completarlo.

3x3 8x2 + 8 = 3x3 8x2 + 0x + 8.

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53Leccin 1

Ahora utilizamos el algoritmo para la divisin de polinomios.

Pasos Desarrollo Explicacin

1. x 2 3x3 8x2 + 0x + 8 Empezamos por hacer un arreglo que permita la divisin.

2. x 2 3x3 8x2 + 0x + 8

3x2

Dividimos el primer trmino del dividendo entre el divisor, es

decir,

3x3

x= 3x2.

El resultado se coloca en la parte de arriba del arreglo, en la posicin del cociente.

3.

x 2 3x3 8x2 + 0x + 83x2

3x3 + 6x2

Multiplicamos cada uno de los trminos del divisor por el trmino que hemos encontrado del cociente; el producto lo colocamos en la parte inferior del arreglo, pero con los signos cambiados.

Multiplicamos: 3x2 (x 2) = 3x3 6x2.

Agregamos: 3x3 + 6x2.

4.

x 2 3x3 8x2 + 0x + 83x2

3x3 + 6x2

2x2

Sumamos o restamos los trminos semejantes del arreglo de acuerdo con su signo.

5.

x 2 3x3 8x2 + 0x + 83x2

3x3 + 6x2

2x2 + 0x + 8

Bajamos los trminos restantes del dividendo, que es 0x + 8, en este caso.

6.

x 2 3x3 8x2 + 0x + 83x2 2x

3x3 + 6x2

2x2 + 0x + 8

Repetimos el proceso.Dividimos el primer trmino del dividendo entre el divisor, es

decir,

2x2

x= 2x. El resultado lo colocamos en la parte superior

del arreglo.

7.

x 2 3x3 8x2 + 0x + 83x2 2x

3x3 + 6x2

2x2 + 0x + 82x2 4x

Multiplicamos el trmino que acabamos de encontrar por cada uno de los trminos del divisor; el resultado lo colocamos en la parte inferior del arreglo cuidando cambiar cada signo.

Multiplicamos: 2x(x 2) = 2x2 + 4x.

Agregamos: 2x2 4x.

8.

x 2 3x3 8x2 + 0x + 83x2 2x

3x3 + 6x2

2x2 + 0x + 82x2 4x

4x

Simplificamos los trminos semejantes en la parte inferior del arreglo.

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54 Bloque II

9.

x 2 3x3 8x2 + 0x + 83x2 2x

3x3 + 6x2

2x2 + 0x + 82x2 4x

4x + 8

Bajamos el trmino que falta de dividir del divisor.

10.

x 2 3x3 8x2 + 0x + 83x2 2x 4

3x3 + 6x2

2x2 + 0x + 82x2 4x

4x + 8

Repetimos el proceso:

Dividimos el primer trmino del dividendo entre el primer trmino

del divisor

Álgebra - basurto castillo

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