Capıtulo 1

Rectas notables

1.1. Puntos y rectas notables en el triangulo

Altura, mediana y bisectriz

Sean A, B y C los vertices de un triangulo de lados opuestos a, b y c,respectivamente.

A

a

B

b

C

c

A

a

B

b C

c

A

a

B

b C

c

b

H b

h

c

h c

H

a

H

a

M

c

M

b

M

m a m b a

V

b

V v

a

v b

Figura 1

A las distancias de los vertices a sus lados opuestos las llamaremos las alturasdel triangulo. A las alturas las denotaremos con ha, hb, hc, y a sus puntos deinterseccion con los lados con Ha, Hb, Hc, respectivamente.

Designaremos con ma, mb y mc las tres medianas , llamando ası a lasdistancias de cada vertice A, B y C al punto medio Ma, Mb y Mc del ladoopuesto.

Finalmente, denotaremos con va, vb y vc, a los segmentos de bisectriz de

1

2 CAPITULO 1. RECTAS NOTABLES

los angulos ∠A ∠B ∠C comprendidos entre dichos vertices y su respectivasintersecciones Va, Vb y Vc con los respectivos lados opuestos.

1.1.1. Circunferencia circunscrita

A

B C

cMbM

O

Figura 2

Hemos visto que tres puntos nocolineales A, B y C, determinan unacircunferencia que los contiene y cuyocentro O esta en la interseccion de lasmediatrices de los segmentos que es-tos puntos determinan. De modo que

En todo triangulo las mediatricesde sus lados se cortan en un punto alque llamaremos circuncentro, por sereste centro de la circunferencia llama-

da cirncunscrita al triangulo.

1.1.2. Ortocentro.

A

B C

BC

A'

' '

H

Figura 3

Teorema 1.1.1 Las paralelas de loslados de un triangulo ABC que pa-san por los vertices opuestos, formanotro triangulo A′B′C ′ de lados doblesdel primero. Los puntos medios de loslados del nuevo triangulo son A, B yC.

Demostracion. Veamos que el seg-mento C ′B′ es el doble de BC. Paraello consideremos el cuadrilatero

C ′ACB. Por construccion, este cuadrilatero es un paralelogramo y en con-secuencia los lados opuesto C ′A y BC son iguales. Otro tanto ocurre con elcuadrilatero AB′CB, es paralelogramo y AB′ es igual a BC. De igual manerase demuestra que los segmentos lados A′B′ y C ′A′ son dobles de los lados ABy CA respectivamente. �

Corolario 1.1.1 Las mediatrices del triangulo A′B′C ′ contienen a las altu-ras del triangulo ABC.

1.1. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIANGULO 3

Por ejemplo, la mediatriz del lado C ′B′, por construccion es perpendicular allado BC y pasa por el vertice A, conteniendo de esta manera la altura Ha.Otro tanto sucede con las otras alturas.

Corolario 1.1.2 Las alturas de todo triangulo se cortan en un mismo punto.

Este punto se llama el ortocentro del triangulo.

1.1.3. Circunferencia inscrita

Teorema 1.1.2 Las tres bisectrices internas de un triangulo se cortan en unpunto.

A

B C

I

Figura 4

En efecto las bisectrices de losangulos ∠A y ∠B se cortan porqueforman con la secante comun ABangulos cuya suma es menor que unollano (Euclides). El punto I de inte-seccion de estas rectas equidista delos lados adyacentes a los angulos ∠Ay ∠B, esto es, de los tres lados. Se si-gue que la tercera bisecriz ha de cor-tar a las anteriores en el mismo punto.El punto de interseccion se llama in-

centro del triangulo.

Corolario 1.1.3 Existe una unica circunferencia interior, tangente a los treslados de un triangulo.

Se llama circunferencia inscria en el triangulo.

Circunferencia exinscrita

El incentro de un triangulo es el unico punto interior que equidista delas rectas de los lados. Existen tambien puntos exteriores que tiene la mismapropiedad y se llaman exincentros .

4 CAPITULO 1. RECTAS NOTABLES

Ası como el incentro se obtiene de considerar las bisectrices internas deun triangulo, consideremos por ejemplo las bisecrices de los angulos ∠PAC

A

B

C

a

b

ccI

bI

aI

P Q

I

Figura 5

y ACQ (ver la figura 5). Dichas bi-sectrices se cortan por cortase susperpendiculares (como acabamos dever). Igual que antes, el punto de in-tersccion Ib equidista de las tres rec-tas BP , BQ y AC. Por ser equidis-tante de BP y BQ el punto Ib se ha-lla sobre la bisectriz del angulo ∠B.Hemos demostrado el siguiente

Teorema 1.1.3 Cada dos bisectrices exteriores de un triangulo concurrenen un punto con la bisecriz interior del tercer vertice. Este punto es centro deuna cricunferencia tangente a un lado y las prolongaciones de los otros dos.

La circunferencia mencionada se llama exinscrita al triangulo. Existen puestres circunferencias exinscritas y tres exincentros.

Consideremos el triangulo formado por los exincentros. Los lados de estetriangulo son bisctrices exteriores del triangulo dado y las bicectrices inte-riores de este son las alturas de aquel (por ser perpendiculares las bisectricesde angulos adyacentes). En particular, el triangulo IaAIb es recto, por lo queel angulo ∠Ib es agudo. El triangulo IaIbIc es acutangulo.

1.2. TRIANGULO ORTICO 5

1.2. Triangulo ortico

A

B

C

a b

g

d

aH

bH

cH

H

Figura 6

Teorema 1.2.1 Las alturas de to-do triangulo acutangulo ABC sonbisectrices interiores del trianguloHaHbHc, cuyos vertices son las in-tersecciones de dichas alturas con eltriangulo dado.

Demostracion. Veamos por ejem-plo que los angulos AHaHc y AHaHb

(marcados como α y β en la figura)son iguales. Observemos que los triangulos HbBC y HcBC son rectangulos ycomparten la hipotenusa BC. Los cuatro puntos Hb, Hc, B y C yacen sobreuna misma circunferencia. Se sigue que los angulos inscritos γ y δ son iguales.Tambien ocurre que los triangulos rectangulos HHbC y HHaC comparten suhipotenusa. Los puntos H, Ha, C y Hb se encuentran sobre una circunferenciay los angulos inscritos β y γ son iguales. De la misma manera se demuestraque α es igual a δ, quedando de esta manera demostrado el teorema.�

El triangulo HaHbHc se llama el triangulo ortico del triangulo ABC

Corolario 1.2.1 Los lados de un triangulo acutangulo son las bisectricesexteriores de su triangulo ortico. Los vertices de aquel son los excicentros deeste.

A B

C

H

HaHb

Hc

aMbM

cM

Figura 7

Si el triangulo es obtuso, se pue-de demostrar que dos de los lados sonbisectrices inteririores y el tercero esbisectirz exterior del triangulo ortico.Las alturas son las bisectrices restan-tes. Si el triangulo es rectangulo noexitiste triangulo ortico.

6 CAPITULO 1. RECTAS NOTABLES

Seis puntos notables de la circunferencia circunscrita

A B

C

'aG

Ga

Figura 8

Recordando los razonamientosque se dieron en la discusion de haceshomologos en una rotacion podemosenunciar sin mas el siguiente

Teorema 1.2.2 La circunferenciacircunscrita a un triangulo ABCcontiene los puntos de interseccionde la mediatriz de cada lado con lasbisectrices que pasan por el verticeopuesto.

Ga A

B

COI

Ia

cI bI

cGbG

'Ga

bG'cG'

Figura 9

Consideremos el triangulo ABCy el triangulo IaIbIc formado por losexincentros de aquel. Hemos visto quelas alturas del triangulo de excincen-tros pasan por los puntos A, B y C.Ası por ejemplo los triangulos AIaIb yBIaIb son rectangulos y comparten lahipotenusa IaIb. A y B estan por tan-to en una circunferencia cuyo centroes la interseccion de esta hipotenusacon la midiatriz

del segmento AB, esto es, con el punto Gc. Analogamente, el segmento IIc eshipotenusa compartida de los triangulos rectangulos AIIc y BIIc. Los puntosA y B estan sobre una circunferencia de diametro IIc cuyo punto medio essu interseccion con la mediatriz del segmento AB, o sea el punto G′

c. Hemosdemostrado el siguiente

Teorema 1.2.3 La circunferencia circunscrita a un triangulo cualquiera,contiene los puntos medios de los lados del triangulo de los exincentros, ası co-mo los puntos medios de los segemtnos que unen estos con el incentro

Cırculo de Feuerbach

Aplicando lo anterior al triangulo ortico de uno no rectangulo tenemos

1.2. TRIANGULO ORTICO 7

Teorema 1.2.4 La circunferencia que pasa por los extremos de las alturasde un triangulo acutangulo contiene los puntos medios de sus lados ası comolos puntos medios de los segmentos de altura comprendidos entre cada verticey el ortocentro.

Esta circunferencia se llama circunferencia de Feuerbach (tambien llamadade Euler).

Baricentro de un triangulo

A B

C

GMa

cM

bM

P Q

Figura 10

Teorema 1.2.5 Las tres medianasde un triangulo ABC concurren enun punto G. El segmento de medianacomprendido entre el punto medio dellado y el el punto G es un tercio dela misma.

Demostracion. Sea G la interseccionde dos de las medianas Ma y Mb. SeanP y Q puntos medios de los segmen-tos AG y BG respectivamente.

Observamos que la recta MaMb es paralela media del triangulo ABC y es lamitad del segmento AB. La recta PQ es paralela media del triangulo ABG yes tambien mitad del segmento AB. El cuadrilatero PQMaMb es rectangulopues dos de sus lados son paralelos e iguales y el punto G es punto medio desus diagonales. Ası

MaG = GP = PA y MbG = GQ = QB.

Finalmente la otra mediana debe pasar por G puesto que debe dividir alas otras dos de la misma manera. Al punto G lo llamremos baricentro deltriangulo.

8 CAPITULO 1. RECTAS NOTABLES

Recta de Euler

A

B C

HG

M M'

Ma

Mb

P

Q

Figura 11

Consideremos el triangulo ABC.Sean Ma y Mb los puntos medios delos lados BC y AC respectivamente.Sean G el baricentro del triangulo yH el ortocentro del triangulo. Por elpunto medio P del segmento AG tra-cemos la paralela de la altura ha. Porser paralela media del triangulo AHGdicha recta corta al lado HG en supunto medio M . Lo mismo ocurre consi trazamos la paralela de la altura hb

por el punto medio Q del

segmento BG. En la simetrıa con respecto al punto G, los puntos Ma y Mb

son simetricos de P y Q respectivamente y M ′ simetrico de M resulta ser elcircuncntro del triangulo. Con esto, hemos demostrade el siguiente

Teorema 1.2.6 El baricentro de un triangulo es colineal con el ortocentro yel circuncentro y esta a doble distancia del primero que del segundo.

La recta que contiene a estos tres puntos se llama recta de Euler .

Recta de Simson

A B

C

P Q

R S

Figura 12

Sea ABC un triangulo y P unpunto sobre la circunferencia circuns-crita a dicho triangulo. Sean Q, R yS los pies de las perpendiculares a loslados que pasan por el punto P . Enel cuadrilatero ARPQ los angulos noconsecutivos son suplementarios. Sesigue que los vertices de dicho cua-drilatero estan sobre una misma cir-cunferencia y que los angulos ∠QPA

y ∠QRA sonn iguales. De manera semejante, el cuadrilatero BPRS tienesus vertices sobre una misma circunferencia, puesto que los triangulos BPR

1.3. APLICACIONES DEL ARCO CAPAZ 9

y BPS son rectangulos en R y S, respectivamente. Se sigue que los angulos∠SPB y ∠SRB son iguales.

Ahora bien, los angulos ∠APB y ∠QPS son ambpos suplementarios delangulo ∠C, el primero por estar el vertice P de distinto lado que C respectode la cuerda AB y el segundo porque los angulos ∠A y ∠B en el cuadrilateroCQPS son rectos. El giro que mueva la semirrecta PQ sobre la semirrectaPA, llevara la semirrecta PS sobre PB, por lo que los angulos ∠QPA y∠SPB son iguales. La discusion anterior demuestra el siguiente

Teorema 1.2.7 Los pies de las perpendiculares a los lados de un triangulo,desde un punto sobre la circunferencia circunscrita son colineales.

La recta que los contiene se llama la recta de Simson.

1.3. Aplicaciones del arco capaz

En construcciones, donde uno o varios angulos son conocidos, es util con-siderar este concepto.

A

A

a

h a

Figura 13

Ejemplo 1. Construir un trian-gulo, dados a, ha y ∠A.

Comenzamos trazando el arco ca-paz del segmento a con angulo ∠A.Trazammos la recta paralela al seg-mento a a distancia ha de esta. Lospuntos de interseccion de aquella rec-ta con el arco capaz son vertices deltriangulo buscado.

10 CAPITULO 1. RECTAS NOTABLES

a

m a A

A

Figura 14

Ejemplo 2. Construir un trian-gulo, dados a, ma y ∠A.

Trazado el arco capaz del segmen-to a y de angulo A, trazamos por elpunto medio del segmento un arco decircunferencia de radio ma, que las in-tersecciones de este arco con el arcocapaz proveen las intersecciones deltercer vertice del triangulo buscado.

Ejercicios.

1. Sean A el vertice de un angulo agudo ∠A y H un punto interior adicho angulo. Determine el triangulo ABC que tiene al punto H comoortocentro.

2. Sea ABC un triangulo que no es rectangulo. Las paralelas de los la-dos de este triangulo que pasan por los vertices opuestos, forman otrotriangulo A′B′C ′. Muestre que el ortocentro del triangulo ABC es elcircuncentro del triangulo A′B′C ′.

3. Considere la circunferencia circunscrita a un triangulo y los arcos decircunferencia determinada por ella y los vertices del triangulo. Muestreque los simetricos de dichos arcos, respecto a los lados respectivos deltriangulo, se intersectan en el ortocentro del triangulo.

4. Sean a, b y c tres rectas secantes dos a dos. Determine las cirunferenciastangentes a estas tres rectas.

5. Dados tres puntos no colineales trazar tres circunferencias tangentesdos a dos en los puntos dados.

6. Demostrar que las paralelas a dos lados de un triangulo por el baricentrocortan al tercer lado en tres segmentos iguales.

7. Demostrar que la recta que une al vertice A de un triangulo ABCcon el incentro, corta a la circunferencia circunscrita en un punto Pequidistante de B, I y C.

8. Construir un cuadrado que pase por cuatro puntos dados.

1.3. APLICACIONES DEL ARCO CAPAZ 11

9. Construir un rombo que pase por cuatro puntos dados, conocido unode sus angulos.

10. Condicion necesaria y suficiente para que un trapecio se inscriptible.

11. * Dadas dos rectas fijas secantes m y n y en ellas, dos puntos fijos M yN , consideremos dos circunferencias s1 y s2 respectivamente tangentesa m en M y a n en N y ademas tangentes entre sı en P . Hallar el lugargeometrico de P .