MATEMÁTICA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

RECTAS EN EL PLANO

Ing : DANIEL IRENE

TEMA: VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO

1.1 Vector en el planoLas aplicaciones matemáticas con frecuencia se relacionan con magnitudes que poseen tanto cantidad como dirección.

Definición.-Los físico e ingenieros entienden como vector un segmente rectilíneo dirigido, y las magnitudes que poseen cantidad dirección se denominan magnitudes vectoriales. En contraste, una magnitud que tiene cantidad pero no dirección se llama magnitud escalar.

(2,3) (h+2, k+3)

(h , k)

Coordenadas Cartesianas

 El producto cartesiano AXB (A cruz B) de los conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) en los cuales la primera componente x, es elemento de A y la segunda componente, y, es elemento de B. Por definición el producto cartesiano es:

Las rectas perpendiculares divididas en segmentos numerados que aparecen en la Fig.1-2 se llaman ejes de los sistemas de coordenadas, y su punto de intersección, O, se llama el origen del sistema de coordenadas. Las cuatro regiones en que los ejes de coordenadas dividen al plano se llaman cuadrantes y se numeran I, II, III, IV como se muestra en la Fig.

yyxyx :,2

Puesto que un par ordenado de números reales (x,y) se puede emplear para determinar una traslación en el plano, a un par ordenado se le llama frecuentemente vector. La representación geométrica de un vector (x,y) es una flecha o un segmento de recta dirigido, en el plano; la flecha se llama vector geométrico.La flecha asociada con (x,y) que tiene su punto inicial en el origen se le llama representación ordinaria y se dice que tiene una posición ordinaria

o x

y

u

1.1.1 Componentes de un vector: (Origen, modulo, dirección y sentido)

En un segmento de recta dirigido PQ que tiene como punto inicial P y como punto final Q, su Longitud, Magnitud o Módulo se representa

Q

P

Punto Final

PQv Punto Iniicila

Un vector en el plano es un par ordenado de números reales (x,y). Los números x e y son las componentes del vector (x,y). De esta definición, dos vectores y son iguales si y sólo si y

1.1.1 Componentes del vector.

Módulo o magnitud (norma) de v

Definición.- El módulo de un vector a, denotado por , es la longitud de cualquiera de sus representaciones.

Teorema: Si A es el vector ,entonces

Ángulo Director

Definición.- El ángulo director de cualquier vector diferente del vector 0 es el ángulo medido desde la parte positiva del eje x en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj hasta la representación de posición del vector

1.1 Vector en el plano

Suma de vectores Definición.-Para sumar dos vectores por la regla del

paralelogramo, se trazan paralelas a cada uno de los vectores, y la resultante será la recta trazada desde el punto de origen de los dos vectores hasta la intersección de las paralelas.

Teorema: La suma de los vectores A= y B= es el vector A+B definido por

1.1.2 Operaciones Vectoriales Fundamentales

En general véase la Fig.2 una traslación a lo largo de cualquier flecha que represente al vector V1=(x1,y1) seguida de una traslación del punto final de esta flecha a lo largo del flecha que representa al vector V2=(x2,y2) produce como resultado una traslación total, correspondiente al vector (x1+x2,y1+y2) Esto nos permite definir la adición de dos vectores de la siguiente manera:

Si )8,6())4(4),6(0(),( yx

Definición del negativo de un vector

Si A= entonces el negativo de A denotado por –A es el vector

A -A

Definición de la diferencia de dos vectores

La diferencia de los vectores A y B, denotada por A-B, es el vector que se obtiene al sumar A al negativo de B; es decir,

A-B=A+(-B). Si A= y B=

entonces –B= y A-B=

Multiplicación de un vector por un escalar

Si c es un escalar y A es el vector , entonces el producto de c y A, denotado por cA, es el vector definido por:

Y el módulo de un vector por un escalar será:

1.1.2 Operaciones Vectoriales Fundamentales

1.1.2.1.PROPIEDADES DE LA ADICION DE VECTORES

Si u, v y s son vectores en R2, entonces:

Cerradura

Conmutatividad

Asociatividad

Idéntico aditivo

Inverso aditivo

Otras propiedades, siendo c y d escalares, entonces:

2Rvu uvvu )()( svusvu

uuyuu 00

uuyuu )(0)(

Producto interno de vectoresSi u y v son vectores no nulos y u es perpendicular a v, entonces u, v, y u-v (el vector que va de u a v) tienen representaciones geométricas que forman un triángulo rectángulo. Figura Aplicando el teorema de Pitágoras a este

triangulo, se tiene:

La expresión ocurre con tanta frecuencia cuando se trabaja con vectores (no solamente con vectores perpendiculares) que se le da nombre, y se le asigna un número especial. Se llama producto interno, producto punto o a veces producto escalar de los dos vectores . Es decir se tiene la siguiente definición.

222vuvu

Si 2

11, yxu y 222 , yxv , entonces

21212211 ,.,. yyxxyxyxvu

Si

2u y 2v , entonces u y v son vectores perpendiculares si y solo

si u.v=0

Si v = (x,y), entonces Vp = (-y,x)

Claramente se tiene que V.Vp = (x,y).(-y,x) = 0

Propiedades del producto interno

Si u, v son vectores de R2 y r es un escalar tenemos:

22

2121

2221

2

212

221

1221

1221

21

22

1

22(

22(

)()(

),(

),(),(

uuvu

uuuuuuuuvu

uuuuvu

uuuuvu

uuuuvu

Angulo formado por dos vectores

Existe otro método para determinar si dos vectores son paralelos o no, que es sencillo, y se aplica a cualquier vector incluyendo al vector cero. Este método emplea el producto interno.

Sean ),( 11 yxu y ),( 22 yxv dos vectores de R2. Obsérvese que:

21212211 ),).(,(. xyyxxyyxVU p

Si

211 ),( yxu y

222 ),( yxv , entonces u y v son

vectores paralelos si y solo si u.vp = 0, es decir, si y solo si

0),).(,( 2211 xyyx

vu

vu

.

.cos

Espacio vectorial

Definición.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos, llamados vectores , junto con el conjunto de números reales , denominados escalares, con dos operaciones llamadas adición vectorial y multiplicación por un escalar.

Vectores unitarios

Definición.-Debido a que el módulo de cada uno de los vectores (1,0) y (0,1) es una unidad, se les conoce como vectores unitarios. A continuación se presenta la notación para estos dos vectores unitarios.

El número de elementos de una base de un espacio vectorial se denomina dimensión del espacio vectorial. Por lo tanto es un espacio vectorial de dos dimensiones (bidimensional).

y

x

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

Componentes escalares:

Componentes vectoriales

)(.

)(.

upbup

uau

bVcom

aVcom

VUb

Vua

p .

A.B = 0

B.C = (4,-1,3) (1, 2,3)

BC= 4-2+9

BC= 11

A.C = (0, 0, 0) (1, 2, 3)

AC= 0

1.2 Geometría Analítica

Definición.- L a geometría analítica estudia la relación que existen entre el algebra y la geometría como consecuencia de la asociación de números con puntos y de ecuaciones con figuras geométricas . Los primeros intentos sistemáticos hechos sobre este tema fueron ´publicados por René Descartes en 1637

1.2.1 COORDENADAS RECTANGULARES

Definición.-A cada punto de un plano leamos una pareja de números llamados coordenadas. Estas coordenadas son simplemente distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas, una de ellas horizontal, llamada eje x, y la otra llamada eje y. El punto de intersección de los ejes se llama origen , y se representa por la letra O.

1.2 Geometría Analítica

1.2.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS

Definición.- Desde el punto de vista de la geometría analítica , un segmento de recta empieza en un punto y termina en otro

SEGMENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES

Definición.- Si el segmento que une dos puntos es horizontal , las ordenadas de ambos puntos son iguales , y recíprocamente.

1.2.2 Segmentos Dirigidos

1.2.2.1 Distancia entre dos puntos

Definición.-La distancia entre dos puntos es igual, a la raíz cuadrada de la suma de la diferencia de abscisas al cuadrado y la diferencia de las ordenadas al cuadrado

Esta formula se la puede simplificar en los siguientes casos particulares:

Cuando los puntos están sobre una recta horizontal.

Cuando los puntos están sobre una recta vertical.

Distancia desde un punto cualquiera al origen

1.2.2 Segmentos Dirigidos

1.2.2.2 . Punto que divide a un segmento en una razón dada

Definición.- Los segmentos pueden ser divididos en distancias iguales para lo cual se encuentran las coordenadas de los puntos que los dividen.

Las coordenadas se encuentran con las siguientes fórmulas:

Coordenadas del punto medio:

1.2.2 Segmentos Dirigidos

1.2.2.3 Ángulo de InclinaciónDefinición.- Se llama ángulo de inclinación de una recta a aquel cuyo

lado inicial es la dirección positiva del eje horizontal y el lado terminal es la recta dada.

En síntesis podemos concluir que, si α es el ángulo de inclinación de la recta l, entonces:

α < 90° la recta se inclina hacia la derecha. α > 90° la recta se inclina hacia la izquierda. α = 90° la recta es vertical. α = 0° la recta es horizontal.

1.2.2 Segmentos Dirigidos

1.2.2.4 Pendiente

Definición.-La pendiente de una recta, es la tangente de su ángulo de inclinación, se la denota por m; por lo tanto:

Si conocemos el ángulo de inclinación podemos determinar su pendiente y viceversa.Valor de la

pendienteÁngulo de inclinación

Inclinación de la recta

m = 0 α = 0° Recta horizontal

m > 0 α < 90° Se inclina a la derecha

m no existe α = 90° Recta vertical

m < 0 α > 90° Se inclina hacia la izquierda

1.2.2.4 PENDIENTE DE UNA RECTA

En geometría analítica, generalmente conocemos puntos del plano, entonces es necesario encontrar una expresión que nos permita calcular la pendiente de una recta en función de la coordenadas de dos puntos de la recta (puesto que dos puntos determinan una recta ), lo que hacemos de la siguiente manera:

Varias rectas son paralelas, si tienen la misma pendiente, y si varias rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas.

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son valores recíprocos y de signo contrario, y viceversa. Es decir, si las pendientes de dos rectas son valores recíprocos y de signo contrario, entonces son perpendiculares.

1.2.2 Segmentos Dirigidos1.2.2.5 Ángulo entre dos rectas Definición.- La tangente de un ángulo formado por dos

rectas, es igual a la pendiente del lado terminal menos la pendiente del lado inicial, todo sobre uno más el producto de las dos pendientes.

1.2.2 Segmentos Dirigidos

1.2.2.6 Área de un Triángulo Para determinar el área de un triángulo, se lo encuentra

mediante el desarrollo de un determinante de tercer orden, que generalmente se escribe de la siguiente forma:

O simplemente, se utiliza lo mismo para diferentes polígonos.

Ejercicios de Aplicación Encontrar la tangentes de los ángulos de un triangulo cuyos

vértices son A(4,1),B(-1,3) Y C(-5,-2)

Tan A=

Tan B=

Tan C=

Ejercicios de Aplicación Demostrar que las rectas que unen los puntos medios de

lados consecutivos de un cuadrilátero forman un paralelogramo. Supóngase que consecutivos de un cuadrilátero forman un paralelogramo. Supóngase que los vértices son (0,0), (a,0),(b,c) y (d,e)

RECTAS EN EL PLANO

Ecuaciones Vectoriales de la recta

Rectas y segmentos de recta en el plano

Fig. 2 - 5

SISTEMA DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS CARTESIANASSi se escribe la ecuación paramétrica vectorial ordinaria de la recta que pasa por S y T, en términos del parámetro r y de las coordenadas S,T,U se tiene

PUNTOS QUE ESTÁN SOBRE UNA RECTACualquier vector no nulo v que sea paralelo a L se llamará vector de dirección de L.

PENDIENTE DE UNA RECTA; RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo, y se la designa mediante la letra m.

• Pendiente cuando se conocen dos puntos de la recta siempre y cuando X2 ≠ X1 , entonces la pendiente de L está dada por:

L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si (1,m1) y (1,m2) son perpendiculares, es decir si y sólo si

ECUACIONES CARTESIANAS EN LA RECTA

Forma cartesiana ordinaria de la ecuación de la rectaLa ecuación de la recta en el plano es:

Cualquier vector no nulo que sea perpendicular al vector de dirección de una recta L es un vector normal a L.

Si apreciamos en la gráfica A y B representa números reales, uno de los cuales es diferente a cero. Si U (x,y) es cualquier punto del plano, entonces U está sobre L si y sólo si u – s es paralelo a L, es decir, si y sólo si u – s es perpendicular a n.

O bien

Ecuación punto y pendiente, y ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.

Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente

Por la definición de la recta tenemos:

0. nsu

... nsnu

ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN

Por la definición de recta:

Si la abscisa al origen de una recta L es a y su ordenada al origen es b, con a ≠ 0 y b ≠ 0, se pueden emplear las coordenadas de los puntos de intersección de la recta L con los ejes (a,0) y (0,b), y por ecuación cartesiana de L que por dos puntos dados.

Si multiplicamos ambos miembros por 1/ab, tenemos:

Esta es la ecuación punto y pendiente de ordenada y abscisa al origen de la recta L.

axa

by

0

00

1b

y

a

x