folleto vectores

ANALISIS VECTORIAL VECTORES EN DOS DIMENSIONES

0 VECTORES - WALTER PEREZ TERREL VECTORES - WALTER PEREZ TERREL 1

1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior.

2. ELEMENTOS DEL VECTOR: el vector tiene dos elementos principales, el módulo y la dirección.

2.1) MÓDULO: Indica el valor de la mag-nitud vectorial. Geométricamente es el tamaño del vector.

Notación del vector: ( );= =

A OP x y donde A A=

representa al módulo del vector.

El módulo del vector se determina mediante el teorema de Pitágoras:

2 2A x y= +

2.2) DIRECCIÓN: es la orientación que

tiene el vector respecto al sistema de coordenadas cartesianas. En el plano de define mediante el ángulo que forma el vector con el eje “x” positivo.

El ángulo q se mide en sentido antihorario.

=q yTanx

Luego la medida del ángulo es:

=

q yarc Tanx

EJEMPLO 01: Se muestra un vector P cuyo origen es (0; 0) y el extremo (3; 4). Determine el módulo y dirección del vector P.

Resolución El módulo del vector se determina aplicado

el teorema de Pitágoras.

2 23 4 5A = + =

Dirección. Cálculo del ángulo que forma el vector con el eje x.

Utilizando calculadora: INV, TAN, (4/3) =

04 533

yTgx

q q= = ⇒ =

EJEMPLO 02: Se tiene un vector cuyo origen es (2; 3) y el extremo (8; 11). De-termine el módulo y dirección del vector.

Resolución Determinamos las componentes del vec-

tor, restando el punto extremo y el origen

del vector: ( ) ( ) ( )8 11 2 3 6 8x ; ; ;= − =

El módulo del vector se determina apli-

cado el teorema de Pitágoras.2 26 8 10x = + =

Cálculo del ángulo que forma el vector con el eje x.

Utilizando calculadora: INV, TAN, (4/3) =

08 4 536 3

yTgx

q q= = = ⇒ =

Respuesta: módulo 10 y dirección 53º respecto del eje x positivo.

CLASIF ICACIÓN DE LOS VECTORES: Se clasifican en vec-tores colineales, paralelos, opuestos, iguales, coplanares, concurrentes, etc. 3.1) VECTORES COLINEALES: Cuando todos ellos se encuentran contenidos en una misma línea recta o línea de acción. 3.2) VECTORES PARALELOS: Son aquellos que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelos.

OPERACIONES CON VECTORES

1. ADICIÓN DE VECTORES PA-RALELO Y COLINEALES: En este caso todos los vectores están contenidos en rectas paralelas o en la misma recta, entonces la dirección de los vectores se diferencian con el signo negativo (-) o el signo positivo (+).

Los vectores son:

a = +2 b

= -3 c = +4 El vector resultante es: R a b c= + +

= (+2) + (-3) + (+4) = +3 Entonces el rector resultante tiene módulo 3 y dirección horizontal hacia la derecha.

3.3) VECTORES OPUESTOS: Son aquel-los dos vectores que tienen igual módulo pero direcciones opuestos. La suma de dos vectores opuestos es nula.

3.4) VECTORES IGUALES: Dos vectores serán iguales cuando sus dos elementos principales son iguales, es decir tiene igual módulo e igual dirección.

3.5) VECTORES COPLANARES: Dos o más vectores se denominan coplanares cuando todos ellos se encuentran conte-nidos en un mismo plano.

3.6) VECTORES CONCURRENTES: Dos o más vectores se denominan concur-rentes, cuando todos ellos tienen el mismo punto de de aplicación o sus líneas de acción se intersecan en un mismo punto.

EJEMPLOS: 1) Los vectores a y b son colineales, porque

están contenidos sobre una misma línea recta o línea de acción (L1).

2) Sabiendo que L1 y L2 son paralelos. Los vectores a y c son paralelos porque están contenidos es rectas que son paralelas entre sí.

3) Los vectores e, f y g son concurrentes y coplanares

2. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: La cantidad escalar es todo número real, positivo o negativo, entero o fracción. Cuando se multiplica un escalar por un vector, el vector result-ante es otro vector cuya dirección es el mismo del vector original si la cantidad escalar es positiva y tiene dilección opu-esta si la cantidad escalar es negativa.

Observemos los siguientes vectores: 1) Los vectores a y b

son opuestos: a b= −

2) El vector c es de tamaño doble que a y tienen igual dirección: 2c a=

3) El vector c es de tamaño doble que b

y tienen direcciones opuestos: 2c b= −

En general dos vectores paralelos o colineales son linealmente indepen- dientes. .a K b

= Si K>0, entonces a y b

tienen igual dirección.

Si K<0, entonces a y b

tienen direcciones opuestas. donde K pertenece a los números reales.

3. EXPRESIÓN DE UN VECTOR COMO PAR ORDENADO: En el

L 1

L 2

a b

c d

e

f

g

1 a b

c

1 a b

c

plano cartesiano los vectores tienen dos componentes, entonces un vec-tor se puede expresar como un par ordenado donde el origen del vector se encuentra en el origen de coordenadas. EJEMPLO: Se muestra tres vec-tores en un plano cartesiano. Deter-mine el módulo del vector resultante.

RESOLUCIÓN

Expresamos cada vector como par orde-nado:

(3;2)a =

( 2;3)b = −

( 1; 3)c = − −

Ahora determinamos el rector resultante:

(0;2)R a b c= + + =

Entonces el módulo del vector resultante es: 2

4. MÉTODO DEL PARALELOGRA-MO (para adicionar sólo dos vectores) Si dos vectores A y B tienen el mismo origen, por el extremo de A se traza una paralela al vector B, y a la vez por el ex-tremo de B se traza una paralela al vector A. El modulo del vector suma o resultante

12

Cosq =

Utilizando calculadora: INV, COS, (1/2) = Resolviendo tenemos: 60q = °

5. CASOS PARTICULARES 1) RESULTANTE MÁXIMA: La resultante

de dos vectores es máxima cuando forman entre si un ángulo nulo, por consiguiente tienen igual dirección.

2) RESULTANTE MÍNIMA: La resultante de dos vectores es mínima cuando for-man entre si un ángulo igual a 180°, por consiguiente tienen direcciones opuestas.

3) VECTORES ORTOGONALES: Si los vectores forman entre si un án-gulo recta, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

se obtiene trazando la diagonal del paralel-ogramo desde el origen de los vectores. R A B= +

2 2 2 2 cos= + + qR A B AB R: es el módulo del vector resultante.

A y B: módulo o valor de los vectores sumandos.

0q: es la medida del ángulo entre los vec-tores A y B.

EJEMPLO: ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 30 N y 50 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de módulo igual a 70 N? RESOLUCIÓN

Aplicamos el método del paralelogramo:

2 2 2 2 . .R A B A B Cosq= + +

2 2 2(70) (30) (50) 2(30).(50).Cosq= + +

EJEMPLO: La resultante de dos vec-tores de modulo constante, varia al hacer girar uno de ellos. El mínimo módulo de la resultante es 2 y el máximo 14. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores forman ángulo recto.

RESOLUCIÓN La resultante mínima es: A – B = 2 ……(1) La resultante máxima es: A + B = 14 …….(2) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2)

tenemos: A = 8 y B = 6 Cuando forman ángulo recto, la resultante

se obtiene aplicando el teorema de Pitágo-ras: R2 = A2 + B2

Reemplazando tenemos: R = 10

6. DIFERENCIA DE DOS VECTORES El vector diferencia D indica al vec-tor minuendo A. El módulo se ob-tiene aplicando la ley de Cosenos.

B D A+ =

D A B= −

2 2 2 2 cosD A B AB q= + −

2 2 2 . .= + − qD A B A B Cos

1

a b

c

1

x

y

A

B

R

q

30

50

70

q

Figura 4.2

B A

R (max) = A + B

B A

R (min) = A - B

B

A

R2 = A2 + B2

R

OBSERVACIONES:1. Si el ángulo θ es obtuso entonces el

módulo de la suma es menor que el módulo de la diferencia.

2. Si el ángulo θ = 90°, entonces el módulo de la diferencia es igual al módulo de la suma.

3. El módulo de la resultante es máxima cuando forman entre si un ángulo nulo (0°).

4. El módulo de la resultante es mínima cuando forman entre si un ángulo de 180°.

EJEMPLO 01: Se muestra un paralelo-gramo. Expresar el vector x en fusión de los vectores A y B.

RESOLUCIÓN

La diagonal del paralelogramo representa a la resultante de sumar los vectores A y B.

Reemplazando (1) en (2): 3R c=

El módulo del vector resultante es: R = 6 cm.

EJEMPLOS 03: Se muestra un conjunto de vectores. Sabiendo que AB = BC = CD = DE y el módulo del vector c es 1,0 cm, determine el módulo del vector resultante.

RESOLUCIÓN Construimos el paralelogramo. La re-

sultante de cada par de vectores es la diagonal del paralelogramo.

Nos piden: R a b c d e= + + + +

Ordenando convenientemente: ( ) ( )R a e b d c= + + + +

….. (1) Pero se observa que: ( ) ( ) 2a e b d c+ = + =

… ......(2)

Reemplazando (2) en (1): 5R c=

El módulo de la resultante es:

R = 5 cm.

6. MÉTODO DEL POLÍGONO. Suma de “n” vectores.

Consiste en construir un polígono con los vectores sumandos. Es necesario ordenar los vectores uno continuación del otro uniendo, uniendo el extremo del primero con el origen del segundo, el extremo del segundo con el origen del tercero, así sucesivamente hasta el último vector.

Ejemplos:1) Resultante de cinco vectores:

= + + + +

R a b c d e

2) Resu l tan te de cua t ro vec to res :

La diagonal representa la resultante de los vectores: 2X A B= +

Despejando tenemos que:

2A BX +

=

EJEMPLOS 02: Se muestra un conjunto de vectores. Sabiendo que AB = BC y el módulo del vector c es 2 cm, determine el módulo del vector resultante.

RESOLUCIÓN

Completamos el paralelogramo, donde OB es la mitad del paralelogramo.

Observamos que: 2a b c+ =

…………. (1)

Nos piden: R a b c= + +

Ordenando convenientemente:

( )R a b c= + +

………….. (2

= + + +

R a b c d

3) Resultante de tres vectores:

= + +

R a b c 4) Resultante de dos vectores:

= +

R a b

EJEMPLOS 01: Se muestra un conjunto de vectores. Determinar el vector resultante.

RESOLUCIÓN Nos piden: R a b c d e= + + + +

Agrupamos convenientemente: ( ) ( )R a b c d e= + + + +

…...... (1)

Resolución Ordenamos los vectores formando un

nuevo polígono cuyo módulo es nulo. ( ) ( ) 0a c b d

+ − + + − = Ordenando tenemos que:

a b c d+ = +

… (1) Nos piden la resultante de: R a b c d= + + +

… (2) Reemplazando (1) en (2): 2( )R a b= +

Aplicado el teorema de Pitágoras ten-emos:

2 2 10+ = + ⇒ + =

a b a b a b

Respuesta: 2. 20= + =

R a b

1. RESULTANTE NULA Y LA LEY DE SE-NOS

Si la resultante tres vectores coplanares y concurrentes es nula, entonces con dichos vectores se forma un triángulo. El módulo de cada vector es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Se construye el polígono cerrado (trián-gulo)

Pero de figura sabemos que: ( ) ( )a b c d e+ = + =

………….. (2) Reemplazando (2) en (1): 3R e=

POLÍGONO CERRADO Y ORDE-NADO.

Si el polígono formado es ordenado y cerrado, entonces el módulo del vector resultante en nulo. El orden de los vectores puede ser en sentido horario o antihorario.

0a b c d e f

+ + + + + =

Es importante señalar la UNIÓN de la CABEZA de un vector con la COLA del siguiente vector.

EJEMPLOS 01: Se muestra un conjunto de vectores. Sabiendo que los vectores a y b son perpendiculares, a = 6 cm y b = 8 cm, determine el módulo del vector resultante.

Los vectores F1, F2 y F3 se encuentran contenidos en un plano.

1 2 3 0= + + =

R F F F

Aplicamos la ley de Senos al triángulo:

31 2= =a b q

FF FSen Sen Sen

Casos especiales: a) S i los t res ángulos son igua les

120a b q= = = ° , entonces el módulo de los tres vectores también serán iguales: F1 = F2 = F3.

b) Si dos de los ángulos son iguales (trián-gulo equilátero) entonces dos de los vectores tendrán el mismo módulo. EJEMPLO 01: Se muestra tres vectores coplanares y concurrentes de módulos iguales que forman entre si ángulos iguales.

F1

F2

F3

F1

F2

F3

F1

F2

F3

q

b a

Resolución

Con los tres vectores se forma un triángulo equilátero. Por consiguiente el módulo del vector resultante es cero: R = 0.

EJEMPLO 02: Se muestra tres vectores coplanares y concurrentes que forman entre si ángulos iguales.

Resolución

Aplicamos la propiedad asociativa de los vectores. Con los tres vectores de módulo 10 unidades forman un triángulo equilátero, por consiguiente el módulo del vector resultante en nulo. Entonces quedan dos vectores de módulos 3 y 5 uni-dades que forman entre si forman 120°. El módulo de la resultante es

2 2 2 cosR a b ab q= + +

3) El vector resultante se determina aplicando el teorema de Pitágoras.

2 2x yR R R= +

4) La dirección del vector resultante re-specto del eje X se determina mediante la razón tangente:

=φ RyTanRx

CASOS ESPECIALES: 1) Si la resultante de los vectores se encuen-

tra en el eje “x”, entonces la componente en el eje “y” es nula.

0eje yV =∑ 2) Si la resultante de los vectores se encuentra en el eje “y”, entonces la componente en el eje “x” es nula.

0eje xV =∑

reemplazando obtenemos:

2 23 5 2.3.5cos120R = + + °

19R = = 4,36

7. MÉTODO DE LA DESCOMPO-SICIÓN RECTANGULAR:

En el plano cartesiano cualquier vector tiene dos componentes rectangulares.

Ax: Componente de A en el eje X. Ay: Componente de A en el eje Y. De donde deducimos que:

xA A.Cos= q

yA A.Sen= q Para determinar la resultante de un sistema de vectores por este mé-todo, se sigue los siguientes pasos: 1) Cada vector se descompone rectan-gularmente, respecto de un sistema de ejes coordenados arbitrariamente elegido. 2) Se determina la resultante en cada eje cartesiano.

Rx : Resultante en el eje X. Ry: Resultante en el eje Y.

EJEMPLO 01: En la figura mostrada, de-terminar el valor de A para que el vector resultante de los tres vectores indicados esté sobre el eje “x”.

Resolución Se descompone cada uno de los vectores

(figura 8.5), respecto del eje cartesiano.

De la condición del problema, la re-sultante en el eje vertical es nula.

3. 60 2. 45 10 0A Sen A Sen° + ° − =

3 10 02A A+ − =

Resolviendo tenemos: A = 4

120°

120°

10 10

10

120°

120°

10 13

15

120°

120°

10 10

10

120°

3

5

+

R X

Y

0

R

X

Y

0

8 MÉTODO DE LA DESCOMPO-SICIÓN POLIGONAL: En general un vector de puede descomponer en dos o más vectores, formando siempre un polígono cerrado.

EJEMPLO: La figura muestra un trape-cio de vértices A, B, C y D. Sabiendo que M es punto medio del segmento AD, donde AB = 4 m y DC = 7 m, de-termine el módulo del vector resultante.

Resolución

Descomponemos poligonalmente los vec-tores MB y MC

. Las componentes MA y MD

representan vectores opuestos, es decir se cancelan entre sí.

La resultante se obtiene adicionando los vec-tores paralelos de igual sentido AB

y DC

. R AB DC= +

lado la unidad de medida, determine el vector resultante.

RESOLUCIÓN Descomponemos cada uno de los vec-

tores en función de los vectores unitarios cartesianos:

ˆ ˆ3 1a i j= +

ˆ ˆ2 1b i j= − +

ˆ ˆ2 2c i j= − −

ˆ ˆ2 1d i j= + −

Calculamos el vector resultante:

R a b c d= + + +

Respuesta: ˆ ˆR 1i 1j= −

8. VECTORES UNITARIOS CARTE-SIANOS EN EL ESPACIO

En el espacio tridimensional el vector tiene tres componentes.

ˆˆ ˆ( ; ; )x y z x y za a a a a i a j a k= = + +

EJEMPLO 01: Se t iene un vector ˆˆ ˆ3 12 4a i j k

= + + . Determine el módulo del vector.

Resolución Si graficamos el vector obtenemos un

paralelepípedo, entonces el modulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

( )22 23 12 4 9 144 16a = + + = + +

169a =

13a = Respuesta: el módulo del vector es 13.


= − − . Determine e l módulo del vector.


paralelepípedo, entonces el modulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

( ) ( ) ( )2 2 212 3 4 144 9 16a = + − + − = + +

R

= 4 + 7 = 11 Respuesta: el módulo de la resultante es

11

9. VECTORES UNITARIOS CARTE-SIANOS EN EL PLANO.

Son aquellos vectores que tienen como módulo la unidad de medida y las direc-ciones coinciden con los ejes cartesianos.

Los vectores cartesianos son:

i : tiene dirección del eje X positivo. ˆ−i : tiene dirección del eje X negativo.

j : tiene dirección del eje Y positivo ˆ− j : tiene dirección del eje Y negativo

El módulo es igual a la unidad de medida: ˆ ˆ ˆ ˆ 1= − = = − =i i j j

Representación de un vector en función de vectores unitarios:

ˆ ˆ( ; )= = +

x y x ya a a a i a j

EJEMPLO: Se muestra un conjunto de vectores. Si cada cuadrado tiene como

M

A B

C D

M

A B

C D

3i -2i

1j 1j

-2i 2i

-1j

-2j

169a =

13a =

Respuesta: el módulo del vector es 13.

EJEMPLO 03: Se muestra un cubo de arista 1 cm. Determine el módulo del vector resultante.

Resolución Hacemos la descomposición de cada

vector respecto del sistema de ejes car-tesianos.

Eje X: x = 1

Eje Y: y = 1 + 1 = 2 Eje Z: z = -1 Determinamos el módulo del vector resul-

Determinamos el módulo del vector result-ante con la siguiente fórmula:

2 2 2R x y z= + +

Reemplazando en la fórmula tenemos: R =4

8. VECTOR UNITARIO DIREC-CIONAL. Cada vector tiene su vector unitario. Entonces se puede obtener un vector unitario en una dirección determi-nada, relacionado dos o más vectores. EJEMPLO 01: Determine el vector unitario del vector: ˆ ˆ6 8A i j= −

Resolución ˆ ˆ6 8ˆ

10−

= =

A i juA

A 6 8ˆ ˆu i j10 10A

= = −

ˆ ˆ0,6 0,8u i j= −

EJEMPLO 02: Se muestra un cuadrado de vértices A, B, C y D; además un cuarto de cir-cunferencia con centro en D. Determine el vector x en función de los vectores a y b

.

Resolución Consideremos un cuadrado de lado igual

a la unidad de medida, por consiguiente medida de la diagonal del cuadrado es:

2 unidades Observamos que el vector unitario u del

vector x es el mismo que del vector ( a b+

).

El vector unitario es: ˆ2

a bu +=

El vector x es igual al producto del módulo del vector x por su correspondi-ente vector unitario.

ˆx x u=

, entonces tenemos que el tamaño del vector x es igual al radio del cuadrante cuya medida es la unidad.

Finalmente tenemos:2

a bx +=

EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DE OTROS: para expresar un vector en función de otros es necesario construir polígonos cer-rados y aplicar a estos las propiedades del método del polígono para adicionar dos o más vectores. También se conoce como “combinación lineal de vectores” EJEMPLO 01: En la figura expresar el vec-tor x en función de los vectores a y b

.

tante con la siguiente fórmula:

2 2 2R x y z= + +

Reemplazando en la fórmula tenemos: R = 6

EJEMPLO 04: Se muestra un cubo de arista 1,0 cm (figura 11.4). Determine el módulo del vector resultante.

Resolución Hacemos la descomposición de cada

vector respecto del sistema de ejes car-tesianos. Los vectores en la cara superior del cubo se cancelan, solo quedan com-ponentes en el eje “z”.

Eje X: x = 0 Eje Y: y = 0 Eje Z: z = -4

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Resolución Agregamos al grafico dos vectores cuyos

módulos están en relación de 1 a 2.

En el triángulo OJH: x a p= +

Despejando: x a p− =

….(1) En el triángulo OHK:

2x p b+ =

…(2)

Reemplazando (1) en (2):

23

a bx +=

EJEMPLO 02: Si =BC aCD b

expresar el

vector AC

en función de los vectores

AB y AD

.

Demostrar que: bAB aADACa b

+=

+

RESOLUCIÓN Expresión de un vector en función de

otros. Combinación Lineal de vectores.

El módulo representa el tamaño o valor de la cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema coordenado car-tesiano u otro sistema coordenado.

2. VECTORES UNITARIOS CAR-TESIANOS EN EL ESPACIO. El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:

i : tiene dirección del eje X positivo.

i− : tiene dirección del eje X negativo. j : tiene dirección del eje Y positivo

j− : tiene dirección del eje Y negativo

k : tiene dirección del eje Z positivo.

k− : tiene dirección del eje Z negativo. E l módu lo de cada vec to r un i -

tario es igual a la unidad de medida: 1ˆˆˆ === kji

Los tres vectores unitarios son mu-t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s :

kji ˆˆˆ ⊥⊥

AC .AB .AD= a +b Segmentos Proporcionales:

AC AB AD AC

a b− −

=

b.AC b.AB a.AD a.AC− = −

( )a b .AC b.AB a.AD+ = +

b.AB a.ADAC

a b+

=+

Respuesta:

b aAC .AB .ADa b a b

= + + +

VECTORES EN TRES DIMENSIONES

1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior. Todo vector tiene dos elementos fundamentales: el modulo y la dirección.

En el espacio tridimensional el vec-tor a t iene t res componentes:

x y z x y zˆ ˆ ˆa (a ;a ;a ) a i a j a k= = + +


= + + . Determine e l módulo del vector.


paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

( )22 23 12 4 9 144 16a = + + = + +

13a =

Respuesta: el módulo del vector es 13.

3. VECTOR UNITARIO DIRECCI-ONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es pa-ralelo a su respetivo vector de origen.

uaaaau ˆ.ˆ =⇒=

A B C D

a b

X

Y

Z

VECTORES UNITARIOS

j

i

k

X

Y

Z

COMPONENTES DEL VECTOR

ay

ax

az

En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores.

EJEMPLO 02: Determine el vector uni-tario del vector: ˆ ˆ Â 3 i 4 j 12k= + +

Resolución El vector unitario se define como:

ˆ ˆ Â 3 i 4 j 12ku

13A+ +

= =

El vector unitario es:

3 4 12u i j k

13 13 13= + +

4. COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano. En el sistema cartesiano tridimensional vec-tor a tiene tres componentes rectangulares: ˆˆ ˆ( ; ; )= = + +

x y z x y za a a a a i a j a k

Designamos con qba y, los ángulos que el vector a hace con los ejes carte-sianos X, Y y Z, respectivamente.

Te n e m o s t r e s c o m p o n e n t e s : aCosaax .= ,

bCosaay .= ,

qCosaaz .= …(1) Cá lcu lo de l módu lo de l vec to r :

2222xyx aaaa ++= …(2)

donde πq ≤≤0

Debemos enfat izar que A B•

es un número real , (posi t ivo, nega-t i v o o n u l o ) , y n o u n v e c t o r. Dado los vectores:

1 2 3A a .i a .j a .k= + +

1 2 3B b .i b .j b .k= + +

Definición de producto escalar: 1 1 2 2 3 3A B a .b a .b a .b• = + +

PROPIEDADES

Se cumple la propiedad conmutativa:

A B B A• = •

Propiedad Distributiva:

( )A B C A B A C• + = • + •

Vectores paralelos:

i i j j k k 1• = • = • = Vectores ortogonales:

i j j k i k 0• = • = • =

( ) ( ) ( )22 21 2 3A A a a a• = + +

( ) ( ) ( )22 21 2 3B B b b b• = + +

Cuadrado del módulo: 2

A A A• =

Si A B 0• =

y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpen-diculares.

EJEMPLO 04: Los vectores bya

forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que

43 == bya

. Calcular: ba

•

RESOLUCIÓN De la definición: a b a . b .Cos

q• =

( ) ( ) 0a b 3 4 Cos120 6

• = ⋅ ⋅ = − EJEMPLO 05: ¿Para qué valores de

“m” los vectores ˆ ˆ â m.i 3 j 2k

= − + y ˆ ˆ ˆb 1i 2 j m.k

= + − son perpendiculares

entre sí?

RESOLUCIÓN De la definición:

1 2 3ˆ ˆ â a .i a .j a .k

= + +

1 2 3ˆ ˆ ˆb b .i b .j b .k

= + +

1 1 2 2 3 3a b a .b a .b a .b

• = + +

De la condición: Si a b 0

• = y nin-guno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares. Entonces:

reemplazando (1) en (2) tene-mos:

( ) ( ) ( ) 1222 =++ qba CosCosCos Entonces el vector unitario de a es: ( )qba CosCosCosu ;;ˆ = EJEMPLO 03: Calcular los cosenos direc-tores del vector ˆ ˆ Â 12 i 15 j 16k= − −

.

RESOLUCIÓN Cá l cu lo de l módu lo de l vec to r :

( ) ( ) ( )2 2 212 15 16= + − + −

A

144 225 256 25= + + =

A

D e f i n i c i ó n d e v e c t o r u n i t a r i o :

A i j kuA

ˆ ˆ ˆ12 15 16ˆ25

− −= =

Au i j kA

ˆ ˆ ˆˆ 0,48 0,6 0,64= = − −

( )qba CosCosCosu ;;ˆ =

Comparando tenemos que:

Cos 0,48a = , Cos 0,6b = − ,

Cos 0,64q = −

5. PRODUCTO ESCALAR. Dado los vectores A y B

, su producto escalar o interno se representa por A B•

, y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ánguloq que forman, esto es: A B A . B .Cos B . A .Cosq q• = =

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m . 1 3 . 2 2 . m 0+ − + − =

Resolviendo: m 6= −

6. PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores A y B

, su producto vecto-rial o externo se representa por otro vector C

, que se denota como C A B= ×

. Su módulo se define como el pro-ducto de sus módulos por el seno del ánguloq que forman entre sí, esto es:

A B A . B .Senq× =

, donde

πq ≤≤0

Debemos enfatizar que C

es perpen-dicular al plano formado por los vectores A y B

.

Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. En la figura el ángulo q gira en el sentido desde A hacia B.

PROPIEDADES

I. Si A B 0× =

, entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos.

II. Anti conmutativo:

EJEMPLO 06: Los vectores bya

for-man entre si un ángulo de 30°. Sabiendo que 56 == bya

. Calcular: ba

×

RESOLUCIÓN De la definición: a b a . b .Sen

q× =

0a b 6 5 Sen30 15

× = ⋅ ⋅ =

EJEMPLO 07: Dado los vectores ˆ ˆ Â 3 i 1j 2k= − −

y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 1k= + −

determinar las componentes vectoriales de: A B×

RESOLUCIÓN De la definición del producto vectorial entre

dos vectores:

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ î j kA B a a a

b b b

× =

ˆ ˆ î j kA B 3 1 2

1 2 1

× = − − −

1 2 3 2 3 1ˆ ˆ Â B i j k2 1 1 1 1 2

− − − − × = − + − −

A B i j kˆ ˆ ˆ5 1 7× = + +

EJEMPLO 08: Se conocen los vértices de un triángulo:

A B B A× = − ×

III. Propiedad Distributiva:

( )A B C A B A C× + = × + ×

IV. Vectores paralelos:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î i j j k k 0

× = × = × =

V. Vectores ortogonales:

ˆ ˆ î j k× = , ˆ ˆ ˆj k i× = , ˆ ˆ ˆk i j× =VI. Dado los vectores:

1 2 3ˆ ˆ Â a .i a .j a .k

= + +

1 2 3ˆ ˆ ˆB b .i b .j b .k

= + +

entonces se cumple que:

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ î j kA B a a a

b b b

× =

El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes A y B

es: Area del parale log ramo A B= ×

El área de la región triangular formado por los vectores A y B

es:

A BArea del triangulo

2

×=

A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0), calcular el área de la región definida por el triángulo de vértices A, B y C.

RESOLUCIÓN Sean los vectores AB y AC

donde

( ) ( )AB 3;0;0 y AC 0;4;0

= =

1 2 3

1 2 3

i j kAB AC a a a

b b b

× =

i j kAB AC 3 0 0

0 4 0

× =

0 0 3 0 3 0ˆ ˆ ÂB AC i j k4 0 0 0 0 4

× = − +

ÂB AC 12 k

× =

El valor o módulo es:

AB AC 12

× =

AB AC 12Area del triangulo 62 2

×= = =

Respuesta: el área de la región tri-angular es 6 unidades cuadradas. EJEMPLO 09: Se conocen los vértices de un triángulo:

A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales

de: AB BC×

A

B q

ÁREA DEL PARALELOGRAMO

RESOLUCIÓN Determinamos las componentes de cada

vector: ( ) ( )AB 1;3; 3 y BC 2;0;2

= − − =

ˆ ˆ î j kAB BC 1 3 3

2 0 2

× = − −

3 3 1 3 1 3ˆ ˆ ÂB BC i j k0 2 2 2 2 0

− − − − × = − +

ˆ ˆ ÂB BC 6 i 4 j 6 k

× = − −

7. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR. Por medio del productos escalar y vecto-rial de tres vectores

A , B y C

se forma: ( )A B C• ×

( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A AA B C B B B

C C C• × =

PROPIEDADES:I. El producto triple escalar es un número

real:

EJEMPLO 10: Se dan los vectores

ˆ ˆ â 1i 1 j 3k

= − + , ˆ ˆ ˆb 2 i 2 j 1k

= − + + y

ˆ ˆ ˆc 3i 2 j 5k

= − +

Determinar: ( )a b c× •

RESOLUCIÓN

De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ î j ka b a a a

b b b

× =

ˆ ˆ î j ka b 1 1 3

2 2 1

× = − −

1 3 1 3 1 1ˆ ˆ â b i j k2 1 2 1 2 2

− − × = − + − −

a b i j kˆ ˆ ˆ7 7 0× = − − +

ˆ ˆ ˆc 3i 2 j 5k

= − +

Cálculo de del producto escalar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c 7 3 7 2 0 5

× • = − + − − +

Respuesta: ( )a b c 7

× • = −

8. TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores A , B y C

se pueden formar productos como:

( )A B C número real• × =

II. ( ) ( ) ( )A B C B C A C A B

• × = • × = • ×

III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralel-e p í p e d o d e a r i s t a s A , B y C

. EJEMPLO 09: Se conocen los vértices

A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0) Calcular el volumen del sólido de vértices

A, B, C y D.

RESOLUCIÓN Sean los vectores:

( ) ( ) ( )DA 4;0;0 , DB 0;5;0 , DC 0;0;3

= = =

El valor del “triple producto escalar” repre-senta el volumen de un paralelepípedo de aristas DA , DB y DC

.

( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A ADA DB DC B B B

C C C

• × =

( )

4 0 0DA DB DC 0 5 0

0 0 3

• × =

( ) 5 0 0 0 0 5DA DB DC 4 0 0

0 3 0 3 0 0

• × = − +

( )DA DB DC 60

• × =

Respuesta: el volumen del solido es 60 unidades cúbicas.

( )A B C× ×

, ( )A B C× ×

o

( )C B A× ×

,

en todos estos casos el resultado es otro vector.

PROPIEDADES:I. No se puede asociar: ( ) ( )A B C A B C× × ≠ × ×

II. ( ) ( ) ( )A B C A C B A B C× × = • − •

III. ( ) ( ) ( )A B C A C B B C A× × = • − •

EJEMPLO 11: Sean los vectores

( ) ( ) ( )A 4; 0; 0 , B 0; 5; 0 , C 0; 1; 3

= = = ,

determine ( )A B C

× × y ( )A B C

× ×

¿se obt iene el mismo resul tado?

RESOLUCIÓN Primer caso: ( )A B C

× ×

i j kB C 0 5 0

0 1 3

× =

5 0 0 0 0 5ˆ ˆ î j k1 3 0 3 0 1

= − +

ˆ ˆ ˆ15 i 0 j 0 k= + +

A

B

C

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO

Cálculo de

( ) ( ) ( )A B C 4;0;0 15;0;0

× × = ×

( )i j k

A B C 4 0 015 0 0

× × =

( ) ˆ ˆ Â B C 0 i 0 j 0 k 0

× × = + + =

Segundo caso: ( )A B C

× ×

i j kA B 4 0 0

0 5 0

× =

0 0 4 0 4 0ˆ ˆ î j k5 0 0 0 0 5

= − +

ˆ ˆ ˆ0 i 0 j 20 k= + +

Cálculo de ( ) ( ) ( )A B C 0;0;20 0;1;3

× × = ×

( )i j k

A B C 0 0 200 1 3

× × =

( ) ˆ ˆ ˆ Â B C 20 i 0 j 0 k 20 i

× × = − + + = − Es importante hacer notar que:

( ) ( )A B C A B C× × ≠ × ×

9. PROYECCIÓN DE UN VECTOR. La proyección del vector A

sobre el

1 2

ˆ ˆ î j kF F 2 3 1

1 2 3

× = − −

( )1 2ˆ ˆ ˆF F 7 i 5 j 1 k 7; 5; 1

× = − − − = − − − la condición:

( )m 1 i 2 j 7k 10• + − =

la condición:

( ) ( )q 7; 5; 1 1 ; 2; 7 10− − − • − = 7q 10q 7q 10− − + =

Resolviendo la ecuación tenemos que: q 1= −

( )( )1 2ˆ ˆ ˆm 1 F F 7 i 5 j 1 k

= − × = + +

R e s p u e s t a : ˆ ˆ ˆm 7 i 5 j 1 k

= + +

xˆPr oyec m 7 i

= ,

yˆPr oyec m 5 j

= ,

zˆPr oyec m 1 k

= EJEMPLO 12:

¿Para qué valores de a

y b los vectores

ˆ ˆ â 2 i 3 j k

b= − + + y

ˆ ˆ ˆb i 6 j 2 k

a= − + son colineales?

RESOLUCIÓN Si a y b

sus componentes en los ejes cartesianos serán proporcionales:

1 1 1

2 2 2

x y z Kx y z

= = =

Reemplazando tenemos que:

2 3 K

6 2b

a−

= = =−

Resolviendo se tiene que: 4a = y 1b = −

PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES

1. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HI, además, PE = 1 cm. Determine el módulo del vector resultante.

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) ninguna anterior

RESOLUCION

Aplicando el método del paralelogramo: PA PI PB PH PC PG PD PF 2.PE+ = + = + = + =

Nos piden la resultante del conjunto de los vectores:

( ) ( ) ( ) ( )R PA PI PB PH PC PG PD PF PE= + + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )R 2.PE 2.PE 2.PE 2.PE PE 9.PE= + + + + =

( )R 9. PE 9. 1 9 cm= = =

Respuesta: el valor de la resultante es 9 cm.

2. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG, además, PD = 1 cm. Determine el

vector B

, es otro vector paralelo al vec-tor B que se denota del siguiente modo:

B

A B BPr oyec A .B B

•=

Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le denomina Com-ponente del vector A sobre el vector B.

B

A BComp AB•

=

( )B B

BPr oyec A Comp A.B

=

( ) BB BˆPr oyec A Comp A. u=

EJEMPLO 11: Determina las compo-nentes rectangulares del vector m

, sabi-endo que es perpendicular a los vectores

1F 2i 3j 1k= − +

y 2F 1 i 2 j 3k= − +

además satisface a la condición:

( )m 1 i 2 j 7k 10• + − =

RESOLUCIÓN

Sea ( )1 2m q F F

= × pero

P

A B C D E F G H I

Para el problema 01

módulo del vector resultante. A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) ninguna anterior

P

A B C D E F G

RESOLUCIÓN Aplicando el método del paralelogramo: PA PG PB PF PC PE 2.PD+ = + = + = Nos piden la resultante del conjunto de

los vectores:

( ) ( ) ( )R PA PG PB PF PC PE PD= + + + + + +

( ) ( ) ( )R 2.PD 2.PD 2.PD PD 7.PD= + + + =

( )R 7. PD 7. 1 7 cm= = =


3. En la figura, AB = BC = CD = DE, además, PC = 1 cm. Determine el módulo del vector resultante.


PA PH 49 7+ = = Propiedad geométrica del paralelogramo:

PA PH PB PG PC PF PD PE+ = + = + = +

PA PH PB PG PC PF PD PE 7+ = + = + = + =

La resultante de los vectores es:

( ) ( ) ( ) ( )R PA PH PB PG PC PF PD PE= + + + + + + +

( )R 4. PA PH= +

R 4. PA PH 4.(7) 28= + = =

Respuesta: el valor de la resultante del conjunto de vectores es 28 cm.

5. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF,

además, PA = 4 y PF = 5, Tan(P) 24= ≠ Determine el módulo del vector resultante. A) 7 B) 14 C) 21 D) 28 E) ninguna anterior

RESOLUCIÓN

Aplicando el método del paralelogramo:

2 2 2PA PF PA PF 2. PA . PF .CosP+ = + +

1Tan(P) 24 CosP5

= ⇒ =

RESOLUCIÓN Aplicando el método del paralelogramo: PA PE PB PD 2.PC+ = + =

Nos piden la resultante del conjunto de los vectores:

( ) ( )R PA PE PB PD PC= + + + +

( ) ( )R 2.PC 2.PC PC 5.PC= + + =

( )R 5. PC 5. 1 5 cm= = =


4. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG =

GH, además, PA = 4 y PH = 5, Tan(P) 24= Determine el módulo del vector resultante. A) 7 B) 14 C) 21

D) 28 E) ninguna anterior

RESOLUCIÓN


2 2 2PA PH PA PH 2. PA . PH .CosP+ = + +

1Tan(P) 24 CosP5

= ⇒ =

( ) ( )2 2 2 1PA PH 4 5 2. 4 . 5 . 495

+ = + + =

( ) ( )2 2 2 1PA PF 4 5 2. 4 . 5 . 495

+ = + + =

PA PF 49 7+ = = Propiedad geométrica del paralelogramo:

PA PF PB PE PC PD+ = + = + PA PF PB PE PC PD 7+ = + = + =


( ) ( ) ( )R PA PF PB PE PC PD= + + + + +

( )R 3. PA PF= +

R 3. PA PF 3.(7) 21= + = =

Respuesta: el valor de la resul-tante del conjunto de vectores es 21 cm

6. En la figura, AB = BC = CD, además, PA = 5 y PD = 4, 24)( =PTan Determine el módulo del vector resultante.


RESOLUCIÓN


2 2 2PA PD PA PD 2. PA . PD .CosP+ = + + 1Tan(P) 24 CosP5

= ⇒ =

P

A B C D E

P

A B C D E F G H

Para el problema 04

P

A B C D E F

P

A B C D

( ) ( )2 2 2 1PA PD 4 5 2. 4 . 5 . 495

+ = + + =

PA PD 49 7+ = = Propiedad geométrica del paralelogramo:

PA PD PB PC+ = +

PA PD PB PC 7+ = + =


( ) ( )R PA PD PB PC= + + +

( )R 2. PA PD= +

R 2. PA PD 2.(7) 14= + = =

Respuesta: el valor de la resultante del conjunto de vectores es 14 cm

7. Determine el módulo del vector resultante, si el cubo tiene arista de largo 1 cm

A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) ninguna anterior

RESOLUCIÓN Expresamos cada vector en función de

vectores unitarios cartesianos. Descom-ponemos el vector diagonal en los ejes cartesianos x, y, z.

AC CD AE ED AD+ = + = La medida del segmento AD es el doble

del lado BC, AD 6 m= Cálculo del vector resultante: método del

polígono.

( ) ( )R AC CD AE ED= + + +

( ) ( )R AD AD 2.AD= + =

R 2. AD 2.(6) 12= = =

Respuesta: El valor del vector resultante es 12 unidades.

9. Se muestra un hexágono ABCDEF de lado 3 cm. Determine el módulo del vector resultante.

A) 6 cm B) 3 cm C) 12 cm D) 9 cm E) ninguno anterior

RESOLUCIÓN

Los vectores se pueden trasladar con-servando su dirección y módulo.

kjia ˆ.0ˆ.0ˆ.1 ++=

kjib ˆ.0ˆ.1ˆ.0 ++=

kjic ˆ.1ˆ.1ˆ.1 −+=

Sumando eje por eje tenemos:

kjir ˆ.1ˆ.2ˆ.2 −+=

3)1()2()2( 222 =−++=r Respuesta: El valor del vector resultante es 3 cm.

8. Se muestra un hexágono ABCDEF de lado 3 cm. Determine el módulo del vector resultante. A) 6 cm B) 3 cm C) 12 cm

D) 9 cm E) ninguno anterior

RESOLUCIÓN Los vectores se pueden trasladar con-

servando su dirección y módulo.

AC CD AE ED AD+ = + =

La medida del segmento AD es el doble del lado BC, AD = 6m

Cálculo del vector resultante: método del polígono.

( ) ( )R AC CD AE ED AD= + + + +

( ) ( )R AD AD AD 3.AD= + + =

R 3. AD 3.(6) 18== = =

Respuesta: El valor del vector resultante es 18 unidades.

10. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante.


RESOLUCIÓN Aplicamos el método del polígono

para adicionar dos o más vectores:

Para el problema 07

A

B C

D

E F Para el problema 08

A

B C

D

E F Resolución problema 08

A

B C

D

E F Para el problema 09

A

B C

D

E F Resolución problema 09

1 m 1 m 1 m 1 m

Para el problema 10

ˆ ˆ ˆ ˆR 1.i 2.i 3.i 4.i= + + +

ˆR 10.i=

Respuesta: El valor del vector resultante es 10 m.

11. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante.


RESOLUCIÓN Aplicamos el método del polígono para

adicionar dos o más vectores:

iiiR ˆ.3ˆ.2ˆ.1 ++=

iR ˆ.6=



para adicionar dos o más vectores: eihgfdcbaR

++++++++=

( ) eihgfdcbaR

++++++++= Identificamos el polígono ce-rrado: ( ) 0

=+++++++ ihgfdcba eR

= Respuesta: El valor del vector resultante es e

14. Se muestra un conjunto de vectores. De-termine el módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C) 11

D) 8 E) ninguna anterior

RESOLUCIÓN Aplicamos el método del polígono para

adicionar dos o más vectores:

iiiiiR ˆ.5ˆ.4ˆ.3ˆ.2ˆ.1 ++++=

ˆR 15. i=

12. Se muestra un conjunto de vectores. De-termine el módulo del vector resultante.



para adicionar dos o más vectores:

iiR ˆ.2ˆ.1 +=

iR ˆ.3=


13.Se muestra un conjunto de vec-tores. Determine el vector resultante.

A) 0 B) e C) 2e D) e + f E) ninguna anterior

Respuesta: El valor del vector resultante es 15.

15 Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante.


RESOLUCIÓN

Aplicamos el método del polígono para adicionar dos o más vectores:

iiiR ˆ.5ˆ.3ˆ.1 ++=

iR ˆ.9=


16.Se muestra un conjunto de vectores. De-termine el módulo del vector resultante.


1 m 1 m 1 m 1 m

Resolución problema 10

1 m 1 m 1 m

Para el problema 11

1 m 1 m 1 m


1 m 1 m

Para el problema 12

1 m 1 m


a

b

c d

e

f

g

h i

Para el problema 13

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 m 1 m

1 m

1 m

1 m

1 m 1 m

1 m

1 m

1 m

RESOLUCION Aplicamos el método del polígono

para adicionar dos o más vectores: iiiR ˆ.5ˆ.3ˆ.1 ++=

iR ˆ.9=


17.Se muestra un conjunto de vectores. De-termine el módulo del vector resultante.


AM AB AC AMp p− −

=

AM AB AC AM− = −

AB ACAM

2+

=

El baricentro G divide al segmento AM en dos partes proporcional de 2 a 1.

AG GM2 1

= Es decir

2AG .AM3

=

AB ACAG3+

= Respuesta:

1 1AG AB AC3 3

= +

19.Dado los vectores a = 5 y b = 6, determinar

el módulo del vector: a b−


RESOLUCIÓN Aplicamos el método del paralelogramo. Los

vectores forman entre si un ángulo de 53°.


para adicionar dos o más vectores: ( ) iiiiR ˆ.5ˆ.4ˆ.3ˆ.1 +++−=

ˆR 11.i=


18.Se muestra un conjunto de vectores. Expre-sar el vector AG en función de los vectores AB y AC. Donde G es el baricentro del triángulo de vértices A, B y C.

RESOLUCIÓN

Expresión de un vector en función de otros. Combinación Lineal de vectores.

AM .AB .AC= a +b Segmentos Proporcionales:

Nos piden determinar el valor de la difer-encia de vectores: baD

−=

°−+= 53...2222 CosbabaD

( )( )

−+=

53.6.5.265 222D

5=D Respuesta: El valor del vector del vector diferencia es 5.

20.Dado los vectores a = 20 y b = 7, determi-nar el módulo del vector: a b−


RESOLUCIÓN Aplicamos el método del paralelogramo. Los

vectores forman entre si un ángulo de 37°. Nos piden determinar el valor de la difer-encia de vectores: baD

−=

2 2 2D a b 2.a.b.Cos37= + − °

( ) ( ) ( )22 2 4D 20 7 2. 20 . 7 .5

= + −

1 1 1 1 1

1 m 1 m

1 m

1 m

1 m


1 m

1 m

1 m

1 m

1 m Para el problema 17

1 m 1 m

1 m

1 m

1 m


A

B C

G

p p M

a

b

73° 20°

O1 O2

a

b 53°

O

a

b 47°

10° O1 O2

Para el problema 20

5=D Respuesta: El valor del vector del vector diferencia es 5.

21.Determinar el módulo de la resultante de los vectores sabiendo que: c = 3 y f = 4. Los vectores fyc

son perpen-diculares.

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) ninguna anterior RESOLUCIÓN Aplicamos el método del polígono. Si el

polígono es cerrado y ordenado, la result-ante es nula.

( ) ( ) 0

=−+++−++ fedcba

fcedba

+=+++

( ) ( ) ( ) 0

=−+−++−+ edcba

edbca

++=+

Cálculo del vector resultante:

edcbaR

++++=

( ) ( ) ( )cacaedbR

+=++++= .2

Calculo de:

( )( ) 5143.8.5.285 22 =°++=+ Cosca

R 2. a c 2.(5) 10= + = =

Respuesta: El valor del vector del vector

resultante es 10.

23.Determinar el módulo del vector resultante de los vectores que se muestran en la figura, si a = 15, b = 9, c = 12 y el ángulo entre b y c es 90°.

A) 36 B) 38 C) 40 D) 30 E) 0

RESOLUCION Aplicamos el método del polígono.

fedcba

++==+ Cálculo del vector resultante:

fedcbaR

+++++= ( ) ( ) cfedcbaR

.3=+++++= cR

.3= Aplicando el teorema de Pitágoras:

( ) ( )2 22 2c a b 15 12 9= − = − = Reemplazando:

27)9.(3.3 === cR

27

Respuesta: El valor del vector del vector resultante es 27.

24.Expresar el vector AC

en función de los vectores AB y AD

A) 2 3

5AB AD+

B) 3 25

AB AD+

C) 3 58

AB AD+

D) 5 712

AB AD+

E) N.A.


otros. Combinación Lineal de vectores. AC .AB .AD=a + b

Segmentos Proporcionales:

AC AB AD AC

3 2− −

=

Cálculo del vector resultante:

fedcbaR

+++++=

( ) ( ) ( )fcfcedbaR

+=+++++= .2

Calculo de:

542 22 =+=+ fc

R 2. c f 2.(5) 10= + = =

Respuesta: El valor del vector del vector resultante es 10.

22.Determinar el módulo del vector resultante, sabiendo que: a = 5 y c = 8.


RESOLUCIÓN Aplicamos el método del polígono. Si el

polígono es cerrado y ordenado, la result-ante es nula.

a

b 37°

O Resolución problema 20

a

b

c

d

e

f

Para el problema 21

90°

a

b

-c

d

e

-f

90°

a

b

c

d

e

37°

a

-b

c

-d

-e

37°

a

b

c

d

e

f

Para el problema 23

A B C D

3 2

2.AC 2.AB 3.AD 3.AC− = − 5.AC 2.AB 3.AD= +

2.AB 3.ADAC5+

=

Respuesta: 2 3AC .AB .AD5 5

= +

25. Expresar e l vector AC

en fun-ción de los vectores AB y AD

.

A) 2 35

AB AD+

B) 3 25

AB AD+

C) 3 58

AB AD+

D) 5 712

AB AD+

E) N.A.

RESOLUCIÓN Expresión de un vector en función de otros:

ADABAC .. ba += S e g m e n t o s P r o p o r c i o n a l e s :

32ACADABAC −

=−

ACADABAC .2.2.3.3 −=−

ADABAC .2.3.5 +=

5.2.3 ADABAC +

= Respuesta: ADABAC .

52.

53

+

=

C) 3 58+

AB AD D) 5 712+

AB AD

E) N.A.

RESOLUCIÓN

Expresión de un vector en función de otros. Combinación Lineal de vectores. AC .AB .AD= a + b


AC AB AD AC

7 5− −

=

5.AC 5.AB 7.AD 7.AC− = − 12.AC 5.AB 7.AD= +

5.AB 7.ADAC

12+

=


= +

28. Expresar el vector AC


.

A) 2 35

AB AD+

B) 3 25

AB AD+

C) 3 58

AB AD+

D) 5 712

AB AD+

E) N.A.

RESOLUCIÓN

Expresión de un vector en función de otros: AC .AB .AD= a + b


AC AB AD AC2 3− −

=

3.AC 3.AB 2.AD 2.AC− = − 5.AC 3.AB 2.AD= +

3.AB 2.ADAC

5+

=


= +



.


en función de los

vectores AB y AD

.

A) 2 35

AB AD+

B) 3 25

AB AD+

C) 3 58

AB AD+

D) 5 712

AB AD+

E) N.A.


AC .AB .AD= a + b

Segmentos Proporcionales: AC AB AD AC

5 3− −

=

3.AC 3.AB 5.AD 5.AC− = − 8.AC 3.AB 5.AD= +

3.AB 5.ADAC8+

=


= +


en función de los vectores

AB y AD .

A) 2 35+

AB AD B) 3 25+

AB AD

A B C D

5 3

Para el problema 26

A B C D

7 5

Para el problema 27

A

B C D 2 3

Para el problema 28

A

B C D p p

Para el problema 29


AC .AB .AD= a + b Segmentos Proporcionales:

AC AB AD ACp p− −

=

AC AB AD AC− = − 2.AC AB AD= +

AB ADAC

2+

=


= +



.


otros. Combinación Lineal de vectores. AC .AB .AD= a + b



=

5.AC 5.AB 7.AD 7.AC− = −

32.Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el vector GP

en función de los vectores AB y AC

.


otros. Combinación Lineal de vectores. GP .AB .AC= a + b

Propiedad del baricentro: AB ACAG3+

=

Segmentos Proporcionales: ( ) ( )AG GP AB AC AG GP

1 3+ − − +

=

3.AG 3.GP 3.AB AC AG GP+ − = − − AB AC4. 4.GP 3.AB AC

3+ + = +

( ) ( )4 4. AB . AC 4.GP 3.AB AC3 3

+ + = +

5.AB ACGP

12−

=

Respuesta: 5 1GP .AB .AC12 12

= −



.

RESOLUCIÓN

Expresión de un vector en función de otros. Combinación Lineal de vectores. GP .AB .AC= a + b


12.AC 5.AB 7.AD= + 5.AB 7.ADAC

12+

=

Respuesta: 5 7AC .AB .AD

12 12 = +


en función de los

vectores AB y AD

.


otros. Combinación Lineal de vectores.

AC .AB .AD= a + b



=

3.AC 3.AB 5.AD 5.AC− = −

8.AC 3.AB 5.AD= + 3.AB 5.ADAC

8+

=


= +

A

B C D 7 5

Para el problema 30

A

B C D 5 3

Para el problema 31

A

B C P

G

1 3

Para el problema 32

A

B C P

G

1 2


M 1

A

B C P

G

1 1

Para el problema 33

A

B C P

G

1 1


AP AB AC AP

1 1− −

=

AP AB AC AP− = − AB ACAP

2+

=

El baricentro G divide al segmento AP en dos partes proporcional de 2 a 1.

AG GP2 1

= Es decir 1GP .AP3

=

AB ACGP6+

=

Respuesta: 1 1GP AB AC6 6

= +



.


otros. Combinación Lineal de vectores. GP . AB .AC= a + b


otros. Combinación Lineal de vectores. GP .AB .AC= a + b


=


( ) ( )AG GP AB AC AG GP

1 2+ − − +

=

2.AG 2.GP 2.AB AC AG GP+ − = − −

3.AG 3.GP AC 2.AB+ = +

AB AC3. 3.GP AC 2.AB3+ + = +

( ) ( )AB AC 3.GP AC 2.AB+ + = +

ABGP3

=

Respuesta: ( )1GP .AB 0 .AC3

= +



.

A) 3

AB

B) 3

AB AC+

C) 6

AB AC+

D) 26

AB AC−

E) Ninguna anterior

RESOLUCIÓN

Expresión de un vector en función de otros. Combinación Lineal de vectores. GP .AB .AC= a + b


=


( ) ( )AG GP AB AC AG GP3 1

+ − − +=

AG GP AB 3.AC 3.AG 3.GP+ − = − −

4.AG 4. GP 3.AC AB+ = + AB AC4. 4.GP 3.AC AB

3+ + = +

( ) ( )4 4. AB . AC 4.GP 3.AC AB

3 3+ + = +

7.AB 5.ACGP12+

=

Respuesta: 7 5GP .AB .AC12 12

= +



.

A

B C P

G

3 1

Para el problema 34

A

B C P

G

3 1

Para el problema 34

A

B C P

G

1 2

A

B C P

G

1 2

A

B C P

G

1 2

A

B C P

G

1 2


=


( ) ( )AG GP AB AC AG GP

1 2+ − − +

=

2.AG 2.GP 2.AB AC AG GP+ − = − −

3.AG 3.GP AC 2.AB+ = + AB AC3. 3.GP AC 2.AB

3+ + = +

( ) ( )AB AC 3.GP AC 2.AB+ + = +

ABGP3

=

Respuesta: ( )1GP .AB 0 .AC3

= +

37.Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el vector AG


.

A) 3

AB

B) 3

AB AC+

C) 6

AB AC+

D) 26

AB AC−

E) Ninguna anterior

A) 3

AB

B) 3

AB AC+

C) 6

AB AC+

D) 26

AB AC−

E) Ninguna anterior

RESOLUCIÓN

Expresión de un vector en función de otros. Combinación Lineal de vectores. AM .AB .AC= a + b



=

AM AB AC AM− = − AB ACAM

2+

=


AG GM2 1

= Es decir 1GM .AM3

=

AB ACGM6+

=

Respuesta: 1 1GM AB AC6 6

= +

39.Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el vector GM


.

A) 3

AB

B) 3

AB AC+

C) 6

AB AC+

D) 26

AB AC−

E) Ninguna anterior

RESOLUCIÓN

Expresión de un vector en función de otros. Combinación Lineal de vectores. GM .AB .AC= a + b

Segmentos Proporcionales: El baricentro G divide al segmento CM en

dos partes proporcional de 2 a 1.


otros. Combinación Lineal de vectores. AM .AB .AC= a + b



=

AM AB AC AM− = − AB ACAM

2+

=


AG GM2 1

= Es decir 2AG .AM3

=

AB ACAG

3+

=

Respuesta: 1 1AG AB AC3 3

= +

38.Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el vector GM


.

A

B

C

G

A

B

C

G

M

p

p

A

B

C

G

M

A

B

C

G

M

A

B

C

G

M M

CG GM

2 1= Es decir ( )CG 2 .GM=

Propiedad del baricentro demostrado

anteriormente: AB ACAG3+

= Método del polígono cerrado: AC CG AG+ = AB ACAC 2.GM

3+

+ =

3.AC 6.GM AB AC+ = +

6.GM AB 2.AC= −

AB 2.ACGM6

−=

Respuesta: 1 1GM AB AC6 3

= −

40. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el vector MG en función de los vectores AB y AC

.

A) 3

AB

B) 3

AB AC+

C) 6

AB AC+

D) 26

AB AC−

E) Ninguna anterior

Demostrar que: bAB aADACa b

+=

+


otros. Combinación Lineal de vectores. AC .AB .AD= a + b


AC AB AD ACa b− −

=

b.AC b.AB a.AD a.AC− = −

( )a b .AC b.AB a.AD+ = +

b.AB a.ADAC

a b+

=+

Respuesta: b aAC .AB .AD

a b a b = + + +

42.En el sistema vectorial mostrado, deter-mine el valor de la siguiente operación:

( ) ( )a b c d

− • + ¿Qué ángulo forman

( )a b

− y ( )c d

+ ?

RESOLUCIÓN

Los vectores son:

ˆ â 3 i 2 j

= + , ˆ ˆb 1 i 2 j

= − + , ˆ ˆc 2 i 2 j

= − − , ˆ ˆd 2 i 2 j

= −

Cálculo de:

( ) â b 4 i 0 j

− = + y ( ) ˆc d 0 i 4 j

+ = −

Piden:

( ) ( ) ( ) ( )a b c d 4; 0 0; 4 0

− • + = • − =

Respuesta: ( )a b

− y ( )c d

+ forman un ángulo recto.

43.En el sistema vectorial mostrado, deter-mine el valor de la siguiente operación:

( ) ( )a b a c

− • + ¿Qué ángulo forman

( )a b

− y ( )a c

+ ?

RESOLUCIÓN

Los vectores son: ˆ â 3 i 2 j

= − + ,


otros. Combinación Lineal de vectores. MG .AB .AC= a + b

Segmentos Proporcionales: El baricentro G divide al segmento AP en

dos partes proporcional de 2 a 1.

AG GP2 1

= Es decir ( )GB 2 .MG=

Propiedad del baricentro demostrado anteriormente: AB ACAG

3+

= Método del polígono cerrado: AG GB AB+ = AB AC 2.MG AB

3+ + =

AB AC 6.MG 3.AB+ + = 6.MG 2.AB AC= −

2.AB ACMG6−

=

Respuesta: 1 1MG AB AC3 6

= −

41.Si BC aCD b

= expresar el vector AC

en

función de los vectores AB y AD

.

A

B

C

G M M

A

B

C

G

M Resolución problema 40

P

A

B C D

ˆ ˆb 4 i 2 j

= + , ˆ ˆc 3 i 1 j

= −

Cálculo de: ( ) ˆ â b 7 i 0 j

− = − +

y ( ) ˆ â c 0 i 1 j

+ = +

Piden:

( ) ( ) ( ) ( )a b a c 7; 0 0; 1 0

− • + = − • = Respuesta: ( )a b

− y ( )a c

+ forman un ángulo recto.

44. Se muestra un conjunto de vectores. Sabi-endo que A m.B n.C

= + , donde m y n son números reales. Determine ( )m n+

RESOLUCIÓN

Los vectores son:

ˆ Â 2 i 1 j

= + , ˆ ˆB 0 i 1 j

= + ,

ˆ ˆC 1 i 1 j

= − +

Reemplazamos en la relación:

A m.B n.C

= + , entonces

( ) ( ) ( )2; 1 m. 0; 1 n. 1; 1= + −

( ) ( )2; 1 n; m n= − + comparando las

coordenadas cartesianas tenemos que: n 2= − y 1 m n= + resolviendo m 3=

Respuesta: ( )m n 1+ =

PROBLEMAS PROPUESTOS

46. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo.

Expresar el vector GM

en función de

los vectores AB y AC

.

A) 3

AB

B) 3

AB AC+

C) 6

AB AC+

D) 26

AB AC−

E) Ninguna anterior

47. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el vector MG


.

A) 3

AB

B) 3

AB AC+

C) 6

AB AC+

D) 26

AB AC−

E) Ninguna anterior

45. Verificar que los cuatro puntos

( )A 3; 1; 2− , ( )B 1; 2; 1− ,

( )C 1; 1; 3− −

y ( )D 3; 5; 3− son los vértices de un

trapecio. RESOLUCIÓN

Para formar vectores a partir de dos puntos en el espacio:

( )2 1 1 2 1 2AB x x ;y y ;z z

= − − −

entonces:

( )AB 2; 3; 3

= − − ,

( )BC 2; 1; 2

= − − − ,

( )CD 4; 6; 6

= − ,

( )DA 0; 4; 1

= −

Comparando las coordenadas de los vectores

( )AB 2; 3; 3

= − −

y ( )CD 4; 6; 6

= −

1K2

= − entonces AB K.CD

=

Entonces AB

y CD

son paralelos,

por consiguiente ABCD es un trapecio.

48.Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector resultante.

A) 0

B) AG

C) BG

D) CG

E) ninguna anterior


A) 0

B) AG

C) BG

D) CG

E) ninguna anterior

50. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector resultante.

A

B

C

G

Para el problema 42

A

B

C

G

Para el problema 43

A

B

C

G

Para el problema 44

A

B

C

G

Para el problema 45

A

B

C

G

Para el problema 46

A) 0

B) AG

C) BG

D) CG

E) ninguna anterior

51. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector resultante.

A) 0

B) AG

C) BG

D) CG

E) ninguna anterior


A) 0

B) AG

C) BG

D) CG

E) ninguna anterior


C)

2PA PCPB +

=

D) 2 35

PA PCPB −=

E) N.A.

55. Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la mis-

ma línea recta. Si 23

ABBC

= , determine

el vector PB

, en función de PA y PC

.

A) 3 25

PA PCPB +=

B) 2 35

PA PCPB +=

C) 2

PA PCPB +=

D) 2 35

PA PCPB −=

E) N.A.

56. Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta. Si 2

3ABBC

= , determine el vector PB


.

57. Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta. Si 2

3ABBC



.

A) 0

B) AG

C) BG

D) CG

E) ninguna anterior

54.Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos

en la misma línea recta. Si 23

ABBC

= ,

determine el vector PB


.

A) 3 25

PA PCPB +=

B) 2 3

5PA PCPB +

=

A

B

C

G

Para el problema 47

X

Y

Z

O

A

B

C

P

X

Y

Z

O

A

B

C

P

X

Y

Z

O

A

B

C

P

X

Y

Z

O A

B C

P

X

Y

Z

O A

B

C

P

X

Y

Z

O

A

B

C

P

58. Se muestra un culo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta. Si AB = BC, determine el vector PB

.

59. Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta.

Si 23

ABBC


.

VECTORES EN TRES DIMENSIONES

PROBLEMA 1. Se muestra un cubo de lado 5,0 unidades

limitado por un sistema cartesiano tridi-

Definición del vector unitario:

A

ˆ ˆ Â 5i 5 j 5k 3 3 3ˆ ˆ û i j k3 3 35 3A

− − += = = − − +

A

3 3 3ˆ ˆ û i j k3 3 3

= − − +

PROBLEMA 2. Se muestra un paralelepípedo rec-

tangular limitado por un sistema car-tesiano tridimensional. El módulo del vector F

es 94,4 newtons. Determinar: [ ]1 El vector unitario del vector F

[ ]2 La expresión del vector F

en función de los vectores unitarios cartesianos.

RESOLUCIÓN [ ]1 Determinamos los puntos A y Q,

A (0;0;3) y Q(4;8;0) definimos el vector,

( )AQ Q A 4;8; 3 4i 8 j 3k

= − = − = + −

AQ 4i 8 j 3k AQ 89 9, 44

= + − ⇒ = = Cálculo del vector unitario, colineal con los vectores, AQ y F

mensional. Determinar el vector unitario del vector A

RESOLUCIÓN 1) Determinamos los puntos F y D, sabi-

endo que 5 0a b c ,= = = . Tenemos que F(5;5;0) y D(0;0;5)

Definición del vector,

A FD D F ( 5; 5;5)

= = − = − −

ˆ ˆ Â 5i 5 j 5k A 5 3

= − − + ⇒ =

FAQ F 4i 8 j 3ku

89AQ F

+ −= = =

[ ]2 Cualquier vector se puede expresar en función de su módulo y su respectivo vector unitario.

( )F4i 8 j 3kˆF F .u 94,4 .

89

+ − = =

4i 8 j 3kF 94,4. 40i 80 j 30k

9,44 + − = = + −

ˆ ˆ ˆF 40 i 80 j 30k

= + −

PROBLEMA 3. Se muestra un cubo de lado 2 0, unidades

limitado por un sistema cartesiano tridi-mensional. Sabiendo que el módulo de los vectores son 60

A newtons= y 30

B newtons= . Determine:

a) El vector unitario del vector A

b) El vector unitario del vector B

c) Determinar los vectores A

y B

X

Y

Z

O

A

B

C

P

X

Y

Z

O

A

B

C

P

RESOLUCIÓN 1) Determinamos los puntos C y F, sabi-

endo que 2 0a b c ,= = = . Tenemos que C(0;2;2) y F(2;2;0)

El vector unitario del vector A

es el mismo del vector CF

, donde CF F C (2;0; 2)

= − = −

CF 2i 0 j 2k

= + −

ACF AuCF A

= =

2 0 2 2 202 22 2A

i j ku i j k+ −= = + −

Cálculo del vector:

( ) 2 260 0

2 2

AÂ A .u . i j k

= = + −

30 2 30 2

A i k= − 2) Determinamos los puntos D y F, sabi-endo que 2 0a b c ,= = = .

Tenemos que D(0;0;2) y F(2;2;0)

RESOLUCIÓN (1) Determinamos los puntos D y F, sabi-

endo que a 8m; b 6 m; c 5m= = = . Tenemos que D(0;0;5) y F(6;8;0)

El vector unitario del vector A

es el mismo del vector DF

, donde DF F D (6;8; 5)

= − = −

DF 6i 8 j 5k

= + − Cálculo del módulo,

( )22 2DF 6 8 5 5 5 11,18

= + + − = =

ADF AuDF A

= =

A6i 8 j 5ku

5 5+ −

=


( )A

6i 8 j 5kÂ A .u 2,5 5 .5 5

+ − = =

A 3i 4 j 2,5k

= + −

El vector unitario del vector B

es el mismo del vector FD

, dond FD D F ( 2; 2;2)

= − = − −

FD 2i 2 j 2k

= − − +

BFD BuFD B

= =

B2i 2 j 2k 3 3 3u i j k

3 3 32 3− − +

= = − − + Cálculo del vector:

( )B3 3 3ˆB B .u 30 . i j k

3 3 3

= = − − +

B 10 3 i 10 3 j 10 3 k= − − +

PROBLEMA 4. Se muestra un paralelepípedo rectangular

limitado por un sistema cartesiano tridimen-sional. Sabiendo que

2 5 5

A , metros= Determine: a) El vector unitario del vector A


c) La proyección del vector A

sobre los ejes cartesianos.

(2) Determinamos los puntos A y F, sabi-endo que: a 8m; b 6m; c 5m= = = .

Tenemos que A (6;0;5) y F(6;8;0) El vector unitario del vector B

es el mismo del vector AF

, donde AF F A (0;8; 5)

= − = − AF 0i 8 j 5k

= + − y el módulo es,

( )22 2AF 0 8 5 89 9,4

= + + − = =

BAF BuAF B

= =

B

ˆ ˆ ˆ0 i 8 j 5k ˆ û 0,85 j 0,53k89

+ −= = −

Bˆ û 0,85 j 0,53k= −

PROBLEMA 5. Se muestra un cubo de lado 2 0, unidades

limitado por un sistema cartesiano tridi-mensional. Sabiendo que el módulo de los vectores son 30A newtons=

y 60B newtons=

. Determine:

a) El vector unitario del vector A


c) Determinar los vectores A

y B

RESOLUCIÓN

1) Determinamos los puntos C y F, sabi-endo que 2 0a b c ,= = =

Tenemos que C(0;2;2) y F(2;2;0) El vector unitario del veCtor A

es el mismo del vector FC

, donde FC C F ( 2;0;2) 2i 0 j 2k

= − = − = − + + FC 2i 0 j 2k

= − + +

AFC AuFC A

= =

A

2i 0 j 2 k 2 2u i 0 j k2 22 2

− + += = − + +


( )A

2 2Â A .u 30 . i 0 j k2 2

= = − + +

A 15 2 i 15 2 k

= − +

RESOLUCIÓN [ ]1 Construimos el polígono cerrado y

ordenado:

( ) ( ) ( )A B C D E 0

+ − + + − + − = Si el polígono formado por los vec-tores es cerrado y ordenado, en-tonces el vector resultante es nulo.

A C B D E

+ = + +

Donde, ˆ ˆ Â 12 i 9 j y C 12 i

= − + =

( ) ( ) ˆB D E A C 12i 9j 12i 9 j

+ + = + = − + + =

[ ]2 Cálculo del vector resultante:

R A B C D E

= + + + +

( ) ( ) ( )R A C B D E 2 A C

= + + + + = +

( ) ( )ˆ ˆR 2 A C 2 9 j 18 j

= + = =

[ ]3 Cálculo del producto escalar: A C

• ˆ ˆ ˆ Â 12 i 9 j y C 12 i 0 j

= − + = +

( ) ( ) ( ) ( )A C 12 . 12 9 . 0 144

• = − + = −

A C 144

• = −

Además sabemos que:

A 15 y C 12

= =

2) Determinamos los puntos D y F, sabi-endo que 2 0a b c ,= = = .

Tenemos que D(0;0;2) y F(2;2;0) El vector unitario del vector B

es e l m ismo de l vec to r DF

, donde DF F D (2;2; 2)

= − = − DF 2i 2 j 2k

= + −

BDF BuDF B

= =

B

2i 2 j 2 k 3 3 3u i j k3 3 32 3

+ −= = + −

Cálculo del vector: ( )B

3 3 3ˆB B .u 60 . i j k3 3 3

= = + −

B 20 3 i 20 3 j 20 3 k

= + −

PROBLEMA 6. Se muestra un polígono vectorial cerrado,

donde, Â 15 y C 12 i

= = además

sabemos que, 3Sen5

q = Determine:

a) B D E

+ +

b) A B C D E

+ + + +

c) A C

•

Definición del producto escalar:

A C A . C .Cos

• = φ

( ) ( )144 15 . 12 .Cos− = φ

12Cos 14315

φ = − ⇒ φ = °

PROBLEMA 7. Se muestra un cubo de lado b 2,0=

limitado por un sistema cartesiano tridi-mensional. Determinar:

[ ]1 La expresión de los vectores A, B y C

en función de los vectores unitarios cartesianos.

[ ]2 El ángulo entre los vectores A y B

(aplicando producto escalar).

[ ]3 Un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A y B

RESOLUCIÓN [ ]1 Determinamos los puntos O y B,

sabiendo que 2 0a b c ,= = = . Ten-emos que O(0;0;0) y B(2;2;2) Expresión del vector

( )A OB B O 2;2;2 2i 2 j 2k

= = − = = + +

[ ]2 Determinamos los puntos O y F, sabiendo que 2 0a b c ,= = = .

Tenemos que O(0;0;0) y B(2;2;0) Expresión del vector

( )B OF F O 2;2;0 2i 2 j 0k

= = − = = + +

[ ]3 Determinamos los puntos D y E, sab iendo que 2 0a b c ,= = = . Tenemos que D(0;0;2) y E (2;0;0) Expresión del vector

( )C DE E D 2;0; 2 2i 0 j 2k

= = − = − = + −

[ ]4 Determinamos:

A 2i 2 j 2k A 4 3

= + + ⇒ =

y B 2i 2 j 0k B 2 2

= + + ⇒ = Cálculo del producto escalar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B 2 . 2 2 . 2 2 . 0 8

• = + + =

A C 8

• = Definición del producto escalar:

A C A . C .Cos

• = φ

( ) ( ) 28 2 3 . 2 2 .Cos Cos6

= φ ⇒ φ =

2Cos 35,36

φ = ⇒ φ = °

[ ]5 Cálculo del producto vectorial:

i j kA C W 2 2 2

2 2 0

× = =

2 2 2 2 2 2W i. j k. 4i 4 j 0k

2 0 2 0 2 2

= − + = − + +

Tenemos que A (2;0;2) y C(0;2;2) Definición del vector,

( )A AC C A 2;2;0= = − = −

ˆ ˆ Â 2 i 2 j 0k A 2 2= − + + ⇒ =

Calculo del vector unitario,

A

ˆ ˆ Â 2 i 2 j 0k 2 2ˆ û i j2 22 2A

− + += = = − +

[ ]2 Determinamos los puntos B y O, s a b i e n d o q u e 2 0a b c ,= = = . Tenemos que B(2;2;2) y O(0;0;0) Definición del vector,

( ) ˆ ˆ ˆB BO O B 2; 2; 2 2 i 2 j 2k= = − = − − − = − − −

ˆ ˆ ˆB 2 i 2 j 2k B 2 3= − − − ⇒ =

Calculo del vector unitario, B

ˆ ˆ ˆB 2 i 2 j 2k 3 3 3ˆ ˆ û i j k3 3 32 3B

− − −= = = − − −

[ ]3 Determinamos el producto escalar de los vectores,

( )( ) ( )( ) ( )( )A B 2 2 2 2 0 2 0• = − − + − + − =

De la definición del producto escalar sabemos que,

A B A . B .Cos• = q

( ) ( )0 2 2 . 2 3 .Cos Cos 0= q ⇒ q =

90 A Bq = ° ⇒ ⊥

PROBLEMA 9. Se muestra un paralelepípedo de lado

a 3, b 12 y c 4= = = limitado por un sis-tema cartesiano tridimensional. Determinar:

a) La expresión de cada vector en función de sus componentes cartesianas.

b) A B C D E F+ + + + +

C) 2A B 3C 2D 3E F− + − + −

RESOLUCIÓN [ ]1 Determinamos los vectores sabiendo

que a 3, b 12 y c 4= = = :

( ) Â 3;0;0 3i= =

( ) ˆB 0;12;0 12 j= =

( ) ˆC 0;0;4 4k= =

( ) ˆ ˆD 3;12;0 3i 12 j= = +

( ) Ê 0;0;4 4k= =

W 4i 4 j 0k W 4 2

= − + + ⇒ =

[ ]6 Determinamos el vector unitario, perpendicular a los vectores A y B

WW 4i 4 j 2 2u i j

2 2W 4 2

− += = = − +

W2 2ˆ û i j

2 2= − +

PROBLEMA 8. Se muestra un cubo de lado b 2,0=

limitado por un sistema cartesiano tridi-mensional. Determinar:

a) Los vectores A y B

en función de sus componentes cartesianas.

b) El vector unitario de los vectores A y B

c) A B•

d) El ángulo que forman los vectores A y B

RESOLUCIÓN

[ ]1 Determinamos los puntos A y C, sabiendo que 2 0a b c ,= = = .

( ) ˆ ˆ ˆF 3;12;4 3i 12 j 4k= = + +

[ ]2 Determinamos el vector resultante,

( )R A B C D E F 9;36;12= + + + + + =

ˆ ˆ ˆR 9 i 36 j 12k= + +

[ ]3 Cálculo del módulo del vector

resultante,

( ) ( ) ( )2 2 2R 9 36 12 39= + + =

R

ˆ ˆ ˆR 9 i 36 j 12ku39R

+ += =

Cálculo del vector unitario,

R

3 12 4ˆ ˆ û i j k13 13 13

= + +

[ ]4 Combinación lineal de vectores,

( )( ) ( ) ˆ2A 2 3;0;0 6;0;0 6 i= = =

( )( ) ( ) ˆB 1 0;12;0 0; 12;0 12 j− = − = − = −

( ) ( ) ˆ3C 3 0;0;4 0;0;12 12 k= = =

( )( ) ( ) ˆ ˆ2D 2 3;12;0 6; 24;0 6 i 24 j− = − = − − = − −

( )( ) ( ) ˆ3E 3 0;0;4 0;0;12 12k= = =

( )( ) ( ) ˆ ˆ ˆF 1 3;12;4 3; 12; 4 3i 12 j 4k− = − = − − − = − − −

( )S 2A B 3C 2D 3E F 3; 48;20= − + − + − = − −

ˆ ˆ ˆS 3i 48 j 20k= − − +

PROBLEMA 10. Se muestra un sólido limitado por un siste-

ma cartesiano tridimensional. Determinar: a) La expresión de cada vector en función

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )A B C D E 8 4 6 3 8 4 82+ + • + = + − − + =

( ) ( )A B C D E+ + • +

[ ]3 Determinamos el producto vectorial,

( )A B C 8i 6 j 8k+ + = − +

( )D E 4i 3 j 4k+ = − +

( ) ( )W A B C D E= + + × +

ˆ ˆ î j kW 8 6 8

4 3 4

= − −

6 8 8 8 8 6ˆ ˆ ˆW i j k3 4 4 4 4 3

− − = − + − −

ˆ ˆ ˆW 0i 0 j 0k 0= + + =

Conclusión: ( ) ( )A B C y D E+ + +

son paralelos.

PROBLEMA 11. Se muestra un cubo de lado 2,0 limitado

por un sistema cartesiano tridimensional. Determinar:

a) Los vectores a , b y c

en función de sus componentes cartesianas.

b) a b b c a c• + • + •

c) El ángulo que forman los vectores a y b

d) El ángulo que forman los vectores b y c

e) El ángulo que forman los vectores a y c

RESOLUCIÓN

[ ]1 Dete rm inamos l os vec to res :

( ) ˆ ˆ â 2;2;0 2 i 2 j 0 k= − = − + +

( ) ˆ ˆ ˆb 2;0;2 2 i 0 j 2 k= = + +

( ) ˆ ˆ ˆc 2;2;0 2 i 2 j 0k= = + +

[ ]2 Calculamos el producto escalar,

a b 4• = −

b c 4• = +

a c 0• =

( ) ( ) ( )a b b c a c 4 4 0 0• + • + • = − + + =

[ ]3 Calculamos el módulo de los vec-

tores,

ˆ ˆ â 2 i 2 j 0k a 2 2= − + + ⇒ =

ˆ ˆ ˆb 2 i 0 j 2k b 2 2= + + ⇒ =

ˆ ˆ ˆc 2 i 2 j 0k c 2 2= + + ⇒ =

[ ]4 Calculo del ángulo entre los vectores

a y b

; a b a . b .Cos• = a

de sus componentes cartesianas. b) A B C D E+ + + +

c) ( ) ( )A B C D E+ + • +

d) ( ) ( )A B C D E+ + × +

RESOLUCIÓN

[ ]1 Determinamos los vectores sabiendo:

( ) ˆ ˆ Â 4; 3;0 4 i 3 j 0k= − = − +

( ) ˆ ˆ ˆB 0;0;4 0 i 0 j 4k= = + +

( ) ˆ ˆ ˆC 4; 3;4 4 i 3 j 4k= − = − +

( ) ˆ ˆ ˆD 4;0;0 4 i 0 j 0 k= = + +

( ) ˆ ˆ Ê 0; 3;4 0 i 3 j 4k= − = − +

[ ]2 Determinamos el vector resultante,

( )R A B C D E 12; 9;12= + + + + = −

ˆ ˆ ˆR 12 i 9 j 12k= − +

[ ]3 Determinamos el producto escalar,

( ) ( )A B C 8; 6;8 8i 6 j 8k+ + = − = − +

( ) ( )D E 4; 3;4 4i 3 j 4k+ = − = − +

( ) ( ) 14 2 2 . 2 2 .Cos Cos2

− = a ⇒ a = −

120a = °


b y c

; b c b . c .Cos• = b

( ) ( ) 14 2 2 . 2 2 .Cos Cos2

= b ⇒ b = +

60b = °


a y c ;

a c a . c .Cos• = δ

( ) ( )0 2 2 . 2 2 .Cos Cos 0= δ ⇒ δ =

90δ = °

PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL

1. Calcular el módulo del vector:

ˆ ˆ Â 6 i 3 j 2k= + −

RESOLUCIÓN

Módulo del vector en 3D:

222 zyxA ++=

( ) 7236 222 =−++=A

Respuesta: A 7=

2. Calcular el módulo del vector:

ˆ ˆ ˆW 4i 3 j 12k= − +

7. Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vector ˆ ˆ Â 4 i 3 j 2k= − + +

sabiendo que el origen coincide con el punto M de coordenadas ( )1;2; 3− .

RESOLUCIÓN Definición de un vector: N M MN N M A= + ⇒ = +

( )2;3;4ˆ2ˆ3ˆ4 −=++−= kjiA

( ) ( ) ( )1;5;32;3;43;2;1 −−=⇒−+−= NN

8. Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vector ˆ ˆ ˆC 4 i 3 j 5k= − +

sabiendo que el origen coincide con el punto Q de coordenadas ( )3;1;2 − .

9. Se dan los vectores ˆ ˆ Â 4 i 2 j 6k= − +

y ˆ ˆB 2 i 4 j= − +

. Determinar la proyec-

ción del vector A B2

+

sobre los ejes

coordenados cartesianos.

RESOLUCIÓN ( )6;2;4ˆ6ˆ2ˆ4 −=+−= kjiA

( )0;4;2ˆ0ˆ4ˆ2 +−=++−= kjiB

Adición de vectores:

( )6;2;2ˆ6ˆ2ˆ2 =++=+ kjiBA

ˆ ˆ Â B 2 i 2 j 6k 2 2 6V ; ;

2 2 2 2 2+ + + = = =

( )A B ˆ ˆ ˆV 1i 1 j 3k 1;1;3

2+

= = + + =

Proyección del vector V

en el eje x: ˆ1i

Proyección del vector V

en el eje y: ˆ1 j Proyección del vector V

en el eje z: ˆ3k

10.Dado el módulo de vector 2=A

y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z re-spectivamente a = 45°, b = 60° y q = 120°. Determinar la proyección del vector A

sobre los ejes coordenados.

RESOLUCIÓN Definición de un vector y los cosenos

directores: );;.( qba CosCosCosAA

= )120;60;45.(2 °°°= CosCosCosA

2(Cos 45°, Cos 60°, Cos 120°)

−=

21;

21;

22.2A

( )1;1;2 −=A

kjiA ˆ1ˆ1ˆ2 −+=

Proyección del vector A

en el eje x: ˆ2 i Proyección del vector A

en el eje y: ˆ1 j Proyección del vector A

en el eje z: ˆ1k−

11. Dado el módulo de vector 10=A

10° y los ángulos que forman con los ejes coorde-nados cartesianos x, y, z respectivamente

90=a 90°, 150=b y 60=q 60°. Determi-nar la proyección del vector A

sobre los ejes coordenados.

RESOLUCIÓN Definición de un vector y los cosenos

directores

3. Calcular el vector unitario del vector ˆ ˆ ˆT 4 i 3 j 12 k= − + +

RESOLUCIÓN Módulo del vector en 3D:

( ) ( ) ( )2 2 2T 4 3 12 13= − + + =

T 13=

Definición del vector unitario:

T

ˆ ˆ ˆT 4 i 3 j 12ku13T

− += =

Respuesta: T4 3 12ˆ ˆ û i j k

13 13 13= − +

4. Calcular el vector unitario del vector ˆ ˆ â 6 i 2 j 3k= − −

5. Dado los puntos ( )A 3; 1; 2= − y

( )B 1; 2; 1= − determinar los vec-tores: AB

y BA

respectivamente. RESOLUCIÓN Definición de un vector: ( )ˆ ˆ ÂB B A 4i 3 j 1k 4;3; 1= − = − + − = − −

Definición de un vector:

( )ˆ ˆ ˆBA A B 4i 3 j 1k 4; 3;1= − = + − + = −

Conclusión:

AB BA son vectores opuestos= −

son vectores opuestos

6. Dado los puntos P = (-3; 2; 1) y Q = (1; -2; -1) determinar los vectores: PQ

y QP

respec-tivamente.

A A .(Cos ;Cos ;Cos )= a b q

)60;150;90.(10 °°°= CosCosCosA

10 (Cos 90°; Cos 150°; Cos 60°)

−=

21;

23;0.10A

( )5;35;0 +−=A

kjiA ˆ5ˆ35ˆ0 +−=


en el eje x: ˆ0 i


en el eje y: ˆ5 3 j−


en el eje z: ˆ5k

12. Calcular los cosenos directores del vector kjiA 161512 −−=

.12i - 15j - 16k

RESOLUCIÓN Def in ic ión de un vector uni tar io:

( ) ( ) ( )2 2 2ˆ ˆ Â 12 i 15 j 16k A 12 15 16 25= − − ⇒ = + − + − =

A 25=

A

ˆ ˆ Â 12 i 15 j 16ku25A

− −= =

A

12 15 16ˆ ˆ û i j k25 25 25

= − −

A12 15 16ˆ ˆ û i j k25 25 25

= + − + −

( ) ( ) ( )Aˆ ˆ û Cos i Cos j Cos k= a + b + q

Identificamos a los cosenos directores:

12Cos 61,31525

a = ⇒ a = °

RESOLUCIÓN Definición de los cosenos directores:

( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + b + q =

( ) ( ) ( )2 2 2Cos45 Cos135 Cos60 1° + ° + ° =

2 2 22 2 1 12 2 2

+ − + =

1 1 1 12 2 4

+ + ≠

Respuesta: El vector no existe.

15. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes 45=a45°, 60=b 60° y 120=q ?


( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + b + q =

( ) ( ) ( )2 2 2Cos45 Cos60 Cos120 1° + ° + ° =

2 2 22 1 1 1

2 2 2 + + − =

1 1 1 12 4 4

+ + = Respuesta: El vector si existe.

16.¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes

90=a 9 0 ° , 150=b y 60=q 6 0 ° ?


( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + b + q =

( ) ( ) ( )2 2 2Cos90 Cos150 Cos60 1° + ° + ° =

( )2 2

2 3 10 12 2

+ + = 3 10 1

4 4+ + =

Respuesta: El vector si existe.

17. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los ángulos 120=a y 45=q 45° respectiva-mente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OY?


( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + b + q =

( ) ( ) ( )2 2 2Cos120 Cos Cos45 1° + b + ° =

( )22

21 2Cos 12 2

− + b + =

( )21 1Cos 14 2

+ b + =

( )2 1 1Cos Cos4 2

b = ⇒ b = ±

Respuesta: 60 y 120b = ° b = °

18. Un vector forma con los ejes OX, y OY los ángulos 45=a 45° y 135=b respectiva-mente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OZ?


15Cos 126,8725

−b = ⇒ b = °

16Cos 129,79225

−q = ⇒ q = °

13.Calcular los cosenos directores del vector ˆ ˆ ˆP 3i 4 j 12k

= − − .

RESOLUCIÓN Definición de un vector unitario:

( ) ( ) ( )2 2 2ˆ ˆ ˆP 3i 4 j 12k P 3 4 12 13= − − ⇒ = + − + − =

P 13=

P

ˆ ˆ ˆP 3i 4 j 12ku13P

− −= =

P3 4 12ˆ ˆ û i j k

13 13 13= − −

P

3 4 12ˆ ˆ û i j k13 13 13

= + − + −

( ) ( ) ( )Pˆ ˆ û Cos i Cos j Cos k= a + b + q

Identificamos a los cosenos directores:

3Cos 76,65813

a = ⇒ a = °

4Cos 107,9213−

b = ⇒ b = °

12Cos 157,3813−

q = ⇒ q = °

14. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguiente

45=a 45° , 135=b y 60=q 60°?

( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + b + q =

( ) ( ) ( )2 2 2Cos45 Cos135 Cos 1° + ° + q =

( )2 2

22 2 Cos 12 2

+ − + q =

( )21 1 Cos 1

2 2+ + q =

( )2Cos 0 Cos 0q = ⇒ q =

Respuesta: 90q = °

19.Un vector forma con los ejes OY, y OZ los ángulos 150=b y 60=q 60° respec-tivamente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OX?


( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + b + q =

( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos150 Cos60 1a + ° + ° =

( )2 2

2 3 1Cos 12 2

a + − + =

( )2 3 1Cos 1

4 4a + + =

( )2Cos 0 Cos 0a = ⇒ a = Respuesta: 90a = °

20. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos iguales y su módulo es igual a 3 unidades.

1ˆ ˆ ˆ ˆH a i b j H b i a j

⊥= + ⇒ = − +

2ˆ ˆ ˆ ˆH a i b j H b i a j

⊥= + ⇒ = −

1ˆ ˆ ˆ ˆG 4 i 3 j G 3i 4 j

⊥= − + ⇒ = − −

2ˆ ˆ ˆ ˆG 4 i 3 j G 3i 4 j

⊥= − + ⇒ = +

22. Determinar el vector perpendicular al vec-tor ˆ Ê 6 i 8 j

= +

RESOLUCIÓN Regla práctica para determinar el vector

ortogonal:

1ˆ ˆ ˆ Ê 6 i 8 j E 8i 6 j

⊥= + ⇒ = − +

2ˆ ˆ ˆ Ê 6 i 8 j E 8i 6 j

⊥= + ⇒ = −

23. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 25 unidades cuadradas. Si conoc-emos el vértice ( )A 10;20 y el lado A B es paralelo al vector ˆ ˆV 3i 4 j= +

. De-terminar la posición de los vértices B, C y D.

RESOLUCIÓN

(1). Si el área del cuadrado es 25 uni-dades cuadráticas, entonces cada lado mide 5 unidades lineales. El vector

ˆ ˆV 3i 4 j= +

es paralelo al lado AB y

tienen el mismo módulo. AB V 5= =

entonces ˆ ÂB V 3i 4 j= = +

(2). Cálculo del punto B: ( ) ( ) ( )B A AB 10;20 3;4 13;24= + = + =

Regla práctica para determinar el vector ortogonal:

AB BC⊥

entonces ˆ ˆBC 4 i 3 j= − +

(3). Cálculo del punto C: ( ) ( ) ( )C B BC 13;24 4;3 9;27= + = + − =


BC CD⊥

entonces ˆ ˆCD 3i 4 j= − −

(4). Cálculo del punto D: ( ) ( ) ( )D C CD 9;27 3; 4 6;23= + = + − − =

24. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (20; 10) y el lado AB es paralelo al vector ji 34 + . Deter-minar la posición de los vértices B, C y D.

RESOLUCIÓN

(1). Si el área del cuadrado es 100 uni-dades cuadráticas, entonces cada lado

¿Qué ángulo forma el radio vector con los ejes coordenados cartesianos?


( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + b + q =

( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + a + a =

( ) ( )2 2 13 Cos 1 Cos3

a = ⇒ a =

( ) 1Cos3

a = ±

( ) 1Cos 54,743

a = + ⇒ a = °

( ) 1Cos 125,263

a = − ⇒ a = °

El vector unitario es, ( ) ( ) ( )ˆ ˆ û Cos i Cos j Cos k= a + a + a

3 3 3ˆ ˆ û i j k

3 3 3

= + +

Definición del radio vector, OM R=

( )ˆR R .u R . Cos ;Cos ;Cos= = a a a

( )3 3 3R 3. ; ; 3; 3; 33 3 3

= =

Respuesta: Las coordenadas del punto M es, ( )R 3; 3; 3=

21.Calcular el vector ortogonal del vector G 4i 3j= − +

RESOLUCIÓN Regla práctica para determinar el vector

ortogonal:

mide 10 unidades lineales. El vector ˆ ˆV 4 i 3 j= +

es paralelo al lado AB y tienen el módulo a razón de 1 a 2.

Es decir, AB 10 y V 5= =

enton-ces

( )ˆ ˆ ˆ ÂB 2V 2 4 i 3 j 8 i 6 j= = + = +

(2). Cálculo del punto B:

( ) ( ) ( )B A AB 20;10 8;6 28;16= + = + =


AB BC⊥

entonces ˆ ˆBC 6 i 8 j= − +

(3). Cálculo del punto C: ( ) ( ) ( )C B BC 28;16 6;8 22;24= + = + − =


BC CD⊥

entonces ˆ ˆCD 8i 6 j= − −

(4). Cálculo del punto D: ( ) ( ) ( )D C CD 22;24 8; 6 14;18= + = + − − =

25. Si los módulos de los vectores P

y Q

son 18 y 14 unidades y sus cosenos directores

con los ejes X, Y y Z son 2 1 2; ;3 3 3

−

y 6 3 2; ;7 7 7

respectivamente. Determinar

el resultado de: P Q

2+

RESOLUCIÓN (1). Expresamos el vector P

en función de su vector unitario.

( )P2 1 2ˆP P .u 18 . ; ;3 3 3

− = =

( ) ˆ ˆ ˆQ 8;6; 24 8i 6 j 24k= − = + −

(3). Producto escalar de vectores:

( )( ) ( )( ) ( )( )P Q 10 8 5 6 10 24 130• = + + − = −

( )( ) ( )( ) ( )( )P Q 10 8 5 6 10 24 130• = + + − = −

Respuesta: P Q 130• = −

27. Dado 13=A

13, 19=B

19 y 24=+ BA

24 Calcular: BA

−

RESOLUCIÓN (1). Método del paralelogramo:

2 2 2A B A B 2. A . B .Cos+ = + + q

.. (1)

2 2 2A B A B 2. A . B .Cos− = + − q

.. (2) (2). Adicionando ambas ecuaciones ten-

emos que,

2 2 2 2A B A B 2. A 2. B+ + − = +

( ) ( ) ( )22 2 224 A B 2. 13 2. 19+ − = +

Respuesta: A B 22− =

28. Sabiendo que los vectores ByA

forman entre si un ángulo de 120° y además

3=A

, 5=B

Determinar: BA

− RESOLUCIÓN

Método del paralelogramo:

2 2 2

A B A B 2. A . B .Cos− = + − q

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2A B 3 5 2. 3 . 5 .Cos120− = + − °

Respuesta: A B− =

7

29. ¿Para qué valores de “p” y “q” los v e c t o r e s ˆ ˆ Â 2 i 3 j p k= − + +

y ˆ ˆ ˆB q i 6 j 2k= − +

son colineales?

RESOLUCIÓN Dos vectores son colineales si sus compo-

nentes son directamente proporcionales. 2 3 p cos n tan teq 6 2−

= = =−

Resolviendo tenemos que:

2 3 q 4q 6

−= ⇒ =

− Resolviendo tenemos que:

3 p p 16 2

= ⇒ = −−

Respuesta: Son col ineales para, q 4 y p 1= = −

30.¿Para qué valores de “r” y “s” los v e c t o r e s ˆ ˆ Â r i 12 j 3k= + +

y ˆ ˆ ˆB 8i s j 2 k= + +

son paralelos? RESOLUCIÓN Dos vectores son paralelos si sus compo-

nentes son directamente proporcionales. r 12 3 cos n tan te8 s 2

= = =

Resolviendo tenemos que: 12 3 s 8

s 2= ⇒ =

( ) ˆ ˆ ˆP 12; 6;12 12 i 6 j 12k= − = − +

(2). Expresamos el vector Q


( )Q6 3 2ˆQ Q .u 14 . ; ;7 7 7

= =

( ) ˆ ˆ ˆQ 12;6;4 12 i 6 j 4k= = + +

(3). Adición de vectores:

( ) ( ) ˆ ˆ ˆP Q 24;0;16 24 i 0 j 16k

+ = = + +

La semisuma es;

P Q 24 0 16 ˆ ˆ ˆ; ; 12 i 0 j 8k

2 2 2 2+ = = + +

26. Si los módulos de los vectores P

y Q

son 15 y 26 unidades y sus cosenos directores

con los ejes X, Y y Z son 2 1 2; ;3 3 3

−

y 4 3 12; ;

13 13 13−

respectivamente.

Determinar el resultado de: P Q•

RESOLUCIÓN (1). Expresamos el vector P


( )P

2 1 2ˆP P .u 15 . ; ;3 3 3

− = =

( ) ˆ ˆ ˆP 10; 5;10 10 i 5 j 10k= − = − +

(2). Expresamos el vector Q


( )Q4 3 12ˆQ Q .u 26 . ; ;

13 13 13− = =

Resolviendo tenemos que:

r 3 r 128 2

= ⇒ =

Respuesta: Son paralelos para, r 12 y s 8= =

31.Los siguientes vectores ˆ ˆ ˆW 15i 12 j 9k

= − + y ˆ ˆ ˆP 5i 4 j 3k

= + + ¿son colineales?

RESOLUCIÓN Dos vectores son colineales si sus compo-

nentes son directamente proporcionales. 15 12 9 cos n tan te5 4 3

−= = =

3 3 3 cos n tan te≠ − ≠ ≠ Respuesta: Los vectores W y P

no son colineales.

32. Los siguientes vectores ˆ ˆ Ê 15i 12 j 9k

= − + y ˆ ˆ ˆT 5i 4 j 3k

= − + ¿son paralelos?

RESOLUCIÓN Dos vectores son paralelos si sus compo-

nentes son directamente proporcionales. 15 12 9 cos n tan te5 4 3

−= = =

− 3 3 3 cos n tan te= = = Respuesta: Los vectores E y T

son paralelos.

33. Se conocen los vértices de un cuadri-látero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). ¿Es un trapecio?

RESOLUCIÓN Combinac ión l ineal de vectores:

A p q

a b= + ( ) ( ) ( )9;4 2; 3 1;2a b= − +

( ) ( ) ( )9;4 2 ; 3 1 ;2a a b b= − +

( ) ( )9;4 2 1 ; 3 2a b a b= + − + Resolviendo el sistema de ecuaciones: 2 1 9a b+ = ----(1)

3 2 4a b− + = ----(2) Multiplicando por (-2) a la ecuación (1):

4 2 18a b− − = − ---(3) Adicionando las ecuaciones (2) y (3):

7 14 2a a− = − ⇒ = Reemplazando en (1):

4 1 9 5b b+ = ⇒ = Respuesta: A 2p 5q

= +

36. Dado los vectores en el plano ˆ ˆp 3i 2 j

= − y ˆ ˆq 2 i 1 j

= − + . Expresar el vector ˆ Â 7 i 4 j

= − en función de los vectores p y q

.

37. Dado los vectores en el plano ˆ ˆp 3i 2 j

= − y ˆ ˆq 7 i 4 j

= − . Expresar el vector ˆ Â 2 i 1 j

= − + en función de los vectores p y q

. RESOLUCIÓN Combinac ión l ineal de vectores:

A p q

a b= +

El vector T

de módulo 75 tiene dirección opuesta al vector ˆ ˆ â 16 i 15 j 12k= − +

. Determinar las proyecciones del vector T

en el sistema coordenado cartesiano.

RESOLUCIÓN Determinamos el vector unitario del vector

a :

( ) ( ) ( )2 2 2a 16 15 12 25= + − + =

A

ˆ ˆ â 16 i 15 j 12kua 25

− += =

El vector T

tiene dirección opuesta del vector a ,

T A

ˆ ˆ ˆ16 i 15 j 12kˆ û u25

− + −= − =

definición del vector T

,

TˆT T .u=

( )ˆ ˆ ˆ16 i 15 j 12k ˆ ˆ ˆT 75 48i 45 j 36k

25 − + −

= = − + −

ˆ ˆ ˆT 48i 45 j 36k= − + −

Proyección del vectorT

en el eje x: ˆ48i−

Proyección del vector T

en el eje y: ˆ45 j

Proyección del vectorT

en el eje z: ˆ36k−

35.Dado los vectores en el plano ˆ ˆp 2 i 3 j

= − y ˆ ˆq 1i 2 j

= + . Expresar e l vector ˆ Â 9 i 4 j

= + en función de los vectores p y q

.

( ) ( ) ( )2;1 3; 2 7; 4a b− = − + −

( ) ( ) ( )2;1 3 ; 2 7 ; 4a a b b− = − + −

( ) ( )2;1 3 7 ; 2 4a b a b− = + − − Resolviendo el sistema de ecuaciones:

2 3 7a b− = + .......(1) 1 2 4a b= − − ........(2) Multiplicando por (2) a la ecuación (1):

4 6 14a b− = + ......(3) Multiplicando por (3) a la ecuación (2):

3 6 12a b= − − ......(4) Adicionando las ecuaciones (3) y (4): 11 2

2b b− = ⇒ = −

Reemplazando en (2):

1 11 2 42 2

a a = − − − ⇒ =

Respuesta: 1 1A p q2 2

= −

38. Dado los vectores en el plano p 7i 4 j= −

y q 2i 1j= − +

. Expresar el vector A 3i 2j= −

en fun-ción de los vectores p y q

.

39. Se dan los vectores ˆ â 3i 1 j

= − , ˆ ˆb 1i 2 j

= − y ˆ ˆc 1i 7 j= − +

. Determinar la descomposición del vector

p a b c= + +

en base de los vectores bya

. RESOLUCIÓN Cálculo del vector p a b c= + +

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆp 3i 1 j 1i 2 j 1i 7 j 3i 4 j

= − + − + − + = + Combinación lineal de vectores:

p a b

a b= + ( ) ( ) ( )3;4 3; 1 1; 2a b= − + − ( ) ( ) ( )3;4 3 ; 1 1 ; 2a a b b= − + − ( ) ( )3;4 3 1 ; 1 2a b a b= + − − Resolviendo el sistema de ecuaciones: 3 3 1a b= + .....(1)

4 1 2a b= − − ......(2)

Multiplicando por (3) a la ecuación (2): 12 3 6a b= − − ---(3)

Adicionando las ecuaciones (1) y (3): 15 5 3b b= − ⇒ = − Reemplazando en (1):

( )3 3 1 3 2a a= + − ⇒ = Respuesta: p 2a 3b

= −

40.Se dan los vectores ˆ â 6 i 2 j

= − , ˆ ˆb 1i 5 j

= − y ˆ ˆc 1i 7 j= − +


p a b c

= − + en base de los vectores bya

. RESOLUCIÓN Cá lcu lo de l vec to r p a b c

= − + ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆp 6 i 2 j 1i 5 j 1i 7 j 4 i 10 j

= − − − + − + = +

Combinación lineal de vectores: p a b

a b= + ( ) ( ) ( )4;10 6; 2 1; 5a b= − + −

( ) ( ) ( )2;5 6; 2 1; 5a b= − + − ( ) ( ) ( )2;5 6 ; 2 1 ; 5a a b b= − + − ( ) ( )2;5 6 1 ; 2 5a b a b= + − − Resolviendo el sistema de ecuaciones: 2 6 1a b= + ----(1)

5 2 5a b= − − ----(2) Multiplicando por (3) a la ecuación (2):

15 6 15a b= − − ---(3) Adicionando las ecuaciones (1) y (3):

1717 1414

b b= − ⇒ = −

Reemplazando en (1):

17 152 6 114 28

a a = + − ⇒ =

Respuesta: 15 17p a b28 14

= −

Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determi-nar la descomposición del vector AD

to-mado como base los vectores AB y AC

.

RESOLUCIÓN Cálculo del vector AB

( ) ( ) ( )AB B A 2;1 1; 2 1;3

= − = − − = ˆ ÂB 1i 3 j

= + Cálculo del vector AC

( ) ( ) ( )AC C A 3;2 1; 2 2;4

= − = − − = ˆ ÂC 2 i 4 j

= + Cálculo del vector AD

( ) ( ) ( )AD D A 2;3 1; 2 3;5

= − = − − − = −

( ) ( ) ( )4;10 6 ; 2 1 ; 5a a b b= − + − ( ) ( )4;10 6 1 ; 2 5a b a b= + − − Resolviendo el sistema de ecuaciones: 4 6 1a b= + ..............(1)

10 2 5a b= − − ........(2) Multiplicando por (3) a la ecuación (2):

30 6 15a b= − − ......(3) Adicionando las ecuaciones (1) y (3):

1734 147

b b= − ⇒ = −

Reemplazando en (1): 17 114 6 1

7 42a a = + − ⇒ =

Respuesta: 11 17p a b42 7

= −

41. Se dan los vectores ˆ â 6 i 2 j

= − , ˆ ˆb 1i 5 j

= − y ˆ ˆc 1i 7 j= − +


a b cp2

− +=

en base de los vectores

bya

.

RESOLUCIÓN Cálculo del vector

a b cp2

− +=

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 i 2 j 1i 5 j 1i 7 jˆ ˆp 2 i 5 j

2

− − − + − += = +

Combinación lineal de vectores:

p a b

a b= +

ˆ ÂD 3i 5 j

= − + Combinación lineal de vectores:

AD .AB .AC

a b= + ( ) ( ) ( )3;5 1;3 2;4a b− = + ( ) ( ) ( )3;5 1 ;3 2 ;4a a b b− = + ( ) ( )3;5 1 2 ;3 4a b a b− = + + Resolviendo el sistema de ecuaciones:

3 1 2a b− = + .......(1) 5 3 4a b= + .........(2) Multiplicando por (-3) a la ecuación (1):

9 3 6a b= − − .....(3) Adicionando las ecuaciones (2) y (3):

14 2 7b b= − ⇒ = − Reemplazando en (1):

( )3 2 7 11a a− = + − ⇒ = Respuesta: AD 11.AB 7.AC

= −

43. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector CD

tomado como base los vectores AB y AC

.

44. Se conocen los vértices de un cuad-rilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector BD

tomado como base los vectores AB y AC

RESOLUCIÓN Cálculo del vector AB

( ) ( ) ( )AB B A 2;1 1; 2 1;3

= − = − − = ˆ ÂB 1i 3 j

= +

Cálculo del vector AC

( ) ( ) ( )AC C A 3;2 1; 2 2;4

= − = − − = ˆ ˆAC 2 i 4 j

= + Cálculo del vector BD

( ) ( ) ( )BD D B 2;3 2;1 4;2

= − = − − = − ˆ ˆBD 4i 2 j

= − + Combinación lineal de vectores:

BD .AB .AC

a b= +

( ) ( ) ( )4;2 1;3 2;4a b− = +

( ) ( ) ( )4;2 1 ;3 2 ;4a a b b− = +

( ) ( )4;2 1 2 ;3 4a b a b− = + + Resolviendo el sistema de ecuaciones:

4 1 2a b− = + ........(1) 2 3 4a b= + ..........(2) Multiplicando por (-2) a la ecuación (1):

8 2 4a b= − − ........(3) Adicionando las ecuaciones (2) y (3):

10 10b b= ⇒ = Reemplazando en (1):

( ) 382 3 4 103

a a= + ⇒ = −

Respuesta:

( )38BD .AB 10 .AC3

= − +

45. Se conocen los vértices de un cuad-rilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector AD BC CD+ +

tomado

6 2 1φ a b= − + −

( ) 2 26 2 3 13 3

φ = − + − − =

23

φ =

Respuesta: ( ) 2 2c 3 p q r3 3

= − +

47. Se dan los vectores ˆ ˆ ˆp 3i 2 j 1k

= − + , ˆ ˆ ˆq 1i 1j 2k

= − + − y ˆ ˆ ˆr 2 i 1 j 3k

= + − . Determinar la descomposición del vec-

tor ˆ ˆ ˆc 11i 6 j 5k

= − + en base de los vectores p;q y r

.

48. Los vectores a y b


43 == bya

. Calcular: ba

•

RESOLUCIÓN Definición de producto escalar: a b a . b .Cos120• = °

( ) ( ) 1a b 3 . 4 . 62

• = − = −

Respuesta: a b 6• = −

49.Los vectores bya


a 3 3 y b 4= =

. Calcular: ba

•

50. Los vectores bya

forman entre si un ángulo de 60°.

Sabiendo que 43 == bya

.

Calcular: ba

•

RESOLUCIÓN Definición de producto escalar:

a b a . b .Cos60• = °

( ) ( ) 1a b 3 . 4 . 62

• = =

Respuesta: a b 6• =

51.Los vectores bya

forman entre si un ángulo de 45°. Sabiendo que a 3 2 y b 4= =

. Calcular: ba

•

52. Sabiendo que a 3= . Calcular: ( )2a

RESOLUCIÓN Definición de producto escalar: ( ) 22a a a a . a .Cos0 a= • = ° =

( ) ( )22 2a a 3 9= = =

53. Sabiendo que b 4=

. Calcular: ( )2b


( )2 2b b b b . b .Cos0 b= • = ° =

( ) ( )2 2 2b b 4 16= = =




. Calcular: ( )2ba

+

RESOLUCIÓN

como base los vectores AB y AC

.

46. Se dan los vectores ˆ ˆp 3i 2 j

= − , ˆ ˆq 1i 1j

= − + y ˆ ˆr 2 i 1 j

= + . Deter-minar la descomposición del vector

ˆ ˆc 11i 6 j

= − en base de los vectores p;q y r

.

RESOLUCIÓN Combinación lineal de vectores: c p q r

a b φ= + + ( ) ( ) ( ) ( )11; 6 3; 2 1;1 2;1a b φ− = − + − + ( ) ( ) ( ) ( )11; 6 3 ; 2 1 ;1 2 ;1a a b b φ φ− = − + − + ( ) ( )11; 6 3 1 2 ; 2 1 1a b φ a b φ− = − + − + + Resolviendo el sistema de ecuaciones: 11 3 1 2a b φ= − + ...........(1)

6 2 1 1a b φ− = − + + .......(2) despejando φ de la ecuación (1)

11 3 1

2a b φ− +

= .............(3)

despejando φ de la ecuación (2) 6 2 1a b φ− + − = ............(4)

Igualando las ecuaciones (3) y (4):

11 3 1 6 2 1

2a b

a b− +

= − + −

11 3 1 12 4 2a b a b− + = − + −

23 7

3ab − +

=

Haciendo que; 233

a b= ⇒ = − Reemplazando en la ecuación (4):

Definición de producto escalar:

( ) ( ) ( )2a b a b a b+ = + • +

( )2a b a a a b b a b b+ = • + • + • + •

Propiedad: a b b a• = •

( ) ( )2

a b a a 2 a b b b+ = • + • + •

( ) ( )2 22a b a 2 a . b .Cos120 b+ = + ° +

( ) ( ) ( )2 2 21a b 3 2. 3 . 4 . 4 13

2 + = + − + =

Respuesta: ( )2a b 13+ =




. Calcular: ( )2ba

+

56.Los vectores bya



. Calcular: ( )2ba

−

RESOLUCIÓN Definición de producto escalar: ( ) ( ) ( )2

a b a b a b− = − • −

( )2a b a a a b b a b b− = • − • − • + •


( ) ( )2a b a a 2 a b b b− = • − • + •

( ) ( )2 22a b a 2 a . b .Cos120 b− = − ° +

60.Los vectores bya



.

Calcular: ( ) ( )2a 3b 3a 2b

+ • −




. Calcular: ( )223 ba

+


( ) ( ) ( )23a 2 b 3a 2 b 3a 2 b+ = + • +

( )23a 2b 9a a 6.a b 6.b a 4b b+ = • + • + • + •


( )23a 2b 9a a 12.a b 4b b+ = • + • + •

( )2 223a 2b 9 a 12. a . b .Cos120 4 b+ = + ° +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 213a 2b 9. 3 12. 3 . 4 . 4. 4

2 + = + − +

( )23a 2b 73+ =

62.Los vectores bya



.

Calcular: ( )23a 2b−

63.Conociendo los vectores ˆa 1j=

, ˆ ˆb 1i 2 j= +

y ˆc 3 i=

.

( ) ( ) ( )2 2 21a b 3 2. 3 . 4 . 4 37

2 − = − − + =

Respuesta: ( )2a b 37− =

57.Los vectores bya



. Calcular: ( )2ba

−

58.Los vectores bya



. Calcular: ( ) ( )3a 2b a 2b− • +

RESOLUCIÓN

Definición de producto escalar: ( ) ( )3a 2b a 2b 3.a a 6.a b 2.b a 4.b b

− • + = • + • − • − •


( ) ( )3a 2b a 2b 3.a a 6.a b 2.b a 4.b b

− • + = • + • − • − •

( ) ( )3a 2b a 2b 3.a a 4.a b 4.b b

− • + = • + • − •

( ) ( ) 223a 2b a 2b 3. a 4. a . b .Cos120 4. b

− • + = + ° −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 213a 2b a 2b 3. 3 4. 3 . 4 . 4. 42

− • + = + − −

( ) ( )3a 2b a 2b 67

− • + =

59.Los vectores bya



. Calcular: ( ) ( )3a 2b a 2b

− • +

Determinar: a b a c b cEa b c

• + • + •=

+ +

64.Conociendo los vectores ˆ ˆa 3 i 1j= +

, ˆ ˆb 1i 2 j= +

y ˆ ˆc 4 i 2 j= − +

. Determinar: a b a c b cK

a b c• + • + •

=+ +

65. Los vectores a y b

son perpendiculares entre sí, además el vector c

forma con cada uno de ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: 3=a , 5=b

y 8=c calcular: ( ) ( )E 3a 2b b 3c

= − • +

RESOLUCIÓN


( ) ( )E 3a 2b b 3c 3.a b 9.a c 2.b b 6.b c

= − • + = • + • − • − •

E 3.a b 9.a c 2.b b 6.b c

= • + • − • − • 2

E 3. a . b Cos90 9. a . c Cos60 2. b 6. b . c Cos60

= ° + ° − − °

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2E 0 9. 3 . 8 . 0,5 2. 5 6. 5 . 8 . 0,5= + − − E 62= −


son perpendiculares entre sí, además el vector c

forma con cada uno de ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: 3=a , b 4=

y c 5=

calcular: ( ) ( )W 3a 2b b 3c

= + • −


son perpendiculares entre sí, además el vector c forma con cada uno de ellos un ángulo de 60°.

Sabiendo que: 3=a , 5=b

y 8=c

calcular: ( )2T a b c= + +


( ) ( )T a b c a b c= + + • + +

( )22 2T a b c 2 a b a c b c= + + + • + • + •

( )22 2T a b c 2 a . b Cos90 a . c Cos60 b . c Cos60= + + + ° + ° + °

( )22 2T a b c 2 a . b Cos90 a . c Cos60 b . c Cos60= + + + ° + ° + °

( ) ( )( )2 2 2T 3 5 8 2 0 3.8. 0,5 5.8. 0,5= + + + + + Respuesta: T 162=


son perpendiculares entre sí, además el vector c forma con cada uno de ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: a 2=

, b 4=

y c 6=

Calcular: ( )2P a b c= + +

69. Cada par de vectores a, b y c

forman

entre si un ángulo de 60°. Sabiendo que 4=a , 2=b

y 6=c

Determina el módulo de R a b c= + +

. RESOLUCIÓN Definición de: R a b c= + +

Definición de producto escalar: ( ) ( )2R a b c a b c= + + • + +

72.Para que valores de “m” los vectores ˆ ˆ â m.i 3 j 2k

= + − y ˆ ˆ ˆb 1i 2 j m.k

= − + son perpendiculares entre sí.

73. Para que valores de “p” los vectores ˆ ˆ â 12 i p.j 2k

= − + y ˆ ˆ ˆb 1i 2 j p.k

= + − son perpendiculares entre sí.


ˆ ˆ â 12 i p.j 2k

= − + ˆ ˆ ˆb 1i 2 j p.k

= + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b 12 1 p 2 2 p

• = + − + −

a b 12 4p

• = − Propiedad: Si dos vectores forman entre si un ángulo recto, entonces su producto escalar es nulo.

a b 0 a b

• = ⇒ ⊥ a b 12 4p 0 p 3

• = − = ⇒ = Respuesta: p 3=

74. Para que valores de “p” los vectores ˆ ˆ â 4 i p.j 2k

= + − y ˆ ˆ ˆb 3i 4 j p.k


75. Sabiendo que 3=a y 5=b

deter-minar para que valor de “q” los vectores ( )bqa

.+ y ( )bqa

.− son perpendicu-lares entre sí.

RESOLUCIÓN Propiedad: Si dos vectores forman entre

si un ángulo recto, entonces su producto escalar es nulo.

( ) ( )a q.b a q.b 0+ • − =

2a a q.a b q.b a q .b b 0• − • + • − • =

2a a q .b b 0• − • =

222 2a a q .b b a q . b• = • ⇒ =

a 3q q5b

= ⇒ =


deter-minar para que valor de “q” los vectores ( )bqa

.+ y ( )bqa

.− son perpendicu-lares entre sí.


determi-

nar el valor de ( ) ( )G a b a b= + • −

RESOLUCIÓN

( ) ( )G a b a b a a a b b a b b= + • − = • − • + • − •

P r o p i e d a d : a b b a• = •

22G a a b b a b= • − • = −

2 2G 4 2 12= − =

78. Sabiendo que x 3= y y 2=

determi-

nar el valor de ( ) ( )G x y x y= + • −

79. ¿Qué condición deben satisfacer los vectores bya

para que ( )ba

+ y ( )ba

− sean perpendiculares entre sí?

( )22 22R a b c 2 a b a c b c= + + + • + • + •

( )22 22R a b c 2 a . b Cos90 a . c Cos60 b . c Cos60= + + + ° + ° + °

( )22 22R a b c 2 a . b Cos90 a . c Cos60 b . c Cos60= + + + ° + ° + °

( ) ( )( )2 2 2 2R 4 2 6 2 0 4.6. 0,5 2.6. 0,5= + + + + +

2R 74 a b c 74= ⇒ + + =

70.Cada par de vectores a, b y c

forman

entre si un ángulo de 60°. Sabiendo que a 2=

, b 4=

y 6=c

Determina el módulo de R a b c= + +

.

71.Para que valores de “m” los vec-t o r e s ˆ ˆ â m.i 3 j 2k

= − + y ˆ ˆ ˆb 1i 2 j m.k


RESOLUCIÓN Definición de producto escalar: ˆ ˆ â m.i 3 j 2k

= − + ˆ ˆ ˆb 1i 2 j m.k

= + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b m 1 3 2 2 m

• = + − + − a b 6 m

• = − − Propiedad: Si dos vectores forman entre si un ángulo recto, entonces su producto escalar es nulo.

a b 0 a b

• = ⇒ ⊥

a b 6 m 0 m 6

• = − − = ⇒ = − Respuesta: m 6= −

RESOLUCIÓN ( ) ( )a b a b a a a b b a b b+ • − = • − • + • − •


( ) ( ) 22a b a b a a b b a b+ • − = • − • = −

Prop iedad: S i dos vectores for -man entre si un ángulo recto, en-tonces su producto escalar es nulo. ( ) ( ) ( ) ( )a b a b 0 a b a b

+ • − = ⇒ + ⊥ −

( ) ( ) 22a b a b a b 0+ • − = − =

22a b a b= ⇒ =

Respuesta: a b=

80. D e m o s t r a r q u e e l v e c t o r ( ) ( )baccabp

•−•= es perpen-dicular con el vector a .

81. Se conocen los vértices de un cuadrilátero:

( )A 1; 2;2− , ( )B 1;4;0 , ( )C 4;1;1− y

( )D 5; 5;3− − Demostrar que las diago-nales AC y BD son perpendiculares entre sí.

RESOLUCIÓN Propiedad: Si dos vectores forman entre


( ) ( ) ( ) ( )AC BD 0 AC BD

• = ⇒ ⊥

Determinamos el vector AC

( ) ˆ ˆ ˆAC C A 5;3; 1 5i 3 j 1k= − = − − = − + −

Determinamos el vector BD

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 23a b 3 2. 3 . 1 . 1 1

2

− = − + =

a b 1− =

Def in ic ión de l producto esca lar :

( ) ( )a b a b a b . a b .Cos+ • − = + − φ

( ) ( ) 22 7 . 1 .Cos Cos7

= φ ⇒ φ =

Respuesta: 40,89φ = °


forman 60° entre sí. Sabiendo que: a 3=

y b 2=

De-termine la medida del ángulo que forman entre sí los vectores ( )ba

+ y ( )ba

−


forman 120° entre sí. Sabiendo que: 5=a y 5=b


+ y ( )ba

−

RESOLUCIÓN Definición del producto escalar:

( ) ( )a b a b a a a b b a b b+ • − = • − • + • − •


( ) ( ) 22a b a b a a b b a b+ • − = • − • = −

( ) ( ) ( ) ( )2 2a b a b 5 5 0+ • − = − =

Cálculo del módulo del vector ( )ba

+

( ) ( )2a b a a 2 a b b b+ = • + • + •

( ) ( )2 22a b a 2 a . b .Cos120 b+ = + ° +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21a b 5 2. 5 . 5 . 5 5

2 + = + − + =

a b 5+ =

Cálculo del módulo del vector ( )a b−

( ) ( )2a b a a 2 a b b b+ = • − • + •

( ) ( )2 22a b a 2 a . b .Cos120 b− = − ° +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21a b 5 2. 5 . 5 . 5 3 . 52

− = − − + =

a b 5 3− =

Def in ic ión de l producto esca lar :

( ) ( )a b a b a b . a b .Cos+ • − = + − φ

( ) ( )0 5 . 5 3 .Cos Cos 0= φ ⇒ φ =

Respuesta: 90φ = °

85.Los vectores bya

forman 120° entre sí. Sabiendo que: a 6=

y 5=b

Deter-mine la medida del ángulo que forman entre sí los vectores ( )ba

+ y ( )ba

−

86.Los vectores bya


Deter-mina la medida del ángulo que forman entre sí los vectores ( )ba

+ y ( )ba

−

RESOLUCIÓN Definición del producto escalar: ( ) ( )a b a b a a a b b a b b+ • − = • − • + • − •

( ) ˆ ˆ ˆBD D B 6; 9;3 6 i 9 j 3k= − = − − = − − +

( )( ) ( )( ) ( )( )AC BD 5 6 3 9 1 3• = − − + − + −

AC BD 30 27 3 0• = − − =




+ y ( )ba

−

RESOLUCIÓN Definición del producto escalar: ( ) ( )a b a b a a a b b a b b+ • − = • − • + • − •


( ) ( ) 22a b a b a a b b a b+ • − = • − • = −

( ) ( ) ( ) ( )2 2a b a b 3 1 2+ • − = − =


+

( ) ( )2a b a a 2 a b b b+ = • + • + •

( ) ( )2 22a b a 2 a . b .Cos30 b+ = + ° +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 23a b 3 2. 3 . 1 . 1 7

2

+ = + + =

a b 7+ =


( ) ( )2a b a a 2 a b b b+ = • − • + •

( ) ( )2 22a b a 2 a . b .Cos30 b− = − ° +


( ) ( ) 22a b a b a a b b a b+ • − = • − • = −

( ) ( ) ( ) ( )2 2a b a b 5 3 16+ • − = − =


+

( ) ( )2a b a a 2 a b b b+ = • + • + •

( ) ( )2 22a b a 2 a . b .Cos60 b+ = + ° +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21a b 5 2. 5 . 3 . 3 7

2 + = + + =

a b 7+ =


( ) ( )2a b a a 2 a b b b+ = • − • + •

( ) ( )2 22a b a 2 a . b .Cos60 b− = − ° +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21a b 5 2. 5 . 3 . 3 19

2 − = − + =

a b 19− =


( ) ( )a b a b a b . a b .Cos+ • − = + − φ

( ) ( )( )( )

1616 7 . 19 .Cos Cos7 19

= φ ⇒ φ =

Respuesta: 58,37φ = °


forman 60° entre sí. Sabiendo que: 5=a y b 4=

De-termina la medida del ángulo que forman entre sí los vectores ( )ba

+ y ( )ba

− 88.Calcular la medida del ángulo obtuso

formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles.


a b a . b .Cos• = φ

( ) ( )4 5 . 5 .Cos− = φ

4Cos 143,135

φ = − ⇒ φ = °

89. Calcular la medida del ángulo obtu-so formado por las medianas traza-das desde los vértices de los ángu-los agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente propor-cionales a los números 3 ; 4 ; 5

RESOLUCIÓN

Ubicamos los vectores en un plano carte-siano donde a 3 y b 4= =

Definición del vector AN

( ) ˆ â AN N A 4; 6 4 i 6 j= = − = − = −

ˆ â 4 i 6 j a 2 13= − ⇒ =

Definición del vector CM

( ) ˆ ˆb CM M C 8;3 8i 3 j= = − = − = − +

ˆ ˆb 8i 3 j b 73= − + ⇒ =


( ) ( ) ( ) ( )a b 4 . 8 6 . 3 50• = − + − = −



( ) ( )50 2 13 . 73 .Cos− = φ

( ) ( )50Cos 144,25

2 13 . 73φ = − ⇒ φ = °

90. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son di-rectamente proporcionales a los números 7 ; 24 ; 25


RESOLUCIÓN Ubicamos los vectores en un plano carte-

siano donde a 1= Definición del vector AN

( ) ˆ â AN N A 1; 2 1i 2 j= = − = − = −

ˆ â 1i 2 j a 5= − ⇒ =


( ) ˆ ˆb CM M C 2;1 2 i 1 j= = − = − = − +

ˆ ˆb 2 i 1 j b 5= − + ⇒ =


( ) ( ) ( ) ( )a b 1 . 2 2 . 1 4• = − + − = −

RESOLUCIÓN

Ubicamos los vectores en un plano cartesiano donde a 5 y b 12= =

Definición del vector AN

( ) ˆ â AN N A 12; 10 12 i 10 j= = − = − = −

ˆ â 12 i 10 j a 2 61= − ⇒ =


( ) ˆ ˆb CM M C 24;5 24 i 5 j= = − = − = − +

ˆ ˆb 24 i 5 j b 601= − + ⇒ =


2 1 2 14 7 14P 7. ; ; ; ;3 3 3 3 3 3

= − = −

La proyección del vector A

sobre el vector B

, es otro vector P

paralelo al vector B

. Respuesta:

14 7 14ˆ ˆ ˆP i j k3 3 3

= − +

94. Calcular la componente del vector ˆ ˆ Â 6i 3j 6k= − −

sobre el eje del vec-

tor ˆ ˆ ˆB 2i 2 j 1k= − −

95.Calcular la proyección del vector ˆ Â 10i 5j= +

sobre el eje del vector ˆ ˆB 3i 4 j= +

RESOLUCIÓN Definición del vector unitario correspon-

diente al vector B

B 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ3i 4 j 3i 4 j 3 4ˆ û i j5 5 53 4

+ + = = = + +

ˆ Â 10i 5j= +

La componente del vector A

sobre el vector B

es,

( ) ( )B3 4Â u 10 5 105 5

• = + =


sobre el vector B

es,

( )B BBˆ ˆP Proyec A A u .u= = •

( )3 4 ˆ ˆP 10. ; 6;8 6i 8j5 5

= = = +


sobre el vector B

, es otro vector P


. Respuesta: ˆ ˆP 6i 8j= +

96.Calcular la proyección del vector ˆ Â 10i 15j= −

sobre el eje del vector ˆ ˆB 3i 4 j= − −


sobre el eje del vector ˆ ˆB 4i 3j= −

RESOLUCIÓN Definición del vector unitario correspon-

diente al vector B

( )

B 22

ˆ ˆ ˆ ˆ4i 3j 4i 3j 4 3ˆ û i j5 5 54 3

− − = = = + − + −

ˆ Â 5i 10j= +


sobre el vector B

es,

( ) ( )B

4 3Â u 5 10 25 5

− • = + = −


sobre el vec-tor B

es, ( )B BB

ˆ ˆP Proyec A A u .u= = •

( ) ( ) ( ) ( )a b 12 . 24 10 . 5 338• = − + − = −



( ) ( )338 2 61 . 601 .Cos− = φ

( ) ( )

338Cos 151,962 61 . 601

φ = − ⇒ φ = °


93. Calcular la componente del vector ˆ ˆ Â 6i 3j 6k= + +

sobre el eje del vector ˆ ˆ ˆB 2i 1j 2k= − +

RESOLUCIÓN Definición del vector unitario correspondi-

ente al vector B

( )

B 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2i 1j 2k 2i 1j 2ku32 1 2

− + − += =

+ − +

ˆ ˆ Â 6i 3j 6k= + +


sobre el vector B

es,

( ) ( ) ( )B2 1 2Â u 6 3 6 73 3 3

• = + − + =


sobre el vector

B

es, ( )B BBˆ ˆP Pr oyec A A u .u= = •

( ) 4 3 8 6 ˆ ˆP 2 . ; ; 1,6i 1,2 j5 5 5 5

= − − = − = − +


sobre el vector B

, es otro vector P


. Respuesta: ˆ ˆP 1,6i 1,2 j= − +


sobre el eje del vector ˆ ˆB 2 i 2 3 j= +

99.Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice C.

RESOLUCIÓN Definición del vector

( ) ( )CA A C 1; 2;4 3; 2;1= − = − − − −

( ) ˆ ˆ ˆCA 4;0;3 4i 0 j 3k= − = − + +

Módulo del vector: CA 5=

Definición del vector

( ) ( )CB B C 4; 2;0 3; 2;1= − = − − − −

( ) ˆ ˆ ˆCB 7;0; 1 7i 0 j 1k= − − = − + −

Definición de producto escalar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BA BC 3 . 7 0 . 0 4 . 1 25• = + + =


BA BC BA . BC .Cos• = b

( ) ( )25 5 . 50 .Cos= b

1Cos 452

b = ⇒ b = °

102.Se conocen los vértices de un triángulo: ( )A 3;0;4 , ( )B 3;12;0 y ( )C 0;12;4

Calcular la medida del ángulo interno del vértice B.

103.Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice A.


( ) ( )AB B A 4; 2;0 1; 2;4= − = − − − − −

( ) ˆ ˆ ˆAB 3;0; 4 3i 0 j 4k= − − = − + −

Módulo del vector: AB 5=


( ) ( )AC C A 3; 2;1 1; 2;4= − = − − − −

( ) ˆ ˆ ˆAC 4;0; 3 4i 0 j 3k= − = + −

Módulo del vector: AC 5=

Definición de producto escalar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AB AC 3 . 4 0 . 0 4 . 3 0• = − + + − − =


AB AC AB . AC .Cos• = a

( ) ( )0 5 . 5 .Cos= a Cos 0 90a = ⇒ a = °

104.Se conocen los vértices de un triángulo:( )A 3;5;0 , ( )B 0;0;4 y ( )C 3;0;4

¿El triángulo es rectángulo?, si es rectán-gulo, ¿Cuál es vértice que corresponde al ángulo recto?

105.El vector de módulo 50=a 50 es colineal con el vector ˆ ˆ ˆb 6 i 8 j 7,5k= − −

y forma un ángulo agudo con el eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector a

RESOLUCIÓN Calculo del módulo del vector, ˆ ˆ ˆb 6 i 8 j 7,5k b 12,5= − − ⇒ =

Módulo del vector: CB 50=


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CA CB 4 . 7 0 . 0 3 . 1 25• = − − + + − =

Definición de producto escalar: CA CB CA . CB .Cos• = q

( ) ( )25 5 . 50 .Cos= q

1Cos 452

q = ⇒ q = °

100.Se conocen los vértices de un triángulo: ( )A 3;0;4 , ( )B 3;12;0 y ( )C 0;12;4

Calcular la medida del ángulo interno del vértice C.

101.Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice B.


( ) ( )BA A B 1; 2;4 4; 2;0= − = − − − − −

( ) ˆ ˆ ˆBA 3;0;4 3i 0 j 4k= = + +

Módulo del vector: BA 5=


( ) ( )BC C B 3; 2;1 4; 2;0= − = − − − −

( ) ˆ ˆ ˆBA 7;0;1 7i 0 j 1k= = + +

Módulo del vector: BC 50=


b

ˆ ˆ ˆb 6 i 8 j 7,5ku12,5b

− −= =

Condición: el vector a forma un ángulo agudo con el eje OZ, entonces el

7,5 3Cos12,5 5

q = + = +

Los vectores a y b

son colineales pero de sentidos opuestos.

a

ˆ ˆ â 6 i 8 j 7,5kua 12,5

− + += =

a

ˆ ˆ ˆ6 i 8 j 7,5kâ a .u 50.12,5

− + += =

ˆ ˆ â 24 i 32 j 30k= − + +

106.El vector de módulo a 25= es colineal

con el vector ˆ ˆ ˆb 6 i 8 j 7,5k= − −

y forma un ángulo agudo con el eje OY. Determine las componentes cartesianas del vector a

107.El vector de módulo a 260= es

colineal con el vector ˆ ˆ ˆb 3i 4 j 12k= − −

y forma un ángulo agudo con el eje OY. Determine las componentes cartesianas del vector a

RESOLUCIÓN Calculo del módulo del vector, ˆ ˆ ˆb 3i 4 j 12k b 13= − − ⇒ =


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b 2 . 2 1 . 1 1 . 1 6• = a + a + − a − = a

16 32

a = ⇒ a =

Componente cartesianas del vector ( ) ( )1 ˆ ˆ â . b . 2 i 1 j 1k

2= a = + −

Respuesta: 1 1ˆ ˆ â 1i j k2 2

= + −

110.Determine las componentes cartesianas del vector a sabiendo que es colineal con el vector ˆ ˆ ˆb 2 i 1 j 1k= + −

y satisface la condición a b 3• = −

.

111.Determinar el vector m , si se sabe que es perpendicular con los vectores:

ˆ ˆ Â 2i 3j 1k= + −

y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 3k= − +

además sat isface a la condición:

( )ˆ ˆ ˆm 1i 1 j 1k 6• − + = −

RESOLUCIÓN Definición del producto vectorial: ˆ ˆ Â 2i 3j 1k= + −

ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 3k= − +


1 2 3

× = − −

3 1 2 1 2 3ˆ ˆ Â B i j k2 3 2 3 1 2

− − × = − + − −

ˆ ˆ ˆC A B 7 i 8 j 7 k= × = − −

Propiedad del producto vectorial:

C A y C B⊥ ⊥

Cálculo del vector unitario:

m C

ˆ ˆ ˆC 7 i 8 j 7 kˆ û u9 2C

− −= = =

( )ˆ ˆ ˆm 1i 1 j 1k 6• − + = −

( )mˆ ˆ ˆˆ.u 1i 1 j 1k 6a • − + = −

( )ˆ ˆ ˆ7 i 8 j 7 k ˆ ˆ ˆ1i 1 j 1k 6

9 2

a − a − a• − + = −

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ7 i 8 j 7 k 1i 1 j 1k 54 2a − a − a • − + = −

27 28 54 24

a = − ⇒ a = −

Calculo del vector mˆm .u= a

ˆ ˆ ˆ27 2 7 i 8 j 7 km .

4 9 2

− −= −

( )3 ˆ ˆ ˆm . 7 i 8 j 7 k

4 = − − −

Respuesta: ˆ ˆ ˆ21i 24 j 21km

4− + +

=

112.Determinar el vector m , si se sabe que es perpendicular con los vectores:

ˆ ˆ Â 1i 1j 1k= + −

y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 1k= − +

además sat isface a la condición:

( )ˆ ˆ ˆm 1i 1 j 1k 3• − + = −

b

ˆ ˆ ˆb 3i 4 j 12ku13b

− −= =

Condición: el vector a forma un ángulo agu-

do con el eje OY, entonces el 4Cos13

b = +

Los vectores a y b

son colineales pero de sentidos opuestos.

a

ˆ ˆ â 3i 4 j 12kua 13

− + += =

a

ˆ ˆ ˆ3i 4 j 12kâ a .u 260.13

− + += =

ˆ ˆ â 60 i 80 j 240k= − + +

108.El vector de módulo a 26= es colineal

con el vector ˆ ˆ ˆb 3i 4 j 12k= − + −

y forma un ángulo agudo con el eje OX. Determine las componentes cartesianas del vector a

109.Determine las componentes cartesianas del vector a sabiendo que es colineal con el vector ˆ ˆ ˆb 2 i 1 j 1k= + −

y satisface la condición 3=• ba

.

RESOLUCIÓN De la condición, 3=• ba

si el producto escalar de dos vectores colineales es mayor de cero, entonces forman un ángulo nulo.

( ) ˆ ˆ â . b 2 i 1 j 1 k= a = a + a − a

ˆ ˆ ˆb 2 i 1 j 1k= + −

Definición del Producto escalar

a b 3• =

RESOLUCIÓN Definición del producto vectorial:

ˆ ˆ Â 1i 1j 1k= + −

ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 1k= − +


1 2 1

× = − −

1 1 1 1 1 1ˆ ˆ Â B i j k2 1 1 1 1 2

− − × = − + − −

ˆ ˆ ˆC A B 1i 2 j 3k= × = − − −

Propiedad del producto vectorial:

C A y C B⊥ ⊥

Cálculo del vector unitario: m C

ˆ ˆ ˆC 1i 2 j 3kˆ û u14C

− − −= = =

( )ˆ ˆ ˆm 1i 1 j 1k 3• − + = −

( )m

ˆ ˆ ˆˆ.u 1i 1 j 1k 3a • − + = −

( )ˆ ˆ î 2 j 3 k ˆ ˆ ˆ1i 1 j 1k 314

−a − a − a• − + = −

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î 2 j 3 k 1i 1 j 1k 3 14−a − a − a • − + = −

3 142 3 142

− a = − ⇒ a =

Calculo del vector mˆm .u= a

ˆ ˆ ˆ3 14 1i 2 j 3km .

2 14

− − −=

( ) ˆ ˆ ˆX 2; 3;0 2 i 3 j 0k= − = − +

Respuesta: ˆ ˆX 2 i 3 j= −

114.Se dan los vectores ˆ ˆ Â 2i 1j 3k= − +

, ˆ ˆ ˆB 1i 3 j 2k= − +

y ˆ ˆ ˆC 3i 2 j 3k= + −

. Determinar el vector X

que satis-face a las condiciones: 5−=• AX

, 11−=• BX

–11 y 20=• CX

20

115.Se dan los vectores ˆ ˆ Â 3i 1 j 5k= − +

y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 3k= + −

. Determinar el vec-tor P

que es perpendicular al eje OX y satisface a las condiciones: P A 9• =

y P B 4• = −

RESOLUCIÓN Definición al vector ( ) ˆ ˆ ˆP a;b;c a i b j c k= = + +

Condición del problema: el vector P

es perpendicular al eje OX

( ) ˆ ˆ ˆP 0;b;c 0 i b j c k= = + +


P A 9• =

( ) ( )0;b;c 3; 1;5 9• − =

( )( ) ( )( ) ( )( )0 3 b 1 c 5 9+ − + = b 5c 9− + = ...........(1)

P B 4• = −

( ) ( )0;b;c 1;2; 3 4• − = − ( )( ) ( )( ) ( )( )0 1 b 2 c 3 4+ + − = −

2b 3c 4− = − .........(2) Resolviendo el sistema de ecuaciones:

b 1 y c 2= =

( ) ˆ ˆ ˆP 0;1;2 0 i 1 j 2k= = + +

Respuesta: ˆ ˆP 1 j 2 k= +


y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 3k= + −

. Determinar el vec-tor P

que es perpendicular al eje OY y satisface a las condiciones: P A 9• =

y P B 4• = −

117.Determinar la proyección del vector ˆ ˆ ˆS 4 i 3j 2k

= − + sobre el eje L

que forma con los ejes cartesianos ángulos agudos iguales.

RESOLUCIÓN Definición al vector unitario paralelo a la

recta L

, que forma con los ejes carte-sianos ángulos agudos iguales.

( )u Cos ;Cos ;Cos= a a a

Definición de los cosenos directores:

( ) ( ) ( )2 2 2Cos Cos Cos 1a + a + a =

( )3 ˆ ˆ ˆm . 1i 2 j 3k

2 = − − −

Respuesta:

ˆ ˆ ˆ3i 6 j 9 km2

− − −=


y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 3k= + −

. Determinar el vec-tor X

que es perpendicular al eje OZ y satisface a las condiciones: X A 9• =

y X B 4• = −

RESOLUCIÓN Definición al vector

( ) ˆ ˆ ˆX a;b;c a i b j c k= = + +

Condición del problema: el vector X

es

perpendicular al eje OZ

( ) ˆ ˆ ˆX a;b;0 a i b j 0 k= = + +


X A 9• =

( ) ( )a;b;0 3; 1;5 9• − =

( )( ) ( )( ) ( )( )a 3 b 1 0 5 9+ − + =

3a b 9− = .............(1)

X B 4• = −

( ) ( )a;b;0 1;2; 3 4• − = − ( )( ) ( )( ) ( )( )a 1 b 2 0 3 4+ + − = −

a 2b 4+ = − ..........(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

a 2 y b 3= = −

( ) ( )2 2 13 Cos 1 Cos3

a = ⇒ a =

( ) 1Cos3

a = +

1 1 1u ; ;3 3 3

=

ˆ ˆ ˆS 4 i 3j 2k

= − + La componente del vector S

sobre la recta L

es, ( ) ( ) ( )1 1 1 3ˆS u 4 3 2

3 3 3 3 • = + − + =

La proyección del vector S

sobre la recta L

es, ( )u ˆ ˆP Pr oyec S S u .u= = •

( )3 1 1 1P . ; ; 1;1;13 3 3 3

= =


sobre la recta

L

, es otro vector P

paralelo la recta L

.

Respuesta: ˆ ˆ ˆP 1i 1 j 1k= + +

118.Determinar las componentes del vector ˆ ˆ ˆS 4 i 3j 2k

= − + sobre el eje L

que forma con los ejes cartesianos ángulos obtusos iguales.

119.Determinar la proyección del vector ˆ ˆ ˆS 4 i 3j 2k

= − + sobre el vector A

que forma con los ejes cartesianos x, y, z ángulos 90=a 90°, 150=b y 60=q 60°

RESOLUCIÓN Definición al vector unitario paralelo al

vector A

( )u Cos45 ;Cos60 ;Cos120= ° ° °

2 1 1u ; ;

2 2 2

= −

ˆ ˆ ˆS 2 i 4 j 2 k


sobre el vector A

es, ( ) ( ) ( )2 1 1ˆS u 2 4 2 2

2 2 2 • = + − + − = −


sobre el vector A

es, ( )u ˆ ˆP Proyec S S u .u= = •

( )2 1 1P 2. ; ; 2;1;12 2 2

= − − =


sobre el vector A

, es otro vector P

paralelo al vector A

. Respuesta: ˆ ˆ ˆP 2 i 1 j 1k= + +

122.Determinar la proyección del vector ˆ ˆ ˆS 6 i 4 j 2 k


que forma con los ejes cartesianos x, y, z ángulos 120a = , 60=b 60° y 45q =

123.Dado los vectores A, B; C y D

se cumple que: ˆ ˆ ˆA 4i 3j 4k= + +

y ˆ ˆ ˆB 2i 2 j 1k= + −

además se sabe que

C

es paralelo a B

y el vector D

es orto-gonal con B

. Si A C D= +

determinar las expresiones vectoriales de C y D

.

124.Los vectores bya


56 == bya

. Calcular: ba

×

RESOLUCIÓN

Definición del producto vectorial: a b a . b .Sen× = q

( ) ( )a b 6 . 5 .Sen30× = °

( ) ( ) 1a b 6 . 5 . 152

× = =

Respuesta: a b 15× =

125.Sab iendo que 210 == bya

, además 12=•ba

12. Calcular: ba

×

RESOLUCIÓN


a b a . b .Cos• = q

( ) ( ) 312 10 . 2 .Cos Cos5

= q ⇒ q =

( ) ( )2 2Sen Cos 1q + q =

4Sen5

q =

Definición del producto vectorial:

a b a . b .Sen× = q

RESOLUCIÓN Definición al vector unitario paralelo al

vector A

( )u Cos90 ;Cos150 ;Cos60= ° ° °

3 1u 0; ;

2 2

= −

ˆ ˆ ˆS 4 i 3j 2k


sobre el vec-tor A

es,

( )( ) ( ) ( )3 1 5ˆS u 4 0 3 22 2 2

• = + − − + =


sobre el vector A

es, ( )u ˆ ˆP Proyec S S u .u= = •

( )5 3 1 5P . 0; ; . 0; 3;12 2 2 4

= − = −


sobre el vector A

, es otro vector P

paralelo al vector A

Respuesta: 5 3 5ˆ ˆP j k4 4

= − +

120.Determinar la proyección del vector ˆ ˆ ˆS 6 i 4 2 j 2k


que forma con los ejes cartesianos x, y, z ángulos 60a = , 45b = y 120=q

121.Determinar la proyección del vector ˆ ˆ ˆS 2 i 4 j 2k


que forma con los ejes cartesianos x, y, z ángulos 45=a 45°, 60=b 60° y 120=q

( ) ( ) 4a b 10 . 2 . 165

× = =

Respuesta: a b 16× =

126.Sabiendo que 263 == bya

126, además 72=×ba

. Calcular: ba

• RESOLUCIÓN Definición del producto vectorial:


( ) ( )a b 3 . 26 .Sen 72× = q =

12Sen13

q =

( ) ( )2 2Sen Cos 1q + q =

5Cos13

q =

Definición del producto escalar: a b a . b .Cos• = q

( ) ( ) 5a b 3 . 26 . 3013

• = =

Respuesta: a b 30• =


, además 0=•ba

. Calcular: ( ) ( )baba

−×+

RESOLUCIÓN Definición del producto escalar: 0=•ba

Si el producto escalar de dos vectores es nulo, entonces estos vectores son perpendiculares.

( ) ( )ˆ ˆ î j k

E 3.a b a 2.b 9 4 03 8 0

= − × − = − −

4 0 9 0 9 4ˆ ˆ Ê i j k8 0 3 0 3 8

− − = − + − −

Ê 60k= −

Respuesta:

( ) ( )E a b a b 60= + × − =

1 3 0 . S a b i e n d o q u e a 4 y b 3= =

, a d e m á s 0=•ba

. C a l c u l a r :

( ) ( )3a 2b a 2b− × +



. Calcular: ( )2

a b×

RESOLUCIÓN Definición del producto vectorial: a b a . b .Sen× = q

( ) ( )a b 1 . 2 .Sen120 3× = ° =

Definición del producto escalar: ( ) ( ) ( )2 2

a b a b a b a b× = × • × = ×

( ) ( )22 2a b a b 3 3× = × = =

Respuesta: ( )2a b 3× =

132.Una fuerza ˆ ˆ ˆF 20 i 10j 30k

= + − (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición

( )A 2;3; 4− hasta ( )B 6;4; 1− . Determine la cantidad de trabajo que

realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B.

RESOLUCIÓN El trabajo se calcula multiplicado escalar-

mente la fuerza por el desplazamiento: FA B ABW F d→ = •

Cálculo del desplazamiento ente los pun-tos A y B:

( ) ( )d AB B A 6;4; 1 2;3; 4

= = − = − − −

ˆ ˆ ˆd AB 4 i 1j 3k

= = + + Definición del producto escalar:

ˆ ˆ ˆF 20 i 10j 30k

= + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F d 20 4 10 1 30 3 0

• = + + − =

Respuesta: FA B ABW F d 0

→ = • = Observación: Si dos vectores forman entre



= + − (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición

( )A 2;3; 4− hasta ( )B 6;4; 1− . Determine la cantidad de trabajo que


Como por ejemplo: ˆ â 3i y b 4 j= =

ˆ â b 3i 4 j+ = +

ˆ â b 3i 4 j− = −

( ) ( )ˆ ˆ î j k

E a b a b 3 4 03 4 0

= + × − = −

4 0 3 0 3 4ˆ ˆ Ê i j k4 0 3 0 3 4

= − + − −

Ê 24k= −

Respuesta:

( ) ( )E a b a b 24= + × − =

128.Sabiendo que a 5 y b 3= =

, además

0=•ba


−×+


, además

0=•ba


23 −×−

RESOLUCIÓN

Definición del producto escalar: 0=•ba

Si el producto escalar de dos vectores es nulo, entonces estos vectores son perpen-diculares.

Como por ejemplo: ˆ â 3i y b 4 j= =

ˆ ˆ3.a b 9 i 4 j− = −

ˆ â 2.b 3i 8 j− = −


= − + (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición

( )A 2;0; 4− hasta ( )B 6;4;0 . Deter-mine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desp-laza desde A hasta B.

RESOLUCIÓN El trabajo se calcula multiplicado escalar-

mente la fuerza por el desplazamiento: FA B ABW F d→ = •

Cálculo del desplazamiento ente los pun-tos A y B:

( ) ( )d AB B A 6;4;0 2;0; 4

= = − = − −

ˆ ˆ ˆd AB 4i 2 j 4k

= = + + Definición del producto escalar:

ˆ ˆ ˆF 50 i 20j 30k

= − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F d 50 4 20 2 30 4 280

• = + − + =

Respuesta: FA B ABW F d 280

→ = • =


= − − (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición

( )A 2;2; 4− hasta ( )B 6; 4;2− . Determine la cantidad de trabajo que



forman 120° entre

sí. Sabiendo que: 1=a y 2=b

.

Calcular: ( ) ( ) 22a b a 2b+ × +

ˆ ˆ3a 2b 1i 2 3 j+ = +


( ) ( )ˆ ˆ î j k

T 2a b a 2b 1 3 0

1 2 3 0

= + × + = −

3 0 1 0 1 3ˆ ˆ ˆT i j k1 02 3 0 1 2 3

= − + − −

ˆT 3 3 k=


( ) ( ) ( ) ( )2 2T T T T 3 3 27= • = = =

Respuesta: ( )2

T 27=

138.Dado los vectores ˆ ˆ Â 3i 1j 2k= − −

y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 1k= + −

determinar las compo-nentes vectoriales de: A B×

RESOLUCIÓN Consideremos los siguientes vectores:

ˆ ˆ Â 3i 1j 2k= − −

ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 1k= + −


ˆ ˆ î j kT A B 3 1 2

1 2 1

= × = − − −

1 2 3 2 3 1ˆ ˆ ˆT i j k2 1 1 1 1 2− − − −

= − + − −

ˆ ˆ ˆT 5i 1 j 7 k= + +

R e s p u e s t a : ˆ ˆ Â B 5i 1 j 7 k× = + +

139.Dado los vectores ˆ ˆ Â 3i 1j 2k= − + +

y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 1k= − −

determinar las com-ponentes vectoriales de: A B×

140.Dado los vectores ˆ ˆ â 3i 1j 2k= − −

y ˆ ˆ ˆb 1i 2 j 1k= + −

determinar las compo-nentes vectoriales de: ( ) bba

×+


ˆ ˆ â 3i 1j 2k= − −

ˆ ˆ ˆb 1i 2 j 1k= + −

ˆ ˆ â b 4i 1j 3k+ = − −


( )ˆ ˆ î j k

T a b b 4 1 31 2 1

= + × = − − −

1 3 4 3 4 1ˆ ˆ ˆT i j k2 1 1 1 1 2− − − −

= − + − −

ˆ ˆ ˆT 7 i 1 j 9k= + +

Respuesta: ( ) ˆ ˆ â b b 7 i 1 j 9k+ × = + +


y ˆ ˆ ˆb 1i 2 j 1k= + −

determinar las com-ponentes vectoriales de: ( )a a b× −

RESOLUCIÓN

Consideremos los siguientes vectores: ˆ â 1i 0 j= +

ˆ ˆb 1i 3 j= − +

ˆ ˆ2a b 1i 3 j+ = +

ˆ â 2b 1i 2 3 j+ = − +


( ) ( )ˆ ˆ î j k

T 2a b a 2b 1 3 0

1 2 3 0

= + × + = −

3 0 1 0 1 3ˆ ˆ ˆT i j k1 02 3 0 1 2 3

= − + − −

ˆT 3 3 k=


( ) ( ) ( ) ( )2 2T T T T 3 3 27= • = = =

Respuesta: ( )2T 27=


forman 120° entre sí.

Sabiendo que: 1=a y 2=b

.

Calcular: ( ) ( ) 2a 3b 3a 2b+ × −


ˆ â 1i 0 j= +

ˆ ˆb 1i 3 j= − +

ˆ â 3b 2 i 3 3 j+ = − +


y ˆ ˆ ˆb 1i 2 j 1k= + −

determinar las compo-nentes vectoriales de: ( )a a b× +


ˆ ˆ â 3i 1j 2k= − −

ˆ ˆ ˆb 1i 2 j 1k= + −

ˆ ˆ â b 4i 1j 3k+ = − −


( )ˆ ˆ î j k

T a a b 3 1 24 1 3

= × + = − − − −

1 2 3 2 3 1ˆ ˆ ˆT i j k1 3 4 3 4 1

− − − − = − + − − − −

ˆ ˆ ˆT 1i 1 j 1k= + +

Respuesta: ( ) ˆ ˆ â a b 1i 1 j 1k× + = + +

143.Dado los vectores ˆ ˆ â 3i 1j 2k= − − y

ˆ ˆ ˆb 1i 2 j 1k= + −

determinar las compo-nentes vectoriales de: ( ) ( )2a b 2a b− × +


y ˆ ˆ ˆb 1i 2 j 1k= + −

d e t e r m i n a r las componentes vector ia les de: ( ) ( )2a 3b 3a 2b− × +

145.Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), de-terminar las componentes vectoriales de: AB BC×

4 0 6 0 6 4ˆ ˆ ÂB AC i j k0 0 8 0 8 0

× = − +

ÂB AC 32 k AB AC 32× = − ⇒ × =


AB AC AB . AC .Sen 32× = a =

Definición de la longitud de la altura ba-jada desde el vértice B al lado AC.

B

AB ACH AB .Sen

AC

×= a =

B

AB AC 32H 48AC

×= = =

Respuesta: BH 4=

148.Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 5), B (6; 0) y C (9; 5), calcular la lon-gitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

149.Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.


ˆ ˆ ÂB B A 4i 5j 0k AB 41= − = − + ⇒ =

ˆ ˆ ÂC C A 0i 4j 3k AC 5= − = + − ⇒ =


ˆ ˆ î j kAB AC 4 5 0

0 4 3

× = − −

4 5 4 0 4 5ˆ ˆ ÂB AC i j k0 4 0 3 0 4

− − × = − + −

ˆ ˆ ÂB AC 16 i 12 j 16k AB AC 4 41× = + + ⇒ × =


AB AC AB . AC .Sen 4 41× = a =

Definición de la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

B

AB ACH AB .Sen

AC

×= a =

B

AB AC 4 41H 5,125AC

×= = =

Respuesta: BH 5,12=


( ) ˆ ˆ ÂB B A 1;3; 3 1i 3j 3k= − = − − = − + −

( ) ˆ ˆ ˆBC C B 2;0; 2 2 i 0 j 2k= − = − = + −


ˆ ˆ î j kAB BC 1 3 3

2 0 2

× = − − −

3 3 1 3 1 3ˆ ˆ ÂB BC i j k0 2 2 2 2 0

− − − − × = − + − −

ˆ ˆ ÂB BC 6 i 8 j 6 k× = − − −

146.Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), de-terminar las componentes vectoriales de: ( )BC 2.CA CB− ×

147.Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la lon-gitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.


ˆ ÂB B A 6i 4j AB 2 13= − = + ⇒ =

ˆ ÂC C A 8i 0j AC 8= − = + ⇒ =


ˆ ˆ î j kAB AC 6 4 0

8 0 0

× =

150.Se conocen los vértices de un triángulo: A (3; 0; 0), B (0; 5; 0) y C (0; 0; 4), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

151.La fuerza ˆ ˆ ˆF 3i 2 j 4k

= + − está apli-cada al punto ( )A 2; 1; 2− − . Determinar el torque τ

de esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que

r Fτ = ×

donde r OA=

es el vector posición.


( ) ( )r OA A O 2; 1; 2 0;0;0

= = − = − − −

( ) ˆ ˆ ˆr 2; 1; 2 2i 1j 2k

= − − = − −

ˆ ˆ ˆF 3i 2 j 4k

= + − Definición del producto vectorial:

ˆ ˆ î j kr F 2 1 2

3 2 4

τ = × = − − −

1 2 2 2 2 1ˆ ˆ î j k2 4 3 4 3 2− − − −

τ = − + − −

Respuesta: ˆ ˆ ˆ8i 2 j 7kτ = + +

152.La fuerza ˆ ˆ ˆF 30 i 20 j 20k

= + − está aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torque τ

de esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que

r Fτ = ×

donde r OA=



ˆ ˆ Â 2 i 1j 2k= − −

ˆ ˆ ˆB 3 i 2 j 2k= + −



3 2 2

× = − − −

1 2 2 2 2 1ˆ ˆ Â B i j k

2 2 3 2 3 2− − − −

× = − + − −

ˆ ˆ ˆC A B 6i 2 j 7 k= × = − +

( )22 2C A B 6 2 7 89= × = + − + =

El vector unitario es,

ˆ ˆ Â B 6 i 2 j 7 k 6 2 7ˆ ˆ û i j k89 89 89 89A B

× − += = = − +

×

6 2 7ˆ ˆ û i j k89 89 89

= + − +

Respuesta: Los cosenos directores son, ( ) ( ) ( )ˆ ˆ û Cos i Cos j Cos k= a + b + q

( ) 6Cos 50,5189

a = ⇒ a = °

( ) 2Cos 102,24

89b = − ⇒ b = °

( ) 7Cos 42,1

89q = ⇒ q = °

156.Dado los vectores ˆ ˆ Â 4 i 0 j 5k= − + +

y ˆ ˆ ˆB 0 i 3 j 5k= − +

, determinar los cosenos directores de A B×


y ˆ ˆ ˆB 4 i 0 j 5k= − + +



ˆ ˆ Â 4 i 3 j 0k= − + +

ˆ ˆ ˆB 4 i 0 j 5k= − + +



4 0 5

× = − −

3 0 4 0 4 3ˆ ˆ Â B i j k0 5 4 5 4 0

− − × = − + − −

ˆ ˆ ˆC A B 15i 20 j 12k= × = + +

( ) ( ) ( )2 2 2C A B 15 20 12 769= × = + + =


ˆ ˆ Â B 15i 20 j 12k 15 20 12ˆ ˆ û i j k769 769 769 769A B

× + += = = + +

×

15 20 12ˆ ˆ û i j k769 769 769

= + +

Respuesta: Los cosenos directores son, ( ) ( ) ( )ˆ ˆ û Cos i Cos j Cos k= a + b + q

( ) 15Cos 57,25

769a = ⇒ a = °

( ) 20Cos 43,84

769b = ⇒ b = °


= − + está apli-cada al punto ( )A 4; 2;3− . Determinar el torque τ

de esta fuerza respecto del punto( )B 3;2; 1− . Sabiendo que r Fτ = ×

donde r BA=



( ) ( )r BA A B 4; 2;3 3;2; 1

= = − = − − −

( ) ˆ ˆ ˆr 1; 4;4 1i 4 j 4k

= − = − +

ˆ ˆ ˆF 2 i 4 j 5k

= − + Definición del producto vectorial:


2 4 5

τ = × = − −

4 4 1 4 1 4ˆ ˆ î j k4 5 1 5 2 4

− − τ = − + − −

Respuesta: ˆ ˆ ˆ4i 1j 4kτ = − − +


= + + está aplicada al punto ( )A 4; 2;3− . Deter-minar el torque τ

de esta fuerza respecto del punto ( )B 3;2; 1− . Sabiendo que

r Fτ = ×

donde r BA=


155.Dado los vectores ˆ ˆ Â 2 i 1j 2k= − −

y ˆ ˆ ˆB 3 i 2 j 2k= + −


( ) 12Cos 64,36769

q = ⇒ q = °

Dado los vectores ˆ ˆ Â 2 i 0 j 0k= + +

y ˆ ˆ ˆB 2 i 2 j 2k= + −

, determinar los cose-nos directores de A B×


y ˆ ˆ ˆB 2 i 2 j 2k= − − +



ˆ ˆ Â 2 i 0 j 0k= − + +

ˆ ˆ ˆB 2 i 2 j 2k= − − +



2 2 2

× = − − −

0 0 2 0 2 0ˆ ˆ Â B i j k2 2 2 2 2 2

− − × = − + − − − −

ˆ ˆ ˆC A B 0i 4 j 4k= × = + +

( ) ( ) ( )2 2 2C A B 0 4 4 4 2= × = + + =


ˆ ˆ Â B 0 i 4 j 4k 0 4 4ˆ ˆ û i j k4 2 4 2 4 2 4 2A B

× + += = = + +

×

( ) 1 1ˆ ˆ û 0 i j k

2 2 = + +

Respuesta: Los cosenos directores son,

3 4 12ˆ ˆ û i j k

13 13 13 = + +

Respuesta: Los cosenos directores son,

( ) ( ) ( )ˆ ˆ û Cos i Cos j Cos k= a + b + q

( ) 3Cos 76.6613

a = ⇒ a = °

( ) 4Cos 72,0813

b = ⇒ b = °

( ) 12Cos 22,6213

q = ⇒ q = °

161.Se dan las fuerzas 1ˆ ˆ ˆF 2 i 5j 8k

= + + ,

2ˆ ˆ ˆF 6 i 2 j 8k

= + + y 3ˆ ˆ ˆF 2 i 1j 8k

= − + +

, determinar los cosenos directores de ( )21 3F F F+ +

162.Se dan las fuerzas 1F 2i 1j 3k= + −

, 2F 3i 2 j 1k= + −

y 3F 4i 1j 3k= − + +

, determinar los cosenos directores de ( )21 3F F F+ ×

163.Se dan las fuerzas 1F 2i 1j 3k= + −

,

2F 3i 2 j 1k= + −

y 3F 4i 1j 3k= − + +

, determinar los cosenos directores de

( ) ( )21 3 2F F F F+ × −

1 6 4 . L a s f u e r z a s 1ˆ ˆ ˆF 2 i 5j 8k

= + + ,

2ˆ ˆ ˆF 6 i 2 j 8k

= + + y 3ˆ ˆ ˆF 2 i 1j 8k

= − + +

, están aplicadas en el punto ( )A 2;1;2 . Determinar el torque que produce la

fuerza resultante respecto del origen de coordenadas. RESOLUCIÓN

Consideremos los siguientes vectores:

1ˆ ˆ ˆF 2 i 5j 8k

= + +

2ˆ ˆ ˆF 6 i 2 j 8k

= + + 3

ˆ ˆ ˆF 2 i 1j 8k

= − + + Calculo de la fuerza resultante:

Rˆ ˆ ˆF 6 i 8j 24k

= + + Consideremos los siguientes vectores:

( ) ( )r OA A O 2;1;2 0;0;0

= = − = −

( ) ˆ ˆ ˆr 2;1;2 2i 1j 2k

= = + + Definición del producto vectorial:

R


6 8 24

τ = × =

1 2 2 2 2 1ˆ ˆ î j k8 24 6 24 6 8

τ = − +

Respuesta: ˆ ˆ ˆ8 i 36 j 10kτ = − +

1 6 5 . L a s f u e r z a s 1ˆ ˆ ˆF 2 i 5j 8k

= − + ,

2ˆ ˆ ˆF 6 i 2 j 8k

= − + + y 3ˆ ˆ ˆF 2 i 1j 8k

= − + −

, están aplicadas en el punto ( )A 2;2;2. Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del origen de coordenadas.

166 .Las fue rzas 1ˆ ˆ ˆF 2 i 5j 8k

= − + ,

2ˆ ˆ ˆF 6 i 2 j 8k

= − + + y 3ˆ ˆ ˆF 2 i 1j 8k

= − + − ,

( ) ( ) ( )ˆ ˆ û Cos i Cos j Cos k= a + b + q

( )Cos 0 90a = ⇒ a = °

( ) 1Cos 452

b = ⇒ b = °

( ) 1Cos 452

q = ⇒ q = °

159.Dado los vectores ˆ ˆ Â 3 i 3 j 3k= − − +

y ˆ ˆ ˆB 3 i 0 j 3k= − + +


160.Se dan las fuerzas 1ˆ ˆ ˆF 2 i 1j 3k

= + + ,

2ˆ ˆ ˆF 3i 2 j 1k

= + + y 3ˆ ˆ ˆF 2 i 1j 8k

= − + +, determinar los cosenos directores de ( )21 3F F F+ +



= + +

2ˆ ˆ ˆF 3i 2 j 1k

= + +


= − + + Calculo de la fuerza resultante:

Rˆ ˆ ˆF 3i 4 j 12k

= + + Definición del producto vectorial:

( ) ( ) ( )2 2 2RF 3 4 12 13= + + =

El vector unitario es, R

R

ˆ ˆ ˆF 3i 4 j 12k 3 4 12ˆ ˆ û i j k13 13 13 13F

+ += = = + +

están aplicadas en el punto ( )A 1;4; 2− −. Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del punto

( )B 2;3; 1− .



= − +

2ˆ ˆ ˆF 6 i 2 j 8k

= − + + 3

ˆ ˆ ˆF 2 i 1j 8k

= − + −

Calculo de la fuerza resultante:

Rˆ ˆ ˆF 6 i 2 j 8k

= − − + Consideremos los siguientes vectores:

( ) ( )r BA A B 1;4; 2 2;3; 1

= = − = − − − −

( ) ˆ ˆ ˆr 3;1; 1 3i 1 j 1k

= − − = − + −


R


3 1 1

τ = × = − − − −

2 8 6 8 6 2ˆ ˆ î j k1 1 3 1 3 1

− − − − τ = − + − − − −

Respuesta: ˆ ˆ ˆ6 i 30 j 12kτ = − − −

168.Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2; 0), B (3; 0; -3) y C (5; 2; 6). Calcular el área de la región triangular.

169.El vector 3F

de módulo 26 es perpen-dicular a los vectores 1


= − −

2

ˆ ˆ ˆ3i 12j 4ku13

+ −=

2

3 12 4ˆ ˆ û i j k13 13 13

= + + −

( ) ( ) ( )1ˆ ˆ û Cos i Cos j Cos k= a + b + q

( ) 12Cos 22,6213

b = ⇒ b = °

Calculo de la Fuerza,

3 3 2

ˆ ˆ ˆ3i 12j 4kˆF F .u 26.13

+ −= =

Respuesta: 3ˆ ˆ ˆF 6i 24j 8k= + −

170.El vector 3F

de módulo 39 es perpendic-ular a los vectores 1


= − − y

2ˆ ˆ ˆF 0 i 1 j 3k

= + + , además forma con el eje OX un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de 3F

.

171.El vector 3F de módulo 26 es perpendic-ular a los vectores 1 ˆ ˆ ˆF 8i 4 j 6k

= − − y

2ˆ ˆ ˆF 0 i 2 j 6k

= + + , además forma con el eje OZ un ángulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de F3

. RESOLUCIÓN Consideremos los siguientes vectores:

1 ˆ ˆ ˆF 8i 4 j 6k

= − −

2ˆ ˆ ˆF 0 i 2 j 6k

= + +


1 2

ˆ ˆ î j kC F F 8 4 6

0 2 6

= × = − −

4 6 8 6 8 4ˆ ˆ ˆC i j k2 6 0 6 0 2

− − − − = − +

ˆ ˆ ˆC 12i 48j 16k C 52= − − + ⇒ =

1 2 3C F , C F C // F⊥ ⊥


1

ˆ ˆ ˆC 12i 48j 16ku52C

− − += =

1

3 12 4ˆ ˆ û i j k13 13 13

= − + − +


( ) 4Cos 72,0813

q = ⇒ q = °

Condición del problema: 3F

forma con el eje OY un ángulo obtuso los vectores unitarios son opuestos:

1 2 2 1ˆ ˆ ˆ û u o u u= − = −

2


+ −= =

2

3 12 4ˆ ˆ û i j k13 13 13

= + + −


( ) 4Cos 107,9213

q = − ⇒ q = °

y 2ˆ ˆ ˆF 0 i 1 j 3k

= + + , además forma con el eje OY un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de 3F

.

RESOLUCIÓN Consideremos los siguientes vectores: 1


= − −

2ˆ ˆ ˆF 0 i 1 j 3k


1 2


0 1 3

= × = − −

2 3 4 3 4 2ˆ ˆ ˆC i j k1 3 0 3 0 1

− − − − = − +

ˆ ˆ ˆC 3i 12j 4k C 13= − − + ⇒ =

1 2 3C F , C F C // F⊥ ⊥


1


− − += =

1

3 12 4ˆ ˆ û i j k13 13 13

= − + − +


( ) 12Cos 157,3813

b = − ⇒ b = °

Condic ión de l prob lema: 3F

for -ma con el eje OY un ángulo obtuso los vectores unitarios son opuestos:

1 2 2 1ˆ ˆ ˆ û u o u u= − = −

Calculo de la Fuerza,

3 3 2

ˆ ˆ ˆ3i 12j 4kˆF F .u 26.13

+ −= =

Respuesta: 3ˆ ˆ ˆF 6i 24j 8k= + −

172.El vector 3F de módulo 65 es perpendic-ular a los vectores 1 ˆ ˆ ˆF 8i 4 j 6k

= − − y

2ˆ ˆ ˆF 0 i 2 j 6k

= + + , además forma con el eje OX un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de F3

.

173.El vector m de módulo 51 es per-pendicular al eje OZ y al vector

ˆ ˆ ˆQ 8i 15j 3k

= − + y, además forma con el eje OX un ángulo obtuso. De-terminar las componentes rectangulares de m

.


ˆ ˆ ˆP 0 i 0 j 1k

= + + es perpendicular al eje OZ

ˆ ˆ ˆQ 8i 15j 3k


ˆ ˆ î j kC P Q 0 0 1

8 15 3

= × = −

0 1 0 1 0 0ˆ ˆ ˆC i j k15 3 8 3 8 15

= − + − −

ˆ ˆ ˆC 15i 8j 0k C 17= + + ⇒ =

el eje OZ un ángulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de m .

175.Determina las componentes rectangulares del vector m , sabiendo que es perpendi-cular a los vectores 1 ˆ ˆ ˆF 2 i 3j 1k

= − + y

2ˆ ˆ ˆF 1 i 2 j 3k

= − + además satisface a la condición: ( )ˆ ˆ ˆm 1 i 2 j 7 k 10

• + − =


1 ˆ ˆ ˆF 2 i 3j 1k

= − +

2ˆ ˆ ˆF 1 i 2 j 3k


1 2


1 2 3

= × = − −

3 1 2 1 2 3ˆ ˆ ˆC i j k2 3 1 3 1 2

− − = − + − −

ˆ ˆ ˆC 7i 5j 1k C 5 3= − − − ⇒ =

1 2C F , C F C // m⊥ ⊥


1

ˆ ˆ ˆC 7i 5j 1ku5 3C

− − −= =

1

7 1 1ˆ ˆ û i j k5 3 3 5 3

= − + − + −

1ˆm K.u

= donde K es un número real.

7K 5K 1Kˆ ˆ ˆm i j k5 3 5 3 5 3

= − + − + −

Satisface a la condición:

( )ˆ ˆ ˆm 1 i 2 j 7 k 10

• + − =

( ) ( ) ( )7K 5K 1K1 2 7 105 3 5 3 5 3

− + − + − − =

Resolviendo: K 5 3= −

7 5 1ˆ ˆ ˆm K i K j K k5 3 5 3 5 3

= − + − + −

Respuesta: ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆm 7 i 5 j 1 k= + +

176.Determina las componentes rectangulares

del vector m , sabiendo que es perpendic-

ular a los vectores 1 ˆ ˆ ˆF 4 i 6 j 2k

= − + y

2ˆ ˆ ˆF 2 i 4 j 6k

= − + además satisface a la

condición: ( )ˆ ˆ ˆm 1 i 2 j 7 k 10

• − − + =

177.Determina las componentes rectangu-lares del vector m , sabiendo que es per-pendicular a los vectores 1 ˆ ˆF 4 i 6 j

= − y 2

ˆ ˆF 2 i 4 j

= − además satisface a la

condición: ( )ˆ ˆ ˆm 3 i 4 j 5k 10

• − − =


1 ˆ ˆF 4 i 6 j

= −

2ˆ ˆF 2 i 4 j

= − Definición del producto vectorial:

1 2 3C F , C F C // F⊥ ⊥


1


+ += =

( )1

15 8ˆ ˆ û i j 0 k17 17

= + +


( ) 15Cos 28,0717

a = ⇒ a = °

Condición del problema: m forma con el eje OX un ángulo obtuso los vectores unitarios son opuestos:

1 2 2 1ˆ ˆ ˆ û u o u u= − = −

2


− − += =

( )2

15 8ˆ ˆ û i j 0 k17 17

= − + − +


( ) 15Cos 151,9317

a = − ⇒ q = °

Cálculo de la Fuerza,

2

ˆ ˆ ˆ15i 8j 0kˆm m .u 51.17

− − += =

Respuesta: ˆ ˆ ˆm 45i 24j 0k= − − +

174.El vector m de módulo 34 es per-pendicular al eje OX y al vector

ˆ ˆ ˆQ 8i 15j 3k

= − + y, además forma con

1 2


2 4 0

= × = − −

6 0 4 0 4 6ˆ ˆ ˆC i j k4 0 2 0 2 4

− − = − + − −

ˆC 4k C 4= − ⇒ =

1 2C F , C F C // m⊥ ⊥


1

ˆC 4k û k4C

−= = = −

1ˆm Q.u

= donde Q es un número real.

ˆ ˆ ˆm 0 i 0 j Q.k= + −

Satisface a la condición:

( )ˆ ˆ ˆm 3 i 4 j 5k 10

• − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 4 Q 5 10+ − + − − =

Resolviendo: Q 2=

( ) ˆ ˆm Q k m 2k= − ⇒ = −

Respuesta: ˆm 2k= −

178.Determina las componentes rectangu-lares del vector m , sabiendo que es per-pendicular a los vectores 1 ˆ ˆF 4 i 6k

= + y 2

ˆ ˆF 2 i 4k

= + además satisface la condición: ( )ˆ ˆ ˆm 3 i 4 j 5k 10

• − + + =

179.Se dan los vectores ˆ ˆ â 2 i 3 j 1k

= − +


= − + , ˆ ˆ ˆb 3i 1 j 2k

= − + + y ˆ ˆ ˆc 1 i 2 j 3k

= + +

, calcular: ( )a b c× ×


= − + , ˆ ˆ ˆb 3i 1 j 2k

= − + + y ˆ ˆ ˆc 1 i 2 j 3k

= + + , calcular: ( )b a c× ×

RESOLUCIÓN (1). Consideremos los siguientes vectores:

ˆ ˆ â 2 i 3 j 1k

= − +

ˆ ˆ ˆc 1 i 2 j 3k


ˆ ˆ î j ka c 2 3 1

1 2 3

× = −

3 1 2 1 2 3ˆ ˆ â c i j k

2 3 1 3 1 2− −

× = − +

ˆ ˆ â c 11i 5 j 7k× = − − +

(2). Consideremos los siguientes vectores: ˆ ˆ ˆb 3i 1 j 2k

= − + +

ˆ ˆ â c 11i 5 j 7k× = − − +


( )ˆ ˆ î j k

b a c 3 1 211 5 7

× × = − − −

( )

1 2 3 2 3 1ˆ ˆ ˆb a c i j k5 7 11 7 11 5

− − × × = − + − − − −

, ˆ ˆ ˆb 3i 1 j 2k

= − + + y ˆ ˆ ˆc 1 i 2 j 3k

= + +

, calcular: ( )a b c× ×

RESOLUCIÓN

(1). Consideremos los siguientes vectores: ˆ ˆ â 2 i 3 j 1k

= − +

ˆ ˆ ˆb 3i 1 j 2k

= − + + Definición del producto vectorial:


3 1 2

× = − −

3 1 2 1 2 3ˆ ˆ â b i j k1 2 3 2 3 1− −

× = − + − −

ˆ ˆ â b 7i 7 j 7k× = − − −

(2). Consideremos los siguientes vectores: ˆ ˆ â b 7i 7 j 7k× = − − −


= + +


( )ˆ ˆ î j k

a b c 7 7 71 2 3

× × = − − −

( ) 7 7 7 7 7 7ˆ ˆ â b c i j k2 3 1 3 1 2

− − − − − − × × = − +

Respuesta:

( ) ˆ ˆ â b c 7i 14j 7k× × = − + −

Respuesta: ( ) ˆ ˆ ˆb a c 17 i 1 j 26k× × = − +


= − + , ˆ ˆ ˆb 3i 1 j 2k

= − + + y ˆ ˆ ˆc 1 i 2 j 3k

= + +

, calcular: ( )c b a

× ×


= + + , ˆ ˆ ˆb 1i 0 j 1k

= + + y ˆ ˆ ˆc 1 i 1 j 4k

= + −

. Determinar el vector unitario u conte-nido en el plano formado por los vectores a y b

además que sea perpendicular al vector c

.

184.Se dan los vectores â 2 i

= , ˆb 4k

= y ˆc 3 j

= . Determinar: ( )a b c× •

RESOLUCIÓN

Consideremos los siguientes vectores: ˆ ˆ â 2 i 0 j 0k

= + +

ˆ ˆ ˆb 0 i 0 j 4k

= + + (1). Definición del producto vectorial:


0 0 4

× =

0 0 2 0 2 0ˆ ˆ â b i j k0 4 0 4 0 0

× = − +

ˆ ˆ â b 0i 8j 0k× = − +


= + +

(2). Definición del producto escalar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c 0 0 8 3 0 0

× • = + − +


× • = −

185.Se dan los vectores â 3i

= , ˆb 4 j

= − y ˆc 2k

= . Determinar: ( )c b a× •

186.Se dan los vectores â 5 i

= − , ˆb 3 j

= y ˆc 4k

= − . Determinar: ( )a c b× •


forman entre si un án-gulo de 30° además 6=a y 3=b Sa-biendo que el vector c de módulo 3 es per-pendicular a bya

, calcular: ( )a b c× •

RESOLUCIÓN

(1). Definición del producto vectorial:


( ) ( )a b 6 . 3 .Sen30 9× = ° =


( )a b c a b . c .Cos

a× • = ×

( ) ( )a b a y a b b

× ⊥ × ⊥

Sabiendo que el vector c es perpendicu-

lar a bya

, entonces

( )a b c 0

a× = °

( )a b c a b . c .Cos0

× • = × °

( ) ( ) ( )a b c 5 . 3 .Cos0 15

× • = ° =


× • =

191.Se dan los vectores ˆ ˆ Â 2 i 3 j 1k

= + −

, ˆ ˆ ˆB 1i 1 j 3k

= − + y ˆ ˆ ˆC 1i 9 j 11k

= + − .

¿Son coplanares los vectores A, B y C

?

RESOLUCIÓN I. El producto triple escalar es un número

real: ( )A B C número real

• × = II. El valor del “triple producto esca-

lar” representa el volumen de un pa-

ralelepípedo de aristas A , B y C

. (1). Definición del producto vectorial:

ˆ ˆ î j kB C 1 1 3

1 9 11

× = − −

1 3 1 3 1 1ˆ ˆ ˆB C i j k9 11 1 11 1 9− −

× = − +

ˆ ˆ ˆB C 38i 8 j 10k× = − − +

ˆ ˆ Â 2 i 3 j 1k

= + − (2). Definición del producto escalar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B C 2 38 3 8 1 10 110

• × = − + − + − = −

( )A B C 110

• × = −

Los vectores A, B y C

serán coplanares si el volumen es nulo.

Respuesta: No son coplanares.

192.Se dan los vectores ˆ ˆ Â 2 i 1 j 2k

= − + , ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 3k

= + − y ˆ ˆ ˆC 3i 4 j 7 k

= − + . ¿Son coplanares los vectores A, B y C

?

193.Se conocen los cuatro puntos:

( )A 1; 2;2− , ( )B 1;4;0 , ( )C 4;1;1−

C y ( )D 5; 5;3− − . ¿Son coplanares estos cuatro puntos?

194.Se conocen los cuatro puntos: ( )A 1;2; 1−

, ( )B 0;1;5 , ( )C 1;2;1− y ( )D 2;1;3. ¿Son coplanares estos cuatro puntos?

195.Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo constru-ido sobre los vectores concurrentes

ˆ ˆ Â 8i 0 j 0k

= + + , ˆ ˆ ˆB 2 i 8 j 0k

= + + y ˆ ˆ ˆC 1i 1 j 8k

= + +



• × =

II. El valor del “triple producto esca-lar” representa el volumen de un pa-ralelepípedo de aristas A , B y C



1 1 8

× =

8 0 2 0 2 8ˆ ˆ ˆB C i j k1 8 1 8 1 1

× = − +

ˆ ˆ ˆB C 64 i 6 j 6k× = − −

ˆ ˆ Â 8i 0 j 0k

= + +

188.un ángulo de 60° además 6=a y b 3 3=

Sabiendo que el vector c

de módulo 10 es perpendicular a a y b

, calcular: ( )a b c

× •

189.Se dan los vectores ˆ ˆ â 1i 1j 3k

= − + , ˆ ˆ ˆb 2i 2 j 1k

= − + + y ˆ ˆ ˆc 3i 2 j 5k

= − +

. Determinar: ( )a b c× •

RESOLUCIÓN

Consideremos los siguientes vectores: ˆ ˆ â 1i 1j 3k

= − +

ˆ ˆ ˆb 2i 2 j 1k

= − + +

(1). Definición del producto vectorial:


2 2 1

× = − −

1 3 1 3 1 1ˆ ˆ â b i j k2 1 2 1 2 2− −

× = − + − −

ˆ ˆ â b 7 i 7 j 0 k× = − − +

ˆ ˆ ˆc 3i 2 j 5k

= − +


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c 7 3 2 3 0 5

× • = − + − +


× • = −

190.Se dan los vectores ˆ ˆ â 1i 1j 3k

= − + , ˆ ˆ ˆb 2i 2 j 1k

= − + + y ˆ ˆ ˆc 3i 2 j 5k

= − + . Determinar: ( )c b a× •

(2). Definición del producto escalar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B C 8 64 0 6 0 6 512

• × = + − + − =

( )A B C 512

• × = Respuesta: El volumen es, 512 unidades cúbicas.

196.Se dan los vectores ˆ ˆ ˆA 3i 2 j 1k

= − + , ˆ ˆ ˆB 2 i 1 j 2k

= + + y ˆ ˆ ˆC 3i 1 j 2k

= − − . ¿Son coplanares los vectores A, B y C

?

197.Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo constru-ido sobre los vectores concurrentes


= + + , ˆ ˆB 0 i 4 j 0k

= + + y ˆ ˆ ˆC 0 i m. j 4k

= + + , donde “m” es un número real.



• × = II. El valor del “triple producto esca-

lar” representa el volumen de un pa-ralelepípedo de aristas A , B y C



0 m 4

× =

4 0 0 0 0 4ˆ ˆ ˆB C i j km 4 0 4 0 m

× = − +

ˆ ˆ ˆB C 16 i 0 j 0k× = + +


= + +

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la ecuación de la recta en el plano xy, que pasa por el punto (4 ,1) y que tenga pendiente m 0,75= .

A) 3x 4y 8− =

B) 8x 3y 4− =

C) 4y 3x 8− =

D) 4x 8y 3− =

E) 3x 4y 8+ =

02. Las rectas R1 y R2 tienen pendientes

11m3

= y 21m2

=- , respectiva-

mente. Hallar las coordenadas ( )x,y del punto P.

A) ( )0,87 ; 4,35 B) ( )0,78 ; 3,45

C) ( )4,35 ; 0,87 D) ( )3,45 ; 0,78

E) ( )1,56 ; 3,90

03. Halle la recta que corta al eje x a tres unidades, en el sentido +x del origen de coordenadas y que sea paralela a y x 52 3+ = .

A) 2y 2 x

3= + B) 3

y x 22

= +

C) 3y x 2

2= − + D) 3

x y 52

= −

E) 2y 2 x

3= −

04. Dada la gráfica, determine el valor de y cuando x 20= (considere que el vértice está en el origen).

A) 10 B) 8 C) 12 D) 6 E) 4

05.Hallar la distancia (en m) desde el origen de coordenadas al vértice de la parábola:

2y x 4x 8= - + , donde x, y están en m.

A) 5 B) 2 5

C) 3 5 D) 4 5 E) 5 5

06. Una parábola tiene su eje paralelo al eje y, si su vértice es el punto (8, 10) y pasa por el punto (10, 18), determine el valor de y cuando x 0= .

A) 98 B) 138 C) 158 D) 178 E) 58

07. Halle la ecuación de una recta de pendiente 6 y que pasa por el vértice de una parábola de ecuación 2y 2x 12x 17= + + .


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B C 4 16 0 0 0 0 64

• × = + + =

( )A B C 64

• × = Respuesta: El volumen es, 64 unidades cúbicas.

198.Determinar el volumen de un tetraedro cuyos vértices están en los puntos A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; -1) y D (4; 1; 3).

199.Se tiene un tetraedro cuyos vértices son A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7) y D (-5; -4; 8). Calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice D al plano ABC.

200.El volumen de un tetraedro es 5 unidades cubicas, tres de sus vértices están en los puntos: A (2; 1; -1), B (3; 0; 1), C (2; -1; 3). Determinar las coordenadas cartesianas del cuarto vértice, D, si se sabe que está contenida en el eje OY.

201.Se tiene un plano P cuya ecuación es: 2 x + 2y - 3 z – 20 = 0. Determine

el vector unitario perpendicular al plano.

202.Se tiene un plano P cuya ecuación es: 3x + 4y +12z – 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano.

2 0 3 . D e s c o m p o n e r e l v e c t o r a 10i 10 j 4k= + +

en dos compo-nentes rectangulares en las direcciones perpendicular y paralela al plano P cuya ecuación es: 6x +3y +2z – 11= 0.

y(m)

x (m) 3 R2

0

R1

P

A) y 6x 17= + B) y 6x 18= +

C) 1y x 19

6= + D) y 6x 20= +

E) y 6x 19= +

08. Determine la ecuación de la recta, que se muestra en la figura:

A) y x 2= + B) y x 3= − C) y x 5= − + D) y 0,8x 3= − E) y 0,4x 3= +

09.Hallar el módulo de x y+

A) ( )2 2 1 a− B) ( )2 2 1 a+

C) ( )2 1 a+ D) ( )2 1 a− E) a

10. Determinar una expresión vectorial para x en función de los vectores A y B ,

“O”: centro de la circunferencia y a 4=

A) 5 B) 6 C) 2 5

D) 3 5 E) 3 6

13. La figura muestra 6 vectores: A

, B

, C

, D

, E

y F

. Halle S A B 2C D E F= - + + + +

.

A) 2A

B) 2B

C) C D+

D) E

E) O

14. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

La suma vectorial de los componentes de un vector da como resultado dicho vector.

Un vector puede tener componentes en cualquier dirección.

El vector unitario de un vector necesari-amente tiene la misma dirección y sentido que el vector.

A) VVV B) FVF C) FFV D) FVV E) FFF

15. En la figura se muestra los vectores uni-tarios a lo largo de los ejes coordenados U y V del plano.

Si la componente ortogonal de A

sobre uno de los ejes tiene 32 unidades, halle el vector A

.

A) 32 u 32v+ B) 3,2 u 40v+

C) 42 u 40v+ D) 25 u 25v+

E) 25 u 40v+

16. En la figura se muestran los vectores de magnitudes indicadas. Hallar el módulo del vector resultante.

A) 20 B) 32 C) 48 D) 52 E) 60

sabiendo que PQRS es un cuadrado.

A) ( ) ( )x 3 / 5 A 3B= +

B) ( ) ( )x 2 / 5 A 2B= +

C) ( ) ( )x 1/ 5 A B= +

D) ( ) ( )x 2 / 5 A 3B= +

E) ( ) ( )x 4 / 5 A 2B= +

11. Si R A B C D ,= + + +

determine el módulo del vector R 2D-

A) 7.2 B) 6,7 C) 5

D) 2.2 E) 0

12. Determine el módulo del vector resultante del sistema mostrado si “M”: punto medio,

x 0

y

1 5

–4

L

17. Tres vectores A , B

y C

tienen compo-nentes x e y como se muestra en la tabla. Calcular el ángulo que forma el vector 3A 2B C- +

con el eje x.

A) 0 B) / 4p C) / 3π D) / 2π E) π

18. Si S A B= +

, donde A

y B

son vec-tores unitários, identifique la veracidad (V) o falsedad (F), de lãs proposiciones siguientes:

El módulo de S

satisface: 0 S 2£ £ . S

también puede ser unitario. Si 60ºa= es el ángulo entre A

y B

, luego S 3=

A) VVV B) FVV C) VFF D) FFF E) VVF

19. Para el conjunto de vectores dados, determine el vector unitario del vector

resultante. Si: C

A B3

= =

22. Dados los vectores A

y B

en la figura que se muestra, halle el vector unitario que tiene la dirección y sentido del vector ( )A B-

A) ( )2 i j2

+ B) ( )2 i j2

-

C) ( )2 i j2

- + D) 3 1i j2 2

+

E) 3 1i j2 2

-

23. Hallar el vector unitario que corresponde a la resultante de los vectores mostrados en la figura.

A) 3 j k+ B) ( )1 i 3k3

+

C) j 3k+ D) ( )1 3 j k2

+

E) ( )1 3 j 3k6

+

24. Hallar el ángulo b para que el módulo de la suma de los vectores sea mínimo.

A) 10º B) 20º C) 15º D) 15º E) 30º

25. Si la resultante de los 3 vectores mostra-dos es nula, hallar F.

A) 10 3 B) 12 3

C) 14 3 D) 16 3

E) 2 3

26. La figura muestra un trapecio M, N son puntos medios de las diagonales; respec-

A) ( )i j+ B) i 3 j+

C) ( )i 3 j /2+ D) ( )i j 3-

E) ( )i j / 3+

20. Si se cumple que: A B C O+ + =

, determine el vector unitario del vector C.

A) ( )i 3j / 5+ B) ( )i 3 j / 10- +

C) ( )i j / 2+ D) ( )2i 3j / 5+

E) i 2 2 j+

21. Determine el vector unitario del vector resultante.

A) ( )i j / 2- + B) ( )i j /2-

C) i- D) k

E) j-

A

B

C

x 3 4 – 1

y 1 – 2 1

y 5

5

5

x

z

y

z a

a a

a

a

a

y

x

b

10º 50º

a

a

a

tivamente, identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones:

B A=l

, donde 0l>

( )X A B /2= +

( )X B A /2= -

A) FFF B) FFV C) VFV D) FVF E) VVF

27. Los lados de un paralelepípedo oblicuo tiene lados dados por los vectores: A i=

; B i j= +

y C i j k= + +

. Halle el valor de la expresión: ( )V A B C= ´ ·

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

28. En un sistema de coordenadas x, y, z, rectangulares, se dan los vectores:

A 0,8i 0,6j= +

y B 3i 4j=- +

. Indique verdadero (V) o falso (F) en las

siguientes proposiciones: Solo A

es vector unitario. La magnitud de A B´

es 4,8. El producto A B´

es 5 k

34. La figura muestra dos vectores un de módulo 60 unidades y el otro de módulo variable. Determine la resultante mínima que se puede conseguir.

A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60

35. Se muestra tres vectores. Determine el módulo del vector resultante.

A) 12 B) 2 C) 3 D) 8 E) N.A.

36. Se muestra tres vectores. Determine el módulo del vector resultante.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

37. Determine el valor del ángulo θ, para que la resultante de los vectores mostrados sea mínima.

A) 35,5º B) 45º C) 30º D) 22,5º E) 60º

38.Dados los vectores con módulos 5 y 3a N b N= = , calcule el módulo de 2a b−

.

A) 7N B) 6N C) 12N D) 5N E) 10N

39. La resultante máxima de dos vectores mide 10 unidades y su resultante mínima 2 unidades. Calcule el módulo de la re-sultante cuando los vectores forman un ángulo de 120º.

A) 3 5 B) 5 6 C) 11 D) 2 3 E) 2 7

40. Señale las afirmaciones correctas: a) La suma de dos vectores puede ser

igual a la de otros cuatro vectores. b) Si dos pares de vectores dan la misma

resultante entonces son idénticos. c) Un vector puede ser generado por la

suma de infinitos pares de vectores. A) FFF B) FFV C) FVF D) VFV E) VVV

41. Calcule el módulo de la resultante del sistema mostrado.

A) 45 B) 30 C) 25 D) 35 E) 50

A) VVV B) FVV C) VFV D) VVF E) FFF 29. Dados los vectores: A 2i 3j= +

;

B i 2j= -

determine A BA B´·

A) 1,75 k B) 0,68 k C) 1,75 k−

D) 1,92 k E) 1,92 k−

30. Dado el conjunto de vectores: a = 2 i - 4 j b = -1 i + 2 j c = -1 i + 3 j Calcule e el módulo del vector: R = a - 3 b + 2 c

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 13

31. Sean los vectores: a = 3 i + 4 j b = -2 i + 5 j c = m i + n j y

R = a + b + c, donde el módulo de R es igual a 10 unidades y además es paralelo al eje “y” del sistema de coordenadas, hallar (m + n). A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) N.A

32. Se tiene el paralelogramo ABCD. Deter-mine (x + y + z) si: 3. . .AB i y j z k= + +

. 2AC x i k= +

2. 3.AD i j k= + −

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) Ninguna anterior

33. El vector resultante de los vectores A y B es R = 10 i + 11 j. Si los vectores unitarios de A y B son a = 0,8 i + 0,6 j y b = 0,6 i + 0,8 j respectivamente. Determine el vector A. A) 4 i +3 j B) 8 i + 6 j C) 3 i + 4 j D) 6 i + 8 j E) 12 i + 16 j

q

q

q

a

b

63º10º

A

B

C

D

15A B+ =

42. Se muestra una cuadricula donde el lado de cada cuadrado es 3 u. Determine el módulo del vector resultante.

A) 2u B) 3u C) 4u D) 5u E) 30

43. En el sistema vectorial mostrado, de-termine el módulo del vector resultante. A) 0

B) 3 C) 5 D) 6 E) 7


B) 14 C) 15 D) 16 E) 10


B) 2 C) 3 D) 4 E) 10

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 0

50. La figura muestra un cuadrado de vé-rtices ABCD de lado 2 cm. Si M es punto medio de BC, determine el módulo del vector resultante (en cm). A) 3

B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

51. La figura muestra cinco vectores, donde se observa un rectángulo y una diagonal. Determine el módulo del vector resultante. A) 3 cm

B) 4 cm C) 5 cm D) 10 cm E) 0

52. En la figura mostrada determine el vector resultante

A) e B) -e C) 2e

D) 3e E) N.A.

53.Se muestra cuatro vectores. Si AB = BC = AC = 3 cm, determine el módulo del vector resultante.

A) 0

B) 3 cm C) 6 cm D) 9 cm E) N.A

54. En el sistema vectorial mostrado deter-mine la mediad del ángulo θ tal que el modulo del vector resultante sea mínima. A) 60°

B) 45° C) 135° D) 120° E) N.A.

55. Si la resultante del conjunto de vectores mostrados se encuentra sobre el eje Y,


B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

47. De muestra un cuadrado de vértices A, B, C y D donde cada lado mide 2 cm. Si M es el punto medio de CD, deter-mine el módulo del vector resultante. A) 5

B) 4 C) 3 D) 2 E) N.A.

48. En la figura mostrada, determine el módulo del vector resultante.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 10 E) 0

49. Sabiendo que los segmentos miden AB = 6 y CD = 8. Determine el módulo del vector resultante.

determine el valor del ángulo θ. A) 45º B) 60º C) 53º D) 37º E) 30º

56. Se muestra un trapecio de vértices A, B, C y D. Si M es punto medio de AB y además BC = 5 cm y AD = 7 cm de-termine el módulo del vector resultante.

A) 10 cm B) 12 cm C) 14 cm

D) 16 cm E) 18 cm

57. Sabiendo que AP = 12, PC = 4 y PB = 3. Determine el módulo del vector resultante.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) N.A.

61. La figura muestra un paralelogramo. Expresar el vector x en función de los vectores a y b.

A) 2 a - b B) a + 2 b

C) 3 a + 4 b D) 3 a + 2 b E) 2 a + 6 b

62. La figura muestra un triángulo, donde M es el punto medio del segmento PQ. Expresar el vector x en función de los vectores a y b. A) 2 a -3 b

B) 0,5a + 0,5 b C) 3 a + 4 b D) 3 a + 2 b E) a + b

63. Sabiendo que a = 4 j y b = -3 i. Determine el módulo del vector resultante. A) 3

B) 4 C) 5 D) 10 E) 15

64. Determine una expresión para x

en fun-ción de las vectores y a b

. El polígono es un hexágono regular.

A) 4

a b+

B) 2

a b+

C) 24

a b−

D) 22

a b+

E)

2a b−

65. Se muestra un cubo de arista 2 cm. De-termine el módulo del vector resultante.

A) 1 cm B) 2 cm C) 4 cm

D) 6 cm E) N.A.

66. Se muestra un cubo de arista 2 cm. De-termine el módulo del vector resultante.

A) 8 cm B) 2 cm C) 4 cm

D) 6 cm E) N.A.

58. Sabiendo que AB = 12, BC = 4 y PB = 2. Determine el módulo del vector resultante.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) N.A.

59. Determine el módulo de la resultante.

A) 2 B) 3 C) 3 D) 22 E) 6

60. Si la resultante de los vectores es nula, determine la medida del ángulo θ.

A) 45º B) 30º C) 90º D) 53º E) 60º

folleto vectores

Education