calculo do momento fletor e tensao cisalhante
TRANSCRIPT
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
1/28
Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas
Diagramas de Fora Cisalhante eMomento Fletor
Prof. Ricardo R. Fragelli
Setembro, 2004
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
2/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Ao analisar as foras atuantes nos elementos de uma trelia,verificamos, atravs do mtodo das sees, que as foras so axiais emtoda a barra.
Veja:
a
Corte a-a:
F FF FA A A B
aF F
A BA
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
3/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos no estosempre submetidos somente a foras axiais.
Estudaremos a seguir os esforos internos em uma viga submetida acarregamentos no axiais.
Considere a viga seguinte:
a
AF2 F3
F4
aA BF1 F5
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
4/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reaes que a parte daviga secionada realizava sobre a viga restante.
Em geral, a viga secionada resiste translao em x e y, alm deresistir a uma tendncia de rotao em relao ao eixo z (perpendicularao plano xy).
F1A A
F2 V
N
M
BAF3
F5
F4
MN
V
a
a
F1A BA
F2 F3
F5
F4
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
5/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
As reaes N, V e M so explicadas a seguir:
N conhecida como fora normal ou axial e responsvel pela trao oucompresso do elemento;
V a fora cortante ou cisalhante, responsvel pela tendncia de corteda viga;
M conhecido como momento fletor e responsvel pela flexo da viga. Em geral, os esforos V e M so mais importantes no projeto de umaestrutura do que N. Basta imaginar uma rgua, voc conseguiriaquebr-la por trao? Para quebrar a rgua, basta entort-la. Nesse
caso, dizemos que a rgua quebrou devido ao momento fletor.
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
6/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.
(i) Fora cisalhante (V>0)
a
A
Anlise do lado esquerdo, V para cima
A V A
VAnlise do lado esquerdo, V para baixo
B
aA BA
Corte a-a:
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
7/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.
(ii) Momento fletor (M>0)
a
AAM
A BM
aA BA
Corte a-a:
Anlise do lado esquerdo, V para cima Anlise do lado esquerdo, V para baixo
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
8/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forascisalhantes e momentos fletores so geralmente mais importantesque as foras axiais e, portanto, estes sero os objetos de nossoestudo.
No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos
especficos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo docomportamento de V e M ao longo de uma viga.
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
9/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
a
A EB
10N
b
b
DC
5N 5N1,0m 1,0m 1,0m 1,0m
a
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
10/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
5N
a
a
A EB10N
b
b
DC
1,0m 1,0m 1,0m 1,0m5N
A B V N
M5N
A DV
N
M5N
10NC
Corte a-a: Corte b-b:
Anlise de Equilbrio do corte a-a:
Fx=0 N=0
Fy=0
V=5N
MB=0M=5N.m
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
11/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
5N
a
a
A EB10N
b
b
DC
1,0m 1,0m 1,0m 1,0m5N
A B V N
M5N
A DV
N
M5N
10NC
Corte a-a: Corte b-b:
Anlise de Equilbrio do corte b-b:
Fx=0 N=0
Fy=0
V=-5N
MD=0M=-5N.m
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
12/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Visto que o clculo de V e M fundamental para o projeto de vigas(e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamentotransversal), deve-se estudar o comportamento dessas variveis aolongo da viga.
Para realizar esse estudo, basta que se faa cortes para distncias
arbitrrias em toda a extenso da viga. Estas sees devem serestudadas em regies determinadas pelo surgimento ou trmino de umnovo carregamento (fora concentrada, carga distribuda ou momento
binrio).
conveniente fazer os grficos de V e M logo abaixo darepresentao grfica do problema (desenho da viga).
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
13/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 2) Faa os diagramas de fora de cisalhamento e momentofletor da viga abaixo:
A C10N
B
5N2,0m 2,0m
5N
Existem duas regies de corte, uma entre os pontos A e B eoutra entre B e C. Teremos, portanto, duas funes para V(x) e
duas para M(x).
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
14/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 2)
A
5N
C10N
B
5N2,0m 2,0m
Primeiro corte: (a-a) a
ax
A AV
N
M5N x
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
15/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 2)
A AV
N
M5N x
Anlise de Equilbrio do corte a-a:
* Vlido para (0
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
16/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 2)
A
5N
C10NB
5N2,0m 2,0m
b
b
x
A BV
N
M5N
10NB
x
Segundo corte: (b-b)
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
17/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 2)
A BV
NM
5N
10N
B
x
Anlise de Equilbrio do corte a-a:
* Vlido para (2
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
18/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 2)
Diagramas de V e M: AC
10N
B
5N 5N2,0m 2,0m
2.0 4.0
x [m]
V [N] M [N.m]5.0
10.0
4.0 x [m]2.0
-5.0
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
19/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Existe uma relao diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstr-la agora.
Considere uma seo de uma viga sujeita a um carregamentodistribudo w(x):
a
a
A BA b
b
B
w(x)
V(B)
N(B)
M(B)
N(A)
V(A)
M(A)
x
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
20/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Fazendo dois cortes em A e B, distanciados em x, podemos estudaro comportamento de V(x) e M(x) sob a ao do carregamentodistribudo w(x). Considerando x suficientemente pequeno, podemosconsiderar a variao do carregamento desprezvel.
a
a
A BA b
b
B
w(x)
V(B)
N(B)
M(B)
N(A)
V(A)
M(A)
x
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
21/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Fazendo o estudo de equilbrio da viga restante (lembrando que x to pequeno quanto se queira), seo entre A e B, temos que:
Anlise de Equilbrio:
Fx=0 N(x+x)=N(x)
Fy=0
V(x +
x)-V(x)=-w(x)
xMB=0M(x +x)-M(x)=V(x) xB V(x+x)
N(x+x)
M(x +x)x
w(x)
AN(x)
M(x)
Fazendo x 0, temos que
V(x) = -w(x) e M(x) = V(x)Por outro lado, integrando em relao a xentre A e x:
V(x) = V(A) - w(x) dxM(x) = M(A) + V(x) dx
x
A x
A
V(x)
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
22/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 3) Faa os diagramas de fora de cisalhamento e momentofletor da viga abaixo:
20N/m
Ay
A B
By10m
Existe apenas uma regio de anlise, portanto, existe apenasuma funo para V(x) e uma para M(x).
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
23/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 3)
20N/m
Ay
A B
By10m
Antes de encontrar as equaes para V(x) e M(x), devem ser calculadasas reaes Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuda emuma fora concentrada aplicada no centride de rea do carregamento.
Neste caso, a figura um retngulo e, portanto, a fora resultante iguala sua rea, i.e., F=200N aplicada em x = 5m.
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
24/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 3)
20N/m
100N 100N10m
A B
Sendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N.
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
25/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 3)
20N/m
100N 100N10m
Como w(x)=20, temos que:
V(x) = V(A) - w(x) dx V(x) = 100 - 20xM(x) = M(A) + V(x) dx M(x) = 100x - 10x2
x
A
xA
0
A B
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
26/28
Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA
Exemplo 3)
Diagramas de V e M:
100
5.0 10.0
x [m]
V [N]
250
5.0 10.0 x [m]
M [N.m]
A B
20N/m
100N 100N
10m
M(x) = 100x - 10x2V(x) = 100 - 20x
-100
M i G l E f I t Vi
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
27/28
Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas
Para complementar o estudo, no deixe de acessar as aulas
interativas em Flash.O contedo mostrado aqui suficiente para resolver os problemasreferentes a este assunto, contudo, depende do aluno no limitar oseu conhecimento a isto. Foram colocados textos e artigos mais
aprofundados no assunto, bem como possveis paradoxos e desafiosque sero discutidos no Frum. Para testar o seu potencial de
resoluo faa os exerccios da lista.
M i G l E f I t Vi
-
8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante
28/28
Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas
Diagramas de Fora Cisalhante eMomento Fletor
Prof. Ricardo R. Fragelli(dvidas? [email protected])
Setembro, 2004