calculo fracionario

5/24/2018 calculo fracionario

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EDSON BORGES DE VILA

ESTUDO DO CLCULO FRACIONRIO APLICADO

MODELAGEM DE SISTEMAS VIBRATRIOS COM

AMORTECIMENTO VISCOELSTICO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA

2010


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ii

EDSON BORGES DE VILA

ESTUDO DO CLCULO FRACIONRIO APLICADO MODELAGEM

DE SISTEMAS VIBRATRIOS COM AMORTECIMENTO

VISCOELSTICO

Dissertao apresentada ao Programa

de Ps-graduao em Engenharia Mecnica

da Universidade Federal de Uberlndia, como

parte dos requisitos para a obteno do ttulo

de MESTRE EM ENGENHARIA MECNICA.

rea de concentrao: Mecnica dos slidos e

vibraes.

Orientador: Prof. Dr. Domingos Alves Rade

UBERLNDIA MG

2010


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AGRADECIMENTOS

Agradeo este trabalho primeiramente a Deus, pois sem Ele, nada seria possvel e no

estaramos aqui reunidos.

Universidade Federal de Uberlndia e Faculdade de Engenharia Mecnica pela

oportunidade de realizar este trabalho.

Ao meu orientador, Domingos Alves Rade, pelo exemplo de pesquisador e por todo o

auxlio neste trabalho.

CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.

A minha famlia, Nicolina, Alandino, Alexsandra e Crita, pelo esforo, dedicao e

compreenso, em todos os momentos desta e de outras caminhadas.

Aos meus amigos Adailton Silva Borges e Albert Willian Faria, pela confiana e credibilidade

em minha pessoa, durante o perodo de convivncia na UFU e tambm pela continuidade

das nossas amizades aps o trmino dos nossos trabalhos, e, pelo mtuo aprendizado de

vida, no campo profissional e particular.

Ao Eng. Thiago de Paula Sales, ex-bolsista de IC, pelas contribuies ao trabalho.

Aos amigos dos laboratrios LMEst pela amizade e discusses que muito contriburam para

o desenvolvimento deste trabalho.


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vila, E. B., ESTUDO DO CLCULO FRACIONRIO APLICADO MODELAGEM DE

SISTEMAS VIBRATRIOS COM AMORTECIMENTO VISCOELSTICO. 2010. 99 f.

Dissertao de Mestrado, Universidade Federal de Uberlndia, Uberlndia, MG.

RESUMO

O Clculo Fracionrio uma ferramenta matemtica que vem sendo aplicada nos ltimos

anos a vrios problemas da Cincia e da Engenharia, tais como Reologia, Transferncia de

Calor e Controle Ativo. Essencialmente, a derivao e a integrao fracionrias resultam da

extenso do conceito clssico de derivao e integrao de ordens inteiras a ordens nointeiras e sua aplicao se justifica principalmente por algumas de suas propriedades que

garantem uma modelagem mais precisa de certos fenmenos fsicos. A presente

dissertao aborda a utilizao do Clculo Fracionrio para a modelagem do

comportamento viscoelstico no mbito da Dinmica Estrutural. Primeiramente, feita uma

apresentao do conceito e principais propriedades da derivada e integrao fracionrias,

seguindo-se uma reviso de alguns dos mtodos de resoluo aproximada de sistemas de

equaes diferenciais de ordem fracionria. Em seguida, feita uma reviso dos

fundamentos da viscoelasticidade linear, incluindo os modelos reolgicos clssicos e os

modelos de ordem fracionria. Visando simulao do comportamento dinmico de

sistemas estruturais dotados de amortecedores viscoelsticos no domnio do tempo, duas

estratgias consideradas como sendo algumas das mais modernas so utilizadas para a

incorporao de modelos viscoelsticos fracionrios em modelos de elementos finitos.

Simulaes numricas so realizadas visando validao dos procedimentos de

modelagem implementados.

Palavras chave: Clculo Fracionrio, Viscoelasticidade, Elementos Finitos, Amortecimento.


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vila, E. B., A Study of Fractional Calculus Applied to the Modeling of Vibratory

Systems Containing Viscoelastic Damping.2010. 99 f M.Sc. Dissertation, Universidade

Federal de Uberlndia, Uberlndia, MG, Brazil.

ABSTRACT

Fractional Calculus is a mathematical tool that has been applied to various problems of

Science and Engineering, such Rheology, Heat Transfer and Active Control. Essentially,

fraction integration and derivation can be regarded as extensions of the traditional concepts

of integration and derivation of integer orders. Their application is justified mainly by the factthat their properties can provide more accurate modeling of certain physical phenomena. The

present dissertation addresses the use of Fractional Calculus for the modeling of viscoelastic

behavior in the realm of Structural Dynamics. First, it is presented the fundamental concepts

and main properties of fraction integrators and derivatives, followed by the description of

some methods intended for the resolution of systems of fractional differential equations.

Then, a review of linear viscoelasticity is presented, including classical rheological models

and fractional models. Aiming at simulating the dynamic behavior of structural systems

containing viscoelastic dampers in the time domain, two strategies, considered as being

some of the most modern ones, are used for the incorporation of fractional viscoelastic

models into finite element models. Numerical simulations are performed aiming at the

validation of the modeling procedures.

Keywords: Fractional Calculus, Viscoelasticity, Finite Elements, Damping.


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LISTA DE SMBOLOS

: ngulo de fase

1+jA : Coeficientes de Grnwald

( )t : Deformao

( )t : Deformao anelstica

( )t : Derivada primeira da tenso em relao ao tempo

( )t : Derivada primeira da deformao em relao ao tempo

( )R : Espectro de fluncia

( )R : Espectro de relaxao

r : Fator de amortecimento

2

r : Frequncia natural

( ) x : Funo complementar

( )R : Funo espectral( )t : Funo de fluncia

( )a : Funo Gama

( )t : Funo de relaxao

( )J t : Funo de resposta da deformao

( )G t : Funo de resposta da tenso

( )H : Matriz das funes de forma

[ ]M : Matriz de massa

[ ]C : Matriz das propriedades elsticas do material

K : Matriz de rigidez modificada inicial

G : Mdulo de cisalhamento

K : Mdulo de rigidez

D

: Operao de derivao de ordem

( )sDn : Operador de derivao no domnio de Laplace


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D : Operao de integrao de ordem

( )sDn1 : Operador de integrao no domnio de Laplace

, : Ordens arbitrrias

( ){ }t : Vetor de tenso

( ){ }t : Vetor de deformao

( ){ }u t : Vetor de deslocamentos nodais generalizados (deslocamentos e rotaes)

( ){ }r t : Vetor de foras externas

( ) ( ){ }eq t : Vetor dos graus de liberdade em nvel elementar


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NDICE

CAPTULO I - INTRODUO .......................................................................................... 1

CAPTULO II - HISTRICO E FUNDAMENTOS DO CLCULO FRACIONRIO ..........................5

2.1. Aspectos histricos do Clculo Fracionrio .................................................... 5

2.2. Abordagem moderna do Clculo Fracionrio ................................................. 11

2.2.1. Derivada e integrao de ordem arbitrria de Grnwald-Letnikov ...... 12

2.2.2. Derivada e integrao de ordem arbitrria de Riemman-Liouville ....... 18

2.3. A aplicao dos operadores de derivao e integrao de ordem arbitrria a

funes elementares ............................................................................................. 23

2.4. Avaliao numrica de derivadas e integrais de ordens arbitrrias ................ 24

2.5. Tcnicas Numricas de Resoluo Aproximada de Sistemas de Equaes

Diferenciais de Ordem Fracionria ........................................................................ 26

2.5.1. Mtodo Direto ..................................................................................... 28

2.5.2. Mtodo Indireto................................................................................... 28

2.5.3. Aplicao 1: Mtodo Direto ................................................................. 33

2.5.4. Aplicao 2: Mtodo Indireto .............................................................. 33

CAPTULO III APLICAO DO CLCULO FRACIONRIO EM VISCOELASTICIDADE......... 35

3.1. Introduo ...................................................................................................... 35

3.2. Fundamentos da Viscoelasticidade Linear ..................................................... 37

3.3. Modelos Mecnicos ........................................................................................ 40

3.4. Modelos Viscoelsticos Fracionrios .............................................................. 443.5. Mdulo Complexo do Modelo de Maxwell Fracionrio .................................... 46

3.5.1. Restries termodinmicas................................................................. 47

3.5.2. Anlise do comportamento viscoelstico do modelo de Maxwell de

derivadas fracionrias (MMDF) ......................................................................................... 51

3.5.2.1. Anlise da fluncia ............................................................... 51

3.5.2.2. Anlise da relaxao ............................................................ 53

3.6. Outras aplicaes do clculo fracionrio em viscoelasticidade ....................... 56

3.7. Incorporao de modelos viscoelsticos fracionrios em modelos de elementosfinitos ..................................................................................................................... 62

3.7.1. Resoluo numrica das equaes do movimento ............................. 66


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ix

3.8. Abordagem alternativa para implementao de modelos viscoelsticos

fracionrios em associao com o mtodo dos elementos finitos .......................... 68

CAPTULO IV APLICAES NUMRICAS DOS MODELOS

VISCOELSTICOS FRACIONRIOS.......................................................... .................73

4.1. Sistema Vibratrio Viscoelstico de Um Grau de Liberdade ........................... 73

4.2. Modelagem de uma viga viscoelstica pelo mtodo dos elementos finitos ..... 76

4.3. Modelagem por elementos finitos de vigas multicamadas com camada

viscoelstica em associao com o algoritmo proposto por Galucio, De e Ohayon

(2004) .................................................................................................................... 84

CAPTULO V CONCLUSES GERAIS E PERSPECTIVAS ......................................... 93

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................. 95


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x


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CAP TULO I

INTRODUO

O Clculo Fracionrio um campo da anlise matemtica que data de 300 anos e trata

dos fundamentos tericos e aplicaes de integrais e derivadas de ordens arbitrrias, no

necessariamente inteiras, como no Clculo Diferencial e Integral tradicional, tendo atrado a

ateno de diversos matemticos famosos como P. S. Laplace, J. B. J. Fourier, N. H. Abel, J.

Liouville, B. Riemann, H. Holmgren, A. K. Grunwald, A.V. Letnikov, H. Laurent, P. A.

Nekrassov, A. Krug, J. Hadamard, O. Heaviside, S. Pincherle, G. H. Hardy, J. E. Littlewood,

H. Weyl, P. Lvy, A. Marchaud, H. T. Davis, A. Zygmund, E. R. Love, A. Erdlyi, H. Kober,

D. V. Widder, M. Riesz e M. Feller.

Segundo Oldham e Spanier (1974), Abel foi o primeiro a apresentar uma aplicao de

operaes fracionrias em 1823, quando aplicou o clculo fracionrio resoluo de uma

equao integral que surge na formulao do chamado problema da tautcrona, que busca

determinar a equao da trajetria percorrida por uma partcula que desliza sob ao da

gravidade ao longo de uma curva sem atrito, de modo que o tempo de descida seja

independente do ponto de partida.

O Clculo Fracionrio vem sendo amplamente empregado durante as trs ltimas

dcadas em aplicaes modernas de equaes diferenciais e integrais modelagem de

diversos tipos de problemas da Cincia e da Engenharia, tais como:

Processamento de sinais (Barbosa et al., 2006; Bultheel e Martinez-Sulbaran, 2007);

Redes eltricas (Yifei et al., 2005);

Mecnica dos fluidos (Amaral, 2003)

Viscoelasticidade (Bagley e Torvik, 1983; Glockle e Nonnenmacher, 1991; Maia et

al., 1998; Adolfsson et al., 2005; Bagley, 2007, e Jia et al., 2007),

Biologia matemtica (Cole, 1933; Anastasio, 1994)


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2

Eletroqumica (Oldham, 1972; Goto e Ishii, 1975),

Reologia (Cavazos et al., 2007);

Transferncia de calor (Agrawal, 2004);

Economia (Meerschaert, 2006);

Eletromagnetismo (Engheta, 1996; Machado et al., 2006);

Teoria de controle (Hartley e Lorenzo, 2002; Valrio e Costa, 2006)

Problemas de difuso (Pedron, 2003; Gonalves et al., 2005; Andrade, 2006).

Dentre as obras que contm anlises mais detalhadas de alguns aspectos matemticos e

aplicaes fsicas de clculo fracionrio, podem-se citar as de Erdlyi (1953), Erdlyi et al.(1954), Gelfond e Shilov (1964), Djrbashion (1993), Gorenflo e Vessella (1991), alm dos

livros de Miller e Ross (1993) e de Podlubny (1999).

A principal motivao para o uso prtico do Clculo Fracionrio a possibilidade de se

obter uma modelagem mais precisa de alguns fenmenos fsicos, ao custo de uma maior

complexidade analtica e numrica, em comparao com as ferramentas do clculo

tradicional.

De acordo com Podlubny (1999), durante trs sculos, a teoria de derivadas fracionriasdesenvolveu-se principalmente como um campo terico puro da Matemtica, til apenas para

matemticos. Entretanto, nas ltimas dcadas, muitos autores afirmaram que derivadas e

integrais de ordem no inteira so muito adequadas para a descrio de propriedades de vrios

materiais reais como, por exemplo, polmeros. Foi mostrado que novos modelos de ordem

fracionria so mais adequados que modelos de ordem inteira previamente utilizados.

Derivadas fracionrias fornecem um excelente instrumento para a descrio das

propriedades de memria e hereditariedade de vrios materiais e processos. Esta a principalvantagem das derivadas fracionrias em comparao com modelos clssicos de ordem inteira,

nos quais estes efeitos so negligenciados. As vantagens do clculo fracionrio tornam-se

aparentes na modelagem de propriedades mecnicas e eltricas de materiais reais, bem como

na descrio de propriedades reolgicas de rochas, e tambm em muitos outros campos.

Integrais e derivadas fracionrias tambm aparecem na teoria de controle de sistemas

dinmicos, quando o sistema controlado ou o controlador so descritos por equaes

diferenciais de ordem fracionria.


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3

A relevncia do tema no mbito da Cincia e Engenharia comprovada pelo expressivo

e crescente nmero de publicaes existentes sob a forma de livros e artigos cientficos, e pela

existncia de conferncias internacionais especificamente dedicadas ao tema.No Brasil, no so muitos os trabalhos de pesquisa relacionados ao Clculo Fracionrio

aplicado a problemas de Engenharia Mecnica, destacando-se os estudos realizados por

Espndola e colaboradores, voltados ao uso de modelos fracionrios aplicados a absorvedores

dinmicos de vibraes viscoelsticos (Mendez, 2004; Espndola et al., 2005; Espndola et

al., 2008), as implementaes de modelos viscoelsticos fracionrios associados a modelos de

elementos finitos, realizadas por Lima (2003), alm do estudo preliminar de vila et al.

(2009), voltado ao uso de controladores ativos de ordem fracionria.Inserida no contexto da matemtica aplicada modelagem de problemas de Engenharia

Mecnica, a presente dissertao tem por objetivo geral o estudo dos fundamentos e

aplicaes do Clculo Fracionrio em problemas de Engenharia, com os seguintes objetivos

especficos:

1. Apresentar um apanhado histrico, as definies e principais propriedades dos operadores

de ordem fracionria, com o aprofundamento necessrio para o correto entendimento dos

conceitos e sua aplicao em problemas de Engenharia sem, entretanto, abordar os aspectos

mais tericos de natureza matemtica.

2. Estudar, analtica e numericamente, a aplicao do Clculo Fracionrio a uma classe de

problemas considerados de grande relevncia no mbito da Engenharia Mecnica, que

constituem objeto de estudos do grupo de pesquisa do Laboratrio de Mecnica de Estruturas

Prof. Jos Eduardo Tanns Reis, da Faculdade de Engenharia Mecnica da UFU, a saber, a

modelagem de sistemas de controle passivo de vibraes utilizando materiais viscoelsticos.

Alm deste primeiro captulo introdutrio, esta Dissertao est estruturada de acordo

com os seguintes captulos e respectivos contedos:

O Captulo 2 traz um apanhado histrico do Clculo Fracionrio, alm das principais

definies e propriedades dos operadores fracionrios encontradas na literatura.

O Captulo 3 aborda a modelagem fracionria de materiais viscoelsticos no contexto

do controle passivo de vibraes de sistemas mecnicos lineares. Aps uma reviso

bibliogrfica, so apresentados os modelos viscoelsticos mais utilizados e os procedimentos


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4

para sua incluso em modelos dinmicos discretos ou em modelos contnuos discretizados por

elementos finitos.

No Captulo 4, os modelos implementados computacionalmente, considerados os maismodernos e eficientes do ponto de vista computacional, so avaliados a partir da realizao de

simulaes numricas.

Por fim, o Captulo 5 traz as concluses acerca do trabalho realizado, alm de sugestes

para trabalhos futuros.


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CAP TULO I I

HISTRICO E FUNDAMENTOS DO CLCULO FRACIONRIO

Neste captulo so apresentados os fundamentos do Clculo Fracionrio, sendo primeiramente

descrito um breve histrico atravs do qual so introduzidas as principais definies e notao

utilizadas na literatura. Em seguida, so apresentadas as principais definies e propriedades

da derivada e integrao de ordem arbitrria, bem como alguns dos principais esquemas

numricos propostos para a resoluo de problemas modelados por operadores fracionrios.

2.1. Aspectos histricos do Clculo Fracionrio

Segundo Podlubny (1996), a denominao Clculo Fracionrio um exemplo de

terminologia matemtica inapropriada, que no traduz precisamente o significado que deveria

traduzir. Este autor define o Clculo Fracionrio como sendo a teoria de integrais e

derivadas de ordem arbitrria (no necessariamente fracionria), que unifica e generaliza as

noes de diferenciao de ordem inteira e integraes mltiplas.

O livro de Oldham e Spanier (1974) apresenta, em ordem cronolgica, uma seqncia

de eventos que compem um amplo apanhado histrico acerca das contribuies de

matemticos clebres para o surgimento e o desenvolvimento do Clculo Fracionrio. Miller e

Ross (1993) trazem um levantamento histrico similar.

Segundo estes ltimos autores, a pergunta original que levou denominao Clculo

Fracionrio foi: pode o significado da derivada de ordem inteira n nd y d x ser estendido

para o caso em que n for uma frao? Posteriormente, esta pergunta tornou-se: pode n ser

qualquer nmero: fracionrio, irracional ou complexo? Como a segunda pergunta foi

respondida afirmativamente, o nome clculo fracionrio tornou-se inapropriado e esta teoria


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deveria, preferencialmente, ser denominada integrao e diferenciao de ordem arbitrria.

Estes autores apresentam as discusses inicialmente conduzidas por diversos matemticos

clebres (LHpital, Leibniz, Wallis, Euler, Lagrange, Lacroix, Laplace, Fourier) na busca dasrespostas s questes colocadas acima, relatando, muitas vezes, correspondncias, s vezes

curiosas, trocadas entre eles. Os autores destacam o trabalho de Lacroix que, partindo da

funo my x= , com m inteiro positivo, desenvolveu a seguinte expresso para a derivada de

ordem n:

( )

!

!

nm n

n

d y mx , m n,

m ndx

=

(2.1)

e utilizando a funo Gama para o fatorial generalizado, ele chegou a:

( )( )

1

1

nm n

n

md yx , m n,

m ndx

+= +

(2.2)

Lacroix ainda fornece o exemplo para m=1 e n= , obtendo:

( )( )

1 21 2

1 2

2 2

3 2

d y xx

dx = = (2.3)

Miller e Ross (1993) tambm mencionam os trabalhos de Abel, a quem atribuem a

primeira aplicao do clculo fracionrio na resoluo de uma equao integral que aparece

na modelagem do problema da tautcrona, que consiste em determinar a equao da trajetria

descrita por uma partcula que desce sem atrito, sob a ao da gravidade, de um ponto a outro,

de modo que o tempo transcorrido seja independente do ponto de partida. Para este problema,

se o tempo de deslizamento da partcula, denotado por k, conhecido, obtm-se a seguinte

equao integral:

( ) ( )1 2

0

x

k x t f t dt =

(2.4)


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onde a funof(t) deve ser determinada.

A integral da Eq. (2.4), exceto por um fator multiplicativo ( )1 1 2 , um caso

particular da integral que define a integrao fracionria de ordem . Abel expressou o lado

direito da Eq. (2.4) sob a forma( )1 2

1 2

d f x

dx

e aplicou o operador1 2

1 2

d

dx em ambos os

lados da equao resultante, obtendo:

( )1 2

1 2

d kf x

dx= ,

dado que os operadores fracionrios, sob determinadas condies satisfeitas por f, tm a

propriedade1 2 1 2 0D D f D f f = = . Assim, computando a derivada de ordem de k, f(x)

pode ser determinada, observando-se que, curiosamente, a derivada de ordem fracionria de

uma constante no sempre nula, fato que causou grande controvrsia.

No apanhado histrico de Miller e Ross (1993) tambm dado destaque contribuio

de Liouville, que produziu numerosas publicaes e foi exitoso no uso do clculo fracionrio

a problemas da teoria potencial. O ponto de partida para os desenvolvimentos tericos de

Liouville o seguinte resultado amplamente conhecido para derivadas de ordem inteira:

m ax m axD e a e= (2.5)

onde mD indica a derivao de ordem mem relao varivel independentex.

Liouville estendeu esta propriedade a derivadas de ordem arbitrria

e admitiu, ainda,que a derivada de uma funo arbitrria ( )f x que pode ser expandida em sries da forma

( )0

a xnn

n

f x c e

== , Re ( )na > 0, (2.6)

dada por:

( )0

a xnn n

n

D f x c a e =

= (2.7)


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8

A Eq. (2.7) conhecida com a primeira frmula de Liouville para a derivada

fracionria, sendo aplicvel para qualquer nmero racional, irracional ou complexo, sendo,todavia, limitada apenas a funes exponenciais da forma expressa pela Eq. (2.6).

Para obter sua segunda definio, Liouville partiu da seguinte integral definida,

relacionada definio da funo Gama:

1

0

0 0a xuI u e du, a , x

= > > ,

a qual, com a mudana de varivelxu=t, leva a:

( )10

a a t aI x t e dt x a

= = , (2.8)

donde:

( )a Ix

a = ,

sendo

( ) 10

a ta t e dt

= ,

a conhecida funo Gama.

Aplicando o operador D a ambos os lados da Eq. (2.8), obtm-se:

( )

( )

1

aD xa

= 1

0

a xuu e du

+ (2.9)

Deste resultado, Liouville extraiu sua segunda definio para a derivada fracionria:


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9

( ) ( )

( )

10

a aaD x x , aa

+= > (2.10)

Aos trabalhos de Liouville seguiu-se intensa controvrsia e confrontao entre suas

definies com as de Abel e Lacroix, discutidas anteriormente.

G. F. Bernhard Riemann desenvolveu sua teoria da integrao fracionria, mas seus

trabalhos somente foram publicados em 1892, aps a sua morte. Ele buscou a generalizao

de uma srie de Taylor e obteve:

( )( )

( ) ( ) ( )11

x

c

D f x x t f t dt x

= + (2.11)

onde a funo complementar ( ) x foi includa para evitar a ambiguidade na escolha do

limite inferior de integrao c, como uma forma de quantificar o desvio desta definio da lei

dos expoentes que estabelece que, para um dado limite inferior de integrao:

( ) ( )c x c x c xD D f x D f x = (2.12)

onde os subscritos cex, adicionados aos operadores, explicitam os limites de integrao.

A incluso da funo complementar foi vista por Cayley como uma dificuldade inerente

teoria de Riemman e foi motivo de debate e um engano de interpretao cometido por

Liouville.

Em meados do Sculo 19, Liouville e Hargreave propuseram a seguinte generalizao

da frmula de Leibniz para a derivada de ordem , no inteiro positivo, de um produto de

funes:

( ) ( ) ( ) ( )0

n n

n

D f x g x D f x D g xn

=

=

(2.13)

onde

n

D so operadores diferenciais de ordens inteiras,

n

D

so operadores de ordemfracionria e


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10

( ) ( ) 1 1!

n

n n

+ + =

(2.14)

o coeficiente binomial generalizado.

O primeiro trabalho que levou definio moderna da derivada fracionria de Riemann-

Liouville parece ter sido um artigo publicado por Sonin, em 1869, cujos resultados foram

estendidos nos anos seguintes por Letnikov. Estes estudos partiram da derivada de ordem nda

frmula integral de Cauchy, expressa segundo:

( ) ( )( )

1!

2

n

nC

fnD f z di z

+=

(2.15)

a qual pode ser generalizada para nno inteiro mediante a utilizao do mtodo de integrao

em um contorno, desenvolvido posteriormente por Laurent, que conduziu definio:

( )( )

( ) ( )11

0

x

c xc

D f x x t f t dt, Re

= > (2.16)

Quando x > c, obtm-se a definio de Riemann, dada pela Eq. (2.11), mas sem a

funo complementar. A verso mais utilizada aquela em que c= 0,

( )( )

( ) ( )1

00

10

x

xD f x x t f t dt , Re

= > (2.17)

Deve-se observar que esta forma da integral fracionria denominada integral

fracionria de Riemann-Liouville. Uma condio suficiente para que a Eq. (2.16) convirja :

( )11 0f O x ,x

= >

(2.18)

Quando c= a Eq. (2.16) torna-se


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11

( )( )

( ) ( )11

0

x

xD f x x t f t dt , Re

= > (2.19)

para a qual, uma condio necessria de convergncia

( ) ( ) 0f x O x , ,x = > (2.20)

O histrico apresentado por Miller e Ross (1993) concludo com um apanhado dosdesenvolvimentos ocorridos no Sculo 20, sendo comentado que uma modesta quantidade de

trabalhos dedicados ao clculo fracionrio foi publicada no perodo de 1900 a 1970. A partir

deste perodo, houve significativa dinamizao da pesquisa sobre o assunto, com aumento do

nmero de publicaes, incluindo vrios livros, e a realizao de conferncias internacionais

em 1974, 1984 e 1989. Os autores comentam que o Clculo Fracionrio encontra aplicaes

em praticamente todos os ramos da Cincia e da Engenharia e que, no obstante, ainda no

estava includo, na poca em que publicaram seu livro, nos currculos universitrios,

possivelmente porque os matemticos no estavam familiarizados com sua utilizao.

2.2. Abordagem moderna do Clculo Fracionrio

O apanhado histrico apresentado na seo anterior deixa claro que foram propostas

vrias definies alternativas para os operadores fracionrios, as quais resultaram nas

definies atualmente utilizadas, sumarizadas nesta Seo.

Sejam consideradas as seguintes sries infinitas de integrais e derivadas mltiplas de

uma funo arbitrria ( )f t :

( )1 1t

a

f d ,

( )2

2 1 1

t

a a

d f d ...

2

2

df d f , ,...

dt dt


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12

A derivada de ordem arbitrria , denominada de forma abreviada derivada fracionria,

pode ser considerada como uma interpolao desta sequncia de operadores. Seguindo a

escolha de Podlubny, ser adotada a notao:

( )a tD t

onde os subscritos a e t denotam os limites relacionados operao de diferenciao

fracionria, conforme ser evidenciado mais adiante. Estes limites so denominados terminais

da diferenciao fracionria. A terminologia integrais fracionrias designa integraes de

ordem arbitrria, e correspondem a valores de ordem negativos. Desta forma, a integral

fracionria de ordem >0, ser denotada por

( )a tD t

Por extenso da terminologia descrita acima, uma equao diferencial fracionria

uma equao diferencial que contm derivadas de ordem fracionrias; uma equao integral

fracionria uma equao integral que contm integrais de ordem fracionria.

Dentre as vrias definies propostas, neste estudo foi dada nfase s definies de

Grnwald-Letnikov e de Liouville, que so detalhadas nas sees que seguem.

2.2.1. Derivada e integrao de ordem arbitrria de Grnwald-Letnikov

Seja uma funo contnua

( )y f t= . Segundo a conhecida definio, a derivada de

primeira ordem da funo ( )f t dada por:

( ) ( ) ( )

0h

f t f t hdff t lim

dt h

= = (2.21)

Aplicando esta definio duas vezes obtm-se, para a derivada de segunda ordem, a

expresso:


23/109

13

( ) ( ) ( ) ( )2

2 20

2 2

h

f t f t h f t hd ff t lim

dt h

+ = = (2.22)

Similarmente, para a derivada de terceira ordem, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

3 30

3 3 2 3

h

f t f t h f t h f t hd ff t lim

dt h

+ = = (2.23)

Por induo, para a derivada de ordem n, escreve-se:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

11

n n rn

n nh r

nd ff t lim f t rh

rdt h =

= =

(2.24)

onde

( )

( )( ) ( )1 2 1!

! ! !

n n n n n r n

r n r r r

+ = =

(2.25)

so os conhecidos coeficientes binomiais.

Considere-se agora a seguinte expresso que generaliza as fraes que aparecem no

lado direito da Eq. (2.25):

( ) ( ) ( ) ( )0

11

n rp

h p

r

pf t f t rh

rh =

=

(2.26)

ondep um nmero inteiro arbitrrio e n um nmero inteiro.

Evidentemente, parap ntem-se:

( ) ( ) ( ) ( )0

pp p

h ph

d flim f t f t

dt= = (2.27)


24/109

14

uma vez que, nestas condies, todos os coeficientes binomiais posteriores ap

p

so nulos.

Considerem-se agora valores negativos dep. Por convenincia, introduz-se a notao:

( ) ( ) ( )1 2 1!

p p p p p r

r r

+ + + =

(2.28)

Substituindo, em Eq. (2.26),ppor p, escreve-se:

( ) ( ) ( )0

1 nph p

r

pf t f t rh

rh

=

=

(2.29)

Se nfor fixado,

( ) ( )p

hf t tende a zero quando h0. Para evitar esta condio, deve-se

supor n quando h0. Neste caso, pode-se tomart a

hn

= onde a um nmero real

constante. Nestas condies, denotar-se-:

( ) ( ) ( )0

p pa th

hn .h t a

lim f t D f t

=

= (2.30)

Note-se que ( )pa tD f t denota um operador aplicado funo f (t), nele intervindo os

terminais a e t. Para apreender o significado deste operador, faz-se o desenvolvimento para

p=1:

( ) ( ) ( )1

10

11 n

hr

f t f t rhrh

=

=

(2.31)

Levando em conta que a=tnhe que a funof (t) admitida contnua, conclui-se que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 0

t a t

a thh an h t a

lim f t D f t f t z dz f d

=

= = = (2.32)


25/109

15

A generalizao deste procedimento para valores arbitrrios de p leva seguinte

expresso, que pode ser obtida por induo:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )1

0

1

1 !

tpp p

a thh an h t a

lim f t D f t t f d p

=

= =

(2.33)

Deve-se mostrar agora que a Eq. (2.33) representa uma integral mltipla de ordem p.

Primeiramente, derivando a Eq.(2.33), obtm-se a relao:

( )( )( )

( ) ( ) ( )2 11

2 !

tpp p

a t a t a

dD f t t f d D f t

dt p

+= =

(2.34)

a partir da qual pode-se escrever:

( ) ( )( )1t

p pa t a t

a

D f t D f t dt +=

( ) ( )( )1 2t

p pa t a t

a

D f t D f t dt + +=

( ) ( )( )2 3t

p pa t a t

a

D f t D f t dt + +=

Estas relaes podem ser combinadas da seguinte forma:


26/109

16

( ) ( )( )

( )( )

( )

2

3

1vezes

t tp p

a t a t a a

t t tp

a ta a a

t t t t

a a a a

p

D f t dt D f t dt

dt dt D f t dt

dt dt dt f t dt

+

+

=

=

=

(2.35)

Conclui-se, pois, que a derivada de ordem inteira n representada pela Eq. (2.26) e a

integral mltipla de ordemp, expressa pela Eq. (2.33) de uma funo contnua ( )f t so casos

particulares da expresso geral:

( )pa tD f t = ( ) ( )0 0

11

n r

ph rt a n h

plim f t rh

rh = =

(2.36)

que representa a derivada de ordem msep=m e a integral mltipla de ordem m, sep=m. Esta

constatao conduz generalizao das noes de integrao e diferenciao admitindo-seque, na Eq. (2.36), ppossa ser um nmero arbitrrio real ou complexo. Nas sees seguintes

ser considerado apenas o caso em quep um nmero real.

Considera-se primeiramentep < 0, o que caracteriza a integrao de ordem arbitrria.

Neste caso, a Eq. (2.36) toma a forma:

( )pa tD f t = ( )

0 0

np

h rt a n h

plim h f t rh

r = =

(2.37)

A partir da demonstrao da existncia do limite indicado na Eq. (2.37), pode-se

mostrar que (Podlubny, 1996):

( )pa tD f t = ( )

( ) ( ) ( )

1

0 0

1 tn pp

h r at a n h

plim h f t rh t f d

r p

= =

=

(2.38)


27/109

17

onde ( ) 10

p tp t e dt

= a funo Gama.

Aps integraes por partes, a Eq. (2.38) pode ser expressa sob a seguinte forma

alternativa:

( )pa tD f t =

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )10

1

1 1

p kk tm p m m

k a

f a t at f d

p k p k

++ +

=

+

+ + + + (2.39)

Para a derivao de ordem arbitrria, deve-se avaliar o limite:

( )pa tD f t = ( ) ( )0 0

1n rp

h rt a n h

plim h f t rh

r

= =

(2.40)

o qual, de acordo com Podlubny (1996), assume a forma:

( )pa tD f t =( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0

1

1 1

p kk tm p m m

k a

f a t at f d

p k p k

+ + +

=

+

+ + + + (2.41)

A Eq. (2.41) foi obtida admitindo que as derivadas ( ) ( )kf t (k=1,2, ..., m+1) so

contnuas no intervalo fechado [a;t] e que m um nmero inteiro satisfazendo a condio

1m p> . O menor valor possvel para m determinado pela desigualdade m < p < m +1.

As relaes seguintes traduzem as seguintes propriedades da derivada e integrao de

ordem arbitrria de Grnwald-Letnikov:

Composio de derivadas de ordem arbitrria e derivadas de ordem inteira

( )( ) ( )n

p p na t a t n

dD f t D f t

dt

+= (2.42)


28/109

18

( )( )( )

n np p

a t a t n n

d f t dD D f t

dt dt

=

( ) ( ) ( )( )

1

0 1

p n kkn

k

f a t a

p n k

+

=

+ + (2.43)

esta ltima equao mostra que os operadores

n

n

d

dt en

a tD so comutativos somente se

( ) ( ) 0 1 2 1kf a ,k , ,...,n= = .

Composio de derivadas e integrais de ordem arbitrria

Considerando dois operadoresp q

a t a t D , D , tem-se:

( )( ) ( )( ) ( )q p p q p qa t a t a t a t a t D D f t D D f t D f t+= = (2.44)

somente se( ) ( ) 0 1 2 1kf a ,k , ,...,n= = .

2.2.2. Derivada e integrao de ordem arbitrria de Riemman-Liouville

A derivada de Riemann-Liouville de ordem arbitrria p, de uma funo f(t) definida

segundo:

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

m tm pp

a ta

d

f t t f d , m p mdt

+

= + D (2.45)

A definio da derivada de Grnwald-Letnikov dada pela Eq. (2.41), obtida admitindo

que a funo f(t) tem m+1 derivadas contnuas, pode ser obtida da Eq. (2.45) sob a mesma

hiptese, efetuando sucessivas integraes por partes. Desta forma, considerando a classe de

funes continuamente diferenciveis m+1 vezes, as definies de Riemann-Liouville e de

Grnwald-Letnikov so equivalentes.


29/109

19

Seguindo o procedimento de Podlubny (1996), mostrar-seque a definio dada pela

Eq.(2.45) permite unificar os operadores de derivadas e integraes de ordem inteira e,

subsequentemente, poder ser estendida aos operadores de ordem arbitrria.Supondo quef(t) seja contnua e integrvel no intervalo (a; t), ento a integral

( ) ( )1 t

a

f t f d =

existe e assume um valor finito, o qual nulo quanto a t.

Efetuando integraes mltiplas, pode-se escrever:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

21 1

t t t t

a a a a

f t d f d f d d t f d

= = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

31 1

t t t t

a a a a

f t d f d f d d t f d

= = =

Por induo, chega-se frmula de Cauchy:

( )( )

( ) ( )11 t nn

a

f t t f dn

=

(2.46)

Supondo que n > 1 seja um inteiro fixo e tomando outro inteiro k0, escreve-se:

( ) ( )( )

( ) ( )11 t nk n k

a

f t D t f dn

=

(2.47)

onde kD (k 0) denota k integraes sucessivas.

De forma similar, supondo que n> 1 seja um inteiro fixo e tomando outro inteiro k

n, escreve-se:


30/109

20

( ) ( )( )

( ) ( )11 t nk n k

a

f t D t f dn

=

(2.48)

onde kD (k 0) denota k derivaes sucessivas.

Para estender a noo de integraes mltiplas a valores no inteiros de n, pode-se

partir da frmula de Cauchy da Eq. (2.46), e substituir npor um nmero realp > 0:

( ) ( ) ( ) ( )

11 t ppa t

af t t f dp

= D

(2.49)

Se ( )f t for contnua em (t ;a), ento a integrao de ordem arbitrria definida na Eq.

(2.49) tem a seguinte propriedade:

( )( ) ( )p q p qa t a t a t D D f t D f t = (2.50)

A representao da Eq. (2.48) para a derivada de ordem knpossibilita a extenso ao

caso de diferenciao de ordem no inteira, o que pode ser feito mantendo k inteiro e

substituindo npor um nmero real de modo que k> 0. Este procedimento conduz a:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )11 0 1t

k ka t

a

f t D t f d ,

= <

D (2.51)

ou, alternativamente,

( )( )

( ) ( ) ( )11

1t

k pp ka t

a

f t D t f d , k p k

=


31/109

21

Uma propriedade dos operadores de ordem arbitrria de Riemann-Liouville :

( )( ) ( )p q p qa t a t a t f t f t =D D D (2.53)

que tem, como caso particular:

( )( ) ( )p pa t a t f t f t =D D (2.54)

Os operadores de derivao e de integrao de ordem arbitrria no so comutativos,

ou seja:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )1 1

p jk

p q q p q ja t a t a t a t

j t a

t af t f t f t

p j

= =

= +

D D D D

(2.55)

Composio de derivadas de ordem inteira

Sendopreal positivo e ninteiro, tem-se:

( )( )

np p n

a t a t n

d f tf t

dt

+

=

D D

( ) ( ) ( )( )

1

0 1

p n jjn

j

f a t a

p n j

+

=

+ + (2.56)

que idntica propriedade traduzida pela Eq. (2.43).

Composio com derivadas de ordem arbitrria

Sendope qreais positivos, tem-se a propriedade:


32/109

22

( )( ) ( )q p p qa t a t a t f t f t+=D D D ( ) ( )

( )1 1

q jm

p ja t

j t a

t af t

q j

= =

D (2.57)

Linearidade

( ) ( )( ) ( ) ( )p p pD f t g t D f t D g t + = + (2.58)

onde pD designa qualquer uma das diferenciaes de ordem arbitrria consideradas

anteriormente.

Regra de Leibniz (derivada do produto de duas funes)

Se ( )f t e ( )g t e suas derivadas so contnuas em [a; t], tem-se:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )0kp p k

a t a t k

pD f t g t f t D g t

k

=

=

(2.59)

Transformadas de Laplace de integrais de ordem arbitrria de Grnwald-

Letnikov e de Riemann-Liouville

Partindo da definio da integrao de ordem arbitrria dada pela Eq. (2.49), na qual

faz-se a = 0, pode-se reescrev-la utilizando a definio de convoluo de duas funes:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )1 11 1

tpp p p

a t a t a

D f t f t t f d t f tp p

= = =

D (2.60)

Levando em conta que a transformada de Laplace de 1pt :

{ } ( )1p pL t p s = (2.61)


33/109

23

e considerando que a transformada de Laplace da convoluo de duas funes igual ao

produto das respectivas transformadas de Laplace, obtm-se o seguinte resultado para atransformada de Laplace da integral de ordem arbitrria de Grnwald-Letnikov e de Riemann-

Liouville:

( ){ } ( ){ } ( )0 0p p pt tL D f t L f t s F s = =D (2.62)

Transformadas de Laplace de derivadas de ordem arbitrria de Riemann-

Liouville

( ){ } ( ) ( ) ( )1

10

0 0

1n

p p k p kt t

k t

L f t s F s s f t n p n

= =

=


34/109

24

( )( )

1

1D t t

+= +

, IR , 1> , 0t> . (2.65)

xxeeD

= , para qualquer IR , IR . (2.66)

( )( )

+=

2

xasenaxasenD , com IRa , 1> . (2.67)

( )( )

+=

2

coscos xaaxaD , com IRa , 1> . (2.68)

( ) ( ) ( )

+

+==

22coscos

xsenixxsenDixDeD xi (2.69)

( )

t

kkD

1+= , 0> (2.70)

onde k uma constante.

2.4 Avaliao numrica de derivadas e integrais de ordens arbitrrias

Para a avaliao numrica das derivadas e integrais de ordem arbitrria , se o intervalo

de tempo T=t-afor discretizado emNpontos, de modo que h T N= , ento a Eq. (2.40) pode

ser expressa sob a forma:

( ) ( )1

0

lim 1N

j

a tN

j

T TD f t f t j

jN N

=

==

(2.71)

e a estimao das integrais e derivadas fracionrias pode ser feita pelo truncamento da soma

infinita presente na Eq. (2.50):


35/109

25

( )a tD f t =

1

1

0

N

j

j

T TA f t j

N N

+=

(2.72)

onde os chamados coeficientes de Grnwald

( )( ) ( )1 1j

jA

j

+

+

resultam da extenso da definio dos coeficientes binomiais parap

j

valores de p no

inteiros.

Uma reduo adicional nos clculos obtida utilizando a propriedade:

( ) ( ) ( )1 1x x x = ,

a partir da qual consegue-se a relao recursiva:

jj Aj

jA

=+

11 (2.73)

Limitando anlise das derivadas fracionrias, tem-se que 0> e que:

1

1

1para

j j j

jA A A j

j

(2.74)

Isso mostra que a srie dos termos 1jA + estritamente decrescente a partir do momento

em que j se torna maior do que . Quando j + , tem-se que:

( )( )( ) ( )

( )( )1

1 1lim lim lim

1 1j

j j j

j jA

j j

++ + +

= + , j que a funo gama ( )x estritamente no-decrescente para 2x . Como

j IN , tem-se que ( )1 !j j + = , e assim:

( )( )

( )11 !1 1 1

lim lim lim 0!

jj j j

jA

j j +

+ + +

< = =

(2.76)

medida que o ndice j toma valores maiores, os coeficientes de Grnwald vo se

tornando pesos de valores menores da funo f que esto situadas mais ao passado. Esta a

razo do desaparecimento de eventos conforme o tempo passa. Esta propriedade recebe onome de memria fraca e possibilita o truncamento da Eq. (2.63).

2.5 Tcnicas Numricas de Resoluo Aproximada de Sistemas de Equaes

Diferenciais de Ordem Fracionria.

Existem vrios mtodos para resolver sistemas de equaes diferenciais de ordem nointeira, dentre os quais podem se citar: transformadas de Laplace e de Fourier (Gaul et al.,

1989; Miller e Ross, 1993 e Podlubny, 1999); expanses via autovetores (Suarez e Shokooh,

1997); frmula integral de Laguerre (Yuan e Agrawal, 2002); soluo direta atravs de

aproximaes desenvolvidas por Grnwald-Letnikov (Podlubny, 1999); expanses atravs de

sries de Taylor truncadas (Machado, 2001); mtodo da representao difusiva (Heleschewitz

e Matignon, 1998); representaes de estado aproximadas (Aoun et al., 2003), alm de outros

mtodos numricos (Padovan, 1987; Diethelm e Ford, 2004; Diethelm et al., 2005 e Kumar e

Agrawal, 2005).

Para ilustrar algumas tcnicas de resoluo de equaes diferenciais de ordem

fracionria, considere-se um problema genrico do tipo:

( ) ( )( ),D y t f t y t = (2.77)

com condies iniciais:


37/109

27

( ) ( ) ( )00i i

y y= , 1, , 1i n= , (2.78)

onde n representa o menor nmero inteiro maior ou igual a .

Este problema equivalente a:

( ) ( )( )

( ) ( )( )1

0

1,

t

y t g t t f y d

= +

(2.79)

( )

( )1

00 !

n ii

i

tg t y

i

=

=

(2.80)

que caracteriza uma equao integral de Volterra. Considerando um tempo mximo de

simulao T , e discretizando-o em N segmentos iguais, define-se o passo entre cada tempo

jt jh= , 0, ,j N= como sendo dado por h T N= . Assumindo que aproximaes para os

valores de ( )y t tenham sido dadas para cada jt T< com 0, ,j m= , e admitindo que y e

( )( ),f t y t variam linearmente a cada passo, pode-se obter a aproximao:

( ) ( )( )

1

1 1 , 10

,2

m

j jm m j mj

hy g a f t y t

+

+ + +=

= = + (2.81)

( )( )

( ) ( ) ( )

1

1 11

, 1

1 ,se 0

2 2 1 ,se 1

se 11,

j m

m m mj

a m j m j m j j m

j m

+

+ ++

+

+=

= + + +

= +

, 0, , 1m N= . (2.82)

Aproximaes no lineares (quadrticas ou cbicas) tambm podem ser feitas.

So detalhados, a seguir, dois mtodos, sendo eles um mtodo direto, que visa a

aproximar o operador derivativo-fracionrio, e um mtodo indireto, que envolve

representao aproximada no espao de estado, ambos sugeridos por Poinot e Trigeassou

(2003).


38/109

28

2.5.1 Mtodo Direto

Neste mtodo, usam-se aproximaes numricas para obter frmulas de recorrncia aoinvs do operador de derivada fracionria. Como existem vrios tipos de aproximaes, ser

utilizada a mais usual, dada pela definio de Grnwald, de acordo com Miller e Ross (1993):

( ) ( ) ( )( )00

1lim 1

n k

n nhk

ndf Kh f K k h

kdt h

=

= (2.83)

( ) ( ) ( )1 2 1!

n n n n k nk k

+= . (2.84)

onde h o perodo de amostragem.

Seja a equao diferencial de ordem fracionria definida a seguir:

( )( ) ( )0 0

n

n

d y ta y t b u t

dt + = . (2.85)

Utilizando a aproximao dada pela Eq. (2.83) na Eq. (2.85), obtm-se a resposta do

sistema como sendo dada por:

( )( )

( )( )( )0

1

0

1

1

kK

nk

n

nb u Kh y K k h

khy Kh

a

h

=

=+

. (2.86)

2.5.2 Mtodo Indireto

De acordo com a teoria do clculo fracionrio, a integrao a inversa da derivao. A

definio do operador ( )sDn1 no domnio de Laplace feita de maneira tal que seu grfico de

Bode seja simtrico ao grfico de ( )sDn .


39/109

29

( )

n

h

bnn

s

s

s

GsD

+

+

=

1

11 (2.87)

Utilizando o integrador 1s e o filtro de fase convencional usado por Oustaloup (1995),

dado por:

( ) 1

1

1

Ni

v i

i

sj

A j sj

=

+

= + (2.88)

comNclulas e definido pelos parmetros i , i , , (sendo 1 a menor pulsao e N a

maior pulsao), chega-se aproximao do operador ( )sDn1 :

( )

i

iN

i

nn s

s

sGsD

+

+

==

1

1 '

1

1

(2.89)

Nota-se que ( )sDn1 caracterizado pelos seguintes parmetros:

1 e N definem a faixa de frequncia

N a quantidade de clulas

e so parmetros recursivos para uma ordem nno inteira

nG definido em ordem a se ter um mesmo ganho para 1 ns e ( )sDn1 na pulsao

1u = rad/s.

As relaes recursivas so dadas a seguir:

i i = 1 ii = log

1log

n

=


40/109

30

1

nN n

N

=

1 n

n

= 1

11

1

Ni

ni

i

j

Gj

=

+ =+

(2.90)

Como ( )sDn1 composto por um produto de clulas, conforme ilustrado na Fig. 2.1,

adotam-se as variveis de estado como as sadas de cada uma das clulas.

Figura 2.1 - Diagrama de ( )sDn1 .

Assim, chega-se seguinte equao:

( )1 1 1 11

nn nn n n

n

x x x x

+ =

11

n

n

=

(2.91)

Considerando 1nx + :

( )1 1n n nn nx x x x + + + = 1n n = (2.92)

A Eq. (2.92) leva seguinte representao de estado:


41/109

31

1

2

1

1 0 0

1

0 1

0

0 0 1

II

NM

x

x

x

x

+

=

1

1 1 2

2 2

1

0 0 0

0

0

000 0I

II

n

NN NBx

A

xG

x

u

x

+

= +

, (2.93)

onde as matrizes IM , IA e IB e o vetor Ix so apresentados acima. Representa-se o sistema

de equaes tambm na forma algbrica:

**II IIx A x B u= + (2.94)

com * 1I I IA M A= e * 1I IIB M B

= .

Considere-se o sistema:

( ) ( )

( )0

0n

Y s bH s

a sU s= =

+ (2.95)

que equivalente a:

( )( ) ( )0 0

n

n

d y ta y t b u t

dt + = . (2.96)


42/109

32

Define-se ( )x t tal que:

( ) ( )0

1nX s U ss a

=+

. (2.97)

Assim:

( )( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

n

n

d x ta x t b u t

dt

y t b x t

= +

=

(2.98)

que equivalente ao seguinte sistema:

( )1 00

com

1 0 1

2 1 2

n N i

N i

x G a x u

y b x

i se n

i se n

+

+

= +

=

= < > + .

A relao deformao-tenso geral pode ser representada por uma funo de material

( ( )J t ou ( )G t ) e obtida pelo princpio de superposio de Boltzmann e dada pela integral

de hereditariedade linear do tipo Stiltjes (Carpinteri e Mainardi, 1997):

( ) ( ) ( )t

t J t d

= , ou ( ) ( ) ( )t

t G t d

= . (3.1)


48/109

38

Partindo da hiptese de que ( ) ( ) 0J t G t= = para todo tempo menor que um tempo

inicial ( )0t= , tem-se que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00

0t t

t J t d J t J t d

+= = + , (3.2a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00

0t t

t G t d G t G t d

+= = + , (3.2b)

onde ( )t e ( )t so as derivadas primeiras em relao ao tempo da tenso e da deformao,

respectivamente.

O limite inferior de integrao dado por 0 nas equaes anteriores permite um

comportamento descontnuo de ( )t e/ou ( )t em 0t= , e assim ( )t e ( )t podem estar

relacionadas funo delta de Dirac, ( )t . Integrando por partes as Eqs (3.2a) e (3.2b),

obtm-se:

( ) ( ) ( ) ( )0

t

gt J J t d = + , (3.3a)

( ) ( ) ( ) ( )0

t

gt G G t d = + . (3.3b)

As primeiras derivadas das funes ( )J t e ( )G t so conhecidas como as taxas de

fluncia (flexibilidade) e de relaxao (mdulo), respectivamente, e desempenham o papel de

funes de memria nas equaes anteriores.

Aplicando a transformada de Laplace nas Eqs. (3.2) e (3.3), tem-se:

( ) ( ) ( )s s J s s = , (3.4a)

( ) ( ) ( )s s G s s = . (3.4b)


49/109

39

A equao seguinte mostra uma correspondncia entre ( )J t e ( )G t :

( )( )

( ) ( ) 21 1

s J s J s G sss G s

= =

. (3.5)

Fazendo a convoluo da Eq. (3.5) no domnio do tempo, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )0

:t

J t G t J t G d t = = . (3.6)

Utilizando as propriedades da transformada de Laplace na Eq. (3.5), tem-se:

1 1,

g e

g e

J JG G

= = , (3.7)

ondeg

J ee

J podem assumir valores entre 0 e + . A Tabela 3.1 mostra alguns tipos de

valores para a flexibilidade de fluncia e para o mdulo de relaxao.

Tabela 3.1 - Os quatro tipos de viscoelasticidade (adaptado de Carpinteri e Mainardi (1997)).

Tipo gJ eJ gG eG

I

II

III

IV

0>

0>

0=

0=

<

=

<

=

<

<

=

=

0>

0=

0>

0=

As funes do material so dadas por:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

1 tg

t

e

J t J R e d J t

G t G R e d G t

+ +

= + +

= + +

(3.8)


50/109

40

nas quais todos os coeficientes e funes so positivas.

As funes ( )R e ( )R so definidas como o espectro de flunciae o espectro de

relaxao, respectivamente. As funes ( )R e ( )R sero denotadas pela funo ( )*R .

As contribuies das funes do material na integral da Eq. (3.8) so dadas por:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

1 1 0 ,

1 0 ,

nnt

n

nnt

n

dt R e d n IN

dt

dt R e d n IN

dt

+

= <

= >

(3.9)

As funes no negativas ( )t e ( )t so definidas como funes de fluncia e

relaxao, respectivamente. Na equao anterior, ( )t uma funo crescente com

( )0 0 = e ( ) + + = ou + , e ( )t uma funo decrescente com ( )0 = ou + e

( ) 0 + = .

A prxima seo trata dos modelos mecnicos, conforme descritos por Carpinteri e

Mainardi (1997).

3.3 Modelos Mecnicos

Os modelos mecnicos so constitudos de molas e amortecedores lineares, e dentre os

modelos mais utilizados tm-se os seguintes, que esto ilustrados na Fig. 3.1: o modelo

constitudo por uma mola (modelo de Hooke); modelo constitudo por um amortecedor

(modelo de Newton); modelo constitudo por uma mola e um amortecedor em paralelo

(modelo de Voigt), e o modelo constitudo por uma mola e um amortecedor em srie (modelo

de Maxwell).


51/109

41

Figura 3.1 - Elementos de modelos mecnicos: a) Hooke, b) Newton, c) Voigt e d) Maxwell.

Para os modelos mecnicos apresentados, a fora corresponde tenso e o

deslocamento corresponde deformao. Para se chegar s funes do material, pode-se

partir das equaes governantes das relaes tenso-deformao para os modelos mecnicos

anteriormente citados.

O modelo de Hooke representado por uma mola, que um elemento elstico em que o

deslocamento proporcional fora:

( ) ( ) ( )

( )

1J t mt m t G t m

== = . (3.10)

O modelo de Newton, por outro lado, representado por um amortecedor, que um

elemento viscoso em que a taxa de deslocamento proporcional fora:

( ) ( )

( ) ( )

J t t bdt b

G t b t d t

==

=. (3.11)

Para o modelo de Voigt a relao tenso-deformao dada por:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 tJ t ed

t m t b md t

G t m b t

= = + = +

(3.12)

ondeb

m = o tempo de retardamento.


52/109

42

O modelo de Maxwell representado pela equao:

( )( )

( ) t

a tJ td d b b

t a bbdt dt

G t ea

= ++ =

=

(3.13)

onde a = o tempo de relaxao.

Observa-se que para os casos de corpos viscoelsticos representados pelos modelos

mecnicos, tem-se que os modelos de Hooke e de Newton equivalem aos tipos I e IV,

respectivamente, enquanto que os modelos de Voigt e de Maxwell so do tipo III e II,

respectivamente. Vale lembrar que estes dois ltimos modelos so os corpos viscoelsticos

mais simples, para os tipos III e II (vide Tab. 3.1).

Para os modelos de Voigt e de Maxwell tm-se uma fluncia da deformao e uma

relaxao da tenso exponenciais. Alm disso, o modelo de Voigt no exibe relaxao da

tenso, enquanto que o modelo de Maxwell apresenta uma fluncia da deformao linear.

No caso de se adicionar uma mola em srie Fig. 3.1c, ter-se- o modelo da Fig. 3.2a,

ou, se adicionada em paralelo Fig. 3.1d, ter-se- a Fig 3.2b. Isto implica a adio de uma

constante (maior que zero) ao mdulo de relaxao de Maxwell e flexibilidade de fluncia

de Voigt, o que resulta em 0e

G > e 0gJ > . O modelo com estas caractersticas chamado de

Slido Linear Padro (SLP):

( ) ( ) ( )

( )

11 SLP

t

g

t

e

J t J ed da t m b t

d t d t G t G e

+

= + + = +

= +

(3.14)

1, , ,

, ,

g

e

a a bJ

b m b m

bG m m a

a

+

= = = = = =

(3.15)


53/109

43

A condio 0 bma

< < garante que + , so maiores que zero e por isso

0g e

J J< < < , 0e g

G G< < < e 0 < < < . O SLP composto de trs parmetros,

sendo o corpo viscoelstico mais simples do tipo I.

No caso de se adicionar um amortecedor em srie Fig. 3.1c, ter-se- a Fig. 3.2c, ou, se

adicionado em paralelo Fig. 3.1d, obter-se- o modelo da Fig. 3.2d. Esta adio resultar no

corpo viscoelstico mais simples do tipo IV.

Figura 3.2 - a) Mola em srie com Voigt, b) Mola em paralelo com Maxwell, c) Amortecedor

em srie com Voigt, d) Amortecedor em paralelo com Maxwell.

Como flexibilidades de fluncia so somadas quando elementos so adicionados em

srie e mdulos de relaxao so somados quando elementos so acoplados em paralelo (regra

de combinao), podem ser formados modelos do tipo:

( )

( ) ( )

,

,

1 ,

,

n

n

t

g n

n

te n

n

J t J J e J t

G t G G e G t

+

= + +

= + +

(3.16)

onde todos os coeficientes so no-negativos. As funes da Eq. (3.16) devem estar

relacionadas de acordo com a Eq. (3.5). Por intermdio da transformada de Laplace, obtm-se

uma relao tenso-deformao na forma de uma equao diferencial linear cujos coeficientes

so constantes e positivos, e que dada por:

( ) ( )1 1

1 , ou 1k kp q

k kk kk k

d da t m b t p q p q

dt d t

= =

+ = + = = +

. (3.17)


54/109

44

3.4 Modelos Viscoelsticos Fracionrios

Estendendo os operadores fracionrios aos modelos mecnicos clssicos, conseguem-se

as equaes de ordem fracionria, que so generalizaes da Eq. (3.17):

( ) ( )1 1

1 , 1k k

k k

p q

k k k

k k

d da t m b t k

dt dt

= =

+ = + = +

. (3.18)

Para os modelos fracionrios, as funes de fluncia e relaxao so do tipo:

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

1 1 ,

.

t

t

t E t R e d

t E t R e d

+ +

= =

= =

(3.19)

Substituindo os sub-ndices ou por , obtm-se as expresses para os espectros de

retardamento e relaxao, respectivamente, que so idnticas:

( ) ( )

( ) ( ) ( )*

* *

sen1

2cosR

=

+ +. (3.20)

Para uma melhor compreenso das funes espectral ( )R e de relaxao

( )E t

, so apresentados adiante dois grficos destas funes para alguns valores de

. Adotando 1= , os grficos das funes so mostrados na Fig. 3.3 e na Fig. 3.4.


55/109

45

Figura 3.3 - A funo espectral para diversos valores de .

A Fig. 3.3 mostra que a funo espectral pode apresentar vrias formas diferentes. A

funo espectral decrescente para quando 0 < < , sendo que 0.736 a soluo

da equao ( )sen = . Para valores maiores que , a curva mostra, primeiramente, um

mnimo e, posteriormente, um mximo. Quando 1 a funo espectral tende funo

impulso ( ) .

A Fig. 3.4, mostra que a funo de relaxao ( )E t apresenta um comportamento

que difere em relao funo exponencial quando se tem 1= . Na equao (3.21), ficam

evidentes assntotas para ( )E t quando 0t + e t + ,

( ) ( )

( )

1 1 , quando 0 ,~

1 , quando .

t tE t

t t

+

+

+ (3.21)

Fazendo uma comparao entre a funo exponencial que aparece nos modelos j

mencionados (para 1= ) e a funo de relaxao que aparece nos modelos fracionrios,

verifica-se um decrescimento muito rpido para 0t + ; quando t + , ocorre um

decrescimento muito lento.


56/109

46

Figura 3.4 - Funo de relaxao para diversos valores de .

A prxima seo trata do mdulo complexo do modelo de Maxwell com derivadas

fracionrias, com base no trabalho de Jia et al.(2007).

3.5 Mdulo Complexo do Modelo de Maxwell Fracionrio

O modelo fracionrio de Maxwell expresso segundo:

r q

r q

d d

d t d t

+ = (3.22)

onde e so parmetros do modelo fracionrio, r e q so as ordens das derivadas

fracionrias ( 0 1r< < e 0 1q< < ), ( )t a tenso e ( )t a deformao. Os operadores

[ ]rddt

e[ ]qd

dt denotam derivadas fracionrias. Se 1r q= = , o modelo coincide com o

modelo clssico de Maxwell, e se 0= e 1q= , o modelo se mostra idntico ao modelo de

fluido Newtoniano.


57/109

47

Aplicando a transformada de Fourier Eq. (3.22), consegue-se obter o mdulo

complexo do MMDF. Com isso, os mdulos de armazenamento e de perda de cisalhamento,

so:

( )12 2

cos 1 cos sen sen2 2 2 2

1 2 cos2

q r q r

r r

q r r q

Gr

+ + + =

+ +

(3.23)

( )22 2

sen 1 cos sen cos2 2 2 2

1 2 cos2

q r q r

r r

q r r q

Gr

+ + =

+ +

(3.24)

Simplificando as Eqs. (3.23) e (3.24), tem-se:

( )

( )

12 2

cos cos

2 2

1 2 cos2

q q r

r r

qq r

Gr

+ +

= + +

(3.25)

( )( )

rr

rqq

r

rqsenq

sen

G22

2

2cos21

22

+

+

+

=

+

(3.26)

3.5.1 Restries termodinmicas

Para que um modelo de fenmenos viscoelsticos seja fiel, o mesmo deve apresentar

trabalho interno no-negativo e taxa de dissipao de energia no-negativa. Definindo

restries referentes a parmetros do modelo, pode-se assegurar a validade destas restries.

De acordo com Jia et al. (2007), Bagley discutiu restries termodinmicas ao modelo

fracionrio de Kelvin-Voigt.

Considerando um material termorreologicamente simples, uma temperatura uniforme

(no tempo e no espao) pode ser introduzida atravs de uma frequncia reduzida. Os


58/109

48

parmetros r, q , e podem ser considerados constantes e independentes da temperatura.

Resta o problema de variao da temperatura devida s fontes externas de calor e dissipao

de energia. Bagley e Torvik observaram que um elemento de material sobre o qual atua umadeformao uniforme e em regime permanente deveria ficar arbitrariamente prximo de uma

temperatura uniforme e permanente, se a condutividade for suficientemente grande e o

elemento for suficientemente pequeno. Condies podem ser determinadas por se considerar

um estado de temperatura uniforme em um material submetido aplicao de deformao

senoidal uniforme. A deformao senoidal conduzir a uma tenso senoidal aps o transiente

ter cessado.

Admite-se ento que a deformao seja dada por:

( )cos t = (3.27)

Partindo da deformao, chega-se tenso resultante, dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2

cos cos cos sen sen

cos sen

G i t G i t G i t

G t G t

= + =

= (3.28)

onde o ngulo de fase pelo qual a tenso atrasa a deformao, e:

( ) ( ) ( )

( )2

1

tg tgG

G

= = (3.29)

( )1G e ( )2G so as partes real e imaginria do mdulo complexo ( )G i ,

respectivamente, e ( )tg a taxa de energia dissipada pelo material, e ser no-negativa para

todas as frequncias positivas, ou seja:

( )( )

2

1

0

0

G

G

ou

( )( )

2

1

0

0

G

G

; 0 < < . (3.30)

Partindo das Eqs. (3.27) e (3.28), a taxa de trabalho interno :


59/109

49

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

cos cos cos 2 sen2

t t G i t t G i t = + = + + . (3.31)

O trabalho interno possui uma variao no-negativa para todas as frequncias, e

( )cos 2 t + ser no-positivo para algumas frequncias; logo ( )sen ter que ser maior ou

igual a zero. A Eq. (3.28) leva tambm a:

( ) ( ) ( )2 senG G i = . (3.32)

Fica evidente que a parte imaginria no-negativa do mdulo complexo igual a

( )sen no-negativo para todas as frequncias. proposta ento a seguinte desigualdade:

( )2 0 ; 0G > < < . (3.33)

Atravs das Eqs. (3.30) e (3.33), obtm-se as concluses que se seguem:

( )1 0 ; 0G < < . (3.34)

Se as restries das Eqs. (3.33) e (3.34) forem satisfeitas, o modelo ter trabalho interno

no-negativo e taxa de dissipao de energia no-negativa.

Para assegurar que as restries sejam satisfeitas, restries aos quatros parmetros do

modelo fracionrio devem ser determinadas. Existem apenas duas desigualdades nas Eqs.

(3.33) e (3.34) resultantes a partir do MMDF, mas com um total de quatro parmetros. Logo, preciso achar outras desigualdades. Na Eq. (3.25), o numerador tem dois termos; se o

primeiro termo domina o segundo, o segundo pode ser desconsiderado, caso para o qual a

frequncia do movimento bem baixa. Por outro lado, quando a frequncia do movimento

alta, o segundo prepondera sobre o primeiro, e assim o primeiro desconsiderado. Alm

disso, na mesma equao, o denominador do mdulo evidentemente positivo, de tal modo

que um exame dos casos limites para um numerador obtido quando a frequncia do

movimento for bem baixa, primeiramente, e alta, posteriormente, leva s duas desigualdadesadicionais:


60/109

50

cos 02

q q

(3.35)

e

( )cos 02

r q q r

+

. (3.36)

A Eq. (3.35) positiva para frequncias baixas, enquanto que a Eq. (3.36) tambm

positiva, mas para frequncias altas. Fazendo as mesmas anlises na Eq. (3.26), obtm-se:

sen 02

q q

(3.37)

para frequncias baixas. Para frequncias altas, tem-se que:

( )sen 02r q q r

+ . (3.38)

Como as derivadas fracionrias so de ordens 0 1r< < e 0 1q< < , dadas na definio

da Eq. (3.36), afirma-se que as inequaes dadas nas Eqs. (3.35) e (3.37) so satisfeitas

quando:

0 (3.39)

e a inequao dada em (3.36) satisfeita quando:

0 . (3.40)

Com isso, a inequao dada em (3.38) conduz a:

q r . (3.41)


61/109

51

A Tab. 3.2 mostra as restries aos parmetros do MMDF. Estas restries

termodinmicas levam o MMDF a atender aos requisitos de trabalho interno no-negativo e

de taxa de dissipao de energia no-negativa.As restries termodinmicas aos quatro parmetros do MMDF so:

0 ,

0

e

1 0q r > .

3.5.2 Anlise do comportamento viscoelstico do MMDF

A natureza de um material viscoelstico caracterizada por sua relaxao de tenso e

por sua resposta de fluncia, que so funes importantes para avaliao da confiabilidade domodelo, associada preciso com a qual este ltimo prev o que acontece na realidade.

Anlises da relaxao de tenso e da resposta de fluncia podem colaborar para determinar se

o modelo est ou no em conformidade para realizar a descrio de materiais fluido-

viscoelsticos, e informar sua elasticidade inicial e sua velocidade de fluncia, por exemplo.

Segundo Jia et al.(2007), a flexibilidade de fluncia e o mdulo de relaxao do MMDF so

obtidos usando-se a funo Mittag-Leffler, embora estas funes do material possam ser

determinadas de forma diferente.

3.5.2.1. Anlise de fluncia

Aqui realizada uma avaliao da deformao do material sujeito a uma tenso

constante ( ) ( )t h t = . A deformao ( ) ( )t J t = , para este caso, definida como sendo a

flexibilidade de fluncia.

Para facilitar o clculo da deformao de fluncia, assume-se que:


62/109

52

( ) ( ) ( )0t h t t

= + . (3.42)

Substituindo a tenso constante e a equao de deformao de fluncia na Eq. (3.22),

chega-se a:

( ) ( )0qh t D t = (3.43)

pela qual pode-se achar ( )0 t . Aplicando a transformada de Laplace Eq. (3.43), tem-se que:

( )*01qs ss

= (3.44)

onde ( )*0 s a transformada de ( )0 t e ( )*

0

qs s a transformada da derivada fracionria de

ordem q de ( )0 t . Isolando ( )*

0 s , vem:

( )*0 11

qs

s

+= . (3.45)

Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtm-se:

( ) ( )

( )0 1u t

tq

= +

(3.46)

sendo ( )u t a funo degrau unitrio:

( )0, 0,

1, 0.

tu t

t


63/109

53

( ) ( ) ( ) ( )

( )1u t

t J t h t q

= = +

+. (3.48)

Quando 0t + , tem-se:

( )0 0J

+ = . (3.49)

Na Eq. (3.22), tem-se que 0 1q< < . Assim, pode-se afirmar que a funo de fluncia

uma funo monotonicamente crescente do tempo, tendo valor inicial

e taxa de aumento

menor do que a unidade.

3.5.2.2. Anlise da relaxao

Para fazer a anlise da relaxao, deve-se avaliar a variao da tenso com o passar do

tempo para uma deformao constante ( ) ( )t h t = . A funo ( ) ( )t G t = definida como o

mdulo de relaxao para esta situao. A tenso ( )t pode ser dividida em duas

componentes:

( ) ( ) ( )0t h t t

= + . (3.50)

Substituindo a Eq. (3.50) e ( ) ( )t h t = na Eq. (3.22), escreve-se:

( ) ( ) ( )0 0rt D t h t

+ = . (3.51)

Aplicando a transformada de Laplace Eq. (3.51), tem-se:

( ) ( )* *0 0rs s s

+ = (3.52)


64/109

54

onde ( )*0 s a transformada de ( )0 t e ( )*

0

rs s a transformada da derivada fracionria de

ordem rde ( )0 t . Resolvendo para ( )*

0 s chega-se a:

( )( )rs

s

+=

1

10 . (3.53)

Aplicando a transformada inversa de Laplace Eq. (3.53) vem:

( ) ( )0 1r

r

tt E h t

=

. (3.54)

Substituindo a Eq. (3.54) na Eq. (3.50), obtm-se a funo de relaxao de tenso, dada

por:

( ) ( )

r

r

tt E h t

= . (3.55)

As Eqs. (3.54) e (3.55) apresentam a funo de Mittag-Leffle, e substituindo elas no

resultado da Eq. (3.50), produzindo a seguinte funo de relaxao de tenso:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 ,t G t h t f u

= = , (3.56)

onde:

( ) ( ) ( )

( )( )

1

20

sen exp,

1 2 cos

r

r r

u r uf u du

u r u

=+ +

(3.57)

e

1rt = . (3.58)


65/109

55

Quando t , , e assim:

( ) ( ) ( )

( )( )

1

2

0

sen explim , lim

1 2 cos

r

r r

u r uf u du

u r u

=

+ + (3.59)

Substituindo a Eq. (3.59) na Eq. (3.56), obtm-se a tenso num tempo infinito, dada por:

( ) ( )lim 0t

G h t

= =

(3.60)

e a taxa de relaxao :

( ) ( ) ( )

( )( )

1

2

0

sen exp0

1 2 cos

r r

r r

u r uG t du

u r u

=

calculo fracionario

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