calcul integral (1)

8/18/2019 Calcul Integral (1)

1/23

Calcul Integral

1

4. Calcul Integral

Definiţia noţiunii de integrală definită. Proprietăţi. Exemple. Considerăm aria mărginită de funcţia y = f ( x) şi axele verticale a x şi b x

( ],[ ba x ).

Funcţia )( x f y şi diviziunea asociată.

a 1

1 x 2 2 x 2n

x 1n

x b xn

1n n

y

x

)( x f y

O


2/23

Calcul Integral

2

Împărţim intervalul ],[ ba prin n+1 puncte x0 , x1 , ..., xn alese astfel încât

b x x xan

...10

. Sistemul ),...,,,(210 n

x x x x astfel ales se numeşte

diviziune a intervalului ],[ ba . În fiecare interval format

),(...,),,(),,( 1211 b x x x xa n alegem sistemul de n puncte )...,,,( 21 n astfel

încât ni x x ii ,1,1 . Sistemul se numeşte sistem de puncte intermediare

asociat diviziunii . Considerăm suma

))((...))(())(( 112211 nn xb f x x f a x f

unde am luat a x 0 şi b xn , notând prin 1 k k k x x x pasul consideratsuma anterioară poate fi scrisă ca şi


3/23

Calcul Integral

3

n

k k k

n

k k k k x f x x f

111 )())((

Geometric această sumă reprezintă aria tuturor dreptunghiurilor din figura

anterioară.

Pentru a obţine o aproximaţie mai bună pentru arie, mărim numărul n de

subdiviziuni. Astfel, considerăm 0 k x în suma anterioară şi putem trece la,

limită, notăm această limită prin

n

k k k

n

ba

x f dx x f 1

)(lim)(

Aceasta se numeşte integrala definită a funcţiei f(x) între a şi b. Capetele

intervalului a şi b se numesc limitele de integrare.


4/23

Calcul Integral

4

Limita anterioară există când f ( x) este continuă pe ],[ ba . Dacă aceasă limită există

spunem că f este integrabilă Riemann sau simplu integrabilă pe ],[ ba .

Proprietăţi: P1. f: [a, b] R monotonă rezultă f integrabilă.

P2. f: [a, b] R continuă rezultă f integrabilă. P4. f: [a, b] R , a


5/23

Calcul Integral

5

P9. (Teorema de medie). f: [a, b] R continuă rezultă c [a, b] astfel încât

cdx=f x f b-a

ba

1

Integrale uzuale


6/23

Calcul Integral

6

Exemplu: Calculaţi integrala erf(z)= z t dt e02

2 (funcţia erorii a lui Gauss)

pentru z=1,2,..,7. Soluţie: Folosind funcţia ERF din pachetul Engineering cu parametrii


7/23

Calcul Integral

7

ERF(z), z=0,1,2,..,7.O bţinem

z ERF(z)0 01 0.8427012 0.9953223 0.9999784 1

5 16 17 1

Observăm ca limita funcţiei este 1.


8/23

Calcul Integral

8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

Graficul pentru ERF( z ), z=0,1,2,..,7.


9/23

Calcul Integral

9

Definiţia noţiunii de integrală nedefinită.

Exemple.

Definiţie: Fie R R I f : o funcţie reală. Funcţia R I F : este primitivă a funcţiei f pe interavalul I dacă F este derivabilă pe I şi are loc

I x x f dx

dF x F ),()('

Prin urmare din relaţia x=f dxdF

=+ x F dx

d

constanta rezultă teorema

Teoremă. Dacă f admite o primitivă pe I rezultă f admite o infinitate de primitive pe I .

Notaţie. Mulţimea primitivelor funcţiei f pe I se notează cu dx x f )(


10/23

Calcul Integral

10

Definiţie: dx x f )( se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f pe I .

Integrala nedefinită se poate exprima ca şi o integrală definită scriind

xc

dt t f dx x f )()(

unde c este o constantă. Legătura dintre cele două fiind variabila x care apare în

integrala definită ca şi capăt al unui interval. Acestă notaţie subliniază că integrala

definită depinde doar de limitele de integrare şi nu de variabila care in tervine subsemnul integrării, aceasta putând fi notată cu orice altă literă.


11/23

Calcul Integral

11

Teoremă (de calcul a primitivelor):

Fie f o funcţie integrabilă pe intervalul închis [a, b], ],[ bac atunci primitiva sa F se calculează astfel

],[,)()( ba xdt t f x F x

c

Dacă, în plus, f este continuă pe (a,b), atunci oricare ar fi x, ],[ bac avem

)()()( c F x F dt t f xc

În general avem )]([)]([)()()(

xv F xu F dt t f xv xu

.

Exemplu:

1) )sin()cos()cos(

)sin(

)cos(

)sin(

][ x x x

x

t x

x

t eeedt e .

2) }1{\),0(,,|ln|lnln

1)'(ln

ln

1 xC C xdx

x xdx

x xR .


12/23

Calcul Integral

12

3) R C C edxe xdxe x x x x ,)'2(3 22322 333

.

Metode de calcul a primitivelor. Exemple.

(1) Schimbarea de variabilă

Se face transformarea,

şi avem

unde trebuie să facem înlocuirea

.


13/23

Calcul Integral

13

Dacă integrala este definită avem:

unde

, sau .

Exemplu: Calculaţi

Facem schimbarea de variabilă

şi avem


14/23

Calcul Integral

14

Integrala devine

Exemplu: Calculaţi

Fie

Pentru limite avem:

Atunci integrala devine


15/23

Calcul Integral

15

(2) Integrarea prin părţi

Fie u şi v două funcţii diferneţiabile. Avem:

Prin integrare obţinem:

Formula de mai sus poate fi scrisa în una din formele de mai jos

sau

unde

şi


16/23

Calcul Integral

16

Exemplu: Calculaţi

a) Integrând prin părţi avem

b)


17/23

Calcul Integral

17

Exemplu: Introducerea unui nou medicament pe piaţă, în condiţiile în care existădeja în uz acelaşi tip de medicament, dar produs de o altă firmă sau într -o altăformă medicamentoasă, impune verificarea echivalenţei noului medicament cucele deja existente, pentru a afla dacă este într-adevăr mai eficient. Pentruacceptarea noului medicament, se compară curbele de concentraţie plasmatică alesubstanţei active administrată în cele două forme, prin următorul calcul:

dx xc xcccd 10 2121

|)()(|),( ,

Unde )( xci , ],0[ t x , este funcţia ce defineşte concentraţia plasmatică asubstanţei active în intervalul de timp ],0[ t .Se spune că astfel am definit o metrică de bioechivalenţă, distanţă ce estesensibilă la diferenţele în ceea ce priveşte concentraţia maximă şi timpul deatingere al ei.

Exemplu: Se consideră că fluxul unui medicament ce se eliberează dintr -o formăfarmaceutică se supune legii lui Higuchi, dacă verifică formula:


18/23

Calcul Integral

18

t

At )( .

Cantitatea de medicament eliberată dupa un timp t este:

t Adx x

Adx xt Q t t 2)()(00 .

Calcul aproximativ de integrale.

Aplicaţii în farmacocinetică.

În acesta secţiune dăm câteva metode aproximative a integralei unei funcţii

continue f definite între limitele a şi b: ba

dx x f )( în cazul în care sau funcţia f este

dată experimental sau calculul primitivei F de f este imposibil.

1). Formula dreptunghiurilor


19/23

Calcul Integral

19

Fie funcţia f: [a, b] R de clasă C1 (continuă cu derivata de ordinul I continuă)măsurată experimental în puncte echidistante a domeniului de definiţie( n xb x x xa ,...,,, 210 ) unde

121unde ,..., n ,i=i,n

b-a=a+ xi

Fie sumele

n

i=in

n-

i=in x f

n

b-a=S x f

n

b-a=S

1

'1

0

sau (7.7)

Are loc aproximarea'sau)( n

ba n S S dx x f

Observaţie: Eroarea e aproximare

x f [a,b] xn

b-a

max

2


20/23

Calcul Integral

20

Fig. 7.5 Metoda dreptunghiurilor.

2). Formula trapezelor

Fie f:[a, b] R de clasă C2 (continuă cu derivate a II-a continuă) măsuratăexperimental în puncte echidistante a domeniului de definiţie( n xb x x xa ,...,,, 210 )

121unde ,..., n ,i=i,n

b-a

=a+ xi Fie suma

f x

xO … x n-1 x n x n+1

f

An-1 An

A’n An+1

A’n+1


21/23

Calcul Integral

21

+f(b)n-

i=

) f(x f(a)+n

b-a=S in

1

1

22

(7.8)

Are loc aproximarea

)( ba nS dx x f .

Observaţie: Eroarea de aproximare

|f''(x)|[a,b] xn

b-a

max

212

3.

Fig. 7.6 Metoda trapezelor.

f (x)

O x… xn-1 xn xn+1

G f

An-1

An

An+


22/23

Calcul Integral

22

3). Formula lui Simpson. Fie f:[a, b] R de clasă C2 (continuă cu derivate a II-a continuă) măsuratăexperimental în puncte echidistante a domeniului de definiţie

,..., ,i=i,n

b-a=a+i x 21unde

Fie suma

)()(2)(4)(

3

2/)2(

0

2/)2(

1

212 b+f x f x f +a f

n

b-a=S

n-

i=

n-

i=

iin (7.9)

Observaţie: n- este numarul de intervale (n+1 de puncte)Are loc aproximarea

)( ba n

S dx x f .

Observaţie:

2/)2(

0 12

)(n-

i= i

x f şi 2/)2(

1 2

)(n-

i= i

x f sunt sumele termenilor de rang

impar, respective, par, ai termenilor şirului.


23/23

Calcul Integral

23

Eroarea de estimare este diferenţa dintre integrala funcţiei f şi suma ce oaproximează. În cazul metodei Simpson, eroarea este mai mică decât cea atrapezului, prin urmare metoda Simpson este mai precisă decât metoda trapezului.

calcul integral (1)

Documents