09. calcul integral
TRANSCRIPT
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
1/42
CAPITOLUL 9
CALCUL INTEGRAL
9.1. INTEGRALE GENERALIZATE
9.1.1. INTEGRALE CU LIMITE INFINITE
BREVIAR TEORETIC
Definiie. Fie Raf ),[: o funcie integrabil pe orice interval
compact acca >],,[ . Dac
c
acdxxf )(lim existi este finit,
spunem c
a
dxxf )( este convergenti vom nota
=
c
aca
dxxfdxxf )(lim)( .
Criteriu de convergen. Fie 0)(,0,),[: >> xfaRaf ,),[ ax . Dac RLxfx
x=
)(lim , atunci:
1) pentru 1> , rezult c a
dxxf )( este convergent.
2)pentru 1
i 0
L , rezult c
a dxxf )( este divergent.
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
2/42
PROBLEME REZOLVATE
1. Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor
integrale i n caz de convergen s se determine valoareaacestora:
)a
=a
kxRkdxeI ,1 ; )b dx
xI
+=
0
22 2
1 ;
)c dxxx
I
++=
126
123
; )d Rdxx
I =
,1
1
4;
)e
=0
5 cosxdxxI ; )f dxxx
I
++=
126 65
1 .
Rezolvare:
)a Vom aplica definiia din breviarul teoretic.
Funcia kxexfRaf = )(,),[: este integrabil pe orice
interval compact acca >],,[ . Studiem existena i valoarea limitei:
( ) kcc
kakakc
c
c
a
kx
ce
kk
eee
kdxeL
=== lim
11limlim ,
pentru 0k .
Pentru 0>k avem kakcc
ek
Le
==
10lim , prin urmare
integrala este convergenti ka
a
kxe
kdxe
= 1 .
Pentru 0
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
3/42
)b Aplicm definiia. Funcia2
1)(,]0,(:
2 +=
xxfRf
este integrabil pe orice interval compact 0],0,[ > cc . Vom studialimita:
=
++=
+=
2ln2lnlim
2
1lim
02
0
2 ccccxxdx
x
L
2ln
2
2lnlim2ln2lnlim
2
2 =
++
=
++
cc
cc
cc
,
prin urmare integrala 2I este convergenti 2ln2
10
2=
+
dxx
.
)c Funcia126
1)(,:
2 ++=
xxxfRRf este integrabil pe
orice interval compact 0],,[>
ccc . Vom studia limita:=
+=
++=
++=
33
3
1lim
3)3(
1lim
126
1lim
22
xarctgdx
xdx
xxL
c
c
cc
c
cc
3223
1
3
3
3
3lim
3
1 =
+=
+
+=
carctg
carctg
c, rezult
c integrala 3I este convergenti3126
123 =++=
dxxx
I .
)d Funciax
xfRf1
)(,),1[: = este integrabil pe orice
interval compact 1],,1[ >cc . Studiem existena i valoarea limitei:
=c
cdx
x
L
1
1lim
. Pentru 1 avem:
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
4/42
+
=
+==
1
1
1
1
lim1
1
1
1
1lim
1lim c
xdx
xL
c
c
c
c
c;
Dac =< L1 , rezult c integrala este divergent. Dac
1
11
=>
L , deci integrala este convergent.
Dac ====
cdxx
Lc
c
c
lnlim1
lim11
, prin urmare
integrala este divergent.
)e Aplicm definiia. Funcia xxxfRf cos)(,]0,(: = este integrabil pe orice interval compact 0],0,[ > cc . Vom
studia limita:=
===
00
00
sinsinlim)'(sinlimcoslimc
ccc
cc
cxdxxxdxxxxdxxL
( ) )(limcos1
sinlimcos1sinlim cfc
c
cccccc
ccc =
+=+= ;
pentru =+= )(lim2 2nnn xfnx
;
pentru ==
)(lim2 '2'
nn
n xfnx , prin urmare nu exist
0
coslimc
cxdxx , deci integrala
=0
5 cosxdxxI este divergent.
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
5/42
)f Funcia65
1)(,),1[:
2 ++=
xxxfRf este integrabil
pe orice interval compact 1],,1[ > cc . Studiem limita:
=+
=++
=
c
c
c
cdx
xdx
xxL
12
212
25
12 )()(
1lim
65
1lim
2ln2
1ln
3
2lnlim
3
2lnlim
1
=
+
+=
+
+=
c
c
x
x
c
c
c, prin urmare
integrala 6I este convergenti 2ln651
126
=++
=
dxxx
I .
2. Utiliznd criteriul de convergen, s se studieze naturaurmtoarelor integrale, iar n caz de convergen s se afle valoareaacestora:
)a
+=
06
2
1 1dx
xxI ; )b
++=
132 32
43 dxxx
xI ; )c
1
2dx
xarctgx .
Rezolvare:
)a Funcia6
2
1)(,),0[:
x
xxfRf
+= , are proprietatea c
),0[,0)( > xxf . Deoarece 11
lim6
2 =+ xxx
x
, pentru
14 >= rezult, conform criteriului de convergen enunat nbreviarul teoretic, c integrala este convergent.Valoarea integralei este:
==
=
+=
c
c
c
ccarctgcarctgxdx
x
xI
0
3
0
36
2
63
1lim
3
1lim
1lim
.
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
6/42
)b Funcia3 32
43)(,),1[:
+
+=
xx
xxfRf , are proprietatea
c ),1[,0)( > xxf . Deoarece 33 2
3
32
43lim =+
+
xx
xxx
,
pentru 13
1 ,1,0)( xxf . Deoarece22
lim = x
arctgxx
x
pentru
12 >= rezult, conform criteriului de convergen, c integralaeste convergent. Valoarea integralei este:
( )( )
=
++==
c cc
cxc xx
dxarctgx
xdxarctgxI
1 121
'1
1
1limlim .
( ) ( )=
++=
++=
2
121
41
2221
4 1lim
1
2lim
c
c
c
c tt
dt
xx
xdx
2ln2ln1
lnlim21
421
2
2
21
4+=+
++=
c
c
c.
3. S se studieze natura integralei: Rmdxxx
xIm
+=
,1422
2 .
Rezolvare:
Funcia142
)(,),2[:2 +
=xx
xxfRf
m
, are proprietatea c
),2[,0)( > xxf .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
7/42
Avem c2
1
142lim
2=
+
xx
xx
m
x
daci numai dac
mm ==+ 22 . Rezult c:
Pentru 112 = mm , integrala este convergent. Pentru 112 = mm , integrala este divergent.
4. S se determine valorile parametrului Rn pentru care
integrala dxx
xI
n
+=
011 35
12
825este convergent.
Rezolvare:
Funcia11 35
1
825)(,),0[:
2
+=
x
xxfRf
n
, are proprietatea c
),0[,0)( > xxf .
1111 35
12
25
1
825lim =
+
x
xx
n
x
daci numai dac
21146
11351
2
nn==+ .
Ca urmare a aplicrii criteriului de convergen, avem c integrala
este convergent daci numai dac11
701
211
46= n
n .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
8/42
PROBLEME PROPUSE
Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i
n caz de convergen s se determine valoarea acestora (notatI ):1. Radxxe ax
,
0
R: divergent dac 0a ; convergent
dac 0>a i 21a
I = .
2.
+02
42
1
xx
R: convergent,9
32=I .
3.
0
sin xdx R: divergent.
4. dxx
+
0
2 4
1; R: divergent.
5. dxxx
x
++
+
32 34
12 R: divergent.
6. Zdxx
,11
R: divergent pentru 1 , convergent
pentru 1> i( )
=
11 1
I .
7.
dxx sin R: divergent.
8. 0,1
>
adxxax R: convergent pentru ( )1,0a i
a
aaI
2ln
1ln = ; divergent pentru 1a .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
9/42
9.
0
2cos xdx R: divergent.
10. dxx
2
2 11 R: divergent.
11. dx
xxe
3ln
1R: convergenti 2=I .
12. dxx
x
+
1
3 1
12 R: convergenti 2ln
9
3+=
I .
13. dxx
+1
14
R: convergenti2
2=I .
14. Radxxeax
,cos
1
R: divergent dac 0a ; convergent
dac 0>
a i 12 +=
a
a
I .
15. dxx
arctgx
+12 1
R: convergenti32
3 2=I .
16. Rdxx
x
,ln
1
R: divergent dac 1 ; convergent
dac 1> i ( )21
1
= I .
Utiliznd criteriul de convergen pentru funcii pozitive, s sestudieze natura integralelor urmtoare i, dac este posibil, s sedetermine valoarea lor.
17.
1
dx
x
arctgx R: divergent.
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
10/42
18.
+
+
13 65
32dx
xx
x R: divergent.
19.
1
4dx
x
arctgx R: convergenti 2ln61
61
12+= I .
20.
+
1
2 135
1dx
xx
R: convergenti27
34=I .
21.
++
13 5
2
3243 dx
xx
x R: divergent.
22. dxx
23 1
1 R: convergenti 3ln
61
183 = I .
23.
++
+
12
5
42
53dx
xx
x. R: convergent.
S se studieze natura integralelor:
24. Rmdxxx
xm
++
,422
2.
R: convergent dac 1m .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
11/42
26. 2,,34)23(
12
1
7
+
mNmdxxx
x
m
R: convergent dac 7
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
12/42
9.1.2. INTEGRALE DIN FUNCII NEMRGINITE
BREVIAR TEORETIC
Definiie. Fie Rbaf ],(: o funcie integrabil pe orice interval
compact ],(],[ babc i =
)(lim xfax
. Dac dxxfb
a
+
>
)(lim
0
0
existi este finit, vom spune c b
a
dxxf )( este convergenti
vom nota dxxfdxxfb
a
b
a
+
>
=
)(lim)(
00
.
Criteriu de convergen. Fie ],(,0)(,],(: baxxfRbaf > i =
)(lim xf
ax.
1) Dac RAxfax
axax
=
>
)()(lim , pentru 1
, pentru 1 atunci
b
a
dxxf )( este divergent.
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
13/42
PROBLEME REZOLVATE
1. Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelorintegrale i n caz de convergen s se determine valoareaacestora:
)a
=0
321 9
1dx
xI ; )b
+=
2
122 86
1dx
xxI ;
)c ( )
Rpdxax
I
b
a
p
= ,
13 ; )d =
e
dxxx
I1
4 ln
1;
Rezolvare:
)a Fie29
1)(,]0,3(:
xxfRf
= . Cum
+=>
233 9
1lim
xxx
,
rezult c funcia este nemrginit n unul din punctele domeniuluide integrare.Avem c f este continu, deci integrabil pe orice interval compact
]0,3(]0,[ c .Studiem existena i valoarea limitei:
23
3arcsin0lim
3arcsinlim
x-9
1lim
00
0
300
0
3 200
=
+==
>+>+>
xdx ,
deci integrala este convergenti29
10
321
=
=
dxx
I .
)b Fie86
1)(,)2,1[:
2 +=
xxxfRf . Cum +=
>
>
2
100
2
12
00
2
12
00 2
4ln
2
1lim
1)3(
1lim
86
1lim
x
xdx
xdx
xx
=
+=
> 3
5ln
2lnlim
2
1
00
, deci integrala este divergent.
)c Funcia
( )p
ax
xfRbaf
=1
)(,],(: este nemrginiti
integrabil pe orice interval compact ],(],[ babc . Studiem limita:
( )( ) =
=
=
+
>+
>
b
a
pb
ap
axp
dxax
L
1
00
00
lim1
11lim
( )
=
>
ppabp
1
00
1
lim1
1
, pentru 1p .
Dac 1p avem =L , deci integrala este divergent. pentru 1=p avem
( ) +===
=>+
>
+>
lnlimlnlnlim1
lim00
00
00
abaxdxax
Lb
a
b
a
,
prin urmare integrala este divergent.
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
15/42
)d Fiexx
xfRefln
1)(,],1(: = . Cum +=
>
)(lim
11
xf
xx
,
rezult c funcia este nemrginit n unul din punctele domeniuluide integrare.Funcia f este continu, deci integrabil pe orice interval compact
],1(],[ eec .Studiem existena i valoarea limitei:
=+==
>+
>
+>
))1ln(ln(lim)ln(lnlimln1
lim
001
00
100
ee
xdxxx
, deci
integrala este divergent.
2. Folosind criteriul de convergen pentru funcii pozitive s sestudieze natura urmtoaelor integrale i, dac este posibil, s sedetermine valoarea acestora:
)a
2
024
1dx
x ; )b +
4
13 23
1dx
xx ;
)c badxxbax
b
a
> )2()1(
1lim23
1lim2
113
11 xxxx
xx
xx
. Avem c
]4,1(,0)( > xxf i.
( )1
)2()1(
1lim
2
1
1=
+
>
xx
x
x
x
pentru 12 >= , deci, conform criteriului
de convergen, rezult c integrala este divergent.
)c Fie))((
1)(,),(:
xbaxxfRbaf
= . Scriem
21
))((
1IIdx
xbax
b
a
+=
, unde
=c
a
dx
xbax
I
))((
11 i
=b
c
dxxbax
I))((
12 , bca ))((
1lim
xbaxax
axi ],(,0)( caxxf > ;
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
17/42
abxbaxax
axax
=
>
1
))((
1)(lim pentru 1
2
1 ;
abxbaxxb
bxbx
=
dtttab
ttab
ab
ab
cossin)(2cossin)(
1lim
arccos
arcsin 22200
===
>
>
ab
ab
ab
ab
tdt arccosarcsin
00
arccos
arcsin00
2lim2lim .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
18/42
PROBLEME PROPUSE
Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i
n caz de convergen s se determine valoarea acestora (notatI
):1.
=
0
1 21
1
1dx
x
I . R: convergenti2=I .
2. +
=3
122 158
1dx
xxI . R: divergent.
3. ( ) RmdxxbI
b
am = ,
13 . R: convergenti
( )m
abI
m
=
1
1dac 1
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
19/42
S se studieze natura integralelor:
9.
e
dxxx
1
0ln
1. R: divergent.
10.
1
3
2 1
1dx
x
. R: convergenti ( )223ln =I .
Utiliznd criteriul de convergen pentru funcii pozitive s sestudieze natura integralelor, i, n caz de convergen, s sedetermine valoarea lor:
11.( )
+
1
0 3
1dx
xx. R: convergenti
93=I .
12.
3
0 )3(
1dxxx . R: convergenti =I .
13. +
3
22 23
1dx
xx. R: divergent.
S se precizeze mulimea valorilor parametrilor reali pnm ,,pentru care urmtoarele integrale sunt convergente:
14. dxxx
n +1
02
5 4
12 . R:21
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
20/42
9.1.3. INTEGRALE EULERIENEBREVIAR TEORETIC
Integrala gamma: ( ) >=0
1 0; adxexa xa .
Proprieti:1) ( ) 11 = .2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,11 >= aaaa .3) ( ) ( ) ( ) Nnnn = ,!1 .
4) =
2
1.
Integrala beta: ( ) ( ) >>= 10
11 0,0;1, badxxxba ba
Proprieti:1) ( ) ( ) 0,,,, >= baabba
2) ( )( ) ( )( )
0,,, >+
= ba
ba
baba .
2) ( )
( )
+
+
=
0
1
1
, dxx
xba
ba
a
.
3) Dac 1=+ ba , atunci( )
a
basin
),( = .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
21/42
PROBLEME REZOLVATE
S se calculeze urmtoarele integrale:
1. +
+=1
11 dxexI x .
Rezolvare:Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx ===+ 11 .Intervalul de integrare se modific dup cum rezult din tabelul demai jos:
x 1 t 0
Obinem: dtetI t
=0
21
. Prin identificare cu formula de definiie a
integralei gamma, rezult23
211 == aa , prin urmare
) 21
2
1
2
1
2
3 ===I .
2. + =0
25 dxexI x .
Rezolvare:
Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx21
212 === .
x 0 t 0
Obinem: ( )8
15
2
!56
2
1
2
1
2
1
2 660
56
0
5
====
=
dtetdte
tI tt .
3.
+
= dxexI x26 .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
22/42
Rezolvare:Deoarece funcia care trebuie integrat este par, rezult c
+=
0
6 22 dxexI x .
Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 21
21
212 === .
x 0 t 0
8
15
2
1
2
1
2
3
2
5
2
72
00
213 2521 =
=
===
+
+ dtetdttetI
tt .
4. xdxxI3
1
0
ln= .
Rezolvare:
Folosim schimbarea de variabil: dtedxextxtt
===lnx 0 1t 0
==0
30
3 23
2 dtetdteteItt t
Facem transformarea: dydtytyt32
32
23 ===
t 0y 0
( ) ( ) ( )27
324
81
16
81
160
0
3323
32 ====
dyeydyeyIyy .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
23/42
5. =0
2
dxeI x (integrala Euler-Poisson).
Rezolvare:
Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 21
21
212 === .
x 0 t 0
22
1
2
1
0
21
0
21 2
121
=
===
dtetdtteI
tt .
6. 1,ln
1
>
adxx
x
a.
Rezolvare:
Folosim schimbarea de variabil: dtedxextxtt
===ln .x 1 t 0
( )
==0
1
0
dtetdteetItatat .
Folosim schimbarea de
variabil: ( ) dydtytyta aa 11
11
1 === .t 0 y 0
( ) ( )( )
( )222 11
11
01
1 2
===
aa
y
adyeyI .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
24/42
7. Integrala dxeI xx
+=1
15,0 2 are formab
ake
2
. S se
determine valorile parametrilor reali k, a i b .
Rezolvare:
Avem c: ===
+ +
11
1 2 1222
21
dxedxeIxxxx
+
+++
==1
2
1
12
3
2
122
23
2
dxeedxe
xxx
. Folosim schimbarea de variabil:
dtdxtxtx
2122
1===
+.
x 1 t 0
=0
22
23
dteeIt . Folosind faptul c
20
2 =
dte t (integrala
Euler-Poisson), obinem c21
23
23
222
==
eeI , prin urmare
valorile cutate ale celor trei parametri sunt:
2
1,
2
3,1 === bak .
S se calculeze urmtoarele integrale:
8.( )
=1
0 3 2 1 xx
dxI .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
25/42
Rezolvare:
( )
( ) =
=
1
0
1
0 3 231
32
1
1
dxxx
xx
dxI . Prin identificare cu formula
de definiie a integralei beta, obinem:
31
321 == aa ;
32
311 == bb , prin urmare, avnd n
vedere definiia i proprietatea 3 pentru integrala beta, rezult:
( )3
2
sin,
332
31
===I .
9. ( ) =1
0
38 1 dxxxI .
Rezolvare:
Facem schimbarea de variabil dttdxtxtx 32
31
313 === .
x 0 1t 0 1
( ) ( ) ( )12
1
)5(
)2()3(
3
12,311
1
031
1
0
231
31 3
238
=
====
dtttdttttI .
10. ( ) dxxxI =1
0
5,123 1 .
Rezolvare:
Facem schimbarea de variabil: dttdxtxtx 21
21
212 === .
x 0
t 0
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
26/42
Prin urmare, ( ) ( ) === 1
0
1
0
5,12 21
23
61
31
12
11 dttttdxxxI
( ) == 25,3221121
1
0
2
3
3
1
dttt .
11. S se calculeze: a)( )
+=
061
dxx
xI ; b)
+=
061
dxx
xI .
Rezolvare:
a) Prin identificare cu a doua formul de definiie a integralei beta(proprietatea 2), obinem: 211 == aa ; 46 ==+ bba ,
prin urmare ( )( ) ( )
( ) 201
6
424,2 =
== I .
b) Facem schimbarea de variabil dttdxtxtx 65
61
616 === .
x 0
t 0 ( )
===
+=
+=
0 332
31
1
061
93
sin61
,61
161
161 3
2
656
1
t
tdtt
t
tI .
12. Integrala ( ) ( )=
2
0
6,04,1 cossin
dxxxI are forma ),( qpk ,
unde 0,;,, > qpRqpk . S se afle valorile paramertilor qpk ,, .
Rezolvare:
Folosim schimbarea de variabil: dtxdxxtx == cossin2sin2 .x 0
2
t 0 1Transformm funcia care trebuie integrat astfel:
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
27/42
==
2
0
6,14,0 cossin2)(cos)(sin2
1
xdxxxxI
=2
0
8,022,02 cossin2)(cos)(sin21
xdxxxx . Obinem:
( )2,0;2,12
1)1(
2
1 1
0
8,02,0 == dtttI , deci 2,0;2,1;
2
1=== qpk .
13. S se calculeze integrala:( )( ) +
=3
4 6 534 xx
dxI .
Rezolvare:
Integrala se poate scrie: ( ) ( )
+=3
4
65
61
34 dxxxI .
ncercm s facem schimbarea de variabildtdxtxtx ===+ 44 .
x 4 3t 0 7 Se observ c intervalul de integrare devine ( )7,0 , prin urmare,
pentru a ajunge la intervalul ( )1,0 , vom folosi schimbarea de
variabil dtdxtxtx
747
7
4===
+.
x 4 3 t 0 1
Obinem: ( ) ( ) ( ) ===
1
0
1
0
65
61
65
61
65
61
17777777 dtttdtttI
( ) ( )
2
sin
,,66
5
6
1
6
1
6
5 ==== .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
28/42
PROBLEME PROPUSE
S se calculeze valoarea urmtoarelor integrale:
1.
0
36 dxex x R: 24380 2.
0
72
dxex x R: 3;
3. ( ) dxxx 1
0
52 R:2772
14.
+
dxexx
24R:
4
3
5.
1
0
2dxxx R:
8
6.
+
dxe
x 2R:
7. ( )
+1
151 dxex x R: 8. ( ) dxxx
+0
1
32 1 R:601
9.
05
dxexx
R: 120 10.
+0 2 23dx
e
xx
xR: -1
11. ( ) 1
0
6314 1 dxxx R: 69301
12.
( )
1
0 3 2 1
1dx
xx
R:3
32
13. dxxx 2
0
22 4 R: 14.( )
+06
4
1dx
x
xR:
51
15.
( ) dxxx 1
0
42R:
630
116.
( )
1
0 6 5 1
1dx
xx
R:2
17. ( )1
0
5ln dxxx R:8
15 18. 0,
0
222 > adxxaxa
R: 16
4a
19.
+041
1dx
xR:
22
20.
++2
25)2( dxex x R: 120
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
29/42
21.
( )
1
0 4 3 1
1dx
xx
R: 2 22.
0
2
2
dxe
x
R:2
2
23. 0;0
> ndxe
nxR:
nn
11
24. 0,;0
>
nmdxexnxm
R: ( )n
m
n
11 +
25.
( )
2
27
2 dxexx
R:
!726.
0
dxex
R:
2
27. 2/
0
53 cossin
dxxx R:121
28. +
0
7 5 7dxex
xR: !117
29. dxxx
0
3
24 9 R: 32729
30. +
dxex
22
R: 2 31.( )
+032
10
21dx
x
xR: 2
32. dxx
1
0
1ln R: 2
33.
( ) ( )
+
1
3 6 5 13 xx
dx R: 2
34. Nndxex xn
;
2
R: 0 , dac n impar; ( )( )
22
!!121 n
nn
= + ,
dac n par
35. ( )
++1
131 dxex x R: -3! 36.( )( )
3
1 13dx
xx
dx R:
37.
e
dxxxx1
43 )ln1(ln1
R:280
1 38.
+0 6
4
1dx
x
xR:
3
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
30/42
39. a
dxxax
0
224R:
32
6a
40. + +
1
422 dxe xx R:32e
41.
+0
242
7
21 dx
xx R:
524
42. dxxx 3
0
25 9 R:35
583243. Nndxex
nxn
;0
2R: ( )
nn
n 13
1
+
44.
0
13dxex
x
R: e6
45. ( ) 0;ln1
0
11 >
pdxp
xR: ( )p 46.
( )
+023
4
21dx
x
xR:
27
23 3
47.
+
1
322 dxe xx R:
2
4 e48. ( ) ( )
1
151 dxexn
x R:1
49. Nndxexxn
;
0
2
R: 50.
+08
3
1dx
x
xR:
8
51. dxxx
0
4
26 16 R: 1280
52. ( ) 10
435 1 dxxx R:901 53. 2/
0
24 cossin dxxx R:
54.( )
+03 1
1dx
xxR:
32
55. ( ) 1
0
438 1 dxxx
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
31/42
56.
+061
1dx
xR:
3 57.
( )
+023 1
1dx
xx
R:3
58.
( )
+024
2
1dx
x
x R:28
59. Nnmdxxxnm
,;cossin2/
0
1212
R:( ) ( )
( )!12!1!1
+
nm
nm
60.
++dxe
xx 12 2R:
2
89
e61.
*2
;12
1
Nnn
x
n
+
+
62.
++dxe
xx 142 2R:
2
23 e63.
+04
2
1dx
x
xR:
4
2
64.
2
22 dxex x R:2
65.
1
13dxex
xR:16
66. ( ) 1
0
523 1 dxxx R:841
67.
( )
+032
4
21dx
x
xR:
128
23
68. Integrala dxeIxx
+
= 1
563 2
are forma bake , unde
Rbak ,, . S se afle valorile parametrilor bak ,, .
R:21
63 ,8, === bak .
69.Integrala = 2/0
42 cossin
dxxxI are forma ak unde
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
32/42
Rak , . S se determine valorile parametrilor ki a .
R: 1;321 == ak .
70. Integrala )(0
45,2 3 badxexI x ==
, unde 0;, > bRba . S
se determine valorile parametrilor a i b .
71. Integrala ( ) ==1
0
8,436,3 ),(1 qpkdxxxJ , unde
0,;,, > qpRqpk . S se determine valorile parametrilor qpk ,, .
72. S se calculeze 0,0,)1(
)1()1(1
12
1212 >>+
+=
+
nmdxx
xxT
nm
nm .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
33/42
9.2. INTEGRALE DUBLE
BREVIAR TEORETIC
Fie 2RD un domeniu mrginit i RDf : o funcie
integrabil pe D . Calculm ( )=D
dxdyyxfI , .
Reguli de calcul
1. DacD este dreptunghiul [ ] [ ]dcba ,, , atunci:
( )
=
=
d
c
b
aD
b
a
d
c
dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf ),(),(,
2. Presupunem cD este undomeniu nchis, simplu in raport cuaxa Oy , adic ( ) ( ) ( )xyxbxaRyxD = ,/, 2 , iarfuncia ( )yxfy , este integrabil pe ( ) ( )[ ]xx , . Atunci:
( ) ( )
=
D
b
a
x
x
dxdyyxfdxdyyxf)(
)(
,,
.
3. Presupunem cD este undomeniu nchis, simplu in raport cuaxa Ox , adic ( ) ( ) ( )yxybyaRyxD = ,/, 2 , iarfuncia ( )yxfx , este integrabil pe ( ) ( )[ ]yy , . Atunci:
( ) ( )
=
D
b
a
y
y
dydxyxfdxdyyxf)(
)(
,,
.
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
34/42
4. Schimbarea de variabiln integrala dubl: trecerea de lacoordonate carteziene la coordonate polare.
Considerm transformarea: sin,cos==
yx , unde[ ] 2,0,0 . Rezult c dac ( )yx, parcurge domeniul D ,
atunci ( ), parcurge domeniul [ ] [ ]2121* ,, = rrD , unde
[ ] [ ) ,0, 21 rr i [ ] [ ] 2,0, 21 . n aceste condiii, rezult c:( ) =
*
sin,cos),(DD
ddfdxdyyxf .
Observaie. DacD este un domeniu nchis i mrginit, atunci ariasuprafeei D este: ( ) =
D
dxdyDAria .
Formule ce vor fi utilizate: ecuaia dreptei ce trece prin punctele ( )11, yxA , ( )22 , yxB
este:011
1
2211
=
yxyx
yx
.
ecuaia cercului cu centrul ( )baA , i raza r este:( ) ( ) 222 rbyax =+ .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
35/42
PROBLEME REZOLVATE
1.
Se consider [ ] [ ]0,11,0=
D i ,: RRf
( ) 12, 32 += xyyxyxf . S se calculeze ( )
D
dxdyyxf , .
Rezolvare:
( ) ( ) =
+=
+=
=
=
dxyxyyxdxdyxyyxIy
y
1
0
0
1
44122
1
0
0
1
32 12
( ) .24
191
8
1
3
1
831
1
0
231
0412 =++=
++=++= x
xxdxxx
2. S se calculeze ( ) =D
dxdyyxI 2 , unde
( ) 132;10, 22 += xxyxxRyxD .
Rezolvare:
Deoarece domeniul D este simplu n raport cu axa Oy , obinem:
( )
=
+
1
0
13
2
2 .
2
dxdyyxIxx
x
Avem c:
( )2
32
2
113
2
23422
++=+
xx
x
xxxxdyyx , prin urmare
6071
1
0
234
2
32
2
1=
++= dxxxxxI .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
36/42
3. S se calculeze =D
dxdyI , unde
( ){ }2,2, 22 = xxyxyRyxD .Rezolvare:
Considerm funciile RRff :, 21 , 2)(2
1 = xxxf ,
2)(2 =xxf . Determinm punctele de intersecie ale graficelor
celor dou funcii, rezolvnd sistemul
=
=
2
22
xy
xxy i gsim
punctele ( )2,0
A i ( )0,2B . Domeniul D este dat de suprafaahaurat.
Observm cD se mai poate exprima astfel:
( ) 22,20, 22 = xyxxxRyxD , deci D estesimplu n raport cu axa Oy . Prin urmare, integrala devine:
( )34
2
0
22
0
22
2
0
2
2
222
==
=
=
==
dxxxdxydxdyIxy
xxy
x
xx
.
0
y=f1(x)
y=f2(x)
A(0, -2)
B(2, 0) x
y
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
37/42
4. S se calculeze =
D
xdxdyI , undeD este domeniul din figur.
Rezolvare:
Ecuaia dreptei AC este: 220120
101
1
=+= yx
yx.
Ecuaia cercului de centru ( )1,0 si raz 1 este:( ) ( ) 02110 2222 =+=+ yyxyx .
Coordonatele punctului B se determin rezolvnd sistemul:
==
==
=+
=+
5
2
,5
4
2,0
02
2222
yx
yx
yyx
yx ; obinem ( )2,0A i )52
54 ,B .
Considerm domeniul simplu n raport cu axa Ox . Cu notaiile dinbreviarul teoretic, punctul 2, avem:
2,52 == ba ; ( ) ( ) ( )yyyxyx ===+ 2222
21
21 ;
( ) 2222 2202 yyyyyxyyx +===+ . Rezult:
(0, 0)C(1, 0)
(0, 1)
A(0, 2)
D
B
x
y
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
38/42
( )7532
41252
22
81
2 222 2
52
52
2
22
52
2
22
=+=
=
=
dyyydyx
dyxdxI
yyyy
yy
.
5. S se calculeze =D
dxdyI , unde domeniulD este dat de
suprafaa haurat.
Rezolvare:
Ecuaia dreptei 1d este: 10
121
110
1
+== xy
yx
.
Ecuaia dreptei 2d este: xy
yx
== 30
112
121
1.
Dorim s integrm pe domenii simple n raport cu Oy . Vom descompune
D n reuniune a dou domenii 21 ,DD care au interioarele disjuncte:
(1, 2)
(2, 1)
2
1
x
y
O
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
39/42
Pentru 1D avem 1)(,0)(;1;0 +==== xxxba
=
+=+=
==
+
D
x
xxdxxdxdydxdyI
1
0
1
0
1
0
21
01 2
3
2
1
)1( .
Pentru 2D avem xxxba ==== 3)(,0)(;2,1 .
2
33
23)3(
2
1
2
1
2
1
23
02 ===
==
xdxxdxdydxdyI
x
D
.
Rezult c 321 =+= III .
6. S se calculeze +=D
dxdyyxI 22 , unde
( ) 0;94, 222 += yyxRyxD .
Rezolvare:
Folosim trecerea la coordonatele polare:
[ ) [ ]
2,0,,0,
sin
cos
=
=
y
x
+
0
32
0
94 22
y
yx
O x
y
1
(1, 2)
D1D2
(1, 2)
O 1 2 x
y
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
40/42
Vom avea: = 0,32),( 2* RD i dddxdy = .
3191931 00
3
222
*==
== dddddI
D.
7. S se calculeze aria discului de raz r, unde 0>r .
Rezolvare:
Avem de calculat aria domeniului ( ) 2222 /, ryxRyxD += .Conform observaiei din breviarul teoretic, aria domeniului D esteegal cu
D
dxdy .
Folosim trecerea la coordonatele polare :
[ ) [ ]
2,0,,0,sin
cos
=
=
y
x
( ) [ ] [ ] 2,0,,0, 222 + rryxDyx . Prin urmare,
20,0),( 2* = rRD i dddxdy = . Prinurmare,
22
0
22
0 0 2*rd
rdddddxdy
r
DD
==
==
.
8. S se calculeze +=
D
yxdxdyeI
22
unde
( ) yxyxRyxD += 0,41, 222 .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
41/42
Rezolvare:
Folosim trecerea la coordonatele polare:
[ ) [ ]
2,0;,0,
sin
cos
=
=
y
x.
( ) [ ]
+
2,
4,2,10,41, 22
yxyxDyx .
Avem: ( )24
2* ,21, = RD i
dddxdy = . Rezult:
=
== +
2
4*
2222 2
1sincos
ddeddeID
( ) 22222
1
2
1 42
2
4
2
4
2
4
eedeeeeddee ==+=
=
.
PROBLEME PROPUSE
1. S se calculeze +D
dxdyxyyx 725 3 unde
[ ] [ ]2,10,2 =D . R: 10 .
2. S se calculeze
+
D
dxdyx
yx unde
( ) 10,31, 2 = xyxRyxD . R: 3ln21
314 + .
3. S se calculeze ++D
dxdyyx 1
1, unde
( ) 0,0;3,1, 2 += yxyxxyRyxD . R: 2ln2 .
-
8/6/2019 09. Calcul Integral
42/42
4. S se calculeze ( ) +D
ydxdyxxy 32
unde ( ) 31;21, 222 ++= xxyxxRyxD . R:154
.
5. S se calculeze
D
dxdyx
y 4 unde
( ) 112,41, 22 += xyxxRyxD . R:9
229.
6. S se calculeze D
dxdyx
y, unde
( ) 22 12,21, xyxxRyxD = . R: 2ln2187 .
7. S se calculeze +
D
yx dxdye )(22
unde unde
( ) 0,0,16, 222 += yxyxRyxD . R:4
1 16 e.