Download - Calcul Integral (1)
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
1/23
Calcul Integral
1
4. Calcul Integral
Definiţia noţiunii de integrală definită. Proprietăţi. Exemple. Considerăm aria mărginită de funcţia y = f ( x) şi axele verticale a x şi b x
( ],[ ba x ).
Funcţia )( x f y şi diviziunea asociată.
a 1
1 x 2 2 x 2n
x 1n
x b xn
1n n
y
x
)( x f y
O
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
2/23
Calcul Integral
2
Împărţim intervalul ],[ ba prin n+1 puncte x0 , x1 , ..., xn alese astfel încât
b x x xan
...10
. Sistemul ),...,,,(210 n
x x x x astfel ales se numeşte
diviziune a intervalului ],[ ba . În fiecare interval format
),(...,),,(),,( 1211 b x x x xa n alegem sistemul de n puncte )...,,,( 21 n astfel
încât ni x x ii ,1,1 . Sistemul se numeşte sistem de puncte intermediare
asociat diviziunii . Considerăm suma
))((...))(())(( 112211 nn xb f x x f a x f
unde am luat a x 0 şi b xn , notând prin 1 k k k x x x pasul consideratsuma anterioară poate fi scrisă ca şi
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
3/23
Calcul Integral
3
n
k k k
n
k k k k x f x x f
111 )())((
Geometric această sumă reprezintă aria tuturor dreptunghiurilor din figura
anterioară.
Pentru a obţine o aproximaţie mai bună pentru arie, mărim numărul n de
subdiviziuni. Astfel, considerăm 0 k x în suma anterioară şi putem trece la,
limită, notăm această limită prin
n
k k k
n
ba
x f dx x f 1
)(lim)(
Aceasta se numeşte integrala definită a funcţiei f(x) între a şi b. Capetele
intervalului a şi b se numesc limitele de integrare.
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
4/23
Calcul Integral
4
Limita anterioară există când f ( x) este continuă pe ],[ ba . Dacă aceasă limită există
spunem că f este integrabilă Riemann sau simplu integrabilă pe ],[ ba .
Proprietăţi: P1. f: [a, b] R monotonă rezultă f integrabilă.
P2. f: [a, b] R continuă rezultă f integrabilă. P4. f: [a, b] R , a
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
5/23
Calcul Integral
5
P9. (Teorema de medie). f: [a, b] R continuă rezultă c [a, b] astfel încât
cdx=f x f b-a
ba
1
Integrale uzuale
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
6/23
Calcul Integral
6
Exemplu: Calculaţi integrala erf(z)= z t dt e02
2 (funcţia erorii a lui Gauss)
pentru z=1,2,..,7. Soluţie: Folosind funcţia ERF din pachetul Engineering cu parametrii
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
7/23
Calcul Integral
7
ERF(z), z=0,1,2,..,7.O bţinem
z ERF(z)0 01 0.8427012 0.9953223 0.9999784 1
5 16 17 1
Observăm ca limita funcţiei este 1.
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
8/23
Calcul Integral
8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2 4 6 8 10
Graficul pentru ERF( z ), z=0,1,2,..,7.
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
9/23
Calcul Integral
9
Definiţia noţiunii de integrală nedefinită.
Exemple.
Definiţie: Fie R R I f : o funcţie reală. Funcţia R I F : este primitivă a funcţiei f pe interavalul I dacă F este derivabilă pe I şi are loc
I x x f dx
dF x F ),()('
Prin urmare din relaţia x=f dxdF
=+ x F dx
d
constanta rezultă teorema
Teoremă. Dacă f admite o primitivă pe I rezultă f admite o infinitate de primitive pe I .
Notaţie. Mulţimea primitivelor funcţiei f pe I se notează cu dx x f )(
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
10/23
Calcul Integral
10
Definiţie: dx x f )( se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f pe I .
Integrala nedefinită se poate exprima ca şi o integrală definită scriind
xc
dt t f dx x f )()(
unde c este o constantă. Legătura dintre cele două fiind variabila x care apare în
integrala definită ca şi capăt al unui interval. Acestă notaţie subliniază că integrala
definită depinde doar de limitele de integrare şi nu de variabila care in tervine subsemnul integrării, aceasta putând fi notată cu orice altă literă.
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
11/23
Calcul Integral
11
Teoremă (de calcul a primitivelor):
Fie f o funcţie integrabilă pe intervalul închis [a, b], ],[ bac atunci primitiva sa F se calculează astfel
],[,)()( ba xdt t f x F x
c
Dacă, în plus, f este continuă pe (a,b), atunci oricare ar fi x, ],[ bac avem
)()()( c F x F dt t f xc
În general avem )]([)]([)()()(
xv F xu F dt t f xv xu
.
Exemplu:
1) )sin()cos()cos(
)sin(
)cos(
)sin(
][ x x x
x
t x
x
t eeedt e .
2) }1{\),0(,,|ln|lnln
1)'(ln
ln
1 xC C xdx
x xdx
x xR .
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
12/23
Calcul Integral
12
3) R C C edxe xdxe x x x x ,)'2(3 22322 333
.
Metode de calcul a primitivelor. Exemple.
(1) Schimbarea de variabilă
Se face transformarea,
şi avem
unde trebuie să facem înlocuirea
.
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
13/23
Calcul Integral
13
Dacă integrala este definită avem:
unde
, sau .
Exemplu: Calculaţi
Facem schimbarea de variabilă
şi avem
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
14/23
Calcul Integral
14
Integrala devine
Exemplu: Calculaţi
Fie
Pentru limite avem:
Atunci integrala devine
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
15/23
Calcul Integral
15
(2) Integrarea prin părţi
Fie u şi v două funcţii diferneţiabile. Avem:
Prin integrare obţinem:
Formula de mai sus poate fi scrisa în una din formele de mai jos
sau
unde
şi
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
16/23
Calcul Integral
16
Exemplu: Calculaţi
a) Integrând prin părţi avem
b)
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
17/23
Calcul Integral
17
Exemplu: Introducerea unui nou medicament pe piaţă, în condiţiile în care existădeja în uz acelaşi tip de medicament, dar produs de o altă firmă sau într -o altăformă medicamentoasă, impune verificarea echivalenţei noului medicament cucele deja existente, pentru a afla dacă este într-adevăr mai eficient. Pentruacceptarea noului medicament, se compară curbele de concentraţie plasmatică alesubstanţei active administrată în cele două forme, prin următorul calcul:
dx xc xcccd 10 2121
|)()(|),( ,
Unde )( xci , ],0[ t x , este funcţia ce defineşte concentraţia plasmatică asubstanţei active în intervalul de timp ],0[ t .Se spune că astfel am definit o metrică de bioechivalenţă, distanţă ce estesensibilă la diferenţele în ceea ce priveşte concentraţia maximă şi timpul deatingere al ei.
Exemplu: Se consideră că fluxul unui medicament ce se eliberează dintr -o formăfarmaceutică se supune legii lui Higuchi, dacă verifică formula:
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
18/23
Calcul Integral
18
t
At )( .
Cantitatea de medicament eliberată dupa un timp t este:
t Adx x
Adx xt Q t t 2)()(00 .
Calcul aproximativ de integrale.
Aplicaţii în farmacocinetică.
În acesta secţiune dăm câteva metode aproximative a integralei unei funcţii
continue f definite între limitele a şi b: ba
dx x f )( în cazul în care sau funcţia f este
dată experimental sau calculul primitivei F de f este imposibil.
1). Formula dreptunghiurilor
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
19/23
Calcul Integral
19
Fie funcţia f: [a, b] R de clasă C1 (continuă cu derivata de ordinul I continuă)măsurată experimental în puncte echidistante a domeniului de definiţie( n xb x x xa ,...,,, 210 ) unde
121unde ,..., n ,i=i,n
b-a=a+ xi
Fie sumele
n
i=in
n-
i=in x f
n
b-a=S x f
n
b-a=S
1
'1
0
sau (7.7)
Are loc aproximarea'sau)( n
ba n S S dx x f
Observaţie: Eroarea e aproximare
x f [a,b] xn
b-a
max
2
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
20/23
Calcul Integral
20
Fig. 7.5 Metoda dreptunghiurilor.
2). Formula trapezelor
Fie f:[a, b] R de clasă C2 (continuă cu derivate a II-a continuă) măsuratăexperimental în puncte echidistante a domeniului de definiţie( n xb x x xa ,...,,, 210 )
121unde ,..., n ,i=i,n
b-a
=a+ xi Fie suma
f x
xO … x n-1 x n x n+1
f
An-1 An
A’n An+1
A’n+1
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
21/23
Calcul Integral
21
+f(b)n-
i=
) f(x f(a)+n
b-a=S in
1
1
22
(7.8)
Are loc aproximarea
)( ba nS dx x f .
Observaţie: Eroarea de aproximare
|f''(x)|[a,b] xn
b-a
max
212
3.
Fig. 7.6 Metoda trapezelor.
f (x)
O x… xn-1 xn xn+1
G f
An-1
An
An+
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
22/23
Calcul Integral
22
3). Formula lui Simpson. Fie f:[a, b] R de clasă C2 (continuă cu derivate a II-a continuă) măsuratăexperimental în puncte echidistante a domeniului de definiţie
,..., ,i=i,n
b-a=a+i x 21unde
Fie suma
)()(2)(4)(
3
2/)2(
0
2/)2(
1
212 b+f x f x f +a f
n
b-a=S
n-
i=
n-
i=
iin (7.9)
Observaţie: n- este numarul de intervale (n+1 de puncte)Are loc aproximarea
)( ba n
S dx x f .
Observaţie:
2/)2(
0 12
)(n-
i= i
x f şi 2/)2(
1 2
)(n-
i= i
x f sunt sumele termenilor de rang
impar, respective, par, ai termenilor şirului.
-
8/18/2019 Calcul Integral (1)
23/23
Calcul Integral
23
Eroarea de estimare este diferenţa dintre integrala funcţiei f şi suma ce oaproximează. În cazul metodei Simpson, eroarea este mai mică decât cea atrapezului, prin urmare metoda Simpson este mai precisă decât metoda trapezului.