bogdan negrea-evaluarea activelor financiare

8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare

1/107

Evaluarea activelor financiare

Bogdan NEGREA

Doctor n stiinte economice al universitatii Paris I Panthon-Sorbonne. Lector la Catedra de Moneda,

ASE Bucuresti. Cercetator asociat TEAM/CNRS, Universit Paris I Panthon-Sorbonne.

1


2/107

2

Evaluarea activelor financiare

Bogdan NEGREA

Copyright c 2006


3/107

3

Cuprins

Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale . . . . . . . 7

1.1. Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Optiunea de cumparare europeana (optiunea calleuropeana) . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. Optiunea de vnzare europeana (optiuneaputeuropeana ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1.1.3. Opt i uni ameri cane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4. Optiuni in the money, at the moneysi out of money . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5. Piata optiunilorsi activele-suport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.2. Evaluarea optiunilorsi arbitrajul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Valoarea teoretica a unei opt i u n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

1.2.2. A r b i t r a j u l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

1.3. Paritateacall-putpentru opt iuni le europene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.4. Limita superioarasi inferioara a pretului unei opt i u n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

1.4.1. Limita superioara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

1.4.2. Limita inferioara a unuicalleuropean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3. Limita inferioara a unuiputeuropean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5. Factorii care determina valoarea unei optiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

2.1. Miscarea browniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4


4/107


5/107

5

4.5.1. Procesul stocastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5.2. Pretul obligatiunii zero-cupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


6/107

6


7/107

Capitolul I: Optiunile. Definitii, pro-

prietati si principii fundamentale

1.1. Definitii

O optiune reprezinta un contract ntre doua parti: cumparator - numitsi detinator - si

vnzator.

Acest contract confera detinatorului optiunii dreptul, dar nusi obligatia, de a cumpara

(optiune de cumparare) sau de a vinde (optiune de vnzare) un bun dat, numit activ-suport,

la un pret fix, numit pret de exercitare, la o data viitoare specificata (n cazul optiuniieuropene) sau n orice moment nainte de aceasta data (n cazul optiunii americane).

1.1.1. Optiunea de cumparare europeana (optiunea call europeana)

Sa examinam o optiune de cumparare (call) europeana asupra a 100 de actiuni Volkswa-

gen, cu scadenta la sfrsitul lunii decembrie 2004, la un pret de exercitare de 120 euro/actiune

(presupunem ca astazi ne aflam n data de 10 septembrie 2004si actiunea Volkswagen este

cotata la 140 euro). Aceasta optiune de cumparare europeana da dreptul detinatorului de a

cumpara la sfrsitul lunii decembrie 2004, 100 de actiuni Volkswagen la pretul de exercitare

(fixat la momentul ncheierii contractului de optiune), de 120 euro/actiune, daca doreste

acest lucru. La scadenta optiunii, la finele lunii decembrie 2004, detinatorul optiunii de

cumparare nu este obligat sa cumpere actiunile Volkswagen la un pret de 120 euro. El are

7


8/107

8 Evaluarea activelor financiare

posibilitatea de a alege ntre a cumpara la pretul de 120 euro sau a nu cumpara deloc. n

cazul n care cumpara, spunem casi-a exercitat optiunea de cumparare.

La scadenta, respectiv la sfrsitul lunii decembrie 2004, detinatorul optiunii de cumpararesi va exercita optiunea daca are interesul sa faca acest lucru, adica n cazul n care cursul

actiunii Volkswagen, la acea data, este superior pretului de exercitare de 120 euro (nu am

luat n calcul cheltuielile de tranzactie). De exemplu, daca la scadenta cursul actiunii este

de 130, detinatorul optiunii si va exercita optiunea, adica va cumpara (de la cel care i-a

vndut optiunea la data de 10 septembrie) cele 100 actiuni la pretul de 120si le va revinde

instantaneu la bursa la pretul de 130. El va realiza un cstig net (payo) de 10 euro/actiune,adica 1000 euro n total.

Daca, la scadenta, cursul actiunii Volkswagen este inferior pretului de exercitare de 120,

atunci detinatorul optiunii nu si va exercita optiunea, adica nu va cumpara. n acest caz,

cstigul net la scadenta (payo) va fi 0.

Lund n calcul numai fluxurile monetare care pot sa aiba loc la scadenta, detinatorul

optiunii de cumparare nu poate sa realizeze un cstig net (payo) negativ; el poate sa

realizeze doar un cstig net nul sau pozitiv. Daca notam cudata scadentei, cu cursul

aleator al actiunii n ziua scadentei, cu pretul de exercitare al optiuniicall(120 euro n

exemplu), atuncipayo-ul la scadenta al optiuniicalleste:

max( 0) (1)

Pentru detinatorul optiunii de cumparare niciodata nu rezulta pierderi la scadenta. Acest

lucru este posibil deoarece detinatorul optiunii de cumparare a platit o prima n ziua ncheierii

contractului de optiune, adica a intrat n posesia acestui avantaj de care beneficiaza la

scadenta.

n ziua ncheierii contractului de optiune, cele doua parti sunt:

- cumparatorul avantajului dat de contractul de optiune la scadenta (cumparatorul opti-


9/107

Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale 9

unii);

- vnzatorul acestui avantaj de care va beneficia cumparatorul la scadenta (vnzatorul

optiunii).

n momentul ncheierii contractului, prima este platita de catre cumparatorul optiunii

vnzatorului acestui contract.

n momentul scadentei, cumparatorul beneficiaza de avantajul unuipayonul sau pozi-

tiv, n timp ce vnzatorul suporta inconvenientul unuipayonul sau negativ.

La scadenta, vnzatorul optiunii este legat de mini si de picioare, neputnd sa-si

manifeste vointa. El trebuie sa urmeze decizia cumparatorului, executnd cerinta acestuia.

n schimbul primei pe care o primeste n momentul ncheierii contractului va trebui, la

scadenta, sa asigure contrapartida a ceea ce doreste cumparatorul. Daca acesta nu si exercita

optiunea, vnzatorul va obtine un payo nul. Inconvenientul se produce n cazul n care

cumparatorul optiunii si exercita optiunea.

n cazul optiunii de cumparare europeana din exemplu, exercitarea consta n a cumpara

cele 100 de actiuni Volkswagen la pretul de 120 euro, n timp ce pe piata cursul este de 130

euro. Daca vnzatorul nu poseda cele 100 de actiuni Volkswagen, el trebuie sa le cumpere

de pe piata la pretul de 130 euro pentru a le revinde imediat la 120 euro contrapartidei din

contractul de optiune. Astfel, el obtine un payonegativ de 10 euro/actiune, adica 100

euro per total, egal cu un payopozitiv ncasat de cumparator (presupunem ca nu exista

cheltuieli de tranzactie).

Nu trebuie confundata cumpararea optiunii cu cumpararea activului-suport pe care

este bazata optiunea. n exemplul de mai sus, este vorba despre o optiune de cumparare

(call). Cele doua parti ale contractului de optiune sunt cumparatorul optiunii de cumparare

(cumparator decall) si vnzatorul optiunii de cumparare (vnzator decall).


10/107


1.1.2. Optiunea de vnzare europeana (optiunea put europeana)

Optiunea de vnzare europeana confera detinatorului dreptul, dar nu si obligatia, de a

vinde la scadenta activul-suport la un pret convenit nainte (pret de exercitare). Pentru a

obtine acest drept, cumparatorul optiunii plateste o prima vnzatorului. n contrapartida,

acesta din urma, se angajeaza sa cumpere, la scadenta, activul-suport la pretul de exercitare,

daca detinatorul optiunii doreste sa vnda.

Ca si n cazul optiunii de cumparare (sau call), si la optiunea de vnzare (sau put) se

regasesc cele doua parti din contractul de optiune. Una dintre parti plateste o prima n

favoarea celeilalte parti n momentul ncheierii contractului, pentru ca aceasta sa accepte, la

scadenta, sa se supuna vointei sale. La scadenta, avantajele sunt de partea cumparatorului

optiunii (payonul sau pozitiv) iar inconvenientele sunt de partea vnzatorului optiunii

(payonul sau negativ).

Avantajul pentru detinator consta n dreptul, dar nu si obligatia, de a vinde activul-

suport la pretul de exercitare. El si va exercita acest drept daca pretul activului-suport pe

piata este inferior pretului de exercitare. n acest caz, a exercita un put nseamna a cumpara

activul-suport de pe piata la pretul pieteisi a-l revinde imediat la pretul de exercitare celui

care s-a angajat nainte sa accepte tranzactia.

Folosind aceleasi notatii,payo-ul pentru detinatorul deput, la scadenta, este:

max( 0) (2)

Payo-ul optiunii ncasat de catre cumparatorsi suportat de catre vnzator, n functie

de preturile posibile ale activului-suport n ziua scadentei, este reprezentat de patru grafice,

numite diagramele Bachelier (dupa numele autorului).

Matematicianul francez Bachelier a publicat n 1900 teza de doctorat intitulata Teoria

speculatiei, n care a propus o modelare a evolutiei aleatoare a pretului actiunilor n timp.

Diagramele Bachelier arata ca, la scadenta,payo-ul cumparatorului este nul sau pozitivsi


11/107


cel al vnzatorului este nul sau negativ. Acest lucru este valabil att pentru o optiunecallct

si pentru o optiune put. n cazul optiunii call, cumparatorul obtine un payo pozitiv daca

pretul activului-suport este superior pretului de exercitare, n timp ce n cazul unei optiuni

put, acesta obtine un payo pozitiv daca pretul activului-suport este inferior pretului de

exercitare.

Graficul 1.1Payoff la scaden(opiuni europene)

Payoff Cumprtor de call Payoff Cumprtor de put

ST - reprezintpreul activului-suport n ziua scadenei T

K - reprezintpreul de exercitare

Payoff Vnztor de call Vnztor de put

K

Payoff

K 450 45

0

450

0 ST

0 ST 0 ST

0 ST

45

K

K

1.1.3. Optiuni americane

Optiunile americane se aseamana cu cele europene, singura diferenta considerabila con-

stnd n faptul ca ele pot fi exercitate n orice moment ntre ncheierea contractului de optiune

si data scadentei. Termenii european si american nu au nici o semnificatie precisa si

ajuta doar la distinctia ntre cele doua tipuri de optiuni (spre exemplu, multe optiuni de


12/107


13/107


1.1.5. Piata optiunilor si activele-suport

Contractele pe optiuni sunt n cea mai mare parte produse standardizate si fac obiectul

tranzactiilor n bursa. Activele-suport sunt formate din actiuni, din devize, din indici bursieri

pe actiuni (Standard and Poors 100, Standard and Poors 500, CAC 40. . . ), din contracte

la termen (futures options).

Cea mai importanta piata de optiuni pe actiuni (stock options) este Chicago Board

Options Exchange (CBOE). n Statele Unite exista patru piete importante de optiuni pe

actiuni, printre care New York Stock Exchange (NYSE). Pe aceste piete americane sunt

negociate peste 500 de actiuni-suport diferite (IBM, Kodak, General Motors, Ford, General

Electric etc).

n Europa, pe piata franceza, sunt negociate optiuni pe MATIF (March terme interna-

tional de France)si pe MONEP (March des options ngociables de Paris). Pe prima pia ta

sunt negociate optiuni pe rata dobnzii si pe devize. Pe MONEP sunt negociate optiuni pe

indicele CAC 40si optiuni pe cele mai tranzactionate actiuni (Carrefour, Michelin, Peugeot

etc).

Exista si optiuni nestandardizate, sau pe masura realizate direct ntre banci si societati

avnd ca active-suport devizele sau ratele dobnzii. Aceasta piata extra-bursiera este numita

over-the-counter (OTC).

1.2. Evaluarea optiunilor si arbitrajul

1.2.1. Valoarea teoretica a unei optiuni

Tranzactiile cu optiuni care se realizeaza pe pietele bursiere de tipul CBOE sau MONEP

conduc la determinarea unui pret pentru fiecare optiune n functie de cereresi oferta. Acesta

reprezinta suma pe care trebuie sa o plateasca cumparatorul optiunii vnzatorului acesteia n

momentul ncheierii contractului pentru a obtine avantajele viitoare procurate de contract.


14/107


Valoarea primei platite de cumparator vnzatorului este egala cu valoarea optiunii pe piata.

Cum se poate evalua acest pret al optiunii? Daca piata functioneaza corect, daca volu-

mul tranzactiilor este suficient de mare, daca nu exista distorsiuni provocate de costuri de

tranzactie enorme, pretul teoretic al optiunii trebuie sa tinda spre pretul realizat n fiecare

moment la bursa. Acest pret teoretic serveste drept reper pentru cei care intervin n bursa

sau pentru cei care vor sa ncheie un contract de optiune pe piata over-the-counter.

Cunoasterea valorii teoretice a unei optiuni ofera posibilitati de utilizare considerabile,

care depasesc sfera evaluarii optiunile negociabile pe o piata. Un proiect de investitie fizica

al unei ntreprinderi prezinta fluxuri monetare viitoare cu aceleasi caracteristici ca

si cele

procurate de detinerea unei optiuni financiare particulare; deci, posibilitatea evaluarii unei

optiuni permite, prin analogie, evaluarea unui proiect de investitie.

La scadenta, valoarea unei optiuni este simplu de dedus: ea este egala cu payo-ul pe

care-l produce aceasta optiune. Notnd cuvaloarea unuicallla scadenta (momentul),

cuvaloarea activului-suport la acea datasi cu pretul de exercitare:

= max( 0) (3)

Valoarea unuiput la scadenta este:

= max( 0) (4)

Valoarea unei optiuni nainte de scadenta, este compusa din doua parti:

valoarea intrinseca: este valoarea pe care ar avea-o optiunea daca ar fi exercitata

imediat;

valoarea timp: este complementul necesar pentru a ajunge la valoarea totala a

optiunii.

1.2.2. Arbitrajul

Arbitrajul este principiul fundamental pe care se bazeaza multe rationamente privind


15/107


evaluarea optiunilor.

O situatie de arbitraj se creaza cnd este posibila realizarea unui profit fara risc si fara

aport de fonduri prin combinarea a doua sau mai multe tranzactii. De exemplu, o singura

actiune cotata la doua burse diferite, la doua preturi diferite. Cumpararea la pretul cel

mai scazut si vnzarea simultana la pretul cel mai ridicat aduce un profit fara risc si fara

depunere de fonduri.

O asemenea situatie nu poate dura daca pietele functioneaza corect (daca informatia este

difuzata rapid, daca costurile de tranzactie nu sunt excesive, daca pietele sunt eficiente). Un

flux de ordine de cumparare determina cresterea pre

tului cel mai scazut, n timp ce un flux

de ordine de vnzare determina scaderea pretului cel mai ridicat, pna se obtine egalitatea

ntre cele doua preturi, adica disparitia situatiei de arbitraj.

n evaluarea optiunilor, se pleaca de la ipoteza fundamentala ca nu exista situatie de

arbitraj. Recurgnd la un tip de rationament prin arbitraj, avem: un activ trebuie sa

valoreze , altfel ar exista o posibilitate de arbitraj. Daca pe piata nu exista oportunitati

de arbitraj, atunci activul are valoarea .Exemplu: Consideram doua portofolii si si doua date si (cu posterior lui

). La momentul , se stie cu certitudine ca cele doua portofolii vor avea aceeasi valoare

cnd vor ajunge la scadenta, oricare ar fi circumstantele (adica indiferent de conjunctura

economica, politica etc). Astfel, la scadenta, avem:

() =() (5)

Putem concluziona ca cele doua portofolii au aceeasi valoare la momentul :

() =() (6)

Rationamentul este urmatorul: daca cele doua portofolii nu ar avea aceeasi valoare n

, de exemplu () (), atunci ar exista o oportunitate de arbitraj. Adica, pentru

un arbitrajist ar exista posibilitatea de a mprumuta n portofoliul , pentru a-l revinde


16/107


imediat la pretul (). Aceasta se numeste vnzare scurta (short sale). Pozitia celui ce

mprumuta portofoliul se numeste pozitie scurta (short position) pe . Exista intermediari

pe piata bursiera (brokers) care organizeaza licitatia preturilor titlurilor. n mod evident,

cel care mprumuta titlurile este debitorsi trebuie sa le restituie mai trziu proprietarului

acestora. El va trebui sa le cumpere n bursa pentru a putea sa le remita.

Sa consideram ca la momentulare loc mprumutul portofoliului , revnzarea imediata

la pretul()si refolosirea acestei sume pentru cumpararea portofoliuluila pretul().

Daca () (), arbitrajistul ramne cu suma disponibila :

=() () (7)

Aceasta suma , poate fi plasata la o rata a dobnzii fara risc , cu capitalizare continua,

avnd n momentul , o valoare egala cu ().

La data , arbitrajistul revinde portofoliul la pretul(). Cum la aceasta data se

stie ca() =(), atunci arbitrajistul este sigur ca poate rascumpara portofoliul, cu

rezultatul obtinut n urma vnzarii portofoliului , pentru a-l putea restitui proprietarului.

Astfel, arbitrajistul realizeaza un profit fara risc, (), fara a depune fonduri n prealabil.

Deci, daca la momentul cele doua portofolii si nu ar avea aceeasi valoare, ar

exista o oportunitate de arbitraj. Cum aceasta oportunitate este imposibila ntr-o situatie

de echilibru, rezulta ca portofoliile siau aceeasi valoare n :

() =() (8)

Un rationament de acest gen va fi utilizat de nenumarate ori n evaluarea optiunilor.

De asemenea, se poate demonstra ca daca:

() () (9)

n absenta oportunitatilor de arbitraj (AOA), trebuie sa avem:

() () (10)


17/107


1.3. Paritateacall-putpentru optiunile europene

Vom face o aplicatie bazata pe rationamentul AOA (absenta oportunitatii de arbitraj).

Vom stabili o relatie fundamentala existent

a la o dat

a , ntre valoarea a unei optiuni

calleuropene si valoarea a unei optiuni puteuropene, avnd aceeasi actiune-suport fara

dividend, acelasi pret de exercitare si aceeasi data a scadentei.

Sa constituim doua portofolii si , n momentul . Aratnd ca, la scadenta, porto-

foliile au, n orice circumstante, aceeasi valoare, vom putea aplica rationamentul AOA ceea

ce ne va permite sa concluzionam ca cele doua portofolii au aceeasi valoare n .

Portofoliul A

: 1call+ lichiditati n valoare de ()

;Portofoliul B: 1put+ 1 actiune cu valoarea n momentul .

n portofoliul , lichiditatile reprezinta valoarea actuala na pretului de exercitare

n momentul . Aceasta suma, plasata n momentul la o rata a dobnzii fara risc , cu

capitalizare continua, va avea valoarea la data .

Actiunea care figureaza n portofoliul este actiunea care reprezinta activul-suport att

pentru optiunea call, ct si pentru optiunea put. La scadenta , cele doua portofolii voravea aceeasi valoare.

Portofoliul A:

() = max ( 0) + = max( ) (11)

Portofoliul B:

() = max ( 0) + = max( ) (12)

Cele doua portofolii au aceeasi valoare n. Deci trebuie sa aiba aceeasi valoare n ; n caz

contrar, ar nsemna ca exista oportunitati de arbitraj, ceea ce este imposibil n situatie de

echilibru pe piata. Astfel, la momentul avem relatia:

+ () =+ (13)

denumita relatia de paritateput-call.


18/107


Aceasta relatie este foarte importanta. Cunoscnd valoarea unei optiuni call europene

pe o actiune fara dividend, ea permite determinarea imediata a valorii unei optiuniput la

acelasi pret de exercitaresi la aceeasi scadenta.

=+ () (14)

De asemenea, relatia permite realizarea de optiuni sintetice. Sa ne imaginam o situatie n

care, pentru o actiune data, optiuneacallreprezinta obiectul tranzactiilor, dar nu si optiunea

put. Se poate obtine unputsintetic n constituind un portofoliu care contine:

uncallcu aceeasi scadenta si acelasi pret de exercitare ; o obligatiune fara risc zero-cupon, pentru o suma n;

o pozitieshortpe o actiune ce constituie activul-suport.

1.4. Limita superioara si inferioara a pretului unei optiuni

1.4.1. Limita superioara

O optiune nu poate valora mai mult dect dreptul pe care il contine. O optiune call,

indiferent daca este europeana sau americana, da dreptul de cumparare a unei actiuni la un

anumit pret (pret de exercitare): aceasta optiune nu poate valora niciodata mai mult dect

actiunea n sine.

O optiune put, indiferent daca este europeana sau americana, da dreptul de a vinde o

actiune la un anumit pret(pret de exercitare): aceasta optiune nu poate valora niciodatamai mult dect pretul de exercitare . Se poate spune ca optiunea putnu poate niciodata

valora mai mult dect valoarea actuala a pretului sau de exercitare. Daca este vorba de un

putamerican, aceasta valoare actuala nu poate fi precizata, deoarece nu se stie momentul

cnd va fi exercitata. Dar, n cazul unuiputeuropean se poate scrie:

() (15)


19/107


1.4.2. Limita inferioara a unui call european

Aceasta limita inferioara este (), adica valoarea actiunii diminuata cu valoarea

actuala a pretului de exercitare. Considernd cele doua portofolii, si , constituite lamomentul:

contine 1 calleuropean si lichiditati n suma de (), lichiditati ce vor fi

plasate la o rata a dobnzii fara risc , cu capitalizare continua.

() =+ () (16)

contine o actiune.

() = (17)

Ct va valora portofoliul la scadenta?

1) daca , optiunea va fi exercitatasi vom avea = .

2) daca , optiunea nu va fi exercitatasi vom avea = 0, de unde () =

.

Deci, la scadenta, portofoliul va valora max( ). n momentul , portofoliul

va valora .

n momentul , vom avea:

() () (18)

Prin urmare, putem concluziona ca n situatia de AOA:

+ () (19)

sau

() (20)

Putem sa precizam chiar mai multe aspecte despre aceasta limita inferioara pentru un

calleuropean pe o actiune fara dividend. Acestcalltrebuie sa aiba o valoare pozitiva:

0 (21)


20/107


De fapt, la scadenta, optiunea calltrebuie sa produca fie unpayopozitiv, fie nimic n cel

mai rau caz. Deci valoarea sa la o data care precede scadenta este pozitiva. Avem doua

conditii simultane:

()

0

Se poate astfel concluziona ca:

max

() 0

(22)

1.4.3. Limita inferioara a unui puteuropean

Aceasta limita inferioara a optiunii put este () , adica valoarea actuala a

pretului de exercitare diminuata cu pretul actiunii. Considernd din nou cele doua portofolii

constituite n :

cuprinde 1 puteuropeansi 1 actiune:

() =+ (23)

cuprinde o suma lichida n valoare de () care va fi plasata la o rata a

dobnzii fara risc .

La scadenta, valoarea portofoliului va fi:

1) daca , optiunea putva fi exercitatasi vom avea:

() = + = (24)

2) daca , optiunea putnu va fi exercitatasi vom avea = 0, de unde:

() = (25)

Deci, la scadenta , portofoliul va avea valoarea:

max( ) (26)


21/107


La momentul , portofoliul va valora . Prin urmare, la scadenta, vom avea:

() () (27)

Putem concluziona ca, pentru cazul n care exista o situatie de AOA, trebuie sa avem n :

() () (28)

fie

() (29)

1.5. Factori care determina valoarea unei optiuni

Factorii care determina pretul unei optiuni sunt: pretul curent al activului-suport, pretul

de exercitare, rata dobnzii fara risc, timpul pna la scadenta si volatilitatea pretului

activului-suport. Tabelul 1.1 rezuma influenta celor cinci factori asupra cursului unei opti-

uni, indiferent daca este de tip european sau de tip american. Influenta unui factor dat este

determinata prin variatia acelui factor n timp ce restul ramn constanti.Tabelul 1.1Factori ce determinpreul opiunilor de tip european i american

Factor care determin

variaia (ceilali raman

constani)

Variaia preului opiunii

call(de tip european sau

american)

Variaia preului opiunii

put(de tip european sau

american)

Cursul aciunii

Preul de exercitare

Rata dobnzii frrisc

Timpul pnla scaden

Volatilitate

Cretere

Scdere

Cretere

Cretere

Cretere

Scdere

Cretere

Scdere

Cretere

Cretere


22/107



23/107

Capitolul II: Procese stocastice. Lema

lui It

Spunem ca o variabila urmeaza un proces stocastic atunci cnd schimbarile, n decursul

timpului, ale valorii acestei variabile sunt, cel putin n parte, aleatoare. Cei doi termeni,

aleator si stocastic, sunt sinonime. nsa, pentru a desemna o variabila, este preferabila

utilizarea termenului aleator. Pentru a desemna un proces care se deruleaza n timp, este

preferabila utilizarea termenuluistocastic.

Atunci cnd schimbarile valorii luate de variabila nu se realizeaza dect n puncte discretede timp, se foloseste termenul de proces stocastic n timp discret. Atunci cnd schimbarile

se produc n orice moment, este vorba despre un proces stocastic n timp continuu.

Se face distinctie si ntre procesul cu variabil a discret a si procesul cu variabil a continu a.

Caracterul discret sau continuu al timpului se combina cu cel al variabilei. O variabila

care are o distributie de probabilitate stabila pe tot parcursul timpului urmeaza unproces

stationar. n schimb, daca distributia sa de probabilitate se schimba (n particular, media si

varianta sa), atunci ea urmeaza unproces nestationar.

Traiectoriareprezinta ansamblul de realizari ale variabilei (discrete sau continue) ntr-un

interval de timp.

Un tip de proces stocastic cu o mare importanta n finante este procesul lui Markov.

Valorile viitoare ale unei variabile care urmeaza un proces Markov:

23


24/107


depind de valoarea variabilei n momentul prezent;

depind doar de aceasta valoare si nu de valorile anterioare.

Daca presupunem ca pietele reflecta, n general, o eficienta n forma slaba, adica cursul

actiunilor reflecta, ntr-un moment oarecare, toate informatiile publice pna n acel moment,

atunci distributia de probabilitate a pretului activului cotat pe aceasta piata, n orice moment

viitor, depinde doar de pretul activului din momentul si nu de pretul anterior sau de evolutia

anterioara a pretului.

Sa consideram ca o variabila urmeaza un proces Markov si ca valoarea acestei variabile

este cunoscuta n momentul prezent. Diferenta ntre valoarea imediat viitoare si valoarea

actuala se numestevariatie aleatoare. Aceasta variatie aleatoare:

se va adauga la valoarea variabilei din momentul prezent;

este independenta fata de variatiile aleatoare anterioare.

Procesele Markov n timp continuu si cu variabila continua se numescprocese de difuzie.

2.1. Miscarea browniana

Miscarea browniana standard (sau simpla) se mai numeste si proces Wiener. Ea este

un proces Markov n timp continuu si cu variabila continua. Variatiile aleatoare ale unei

variabile ce urmeaza o miscare browniana sunt independente unele fata de celelalte. Variatia

care se produce n cursul unui interval de timp finit are o distributie normala a carei varianta

creste cu lungimea intervalului.

Fie o miscare browniana standard. Fie variatia lui ntr-un interval scurt de

timp . are doua proprietati:

1)

=


25/107

Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It 25

Variatia depinde deci de radacina patrata a intervalului pe care se produce. este o

variabila aleatoare care are o distributie normala normata, adica:

- speranta matematica a lui este egala cu 0;

- abaterea medie patratica a lui este egala cu 1.

Pentru a indica faptul caurmeaza o distributie normala normata, notam:

(0 1)

Proprietatile lui ne permit deducerea celor ale variatiei . Astfel, variatia urmeaza

o distributie normala1 de speranta matematica 0 si de varianta (cu o abatere medie

patratica egala cu):

0

Prin urmare, variatia este normal distribuita si are o varianta care este egala cu lungimea

intervalului pe care se produce.2)Variatiile relative la doua intervale de timp oarecare (ce nu se acopera ntre

ele) sunt independente.

Aceasta proprietate determina faptul ca, la un moment dat, variatia urmatoare a luisa

fie independenta fata de variatiile anterioare, iar valorile viitoare ale lui sa depinda doar

de valoarea lui din momentul prezent si nu de valorile sale trecute. Aceasta semnifica

faptul caurmeaza un proces Markov.Pentru a verifica daca aceste proprietati ramn valabile si n cazul unui interval lung de

timp, luam n considerare intervalulcare se ntinde ntre doua date. Notam prima data cu

0 si cea de-a doua cu. Aceasta nseamna ca reprezinta att data de la sfrsitul perioadei

1 Reamintim o teorema de statistica probabilistica: Daca este o variabila aleatoare care urmeaza o

lege normala si daca este o constanta, atunci este o variabila aleatoare ce urmeaza, de asemenea, o

lege normala de speranta matematica () si de varianta 2 ().


26/107


de timp considerate, ct si ntreaga durata a acestei perioade. Utilizam notatiile (0) si

()cu semnificatiile urmatoare:

- (0)= valoarea lui la momentul 0;

- ()= valoarea lui la momentul .

Variatia lui n timpul perioadei de lungime se scrie:

()(0)

Sa consideram ca durata de timpeste divizata n mici intervale egale : = .

n fiecare mic interval se produce o variatie:

=

0

Sa presupunem ca, n primul interval scurt , se realizeaza o valoare 1 a variabilei

aleatoare . n intervalul scurt , valoarea realizata a variabilei aleatoare este 1. n

intervalul scurt , se produce o valoare a variabilei aleatoare . Cele realizari ale

variabilei aleatoare sunt independente. Atunci, variatia lui pe perioadaeste egala cu

suma celor variatii care se produc n timpul celor intervale scurte .

()(0) =X=1

Prin urmare, putem concluziona ca variatia () (0)este distribuita dupa o lege

normala a carei speranta matematica este egala cu suma sperantelor matematice a celor

componente si a carei varianta este egala cu suma variantelor celor componente2. Adica,

[()(0)]

0

(1)

2 O alta teorema a statisticii probabilistice spune: Daca o variabila aleatoare este suma a variabile

aleatoare independente care urmeaza fiecare n parte o lege normala, atunci urmeaza o lege normala unde

speranta matematica este egala cu suma sperantelor matematice individuale, iar varianta este egala cu suma

variantelor individuale.


27/107


Este usor acum sa determinam variabila nsasi n functie de variatia ei aleatoare:

() =(0) + [() (0)]| {z }Variatie aleatoare

La data prezenta (data 0), (0)este cunoscut cu certitudine. Astfel, putem trage con-

cluzia3 ca () urmeaza o lege normala cu o speranta matematica egala cu (0) si o

varianta egala cu. Pe o perioada de timp foarte lunga (ce tinde la infinit), varianta lui

poate tinde spre infinit. Deci putem spune caurmeaza un proces nestationar.

O miscare browniana standard sau procesul Wiener este limita procesului descris mai

sus, atunci cnd intervalul de timp este foarte mic. Scriem atunci:

=

(2)

unde

[] = 0 (3)

[] = (4)

Sa remarcam faptul ca nu admite derivata n raport cu timpul, deoarece:

=

=

care este egal cu infinit, cacieste un interval foarte mic.

2.1.1. Miscare browniana generalizata

Miscarea browniana standard ajuta la construirea proceselor stocastice mai complexe.

Unul dintre acestea este miscarea browniana cu tendinta4, numita si procesul Wiener gene-

ralizat sau miscare browniana generalizata.

3 Daca este o variabila aleatoare care urmeaza o lege normala, atunci + ( fiind o constanta)

urmeaza, de asemenea, o lege normala cu speranta matematica +() si varianta ().4 Drift(engl.) sau drive(fran.).


28/107


29/107


de tranzactii la datele , valoarea portofoliului de actiuni la data va fi:

= +

X=1 (1) [ ()(1)]

unde reprezinta valoarea initiala a portofoliului de actiuni. Daca vrem sa realizam tran-

zactii la orice moment , trebuie sa definim un instrument matematic ce permite nlocuirea

sumelor precedente (asemanatoare unor sume Riemann) cu o cantitate unde timpul intervine

n mod continuu. n aceste conditii, putem utiliza integrala:

() = Z

0

() () (7)

pe care o numim integrala stocastic a a lui n raport cu si pe care o definim ca fiind

limita sumelor precedente5. poate fi definit ca o functie determinista sau ca un proces

stocastic6. Exista o clasa destul de mare de procese stocastice pentru care putem defini

integrala stocastica a lui n raport cu . Pentru a defini integrala stocastica, avem nevoie

de realizarea unor conditii de integrabilitate ale lui . Conditia de integrabilitate este:

Z 0

2 () (8)

Daca conditia de integrabilitate este respectata, spunem ca integrala stocastica exista si este

definita. Avem, desigur Z

() = ()() (9)

2.2.1. Proprietati ale integralei stocastice

Sa enuntam principalele proprietati ale integralelor stocastice:

5 Faptul ca brownianul nu este derivabil interzice interpretarea simbolului prin 0 si face imposibila

definirea integralei stocastice prin metodele obisnuite, de genul = 0().6 Integrala stocastica a unei functii deterministe n raport cu miscarea browniana se mai numeste integrala

Wiener. Integrala stocastica a unui proces n raport cu miscarea browniana se mai numeste integrala It.


30/107


a)Daca este o functie determinista, atunci integrala stocastica () este o variabila

aleatoare gaussiana de speranta matematica nula si de varianta egala cu

[()] = Z 0

2 () (10)

De fapt,()este o variabila gaussiana deoarece procesul este gaussian. Ea este centrata

pentru caeste centrat. n plus,

[()] =X=1

21 [() (1)] =X=1

21( 1) =Z 0

2 ()

De regula, daca este un proces, se pierde caracterul gaussian al integralei.

b)Fieun proces stocastic Fmasurabil si integrabil la patrat si fie integrala stocastica

(). Urmatoarele proprietati sunt verificate:

(i) procesul(() 0)este o martingala continua;

(ii) procesul

2 ()R0

2 () 0

este o martingala continua;

(iii) [

2

()] =hR02 () i.c) Fie sidoua procese Fmasurabile si integrabile la patrat. Fie() =

R0

() .

Proprietatile urmatoare sunt verificate:

(i) Proprietatea de martingala. ()este o martingala:

Z

0

() |F=

Z

0

() (11)

sau

Z

() |F

= 0

n particular, [()] = 0.

(ii) Procesul

Z

0

() 2

Z

0

2 () 0


31/107


este o martingala. Se poate deduce ca varianta lui ()esteR

0[2 ()] si ca

Z 0

()

Z 0

()

=

Z 0

() ()

(12)

Corolar. Fie un proces stocastic F masurabil si integrabil la patrat si fie integrala

stocastica (). Speranta matematica a lui ()este nula:

[()] = 0 (13)

iar varianta este egala cu:

[()] =

Z 0

2 ()

(14)

2.3. Procesul It

Un proces stocastic = ( [0 ]) este un proces It cu valori reale daca exista

( ) si ( )ce verificaZ 0

| ( )| siZ 0

2 ( )

astfel nct

=0+

Z 0

( ) +

Z 0

( ) (15)

unde [0 ], iar( 0)este un brownian standard real.

Putem sa rescriem aceasta egalitate ntr-o forma mai concisa:

= ( ) + ( ) (16)

pentru a putea dezvolta un calcul formal, analog calculului diferential. Coeficientul ( )se

numeste tendinta instantanee a procesului It, iar coeficientul ( )se numeste volatilitate

instantanee a procesului It sau coeficient de difuzie. Tendinta si volatilitatea variaza si sunt

functii ce depind de timp si de variabila de stare. n familia proceselor It, cel mai cunoscut

proces este miscarea browniana geometrica. Miscarea browniana geometrica este utilizata

n finante pentru modelizarea cursului bursier.

Trebuie remarcat faptul ca un proces It nu este o martingala dect daca ( ) = 0.


32/107


2.4. Lema lui It

Daca presupunem ca pretul activelor financiare sunt procese It, avem nevoie sa calculam

cantitati de tipul

(

) si de a le preciza dinamica. Metoda de calcul este data de lemalui It. Sa enuntam aceasta lema.

Lema lui It. Fie : [0 ] R Ro functie continua si fie un proces It:

= ( ) + ( )

Fie =( ). Atunci este un proces It ce verifica ecuatia:

=

+

( ) +1

222

2 ( )

+

( ) (17)

sau, ntr-o forma mai concisa,

=

+

+

1

2

2

22 ( ) (18)

Demonstratie.

Este important de subliniat ca si sunt cantitati mici, dar de ordin diferit,

deoarece stim ca [] = 0 si []2 = . Acest mod de a vizualiza procesul

stocastic are un avantaj: atunci cnd aplicam formula lui Taylor si vrem sa pastram termenii

n, termenii n 2 au un rol important.

Fie

= ( ) + ( )

Daca consideram functia ( ) astfel nct = ( ), putem aplica dezvoltarea n

serie Taylor:

=

+

+

1

2

2

22 +

2

+

1

2

2

22 +

unde

= ( ) + ( )


33/107


2 =2 ( ) 2 + 2 ( ) ( )

32 +2 ( ) 2

Acest ultim rezultat se bazeaza pe faptul ca =

. Termenii de ordin superior lui 1

pot fi neglijati (2

0 si3

2 0). Astfel,2 =

2 ( ) 2

Sa studiem proprietatile lui 2:

[] =

2 [()]2

Cum() = 0, se obtine:

2

= 1

2

= (19)

Sa calculam varianta lui 2:

2

= 2

2

(20)

Aceasta varianta este de ordinul doi n . Deci ea tinde spre zero, caci intervalul de timp

este foarte mic. Prin urmare, speranta matematica a lui 2este egala cu, iar varianta

lui 2tinde spre zero. Asadar, putem concluziona ca, pentru un interval de timp foarte

mic, 2tinde spre . Astfel, putem scrie:

2 =2 ( ) (21)

n calculul stocastic, se utilizeaza, cu titlu de regula generala, urmatoarea tabla a n-

multirii.

Tabelul 2.1. Tabla nmultirii

1 2

0 0 0

1 0 dt

2 0 dt


34/107


unde 1 si 2 sunt doua miscari browniene standard. reprezinta coeficientul de

corelatie instantanee ntre cele doua browniene. Daca miscarile browniene sunt independente,

= 0.

Sa sintetizam rezultatele obtinute:

= 0; 2 = 0; 2 =2 ( )

Astfel, dinamica lui se scrie:

=

+

+

1

2

2

22 ( )

sau, nlocuind n ecuatie dinamica lui si notnd =( ):

=

+

( ) +

1

2

2

22 ( )

+

( )

Termenul

+

( ) + 1222

2 ( ) reprezinta tendinta instantanee a lui , iar

termenul

( )reprezinta volatilitatea instantanee a lui .

2.4.1. Un exemplu: miscarea browniana geometrica

Sa consideram o miscare browniana geometrica. Aceasta este un proces It n care:

( ) = (22)

( ) = (23)

unde si sunt constante. Atunci, ecuatia miscarii browniene geometrice se scrie:

= + (24)

Fie o functie = ln . Aplicnd lema lui It:

=

+

+

1

2

2

222

+

=

0 +

1

+

1

2

1

2

22

+

1

= 1

22+


35/107


Deci dinamica lui este:

=

1

22

+ (25)

de unde:

() = (0) +

Z 0

1

22

+

Z 0

= (0) +

1

22

+ ()

Astfel,()este dat de:

ln () = ln (0) + 1

2

2+() (26)sau, direct:

() =(0) exp

1

22

+ ()

(27)

n concluzie, variabila ()este normal distribuita:

()

ln (0) +

1

22

(28)

cu speranta matematica conditionata de(0) = ln (0):

[ () |(0)] = ln (0) +

1

22

(29)

si cu varianta conditionata de(0) = ln (0):

[ () |(0)] =2 (30)

Deoarece logaritmul variabilei ()urmeaza o distributie normala, miscarea browniana

geometrica se mai numeste si proces log-normal. n plus, teoria statisticii probabilistice

spune ca, daca logaritmul unei variabile are o distributie normala, variabila nsasi va avea

o distributie log-normala. Stiind astfel ca () este distribuita log-normal, speranta ei

matematica conditionata de(0)va fi egala cu:

[() |(0)] =(0) (31)


36/107


iar varianta sa conditionata de(0)va fi:

[() |(0)] =2 (0) 2

2 1

(32)


37/107

Capitolul III: Modelul Black - Scholes

Dezvoltarea pietelor financiare a permis aparitia unei noi generatii de produse financiare

si acest proces de creatie continua inexorabil, departe de a se stinge, ntr-un context de

internationalizare.

Ratiunea de a fi a acestei inovatii este, fara ndoiala, riscul: obiectivul cautat este de a

proteja investitorul contra variatiilor importante ale parametrilor financiari ce influenteaza

avutia acestuia. Poate fi vorba de un risc de rata a dobnzii, de curs de schimb sau, pur si

simplu, de un risc de pierdere a valorii activelor.

Daca astfel de contracte de partajare a riscului exista ntre terti de mult timp, noutatea

consta n institutionalizarea si transformarea acestor acorduri n titluri financiare, negociabile

pe piata, facnd obiectul unor cotatii periodice, precum n cazul actiunilor si obligatiunilor.

Volatilitatea crescatoare, observata pe pietele financiare, a jucat un rol de catalizator n

aparitia acestor noi instrumente de protectie. Conceptual, aceste produse pot fi mpartite n

doua categorii: contractele la termen, ce permit finalizarea unei tranzactii la o data viitoare,

pe baza unor conditii fixate initial, sioptiunile, ce dau dreptul, dar nu obligatia, de a finaliza

o tranzactie la o data viitoare, pe baza unor conditii fixate initial.

Simultan cu aceasta dezvoltare fara precedent a pietelor financiare, modelizarile teoretice

au nceput sa aiba un rol important. Acestea au vizat att noile produse financiare ce nece-

sitau un suport teoretic de tarificare, ct si activele financiare clasice care, prin volatilitatea

lor crescatoare, par sa se supuna, din ce n ce mai mult, unor scheme aleatoare.

Teoria probabilitatilor si a proceselor stocastice reprezinta, n mod natural, un instru-

37


38/107


ment extrem de util pentru a modeliza aceasta incertitudine ce pare a fi lovit ntreg mediul

financiar. Complexitatii situatiilor financiare i-a raspuns astfel varietatea instrumentelor

stocastice de analiza.

Problema evaluarii unei optiuni este fascinanta, iar istoria sa este relativ lunga pentru

domeniul finantelor. n 1900, Louis Bachelier propunea o modelizare a cursului bursier

si obtinea estimari ale cumpararilor la termen prin rationamente probabilistice fondate pe

jocul de hazard. Ipoteza principala pe care se fondeaza argumentatia lui este ca pretul unui

activ fixat de catre piata se prezinta, matematic, precum averea unui jucator la un joc de

hazard. Printr-un rationament infinitezimal, ce spune ca variatiile cursului bursier, n timpulunor momente succesive, sunt independente, el obtine o ecuatie cu derivate partiale identica,

formal, cu cea obtinuta de Fourier aproape un secol mai devreme pentru a descrie propagarea

caldurii n corpurile omogene.

Totusi, abordarea lui Bachelier a fost privita cu nencredere de la nceput pentru ca ideile

teoriei utilitatii si ale aversiunii pentru risc reprezentau, la acel moment, fundamentul teoriei

economice. Daca majoritatea investitorilor au o aversiune pentru risc, aceasta poate influ-enta pretul unei optiuni? Aceasta problema a fost rezolvata de Black - Scholes (1973) care

considera un univers n care preturile actiunilor evolueaza ca un proces brownian geometric

cu o volatilitate constanta. Aceasta solutie eleganta data pentru evaluarea optiunilor este,

neasteptat, independenta de atitudinea investitorilor fata de risc.

3.1. Valoarea teoretica a pretului actiunii-suport

Asimilarea cursului activelor-suport (materii prime, actiuni, devize) unor miscari brown-

iene este un fapt absolut natural. Atunci cnd un operator speculeaza, el revizuieste n

fiecare moment strategia sa de investitie n functie de evolutia cursului bursier. Astfel, el

va ncerca sa cumpere mai mult cnd cursul este scazut si sa vnda atunci cnd cursul este

ridicat. Deci cursurile bursiere se aseamana cu miscarile browniene, dar nu se stie daca


39/107


40/107


41/107

Capitolul III: Modelul Black - Scholes 41

3.2. Evaluarea optiunilor europene

Sa ne imaginam ca am vrea sa evaluam o optiunecall(o optiune de cumparare) europeana

pe o actiune ce nu distribuie dividende. Cunoastem urmatoarele elemente: cursul curent alactiunii, data scadentei, pretul de exercitare, comportamentul avut n trecut al actiunii.

Scopul este de a determina care este valoarea de astazi a optiunii, adica care este prima ce

trebuie platita astazi pentru a deveni detinatorul optiunii. A fi detinatorul optiunii nseamna

a avea posibilitatea de a obtine unpayo la scadenta.

Metoda clasica folosita n astfel de cazuri, pentru a determina care este valoarea, astazi,

a posibilitatii de a obtine un cash-flowla o data viitoare, este de a calcula valoarea actuala a

acestuicash-flowviitor. Pentru aceasta, este necesar sa cunoastem doua elemente: speranta

matematica a cash-flow-ului viitor si, respectiv, o rata de actualizare convenabila, adica

rata randamentului de pe piata financiara ce corespunde aceleiasi clase de risc ca aceea a

cash-flow-ului ce urmeaza a fi dobndit.

n cazul unei optiuni, aceste doua elemente sunt, a priori, imposibil sa fie determinate

n mod direct. Principiul de evaluare al lui Black - Scholes este, initial, total diferit: el nu

depinde explicit de variatiile cursului actiunii si de speranta matematica apayo-ului.

Black explica3, mult timp dupa descoperirea sa (partajata cu Scholes), principiul care a

stat la baza rationamentului sau. Sa presupunem ca formula pretului optiunii calleuropene

depinde de o serie de variabile, printre care si pretul actiunii. Sa ne imaginam ca aceasta

formula indica faptul ca, daca n decursul unui interval scurt de timp, pretul actiunii creste

cu 1, atunci pretul optiunii creste cu 0,5 si daca pretul actiunii scade cu 1, atunci pretul

optiunii scade cu 0,5. Atunci, este posibila constituirea unui portofoliu fara risc utiliznd

strategia urmatoare: vnzarea a doua optiuni (pozitie scurta) si cumpararea unei actiuni

(pozitie lunga). n decursul unui interval scurt de timp, pierderea realizata din pozitia avuta

3 A se vedea Black F., (1989), How we came up with the Option Formula, Journal of Portofolio

Management.


42/107


asupra unuia dintre cele doua active este compensata de cstigul obtinut din pozitia opusa

avuta asupra celuilalt activ. Acest portofoliu de acoperire (hedging), fiind fara risc, are un

randament egal cu rata fara risc. n caz contrar, ar exista oportunitati de arbitraj.

n consecinta, posibilitatea de a forma un portofoliu de acoperire (sau un portofoliu

fara risc) reprezinta baza principiului de evaluare a produselor derivate. Acest principiu al

portofoliului de acoperire, la care se adauga principiul absentei oportunitatilor de arbitraj,

a permis lui Black - Scholes sa obtina formula pretului optiunii callsauputeuropene.

Relatia ntre variatia pretului actiunii si variatia pretului optiunii se modifica n fiecare

moment. Portofoliul de acoperire, pentru a putea fi efectiv fara risc, trebuie modificat nmod continuu. n acest caz, spunem ca portofoliul de acoperire este instantaneu fara risc.

Altfel spus, portofoliul de acoperire este fara risc doar ntr-un interval de timp foarte scurt.

Sa consideram ca pretul optiunii call europene, notat cu , este o functie de pretul

actiunii, si de timp, =( ). Stiind care este definitia procesului stocastic ce defineste

evolutia cursului actiunii, putem aplica lema lui It pentru a determina dinamica pretului

optiunii.

=

+

+

1

222

2

2

+

(9)

unde

+

+ 1222

22

reprezinta tendinta instantanee a pretului optiunii, iar

reprezinta volatilitatea instantanee a optiunii.

Sa constituim portofoliul fara risc. n ecuatia dinamicii pretului actiunii, termenul aleator

este , n timp ce, n cazul dinamicii pretului optiunii, termenul aleator este .

Pentru ca acesti doi termeni sa se anuleze, trebuie ca pozitia luata pe o optiune sa fie opusa

pozitiei pe

actiuni. Astfel, strategia fara risc adoptata este urmatoarea: vnzarea unei

optiuni (pozitie scurta pe optiune) si cumpararea a

actiuni (pozitie lunga pe actiuni).

Valoarea portofoliului este:

=

+

(10)


43/107


Variatia valorii portofoliului ntr-un interval de timp foarte scurt este:

= +

(11)

nlocuind n expresia de mai sus dinamicile celor doua active si, se obtine:

=

1

222

2

2

(12)

Acest portofoliu este fara risc si, prin urmare, randamentul sau este egal cu rata fara risc.

Daca randamentul portofoliului ar fi diferit fata de rata fara risc, investitorii ar profita de o

oportunitate de arbitraj. Aceasta oportunitate ar putea fi exploatata n doua modalitati:

1) Daca rentabilitatea portofoliului este superioara ratei fara risc, investitorul mprumuta

capital la rata fara risc pentru a-l reinvesti cumparnd portofoliul ce ofera un randa-

ment mai bun.

2) Daca portofoliul genereaza o rentabilitate inferioara ratei fara risc, investitorul l va vinde

fara sa-l aiba (vnzare pe descoperit) si va plasa capitalul obtinut la rata fara risc.

Asadar,

= (13)

unde reprezinta rata dobnzii fara risc. nlocuind expresiile lui si , se obtine:

1

222

2

2

=

+

sau

+

+

1

222

2

2 = 0 (14)

Pretul optiunii calleuropene verifica o ecuatie cu derivate partiale, avnd conditia finala:

() = max ( 0), undeeste pretul de exercitare. Aceasta ecuatie mai este cunos-

cuta sub numele de ecuatia cu derivate partiale a lui Black - Scholes - Merton. Se remarca

faptul ca n ecuatia cu derivate partiale nu intervine nici o variabila ce depinde de gradul de


44/107


aversiune fata de risc al investitorilor. Singurele variabile sunt: timpul, volatilitatea actiunii

sau rata dobnzii fara risc. Nici una dintre ele nu depinde de preferinta pentru risc a investi-

torilor. Cursul actiunii este presupus a fi un curs de echilibru si, prin urmare, preferintele

pentru risc ale investitorilor sunt deja incluse n valoarea acestei variabile.

Ecuatia cu derivate partiale nu ar fi independenta de gradul de aversiune fata de risc

daca ea ar ncorpora rentabilitatea instantanee a actiunii, . Acesta variabila depinde de

aversiunea pentru risc a investitorilor.

Pentru ca ecuatia cu derivate partiale este independenta de gradul de aversiune fata de

risc, un rationament ingenios poate fi folosit. Daca parametrul riscului nu apare n ecuatie,atunci acesta nu are nici un impact asupra solutiei ecuatiei. Astfel, arbitrar, se poate alege

absolut orice nivel de aversiune fata de risc. n mod evident, ipoteza cea mai simpla este de

a presupune ca investitorii sunt neutri fata de risc.

ntr-un univers neutru la risc, speranta matematica a rentabilitatii oricarui titlu financiar

este rata dobnzii fara risc. n consecinta, sub o probabilitate neutra la risc , valoarea

optiunii este egala cu speranta matematica a payo-ului optiunii actualizata la rata fara

risc:

=[max( 0)] (15)

Astfel, plasarea ntr-un univers neutru la risc este un simplu artificiu de calcul ce conduce

la o rezolvare facila a ecuatiei cu derivate partiale a lui Black - Scholes - Merton.

3.3. Teorema de reprezentare a lui Feynman - Kac

Solutia probabilistica a ecuatiei cu derivate partiale:

+

+

1

222

2

2 = 0 (16)

este data de teorema de reprezentare a lui Feynman - Kac.


45/107


46/107


Ecuatia diferentiala stocastica (22) are o solutie unica data de:

( ) =( )exp() +

Z

()exp() (24)

de unde pretul optiunii la data curenta este definit de:

= exp()( )

Z

( )exp()

(25)

Sa aplicam, sub o probabilitate neutra la risc, operatorul speranta matematica asupra

acestei egalitati. Admitnd ca speranta matematica a integralei stocastice

Z ()exp()

este nula, pretul optiunii calleuropene este dat de:

=( )

(26)

Stiind ca( ) = ()+ = max( 0), pretul optiunii la data curenta se poate

scrie:

=[max( 0)] (27)

3.4. Formula pretului teoretic a lui Black - Scholes

n acest paragraf, vom prezenta calculul explicit al formulei pretului teoretic al optiunii

dupa modelul Black - Scholes. Am vazut n metodele prezentate ca, sub o probabilitate

neutra la risc, pretul optiunii este dat de speranta matematica a valorii finale a optiunii

actualizata la rata dobnzii fara risc. Mai precis, pentru o optiunecalleuropeana, pretul

teoretic este definit de:

=[max( 0)]

Aplicnd definitia sperantei matematice, pretul optiunii se scrie:

= Z

max( 0) () (28)


47/107


unde()este functia de densitate a pretului final al actiunii ntr-un univers neutru la risc.

Aceasta densitate este data de legea log-normala:

() = 1

2

exphln ln

2

2 i222

(29)

Astfel, pretul optiunii callse scrie:

=Z

max( 0) 1

2exp

hln ln

2

2

i2

22

(30)

Prin schimbarea de variabila: = ln

, se obtine =, iar pretul optiunii poatefi rescris n termeni de randament (se interpreteaza ca fiind randamentul activului-suport

la scadenta):

=Z

max 0

1

2exp

h

2

2

i2

22

(31)

unde () este functia de densitate a legii normale ce descrie distributia randamentului

actiunii la scadenta:

() = 1

2exp

h

2

2

i2

22

(32)

Pentru a elimina functia max din expresia pretului optiunii, se utilizeaza faptul ca

ln . Prin urmare, pretul optiunii se scrie:

= Zln

1

2exp

h 22 i2

22

= 1 2

unde

1 =

Zln

1

2exp

h

2

2

i2

22

(33)


48/107


2 =

Zln

1

2exp

h

2

2

i2

22

(34)

Sa determinam fiecare termen ce apare n expresia pretului. n cazul termenului2, facem

schimbarea de variabila=

2

2

:

2 =

Z2

12

exp

2

2

(35)

unde

2 =ln

+ 2

2

(36)

Dar () = 12

exp2

2

reprezinta functia de densitate a legii normale normate. Ex-

ploatnd simetria acestei legi de distributie, avem

Z2

() =

Z 2

() (37)

Termenul2se va scrie:

2 = Z 2

() = (2) (38)

unde (2)reprezinta functia de repartitie a legii normale normate.

n cazul termenului 1, facnd aceeasi schimbare de variabila, se obtine:

1 =

Z2

exp

2

2+

1

2exp

2

2

=

Z

2

12

exp

"(

)

2

2

#

Fie = . Termenul 1 devine:

1=

Z2

12

exp

2

2

=

Z 2+

12

exp

2

2

Asadar, acest termen este egal cu:

1 = Z 1

12

exp2

2 = (1) (39)


49/107


unde (1)reprezinta functia de repartitie a legii normale normate, iar 1este definit de:

1 = 2+ =

ln

++

2

2

(40)

n aceste conditii, formula pretului teoretical optiunii calleuropene a lui Black - Scholes

este urmatoarea:

=(1)(2) (41)

unde

1 =ln

++

2

2

(42)

2 =ln

+ 2

2

=1 (43)

iar () este functia de repartitie a legii normale normate. Aceasta este probabilitatea

ca o variabila ce urmeaza o lege normala normata, (0 1), sa fie inferioara lui ,

() =( ). Principalele proprietati ale lui ()sunt:

1. (0) = 12

2. () = 13. () = 1()

(2)si(1)se mai numesc impropriu probabilitati neutre la risc, cnd, de fapt, numai

(2)este probabilitatea neutra la risc.

Utiliznd aceeasi metoda, se poate determina pretul teoretic al unei optiuni puteuropene,

stiind ca valoarea acesteia la scadenta este: P() = max ( 0). Mai simplu, se poate

utilizarelatia de paritate call-put:

P+ =+ (44)

unde Preprezinta pretul optiuniiput. nlocuind n aceasta relatie formula teoretica a pretului

optiunii call, se obtine formula Black - Scholes a pretului optiunii puteuropene:

P=(2)

(1) (45)


50/107


unde 1 si2 sunt definiti de relatiile (42) si (43).


51/107

Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii

Ratiunea existentei studiilor privind evaluarea obligatiunilor este cautarea unui raspuns

la o ntrebare firesca: care este pretul ce trebuie platit emitentului de catre cumparatorul

obligatiunii la debutul contractului, astfel nct acesta sa fie un pret corect att pentru

emitent, ct si pentru detinatorul obligatiunii?

Dintr-o anumita perspectiva, valoarea (sau pretul) unei obligatiuni este, pur si simplu,

valoarea actuala a fluxurilor monetare pe care detinatorul obligatiunii se asteapta sa se

realizeze pe durata de viata a titlului de creanta. n mod evident, aceasta perspectiva este

criticabila pentru ca nu este deloc realist sa se presupuna ca rata dobnzii ramne constanta

pe ntreaga durata de viata a obligatiunii. Dupa ce obligatiunea a fost emisa, valoarea ei se

schimba n decursul timpului pna la scadenta datorita fluctuatiilor ratei dobnzii.

Mai nti, sa presupunem ca rata dobnzii este o functie determinista de timp, iar apoi

sa consideram ca rata dobnzii este un proces stocastic, pentru a determina pretul teoretic

al unei obligatiuni.

4.1. Rata dobnzii determinista

Fie()rata dobnzii determinista definita pentru [0 ], undeeste data prezenta si

este data scadentei obligatiunii. Firesc, pretul obligatiunii este o functie de timp si de rata

dobnzii. n acest punct, sa presupunem ca rata dobnzii nu este o variabila de stare, dar

ca ea este o functie cunoscuta de timp. Prin urmare, pretul obligatiunii poate fi considerat

51


52/107


ca fiind o functie numai de timp. Fie() si (), ce semnifica pretul obligatiunii, respec-

tiv valoarea cuponului. Conditia finala este: () = , unde este valoarea nominala.

Ecuatia ce guverneaza pretul obligatiunii,(), , este o ecuatie diferentiala ordinara de

ordinul nti. Fie un interval foarte mic de timp de la data prezenta,. Atunci, variatia

valorii obligatiunii este

, iar cuponul consumat este () . n absenta oportunitatilor

de arbitraj, suma acestor doua componente trebuie sa fie egala cu rata dobnzii fara risc

() () n intervalul de timp . Astfel,

+ () = () (1)

Stiind conditia finala() =, , aceasta ecuatie are ca solutie analitica:

() = ()

+

Z

() ()

(2)

n limbaj financiar, pretul obligatiunii este valoarea prezenta a valorii nominale si a

cuponului consumat. n raport cu valorile luate de () si(), pretul obligatiunii poate fi o

functie crescatoare sau descrescatoare de timp.

4.2. Evaluarea obligatiunilor zero-cupon

n acest paragraf, vom arata cum se obtine ecuatia ce guverneaza pretul obligatiu-

nii folosind principiul absentei oportunitatilor de arbitraj. Sa presupunem ca rata spot

a dobnzii urmeaza un proces stocastic continuu care este descris de urmatoarea ecuatiediferentiala stocastica:

= ( ) + ( ) (3)

undereprezinta o miscare browniana standard, iar ( ) si2 ( )reprezinta tendinta,

respectiv varianta instantanee a ratei dobnzii (). n aceasta analiza, pretul obligatiunii

depinde numai de rata spot a dobnzii (), de data curentasi de data scadentei. Astfel,


53/107

Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 53

vorbim de modele de evaluare cu un singur factor atunci cnd valoarea activului financiar

depinde de o singura variabila stocastica1, rata dobnzii spot().

Daca scriem pretul obligatiunii ca o functie de rata spot si de timp, ( ), putem aplica

lema lui It, care ne va da dinamica pretului obligatiunii:

=

+

+

1

22

2

2

+

(4)

Daca scriem:

= + (5)

atunci

= 1

+

+

1

22

2

2

(6)

= 1

(7)

unde si reprezinta randamentul (sau tendinta) instantaneu, respectiv volatilitatea

instantanee a obligatiunii. Pentru a obtine ecuatia pretului obligatiunii, putem utiliza diferite

metode de evaluare.Pentru a fi acoperit mpotriva variatiilor pretului obligatiunii cauzate de variatiile unui

alt activ, agentul economic poate sa adopte o pozitie scurta sau lunga asupra acestui activ

declansator de variatii. Deoarece rata dobnzii nu este un activ negociabil, aceasta operati-

une dehedgingeste imposibila. n aceste conditii, agentul economic este obligat sa plateasca

o prima de risc pentru a fi acoperit mpotriva variatiilor ratei dobnzii.

Sa vedem n ce modalitate putem realiza o operatiune de hedgingpentru obligatiuni de

maturitati diferite. Vom construi urmatorul portofoliu: vom cumpara o obligatiune de o

unitate monetara n valoare de 1 cu maturitatea 1 si vom vinde o alta obligatiune de o

unitate monetara n valoare de2cu maturitatea2. Valoarea portofoliului este data de:

=2 1 (8)1 O singura variabila de stare.


54/107


n raport cu dinamica (5) pretului obligatiunii, variatia valorii portofoliului n timpuleste

data de:

= [2(2) 1(1)] + [2(2) 1(1)] (9)

Sa presupunem ca1 si2 sunt definite de relatiile urmatoare

1= (2)

(2) (1) (10)

2= (1)

(2) (1) (11)

astfel nct termenul stocastic din ecuatia portofoliului sa dispara. Ecuatia ce guverneaza

valoarea portofoliului devine:

=

(1) (2)

(2) (1) (2) (1)

(2) (1)

(12)

n cazul n care investitorii au o atitudine neutra fata de risc, pe piata financiara se

produce un fenomen fundamental: toate activele financiare au acelasi randament sperat,

egal cu rata dobnzii f ar a risc n absenta oportunit atilor de arbitraj. n consecinta, ntr-un

univers neutru la risc, exista o singura rata de actualizare, aplicabila la oricare flux monetar:

rata dobnzii fara risc. Sa dam o definitie riguroasa: sub ipoteza absentei oportunitatilor de

arbitraj si a unui univers neutru la risc, daca exista un activ fara risc, exista o probabilitate

pentru starile posibile ale naturii la care speranta matematica a randamentului unui activ

financiar este egala cu randamentul activului fara risc.

Atunci cnd portofoliul de obligatiuni este fara risc, pentru a bloca oportunitatile de

arbitraj, randamentul sau trebuie sa fie egal cu rata dobnzii fara risc, = ().

Asadar, n absenta oportunitatilor de arbitraj: (1) (2)

(2) (1) (2) (1)

(2) (1)

= ()

de unde, prin combinarea termenilor,

(2) ()(2)

=(1) ()

(1) (13)


55/107


Relatia de mai sus ramne valabila pentru orice date de scadenta arbitrare1 si2. Astfel,

raportul ()()()

ar trebuie sa fie independent de orice maturitate . Sa notam acest

raport cu ( ):

( ) =( ) ()

( ) (14)

Cantitatea ( ) se numeste pretul de piat a al riscului de rat a a dobnzii. Acesta se

adauga ratei dobnzii fara risc si conduce la o crestere a sperantei matematice a ratei de

randament instananee a obligatiunii.

Daca nlocuim expresiile lui si n formula pretului de piata al riscului, se obtine:

1

+

+12

2 2

2 = 1

(15)

Prin urmare, n absenta oportunitatilor de arbitraj, pretul obligatiunii este solutia urmatoarei

ecuatii cu derivate partiale:

+ ( )

+

1

22

2

2 = 0 (16)

avnd conditia finala: ( ) = 1. Deoarece rata dobnzii nu este un activ negocia-bil, nu pot fi eliminate preferintele investitorilor pentru risc cuantificate prin ( ). n

consecinta, se poate obtine formula pretului obligatiunii prin rezolvarea acestei ecuatii cu

derivate partiale.

4.3. Un model simplu de evaluare

Sa ne pozitionam n cadrul unui univers neutru la risc. Am vazut ca, n acest caz,

dinamica ratei dobnzii este data de ecuatia:

= [ ( ) ( ) ( )] + ( ) (17)

si ca pretul obligatiunii este solutia unei ecuatii cu derivate partiale:

+ (

)

+1

2

22

2

= 0 (18)


56/107


Pentru a determina pretul obligatiunii, se pot face cteva ipoteze simplificatoare. Si

anume, sa presupunem ca tendinta instantanee si volatilitatea instantanee a ratei dobnzii

sunt constante. Sa notam acesti parametri cu:

= = constant si = = constant

astfel nct

= +

(19)

Ecuatia cu derivate partiale se va scrie:

+

+12

2 2

2 = 0 (20)

Pentru a determina solutia acestei ecuatii, sa notam durata de viata a obligatiunii cu

= si sa considerama priorica pretul obligatiunii este egal cu:

( ) = exp [+ ()] (21)

Prin urmare, derivatele partiale sunt egale cu:

= exp[+()]

=h

()

i

= exp[+()]

= 22

= 2 exp[+()]2

=2

(22)

Ecuatia cu derivate partiale devine:

+1

222

()

= 0 (23)n consecinta,()este solutia urmatoarei ecuatii diferentiale ordinare:

()

= +1

222 (24)

avnd conditia initiala: (0) = 0. Expresia lui ()va fi:

() =1

6

23

1

2

2 (25)


57/107


nlocuind expresia lui (),formula pretului obligatiuniieste data de:

( ) = exp

1

22 +

1

623

(26)

Avnd expresia pretului obligatiunii, putem deduceformula randamentului la scadent a(yield

to maturity):

( ) =+1

2 1

622 (27)

siformula ratei forward(sau rata la termen):

( ) =+

1

3

22 (28)

Prin integrare, ecuatia diferentiala stocastica (19) are urmatoarea solutie:

=+ +

Z

(29)

Deoarece speranta matematica a integralei stocastice este nula, speranta matematica a ratei

viitoare a dobnzii conditionata de rata curenta a dobnzii este egala cu:

[|= ] =+ (30)

Deci,

( ) =[|= ]1

322 (31)

Prin urmare, rataforwardnu este cel mai bun estimator al ratei viitoare a dobnzii. Eroarea

de estimare este egala cu 13

22. Daca viitorul este cunoscut cu certitudine, termenul sto-

castic dispare, volatilitatea ratei dobnzii va fi nula, = 0, iar rata forwardva fi cel mai

bun estimator al ratei viitoare. Media ratelor dobnzii asteptate sa se realizeze pe durata

de viata a obligatiunii este

1

Z

[|= ] =1

Z

[+ ( )] = +12

(32)

de unde concluzia ca aceasta difera de randamentul la scadenta cu 1622.


58/107


Pentru 0, se asteapta ca rata dobnzii sa scada, iar curba randamentului la scadenta

si a ratei forward sunt monoton descrescatoare n raport cu maturitatea. Pentru 0,

acestea cresc si apoi descresc atunci cnd efectul incertitudinii ncepe sa domine. n ambele

cazuri, curbele si mentin ntotdeauna aceeasi forma n decursul timpului. Numai nivelul

lor se schimba dupa cum fluctueaza rata dobnzii. Comportamentul-limita al ratelor este

urmatorul: ( ) si( ) atunci cnd .

Pentru obligatiunile pe termen scurt, pretul acestora scade cu maturitatea. n punctul

n care rata forwarddevine negativa, =

+p

2 + 22

2, derivata devine

pozitiva. Spre exemplu, pentru = 0, = 0 02 si = 10%, pretul minim al obligatiuniise obtine ntre 22 si 23 ani ceea ce nseamna ca modelul nu ofera o buna calibrare a datelor

reale. Comportamentul-limita este: ( ) , atunci cnd .

Evident ca aceste slabe calitati ale modelului provin din ipoteza facuta, si anume ca rata

dobnzii este un proces brownian generalizat (mers la ntmplare). Presupunnd ca rata

dobnzii urmeaza un mers la ntmplare, varianta lui creste fara limita. Astfel, aparitia

unor valori mari pozitive, dar si negative ale ratei dobnzii devin, prin urmare, destul deprobabile. Vasicek (1977) si Cox, Ingersoll si Ross (1985) au contribuit prin modelele lor la

rezolvarea acestor probleme.

4.4. Modelul Vasicek

Vasicek propune un model n care rata spot a dobnzii urmeaza un proces Ornstein -

Uhlenbeck:

= ( ) + (33)

unde , , sunt parametri constanti, strict pozitivi. Parametrul se numeste viteza de

revenire la medie, se numeste media pe termen lung a ratei dobnzii, iar este volatili-

tatea instantanee a ratei dobnzii. Media instantanee a ratei dobnzii este proportionala

cu diferenta ntre valoarea ratei dobnzii si media ei pe termen lung. Astfel, exista o forta


59/107


ce actioneaza ntotdeauna asupra valorii ratei dobnzii pentru a determina-o sa se ntoarca

spre media ei pe termen lung. Procesul Ornstein - Uhlenbeck se mai numeste si proces de

revenire la medie2.

Sa explicam acest fenomen de revenire la medie ce guverneaza evolutia ratei dobnzii.

Exista argumente macroeconomice n favoarea acestui comportament. Atunci cnd ratele

dobnzii sunt ridicate, economia tinde sa ncetineasca si cererea de fonduri din partea celor

ce se mprumuta este slaba. n consecinta, ratele vor ncepe sa scada. Cnd ratele dobnzii

sunt scazute, cererea de fonduri si numarul celor ce se mprumuta vor fi mari, ceea ce va

duce la o crestere a ratelor. Utiliznd definitia generala a dinamicii ratei dobnzii,

= ( ) + ( )

avem ( ) = ( ) si ( ) =. Sub o probabilitate neutra la risc, ecuatia diferentiala

stocastica se scrie:

= [ ( ) ] + (34)

4.4.1. Procesul stocastic

Sa determinam speranta matematica si varianta ratei viitoare a dobnzii, plecnd de la

definitia procesului Ornstein - Uhlenbeck urmat de variabila de stare. Utiliznd lema lui It

pentru = ( ) , obtinem:

=

(

) +

(

) +

(35)

ceea ce implica:

= (36)

Prin integrare:

=Z

(37)

2 Mean reverting process(engl.).


60/107


de unde

( ) = ( ) + Z

(38)

sau

= + ( ) () + Z

() (39)

ceea ce reprezinta forma explicita a solutiei ecuatiei diferentiale stocastice.

Aplicnd operatorul speranta matematica conditional fata de rata dobnzii la data curenta

, obtinem:

[|= ] =+ (

) () (40)

Sa determinam varianta conditionata a ratei viitoare a dobnzii. Astfel, stiind care este

varianta unei integrale stocastice, obtinem:

[|= ] = 2

Z

2()= 22Z

2

= 22

2 22

=

2

2 1 2()

Deci,

[|= ] =2

2

1 2()

(41)

n concluzie, daca rata curenta a dobnzii, , este cunoscuta, rata viitoare a dobnzii,

, este o variabila gaussiana de speranta matematica + ( ) () si de varianta2

2 1 2()

.

Mai general, daca , este o variabila aleatoare gaussiana independenta demiscarea browniana , familiaeste un proces gaussian de speranta matematica:

[] =

1 ()

+ [] (42)

si de varianta:

[] =2() [] +

2

2 1 2() (43)


61/107


Mai mult, media temporala a ratelor spot ale dobnzii este o variabila aleatoare gaussiana

de speranta matematica:

Z

|F = Z

[|F] = Z

+ ( ) () = ( ) +

= ( ) + ( )1 ()

(44)

si de varianta:

Z

|F= 2

23 1 ()2 +2

2 ( )1

()

(45)4.4.2. Pretul obligatiunii zero-cupon

Prin urmare, am vazut care sunt proprietatile procesului Ornstein - Uhlenbeck. Astfel,

stim ca att rata viitoare a dobnzii, ct si media temporala a ratelor dobnzii sunt variabile

gaussiene. Sa evaluam pretul obligatiunii atunci cnd rata dobnzii urmeaza un proces

de tip Ornstein - Uhlenbeck. Sa rescriem ecuatia cu derivate partiale verificata de pretulobligatiunii, cnd ( ) = ( ) si ( ) =:

+ [ ( ) ]

+

1

22

2

2 = 0 (46)

Sa consideram ca pretul de piata al riscului, , este constant si sa rezolvam aceasta

ecuatie pentru a obtine pretul teoretic al obligatiunii. Sa presupunem ca solutia este de

tipul:( ) = exp [ () + ()] (47)

nlocuind aceasta solutie n expresiile derivatelor partiale, se obtine:

= () ()

= ()

22

=2 ()

(48)


62/107


de unde

+ [ ( ) ] +1

222

= 0

fie:

1

=

( ) 1

222 (49)

Aceasta ecuatie este verificata pentru orice valoare a lui. Pentru aceasta, termenul care

se multiplica cu si cel independent de trebuie sa fie nuli. Deci avem un sistem de doua

ecuatii diferentiale ordinare:

= 1 (50)

= ( ) +12

22 (51)

cu conditia initiala: (0) = 0 si(0) = 0care provine din ( ) = 1. Solutiile sunt:

() = 1

(52)

() =

2

22

+

2

22

1

+

2

43 1 2

= + 1

2

43

1 2 (53)unde = . Asadar, rezolvnd sistemul de ecuatii diferentiale, se obtine urmatoarea

formul a a pretului obligatiunii:

( ) = exp

+

1

2

43

1 2

(54)

n carereprezinta randamentul unei obligatiuni zero-cupon de maturitate infinita. Acesta

este egal cu:

=

2

22 (55)

Folosind ecuatia diferentiala stocastica (??), dinamica pretului obligatiunii se scrie:

= (+ ()) + ()

= 1

1

(56)


63/107


Rata randamentului instantaneu al obligatiunii zero-cupon si volatilitatea sa instantanee

sunt egale cu:

=

1

(57)

=1

(58)

n modelul Vasicek, formula ratei forwardeste urmatoarea:

( ) = ( ) + 2

22

1

(59)

iarprima de lichiditateeste definita de:

( )[|F] = ( ) + 2

22

1

( )

=

+

2

22

1

(60)

Acest model este criticabil din mai multe puncte de vedere: coeficientii sunt constanti n

timp, iar rata lunga de maturitate infinita,(), este constanta, ceea ce nu se observa n

practica.

Volatilitatea obligatiunii este = 1

. Prin urmare, cu ct maturitatea este mare,

cu att volatilitatea este ridicata. De asemenea,

() =+

(61)

() =

(62)

Formula randamentului la scadent ase determina usor, stiind ca( ) = 1ln ( ):

( ) =+ ( )1

+

2

43

1

2(63)

Daca studiem curba ( ), observam ca:

( ) = () si ( )


64/107


n plus, daca () 242 , curba este strict crescatoare; daca 2

42 () + 222 ,

curba este, mai nti, crescatoare si apoi descrescatoare; daca + 2

22 (), curba este

strict descrescatoare.Graficul curbei de rate ale dobnzii corespunde numeroaselor curbe observate pe piata.

Cu toate acestea, exista anumite curbe ce nu pot fi descrise de modelul Vasicek. Pe de o

parte, problema de calibrare a parametrilor nu este rezolvata de o maniera satisfacatoare,

iar, pe de alta parte, () si ()nu sunt cu adevarat date observabile. n plus, exista o

probabilitate la care ratele pot fi negative.

4.5. Modelul Cox - Ingersoll - Ross

Pentru a rezolva inconvenientele modelului Vasicek, Cox - Ingersoll - Ross au propus un

model n care rata spot a dobnzii urmeaza un proces3 der ad acin a patrat ace verifica ecuatia

diferentiala stocastica urmatoare:

= (

) +

(64)

Pretul de piata al riscului este considerat a fi ( ) =

, iar este presupus constant.

Astfel, ntr-un univers neutru la risc, dinamica ratei spot a dobnzii este data de ecuatia:

= [ ( ) ] +

(65)

Cox - Ingersoll - Ross presupun ca pretul de piata al riscului face parte implicit din

structura stocastica a ratei dobnzii. Astfel, daca

=+ si =

+

ntr-un univers neutru la risc, ecuatia diferentiala stocastica se scrie:

= ( ) +

(66)

3 Square root process(engl.).


65/107


Altfel spus, n ecuatia diferentiala stocastica generala,

= [ ( ) ( ) ( )] + ( )

avem relatiile:

( ) ( ) ( ) = ( ) (67)

( ) =

(68)

( ) = ( ) (69)

4.5.1. Procesul stocastic

Sa aratam acum care sunt proprietatile statistice ale unei variabile care urmeaza un

proces de radacina patrata. Daca rata dobnzii este descrisa de un proces de radacina

patrata, speranta matematica conditionata si varianta conditionata sunt date de:

[|] =+

1

(70)

[|] =

2 2 +

2 1

2

2 (71)

Sa demonstram aceste relatii. Integrnd ecuatia diferentiala stocastica (64) ce defineste

dinamica ratei dobnzii, avem pentru

=+

Z

( ) + Z

(72)

Aplicnd formula lui It:

2 = 2 + 2Z

( ) + 2 Z

+ 2 Z

32 (73)

= 2 +

2+ 2 Z

2Z

2 + 2

Z

32

Deoarece integralele stocastice ce intervin n egalitatile de mai sus sunt de speranta

matematica nula, se obtine:

() =+ Z

() (74)


66/107


67/107


Teorema. Pentru orice si pentru careRe [] 0 si Re [] 0, avem

= ()()

unde functiile () si () sunt date de

() = 22

ln

" 2

(+)2

2( 1) + + (+ )

#

si

() =[+ + ( )] + 2 ( 1)

2( 1) + + (+ )cu : = p2 + 22.

Sa dam o demonstratie a acestei propozitii.

Demonstratie. Faptul ca speranta matematica ce urmeaza a fi calculata poate sa fie

de forma ()() rezulta din proprietatea de aditivitate4 a procesului n raport cu

parametrul si cu conditia initiala . Daca, fixnd si , consideram functia ( )

definita de:

( ) =h 0 ()ivom cauta ( )ca solutie a problemei urmatoare5:

= 2

2

22

+ ( )

(0 ) =

Daca functia verifica aceste ecuatii si daca ea are derivate marginite, lema lui It implica,

pentru orice, ca procesul( 0 ), definit prin relatia urmatoar

bogdan negrea-evaluarea activelor financiare

Documents