BLOQUE 2INTERVALOS,

DOMINIO Y RANGO CONALEP TONALA

PROF. Miguel Alvarado

Evaluación

• Cuaderno 25%

• Tareas 25%

• Ejercicios 30%

• Examen 20%

• Nota: cada participación contara sobre 1% de la calificación

• Trabajo Extra sobre 10%

INTERVALOS

Definición Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos.

Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.

Sean a y b dos números reales tales que a < b.

Intervalo cerrado

•Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.

[a, b] = { x 𝐼 a ≤ x ≤ b}

[a≤ x ≤ b]

Intervalo abierto

•Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

(a, b) = {x / a < x < b}

(a < x < b)

Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)

•Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b

(a, b] = {x / a < x≤ b}

(a < x ≤ b]

Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)

•Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.

[a, b) = { x / a≤ x < b}

[a ≤ x < b)

Intervalos infinitos

[a, +) = { x / x a} (a, +) = { x / x > a}

(- , b] = { x / x b} (- , b) = { x / x < b}

(- , + ) = R

Ejemplos

•Interprete gráficamente los intervalos:

• a) [-2, 3]

•b) (1, 4)

•c) (0, 5]

•d) [1, +∞ )

• e) (-∞ , 3)

EJERCICIOS

Operaciones con intervalos.

•Los intervalos numéricos se escriben como conjuntos numéricos, por lo que también se realizan las mismas operaciones sea, la unión, la intersección, la diferencia y el complemento.

•Observa cómo realizar estas operaciones a partir del siguiente ejemplo:

Unión de conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el

conjunto formado por la reunión de loselementos de los dos conjuntos en uno solo.

Esta operación se denota como:

Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B es el

conjunto formado por los elementos que

pertenecen a ambos conjuntos.

Esta operación se denota:

.

Intersección de conjuntos- Diferencia entre dos conjuntos

• Sean dos conjuntos A y B cualesquiera, su diferencia es el conjunto que se forma con los elementos que pertenecen al primer conjunto, pero que no pertenecen al segundo.

• Al igual que la operación aritmética que llamamos diferencia o resta, la diferencia entre dos conjuntos no es conmutativa.

• Denotamos la diferencia entre conjuntos como

A - B o

Complemento de un conjunto

•Si consideramos U como el conjunto universal y a un conjunto A que es subconjunto de U, el complemento de A lo podemos definir como el conjunto formado por los elementos que están en U y que no pertenecen al conjunto A.

•Esta operación se denota como Ac.

Ejemplo

Sean A = y B = , halla:

A)

B)

C)

D)

Para dar respuesta a estos incisos,

debes representar en una misma

gráfica los conjuntos dados y recordar

el significado de cada operación.

Es importante al escribir el conjunto

pedido, que verifiques los extremos de cada intervalo si se incluyen o no.

Respuesta del a):

• Representas en un mismo gráfico los conjuntos A y B, como se muestra. Recuerda que la operación unión toma los elementos de ambos conjuntos.

• El elemento más a la izquierda en la gráfica es el - 2 y a la derecha, la flecha va hacia el infinito.

Respuesta del b):

• Representas en un mismo gráfico los conjuntos A y B, como se muestra. Recuerda que la operación intersección toma los elementos comunes de ambos conjuntos.

• En la gráfica se observa que el conjunto B es subconjunto de A, o sea, todos los elementos de B son elementos de A, por lo que la respuesta coincide con el conjunto B.

Respuesta del c):

• Representas en un mismo gráfico los conjuntos A y B, como se muestra. Recuerda que la operación diferencia toma los elementos del primer conjunto que no sean elementos del otro.

• En la gráfica se observa que de - 2 a - 1 y de 12 hacia la derecha no coinciden los elementos de A y B, luego para escribir la respuesta solo debes analizar si los valores de los extremos antes mencionados de pueden incluir o no en la respuesta.

Respuesta del d):

• Representas en un mismo gráfico los conjuntos A y B, como se muestra. En este caso la operación diferencia es a la inversa del inciso anterior, o sea, los elementos de B que no estén en A.

• En la gráfica se observa que todos los elementos de B son elementos de A, por lo que B es subconjunto de A. Como no existen elementos de B que no estén en A, la respuesta es el conjunto vacío.

Tarea:

•Considere los siguientes intervalos:

•A = [-3, 3]; B = (-3, 3); C = [-1, ∞]; D = (-4, 5].

• B ∩C •A ∩ B•B ∩A•C ∩ D•D ∩A•B ∩ D

RANGO Y DOMINIO

Definición función • Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que a

cada número del conjunto de partida le corresponde una sola imagen del conjunto de llegada.

Dominio de una función

•Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

Rango de una función

•Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba.

CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES

• FUNCIONES POLINÓMICAS:

• Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”.

• Son funciones polinómicas : La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

EJERCICIO 1 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3• Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los

números reales. Dom f(x) = R

El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.

Rango = (– ∞ , + ∞ )

EJERCICIO 2 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = 𝑥2 – 2X – 3

• Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales.

Dom f(x) = R

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4.

Rango = [– 4 , + ∞ )

EJERCICIO 3 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = –𝑥2+ 5X – 4

Dom f(x) = R

Rango = (– ∞ , 2.25]

1) Determinar Dominio y Rango de f(x) = 𝑥3 – 6𝑥2 + 8X

2) Determinar Dominio y Rango

de f(x) = 𝑥+2

𝑥−3

3) Determinar Dominio y Rango

de f(x) = 𝑥−1

2𝑥+3

4) Determinar Dominio y Rango

de f(x) = 𝑥2−1

𝑥−1

NOTA:

Realizar la tabla y grafica para cada uno de los ejercicios