be fatigue presentation

8/18/2019 BE FATIGUE Presentation

1/57

BUREAU D’ÉTUDE II

• Fatigue (Cour & TD: 6h)

• Tribologie (Contact Hertzien) (Cour & TD: 4h)• Lien flexible (Courroies) (Cour & TD: 4h)

• Couplage Moteur/Récepteur (Cour & TD: 4h)• Engrenage (Cour & TD: 16h)

• Etanchéité (Cour & TD: 6h)

• Projet (40 h)


2/57

FATIGUE

• Concentration de contrainte• Limite d’endurance/Courbe de Wöhler

• Facteurs d’influences sur sD• Diagrammes de fatigue uniaxiale

• Diagrammes de fatigue multiaxiale• Applications


3/57

CONCENTRATION DE

CONTRAINTES

moy = !??

σmoy

σmax = k tσmoy

Zone d e concentration

moyt

k σ

σ max=

σmoy

moy= !??


4/57

Concentration = f( de quoi)

kt est fonction de:

TYPE DE L’ENTAILLETYPE DE SOLLICITATION

Donc il existe:kt (flexion) = ktf

kt (torsion) = ktokt (traction) = ktt


5/57

Exemple de kt

Gorge pour circlips

Mtd

D

r

D = 25 mm, r = 3 mm, d = 20 mm

r/d = 3/20 = 0.15 D/d = 25/20 = 1.25

Abaque k t0 = 1.35Si la valeur de kt ne se trouve pas sur l’abaque: Interpolation


6/57

CONCENTRATION DE

CONTRAINTE: ABAQUE


7/57

ENDOMMAGEMENT PAR

FATIGUEFATIGUE ?

Rupture

0

D o m m a g

e

100%

III

III

Durée de Vie

100%


8/57

LIMITE D’ENDURANCE

• COURBE DE WOHLER

temps

c o n t r a i n t e II

I

III


9/57

LIMITE D’ENDURANCE DE

RÉFÉRENCE σD´• Éprouvette de référence:

φ = 6 à 10 mmétat de surface de référenceforme sans entaille

• Essais de référence:Flexion rotative

• Fiabilité de référence:50% de chance de survie• Température de référence T = 25oC


10/57

Courbe de Wohler: différentes

probabilités de survie

cycle

75% 90%50%

106

σa

σD’

σD’σD’

Acier : D’ = rt(0.58 - 1.110-4 rt) MPa D’ = 0.5 rt


11/57

Équation de la courbe de Wohler:

Zone de fatigue limitée

103

0.9σr

106

σD'

N

σa

fiabilité de 50%

Ni

σD' (Ni)

A N k a =σ


12/57

Équation de zone linéaire

3

3)log(

9.09.0)(

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′=

i N

r

Dr i D N

σ

σ

σ σ

( ) D

r

i D

r i

N

N σ

σ

σ

σ ′

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =

9.0log

3

3

)(

9.010


13/57

Exemple

Acier 35CrMo4: σrt

= σrc

= σr

= 920 MPa.σD(106) = 400 MPa fiabilité de 50%.Déterminer σD(10

5) et Ni pour σD = 600 MPa.

MPa X

X D 5099209.04009209.0)10(

3

3)10log(

5

5

=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

−

σ

( ) cycles X N X

i 213236009209.010 400

9209.0

log

3

3 =⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

Pour N = 1500 tr/mn

21323 cycles : 21323 / (1500) = 14 mn ???


14/57

FACTEURS AFFECTANT LA

LIMITE D’ENDURANCEσD = kskgkpkTσD’

k s: Coef. d’effet de surfacek g: Coef. d’effet d’échelle (grosseur)

k p: Coef. d’effet de sollicitation (charge P)k T: Coef. d’effet de la température

σD : Limite d’endurance, Limite de fatigue, Résistance à lafatigue de la pièceσD’ : Limite d’endurance de référence (celle de

l’éprouvette normalisée)



15/57


LIMITE D’ENDURANCE, suite• Pour k g

kg = 1 si ≤ 10 mm

kg

= 0.85 si 10 <≤

50 mm

kg = 0.75 si > 50 mm• Pour k T

Co71Tsi 1

Co71T si 273

344

≤=

>+= T T k



16/57


LIMITE D’ENDURANCE, suite• Pour kp

kp = 1.00 flexion rotativekp = 1.05 flexion plane

kp = 0.90 traction - compressionkp = 1/√3 cisaillement


17/57


LIMITE D’ENDURANCE, suite

Pour ks


18/57

Concentration de contrainte en

fatigue kf

kf = 1+(kt -1)qkt: Coefficient de concentration de contrainte

statiqueq: Coefficient de sensibilité à l’entaille


19/57

Coefficient de sensibilité à l’entaille

q:

TorsionFlexion , Traction, Compression

DIAGRAMMES


20/57

DIAGRAMMES

D’ENDURANCES (Fatigue)• SOLLICITATIONS UNIAXIALES

c o n t r a i n t e

ondulé positive alterné ondulé négative

répétéquelconque

quelconque pur quelconque répété

temps


21/57

SOLLICITATION UNIAXIALE

)sin( t am ω σ σ σ +=

2minmax

2minmax

σ σ σ

σ σ

σ

+=

−=

m

a

DIFFÉRENTS DIAGRAMMES


22/57

DIFFÉRENTS DIAGRAMMES

D’ENDURANCES

σm

σa

σD(Ni)

++

+++

+

+

σe

droite de Soiderberg

parabole de Gerber

parabole expérimentale

droite de Goodman

σr

É ti d diffé t


23/57

Équations des différents

diagrammes

( ) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

2

1r mi N Da

σ

σ

σ σ

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= r

mi N Daσ

σ

σ σ 1

Diagramme de Gerber

Diagramme de Goodman

( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −=

e

mi N Da

σ

σ σ σ 1Diagramme de Soiderberg

SOLLICITATIONS


24/57

SOLLICITATIONS

MULTIAXIALES

CONTRAINTE DYNAMIQUE: AMPLITUDE ÉQUIVALENTE

2

2)32(2)31(

2)21()(

aaaaaaeqa

σ σ σ σ σ σ

σ

−+−+−=

CONTRAINTE STATIQUE: MOYENNE ÉQUIVALENTE

2

2)32(2)31(

2)21()(

mmmmmmeqm

σ σ σ σ σ σ

σ

−+−+−=

CAS I

CAS II σm(eq) = σ1 oubien σ2


25/57

DIAGRAMME DE HAIG

Diagramme de Haig à partir de Goodman modifié

σD(Ni)

σe σr −σe

σa

σm45ο45ο I

IIIV

III

Équations de s dans les 4


26/57

Équations de s dans les 4

zones du diagramme

)()( eqmeqaesσ σ

σ

+=Zone I:

r

eqm

i N D

eqas

σ

σ

σ

σ )()(

)(

1

+=

)(eqa

Ds σ

σ

=

Zone II:

Zone III:

)()( eqaeqm

esσ σ

σ

−

−=Zone IV:


27/57

Diagramme de Haig à partir de Gerber

σD(Ni)

σe

k σr

−σe

σa

σm45ο45ο I

IIIIIII

(k=2- D(N

i)/

r)


28/57


29/57


30/57

• Hypothèses:

La courbe de Wohler expérimentale n’estpas disponible

• La zone de fatigue limitée est une droitedans le repère log-log

• T < 70 C


31/57

• Analyse:

σD (103

cycles) = 0.9σrt = 945 MPaσD’ = σrt(0.58 - 1.110-4σrt) = 487.7 MPa (acier)

kp = 0.9 (traction)

d


32/57

Diagramme de fatigue

N (log)

σD (log)

103 cycles 106 cycles

945 MPa

258.5 MPa


33/57

Exemple 2

Sectionà vérifier

P

F

Mt

P = 5000 N; F = 500 N; Mt = 250 Nm; N = 1500 tr/mnr = 3 mm; d = 30 mm; D = 35 mm; l = 100 mm, T = 150 oCσe = 600 MPa; σr = 890 MPa; A% = 13; Acier: 25CD4Clavette k to = 3.8, k tf = 3.15, Rclavette=0.016d0.8 (mm)


34/57

Calcul statique

Flexion: Mfmax = PL/4 = 5000X0.1/4 = 125 Nm

σ = 32Mf /πd3 = 32X125000/(π303)= 47 MPa

Torsion: Mtmax

= 250 Nmτ = 16Mt/πd3 = 16X250000/(π303)

= 45 MPa

Concentration de contrainte:σmax = ktf σ = 3.15X47 = 148 MPaτmax = kt0τ = 3.8X45 = 171MPa


35/57


36/57

Calcul Dynamique

• Limite d’endurance σD’ Acier: σ

D’ = σ

rt(0.58-1.110-4σ

rt) = 429 MPa

Coefficients d’influences:kg = 0.85 φ< 50 mm

kp = 1 flexion rotativekT = 0.81 T = 150oCks = 0.7 (Abaque)

kff = 2.61 (q = 0.75 abaque et ktf = 3.15)kft= 3.38 (q = 0.85 abaque et kto = 3.8)


37/57

Limite d’endurance réelle σD:

σD = kgkpkTksσD’= 0.85 X1X0.81X 0.7X429 = 206.7 MPa

Contrainte statique équivalente:

σm(eq) = τmax√3 = 296.2 MPa !? (Pourquoi)Contrainte dynamique équivalente:

σa(eq) = 2.61X47 = 122 MPa !? (Pourquoi)


38/57

Haig (Goodman Modifié)

σD(Ni)

σe σr −σe

σa

σm45ο45ο I

IIIV

III

(330, 269)

Zone I: s = 1.001


39/57

A faire (zone de compression)

Calculer le coefficient de sécurité:

• En statique par les 3 critères sansconcentration de contrainte

• En statique avec concentration decontrainte

• En dynamique par Haig construit parGoodman modifié

CONCLURE???

E l 3


40/57

Exemple 3

• Déterminer le coefficient de sécurité de

l’arbre de la ponceuse suivante:D = 18 mm,r = 5 mm,

surface usinée100

50

d = 16 mm

Ft

ω

Fn

z

y

x

Acier: σr = 900 MPa; σe = 750 MPa; Couple de frottement Mt = 12 N.m;Coefficient de frottement f = 0.6; T


41/57

• Mt = 12 N.m Ft = 120 N

• f = 0.6 Fn = 200 N• Les forces Ft et Fn My et Mz

• My = FtX50 = 120X50 = 6000 N.mm• Mz = FnX100 = 200X100 = 20000 N.mm

• Mf =√ My2

+Mz2

= 20880 N.mm• Abaques ktt = 1.28; kto= 1.1; ktf = 1.28


42/57

• Abaque torsion :q = 0.93

• Abaque flexion: q =0.91• Abaque compression: q = 0.91

• kfo = 1.09; kfc = 1.25; kff = 1.25• Torsion: τ = ktoX16Mt/πd3 = 17.05 MPa

• Compression: σc = 4Fn/πd2

= -1.27 MPa• Flexion: σf = kff X32Mf /πd3 = 65 MPa


43/57

• Statique: Torsion et Compression

σm = 29.5 MPa• Dynamique: Flexion

σa = 65 MPa

σD = 0.5X900X(kpXkgXksXkT)= 450X(1X0.85X0.7X1) = 268 MPa


44/57

σD(Ni)

σe σr −σe

σa

σm45ο

45ο

I

IIIV

III

(738, 12)

CAS I: Zone II: s = 3.68 Von-MisesCAS II: Zone III: s = 3.8 contr. maxi

Ch t lé t i


45/57

Chargements aléatoires

• Dommage linéaire (Palmgren-Miner)

12

2

1

1 =+++=

∑ k k

i

i

N

n

N

n

N

n

N

nL


46/57

Exemple1

Graphe est schématique

40

80

-40

-80

0

20 secondes


47/57

• Données:σ

D= 60 MPa (106 cycles) (tous coefficients

inclus)0.9σr = 142 MPa (103 cycles)

Échantillons de 20 s tel que:5 cycles à 80 MPa2 cycles à 90 MPa

1 cycle à 100 MPaCalculer la durée de vie ?


48/57

140

σ MPa

100

908060

N cycles1061.61043.8104105

Echelle logarithmique

103


49/57

• Règle de Palmgren-Miner:

Durée de vie:

1/0.0001651= 6059 ; 6059X20 = 121180 s

Une durée de vie de 34h

0001651.0

610.1

1

810.3

2

10

5445

3

3

2

2

1

1 =++=++

N

n

N

n

N

n

Exemple 2


50/57

Exemple 2• La section critique d’un élément de machine est soumise à

l’état de contrainte suivant:

Echantillon représentatif 6 s

-50-100

-300

150200

350400

a b c d b

F(t)

Aluminium

σe = 410 MPaσr = 480 MPa

MPa


51/57


52/57

• Cycle a: 2 cycles

σmax = 150 MPa, σmin = -50 MPa

σa = (σmax - σmin)/2 = 100 MPa

σm = (σmax + σmin)/2 = 50 MPa• Cycle b: 4 cycles

σmax = 200 MPa, σmin = -50 MPaσa = (σmax - σmin)/2 = 125 MPa

σm = (σmax + σmin)/2 = 75 MPa


53/57

Diagrammes de HAIG


54/57

Diagrammes de HAIG

σa

480410 σm

σe = 410 MPa; σe = 480 MPa410

~100 MPa

~150 MPa

~400 MPa

~300 MPa

Contrainte dynamique à σm = 0 équivalente pour chaque cycle


55/57

(σa, σm=0)i Ni à la rupture pour

chaque cycle

107

450

(107,125)

103

400

2.5103

300

2104 3.5106

150

MPa

Cycles

Règle de Palmgren-Miner


56/57

Règle de Palmgren Miner

0005011.0510.2

1

10

2

510.3

42346 =+++∞=+++=∑ d

d

c

c

b

b

a

a

i

i

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

DURÉE DE VIE = 1/0.0005011 = 1996 périodes de 6sSOIT 199.6 mn = 3h20mn


57/57

be fatigue presentation

Documents