automated trading 2 fr ppt

8/8/2019 Automated Trading 2 Fr Ppt

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Copyright 2003, Daniel HERLEMONT, tous droits rservs http://www.yats.com 1

Marchs Terme dIndiceset

plateforme de trading automatiqueIntraday

IIGestion du risque, levier

Systmes automatiquesArchitecture & Dveloppement

Daniel HERLEMONT, [email protected]: 06 10 48 02 99


Sommaire partie II

m Rappels :F Plateforme de tradingF biais comportementaux et faits stylissF Styles de trading

m Gestion du risque :F Var Intraday FuturesF Gestion du levier, stratgies "optimales"

m Estimations : volatilit , temps de passage, plus haut, plus bas, m Aspects techniques:

F trading manuel vs automatiqueF analyse stats vs prdiction temps rel,F backtesting, optimisation , datasnooping, model trading, F prdictibilits et patternsF Architecture systme, standard, gestion des donnes, programmation

s'automates (en JAVA)


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Biais comportementaux

m Excs de confiance (Overconfidence)=> prise de risquem sur raction (aux statut quo)/ sous raction(aux changements inattendus)m Point de rfrence (Anchoring)m Aversion aux pertes- asymtrie ngativem Mimtisme- semble plus prononc en priode calme que sous stress, atteint un maximum juste

avant un krachm Anomalies : effet Janvier, effet lundi, situation spciales (entre sortie

Indice, OPA, fusion, annonces, etc )

m Dans un systme de trading, peu importe l'origine, de l'inefficience:exprience, modlisation, data mining, il est souhaitable de pouvoirl'expliquer par des biais comportementaux et/ou fondamentaux et/ou techniques pour juger de la robustesse, pertinence et stabilit dans le temps


Faits "styliss"

Absence d'auto-corrlation des rendementsLa traduction la plus immdiate de l'Hypothse des Marchs Efficients (EMH)rend inefficace toute mthode dite "linaire" : moyenne mobile, analyse de Fourier,

"Fat tails" (queues paisses)la distribution des prix ne suit pas une gaussienne, comme le prdit l'EMH.Les pertes svres ne sont pas aussi rares relation directe entre : mimtisme, liquidit et kurtosis (mesure de l'aplatissement)

Asymtrie ngative:biais vers les pertes plus leves.Li plusieurs facteurs : aversion aux pertes, analystes, politique de communication : les blue ships tantplus sujettes une forte asymtrie ngative.

Clustering de volatilitles priodes calmes alternent avec des priodes de grande activit

Effet de levier: corrlation ngative rendement / volatilit :si le prix baisse, le ratio d'endettement augmente et donc le risque et donc la volatilit, et inversement discutable

Corrlation volume / volatilit:une augmentation du volume correspond, en gnral, une augmentationde l'intensit (frquence) de trading

Auto-corrlation valeur absolue des rendementsc'est l'autocorrlation la plus forteles mesures dite robustes (valeur absolue, range, .. ) donnent de meilleurs estimations

source: Rama Cont


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Importance de l'asymtrie

rendements lev asymtrie ngative levs

La prime marginale de risque augmente avec l'asymtriecohrent avec une fonction d'utilit dont l'aversionabsolue dcrot avec la richesse U'''>0


70% des day traders perdent de l'argent

Les rendements des prix suivent (en premire approche) un mouvement brownien gomtrique :- indpendance = la meilleure prdiction possible est le cours actuel.- facteur d'chelle ~ racine carr du temps (consquence de l'indpendance) :

volatilit jour = volatilit annuelle / 2600.5rendement jour = rendement annuel / 260

Les donnes intradaysont domines parla volatilit (bruit)

La tendance apparat clairementa des horizons de temps de l'ordrede plusieurs annes

rendement volatilit signal/bruit = r/ ~ t1/2annuel 5% 20% 0.25 jour 0,02% 1.26% 0,016temps caractristique = 2 / 2 temps pour lequel signal ~ bruitexemple prcdent T=16 ans !!!

signal/bruit = r/ ~ t1/20 lorsquet 0


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Styles

m trend following / momentumF suivi de tendance :F joue une auto corrlation > 0

m contrarian / valueF Achte (resp vend) les valeurs "sous values" (resp sur-values)F joue une auto corrlation < 0

m Long/short, march neutre, risque neutre, etc ...

Achat

vente


Momentum vs Contrarien ?

m Momentum: acheter les winners, vendre les loosersF en gnral: asymtrie ngative

gains rguliers mais faibles, pertes leves mais raresF investisseurs impatientsF Explications comportementale: sous raction aux nouvelles, transmission

d'information, persistence dans les cycles conomiques, ?m Contrarien: acheter les loosers, vendre les winners

F en gnral: asymtrie positive:pertes faibles mais rgulires, gains levs mais rares

F investisseurs patients et plus prudent (?)F Tentative d'explication: sur raction trs court terme, retour la moyenne

trs long termem vidences empiriques:

< 1 semaine 1 mois 3 12 mois 3 5ansContrarien Contrarien Momentum Contrarien

Porte en gnral sur des socits de faible taille et peu liquidesTentatives d'explication de retours anormaux par une rmunration d'un risque plus lev de- de capitalisation- d'endettement- de liquidit


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m But : limiter les risques

m Long/short: achat et vente simultane de titres diffrentsF Peut tre bas sur une stratgie de type contrarien (achat simultan des losers

et vente dcouvert des winners ) ou momentum (vente dcouvert des loserset achat des winners): si les stratgies sont les bonnes, on est gagnant sur les 2pattes.

F pas ncessairement hedg contre divers risques, mais limite au moins la casseen cas de problmes: co mouvement directionnel suite un krach, pannes,indisponibilit,

m arbitrages classiques (actif cot sur diffrentes place, options, etc )m Autres arbitrages (avant/aprs OPA, entre/sortie dans un indice, , )m Convergence trading: pari sur un "retour la moyenne (spread )

F exemple: pairs trading, cointgration, VAR


Risques

m Risque de march :F Cest lexposition dun portefeuille due aux mouvements et aux changements

des facteurs du march : taux dintrt, cours des actions, taux de changem Risque de crdit :

F Exposition au risque quune contrepartie fasse dfaut ses engagements :payer la dette dun crancier, ou les coupons dune obligation mise,restructuration de la dette.

m Risque de liquidit:F Cest le risque li la dtention dun actif peu liquide, ce qui ne permet plus de

faire une couverture aux prix du march, et ncessite une dure beaucoup plusgrande pour la liquidation des positions. Cest le cas particulirement pour lemarch des OTC.

m Risque de modle :F Les pertes dues lutilisation dun modle erron, ou pas assez prcis pour le

pricing, et la gestion du risque. La validation par des modles indpendants estla procdure la plus utilise pour luder ce genre de problmes.

m Risque Oprationnel:F Cela comprend un grand nombre de sources de risque, allant de la fraude au

risque technologique, au risque li au changement de lgislature entre lesdiffrentes filires dune banque dans plusieurs pays. En raison de la diversitet la disparit de ces sources, le risque oprationnel est trs difficile quantifier.

Source: ENSAE


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Gestion du risque

m Gestion du risque = identifier les risque, les mesurer, mettre en place desmoyens (procdures, gestion) pour viter des pertes inacceptables

m les principaux risques en trading sur futuresF risques oprationnels: en premier lieu:

personnel: erreurs humaines, autres dfaillances, matrielles, logicielles, rseau, anomalies/pannes broker, place de march : risque de dfaut, litiges, pannes, ..

F risque de marchm Estimations

F VaR, Expected ShorfallF Fonction d'utilitF Gestion du levierF ratios: Sharpe, Sterling (rendement/maxDrawDown), Omega...

m Contrle: procdures, reporting, ajustements, mesures (stop loss, arrt),


VaR

m VaR = Value at Risk =perte potentielle maximale pour une probabilitfixe sur une priode donne.

F Exemple si VaR(95%,10jours)=1 Million ,la perte maximale sera infrieure 1 Million , avec une probabilit de 95%

m Trs utilis, carF rend bien compte de la notion de risque, y compris et surtout extrmesF facile comprendre, mme par les managers F devient rglementaire :

m Ble (1995)F VaR 1 %, 10 jours, sur historique de 1 an au moins.F Besoin en capital = Max [VaR(jour-1), 3*MA(VaR,6jours)]F Mesure svre


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Estimation de la VaR

m Un double dfi :F manque de donnes: comment estimer des probabilits d'vnements qui ne

sont que trs rarement observs ?F dont on ne connat pas la loi de distribution

m Mthodes:F VaR historique : quantile de l'chantillon

encore faut il avoir suffisamment de donnes .F VaR normale

ne tient pas compte des queues paissesF Approximations (Cornish Fisher)

mieux que la VaR normale, mais pb de validit de l'approximation et intervalle deconfiance car bas l'estimation de moments d'ordre 3 et 4

F Thorie des valeurs extrmes (Frechet, Gumbel, Weibull, Pareto Gnralis,)


Estimation VaR nave

pic au centre + queues paisses

= Distribution leptokurtique

Histogramme des incrments de 1 heure sur 500 jours de cotations Gaussiennesigma=18.5

Var 1 heure 90% 95% 99% 99.90% 99.99%Normale 23.7 30.5 43.1 57.2 68.5Historique 21.0 29.5 53.0 98.0 129.0hist/normal 0.9 1.0 1.2 1.7 1.9 divergence

Note: on travaille en incrments et points de base, et non pas en %, car plus adapt au trading sur futures.Finalement assez peu de diffrence entre incrments et incrments des log ( cette echelle de temps)


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Tout sauf normal !!!

qqplot incrments de 1 heure

Perte -3 sigma

attendue ~ 50

ralise ~ 100~ 8 sigma !!!quasimentimpossibleavec l'hypothsenormale

Idem pour les haussessans doute moins marqu(asymtrie ngative- a voir . )

La perte "normale" -50 -3 sigma ( ~ 0.14%),se produit en ralit -2 sigma ( ~ 2.28%)soit en ralit, ~ 16 fois plusd'vnements 3 sigmaque dans le modle normal

Lecture verticale

Lecture horizontale

Queues de distribution "anormales"

Centre de distribution ~ gaussien


Dviation normalit en fonction de la dure

N ticks > 5 millions

1 minute 10 minutes10 secondes

|incrment| ~ 25 pts en moins de 10 secondes

La divergence est d'autant plus marque que l'intervalle de temps est court

Les fortes pertes 10 secondes sont sensiblement les mmes que les pertes en 1 minutes .Les mouvements de trs forte ampleur se produisent des instants prcis et trs rapidement ce qui laisse trs peu de temps pour ragir fonctionnement par bursts: pic d'activi+forts mouvements alternent avec des priodes de calme


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Exemples distributions

Toutes les distributionsn'ont pas des queuespaisses: exemple laloi uniforme

autres exemples:binomialegaussienne tronquequi sont des profils de P&L de systmes de trading avecprofit exit et stop loss.

Student, degr delibert = 3peut tre utilispour modliserla distributiondes incrments

Cauchy

l'extrmepossde

une moyenneet varianceinfinies

Exponentielle:galement utilisepour modliser lescours

Rappel normal=


VaR CAC40 Future Intraday

tude empirique portant sur le contrat CAC40 Future,tude de la queue de distribution d'un portefeuille de Futures

L approximation normalesemble correcte pour 1-alpha < 95%

le centre de distribution est peu prs gaussien, consquence duThorme de la Limite Centrale

pour 1-alpha >> 95%La VaR gaussienne (212) sous estimela VaR historique (305) qui sous estimel approximation de Cornish Fisher (505)

Le TCL n est pas applicable aux

queues de distributionL approximation normalesous estime largement lesvnements rares :

A noter : dposit exig, de l ordre de 4500 VaR(99%,1jours)/3cf exigence de Ble, sauf que le capital exig est sur 10 jours:3*VaR(99%,10jours) >> dposit requis


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Exposant de queue de distribution

P(X>x)=1-F(x) ~ C x-

P( x= 1 la moyenne est infinie

CAC40 Future intraday

Estimateur de Hill

~ 3 6=1/ ~ 0.15 0.3

La variance de l'estimateur est grande

CAC40 Future intraday2 ans (2002/2003)

dpend de la priodeen cours de journe

08:00:00 22:30:00

11:00:00 14:30:00


Thorme des Valeurs Extrmes

Comnent estimer des probabilits d'vnements rares dont on manque de donnes ?

Thorme des Valeurs Extrmes:

Il existe, , tels que le (Mn-)/ converge vers

=0 Weibull>0 Frechet0,avec entre 0.2 et 0.5, soit un exposant de queue entre 2 et 5

estimation par mthode de block maxima et maximum de vraisemblancesuppose un historique important et chantillon iid

pour une estimation plus prcise de la VaR, on pourra utiliser les lois de Pareto Gnralises


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Estimation des queues de distribution par les valeurs extrmes

incrments prix 0.23 15 35

chantillon: sur 500 jours, fin = 30/9/2003, de 10h00 17h30, n ticks > 8 millionsincrments = 1 heureEstimation du modle GEV (Generalized Extreme Value)


Distribution de Pareto Gnralise -GPD

On s'intresse la distribution des pertes au del d'un certain seuil u:

Pour les distributions vrifiant le thorme des valeurs extrmeset pour un seuil u suffisamment grand, Il existe, tel que Fuconverge vers la distribution de Pareto Gnralise

Si n est le nombre total de l'chantillon et Nu le nombre de valeurs dpassant u ,alors

On peut aussi estimer l'esprance de la perte en cas de dpassement de la VaR (Expected Shortfall)


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GPD fit

chantillon: sur 500 jours,fin = 30/9/2003,de 10h00 17h30,n ticks > 8 millionsincrments = 1 heure

u=20, n=3388, Nu=303= 0.144 0.06= 11.7 1.

Excellent fit


VaR exemple avec GPD

ParetoHistorique

Normal

Cornish Fisher


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Estimation du seuil pour Pareto Gnralis

Dtermination du seuil u: compromis entre un seuil lev et signification de l'estimation:

Estimation du paramtre de forme () et Var en fonction du seuilmontre une excellente stabilit du rsultat dans les zones -/-3 sigma

~ 1.5 VaR(99%,1h;GPD) ~ 50

Intervalle de confiance : il n'est pas possible d'obtenir de trs grandes prcisions pour le paramtre de forme (xi)L'intervalle de confiance dans l'estimation GPD est obtenu par la mthode de "Profile Likelihood"


Dtermination des intervalles de confiance par la fonction de vraisemblance

0+0*0-

L*

L*-1.92

La fonction de vraisemblance peut tre utilise pour dterminer les intervalles de confiance,la fonction G^2 suit une loi du khi2 un degr de libert:


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Conclusion tude VaR Future Intraday

1. La VaR normale des seuils < 90% semble tre une bonne approximationvoire une sur estimation de la VaR historique

2 La VaR extrme (>0.99) est largement sous estime par la VaR normale

3 les meilleurs rsultats sont obtenus par l'utilisation des distributions de lathorie des valeurs extrmes (Pareto Gnralis, )

Nota: L'utilisation des incrments semble donner de meilleurs rsultats que les incrments en % (logarithme).De fait, sur les marchs futures, on raisonne plus souvent en points de base qu'en %


Sigma(t)

H=0.33 => Anti-persistence intradaysemble + prononce en priodes les pluscalmes

H de l ordre de 0.6 suractions et indices:persistence des chellesde temps plus longues(>journe)

(T) ~ tH H = exposant de Hurstinduit, des auto-corrlations "longues", souvent modlis par des processus de type"fractals", H est coef. de similarit H.

>1/2 Persistence:auto-corrlation positive,les forteshausses (resp. baisses) ont tendance se succder,plus souvent le cas pour des actions/indices (actions/indices H ~ 0.6 - 0.7)

H = 1/2 Gaussien


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GARCH(1,1)

Coefficients0 1 13.087e+02 1.474e-01 2.555e-12

chantillon: sur 500 jours, fin = 30/9/2003, de 10h00 17h30, n ticks > 8 millionsincrments = 1 heure


Kurtosis

La kurtosis est probablement infinie, ce quiremet en cause toute approximation du typeCornish Fisher, dpend de l'exposant de la queuede distribution,

distribution gaussienne ou exponentielle: tous lesmoments sont finisloi puissance d'exposant P(X>x) ~C x- -1 :les moments d'ordre suprieurs sont infinisavec ~3 la kurtosis est infinie

Normalement nulle, pour une gaussienne

K(t) ~ K1 /t1/2

Interprtation classique: l'paisseur de la queue est aussi une signature d'inefficience due la prsence despculateurs

La kurtosis est directement lie au mimtisme ? Cf. modle Cont-BouchaudModle Hwang : le mimtisme est mesur par la dispersion transversale (atteint son maximum avant un krach).

Instabilit de l'estimation: l'intervalle de confiance de la kurtosisempirique dpend des moments thoriques d'odre 8 !!! Sans douteinfinis

ref: "empirical porperties of asset returns: stylized facts and statistical issues", Rama Cont.


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Utilit espre

Rendement Risques

Rendement Risques

U (w) > 0U (w) < 0

w

U

Agent risquophobe: prfre un revenu certain un mme revenu espr (et donc alatoire)L'utilit est cense mesurer la satisfaction de l agent, fonction d'un revenu alatoire

Il y autant de f.u. que d agents . Dpend de l aversion pour le risque de l agent

ma prfre : f.u. en logarithme .Indice relatif d aversion au risque = 1,

On tentera donc de maximiser la satisfaction de l agent:maximun E [U(w)]

Aversion relative pour le risque= -w U"/U' = ne dpend pas du niveau de la richesse


Utilit - exemple

104 16

UU(w)=ln(w)loterie : w1=4 avec p=0.5, w2=16 avec 1-p=0.5E[w]=p w1 + (1-p) w2 = 0.5*4+0.5*16=10E[U(w)] = p U(w1) + (1-p) U(w2)

= 0.5*ln(4)+0.5*ln(16)=ln(8)=U(8)

Aversion aux risques : concavit de la f.u. revenu gal, prfrence pour le certain sur lalatoireE[U(w)] < U(E[w])

Quel est le revenu certain quivalent au revenu alatoirerevenu alatoire=quivalent certain+ prime de risque10 = 8 + 2

8

Cas gnral: = prime de risqueU(E[w]-) = E[U(w)]prime risque absolue - 1/2 U"/U' variance(W)prime risque relative (en %) - 1/2 W U"/U' variance(W)pour faibles variations, par un dveloppement de Tayloraversion relative = - U"/U'= 1 pour une f/u. en log

Exemple : portefeuille d'actions, avec rendement=10% volatilit=40%,prime de risque = variance/2 = 0.42 /2= 8%, quivalent certain (salaire) = 10%-8%=2%pour un quivalent salaire de 100 000 par an,il faut gnrer une performance 5 fois plus grande 500 000 sur un portefeuille de 5 millions et encore l'aversion au risque est faible

U(w)

w

Quel revenu certain (salaire) souhaiteriez vous en change dun revenu incertain (investissement) ?

E[U(w)]

U(E[w])

Indiffrence: quivalent certain (8) vs revenu alatoire (10)prfrence revenu certain si revenu certain > 8prfrence revenu alatoire si revenu certain < 8


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Var, Utilit, Esprance-Variance ?

m Esprance/VarianceF Utilit espre

si Utilit quadratique et/ou variations faibles.

F VaR dans le cas gaussien seulement.

m Le plus souvent, les rendements restent ngligeables devant les risquesextrmes => Maximiser un f.u. avec des queues paisses est assez proche dela recherche du minimum d une VaR

m Dans le cas de stratgies risque neutre (ex: pairs trading), on tente de se

protger contre les risques extrmes, les rendements sont faibles et desleviers ncessaires l ajustement du levier devient un facteur essentiel .


Gestion du levier

m Comment dterminer la fraction de capital investir dans l'actif risqu ?m En fonction

F du rendement et risques attendusF du capitalF l'aversion aux risques

m SoientF S un actif risquF W un portefeuilleF f la fraction investie dans S

m une stratgie possible : optimiser le taux de croissanceF Kelly, Vince, Thorp, Merton, Maslov, Baviera, Cover, F stratgie trs souvent cite parmi les traders sur futures, hedge funds,


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Kelly

m Kelly (1956 Bell Labs) avec Shannon, pose le problme suivant:F gain = doublement de la mise, avec une probabilit 1/2


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Kelly (exemple)

p=0.7 q=0.3f*=p-q=0.4 et G* ~ 8%soit

Il vaut mieux sous estimer que surestimer f*pour f ~ 2*f* G


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Kelly - Application modle binomial et Futures (suite)

gain: w %, avec probabilit=p, perte: l %, avec probabilit=q=1-pg=p log(1+fw)+q log(1-fl)f*=(pw-ql)/(wl) = a/(wl)avec a= pw-ql esprance arithmtique

Exemple: contrat Future CAC40, stratgie de type brackettrading encadrement des gains + des pertesprofit exit +20 pts et stoploss -20pts, un trade par jour

Capital par contrat = WL / (p W-qL)= Kn contrats = arrondi.inf(Capital/K)

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 50 100 150 200 250

jours

c r o i s s a n c

Kelly Buy&Hold

sous jacent en pts S 3000multiplicateur m 10valeur contrat m*S 30000Systeme de tradingdelta pts pts 20cout c 4gain/contrat W=m*pts-c 196perte/contrat L=m*pts+c 204proba gain p 0,54proba perte q=1-p 0,46probacritique pc=L/(W+L) 0,510gain en % sous jacent w 0,65%perte en % sous jacent l 0,68%Esprance a=p w-q l 0,040%Kellyf* f*=a/(w l) 9,00taux de croissance / trade G*=p ln(1+f w)+q ln(1-f l) 0,180%nb trades n 250taux de croissance global exp(nG*) 1,57% 56,96%catipal requis par contrat W L /(pW-qL) 3332

capital 10 000nombre de contrats 3marge / contrat 2400n contat/marge 4,2


Kelly - Exemple Futures (suite)

Suppose tre investi avec levier 22 sur future DAX :quasiment 100% de la marge !!!Avec 55 contrats en fin de priode !!!

problmes ?

P(gain) trop optimiste ?Stationnarit des probabilits ?slippage ? (gain et pertes relles != attendues)avantage vs taille des ordres vs Liquidit ?Complexit oprationnelle avec la taille ?

Soit plus de 1000% / an !!!! Cherchez l'erreur ..

Exemple type contrat DAX, multiplicateur = 25delta trading +/- 20 pts, probabilit gain = 0.58

0%200%400%600%800%

1000%1200%1400%1600%1800%2000%

0 50 100 150 200 250

jours

c r o i s s a n c

Kelly Buy&Holdsous jacent en pts S 3 000multiplicateur m 25valeur contrat m*S 75 000Systeme de tradingdelta pts pts 20cout c 4gain/contrat W=m*pts-c 496perte/contrat L=m*pts+c 504proba gain p 0,58proba perte q=1-p 0,42probacritique pc=L/(W+L) 0,504

gain en % sous jacent w 0,66%perte en % sous jacent l 0,67%Esprance a=p w-q l 0,101%Kellyf* f*=a/(w l) 22,80taux de cro issance / t rade G*=p ln(1+f w)+q ln(1- f l ) 1 ,161%nb trades n 250taux de croissance global exp(nG*) 18,21% 1720,67%catipal requis par contrat W L /(pW-qL) 3 289capital 10 000nombre de contrats 3marge / contrat 2 400n contat/marge 4,2capital en fin de periode 182 067n contrats 55Buy & Holdf*/2 11G(f*/2) 0,87%

8,77


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Sensibilit

0

10

20

30

40

50

60

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

levier

p succs

Trs grande sensibilit du levier enfonction de la probabilit de succs

delta(levier) = 2S/pts delta(p)= 600 delta(p)

delta(p)=0.01 => delta(levier)=6 !!!

Grande sensibilit du levier vs estimation des gains et pertes.

exemple prcdent : bracket trading autour de 20 pts sur DAX, avec p(succs)=0.58 => f* 22si le gain passe 19 pts au lieu de 20 pts,ou la perte passe 21 pts au lieu de 20,f* passe 7 au lieu de 22 !!!

Or: l'esprance d'un perte est plus souvent plus grande qu'attendue et celle d'un gain plus faible les raisons peuvent tre multiples :spread (bid/ask), chasse aux ordres stop, pb de liquidit, stoploss en situation de krach,


Dsir et ralit

Taille des positions

Performance

Les positions ne peuvent par tre multiplies l'infinie sans tenir compte de facteurs quidtriorent la performance:- liquidit- profondeur de march (impacts)

La stratgie de Kelly suppose le mme succs avec 55 contrats qu'avec un seul: c'est faux La probabilit gain dcrot avec la tailleRappelez vous sur-estimer le levier est catastrophique .or le levier est trs sensible la probabilit de gain ...

=>

estimation raliste des probabilits de gain en fonction de la liquidit et autres facteurs de risquestratgie moins agressive (Kelly Fractionnel)diversification multi supports / multi stratgies


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Exemple levier optimal - march action

LES DANGER D'UN LEVIER TROP ELEVE: exemple:

+ 25% ou -15% par mois avec probabilits 50/50

Avec une levier de 5, pour une mise de dpart de 100, au bout de 12 mois, le capital probable est de 3 !!!!

Le levier optimal est 1.33 = (.5.025-.5*.15)/(.25*.15), gain gomtrique moyen = 3%, gain probable au bout de 12 mois = 47%ce qui est fort diffrent d'une perte de -97% avec un levier de 5 !!!

Ruine certaine si levier = 1/perteMax = 6.67,

risque lev et perte , si on utile un levier = 2 * levier optimal

En revanche : utiliser un levier prudent = levierOptimal/2, entraine un manque a gagner de 25% seulement.

!!!! Les rendements sont multiplicatifs .Aprs une perte de 50%, il faut 100% de hausse pour se"refaire" ...

Le critre de Kelly est la stratgie optimale:le portefeuille le plus probable croit de manire exponentielleW(T)=exp(T sharpe2) W0sharpe= /

Comparaison Buy&Hold et stratgie optimale active:


Exemples

Fonctionne mieux en ajustement intraday sur futures avec faibles cots de transaction:levier de 2 du sous jacent nContrats = 0.2 Capital / valeurSousJacentnContrats= levier Capital / multiplicateur * valeurSousJacent

Un levier constantamplifie les hausses

et les baisses

un levier trop grand (5)conduit a des pertes rapides


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Exemples (suite)

NASDAQ

S&P 500Utilisation d'un levier constant ~ 2

Peut mieux faire en intraday future,avec une estimation dynamique des volatilits:taux sans risque : r 2%= rendement+2 /2, rendement 5%levier optimal ()= (-r)/ 2 = + 0.03/ 2

Opportunits en ce moment (Nov. 2003) ?car faible volatilit (historique) et reprise conomique=> autorise des leviers plus levs

Plus de 60 fois la valeurdu NASDAQ et pourtantle levier n'est que de 2


NASDAQ en levier 5

Levier 5dmontre le caractre exponentielde la stratgie :NASDAQ * 3500 !!!bien loin de NASDAQ*5explosion la hausse

mais implosion la baisse .

Reste quelques cents


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Ajustements dynamiques

Les stratgies de type Kelly (ou bases sur une fu isolastique) ncessitent des ajustements permanents, afin demaintenir une proportion constante ("Constant Rebalanced Portfolios"):

f1 q S > 0 SUIVEURon doit acheter lorsque l'actif monte et vendrelorsqu'il baisse.

f=1: on est investi 100% dans l'actif risqu,et on le restera mme en cas de hausse ou debaisse de l'actif.

Soit un portefeuille d'une valeur 1000 avec seul actif risqu de valeur unitaire 10, avec un levier de 4. On dtient donc 400=(1000/10)*4units de l'actif. Le mois suivant, l'actif perd 20%, l'actif passe 80. Le levier tant de 4, la perte en capital est quatre fois plus importante,la valeur du portefeuille devient 3200=400*80 !!! Pour maintenir un levier constant de 4, il faut ajuster le nombre d'units en fonction : desnouvelles valeurs du portefeuille (3200) et l'actif 80, soit un nombre d'units : 160=(3200/80)*4, il faut donc allger de 400-160=240 units,soit de 60% =(4-1)*20% (cf ci dessous)

On doit ajuster la quantit pour vrifier :

Donc


Kelly - Distribution quelconque

f* /2 f*f*/2

G*3/4 G*

f

GG f- f 2/2

p(r) distribution des rendements discrte ou continue

solutions approches au second ordre:

Exemple:perteMax=20%alors f*


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Allocation optimale inter-temporelle en temps continu

Merton - Continuous Time Finance

Recherche de l'allocation optimale x

On retrouve les mmes rsultats que dans le cas mono-priodiqueavec la matrice de covariance, le vecteur des rendements (i = i-r),r le taux sans risque, l'aversion relative au risque.Solution par contrle optimal stochastique (Hamilton-Jacobi-Bellman)

Cas d'actifs (ou stratgies) non corrles

Rsultat remarquable, sachant que et peuvent dpendre du temps

Mais:1. suppose que les proportions sont ajustes en continu2 ne tient pas compte des cots de transaction.

Cas mono actif rsultats analogues au CAPM la diffrence essentielle que:- le CAPM est mono priodique- Kelly (ou Merton) est multi-priodique- dans le cas de Merton, les pondrationsvarient , mais faiblement=> rajustements toujours ncessaires

Applicable tout processus,pas seulement I(1)Merton est applicable desprocessus de retour la moyenne(OU),


Levier optimal - cas continu - exemple mono actif

Exemple d un modle lognormal

la stratgie optimale consiste maintenir un ratio constant dans l actif risqu: = aversion au risque =1, pour un f.u. en logarithme.

Exemple: action/indice classique: CAC40rendement R 5%,taux sans risque =2% = volatilit 30% = R +2 /2 = .05+0.32 /2 = 9.5%=> f=(-r) / 2 = (.095-.02)/0.09 = 0.83=> investi 83% en CAC40(si fu en log) :

f* ~ 1 : traduit une hypothse de non arbitrage Kelly vs Buy& Hold ?

Exemple f* tels que mesurf* mesur depuis

CAC40 0.91 1990DAX 1.3 1990E50 1.72 1990

DJI 1.54 1930NASDAQ 2 1984


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DJI

y = 0.7479x + 6E-05R2 = 0.3834

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

s i m g a ^ 2

/sigma^2pour les actions composant le DJI,depuis le 2 janvier 1962 au 6 mars 2002.

levier moyen f* 1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

AA

AXP

BA

C

CAT

DD

DIS

EK

GE

GM

HD

HON

HWP

IBM

INTC

IP

JNJ

JPM

KO

MCD

MMM

MO

MRK

MSFT

PG

SBC

T

UTX

WMT

XOM


Comment gagner sur une actif qui perd

si Rendement = 0, l'action reste stable

Une stratgie active permet nanmoins de gagneren restant investi 50% tout instant

car R=0 =>= 2 /2 > 0 =>levier f*= / 2=0.5taux de croissance optimal G*(r=0) = 2 / 2 = 2 /8

si =40% G*(r=0)=2% / anpas trop mal pour une action qui stagne et plus elle est volatile meilleure est la performance !!!si =100% G*(r=0)=12.5% / an

Source maslov, Zhang

Kelly gagnetout en restant l'achatsur un actif qui perd !!!

!!! ln ST /S0 ~ gaussienne moyenne ( - 2 /2)T et variance 2 T

La stratgie de type Kelly (portefeuille CRP)peut tre vue comme un systme de "capture"de la volatilit

Compatible avec l'efficience des marchs: l'effet dela stratgie de Kelly sera de rduire de la volatilit "une centrale hydraulique qui va capturer une nergieproduite par la hauteur des vagues, aura pour effet derduire la hauteur des vagues, mais peut on imaginerun ocan sans vagues ni temptes . " COVER

Fonctionne aussi pour R0donc < 2 /2, dans ce cas f0

Non seulement on peut battre le sous jacent avec un levier < 1 mais on peut gagner sur un sous jacent qui dcline


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Levier et Sharpe

Sharpe ~ / , une autre mesure du rendement corrig du risque

Relation Kelly avec Sharpe:

Optimiser le taux de croissance est assez proche de l'optimisation du ratio de Sharpe .

Sharpe dpend du temps :

si un facteur d'chelle en 0.5le levier optimal ne dpend pas du tempsf*(intraday)=f(jour)=f(mois)=f(anne)

pour tre considr comme une bonne stratgie, le Sharpe annuel doit tre > 2

f ~ / 2 => f=Sharpe/

donc si Sharpe=2 et=10%, sur un seul actif, suppose un levier f= 20 !!!

(En premire approche)


Drawdowns

Drawdowns = perte historique depuis le dernier plus hautmesure de risque agressive: A

B

CE

DF

H

G

I

drawdownsA/BC/DC / FC / H..

Drawdown

Loi universelle: les queues de distribution des drawdowns suivent une loi puissance

Avec solution de

Modle binomial: gain avec probabilit p, perte - avec 1-p

Cas gaussien

1/ reprsente le drawdown probable.

Le Drawdown s'exprime aussi en %:D% = (Wmax-W)/Wmax=1-1/D,Probabilit (D%>x%) = P(D>1/(1+x))

ratio de sterling = rendement / maxDrawDown%exemple exigence forte: 30% rendement annuel, max drawdown 10% (Sterling=3)


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Kelly et les drawdowns

Portefeuille de Kelly se comporte comme un processus gaussien multiplicatif:

Exposant de la densit des Drawdowns

Hypothse : investissement dans un actif risque de rendement (instantan) et volatilit2

Le drawdown est sur le point de divergeresprance et variance infinies

Justifie, encore une fois, l'intrt d'utiliser des stratgies moins agressives (kelly fractionnel)

Avec f*/2, l'esprance et la variance sont finies

Rsultat universel: indpendant de la distribution des rendements !!!


Drawdowns (suite)

Exemples = 4 Prob(perte historique > 50%) ~ 12,25%50% capital/2 depuis le plus haut historique = 4 correspond un Kelly/2

= 2 Prob(perte historique > 50%) ~ 50% !!! = 2 correspond Kelly

Une mthode simple pour dfinir une gestion cohrente:exigences de gestion:

rendement 30% par anmax drawdown, ne doit pas dpasser 10% (au seuil de 5%)

=> > 30 DD%=10% DD=1/(1-0.1) P(> DD) ~ DD^(--1)< 5% > 1+log(0.05)/ log(1-0.1)=29.43,

=2 / 2et=30%=> < 15%=> sharpe = / > 2

P(D>-drawdown)DD% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%DD=Wmax/W 1.11 1.25 1.43 1.67 2.00 2.50 3.33 5.00tau 2 0 .9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000

3 0.8100 0.6400 0.4900 0.3600 0.2500 0.1600 0.0900 0.04004 0.7290 0.5120 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.00805 0.6561 0.4096 0.2401 0.1296 0.0625 0.0256 0.0081 0.00166 0.5905 0.3277 0.1681 0.0778 0.0313 0.0102 0.0024 0.00037 0.5314 0.2621 0.1176 0.0467 0.0156 0.0041 0.0007 0.00018 0.4783 0.2097 0.0824 0.0280 0.0078 0.0016 0.0002 0.00009 0.4305 0.1678 0.0576 0.0168 0.0039 0.0007 0.0001 0.0000

DD% = (Wmax-W)/Wmax=1-1/DDDD=1/(1-DD%)Probabilit (DD%>x%) = P(DD>1/(1+x))

Si une stratgie de type Kelly (proportion constante),sous entend d'utiliser un levier 15 fois infrieur celui de Kellyaversion relative pour le risque de l'ordre de 15


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Kelly Fractionnel

Malgr la prise en compte des risques, le levier optimal de kelly reste agressif,Une mauvaise estimation des paramtres peut conduire une sur estimation du levier et donc:dcroissance rapide du capital dans des drawdowns svres

Il est plus "prudent" d'utiliser des fractions du levier optimal: se placer f*/2, f*/4.

Kelly Fractionnel: utiliser un levier f= f*, avec 0 achatf>1 on est suiveur de tendance: hausse => achat, baisse => vente

Il existe des "no trade regions" : re-quilibrage uniquement lorsque le ratio sort de bornes f max, f min,

exemple=12,5%,=20%, f=0.6, avec des cots de 0,5%, ne pas faire rajuster tant que f reste dans un intervalle del'ordre de 10% autour de f.La rgion de "non trading est proportionnelle la racine cubique des cots (ref: Leland, Baviera, )si c= cot %

Si / 2 0 ou 1,f 0f maximum pour / 2 0.5, le sous jacent est quasi stable (rendement = - 0.52 0)

permet de retrouver la variationncessaire de l'actif pour sortirde la zone de "non trading"

Impact trs important des cots de transaction sur une gestion active


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Quantits

Les quantits ne sont pas indivisibles . Pour justifier d'un rajustement encore faut il queq soit entier(peut poser problme sur futures notamment )q=1

la pondration optimale w* ralise le maximum du taux de croissance =>

Conclusion : en raison des cots et des quotits, il n'est pas possible d'ajuster en permanence:Quelle consquence sur le taux de croissance ?


Kelly en intraday ?

Faire du CRP en intraday est dlicat en raison:

- des cots de transaction- courtage- spread

- des quantits indivisibles

Possible si les variations sont importantes: se placer immdiatement encontrarien (tjrs pour maintenir le ratio constant) si les cots de transaction sont suffisamment faibles, la stratgiede Kelly (ou CRP) peut alors se coupler une stratgie de tenuede march, car on connat l'avance les prix limitesd'intervention, ce qui aura pour effet de rduire l'impact desfrictions

Vente

Achat

Exemple simple de tenue de march: Placer des ordres limites d'achat et vente cours cette stratgie peut tre bnficiaire en elle mme (tenue de march), ce qui annule l'effet ngatif des cots de transaction

Achat

Vente

Attention, l'effet Mickey . il faut tenir compte des priorits l'excution, il peut y avoir un forte anti-autocorrlationcas de spread trop large, (penny stocks, Eurotunnel, Eurodysney)avec accumulation des ordres limites sur la fourchette doncsans vritable opportunit

Si srie des prix, obtenue en retirant toute |variation| p=.7Esprance=p (+2c) + (1-p) (--2c)=(2p-1) -2c,c= cout de transactionEn pratique on trouve E() 0 exemples:future= 10, p=.7 c=2 / share (IB)E=(2p-1) -2c = 10 (2*0.7-1)-2*0.02 = 0action= 0.1$, p=.7 c=0.02$ / share (IB)E=(2p-1) -2c = 0.1(2*0.7-1)-2*0.02 = 0action= 0.5%, p=.7 c=0.1%E=(2p-1) -2c = 0.5(2*0.7-1)-2*0.1 = 0 bref p=0.7 =>0 = 5c


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Retour vers le future

Stratgiede trading

Calcul du levier optimalanalyse correlations, ...

Sries Trades/ncontratsLes mmes principes de gestion du levier s'appliquent auprofil des P&L

Soient Ri les profits (et pertes) absolus par contratles Ri sont issus:- de l'historique des oprations,- ou d'une distribution espre- ou les deux .

W richesseSoient S le prix du contrat, M = multiplicateur1 contrat investissement M S = aversion relative aux risques

Stratgie corrige:levier nombre de contrats par oprationon/off


Kelly tout simplement

Vince prsente Kelly d'une manire simple:

soit TWR = valeur terminale du portefeuille aprs N priodes

Le levier se traduit directement terme de niveau de risquesigma(levier) = levier * sigma, si bien que l'on peut reprsenterla valeur terminale probable TWR en fonction du risque.La performance n'est pas croissante avec le risque, mais atteintun maximum correspond au levier optimal.


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Le levier optimal est trs sensible aux plus fortes pertesdonc aux queues de distribution:

Levier optimal, asymtries, valeurs extrmes

Cas d'une distribution, avec queue en loi puissance

Source: Thse de Baviera

Le levier optimal est d'autant plus faible que:- la distribution a uneasymtrie ngative- lakurtosis est grande ce qui est le cas de la plupart des actifs financiers !!! Mn= moment d'ordre n=E(rn)


Estimation du levier optimal

Estimations indpendantes de et (voir aprs)

Estimation directes: rsoudre

Mthodes adaptatives et itratives: voir Portefeuilles Universels

Cas multivari et cas gnral:

Les contraintes pouvant tre arbitraires (vente dcouvert ou pas, contraintes sur actif particulier, secteurs,cot de transactions, ) : ncessite des programmes complexes d'optimisation dans le cas gnral

sinon, on pourra utiliserune premireapproximation, du mondegaussien sans contraintes

Monde gaussien avec contraintes

L'erreur d'estimation du levier est en1/ estimation d'autant meilleure que l'actif est volatile !!!


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Kelly-Conclusion (provisoire .)

m Stratgie optimaleF avec le meilleur taux de croissance (si iid)F Le taux de croissance = taux de croissance certain quivalent (peut tre compar

au taux sans risque)F minimise aussi la dure pour atteindre un objectif F le risque de ruine n'existe pas en principe

m Points critiques :F Stratgie trs active : maintenir un ratio constant a tout moment => tenir

compte des cots de transaction.F Risque importants en cas de dpassement du levier optimal, les drawdowns

peuvent tre svres F Positions pouvant tre importantes => Kelly FractionnelF Suppose une modlisation correcte: ncessit une estimation correcte des

rendements et risques attendus. le plus dlicat tant l'estimation des rendementsF mais . Il existe aussi des mthodes "non paramtriques"


Kelly - Mthodes non paramtriques, adaptatives et universelles

Portefeuilles Universels (Thomas Cover - prof. Thorie de l'information - successeur de Shannon)Mthodes non paramtrique, adaptative et optimale (universelle)

approche classique:- Modlisation- stratgie optimale | modle -> G*(modle) = / 2

Inconvnients:- problmes d'estimations des paramtres (surtout)- risque de modle:

mauvaise adquation,

variation des paramtres dans le temps

Approche Non paramtrique, on-line et universelle

- non paramtrique: pas besoin de spcifier un modle"let's the data speak""

- online: adaptation en fonction de nouvelles donnes

- universel: convergence vers la stratgie optimalea posteriori (Hindsight )

L'algorithme de COVER garantit que le taux de croissance du portefeuille universel (UNI)converge vers le taux de croissance optimal rtrospectif du meilleur portefeuille CRP (BCRP)

lim G (UNI)= G(BCRP)t

Comme si on tait capable de se projeter dans l'avenir et slectionner un portefeuille qui aurait donn les meilleurs rsultatsa posteriori !!! Avec des hypothses minimales sur les distributions: la seule hypothse est |E log(rendement) |


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Proprits remarquables du meilleur CRP et fondements

Note: concavit du logarithme la performance de tout CRP est meilleur que la moyenne des performances

BCRP = meilleur portefeuille CRP au temps t

xt = performances relatives des actifs au temps tnormalisation W0=1, w=pondration constante sur toute la durePerformance d'un CRP:

Taux de croissance optimal

Thorme fondamental:si les xt sontIID, la meilleure stratgie est une stratgie CRP, c'est celle qui maxime le taux de croissance = BCRPla distribution des rendements peut tre quelconque, multivarie, pas ncessairement lognornales, avec ou sans correlations, En pratique les rendements ne sont pas iid, mais suffisamment proches pour que ce thorme puisse s'appliquer avec succsCe thorme est d'autant plus pertinent que l'efficience des marchs s'accrot

BCRP bat le meilleur actif .le buy & hold dans un seul actif est aussi une stratgie CRP particulire

Tout portefeuille buy & hold (BAH) est moins performant que le meilleur actif:

BCRP fait mieux que la gestion indicielleBCRP bat les indices classiques du type DJI ou CAC40 Et tous les portefeuilles BAH, en gnral On peut toujours gnrer de la performance absolue par une couverture BAHadquate en fonction des objectifs (dollar neutre, march/btas neutre)

le portefeuille BCRP bat la moyenne gomtrique (indice Value Line)(en raison de la concavit du logarithme)


Portefeuilles Universels (suite)

0.001

0.01

0.1

11 10 100 1000 10000

t

l n ( t ) / t

Le temps de calcul du portefeuille universelcroit de manire exponentielle avec le nombred'actifs !!! Incalculable au del de 9 actifs

Mais il existe des mthodes approcheslinaires avec le nombre d'actifs et historique

La convergence peut tre longue

Quoiqu'il en soit, fournit des fondements thoriques importants pour justifier des mthodes non paramtriques et adaptativespourvu qu'elles vrifient certaines proprits (universalit et comptitivit)S'agissant de march actions, il est difficile de prtendre des modlisations prcises, on doit accepter une large classesde distribution et processus candidats : les hypothses des ptf universels fournit un tel cadre ce faisant on ne peut donc esprer gure mieux que ces rsultats ce qui n'est pas si mal La pratique montre que ce type d'algorithmes donne des rsultats bien meilleurs que la limite du pire cas.

ln(t)/t ~ 1% au bout de 2 ansmais il s'agit du pire cas

Algorithme YATS


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Kelly adaptative (suite)

Krach de 87le levier est trs sensible aux fortes pertesaura du mal a s'en remettre

Richesse finale = 737 506, soit ~ un facteur de l'ordre de 1000chelles logarithmiques !!!

Gain > x 1000


^FCHI from:19900301 to:20031110con stant l evera ge (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 3425.19 1.872 3232.15 1.765 41.52 0.02

optimal F in Hindsight 0.92 3335.66 1.82Adaptative 0.92 11888.23 6.49

^GDAXIfrom:19901126 to:20031110con stant l evera ge (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 3746.24 2.62 4683.13 3.245 100.55 0.07

optimal F in Hindsight 1.3 4332.21 3Adaptative 1.3 23823.55 16.51

^SSMIfrom:19901109 to:20031110con stant l evera ge (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 5242.2 3.782 12377.27 8.925 9128.01 6.58


^STOXX50Efrom:19911231 to:20031114con stant l evera ge (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 2656.94 2.662 4024.5 4.025 449.04 0.45


A noter, la mthode adaptative fait mieux que le meilleure CRP a posteriori !!!


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^DJI from:19800102 to:20031110co nstant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 9756.53 11.832 54780.81 66.435 -119420.7 -144.82


^IXIC from:19841011 to:20031110co nstant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 1941.64 7.932 5600.85 22.895 232.77 0.95


^GSPC from:19821020 to:20031111co nstant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 1046.57 7.522 4143.77 29.765 -737.56 -5.3


Pas trop malmalgr un Krachcomme celuide 87


Historique

Pour le fun sur la base de ces thories, Thorp et Shannon crent le premier ordinateur "prt porter" (habillable) en 1966 pour battre le casino !!! autre aventure dans le mme style:Eudaemonic Enterprise Doyne Farmer, Norman Packard, mathmaticiens spcialis en thoriedu chaos. ralisent un ordinateur pied ! Pour exploiter les biais de la roulette au casino

puis ils crent la socit "Prediction" pour dvelopper des modles de prdiction sur lesmarchs financiers (contrats avec UBS)

Le critre de Kelly a t utilis par Ed. Thorp (lve deShannon), hedge fund (Princeton Newport Partners)arbitrages long-short, Sharpe=3 .

Utilis couramment par les traders sur Futures et hedgeFundDfaillance LTCM : pari/levier > levier optimal de Kelly


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Estimations

m Gnralits:F Les mthodes d'estimation des paramtres:

Mthodes frquentielles (maximum de vraisemblance, mthode des moments, etc ): require souvent des hypothses d'indpendances pas toujours conformes laralit.

Mthodes bayesiennes, plus adaptes sans doute aux environnements de trading online

Mthodes non paramtriques (Noyau, KNN, ..): vite modliser, ncessitent ungrand nombre de donnes.

F qualit d'estimation et intervalles de confiance

m Exemples:

F rendements, drift ()F volatilitF maximum, minimum, temps de passage, .


Estimation de la tendance

Finalement, pour appliquer Kelly, dans un modle paramtrique en f= / 2 il faut estimer deux paramtres essentiels: etle plus dlicat est l'estimation de

Estimation partir des rendements historiques: le meilleur estimateur est la moyenne:

r = ( ri)/navec ri = ln(Si /Si-1)se rduisant r = ln(Sn /S) /nles valeurs intermdiaires ne servent pas !!!On a interet choisir la priode la plus longue possible.

Pour un actif ~ lognormal (5%,20%)intervalle de confiance an 95% ~ 5% 1.64*20% !!!N'est pertinent que lorsque r devirent ~,c'est dire au bout de T tq Tr ~ T , ie. T ~2 /r 2 =0.22 /0.052 = 8 ans

nota: temps caractristique = 1/sharpe2Si Sharpe annuel = 2, on pourra juger de la pertinence du rendement au bout de 3 mois de tracking seulement !!!

Vous avez dittendance ?


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Estimations de la volatilit

L'estimation de la volatilit est essentielle: gestion du risque, pricing drivs, leviers,

Estimateur utilisant tous les ticks:

Zhouet variantes

Les estimateurs utilisant les plus haut / plus bas sontbeaucoup plus efficaces (x10) et ractifs

La mesure du range (plus haut - plus bas) est parmi lesmeilleurs estimateurs de volatilit

Estimation partir des cours de clture (ou last)

Riskmetrics (JP Morgan)

=0.94 soit temps caractristique de 16 jours ouvrs, soit 3 semaines environ GARCH(1,1)

Mthodes utilisant les extremums:Rogers Satchell, Parkinson, Garman Klass, True RangeMaximum de vraisemblance de la distribution des +hautet +bas


Estimations de la volatilit (suite)

Pourquoi utiliser les plus haut et plus bas ?

- utilise toutes les donnes disponibles

- les extremum sont des mesures agrges sur toute une priode:les open/close ne sont que photos des moments prcis

- permet d'effecteur des mesure plus prcises, robustes et ractives (meilleur rsultat avec moins d'historique)


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Estimateur de volatilit par maximum de vraisemblance avec Open/Close/High/Low

Source: Malik Magdon Ismail, Amir F. AtiyaVolatility Estimation Using High, Low, and Close Data(Algorithmes implments dans YATS)


Distributions plus haut, plus bas, temps de passage, etc ...

m Intrts des distributions des plus haut, plus bas, temps de passage, F les statistiques base sur les valeurs absolues,, les plus hauts et plus bas, sont

plus robustes (cf estimation volatilit)F renseignements pour le placement des ordres de sortie (stop, limites, )F base d'un style de trading (bracket trading)

m Quelques questions classiques:F des temps de passage pour atteindre un objectif donn.F temps de sortie d'une double barrireF timing des plus haut / plus bas


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Temps de passage

Brownien sans drift : en application du principe de rflexion

densit du temps de passage

temps pour atteindre un niveau donn x:

Mais le temps le plus frquentne dpend que de la volatilit et la barrire

Exemple: un stop -3% avec une volatilit de 32% (0.02/jour) temps typique = 0.032 /3* 0.022= 0.75 d une journe detrading, soit 6 heures Trailing stop temps constant T est proportionnel : TrailingStop 1.73 T

Le temps typique de passage peut tre vu comme l horizon optimal d investissement tant donn un objectif

Le temps de passage d'une diffusion "anormale"la densit est en H=0.5 pour une diffusion normale, on retrouve bien une densit en t-3/2

H temps de passage > normal , H>0.5 => temps de passage < normal


distribution des plus bas, plus haut

P(low-open < -L) 2P(close-open < -L) E[ (high-low) / open] = 2 E[ |close-open|/open ]

Cas d'un un actif sans drift (=0)

Densit de la valeur absolue


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La loi Arcsinus

La loi arcsinus : le timing du plus haut et du plusbas sur un intervalle de temps T est rgi par la loi :

Contrairement l'intuition, il y a plus de chance que le plus haut ou plus bas se produise en dbutou fin de priode (jour, semaine, mois .).Les plus haut et plus bas se trouveront le plus souvent aux extrmes : 30% dans le 2 dcilesextrmesc'est a dire les premiers ou derniers 3/4 d'heures d'un jour de trading,le premier jour ou dernier jour sur deux semaine de trading, etc ... droite ou a gauche et l'oppos l'un de l'autre.

En pratique les PH et PB se produisent bien avant ou bien aprs que la loi de l'arcsinus le prdit.L'extremum se produit dans la premiere heure dans 30% des casou la denrire heure dans 20% des cas

consquences: breakout de la premire heure et mean reversion en milieu de journe ?

Src: Timing thehighs and lows of theday , Emmanuel Acar, Pierr eLequeux and Stephane Ritz, Banque Nationale de ParisPlc


Double barrire

m Dualit temps / rendement:F au lieu d'examiner les rendements des intervalles de temps rguliers,F on intresse la dure ncessaire pour atteindre un rendement fix l'avance ou

sortir d'une barrire,m Utile pour dfinir des stratgies de trading:

F placement des ordres limites , ordres stop, avec horizon de temps

F bracket trading: estimation des profits exit et stop loss

T0

Rfrence=0

L

Hdistribution de la dure pour atteindre etdpasser H ou L la premire fois ?

Probabilit(H soit atteint avant L) ?

Distribution de la dure de sortie de labarrire ?

Problmes classiquesoptions exotiques (barrire, lookback, )


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Temps de sortie d'une double barrire

Esprance du temps de sortie d'une double barrire x10(=1)

T=0x1

x2

0

Dans le cas0 l'esprance et surtout la variancedu temps de sortie dpendent peu du drift (second ordre)

Avec p = probabilit de sortie par le haut (x2)

Dans le cas=0

Encore une faon pour estimer une volatilit:mesurer les dures dans un tunnel

offre l'avantage de fonctionner avec dessries irrgulirement espaces (intraday)

Pas si vident .En pratique

peut tre considr comme une mesure du temps de tradingcertains auteurs parlent de temps intrinsque


Temps de sortie

CAC40 FutureTemps de sortie d'une double barriere=5ptsn 52321, mean 300s, std dev 528s, skewness 5,767kurtosis 61,77 median 128 auto-correlation 0,3 E() = 300s

temps typique = 2 minutes pour franchir 5 pts la hausseou la baisse

~ ||avec de l'ordre de 1.5 1.8

(1.5 plutt en priode agite)

< 2 (cas gaussien)

tendance sortir plus rapidement que la diffusionnormale comparer |r| ~ tH ou t ~ |r|1/H

=1/H < 2 => H > => persistence

time = 8.70 delta1.76 rgression: ln(time)=2.16 + 1.76*ln(barrier) R2=1.00

CAC40 sur 2003


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Automatique vs Manuel

m Automatique:F l'automatisation de stratgies ncessite une approche rigoureuse, dans toutes

les phases: modlisation, backtests, oprations, ne laisse pas de place auhasard ..

F rduction des erreurs de tradingF ncessairement "simpliste", pour des raisons de:

difficults de calibrage, stabilit, robustesse vs paramtres de la complexit oprationnelle et de dveloppement: gestion multi actifs, mutli

quantit, excution partielle, incohrences des tats, risques de bugs ou spcifications incompltes, il n'est pas possible de prendre en

compte tous les vnements possibles (exit all ds le moindre avnement inattendu)F un travail long et complexe mettre au point

m Manuel:F Prise en compte d'une multitude de paramtres issues de l'exprience,

approche plus "intuitive",F pas souvent "formalisable": il n'est pas toujours possible, ni souhaitable dechercher automatiser des mthodes manuellesF peut ragir toute situation.

m Semi automatique:F marche:arrt, surveillance des automatismes par un oprateur ...F une approche plus sre


Trading vs tudes Statistiques

m Objectifs diffrents :F le trader est surtout intress par les prdictions et la dynamique, En trading

on est surtout intress par les dpendancesF statisticien modlise pour dcrire, ventuellement expliquer, il s'intresse

surtout aux aspects statiques, En analyse, on fait tout pour retirer lesdpendances, la plupart des analyses statistiques s'effectuent avec des variablesalatoires "Indpendantes et Identiquement Distribues"

m Des mthodes diffrentes :F Les mthodes statiques frquentielles en analyses statiques (ex: Maximum de

Vraisemblance), tudes statiques portant sur un grand nombre de donnes Les probabilits objectives existent,

F vs les mthodes Bayesiennes en dynamique: Posterior = Prior * Vraisemblance Ne soufre pas du pb d'chantillon de faible taille Mise jour en fonction de nouvelles donnes plus adaptes dans le cas d'estimation on-line et trading temps rel.


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Utilisation d'indicateurs

m Indicateurs, mis jour au fur et mesure de l'arrive des donnes, senssdonner des indications sur l'tat du march:

F Moyennes mobiles, momentumF RSI(Relative Strength Index)F Bandes de BollingerF CCI (Commoditiy Channel Breakout)F etc, .

m En ralit la plupart des indicateurs sont redondants, privilgier lesindicateurs simples, et significatifs, si possible robustes,

F du type range, valeur absolueF discrtisation (du type p(+|+-+)=0.68),

simplifie, les procdures de tests tout en enrichissant les modles

simplifie les analyses numriques, permet un traitement sous la forme de Chane deMarkov, rduit les degrs de libert.


Backtests et Data Snooping

Risque de Data Snooping: Trouver des stratgies qui ne sont que des artefacts dans les donnes.

Essayer de trs nombreux systmes avec de trs nombreux paramtres,ventuellement optimiser ces paramtresne slectionner que les meilleurs, sans savoir pourquoi ils fonctionnent=> forte probabilit pour ne slectionner que des Snoopy:c'est dire des systmes qui fonctionnent merveille sur le pass et vont se rvler catastrophiques en rel.

DATA SNOOPING dans une marche alatoire:Prenons le cas d'une marche alatoire, avec un certain nombre de data gnre, reprsentant un historique de marchdans ce cas E[gain de tout systme] est 0, car on utilise des stop loss.variance(900 trades) = 56921 au lieu de 45000 si pas d'AC (l'AC > 0 des trades entrane un risque plus lev)les 10 meilleurs systmes sur 10 000 essays correspondent au quantile 10/10000 de la gaussienne N(0, 45000)soit uneesprance de gain de 195 par tradepour le plus mauvais des 10 meilleurs !!! Avec une bonne t-stat=3.9Si on a affaire des queues plus paisses, l'illusion sera encore plus aveuglante .

Comment viter le data snooping ?- modlisation + explication des anomalies


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Trading et modlisation

Modlisation = simplification du relExemple de modles:

mean reversion (series AR(1), ARIMA, avec coefficient de rappel)Pairs trading, co intgration,Chanes de Markov,

recherche de solutions analytiques ou par simulation de Monte CarloFit: Data relle = Modle +0

Simulations: Data Synthtiques = Modle +1, avec1 0A la diffrence essentielle que l'on peut gnrer autant de donnes que ncessaire pour"rsoudre" le systme, trouver les paramtres optimaux, le maximum de la fonctionobjectif (exemple utilit horaire), sans soupon de data snooping ou suroptimisation.

On reporte le risque de data snooping sur le risque de modle: Inadquation du modle,Mauvais usage du modle, Approximations grossires, Bugs dans le dveloppement,Donnes instables,


backtesting

m Dfinir le systme de trading: traduire l'ide en modle, puis en rglesF claires et non ambigus, pouvant donner lieu a programmationF cohrentesF compltes: prvoir tous les cas

m Dfinir sa fonction d'utilitm Se placer dans des conditions les plus fidles (cas du simulateur

YATS/RAPT)F Prise en compte des cots de transaction

F de la fourchette bid/ask, ou sinon du slippage (ersatz de spread lorsqu'on nedispose pas de tous les ticks)F dlais de transmission des ordres et des priorits l'excution,

m Tester et backtester sur les donnes du march ou par simulation de montecarlo.

m Optimisations, avec prudence sur les donnes relles, sans modration surles modles.

m tudes de sensibilitF aux valeurs des paramtresF des talons : au systme de trading idal et parfait, au systme alatoire


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Critres de performance et contraintes

On doit choisir une fonction d'utilit optimiser parmi:- la fonction d'utilit classique : isolactique (logarithme, puissance),

- une utilit terminale ou utilit par unit de tempsexemple: on pourra chercher optimiser l'utilit/jouren principe, l'utilit/jour devrait donner une ide du revenu certain quivalent ( comparer un salaire, par exemple)

- le ratio de Sharpe : rendement/volatilit

- le ratio de Sterling : rendement/maxDrawDown

- une pnalisation des performances (pessimistic ratio de Pardo)

- minimiser la VaR

Ajouter cela des contraintesSur la fonction objectif: exemple: rejet de toute solution dont- le maxDrawDown serait > 10%- le nombre de trades serait jug insuffisant (pour des raisons de signification statistiques, )- etc Sur les paramtres du systme:marge ? la somme des pondrations libre ou contraintes = 1 ou =X avec X = levier uatorisvente dcouvert ? (pondration


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Optimisations

YATS inclut desmthodes d'optimisation globalespermettant de trouver des optimumsde fonctions objectifs plusieurs variables (paramtres) et sous contraintes arbitrairesMthodes utilises =

recuit simulcombin avec des optimisations locales (BFGS, Hooke, )

(ces mmes mthodes sont utiliss dans les estimateurs de maximum de vraisemblance)

Maximum global

Optimum locaux

- directement sur les prix du march pour tester et optimiser des stratgies avec un risque important de sur-optimisation- sur des donnes synthtiques issus d'un modle pour trouver la stratgie optimale du modle.

Les fonctions (avec contraintes) optimiser n'ont pas souvent les belles propritsque l'on trouve dans le livres:ne sont pas toujours continues (a fortiori ni diffrentiables),les solutions peuvent tre entires (quantits)


Stop Loss

Le Stop Loss est une pratique courante pour limiter les pertes

Exemple: position sur CAC40 Future, stop loss -10pts deperte=> permet de s'assurer que la perte ne dpassera jamais 10pts.

Oui mais si on continue et sans traitement complmentaire,le rsultat sera le mme

Si une stratgie est mauvaise, elle restera mauvaise, mmeavec stop loss.

En gnral, le stop loss fait apparatre des autocorrlationspositives.

Stop loss

Stop loss

Stop loss


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Auto corrlation des trades

perte constatearrt trading rel,passage en mode virtuelgain virtuel:reprise du trading rel

Aprs traitement, il n'y a plus d'autocorrlation vidente

En gnral la srie des trades d'un systme de trading prsente de fortes auto corrlations positives (mauvaisemodlisation, ). Tout n'est pas perdu: on peut appliquer un systme "anti autocorrlation"

exemple: Win=20, Loss=-20 Cost=4 probabilit(win)=0.5Systme brut : perte -1080 : Avec traitement Anti AC: gain de 544 !!!

Systme ultra simpliste: si AC >0, alors les proba(perte|perte)>0.5,il suffit alors d'arrter aprs une perte, et reprendre aprs le premier gain ...

Utilisation possible d'algorithmes plus sophistiqus de prdiction on line


Exemples de patterns prdictibles

Aprs le pattern "caacaac", on peut vendre le SMI, en plaant un profitExit et stop loss +/- 4 pts,la probabilit du modle tant (0.72) > la probabilit critique (0.68) avec une esprancede gain de 3.48 par contrat et par trade (aller retour)


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Pairs Trading

Stratgies Long/Short pour rduire les risques, rechercher la performance absolue:

Soient wi = pondrations dans l'actif iw0= ponderation actif sans risque

long/short dollar neutre : montant investi en long = montant en short wi = 0, i1long/short march neutre:

exemple: r1= + r2 +le portefeuille vrifiant w2 = - w1 sera ~ neutre aux variations desi 0, la fois dollar et beta neutre

co intgration / pairs tradingrecherche de retour la moyenne dans les ratios des prix x1/x2y=ln(x1)-ln(x2)rgression: y(t)=+ y(t-1)+ = 1 marche alatoire < 1 y(t) est stationnaire et y(t) prvisible mais 2(y) =2 /(1-2) peut tre trs grand si proche de 1test statistique de racine unitaire (Dickey Fuller): H0: = 1co integration != corrlation :

penser un homme ivre qui se promne avec son chien en laisseils vont nulle part mais ils y vont ensemble


Trading de spread sur futures indices en intraday

?Sn= 43,801 - 0,055 Sn-1 + eavec Si =spread = CAC40(i*10seconds) -ESTX50(i*10seconds) et ? Si=Si-Si-1Augmented Dickey Fuller Test t-stat: -10,532 =>LESPREAD EST STATIONAIRE (Dickey Fuller pvalue: 0,01)

Le spread est stationnaireon peut donc mettre en uvreune stratgie de retour lamoyenne du spread: exempleachat si spread +2=moyenne mobile

vente

achat

vente

Exemple de pairs trading sur future:

Dans tous les cas une position long/shortsemble prfrable sur futuresne serait ce que pour rendre ces instruments moins risquslimiter les risques oprationnels (pannes, krach, )


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Trading de spread sur futures indices en intraday (suite)

Mais pas si vident, en raison du vritable couts : la fourchette

Prix vente du spread

Prix achat du spread

Le spread peut aussi tre unindicateur pour ngocier un seulinstrument en utilisant desrelations d'quilibrese placer en cas de ruptured'quilibreexemple achat du CAC40

Les instruments le plus liquidessont en avance sur les moinsliquides (causalit Granger)

exemple:?CAC40t= 0,007

+ 0,487 ?ESTX50t+ 0,195 ?ESTX50t-10s+ e

en clair: les variations duCAC40 t dpendent aussi desvariations du E50 t-10s


Programmation dynamique et apprentissage

Les systmes de simulation/backtests sont myopes une opration (achat/vente) commence par une pertenette: cots de transaction, spread, la rcompense ventuelle n'intervient que plus tard pb classiques des jeux (checs, backgammon, )

A quel moment est il intressant de prendre une positionpuis sortir pour en prendre une autre, en fonction destats, gains esprs et incertitudes (risques)

Systmede trading

March+

Portefeuille

Reward- cots de transaction immdiats P&L trades avec retard

Actions: Vente, Achat

tats: rendements des actifs, indicateurs,position courante du ptf

Modle Continu de Mertonavec consommation/pargneoptimisation conjointedu flux des revenus Cet du capital W qui procure ces revenus

U (C) = salaire quivalent du trader = taux d'actualisation des revenus futurspas ncessairement le taux sans risque,permet de dfinir une fen tre mobile moyenne mobile pondre

Modle discret et mis sous la forme d'un processus dedcision de Markov = politique = fonction Etats ActionsSolution : programmation dynamique ou apprentissagetrouver les actions optimales en fonction de l'tatIl existe des algorithmes qui garantissent uneconvergence vers la solution unique (Q-learning,SARSA, TD-learning,...)


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Programmation dynamique et apprentissage (suite)

Parmi les problmes les plus complexes:

- explosion combinatoire,- risque d'overfitting (si appliqu directement aux data)

- solution analytique, si modles analytiques simples ou le plus souvent par simulationexemple solution analytique dans le cas de process lognormaux (Merton), avec mean reversion (Ornstein-Uhlenbeck, AR), avec cot de transaction(le modles les plus simples se traduisent par des quations puissante mais horriblement complexes)

- extractions de modles non paramtriques (exemple chane de Markov) et solution par des techniquesd'apprentissage

- devient rapidement inextricable

=> application raliste dans des cas relativement simples:trading sur un seul instrument (1 devise, 1 future, ),

Sujets d'etude/stage: trading sur futures indices par apprentissage automatique


Architecture

IB Trader Work StationStandalone configuration

Excel

DDE link

Socketport 7496

Internet

IB FIX/XML server

other quotes, newsfeed serverFIXML engine server

Slect socket Port = default is 7496

Enable socket clients checkbox

Plateforme de trading

DCOM bridge


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Gestion des donnes haute frquence

La plupart des outils statistiques ne sont adaptsqu'aux donnes rgulirement espaces dans letemps=> rgularisation des donnes haute frquence:mthodes:

prcdent,interpolation linaire,spline cubique

en temps rel => performance et stockage(surtout en mode simulation et backtests)

T0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Le temps d'accs disque demeure le principal goulet d'tranglement (assez peu de progrs vs CPU)

Les bases de donnes SQL sont mal adaptes la gestion des donnes haute frquencepb de performance et encombrement (produits intressant : KDB)

Utiliser plutt des structures de fichiers plats optimises pour des accs rapides par instrumentet en cross section ( une date donne)

autres problmes: gestion des mauvais ticks, gestion des interruptions, duplications, suspensions,

La gestion des donnes est trs lourde reprsente plus de 50% du temps consacr l'laboration et opration d'un systme


FIX / XML etISO15022

http://www.fixprotocol.org


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MVC architecture

Data Modelinstrumentsquoteson going ordersaccount information

Data Modelinstrumentsquoteson going ordersaccount information

View =Trading Algorithms+ (User interface)

quotes, buy/sell buttonscharts, etc

View =Trading Algorithms+ (User interface)

quotes, buy/sell buttonscharts, etc

Controller- maps user actions tomodel updates- monitor external events(price, orders, etc )

Controller- maps user actions tomodel updates- monitor external events

(price, orders, etc )

Query state

Notify change

Trading (& user)actions

State change

External eventsticks, order status

View selection

user orders,request market dataaccount information,etc ...IB TWS API


Trading manager

Broker managerQuotes manager

Eventqueue

Posting events

Read /scheduleand timely dispatch events

USER INETRFACE

tables

charts

Manual orAutomated trading

Buy/sell/cancelrequests

Actual or simulated

Historicalquotes

Live quotes feed

Simulatedquotes

Order status

Plateform Scheduler


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Order State Diagram

Placed

onStatus = filled

Filled

Cancel Placed

Cancelled

On decision:timeout, etc...

onStatus = cancelled

Notes:Transitions from Placed to Cancelled may be due to the market, orportfolio constraints (margin, etc )Transition from Placed to cancel placed may be due to decisions to cancel

the order, but a filled status may arrive while cancel is sentIn conclusion: states should be based on recieved order status.


Exemple de Diagramme d'tat d'un automate de trading

stopped

ready Entry placedevalEntry

Entry filled

Entry cancel placedtimeout

Status=filled

Exit placed

Stop lossinit

Stop loss

Exit cancelplaced

Exit filled

Stop lossplaced

Some principles:- wait for cancel confirmation before entering a new order- set to stopped on any error or unexpected state / event

Stop loss cancelplaced

Entry cancelled

Exit cancelled

Stop lossfilled

Stop losscancelled

Status=filled

Status=filled

Redo cancel

timeout


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vnements

package com.yats.trading.event;import java.util.*; /*** Trading listener.* can be registered within the Manager, via standard java method* manager.addListener.*

all "callbacks" method names start with "on" : onTick, onOrderStatus,* ....* @author Daniel Herlemont*/

public interface TradingListene r extends EventListener, TickListener,com.yats.trading.TradingConstants {

public void onMarketDepth(MarketDepthEvent te);public void onOrderStatus(OrderStatusEvent te);public void onConnectionClosed(TradingEvent te);public void onConnectionOpened(TradingEvent te);public void onError(ErrorEvent te);public void onOpenOrder(OpenOrderEvent te);public void onUpdateAccountTime(UpdateAccountTimeEvent te );public void onUpdateAccountValue(UpdateAccountValueEvent te);

public void onUpdatePortfolio(UpdatePortfolioEvent te);public void onTradingAction(TradingActionEvent te);

}

il faut ragir diffrents vnementsventuellement asynchrones:tick datastatus des ordresinformations (compte, positions, ..)connections.

Architecture push:on ne matrise pas l'arrive des vnements

S'oppose la programmation procdurale: on ne peut pas crire un seul programme linaireil faut cire es bouts de procdures qui vont partager des mmes donnes, avec tous les pbsde synchronisation affrents l'environnement est thread safe (cad que l'on peut programmercomme si il n'y avait qu'un seul processus (thread) actif


Programmation

/** Copyright 2001 YATS, All rights reserved.* Use is subject to license terms.*/

package com.yats.trading.studio.daniel;

import java.util.logging.*;import java.beans.*;

import com.yats.trading.*;import com.yats.math.*;import com.yats.trading.event.*;import com.yats.trading.studio.*;import com.yats.trading.indicator.*;import com.yats.commons.util.*;

/*** A simple mean reversion system.*

settings:* Max = maximum on b bars.* Min = minimum on b bars.*

entries:* Sell if price hits the Max* Buy if price hits the Min*

exits:* trailing stop at Max-Min* @author Daniel Herlemont*/

public class MeanReversionTS extends InstrumentEESTS {

static Logger logger=Logger.getLogger(MeanReversionTS.class.getName());

TimeSeries maximum;TimeSeries minimum;TrailingStopOrderExecutor trailingStop;

int bars=15;double profitExitPts=4;double stopLossPts=4;

public void init() {super.init();bars=getProperties().getInteger("bars",bars);profitExitPts=getProperties().getDouble("profitExitPts",profitExitPts);stopLossPts=getProperties().getDouble("stopLossPts",stopLossPts);

maximum=TickIndicators.chainByListener(Functions.maximum(bars),getLastsLiveTimeSeries());

minimum=TickIndicators.chainByListener(Functions.minimum(bars),getLastsLiveTimeSeries());

}


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Programmation (suite)

protected void evalEntry(TradingEvent event) {double max=maximum.getLastValue();double min=minimum.getLastValue();if (getLast()>=max) {entryOrderExecutor.sellAtLimit(getAsk());

// entryOrderExecutor.sellAtBid();}if (getLast()=profitExitPts || plPts


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Quelques Rfrences

index.htmlSource comment Application WEB http://localhost/trading/rapt/study/

automated trading 2 fr ppt

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