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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

“ESTRATEGIAS MÁS COMUNES QUE IMPLEMENTAN LOS

ESTUDIANTES PARA EL RECONOCIMIENTO Y GENERALIZACIÓN DE

PATRONES”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

PRESENTA:

I. I. ANGEL CASTILLO VILLEGAS

DIRECTORES DE TESIS:

DR. FERNANDO BARRERA MORA

DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ

MINERAL DE LA REFORMA, HIDALGO, NOVIEMBRE DE 2016

AGRADECIMIENTOS

Gracias a Dios por permitir que viva este bello momento, sabiendo que es una de tantas

maravillas que tienen preparadas para mí.

Agradezco a compañeros, amigos, maestros y sinodales que colaboraron en la realización

de este trabajo, en especial al Dr. Fernando Barrera Mora y al Dr. Aarón Reyes Rodríguez

por su orientación, paciencia y experiencia.

A mi esposa por darle sentido a vida y motivarme a seguir siempre adelante, eres lo más

valioso en mi vida y agradezco a Dios la alegría de tu existencia.

A mis padres y hermano, como testimonio de mi aprecio y agradecimiento por todo el

apoyo que me han brindado en el transcurso de mi vida, deseo que mi triunfo como

profesionista lo sientan como el suyo propio ya que sin ustedes no lo hubiera logrado.

RESUMEN

El descubrimiento y generalización de patrones son partes esenciales de la actividad

matemática, y el estudio de los patrones es importante en el aprendizaje de la disciplina.

Los estudiantes pueden describir regularidades de un patrón verbalmente y posteriormente

utilizar símbolos matemáticos para poder representarlo. Los procesos de identificación y

generalización de patrones pueden ayudar al desarrollo de un sentido numérico y

pensamiento algebraico.

Esta investigación es de tipo cualitativo debido a que el foco del análisis son las

características, relaciones y conexiones entre conceptos y procesos matemáticos que se

realizan al abordar actividades de reconocimiento y generalización de patrones. El objetivo

del trabajo es documentar y analizar las estrategias más comunes que utilizan un grupo de

estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica, de la Universidad Tecnológica de la Sierra

Hidalguense para reconocer y generalizar patrones lineales en secuencias figurales. El

trabajo parte del supuesto de que el proceso de observación de estudiantes durante la

resolución de problemas de generalización de patrones, pudiera permitir la identificación de

estrategias no reportadas en la literatura.

El marco conceptual que orienta este trabajo está estructurado con base en la postura de que

la mejor forma de aprender matemáticas es resolviendo problemas. Las personas piensan y

visualizan un problema de distintas maneras. Particularmente los estudiantes tienen

diferentes formas de identificar lo que es constante o variable en una secuencia de figuras y

de generalizar patrones. Para capturar estas diversas formas de pensar, la recolección de

información incluyó varios instrumentos, tales como producciones escritas de los

estudiantes y videograbaciones, las cuales se transcribieron posteriormente. Las

transcripciones fueron la base para el resumen de la información que se organizó mediante

tablas. Una vez que se tuvo toda la información se realizó un análisis, con el objeto de

visualizar la forma en que los estudiantes relacionan ideas matemáticas y hacen conexiones

entre conceptos y procedimientos.

ABSTRACT

The discovery and generalization of patterns are essential elements of the mathematic

activity and the study of the patterns is important in the learning of the subject. The

students can describe the regularity of oral pattern and after that to use mathematic symbols

to be represented. The generalization an identification process of patterns can help the

development in a numerical sense and algebraic thought.

The research is qualitative for the importance to the characteristics, relationships and

connections between concepts and mathematic processes that are made in the recognizing

and generalization of patterns. The objective of the research is to document and to analyze

the most common strategies that the students of Mechanics from the Universidad

Tecnologica de la Sierra Hidalguense use; to recognize and to generate lineal patterns in

figural sequences. The research starts with the dilemma that the observation process of the

students during problem solves of the generalization patterns could permit the identification

of strategies not found in literature.

The conceptual frame which orients this work is structure. Adopting the position the bet

way of learning mathematics is solving problems. People think and visualize a problem in

different ways, the students have different forms to identify the constant or and variable

elements in an activity with patterns. To catch these different ways to think the collection of

information included different instruments like writing compositions by the students and

video recording which were transcript. The transcriptions were the baser to the summary of

the information that were organized through tables. Once all the information was collected.

It was performed a deeply analysis, with the objective to have a wide point of view of the

way it is related mathematic ideas and made connections between concepts and procedures.

ÍNDICE

1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN .....................................................................

1.1. Introducción ............................................................................................................ 1

1.2. Revisión de la literatura ........................................................................................... 3

1.3. Planteamiento del problema ..................................................................................... 5

1.3.1 Objetivo general ................................................................................................. 6

1.3.2 Objetivos particulares ......................................................................................... 6

1.4. Pregunta de investigación ........................................................................................ 6

2. MARCO CONCEPTUAL ..............................................................................................

2.1. Introducción ............................................................................................................ 7

2.2. Una visión de las matemáticas, el aprendizaje y la enseñanza................................... 8

2.3. Marco de resolución de problemas ........................................................................... 9

2.3.1 El trabajo de Polya ............................................................................................ 10

2.3.1.1 Primera parte del trabajo de Polya .............................................................. 10

2.3.1.2 Las cuatro fases de Polya ........................................................................... 11

2.3.2 El trabajo de Schoenfeld .................................................................................... 12

2.3.2.1 Aportaciones .............................................................................................. 13

2.3.2.2 Las cuatro dimensiones de Schoenfeld ....................................................... 13

2.4. Representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas .......................... 15

2.4.1 Generalización de un patrón .............................................................................. 17

3. METODOLOGÍA ..........................................................................................................

3.1 Introducción ............................................................................................................ 18

3.2 Participantes ............................................................................................................ 19

3.3 Instrumentos para la recoleccion de la información .................................................. 20

3.3.1 Hojas de trabajo ........................................................................................................ 20

3.3.2 Elección de las hojas de trabajo .............................................................................. 25

3.3.3 Videograbaciones ..................................................................................................... 26

3.3.4 Transcripción de videos ........................................................................................... 27

3.4. Recopilación de la información ............................................................................... 27

3.5. Procesamiento y análisis de la información ............................................................. 28

3.5.1 Tablas para el análisis de la información ................................................................ 29

4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS ...........................................................................

4.1 Introducción ............................................................................................................ 31

4.2 Análisis de resultados: problema cuenta el número de cerillos ................................. 31

4.3 Análisis de resultados: problema cuenta el número de cuadros ................................. 42

4.4 Análisis de resultados: problema calcula el perímetro .............................................. 49

4.5 Análisis de resultados: problema cuenta el número de bolas de billar ....................... 54

5. CONCLUSIONES ...................................................................................................... 62

REFERENCIAS .............................................................................................................. 68

APÉNDICE A Transcripción de las videograbaciones.................................................... 75

APÉNDICE B Tablas de análisis ................................................................................. 115

CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1

1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Introducción

En la década de los 80 del siglo pasado surgió una concepción de las matemáticas como la

ciencia de los patrones (Steen, 1988). Los matemáticos buscan patrones en los números, las

formas, el movimiento, el cambio, en el espacio. Las teorías matemáticas explican

relaciones entre patrones y la forma en que se organizan éstos para conformar estructuras.

En este sentido, el quehacer matemático se puede caracterizar como la actividad de

encontrar y examinar diversos tipos de patrones: (1) patrones numéricos que implican el

reconocimiento de propiedades de colecciones de números; (2) patrones de razonamiento y

comunicación que incluyen procesos de argumentación y prueba; (3) patrones de

movimiento y cambio donde las matemáticas proveen los objetos (números, puntos, líneas,

ecuaciones, gráficas, etc.) para estudiar fenómenos en movimiento; (4) patrones entre

figuras o formas geométricas que permiten identificar y examinar propiedades de

colecciones de esas figuras; (5) patrones de simetría y regularidad que permiten capturar

relaciones profundas o abstractas de las figuras u objetos; y (6) patrones de posición donde

interesa analizar y describir patrones de acuerdo con su posición y no bajo la consideración

de sus propiedades geométricas (Devlin, 2000). A su vez, estos patrones se emplean para

“explicar” y predecir algunos fenómenos naturales o sociales.

En el ámbito educativo, algunas propuestas curriculares como los Principios y Estándares

para la Educación Matemática (NCTM, 2000) establecen que la experiencia sistemática de

los estudiantes al analizar patrones puede fomentar el desarrollo de habilidades para

percibir ideas fundamentales en matemáticas. También se señala que existen diferentes

niveles de entendimiento de los patrones que se pueden desarrollar progresivamente.

Inicialmente, los estudiantes pueden describir la regularidad de un patrón verbalmente y

posteriormente utilizar símbolos matemáticos para describirla. Al terminar la educación

secundaria los estudiantes deberían manejar con fluidez la notación funcional para extender

relaciones. En los Programas de Estudio de Matemáticas para la Educación Secundaria en

México, se considera que la identificación y generalización de patrones constituyen

elementos importantes en el desarrollo de sentido numérico y el pensamiento algebraico.


2

Para continuar el desarrollo del pensamiento algebraico iniciado en la primaria con

la construcción de fórmulas geométricas, se sugiere utilizar sucesiones numéricas

y figurativas sencillas para encontrar la expresión general que define un elemento

cualquiera de la sucesión... es importante alentar a los alumnos a buscar

regularidades, a formularlas y a producir argumentos para validarlas. No se trata

de que el maestro enseñe las fórmulas o reglas para que los alumnos las apliquen,

sino de que éstos tengan la oportunidad de ensayar, corregir y validar sus

propuestas (SEP, 2006, pp. 28, 85).

El descubrimiento y generalización de patrones son esenciales de la actividad matemática y

el estudio de los patrones es importante en el aprendizaje de la disciplina, pero ¿qué es un

patrón? De acuerdo con el Diccionario de la Lengua Española1, un patrón es un “modelo

que sirve de muestra para sacar otra cosa igual”. Sin embargo, esta idea no aporta

información sobre los patrones matemáticos que son de nuestro interés. En matemáticas un

patrón “es la regla o principio que determina de forma unívoca una familia finita o infinita

de objetos” (Guerrero, Sepúlveda y Rivera, 2006). De acuerdo con Portan y Costa (1996),

un patrón “es una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, etc.) que se construye con

base en una regla (algoritmo), ya sea de repetición donde los elementos son presentados

periódicamente o de recurrencia, en aquellos donde el núcleo cambia con regularidad”.

Un patrón numérico es la regla o principio que permite calcular los números de una

sucesión a partir de un número previo o de su posición en la sucesión, mientras que un

patrón numérico-geométrico (Bishop, 2000) es la regla que permite calcular los números

que se refieren a una sucesión de figuras geométricas en la cual cada figura se deriva de las

figuras previas.

Reconocer un patrón consiste en identificar una regla o procedimiento que permite obtener

los números de la sucesión a partir de los números previos o de su posición en la sucesión;

es decir, descubrir el comportamiento de los elementos de la sucesión. Generalizar un

patrón significa derivar o inducir, a partir de casos particulares, la regla general que permite

obtener cada número en la sucesión a partir de su posición en ésta, y expresar dicha regla de

alguna manera. Es importante señalar que autores como Radford (2006) hacen una

1 Vigésima segunda edición.


3

distinción entre inducir y generalizar, ya que en el primer caso el estudiante encuentra la

regla general mediante ensayo y error, mientras que en el segundo caso el aspecto esencial

consiste en identificar algo común (commonality) en los casos particulares y ser consciente

de que ese algo se puede aplicar a todos los elementos de la sucesión.

El trabajo con patrones numéricos y numérico-geométricos puede permitir a los estudiantes

poner en práctica procesos del pensamiento matemático tales como el razonamiento, la

comunicación y la resolución de problemas. Así, la generalización de patrones se considera

una de las formas más importantes de iniciar el estudio del álgebra pues estos procesos

permiten desarrollar formas de razonamiento en las que el estudiante enfoca su atención en

relaciones, procesos y estructuras.

1.2. Revisión de la literatura

El estudio de los patrones se encuentra ligado estrechamente con otras ideas importantes en

matemáticas como son la generalización, abstracción, inducción, sucesión, inducción

matemática, pensamiento algebraico, etcétera, por lo que ha recibido la atención de

diversos investigadores y se ha estudiado desde diferentes perspectivas. Por ejemplo, se ha

analizado el entendimiento de patrones lineales en contextos geométricos con el objetivo de

caracterizar niveles de entendimiento (Bishop, 2000), se han identificado el tipo de

representaciones que los estudiantes utilizan durante el proceso de generalizar patrones

numérico-geométricos (Cañadas, Castro y Castro, 2008) o las limitaciones del uso de tablas

en el proceso de identificar patrones lineales y representarlos algebraicamente (MacGregor

y Stacey, 1992). También se ha estudiado la relación de los patrones con el pensamiento

algebraico emergente y la variedad de modos en los que profesores en formación

generalizan y simbolizan esas características distintivas (Zazkis y Liljedahl, 2002) o la

relación entre el pensamiento algebraico y la representación de patrones desde un punto de

vista semiótico (Radford, 2006).

La generalización de patrones es considerada como una de las rutas para transitar del

pensamiento aritmético al pensamiento algebraico (Hargreaves et al., 1999), sin embargo,

algunas investigaciones han dado cuenta de que no toda generalización es de tipo


4

algebraico (Radford, 2010), ya que algunas formas de tratar con lo general no hacen uso de

un simbolismo alfanumérico para expresar esa generalidad o consideran solamente algunos

elementos comunes en forma local, por lo cual no se consideran formas algebraicas de

pensar. Los resultados relativos al desarrollo del pensamiento algebraico a partir de

actividades con patrones, presentan conclusiones diversas. Por ejemplo, en algunas

investigaciones se establece que no hay evidencia suficiente para afirmar que una

aproximación basada en el uso de patrones (como se implementa en aulas australianas en

los grados 7 a 10) equipe mejor a los estudiantes para identificar relaciones entre variables

y expresarlas algebraicamente respecto de una aproximación tradicional (MacGregor y

Stacey, 1992); mientras que en otras indagaciones se concluye que el estudio de patrones

puede promover diversas formas de pensamiento matemático (Guerrero, Sepúlveda y

Rivera, 2005).

Algunos investigadores se han interesado en analizar la relación entre la instrucción en

resolución de problemas y la habilidad para generalizar patrones lineales (Stacey, 1989);

entre las conclusiones destaca el hecho que los estudiantes que han participado en un curso

de resolución de problemas parecen entender la relación entre los datos y las reglas de

generalización de una forma más completa que estudiantes sin una instrucción previa

relacionada con esta actividad.

En relación con el tipo de estrategias que estudiantes (entre 9 y 11 años) utilizan para

generalizar patrones (entendiendo el término como extender una regularidad observada en

un conjunto de casos particulares a todos los elementos de una sucesión), particularmente

en sucesiones lineales y cuadráticas, Hargreaves et al., (1999) concluyen que las más

usuales se encuentra el calcular la diferencia sucesivas entre pares de términos hasta

obtener una diferencia constante y, en segundo lugar, considerar la paridad de los términos

de la sucesión.

En esta misma línea de ideas Orton y Orton (1999a) llevaron a cabo un estudio para

identificar los niveles de dificultad de tareas con patrones, así como los métodos utilizados

por estudiantes para abordarlos y determinar si su desempeño dependía de que la tarea

incluyera figuras, números o letras. Entre los resultados de la investigación destaca que la


5

generalización de patrones numéricos, como medio para iniciar el estudio del álgebra, no

elimina todas las dificultades de aprendizaje. En lo que respecta a la dificultad de las tareas,

los estudiantes presentaron mayores niveles de éxito al generalizar patrones lineales que

patrones cuadráticos, siendo la técnica de obtener diferencias la más ampliamente usada.

Además, fue posible establecer que la habilidad para generalizar patrones se desarrolla en

diferentes niveles y que la fijación en aspectos recursivos de la sucesión puede limitar el

que los estudiantes puedan encontrar la regla para obtener el término general.

En relación a trabajos locales realizados con estudiantes mexicanos se encuentra Téllez

(2006) siendo un estudio que pretende destacar la importancia del reconocimiento e

identificación de patrones como un elemento articulador de saberes matemáticos por otra

parte Gómez (2016) realizó un trabajo donde se analiza el nivel entendimiento que

desarrollan los estudiantes de nivel secundaria, utilizando tareas relacionadas con la

identificación y generalización de patrones lineales proponiendo documentar y analizar el

tipo de razonamiento utilizado.

1.3. Planteamiento del problema

Con base en la revisión de la literatura, se ha podido constatar que una gran cantidad de

trabajos de investigación se han interesado en el análisis de los procesos de identificación y

generalización de patrones. Sin embargo, a pesar de que este tema se ha investigado

extensamente, existen muchas preguntas que son tema de estudio; por ejemplo, conocer

bajo qué condiciones o circunstancias los diferentes contextos en que se presentan las tareas

simplifican o complican el proceso de generalización (Orton, Orton y Roper, 1999).

Lo que motiva este trabajo es identificar el tipo de relaciones que construyen los estudiantes

al diseñar e implementar estrategias que les ayuden a reconocer y generalizar patrones. De

manera que los resultados se encuentren contextualizados para estudiantes de nuestro país.

Por otra parte, aunque en la literatura se identifican diversas estrategias para generalizar

patrones, consideramos que el proceso de observar a los estudiantes durante la resolución

de este tipo de problemas puede permitir la identificación de estrategias no reportadas. Este

trabajo puede ser útil para los profesores al permitirles reconocer qué tipo de tareas con


6

patrones pueden ser útiles para que los estudiantes desarrollen un aprendizaje con

entendimiento (Hiebert, et al., 1997) y en qué circunstancias o bajo qué condiciones

pueden implementar dichas tareas para favorecer el desarrollo de un pensamiento

algebraico.

1.3.1 Objetivo general

El objetivo general de este trabajo es documentar y analizar las estrategias más comunes

que utilizan estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica, de una universidad tecnológica

pública de México, para reconocer y generalizar patrones lineales o cuadráticos en

secuencias figurales. Los objetivos particulares son:

1.3.2 Objetivos particulares

1. Identificar las estrategias que utilizan estudiantes para reconocer un patrón y analizar los

procesos cognitivos involucrados en la identificación de patrones.

2. Identificar las estrategias que utilizan estudiantes para generalizar un patrón y analizar

los procesos cognitivos que desarrollan, así como los recursos particulares empleados al

representarlo.

1.4 Pregunta de investigación

1.- ¿Qué estrategias utilizan los estudiantes de Ingeniería en Metal Mecánica para la

identificación y generalización de un patrón lineal o cuadrático en secuencias figurales?

Con los elementos de la respuesta a esta pregunta se pretende documentar las diferentes

formas en las que los estudiantes pueden identificar un patrón y si en general aplican las

mismas estrategias en diferentes tareas. También se busca identificar algunas estrategias

que aún no estén reportadas en la literatura de investigación sobre el tema.

CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL

7

2. MARCO CONCEPTUAL

2.1. Introducción

El marco de investigación está formado por una estructura de ideas y conceptos que

orientan la observación y análisis de un fenómeno desde una perspectiva u óptica particular.

De lo anterior se desprende que un problema de investigación puede abordarse utilizando

diferentes marcos. En los trabajos en educación matemática, el marco de investigación

generalmente incluye una concepción sobre la naturaleza de las matemáticas y, en

consecuencia, una visión de lo que significa enseñar y aprender la disciplina. Así, resulta

importante explicitar el marco con base en el cual se realizará la recolección de la

información y el análisis de la misma; ya que esto permitirá comprender las acciones

llevadas a cabo por el investigador, así como dar sentido a la interpretación de las

características obtenidas.

De acuerdo con Eisenhart (1991) un marco conceptual es una estructura de explicaciones y

argumentos de por qué se eligen determinados conceptos, relaciones, ideas o puntos de

vista y no otros, para sustentar una investigación. En el marco conceptual se argumenta por

qué los conceptos elegidos, así como las relaciones entre ellos son apropiados y útiles para

analizar e interpretar un problema de investigación. Una ventaja de un marco conceptual,

respecto de otro tipo de marcos de investigación (teóricos o prácticos) es que puede

estructurarse a partir de diferentes posiciones teóricas compatibles, así como de

conocimientos prácticos del investigador, en la medida en que este pueda ofrecer

argumentos sobre la relevancia de los mismos para la investigación.

El marco conceptual que orienta este trabajo considera que la identificación y

generalización de patrones son esencialmente actividades de resolución de problemas. Un

elemento del marco es la caracterización de las diferentes fases que incluye el proceso de

solución de un problema (Polya, 1945), así como la forma en que diversas heurísticas

(Schoenfeld, 1985) pueden apoyar el proceso de identificación y generalización de un

patrón. Dado que durante la generalización de patrones los estudiantes deben representar la


8

generalidad, en este trabajo se consideran algunas ideas relativas a las representaciones

semióticas (Radford, 2006).

2.2. Una visión de las matemáticas, el aprendizaje y la enseñanza

Existen diferentes visiones de lo que son las matemáticas, algunos la aprecian como una

ciencia acabada y estática, en la que no hay lugar para la creatividad, ya que todo el

conocimiento se encuentra establecido y estructurado. En esta perspectiva las matemáticas

se consideran una ciencia deductiva en la que no hay lugar para la exploración y la

experimentación. En contraste existe una visión dinámica de la disciplina, como una ciencia

en constante crecimiento y evolución que, al igual que el resto de las ciencias, es una

actividad humana sujeta a mejoras constantes. En esta perspectiva se reflexiona que en el

desarrollo de entendimiento matemático interviene la experimentación, la exploración, la

creatividad; asimismo hacer matemáticas implica observar regularidades, formular

conjeturas, y justificarlas, así como proponer ejemplos y contraejemplos.

Derivado de esta última caracterización de la disciplina, se considera que el aprendizaje va

más allá de la simple memorización de reglas y procedimientos, y que la enseñanza es más

que la exposición de hechos y técnicas. Algunos estudios (Santos-Trigo, 2008; Santos-

Trigo, 2010) reconocen que el aprender matemáticas implica desarrollar una disposición

para buscar y examinar diferentes tipos de relaciones matemáticas, plantear conjeturas,

utilizar distintos sistemas de representación, resolver un problema por diferentes rutas,

establecer conexiones, construir argumentos y comunicar resultados. Por otra parte

teniendo en consideración que las aplicaciones matemáticas tienen una fuerte presencia en

nuestra vida diaria, el estudiante debe valorar la importancia de esta ciencia mediante la

estructuración de capacidad para interpretar, evaluar, discutir o comunicar información

matemática (Godino, Batanero & Font, 2003). De acuerdo con De La Peña (2002) no existe

otra materia donde se involucre tanto el pensamiento ordenado y sistemático. Las

matemáticas ocupan una posición primordial en los sistemas educativos, por su capacidad

de servir a la tecnología, la industria, las ciencias, entre otras (Chamoso y Rawson, 2012).

Es una disciplina en donde es importante inventar, innovar y descubrir, más que solo fijar

en la memoria conceptos o definiciones.


9

Los estudiantes tienen intereses, vida familiar, cultural y valores diferentes. No

importa que estén estudiando, siempre intenté ampliar sus definiciones de la

realidad para incluir las matemáticas. Esta tarea es, a veces, difícil pero estoy

convencido de que el poder de los que utilizarán las matemáticas en la próxima

centuria será, más que ver éstas aumentando con lupa la realidad, verlas como una

parte de la realidad (Cuoco, 1995, citado en Chamoso y Rawson, 2012, pp. 2, 3).

Este trabajo adopta la postura que la mejor forma de aprender matemáticas es resolviendo

problemas, y que aprender a pensar matemáticamente significa ser flexible e ingenioso al

resolver problemas, usar nuestro conocimiento de forma eficiente y entender las formas de

argumentación y justificación válidas en la disciplina. Para ser ingenioso se necesita estar

familiarizado con una amplia variedad de heurísticas y para ser flexible es fundamental

conocer cómo manejar los recursos matemáticos de los que se disponen (Schoenfeld, 1985).

Además, pensar algebraicamente tiene que ver con dar sentido a las literales y a las

expresiones simbólicas, ser capaz de generalizar regularidades y expresarlas de forma

simbólica.

2.3. Marco de resolución de problemas

En algunas ocasiones los estudiantes resuelven problemas matemáticos sin entender lo que

realmente están haciendo, repitiendo procedimientos que han utilizado anteriormente de

forma mecánica sin dar importancia a la identificación de características y relaciones entre

la información de un problema, sino que simplemente buscan hallar una solución, aunque

esta carezca de sentido para ellos. Una de las causas que provoca esta falta de

entendimiento es que un problema puede ser muy complejo, originando, en la mayoría de

los casos que los estudiantes pierdan interés en el problema, olvidándose del sentido

primordial que es hacer matemáticas y poner en práctica los elementos del pensamiento

matemático. Por lo anterior, este trabajo se apoya en las ideas de Polya quien propuso una

forma de trabajo sistemático al resolver problemas que pueden ser de utilidad para que el

estudiante desarrolle sus propios métodos y herramientas en la resolución de problemas.


10

2.3.1 El trabajo de Polya

En 1945 se publicó un libro de Polya titulado “How to solve it”, en el que se considera a las

preguntas como el medio que puede ayudar a un estudiante a avanzar en el diseño e

implementación de estrategias de solución para un problema.

En este libro se señala la importancia del entendimiento del problema al identificar la

información relevante para posteriormente buscar conexiones que ayuden a encontrar

problemas análogos al original, pero que sean más fáciles de resolver. Se describen cuatro

fases por las que se transita al resolver un problema: la comprensión del problema,

formulación de un plan, ejecución del plan y una visión retrospectiva. Se menciona que se

puede desarrollar preguntas asociadas a dichas faces para una mejor apreciación de la

información que se dispone o se sugiere al resolver problemas análogos más sencillos que

el planteado originalmente.

Por otra parte, Schoenfeld (1985) retomó las ideas de Polya considerando que no solamente

es importante el uso de las estrategias heurísticas identificadas por Polya, sino también

subestrategias que es necesario ejemplificar con diversos casos particulares en las cuales

tienen aplicación, enfatizando en que el problema tiene que verse como un todo y no solo

como la suma de sus partes.

2.3.1.1 Primera parte del trabajo de Polya

En la primera parte de su trabajo Polya hace énfasis en la ayuda que se le brinda al

estudiante en el aula como una de las tareas más importantes que un docente debe realizar,

proponiendo desarrollarla en una forma equilibrada, tratando de orientar al estudiante para

que adquiera experiencia mediante un trabajo personal, para lo cual, el uso de preguntas y

recomendaciones resulta fundamental con el propósito de concentrar la atención en cierta

información o conexiones entre características que resultan importantes para avanzar en el

proceso de solución. Algunas de las preguntas son: ¿Cuál es la incógnita?, ¿conoce algún

teorema que pueda utilizar?, ¿podría enunciar el problema de forma diferente?, ¿es la

condición suficiente para determinar la incógnita?, ¿puede ver claramente que el paso es

correcto?


11

2.3.1.2 Las cuatro fases de Polya

1. Comprensión del problema: en esta fase deben quedar claros los datos, las incógnitas y

las condiciones del problema, algunas preguntas que nos pueden ayudar son: ¿Qué debo

encontrar?, ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuál es la condición? La

respuesta adecuada a tales interrogantes ayudará en la compresión del problema que se

está tratando de resolver, aunque Polya agrega que aparte del entendimiento del

problema debe haber un deseo por querer resolverlo, planteando desde esta fase posibles

soluciones consideras conjeturas. La orientación del maestro es esencial al fomentar un

interés en el estudiante no solo en identificar la información necesaria si no establecer

vínculos en la información y con ello provocar el deseo de querer resolver el problema.

2. Formulación de un plan: es la segunda fase y en ella se deben de identificar las

relaciones que existen entre los diversos elementos del problema, los cual nos ayudaran

a conjeturar posibles soluciones, para lo cual se podría auxiliar de heurísticas o

estrategias. Polya sugiere la búsqueda de algún patrón, o auxiliarse de alguna estrategia

o diagrama, por medio de dibujos, uso de un razonamiento inductivo, en esta fase se

plantean ecuaciones, supuestos, se utiliza el sentido común, buenos hábitos de

pensamiento, concentración. Teniendo como herramientas conocimientos previamente

adquiridos como problemas resueltos o teoremas demostrados. Planteándose

interrogantes como: ¿Conoce algún problema relacionado?, ¿puede hacer uso de él?,

¿puede enunciarse el problema de forma diferente?, ¿ha empleado todos los datos?, ¿ha

hecho uso de toda la condición? Entre otras, es posible orientar al estudiante en la

formulación de plan de solución. Los estudiantes por lo regular no toman en

consideración esta fase y se van directo a la resolución del problema debido a que no

están acostumbrados a planear alguna estrategia o heurística que les ayude a poder

abordar el problema, lo que desean es hallar la solución lo más rápido posible evitando

diseñar un plan debido a que lo consideran hacer doble trabajo.

3. En la ejecución del plan: una vez que se ha elaborado un plan para la resolución de un

problema será necesario llevarlo a cabo, efectuando cada una de las tareas que se


12

plantearon en la formulación del plan, con el fin de encontrar la solución. Para lo cual

Polya sugiere que se tenga mucha paciencia, siendo esencial que el estudiante esté

completamente seguro de la exactitud de los pasos realizados, respondiendo a la

pregunta ¿Pueden apreciar claramente que el paso es correcto? Lo cual resulta

complicado para el estudiante, ya que están acostumbrados a obtener una respuesta, y el

responsable de determinar si ésta es correcto o no es el profesor. Por otra parte al

preguntarles si ¿Pueden realizar la demostración? uno de los argumentos más usados es

que es más complicado comprobar la solución que hallarla, por ello evitan hacerlo y solo

verifican con los demás compañeros que tengan la misma respuesta.

4. La visión retrospectiva: hallar la solución del problema no es el final del proceso, los

estudiantes suponen que al haber encontrado una respuesta correcta al problema ya

acabó el proceso de solución. Sin embargo, hace falta comprobar que la respuesta es

razonable, se debe reconsiderar la solución, reexaminado su resultado y el plan. Al llevar

a cabo una visión retrospectiva, los estudiantes pueden consolidar sus conocimientos,

desarrollando aptitudes para resolver problemas así como mejorar sus respuestas.

Algunas preguntas útiles para orientar el desarrollo de esta fase son: ¿Puede verificar el

resultado?, ¿Puede obtener el resultado de una manera diferente?; ¿Puede ver el resultado

de golpe?, ¿Puede emplear el resultado o método empleado en algún otro problema?

2.3.2 El trabajo de Schoenfeld

Schoenfeld (1985) publicó su libro titulado “Mathematic Problem Solving” en el cual

analizó las formas de trabajo al resolver problemas con estudiantes y maestros. Retoma

algunas de las ideas de Polya e identifica un conjunto de factores o dimensiones que

inciden en el proceso de resolución de problemas, desarrollando una mejora en cuanto a la

presentación de las categorías en una forma más detallada. En su trabajo Schoenfeld

propone a los participantes de sus cursos, problemas que desde su punto de vista podrían

resolver auxiliándose de conocimientos previos, donde los organizaba en parejas, grababa,

filmaba, pedía apuntes y realizaba anotaciones sobre las observaciones realizadas durante el

proceso de solución.


13

2.3.2.1 Aportaciones

Entre las aportaciones de Schoenfeld se resalta la consideración de que hallar la solución de

un problema matemático no significa el final del trabajo, sino el punto de partida de la

búsqueda de otras posibles soluciones. Es decir, resalta la importancia de la creación,

formulación o diseño de nuevos problemas matemáticos. Para este autor, entender un

problema matemático constituye un proceso activo en el cual se debe estar abierto a la

discusión de las conjeturas y a la justificación de las ideas así como al desarrollo de una

actitud inquisitiva, en donde el planteamiento de preguntas es esencial, así como, encontrar

las respuestas y justificaciones de las actividades matemáticas.

Para Schoenfeld es importante que se trabajen las actividades en el salón de clases de tal

forma que se permita a los estudiantes realizar conexiones entre conceptos y

procedimientos matemáticos a través de la reflexión y comunicación de ideas. De esta

manera, el estudiante construirá herramientas conceptuales y desarrollará entendimiento

matemático y formas matemáticas de pensar.

2.3.2.2 Las cuatro dimensiones de Schoenfeld

Schoenfeld (1987), sugiere que para entender cómo piensan los estudiantes al resolver

problemas matemáticos y proponer actividades que puedan ayudarlos influyen cuatro

dimensiones:

Recursos: es todo lo que el estudiante sabe incluye información tal como hechos,

definiciones, conceptos previos, algoritmos, formulas, entre otros. Así como el acceso que

tiene hacia ellos y cómo los utiliza, es decir, todo lo relacionado con el conocimiento

elemental que se pone en juego a la hora de afrontar un problema. El conocimiento informal

e intuitivo acerca del dominio del problema por resolver, incluye un lenguaje y símbolos

que permite expresar en forma precisa y sucinta ideas matemáticas. Los Hechos y

definiciones, que constituyen un inventario de recursos donde se destaca la forma en que

recuerda este conocimiento y acceso que tiene a él. Los Procedimientos rutinarios, que

incluyen técnicas no algorítmicas que se utilizan al momento de resolver un problema.


14

Heurísticas: son estrategias generales que ayudan a la resolución de problemas. El usar

alguna heurística no asegura llegar a una solución pero pueden ayudar a avanzar en este

proceso. Polya (1945) proporciona un gran número de heurísticas como lo son: dibujar

esquemas, razonando a la inversa, elegir un problema más simple, entre otras, para resolver

problemas de diferentes tipos. Por su parte Schoenfeld (1992) menciona que cada problema

necesita un tratamiento especial y que pueden ayudar a la resolución de un problema en

cuestión, no limitándose a la observación de heurísticas en un libro sino a la utilidad y

aplicabilidad.

Estrategias metacognitivas: se refieren al conocimiento y reflexión acerca de nuestros

propios procesos cognitivos, ¿cómo un estudiante controla su trabajo?, Es decir, cuando los

estudiantes se enfrentan a la resolución de problemas hay que ser capases de evaluar y

verificar si vamos por el camino correcto. Si no es así, es trascendental desarrollar

habilidades para determinar si es necesario cambiar de ruta o procedimiento. Es importante

que el estudiante tenga una habilidad para monitorear y evaluar el uso de la información

con la que cuenta al resolver el problema, el proceso involucra la toma de decisiones en la

elección del plan, en el tipo de heurísticas o estrategias a emplear, el logro de las metas o

submetas, así como el monitoreo y evaluación de los avances, con lo cual se decidirá si se

sigue adelante con el plan propuesto en un inicio o se abandona y se construye un nuevo

plan o estrategia de solución. Algunas acciones donde se involucra el control son las

siguientes: (a) entender con claridad lo que se está planteando en el problema antes de

empezar a resolverlo, (b) considerar que existen varias formas de solución siendo

importante a la hora de seleccionar un método en particular, (c) monitorear el proceso y

estar dispuesto a modificarlo o cambiarlo en el momento que no sea útil, (d) revisar el

proceso de resolución y evaluar los resultados obtenidos, lo que significa un mayor

conocimiento sobre el problema.

Sistemas de creencias, en esta categoría se ubica la concepción que tienen el estudiante

sobre las matemáticas y el aprendizaje. Muchos estudiantes creen que las matemáticas son

una asignatura difícil, debido a la forma de que las aprendieron desde niños,

considerándolas ajenas a su vida y a sus futuras profesiones. Las creencias sobre las


15

matemáticas afectan notablemente en la forma en que los estudiantes abordar una

resolución de algún problema, así como la manera de seleccionar el tipo de estrategias

usadas para resolver un problema. Algunas creencias3 que muestran los estudiantes hacia la

matemática son: (a) los problemas matemáticos solo tienen una única solución correcta, (b)

existe solo una manera correcta de resolver cualquier problema, siendo la que el docente

proporciona en la hora de clase, (c) todos los problemas matemáticos se resuelven en 10

minutos o menos si se entiende el problema, (d) solo los genios pueden realizar

matemáticas, los estudiantes comunes solo memorizan y aplican lo entendido de forma

mecánica, (e) las matemáticas se deben realizar en aislamiento no en grupos y (f) lo

aprendido en clase no se relaciona con el mundo real.

2.4. Representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas

La investigación sobre visualización e imágenes mentales ha mostrado la importancia de las

representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas. Dado que el objeto de

estudio de las matemáticas en la mayoría de las ocasiones solo existe en nuestra mente, el

conocimiento acerca de los objetos matemáticos solamente se puede obtener mediante sus

representaciones semióticas, es decir, mediante signos, palabras, símbolos o dibujos; a

diferencia de otras ciencias como la biología o la astronomía en que los objetos de estudios

se pueden percibir directamente con los sentidos o indirectamente mediante el uso de

instrumentos como el microscopio o el telescopio.

Radford, Edwars y Arzarello (2009) mencionan situaciones donde el estudiante hace uso

del lenguaje o gestos al momento de explicar sus procedimientos o conjeturas, apoyándose

de recursos particulares donde están inmersos diferentes medios semióticos de expresión,

orales, dibujos, gestos, movimiento corporal, entre otros. Enfocado a brindarle un sentido a

los signos utilizados por los estudiantes y entender la forma en que piensan.

3 Según Chamoso y Rawson (2012) la vida en el aula conlleva a una constante participación e intercambios de

ideas donde los estudiantes van adquiriendo un conjunto de creencias y actitudes, destacando que las actitudes

pueden ayudar a facilitar el entendimiento de la enseñanza de las matemáticas.


16

Por su parte D´Amore y Godino (2007) mencionan que los objetos matemáticos deben ser

considerados como símbolos los cuales deben estar íntimamente ligados con la resolución

de problemas.

Es importante señalar que Radford (2006) considera que no todas las formas de generalizar

un patrón son en forma algebraica, debido a que es posible realizar una generalización de

forma aritmética, es decir, el estudiante puede encontrar el valor del término que se desea

encontrar dentro de una sucesión sin utilizar símbolos alfa numéricos. Por otra parte el uso

de signos y letras no necesariamente tienen que relacionarse con el álgebra. En la siguiente

tabla se muestran las estrategias que usan los estudiantes al hacer frente a una actividad

donde se ve inmerso el uso de patrones, así como la subdivisión de generalizaciones

algebraicas, de acuerdo con su nivel de generalidad.

Tabla 1.- Estrategias utilizadas por los estudiantes al abortar problemas con patrones

Inducción

ingenua

Generalización

Ensayo y error Aritmética

Algebraica

Factual

Contextual

Simbólica

Fuente: Radford, L. (2006). Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic perspective

Radford (2006) hace una separación entre una generalización y usar un razonamiento

inductivo. Por una parte, la generalización algebraica de un patrón se basa en identificar un

elemento común en los términos de la sucesión con el fin de ser usada en la construcción

de alguna expresión que explique la secuencia de la sucesión proporcionada. Basándose en

la capacidad de observar aspectos generales en lo particular. Por otro lado, el razonamiento

inductivo está relacionado con reglas simples como la de ensayo y error, en la cual se lleva

a cabo un proceso de adivinanza a lo que Radford califica como “inducción ingenua”,

siendo procedimientos donde no se pone en juego un pensamiento algebraico.


17

2.4.1 Generalización de un patrón

Radford (2006) considera a la generalización de patrones como una forma de introducir el

pensamiento algebraico, debido que al identificar y generalizar patrones los estudiantes se

ven obligados en la mayoría de las ocasiones a desarrollar una expresión algebraica que

capture ese comportamiento general. Para ello Radford destaca que para la generalización

algebraica de patrones deben existir las siguientes ideas:

Identificar una característica en común, la cual destaca una observación sobre

algunos términos particulares de alguna sucesión.

El patrón observado en la sucesión debe estar ordenado y aplica a todos los términos

siguientes.

Usando el patrón se puede realizar una generalización o expresión matemática la

cual permita calcula cualquiera de los términos que se encuentran en la sucesión.

Entonces la generalización algebraica de acuerdo con Radford (2006) consiste en la

capacidad de identificar aspectos comunes en los elementos de una sucesión, teniendo en

consideración que debe ser un aspecto común para todos los términos de la misma y

posteriormente poder relacionar la información y llegar a una extrusión simbólica.

Por otra parte la generación algebraica factual es aquella donde se evidencia acciones en

forma de esquema opcional al nivel concreto de simbolos numéricos. Desarrollando esta

generalidad a partir de movimientos ritmicos, gestos y palabras.

Las generalizaciones algebraica contextuales excluyen el uso de movimientos ritmicos o

gestos, suponen un nivel más avanzado pero menor a una generación algebraica incluyendo

algo más que solo un dominio de figuras u objetos. Utilizando frases cortas para poder

expresar la generalidad.

Las generalizaciones algebraicas simbólicas son aquellas en las cuales las generalidades

son representadas por símbolos alfanuméricos.

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

18

. METODOLOGÍA

3.1 Introducción

Este trabajo tiene un enfoque cualitativo debido a que se le brinda importancia a las

características, relaciones y conexiones que realizan los estudiantes en el reconocimiento y

generalización de problemas donde está implícito el uso de patrones, tratando sea de forma

natural, espontánea y con amplitud en las respuestas. Tomando en consideración que el

enfoque cualitativo puede definirse como:

Un conjunto de prácticas interpretativas que hacen al mundo visible, lo transforman y

convierten en una serie de representaciones en forma de observaciones, anotaciones,

grabaciones y documentos. Es naturalista por que estudia a los objetos y seres vivos

en sus contextos o ambientes naturales e interpretativo pues intenta dar sentido a los

fenómenos en términos de los significados que las personas les otorguen (Hernández,

Fernández y Baptista, 2006).

Las personas piensan diferente y por ende visualizan un problema en varias perspectivas, es

decir, los estudiantes tienen diversas formas de identificar lo que es constante y variable en

una actividad con patrones y de relacionarlo con el número o tipo de figura que se les

presente al trabajar con un patrón geométrico.

Para poder analizar y discutir las preguntas de investigación se utilizaron hojas de trabajo

en las cuales los estudiantes pudieran adoptar el uso de tablas, gráficas, palabras o el uso de

una regla semiótica si así lo desearan, las cuales fueron propuestas por los directores de la

presente investigación. Mencionando que los contenidos temáticos de las actividades

también incluyen aspectos relacionados con el pensamiento numérico, algebraico,

geométrico y manejo de características (NCTM, 2000).

Por otra parte, se recomendó a los estudiantes el uso de estrategias o métodos heurísticos

que ayudaran a la solución de las actividades propuestas, haciendo énfasis que antes de

trazar un plan y ponerlo en marcha deberían de entender el problema propuesto. Según

Polya (1945) “el estudiante debe de adquirir en su trabajo personal la más amplia

experiencia posible, pero si se deja solo ante su problema, sin ayuda alguna o casi ninguna,


19

puede que no progrese” por ello se tomó la decisión de que los estudiantes trabajen en

equipo. Claro está que el docente a cargo de la actividad podía apoyarlos sin afectar, es

decir, una ayuda sutil en la obtención de la información para que los estudiantes

identifiquen características y relaciones de tal forma que puedan construir un plan y lo

pudieran ejecutar. Puesto que resulta importante valorar las estrategias usadas por los

estudiantes, se pidió expusieran sus conjeturas para tener un mayor conocimiento sobre las

bondades y limitaciones de su propuesta. A continuación se describe la metodología

utilizada en el presente trabajo.

3.2 Participantes

El grupo donde se implementaron las actividades estuvo formado por 30 estudiantes de

octavo cuatrimestre del programa educativo de Ingeniería en Metal Mecánica de la

Dirección de Ciencias Exactas de la Universidad Tecnológica de la Sierra Hidalguense,

donde la mayoría son hombres a excepción de una estudiante mujer, con la finalidad de

poder documentar alguna estrategia utilizada por parte de los equipos que no se haya

documentado anteriormente al realizar actividades donde se ve implícito el uso de patrones

lineales o cuadráticos.

La elección de este grupo de estudiantes se basó en su programa de estudios, debido a que

ya habían estudiado en anteriores cuatrimestres bases para abordar actividades relacionadas

con la identificación y generalización de patrones, tomando en consideración que las

actividades propuestas abordan temas relacionados con el conocimiento de números,

figuras geométricas y perímetro. Donde por ejemplo en su primer cuatrimestre abordaron

temas relacionados con conceptos fundamentales de geometría, fundamentos del álgebra y

razones trigonométricas.

Se consideró que era un grupo numeroso idóneo para la actividad, pues se tenía planeado

integrar equipos de cinco personas pensando se lograran las siguientes ventajas: que los

estudiantes se apoyaran para la toma de decisiones, poder obtener una generalización del

patrón, relacionar la mayoría de la información identificada, aumentar el interés del

estudiante por resolver los problemas, ampliar el entendimiento del problema al comunicar


20

la perspectiva que tiene cada uno de los integrante del equipo y acrecentar la seguridad en

ellos mismos al justificar sus conjeturas.

3.3 Instrumentos para la recolección de la información

Para la recolección de información se utilizaron varios instrumentos con la finalidad de

tener una visión más amplia del tipo de relaciones o conexiones que realizan los estudiantes

al tratar de generalizar problemas donde se ven implícitos el uso de patrones. Permitiendo

documentar las estrategias que más usan a la hora de resolverlos. Se considera que

mediante la observación se puede determinar que está haciendo el estudiante, como lo está

realizando, como lo lleva a cabo o por qué lo hace. Existiendo una interacción entre el

docente responsable de la actividad y los estudiantes en forma de preguntas o pidiendo

explicaciones de lo que se está exponiendo.

Por lo anterior se planteó como objetivo de la actividad llegar a una generalización del

patrón pero también que los estudiantes justificaran sus conjeturas mediante exposiciones

frente a grupo, con la finalidad de intercambiar información, facilitar la participación,

buscar diferentes soluciones y ayudar a la toma de decisiones.

3.3.1 Hojas de trabajo

Las hojas de trabajo sirvieron para comunicar a los estudiantes cuál era el problema en

cuestión y para que los participantes registraran todas las anotaciones necesarias durante el

proceso de solución. Por ello se les pidió a los estudiantes que no borraran nada de lo que

escribían o realizaban en las hojas aunque consideraran que fuese erróneo, para utilizarse

como evidencia de las decisiones tomadas durante el desarrollo de la resolución del

problema. Lo anteriormente expuesto se planteó con el propósito de examinar las

incógnitas que usaron, cuáles fueron sus metas o submetas, que información identificaron

como importante, las imágenes o tablas en que se apoyaron y que símbolos emplearon. Para

lo cual se motivó al estudiante a brindar su máximo esfuerzo, realizando un análisis

detallado del problema, haciendo uso de todas las herramientas que ellos consideraran

necesarias y dar solución a las hojas de trabajo. Siendo las siguientes:


21

CUENTA EL NÚMERO DE CERILLITOS

FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3

Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas

1.- ¿Cuántos cerillitos ves en la figura 1?



4.- ¿Cuántos cerillitos habrá en la figura 10?

5.- ¿Cómo calculaste el número de cerillitos de la pregunta 4?

6.- ¿Podrías saber el número de cerillitos que habrá en la figura con un número cualquiera

de cuadros? ¿Cómo calcularías el número de cerillitos? (Explique su respuesta)


22

CUENTA EL NÚMERO DE CUADRITOS

FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4


1.- ¿Cuántos cuadritos ves en la figura 1?



4.- ¿Cuántos cuadritos habrá en la figura 15?

5.- ¿Cómo calculaste el número de cuadritos de la pregunta 4?

6.- ¿Podrías saber el número de cuadritos que habrá en cualquier figura? ¿Cómo calcularías

el número de cuadritos? (Explique su respuesta)


23

CALCULA EL PERÍMETRO

En las siguientes figuras se muestran cuadrados y triángulos equiláteros. Sabiendo que el largo de los

lados de las figuras es la unidad calcule sus perímetros.

FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4


1.- ¿Cuál es el perímetro con un cuadrado y un triángulo equilátero? (figura 1)

2.- ¿Cuál es el perímetro con dos cuadrados y dos triángulos equiláteros? (figura 2)

3.- ¿Cuál es el perímetro con tres cuadrados y tres triángulos equiláteros? (figura 3)

4.- ¿Cuál es el perímetro con 20 cuadrados y 20 triángulos equiláteros?

5.- ¿Cómo calculaste el perímetro de la pregunta 4?

6.- ¿Podrías saber el perímetro que habrá en la figura con un número cualquiera de

cuadrados y triángulos equiláteros? ¿Cómo calcularías el perímetro? (Explique su

respuesta)


24

CUENTA EL NÚMERO DE BOLAS DE BILLAR

FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4 FIGURA 5


1.- ¿Cuántas bolas de billar ves en la figura 3?



4.- ¿Cuántas bolas de billar habrá en la siguiente figura?

5.- ¿Cómo calculaste el número de bolas de billar de la pregunta 4?

6.- ¿Podrías saber el número de bolas de billar que habrá en cualquier figura? ¿Cómo

calcularías el número de bolas de billar? (Explique su respuesta)


25

3.3.2 Elección de las hojas de trabajo

Las hojas de trabajo utilizadas en la investigación fueron elegidas pensando en que los

estudiantes serían capaces de obtener una generalización del patrón a partir de sus

conocimientos previos, donde interesa observar los tipos de relaciones y conexiones que

utilizan en el proceso de solución. Es importante hacer mención que la actividad planteada

ofreció la oportunidad de ser explorada de diferentes maneras y por lo tanto identificar o

examinar diversas relaciones matemáticas. En este sentido, se les indicó a los estudiantes

que en un problema está la posibilidad de conjeturar la solución a partir de varios tipos de

análisis.

La estructura de las hojas de trabajo es la siguiente: en primer lugar aparecía el nombre de

la actividad seguida de tres a cinco imágenes que ayudaran a visualizar el problema y

concluir con un pequeño cuestionario que serviría de guía para el estudiante. Teniendo en

consideración que el cuestionario tal vez (Hernández Sampieri, 2006) sea el instrumento

más utilizado en la recolección de información se planteó un conjunto de seis preguntas

dirigidas a lograr alcanzar los objetivos del trabajo. Siendo interrogantes breves y sencillas,

fáciles de contestar, de tipo abiertas y usando lenguaje simple con el propósito de evitar

confusiones.

Las primeras cinco preguntas de las hojas de trabajo están enfocadas a que los participantes

se familiarizaran con la actividad y puedan interesarse en el problema siendo la etapa de

comprensión. En la sexta pregunta se sugiere utilizar las etapas restantes del trabajo

realizado por Polya, es decir, a que los estudiantes puedan trazar un plan que les ayude a la

resolución del problema, poder ejecutarlo y obtener una retroalimentación con la ayuda de

todos los compañeros de clase al pasar al pizarrón y explicar sus conjeturas.

En la primera actividad denominada cuenta el número de cerillitos, se tiene la expectativa

que los estudiantes pudieran obtener la expresión matemática 3n-1, en la cual se puede

considerar como elemento invariante al cerillo del extremo izquierdo o derecho de la figura

y las figuras siguientes se van construyendo al agregar 3 cerillos sucesivamente.


26

En la actividad dos titulada cuenta el número de cuadritos, se tenía la posibilidad de que los

estudiantes llegarán a la generalización de 2n-1, en la cual existe una parte invariante que es

el cuadro que se encuentra en la esquina de la figura y las figuras van variando de 2

cuadritos, uno en la dirección horizontal y otro en vertical.

En la tercera actividad titulada calcula el perímetro, se presentan dos figuras geométricas

siendo un triángulo y un cuadrado así como el concepto de perímetro5. Una de las posibles

soluciones es la expresión matemática 3n+2. Donde se toma al triángulo como parte

variante y se le suma los lados de la figura.

En la actividad cuatro titulada cuenta el número de bolas de billar, tiene inmerso el

concepto de números triangulares o también denominados números sagrados (Ouaknin,

2006) en donde la forma general de calcular el valor de la figura n es de acuerdo a la regla

siguiente: si n es el número de la base su número triangular se calcula con la expresión

matemática n(n+1)/2.

3.3.3 Videograbaciones

Se realizaron las videograbación de la etapa de retroalimentación, es decir, del momento

cuando los estudiantes pasaban al pizarrón y exponían sus conjeturas ante sus compañeros,

con el objetivo de que explicaran el procedimiento que emplearon para llegar a la solución

del problema propuesto y con ello identificar las estrategias o heurísticas usadas en la

solución del problema, así como su destreza y habilidades en la explicación de sus

conjeturas.

En esta etapa el docente fungió como moderador planteando junto a los demás estudiantes

preguntas que ayudarán a la reflexión sobre lo que se estaba exteriorizando, motivando al

expositor a realizar su participación en completa libertad. Por otra parte, estas

videograbaciones podrían verificarse las veces que fueran necesarias para su análisis dando

una muestra del lenguaje, representaciones semióticas o recursos utilizados.

3 Según Galindo et al., el perímetro de una figura geométrica, es la suma de las longitudes de los lados.


27

3.3.4 Transcripción de videos

Una vez que se contaba con las videograbaciones se realizó la transcripción de las mismas

con el objeto de poder contar con la información escrita y aclarar las ideas que fueron

presentadas por los estudiantes, de manera que se pueda identificar el pensamiento y la

mecánica involucrada. Al transcribir todo el material de las grabaciones en video es posible

contrastar los tipos de relaciones que se utilizaron, si identificaron alguna variable,

constante o característica relevante en que se apoyaron los estudiantes para la resolución de

los problemas. Debido a que no basta una sola lectura se realizó la impresión de las mismas

usándolas para anotaciones y poder realizar el análisis de la información.

3.4. Recopilación de la información

Para la solución de los problemas, los estudiantes dispusieron de un tiempo aproximado de

dos horas donde el maestro responsable de la actividad dió a conocer la forma en que se

trabajaría a lo largo de la sesión con el objeto de encontrar alguna estrategia original o fuera

de lo común en la búsqueda y generalización de patrones. Mencionando a los estudiantes

que ninguna idea se descartaría, sino que al contrario enriquecería la investigación,

animándolos a realizar las actividades de la mejor manera, ya que el éxito o fracaso de la

misma no afectaría la calificación de su actual cuatrimestre si no despertar un interés por el

gusto a las matemáticas, considerando que (Alonso, 1998) existe la posibilidad de que

algunos estudiantes pudieran tener un nivel de rendimiento satisfactorio en matemáticas y

pese a lograrlo tienen una actitud desfavorable en cuanto a la materia o podrían (Valdez,

1998) enfocarse a la utilidad más que un gusto por la asignatura.

Para la sesión se organizaron seis equipos de cinco integrantes cada uno, no se tomó en

consideración el promedio de sus cursos anteriores o alguna característica en particular,

ellos mismos formaron sus equipos como mejor les pareció. Posteriormente se repartieron

las hojas de trabajo titulada cuenta el número de cerillos, seguida de una explicación por

parte del maestro encargado de la actividad diciendo que se tenía que realizar en primer

lugar un análisis de lo propuesto en las hojas de trabajo y así poder dar respuesta al

cuestionario planteado, indicando que el tiempo estimado para la realización de este


28

problema era de diez minutos, donde los estudiantes podían intercambiar opiniones con los

integrantes de su equipo en la búsqueda de la solución.

Una vez que los estudiantes hallaban la solución del problema alzaban su mano en señal de

que ya se había obtenido alguna expresión algebraica para representar el patrón.

Posteriormente con el objetivo de intercambiar ideas y poder comparar las estrategias de

solución, los estudiantes pasaron al pizarrón y explicaron los pasos que siguieron en la

elaboración de sus conjeturas ante los equipos participantes, donde se exhortó a realizarla

en forma honesta y que expresaran realmente la manera en que llegaron a la generalización

del patrón, tomándose en consideración que el lugar de su intervención estaba relacionada

con el orden en que alzaban su mano. Cabe señalar que al inicio de esta etapa de la

actividad nadie podía realizar algún cambio a su conjetura todos tenían que estar atentos a

la exposición de sus compañeros y no debían desarrollar alguna otra actividad para evitar el

plagio de ideas

En la exposición de las conjeturas, los estudiantes tenían que defender su postura ya que el

resto de los equipos plantearon preguntas sobre la forma en cómo generalizaron el patrón

geométrico propuesto en la hoja de trabajo. Cabe resaltar que todos los equipos estaban

empeñados en que la mejor propuesta era la suya, desarrollando una aptitud leal para ser los

mejores, lo cual ayudó a tener una mejor apreciación de las estrategias realizadas en la

actividad y poder verificar si identificaban una variable o alguna constante en el problema y

si relacionaban dicha información con las figuras mostradas.

3.5. Procedimiento para el análisis de la información

Todas las participaciones llevadas a cabo en la recopilación de la información fueron

videograbadas con el objeto de poder realizar un análisis más detallado de las estrategias

mostradas por los equipos participantes ya que se podrían revisar cuantas veces fueran

necesarias, así mismo ser tomada como evidencia del trabajo de investigación. Una vez que

se contó con las videograbaciones se realizó la transcripción de las mismas (dichas

transcripciones se encuentran en el apéndice A del presente trabajo) agregando algunas

imágenes para tener una idea más completa sobre lo que pretende explicar el estudiante.


29

Así como el número de renglón para poder referenciarlo en la tabla de análisis de

información.

Las transcripciones fueron impresas con el objetivo de no perder detalles sobre las

estrategias de solución empleados por los estudiantes al tratar de generalizar el patrón

propuesto en los problemas ayudando a clasificar la información y llenar las tablas del

análisis de la información. Usando plumones de color verde para subrayar lo que los

estudiantes identificaron como constante, naranja para marcar lo que visualizaron como

elemento variable y azul para señalar la generalización del patrón geométrico si es que

existía en cada uno de los casos.

3.5.1 Tablas para el análisis de la información

La información recabada en el análisis de la información se visualiza en la siguiente tabla6

donde:

En la primera columna aparece el número del equipo participante, siendo de seis

equipos en total.

En la segunda columna se maneja la primer fase de Polya (1945) al preguntar si

entendieron el problema propuesto, manejando totalmente si el equipo logro obtener

correctamente alguna generalización. Parcialmente si utilizaron alguna heurística

pero no llegaron a una representación algebraica, identificando y relacionando

información y por último insuficiente si es que el equipo participante se quedo en la

etapa de identificación de información.

La tercer columna se enfoca al sentido si encontraron alguna característica en

común (Radford, 2004) para poder generalizar el patrón, como lo son alguna

variable o constante.

En la cuarta columna (Schoenfeld, 1985) se registra si se auxiliaron de una

estrategia o heurística que ayude a la resolución del problema como dibujos,

gráficas, tablas, problemas más sencillos, entre otros.

6 Nota: las tablas completas se encuentran en el apéndice B del presente trabajo.


30

En la quinta columna se muestra la generalización que hallaron (Radford)

relacionando la información que identificaron como importante.

En la columna 6 y 7 se visualiza la fase cuatro de Polya al realizar una retrospectiva

del problema propuesto.

Tabla de análisis del problema cuenta el número de cerillos

¿Lograron

entender el

problema?

¿Qué

información

lograron

identificar?

¿De cuál

estrategia o

heurística

se

auxiliaron?

¿Relacionaron

las variables

para lograr

alguna

generalización?

¿Pudieron

justificar su

conjetura?

¿Realizaron

una reflexión

sobre su

solución?

Equipo

1 Totalmente

-Una

constante con

valor de 1

-Un aumento

en las figuras de 3 cerillos

-dibujo

Si, la diferencia

entre figuras

con la posición

y le sumaron la

parte constante

obteniendo

3n +1

Totalmente

usando

lenguaje y

números

Plantaron que

existe una

variación en el

resultado si se

ordenan de

forma diferente

los cerillos

Equipo 2

Equipo

3

Equipo

4

Equipo

5

Equipo

6

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

31

4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

4.1 Introducción

Una vez que se registró la información se comenzó a realizar el análisis de la misma, con el

objetivo de acercarnos y tener una visión más amplia de la forma en que los estudiantes

relacionan la información del problema y hacen conexiones.

Durante el análisis de los datos se prestó particular atención a las estrategias desarrolladas

por los estudiantes, si utilizaron las fases de Polya para la comprensión del mismo, si

diseñaron un plan y lo pudieron ejecutar, así como la obtención de una retrospectiva del

problema. También se analizó la posibilidad de que tuvieran que hacer uso de alguna

heurística (Schoenfeld, 1985) como un dibujo, conocimientos previos, ejercicios o

problemas más simples, diagramas, entre otras. Para poder lograr una generalización del

patrón (Radford, 2006).

4.2 Análisis de los resultados: problema cuenta el número de cerillos

La actividad resultó ser la más fructífera y exitosa de la sesión, donde todos los equipos

desarrollaron una forma diferente de generalizar la figura “n”, siendo los estudiantes

quienes construyeran sin ayuda alguna dichas expresiones algebraicas, externando que fue

una actividad muy sencilla para ellos. Los participantes comprendieron completamente lo

que se tenía que realizar, identificando claramente el número de cerillos de cada figura y

contestando el cuestionario planteado, no tuvieron dudas al momento de comprobar sus

respuestas concluyendo satisfactoriamente la primera actividad planteada, donde se tenía

calculado proporcionarles diez minutos para la resolución del mismo pero se llevaron un

promedio de cinco minutos.

La organización en equipos ayudó a los estudiantes a poder expresar mejor sus ideas,

inclusive a plantear variantes en el problema, es decir, en relación a la forma de colocar los

cuadros percatándose que la forma de generalizar sería diferente en cada caso.


32

La actitud tomada por los estudiantes ayudó a crear un ambiente positivo aplicando un

trabajo cooperativo, fomentando el interés en la actividad al querer resolver el problema

planteado. Apoyándose entre los integrantes de su equipo al intercambiar ideas,

observaciones, información, procedimientos y recursos para abordar la actividad. Donde las

discusiones y debates ayudaron a los estudiantes a interpretar y relacionar sus puntos de

vista.

El ambiente de instrucción favoreció a la participación de los estudiantes al realizar su

intervención en el pizarrón y defender sus conjeturas, donde explicaron sus ideas,

justificaron sus posturas y durante la discusión grupal brindaban sus respuestas en forma

convincente al ser cuestionados por los demás grupos participantes.

En la explicación de sus conjeturas, los participantes se apoyaron de gran manera por las

figuras presentadas en la hoja de trabajo, utilizaron una forma alfanumérica para la

generalización del patrón identificado. Usando tablas como método heurístico y forma de

comprobación de la solución.

Todos los participantes generalizaron con éxito el patrón de acuerdo a lo que identificaron

como constante y como variable. Distinguiéndose el caso seis el cual despertó mayor

polémica entre los participantes usando una estrategia por sentido común.

1.- ¿Qué información lograron identificar?, ¿de cuál estrategia o heurística se

auxiliaron?

Lo que identificaron como variable

En los seis casos presentados en el problema cuenta el número de cerillos los estudiantes

encontraron un dato como variable y en cuatro casos se dieron cuenta que la diferencia

entre las figuras es de tres.

En el Caso 1 el método empleado por los estudiantes fue visual y se percataron que las

figuras van aumentando de tres en tres. Al observar las figuras distinguieron que solo

utilizan tres cerillos para construir la siguiente y así sucesivamente.


33

“Entonces de allí va a partir el número de cuadros este multiplicado por tres”

(renglón 37,38).

En el Caso 2 calcularon la diferencia existente entre cada figura, iniciaron contando los

cerillos que formaba cada figura y realizaron conexiones entre la información obtenida

auxiliándose de la construcción de una tabla.

“Bueno el método de nosotros fue contar los cerillos que tiene cada figura, la figura

uno tiene cuatro, la que sigue siete y la otra tiene diez entonces se ve la diferencia

que hay entre cada figura son tres cerillos de diferencia y se puso lo que es la

diferencia la posición que es la figura uno” (renglón 3-7).

Para hallar lo variable en el Caso 3 utilizaron el dibujo brindado en las hojas de trabajo

auxiliándose de líneas. Al ir relacionando los cuadros se percataron que solo se utilizan tres

cerillos en la siguiente figura y así sucesivamente.

“Aquí en estas figuritas podemos ver que siempre vamos a tener tres cerillos en

común en este caso va a ser este, este y este” (renglón 3-4).

En el Caso 4 se auxiliaron de las figuras y mediante la observación se percataron que dos

cerillos se unen en un punto (las cabezas de los cerillos) y también que el cerillo de la parte

superior varia conforme va aumenta el número de figura.


34

“A ver nosotros lo que encontramos fue que por ejemplo si se dan cuenta dos

cerillos apuntan para un mismo lado entonces tomamos esto” (renglón 3-5). “Si se

dan cuenta es el valor de “n” que va en las figuras entonces colocamos “n” pero

como van dos cerillos casi siempre en la misma pusimos el dos (renglón 6 y 7) y el

de arriba va igual conforme a “n” que sería el número de la figura que sería uno,

dos, tres y así se va entonces eso le sumamos más “n” de nuevo” (renglón 10 y 11).

En el caso 5 se basaron en el dibujo para realizar su conjetura sustituyendo a los cerillos por

líneas, relacionando las líneas superior e inferior y una lateral.

“Nosotros lo hicimos por el número de líneas, las líneas son dos es esta y esta son

dos entonces lo pusimos como una constante dos. Después según el cómo constante

“n” bueno como literal “n” para la figura, por ejemplo aquí podemos ver que ya son

tres nos queda una libre entonces “n” para cualquier figura ya sea dos o tres a esto le

vamos a sumar lo que es lo sobrante” (renglón 2-9).

El caso 6 fue el equipo que más levanto polémica en su conjetura, se auxiliaron del dibujo

presentado en las hojas de trabajo y construyeron una tabla, tomaron como base a la figura

original la cual omitían en las siguientes figuras y lo que sobraba lo sumaron, suponiendo

que utilizar la raíz cuadrada sería una buena opción, siendo el único equipo en utilizar esta

herramienta.

“Bueno nosotros lo que hicimos fue a conforme lo que era la figura por ejemplo

aquí había cuatro cerillos, aquí bueno los partimos e identificamos que hay cuatro y

nos quedan tres, aquí identificamos igual hay dos, estos números los sumamos y nos

dio un resultado de nueve” (renglón 3-6).


35

Lo que identificaron los estudiantes como constante

En los seis casos presentados en este ejercicio los estudiantes relacionaron un dato como

elemento constante o invariante, en cinco casos lo relacionan como la parte faltante

haciendo suposiciones en sus operaciones ya que de esta forma completaban el número de

cerillos de la figura y en un caso utilizan la diferencia entre figuras.

En el caso 1 se auxiliaron del dibujo para encontrar lo constante, relacionando las figuras

mostradas en la hoja de trabajo, mencionando que la figura uno la forman cuatro cerillos

pero en la siguiente figura un cerillo funciona como la base.

“Porque al ver que, nosotros en un cuadro tenemos cuatro cerillitos, en el segundo

cuadro un cerillo ya nos sirve de base para hacer el siguiente cuadro, ósea que ya no

ocupamos cuatro cuadros, cuatro cerillos, perdón. Ocupamos tres, entonces nuestra

base la tomamos como uno” (renglón 34-39).

En el caso 2 utilizaron el sentido común al interpretar que falta la unidad para hallar el

número de cerillos de la figura, es decir, la cantidad que se necesita para llegar al número

de cerillos que tiene en total cada figura .

“Cuanto le falta para llegar a este número por ejemplo aquí, tres por uno son tres

más uno ya son cuatro” (renglón 14-17).


36

En el caso 3, 4 y 5 se auxiliaron del dibujo visualizando que siempre sobra un cerillo al

realizar la construcción de los cuadros.

“Y nos sobra uno… se usan estos esté este y este y nos sigue sobrando uno”

(renglón 4 y 6).

“Bueno después tomamos en cuenta siempre un cerillo termina aquí entonces

pusimos más uno” (renglón 7 y 8).

“Siempre queda libre una y se le van a ir sumando las otras tres…igual es uno, dos y

este queda libre, porque se ocupan estos dos, se puede decir que este y este y este es

el que queda libre, siempre queda una libre” (renglón 22-23).


37

En el caso 6 utilizaron la diferencia entre figuras, relacionando esta información con la

parte constante, auxiliándose de una tabla.

“Después nos dimos cuenta que aquí hay un intervalo de uno, entonces más uno”

(renglón 11).

2.- Forma de generalizar y relacionar la información obtenida

De los seis casos expuestos tres presentaron la misma forma de generalizar el ejercicio

siendo la expresión 3n+1, En dos casos se presentó una forma similar de generalizar el

problema solo que la asociación de sus términos fue diferente, (2n + 1) + n, y 2n + (n + 1) y

se obtuvo un caso original donde se ve implícito el uso de diferencias y de raíz cuadrada

aplicando una técnica de sentido común que en este caso se ve relacionado a un método por

tanteo.

En los casos 1, 2 y 3 la generalización que desarrollaron fue 3n+1, donde visualizaron que

la secuencia de las figuras varía de tres en tres, multiplicando esta información con el

número de figura que desean hallar y le suman lo que identificaron como constante siendo

la cantidad de un cerillo.

“La fórmula a que nosotros llegamos fue 3n+1 (renglón 8). Bueno esta fue la

fórmula, ya aplicando la fórmula, seria tres por “n”, que tiene valor de uno más uno,

aquí tendríamos, tres por uno tres, más uno cuatro” (renglón 10-12).


38

“Por ejemplo tres por uno más uno, esto son tres más uno son cuatro y este es el

resultado que nos da de la primera y así lo mismo en el segundo tres por dos más

uno es igual a siete en la tercera igual y eso fue el método que ocupamos” (renglón

8-11).

“En este como les dije formamos dos cuadros entonces el valor de “x” va a ser dos,

igual aquí tenemos un cerillo, dos cerillos, tres cerillos en un cuadro, en este

tenemos uno dos tres pero nos sobra este cerillo por eso le seguimos sumando uno,

tres por dos son seis más uno siete, en este es lo mismo aquí tenemos un cerillo, otro

cerillo son tres cerillos en común, tenemos este, este, este para formar dos, aquí

también tenemos tres y nos sigue sobrando este, entonces por eso pusimos como

constante tres, el valor de “x” va a variar de acuerdo a la cantidad de cuadros que

queramos usar y la unidad porque siempre nos sobra un cerillo por eso fue que lo

ajustamos así” (renglón 13-20).

En los casos 4 y 5 se presentó una forma similar de generalizar el problema solo que la

asociación de sus términos fue diferente siendo: (2n + 1) + n, y 2n + (n + 1). Donde se

multiplica por dos el número de la figura que se desea encontrar y sumando la posición de

la figura más la parte constante que en este problema la identificaron como de un cerillo.

“Esa es la fórmula que vamos siguiendo. Porque para la siguiente que dice en la

figura uno que el resultado es cuatro, sería dos por una nos da dos, más una tres,

más una cuatro y así se va en todos y luego dice aquí que ¿cuántos cerillos en la

figura diez? Serian dos por diez, más una más “n” que es el número de figura seria

diez otra vez ya nos daría 31, así lo hicimos nosotros” (renglón 11-17).


39

“Entonces dos por “n” se le suma lo que sigue siendo la misma literal más uno que

es lo que siempre va a quedar libre que será este, en cualquiera que queramos va a

quedar libre un cerillo entonces por eso decimos dos por “n” el número de líneas

por la figura que se va a representar más “n” más uno más el cerillo que siempre

queda libre” (renglón 11-15).

El caso 6 resulto ser fuera de lo común, el cual la generalización que lograron obtener fue la

de √9 n +1. Donde se ve implícito el uso de diferencias entre figuras y de la raíz cuadrada,

aplicando una técnica de sentido común.

“Después propusimos hacer una raíz cuadrada casi sería lo mismo que lo que habían

propuesto anteriormente, después fue lógico poner lo que era “n”, después nos

dimos cuenta que aquí hay un intervalo de uno, entonces más uno” (renglón 8-12).

3.- ¿Pudieron justificar su conjetura?

En los seis casos presentados justificaron su conjetura apropiadamente apoyándose en las

figuras proporcionadas en las hojas de trabajo, usando un lenguaje oral, corporal y escrito,

auxiliándose del uso de líneas, círculos, números, tablas y símbolos como el de la raíz

cuadrada con el fin de justifica sus respuestas.


40

4.- ¿Realizaron alguna reflexión sobre su solución?

La aportación que se realizó en el caso 1 es relacionada con la forma en que van ubicados

los cerillos, mencionando que el orden de las figuras tiene mucho que ver ya que si

cambiaran de posición la expresión algebraica a la cual llegaron carecería de sentido y

tendría que adecuarse otra. Mencionando que en cada problema se aplicaría una estrategia

en particular.

“Encontramos una pequeña variante en cuestión de cómo acomodar los cuadros

porque si nosotros seguimos, pusimos un ejemplo de que si poníamos trescientos

cuadros, la fórmula iba a hacer tres por trescientos más uno nos tenía que dar

novecientos un cuadro, si se llevaban la secuencia de cuadros así (horizontalmente),

el problema cambiaba cuando tu ponías un cuadro aquí porque ya no ocupabas el

mismo número de cerillos, a partir de la segunda fila en el segundo cuadro a la

derecha de aquí ya nos cambia porque nada más ocupamos dos cerillos, entonces de

ahí toda la fórmula este cambiaria, si se aplica la fórmula en línea pero ya en

secuencia hacia abajo encima uno de otro ya cambia” (renglón 18-27).

En el caso 2 hicieron uso de conocimientos previos al calcula la diferencia entre figuras

para identificar lo variable, percatándose que en este tipo de problemas les fue de gran

utilidad.

En el caso 3 reflexionan sobre un cambio de variable en lugar de tomar a “n” usaron a “x”

para representar la posición de la figura a encontrar, lo cual no afecto en alguna forma el

resultado y llegar a su generalización.


41

El caso 4 resalta la importancia del uso de figuras ya que basaron su conjetura en la unión

de dos cerillos y esa observación permitió llegar a una generalización. La cual esta forma

de razonamiento no se tenía contemplada en un inicio.

En el caso 5 realizaron algo similar al caso 3 al cambiar los cerillos por líneas, debido a que

lo consideraban más sencillo.

En el caso 6 utilizaron diferencias entre las figuras y uso símbolos como de la raíz

cuadrada, argumentaron que si existiera la figura 4 tal vez no podrían haber llegado al

resultado.


42

En comparación con el trabajo de Gómez (2016) donde plasma tres diferentes estrategias

para la resolución de un problema similar a la titulada cuenta el número de cerillos solo

coincide en una de las tres estrategias presentadas. En la cual los estudiantes visualizaron

que la figura varía en tres unidades y se le suma un cerillo obteniendo la expresión 3n+1.

4.3 Análisis de resultados: problema cuenta el número de cuadros

Todos los estudiantes comprendieron lo que se tenía que realizar en la segunda actividad,

identifican claramente el número de cuadros de cada figura, no tuvieron dudas de lo que

tenían que hacer y realizaron con éxito la actividad planteada a excepción de un equipo

participante que realizo erróneamente su generalización. El tiempo esperado que se tenía

planeado para la realización de esta actividad fue de proporcionarles diez minutos para la

resolución del mismo pero se llevaron un promedio de cinco minutos. En contraste con la

actividad anterior en esta solo se obtuvo la propuesta de tres estrategias diferentes.

La organización en equipos ayudó mucho a poder expresar mejor sus ideas, en esta

actividad se pudo percibir mayor entusiasmo por parte de los estudiantes pues el realizar

con éxito la actividad anterior sirvió como trampolín para realizar esta actividad de la mejor

manera. Se destaca que realizaron mayor ruido que en la actividad anterior ya que las

diferentes estrategias las transmitían de forma oral a sus compañeros de equipo.

El ambiente de instrucción favoreció a la participación de los estudiantes al pasar al

pizarrón a defender sus conjeturas, inclusive un equipo planteo mal su conjetura en dicha

etapa de la actividad y los demás participantes ayudaron a que se realizara de manera

correcta dando apertura a una lluvia de ideas.

En esta actividad fue un poco más palpable el trabajo realizado por Polya, los estudiantes se

interesaron más en el problema, al tratar de entenderlo de la mejor manera y poder

identificar la mayor información posible, logrando trazar un plan, brindando alternativas de

solución y ejecutando el plan propuesto, para posteriormente organizar cómo iban a

defender sus conjeturas.


43

En la etapa de explicación de sus conjeturas, los participantes se apoyaron en figuras

geométricas en este caso cuadros, flechas, utilizaron expresiones algebraicas para la

generalización del patrón identificado Todos los participantes generalizaron el patrón de

acuerdo a lo que identificaron como constante y como variable relacionando y haciendo

conexiones resaltando la presencia de solo tres estrategias diferentes.

1.- ¿Qué información lograron identificar? Y ¿de cuál estrategia o heurística se

auxiliaron?

Lo que identificaron los estudiantes como variable

De los seis equipos participantes, en este ejercicio cuenta el número de cuadros los

estudiantes encontraron un dato como variable. Tres de ellos utilizaron la estrategia de

diferencia entre las figuras, a pesar de que se les hizo hincapié en que utilizaran una

estrategia que no hubieran utilizado con anterioridad. Dos equipos utilizaron la estrategia

de usar a “n” como bases y un equipo se auxilió de las figuras de las hojas de trabajo.

En el caso 1 el método empleado fue la diferencia entre las figuras, auxiliándose del uso de

una pequeña tabla. El primer paso fue encontrar el número de cuadros de cada figura para

posteriormente encontrar la diferencia entre las figuras, estrategia que ya había sido

utilizada en el caso dos del problema anterior.

“Nosotros encontramos este de acuerdo a la figura, bueno aquí la primera figura nos

da uno, aquí tres y en la figura tres nos da cinco, igual tenemos una constante que es

dos. Bueno a diferencia de cada figura al aumentar seria dos” (renglón 3-5).

En el caso 2 utilizaron a “n” como si fueran dos bases una en forma horizontal y otra

vertical, argumentando que las bases van variando con respecto al número de la figura.


44

“Lo que hicimos nosotros utilizamos como si fueran bases si nos damos cuenta el

número de cuadritos que tiene cada base va variando en este caso las bases va

aumentando uno, entonces si nos damos cuenta esto se puede considerar como una

base y en cierta forma esto también lo podemos considerar como una base” (renglón

10-15).

En el caso 3 utilizaron el dibujo para encontrar lo variable mediante la observación se

pudieron percatar que las figuras van incrementando de dos en dos.

“Nuestra otra constante va a ser dos ya que conforme va aumentando se va

aumentando dos cuadros en cada extremo de las figuras” (renglón 5-7).

Lo que identificaron los estudiantes como constante

Los seis equipos identificaron en este ejercicio un dato como constante. En cuatro casos lo

relacionan como la parte que se tenía que restar al efectuar sus operaciones siendo lo que se

necesita para encontrar el número de cuadros de la figura y los otros dos equipos lo

relacionan de forma diferente.

En el caso 1 por sentido común se percataron que tenían que restar la unidad para que se

cumpliera el objetivo, al darse cuenta que siempre al realizar sus operaciones les resultaba

un cuadro de más, mencionando que si fue difícil el darse cuenta.


45

“En donde de acuerdo por ejemplo en la figura uno seria; dos por uno serian dos

menos uno, nos daría una figura, la figura dos lo mismo pero nos encontramos que

después la figura dos hasta infinito siempre nos va a aumentar una, ósea siempre se

nos va a pasar para contra restar, para que nos salga la figuras que tenemos aquí,

entonces necesitamos una por eso” (renglón 8-12).

En el caso dos se auxiliaron del dibujo de la actividad y observaron que un cuadro se

comparte con ambas bases. Entonces tuvieron que restar uno para no duplicar.

“Porque si nos damos cuenta en esta base está compartiendo este cuadrito con esta

base, entonces es por eso del menos uno” (renglón 18-19).

En el caso 3 se auxiliaron del dibujo y visualizaron que la constante seria la figura uno (que

consta de un cuadro) el cual aparece en todas las figuras, por ello la constante sería 1.

“Aquí nuestra constante va a ser uno porque si se dan cuenta en la figura uno solo

tenemos un cuadro en la esquina de la figura igual y en la tres igual” (renglón 4-5).


46


De los seis equipos cinco presentaron la misma forma de generalizar el ejercicio siendo la

expresión 2n-1 y un solo equipo presento 2n+1 el cual con la ayuda de los compañeros

pudieron adecuar esta expresión ya que era errónea.

En el caso 1, la expresión matemática que desarrollaron fue 2n-1, relacionan que las figuras

varían de dos en dos hasta infinito, pero que al final para que se cumpla la fórmula se le

tiene que restar uno.

“Nosotros encontramos la fórmula de 2n-1 (renglón 10-12). La constante nada más

la tomamos como el dos, porque nos damos cuenta que aumenta de dos en dos cada

figura, la figura uno tiene uno por lo tanto más dos cuadritos nos da tres, tres más

dos nos da cinco y así sucesivamente aumenta dos por lo tanto el dos es una

constante dentro de las figuras, el “n” lo tomamos como el valor de cada figura de

acuerdo a la figura que queramos saber que cuales hay en ella” (renglón 20-24).

En el caso 2, la generalización que lograron fue n+n-1, relacionan la posición “n” de la

figura como si fueran bases las cuales variaban un cuadro y como comparten un cuadro

ambas bases se le resta la unidad.

“La fórmula que encontramos fue casi similar a la de los compañeros nada más que

un poco más extensa digámosle de esta forma n+n-1 (renglón 8-11) De hecho

nosotros “n” lo consideramos como el número de cuadritos que tiene la base, por

eso como las figuras en este caso le encontramos dos bases tenemos (n + n) y el uno

nosotros lo restamos, porque si nos damos cuenta en esta base está compartiendo

este cuadrito con esta base, entonces es por eso del menos uno, simplemente

sumamos las dos bases menos el cuadrito que están compartiendo, entonces si

aplicamos la fórmula que al fin de cuentas es lo mismo que la de hace rato, digamos

en la figura quince” (renglón 16-21).


47

El caso 3 resultó ser una participación muy fructífera para la reflexión debido a que la

forma algebraica a la que llegaron en un inicio fue la de 2n+1 relacionando a “n” como el

incremento de las figuras y no como posición, lo cual despertó un cumulo de opiniones y

apoyo a sus compañeros, llegando a un acuerdo y reemplazarla por la expresión 2(n-1)+1,

con la cual estuvieron de acuerdo.

“Entonces nada más sustituimos por ejemplo, dos por cero más uno, que dos por

cero es cero más uno es igual a uno, y en la otra si sustituimos dos por uno, dos por

uno son dos más uno tres ya tenemos tres cuadros aquí” (renglón 9-11).

“Con la ayuda de los compañeros se planteó una nueva fórmula la cual si utiliza a

“n” como la posición de la figura siendo 2(n-1)+1” (renglón 29-31).

3.- Pudieron justificar sus conjeturas?

Los seis equipos explicaron su generalización, en los tres casos presentados justificaron su

conjetura apoyándose de las figuras proporcionadas en las hojas de trabajo, usando un

lenguaje oral, corporal y escrito, líneas, flechas, círculos, números y tablas. Y en un caso de


48

los tres expuestos se necesitó la ayuda de los demás compañeros de clase para replantear

una conjetura errónea, lo cual demostró el interés en el problema.


En el caso 1, reflexionaron que utilizaron el sentido común para hallar la constante,

argumentando que les costó mucho trabajo el poder expresarlo en la generalización y entrar

en controversia entre los integrantes del equipo si era válido realizarlo de esa manera.

En el caso dos mencionaron que tal vez la expresión a la que llegaron o la forma de resolver

el problema fue un poco más extenso que el de sus compañeros.

En el caso 3 mencionan que no identificaron adecuadamente la información y que no

hallaron una generalización adecuada y que gracias a la participación de los demás

compañeros se pudo brindar una generalización que no estaba contemplada, tomando la

conjetura inicial solo con adecuaciones.


49

4.4 Análisis de resultados: problema calcula el perímetro

En esta actividad no todos los estudiantes comprendieron lo que se tenía que realizar, en la

identificación de la información tuvieron problemas con el concepto de perímetro, por lo

cual se vio afectado en el tiempo de resolución del problema ya que el tiempo esperado que

se planteó para la realización de esta actividad fue de diez minutos similar a las dos

actividades anteriores. Tres equipos acabaron la actividad con un promedio de ocho

minutos y los otros tres equipos se llevaron los diez minutos en generalizar el patrón,

obteniendo la propuesta de tres estrategias diferentes.

En esta actividad se propuso a los estudiantes que desarrollaran una forma de solución que

no hubieran utilizado en los dos ejercicios anteriores, con la finalidad de encontrar alguna

estrategia nueva y original. Lo cual se vio reflejado en el éxito de la actividad ya que todos

los equipos pudieron generalizar el patrón.


geométricas (en este caso triángulos y cuadros), líneas, utilizaron expresiones algebraicas

para la generalización del patrón, realizando su participación en forma más fluida y sin

tantos nervios como en los problemas anteriores.

Entre las heurísticas utilizadas están las de calcular las diferencias entre figuras, auxiliarse

de las figuras de las hojas de trabajo, dibujos, flechas y rayas, así como aplicar ensayo y

error e intento de usar la fórmula del triángulo. Percatándonos que utilizan los

conocimientos previos y utilizan la estrategia que ellos consideran más sencilla en este caso

la diferencia entre figuras.


auxiliaron?


De los seis equipos, utilizaron la estrategia de diferencia entre las figuras, solo que la forma

de relacionar la información fue muy peculiar manifestándose lo que menciona Radford


50

(2009) al brindarle un sentido a los signos utilizados por los estudiantes y poder apreciar la

forma en que piensan.

En el caso 1 lo primero que hicieron fue calcular el perímetro de cada figura y observaron

que la diferencia entre cada figura es de tres unidades, auxiliándose de una tabla.

“Bueno primero calculamos el perímetro de la primer figura que es cinco porque

son cinco los lados que tiene, después calculamos así nos fuimos con todas las

figuras y nos dimos cuenta de que existe una diferencia de tres por cada uno”

(renglón 3-5).

En el caso 2 se auxiliaron de un dibujo utilizando la base del cuadrado, es decir usaron solo

tres lados omitiendo la parte superior del cuadrado siendo de tres lados, percatándose que

varía de tres en tres entre figuras. Siendo una estrategia peculiar pues no se tenía

contemplada con anterioridad relacionando la información de diferente manera.

“Siempre lo venimos comprobando así porque hay 3 tomamos en cuenta que la

siguiente casita sería una, dos y tres volvemos a tomar la siguiente casita que sería

uno, dos y tres” (renglón 6-8).

En el caso 3 utilizaron la diferencia de las figuras siendo de tres y la relacionaron con los

lados del triángulo que se encuentra es la parte superior de la figura. Pero en su conjetura

tomaron la base del triángulo como si fuera la base del cuadrado puesto que se está

utilizando el perímetro.


51

“Primero tomamos como 5, 8, 11, 14 sacamos el valor de tres, tres es el valor del

triángulo de la parte de arriba” (renglón 4-5).

Lo que identifican los estudiantes como constante

En el caso 1 se auxiliaron de la figura y tomaron como constante los picos del triángulo

siendo de dos, relacionándolo como los techos de las casas.

“El dos lo calculamos como los lados visibles de que tiene cada triángulo de cada

casita” (renglón 10-11).

En el caso 2 se auxiliaron de la construcción de un dibujo y notaron que hace falta dos

rayas para completar el perímetro.

“Entonces nos sobran 2 rayitas que serían las que completarían el triángulo de arriba

una, dos y me faltan 2 que es donde está el más 2” (renglón 8-9).

En el caso 3 se auxiliaron de un dibujo y visualizaron que la constante serían los dos lados

sobrantes, es decir, argumentan que sobran dos lados al realizar la construcción de la figura

siendo las partes laterales del mismo.


52

“Más siempre van a sobrar dos lados a los lados, son estos dos en todos igual.

Siempre va hacer lo mismo va hacer los tres lados del triángulo más dos, los dos

sobrantes de cada lado” (renglón 11 y 12).


En el caso 1 la fórmula que desarrollaron fue 3n+2. Relacionando el elemento variante que

obtuvieron al aplicar la diferencia entre figuras resultando tres unidades la cual

multiplicaron por el número de posición de la figura que desean hallar, que en este caso lo

vinculan con el número de casas, y le suman la parte constante siendo de dos unidades que

visualizaron en los lados que forman el pico de los triángulos.

“Si nos damos cuenta “n” es el número de casitas, si entonces yo estoy considerando

las casas en general, nos damos cuenta cada casa tiene en su techo llamémosle así

dos unidades en su techo así lo relacionamos, ósea como lo estamos considerando

por casa entonces cada casa en su techo tiene dos unidades que es uno y dos por

casa, por eso lo estamos considerando así” (renglón 20-24).

En el caso 2 la generalización que lograron construir fue 3n+2. Pero la forma de relacionar

y hacer conexiones fue diferente al caso anterior, en este caso lo que varía son las bases de

los cuadrados, multiplican por el número de la figura que desean encontrar y le suman los

picos del triángulo que es lo que consideran como faltante y poder cumplirse su expresión.

“Que sería esta si la ponemos aquí ya directa sería 4x3=12+2 son 14 entonces sería

lo mismo de allá arriba una, dos, tres, una, dos, tres, una, dos, tres, una, dos, tres son


53

dos, cuatro, seis los que me faltan entonces completaríamos los triángulos de arriba

dos, cuatro y seis y faltarían los 2 que siempre son 2” (renglón 16-21).

En el tercer caso la forma algebraica a la que llegaron es 3n+2. Relacionando la posición de

la figura con los tres lados del triángulo y le suman la parte faltante que serían los lados de

la figura siendo dos.

“Si, número de triángulo pues la base del triángulo ya la tenemos que es la de abajo

en todos la base va a ser la de abajo, entonces nada más sobran los dos lados de los

dos lados” (renglón 15-17).

3.- ¿Pudieron justificar su conjetura?

En los tres casos presentados justificaron su conjetura apropiadamente apoyándose en las

figuras proporcionadas en las hojas de trabajo, usando un lenguaje oral, corporal y en

algunos casos escritos, líneas, flechas, círculos, números, tablas, no usaron símbolos como

raíz cuadrada, pero si realizaron la construcción de algunos dibujos y uso de

representaciones simbólicas.


El caso 1 argumento que tuvieron que auxiliarse de las figuras para poder generalizar el

problema, y que no tuvieron problemas con la identificación de la información todos los

integrantes del equipo conocían el concepto de perímetro.


54

El caso 2 se auxiliaron de un dibujo alterno construido por rayas y figuras, considerando

que es una manera rara de pensar y relacionar información, la cual les tomo bastante tiempo

elaborarla.

El caso 3 hacen mención que se puede usar para cualquier posición, que se dieron tiempo

para comprobarlo y que es factible para cualquier posición que uno desee calcular.

4.5 Análisis de resultados: problema cuenta el número de bolas de billar

En esta actividad no todos los estudiantes comprendieron lo que se tenía que realizar, en la

identificación de la información tuvieron problemas pues argumentaron que no habían

trabajado anteriormente con los números triangulares, pero lograron relacionar el problema

con la figura de un triángulo. El tiempo que se planteó para la realización de esta actividad

fue de diez minutos similar a las actividades anteriores, el cual resulto insuficiente se tuvo

que ampliar cinco minutos ya que ningún equipo acabo en el lapso establecido.

En este problema cuatro equipos lograron desarrollar la generalización del patrón y los

otros dos equipos no pudieron llegar al objetivo dando respuesta a las primeras cinco

preguntas y solo tratado de llegar a una generalización sin éxito. Entre las heurísticas

utilizadas están las de calcular las diferencias entre figuras, se auxiliaron de las figuras de

las hojas de trabajo, dibujos, círculos, flechas y rayas, aplican ensayo y error, utilizaron la

fórmula del triángulo y uso de los conocimientos previos de los anteriores problemas. En

esta actividad se obtuvo la propuesta de cuatro estrategias diferentes.


55


geométricas en este caso triángulos, líneas, utilizaron expresiones algebraicas en los cuatro

casos para la generalización del patrón identificado. En su participación los estudiantes se

enfocaron a explicar lo que significaba cada elemento de su construcción, relacionando en

forma un poco más ordenada, usando mayor información que en las tres actividades

anteriores.


auxiliaron?


Los cuatro casos identificaron algo variable, donde en tres de ellos lo relacionaron con la

posición de la figura. El otro caso utiliza la diferencia entre las figuras. En el caso 1,

apreciaron que varía la base y la altura, donde la base va incrementando de acuerdo al

número de posición y la altura la toman como el número de niveles que contiene la figura.

Tomando como referencia la fórmula de un triángulo.

“En este caso “n” es nuestra base si nosotros consideramos a “m” como nuestra

altura siendo nuestra altura, si nos damos cuenta tenemos una línea, dos y tres en

este caso, consideramos esa altura las columnas que va acumulando entonces si

sustituimos en el número de figura que ustedes quieran si nos damos cuenta en el

cuatro tenemos uno, dos, tres y cuatro entonces tenemos una altura por una base si

nos damos cuenta” (renglón 11-16).

Para el caso 2, lo primero que realizaron es la obtención de las bolas de cada figura para

posteriormente auxiliarse de la construcción de una tabla donde aplicaron la diferencia

entre figuras, percatándose que la variación en este problema no fue como en los anteriores

y tuvieron que aplicar la diferencia entre figuras en dos ocasiones. Conjeturando que la

primera diferencia es lineal y la segunda es en forma cuadrática.


56

“En las figuras tenemos 1, 3, 6 10 entonces hicimos una diferencia y entonces en la

primera hay 2, luego hay 3 y luego hay 4 y son continuas entonces significa que hay

otra sucesión aparte de esta que es una y una las diferencias” (renglón 3-6).

En el caso 3 se auxiliaron de los dibujos que vienen en la hoja de trabajo y pudieron

observar que la figura varía de acuerdo a la posición de la figura y se ve reflejado en la

base, así como que la figura posterior incluye a la anterior.

“También observamos que una figura depende de la otra, por ejemplo, la figura dos

depende de esta la figura uno, en la figura tres se forma este triángulo de estos tres y

se prosiguen aumentando n estos ósea, todos dependen de la figura anterior, por eso

es que elegimos “n”, se mantiene que en este caso sería el número de la figura, por

ejemplo, esta que está aquí, uno seria 1+2 luego seria 3 más la otra figura 3 y el

número 4, que tiene 1, 2, 3 teníamos esto más el 4 por eso es que pusimos más otra

“n” en nuestra expresión” (renglón 8-13).

En el caso 4 se auxiliaron de las figuras y visualizaron que varía de acuerdo a la posición de

la figura tomando este dato como la base. Además de tomar a otro lado del triángulo como

base, utilizando un razonamiento similar al caso anterior con la diferencia que no lo

observaron como niveles si como otra base.

“Nos pusimos a analizar y vimos que formábamos triángulos, tomamos como “n” la

parte que varía en cada triángulo” (renglón 4-6).


57

Lo que identifican los estudiantes como constante

De los cuatro equipos solo un equipo propuso algo constante, al observar que la figura uno

de la serie era la única que aparece en las demás figuras. Además en todos los casos

mencionan como constante la presencia de la fórmula general, por ello tienen que dividir su

expresión algebraica entre dos.

“De donde sacamos estos datos, lo primero observamos que en todas las figuras

había una constante que es la figura uno” (renglón 7-9).


De los cuatro casos expuestos solo dos presentaron la misma expresión algebraica con

diferente tipo de análisis siendo la más común de las representaciones simbólicas siendo las

siguientes:

En el caso 1 desarrollaron la forma algebraica , donde relacionaron una “n” con la

altura y la otra “n” como base de la figura, siendo “n” la posición de la figura que se desea

encontrar, así mismo tuvieron presente la fórmula del triángulo por ello la división entre

dos.


58

“La fórmula que nosotros encontramos fue “n” al cuadrado más “n” sobre dos”

(renglón 5-7).

En el caso 2 formularon la expresión algebraica mediante ensayo y error,

relacionando la información obtenida y aplicando la diferencia entre figuras. Es decir,

relacionaron que la diferencia de la primera sucesión es lineal y la segunda diferencia es

cuadrática y fueron construyendo la expresión tomando en consideración la posición de las

figuras siguientes.

“Entonces le pusimos una “n” y como pensamos que era cuadrática le pusimos al

cuadrado… pero pues de ahí ya con los demás no salía y entonces le agregamos otra

“n” por lo tanto una al cuadrado una más una es igual a 2, entonces vimos que no

salía entonces lo dividimos entre 2 y al fin fuimos checando en cada una de estas,

dos por dos son cuatro más dos son seis entre dos es tres, que corresponde a la

figura dos, y así consecutivamente fuimos este encontrando los números de la

sucesión” (renglón 11-18).

En el caso 3 llegaron a la siguiente generalización relacionando a n2

con la

fórmula de la figura geométrica de un cuadrado al ser lado por lado y le sumaron la

posición de la figura que se desea hallar que utilizándolo como “n”. Por último dividen


59

entre dos su expresión por ser un triángulo y un cuadrado contiene dos triángulos, es decir,

no se basaron en una idea total de la fórmula de un triángulo sino en que un cuadrado tiene

dos triángulos.

“Bueno pues nosotros lo resolvimos de la siguiente manera y obtuvimos, la

siguiente fórmula que es: “x” es igual a uno por “n” al cuadrado más “n” entre dos”

(renglón 2-6).

En el caso 4 presentaron la expresión algebraica en donde relacionaron a la

figura con un triángulo multiplicando la base por la altura, solo que la altura la tomaron

como si fuera otra base y le sumaron la posición de la figura a encontrar. Por ello en este

caso también dividen entre dos pues vinculan la fórmula del triángulo donde se realiza esta

operación.

“Bueno la fórmula que nosotros encontramos fue “n” por “n” más “n” entre dos”

(renglón 3-5).

3.- ¿Pudieron justificar sus conjeturas?

En los cuatro casos presentados justificaron su conjetura apropiadamente apoyándose en las

figuras proporcionadas en las hojas de trabajo, usando un lenguaje oral, corporal y en

algunos casos escritos, líneas, flechas, círculos, números, tablas, usando las fórmulas de

figuras geométricas como el triángulo y cuadrado, así mismo, no se menciona el concepto

de números triangulares durante sus explicaciones.


60


En el caso 1 relacionan el número de la base y de la altura de la figura con la fórmula del

triángulo

En el caso 2 reflexionan que tienen que aplicarse dos veces la diferencia entre figuras

donde conjeturan que la primera diferencia es lineal y que la segunda diferencia seria de

tipo cuadrática, siendo diferente a los métodos antes empleados donde solo se aplicaba una

diferencia.

En el caso 3 mencionan que en su expresión algebraica utilizan el número uno, debido a

que lo relacionan con la figura que ocupa la posición uno. Siendo la figura que permanece

constante durante toda la sucesión, lo cual concluyen que puede omitirse y no afectaría su

resultado.

En el caso 4 reflexionan en que ellos estaban empeñados en querer utilizar la fórmula del

triángulo pero que no pudieron relacionar la información correctamente, por ello utilizaron

la información como si existieran dos bases en la figura siendo su segunda conjetura. En


61

este caso dividieron entre dos para cuadrar el resultado aplicando sentido común más que

algo fundamentado.

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES

62

5. CONCLUSIONES

Con base en la pregunta de investigación planteada en el presente trabajo ¿Qué estrategias

utilizan los estudiantes de Ingeniería en Metal Mecánica para la identificación y

generalización de un patrón lineal o cuadrático en secuencias figurales? Con la cual se

pretende documentar las diferentes formas en las que los estudiantes pueden identificar un

patrón y si en general aplican las mismas estrategias en diferentes tareas se puede concluir

que:

Algunos equipos tuvieron problemas al abordar las hojas de trabajo si bien en la mayoría de

los casos tuvieron éxito al hallar la solución de los mismos no disponían de una estrategia o

algún procedimiento para darles solución. Cabe resaltar que en la mayoría de sus conjeturas

tuvieron errores aunque se les recomendó no borrar los procedimientos que realizaban para

tener evidencia de las estrategias que utilizaron se identificaron borrones en las hojas de

trabajo.

Se puede visualizar la presencia de las fases que George Polya para brindarle solución a los

problemas de manera desordenada, debido a que los estudiantes abordaban la solución del

problema sin haber realizado un plan o sin comprender la actividad en su totalidad, en la

mayoría de las dificultades de entendimiento de las matemáticas van relacionadas con

comprender con claridad las actividades propuestas. En el caso del problema cuenta el

número de cerillos y cuenta el número de cuadritos los estudiantes no tuvieron problemas

en identificar la información necesaria que les ayudara a desarrollar la solución de los

mismos, pero en los casos calcula el perímetro y cuenta el número de bolas de billar los

estudiantes no lograron identificar la suficiente información sobre lo que realmente se

estaba planteando, asimismo, no tenían claro el concepto de perímetro y no contaban con el

concepto de los números triangulares por lo que no todos los equipos hallaron una solución

a la actividad propuesta.

Los estudiantes no tenían conocimiento del método de Polya y con la ayuda del instructor

pudieron aplicarlo de una manera más ordenada a partir del segundo problema, al insistir

que el primer paso para darle solución a un problema era el entendimiento de la actividad


63

logrando recabar información importante que les permitiera desarrollar una solución. La

segunda fase de Polya la mayoría de los estudiantes la omitía enfocándose en la búsqueda

de una solución sin antes planear alguna estrategia, por lo anterior la ejecución de un plan

carecía de sentido para ellos. Por otra parte no realizaban alguna exanimación a la solución

obtenida, por lo que les resultó interesante abordar problemas usando este método debido a

que las actividades planteadas contaban con más de una forma de análisis para darle

solución, en la fase de retroalimentación fue acompañada de una gran lluvia de ideas de las

diferentes opiniones brindadas por los compañeros de clase, lo cual resultó ser divertida y

gratificante realizando sugerencias interesantes y fomentando una crítica constructiva entre

los participantes.

Una de las estrategias más comunes que utilizaron los estudiantes en todas las actividades

planteadas fue la de sentido inverso, es decir trabajaron de atrás hacia adelante tomando los

resultados como una característica importante y de ahí partían para darle solución al mismo,

es decir, ya conocían el resultado de la figura que se solicitaba pero no llegaban a una

expresión para poder generalizar el patrón.

Otra estrategia que desarrollaron los estudiantes consistió en avanzar desde una situación

actual de una figura a otra figura que estuviera próxima a la deseada, de manera que el

estudiante se sintió un poco más cerca de la respuesta, claro está, que cada movimiento que

se realizaba tenían que evaluarlo.

Los equipos se auxiliaron en la resolución de un problema más simple, donde los

estudiantes simplificaron el problema resolviendo ejemplos sencillos con figuras menos

complejas, todo enfocado a entender de mejor manera el problema propuesto utilizando

líneas, puntos, rayas, flechas y círculos.

Usaron la estrategia de sentido común, al buscar la generalización del patrón los estudiantes

argumentaban el uso por “tanteo”, es decir, que de acuerdo a la posición de las figuras

realizaban suposiciones de los posibles resultados o tendían a completar su representación

algebraica para poder lograr el objetivo.


64

En cuanto a las representaciones y estrategias que utilizan los estudiantes de Ingeniería en

Metal Mecánica durante el proceso de generalización de un patrón lineal o cuadrático que

ayuden a identificar los medios de los que se apoyan para expresar sus resultados como

pueden ser el lenguaje oral, tablas, alguna heurística o elementos gráficos que los lleven a

proponer expresiones se destaca lo siguiente:

Una estrategia visible en algunas de las hojas de trabajo es la de ensayo y error al existir

borrones los cuales no estaban permitidos, para que la información fuese tomada como

evidencia, donde los estudiantes argumentaron que verificaban sus conjeturas pero no

hallaban la solución.

Estrategia mecánica (utilizando conocimientos previos) se analizó que los estudiantes

plantearon resolver los diversos problemas usando el mismo algoritmo que en el problema

anterior, a pesar de comentarles que trataran de utilizar estrategias diferentes en cada

problema y de que existían diversas formas de abordar su análisis.

Al trabajar en equipo el lenguaje más usado fue el oral, debido a que discutían las

propuestas hechas por los integrantes del equipo, para que en común acuerdo pasaran al

pizarrón a exponer una sola conjetura donde también emplearon lenguaje corporal como

señas, gestos y ademanes, ayudando a los estudiantes a explicar a los demás participantes la

manera en que realizaron su generalización.

Otra estrategia utilizada por los estudiantes fue el realizar un dibujo apoyándose en material

visual para la representación de la información y plantear una solución del problema

auxiliándose de rayas, puntos o figuras geométricas.

Uso de las diferencias sucesivas realizando conjeturas acerca del término que debía seguir,

el cual consiste en que al segundo término de la sucesión se le resta el primero, al tercero el

segundo, al cuarto el tercero y así sucesivamente hasta obtener una serie constante.


65

Estrategias donde se utiliza un razonamiento diferente, algunos equipos desarrollaron

formas de resolución de problemas originales, con un enfoque alternativo de solución, con

la cual desató polémica entre los participantes un ejemplo fue el uso de símbolos como en

el caso de la raíz cuadrada.

Se concluye que las estrategias que implementaron los estudiantes en el presente trabajo

fueron variadas y de gran utilidad para la solución del problema propuesto, considerando

que el docente a cargo de la actividad tuvo que identificar, interpretar y explicar las

diversas estrategias que presentaron los estudiantes con el fin de brindarles un panorama

más amplio de lo que se estaba realizando, debido a que la idea central fue de que el

estudiante construyera su propio conocimiento. Es importante hacer mención que algunas

de las estrategias desarrolladas por los estudiantes no se tenían contempladas y en las cuales

se mostró una manera diferente de análisis sobre características del problema y así poder

construir una expresión que describiera el comportamiento del patrón. Donde en la mayoría

de los casos los estudiantes utilizaron una generalización algebraica simbólica, es decir,

usaron una fórmula como la manera más representativa de expresar las relaciones que

habían observado.

Por otra parte, los participantes realizaron una reflexión sobre cómo se vienen trabajando

las matemáticas descubriendo que exististe diversas metodologías y herramienta para la

creación de nuevas actividades en la enseñanza de las matemáticas que fomenten la

creatividad e imaginación de los mismos.

Reflexiones finales

Al realizar este trabajo se pudo observar la importancia de la resolución de problemas

matemáticos donde se ve implícito el uso de patrones, así como el reconocimiento de

diferentes estrategias que utilizan los estudiantes en la solución de los mismos,

demostrando que el estudiante debe realizar tareas que son encomendadas en el salón de

clase y que en algunas ocasiones no comprenden realmente lo que está implícito en el

problema, por lo tanto, es importante que el estudiante se vea interesado en la actividad

desde un inicio, tratando de brindar una solución ya sea de forma individual o grupal,


66

identificando relaciones entre las características del problema los cuales le ayuden a darle

solución al mismo.

En las actividades llevadas a cabo para la realización de este trabajo, el docente tuvo un

papel fundamental al brindar una ayuda de manera que fluyeran las ideas, siendo en forma

motivadora, y despertando el interés del estudiante por resolver el problema sin influir en la

estrategia que puede brindar, es decir, el estudiante desarrollo sus propias estrategias de

solución utilizando las herramientas que considero necesarias, donde el docente en algunos

casos analizó razonamientos fuera de lo común, si bien es cierto que conocía la solución de

los problemas propuestos, aparecieron estrategias que no habían sido analizadas, debido

que al llevar a cabo la recopilación de la información donde fue realizada frente a grupo se

presentó la oportunidad de apreciar diferentes formas en que los estudiantes relacionaron

información que ellos identificaron como importante.

Al tratar de auxiliar al estudiante el vocabulario resultó ser importante siendo de manera

natural, tratando de plantear preguntas en todo momento enfocadas a un objetivo,

problematizando el aprendizaje y promoviendo la reflexión, creación y construcción de

nuevas estrategias de solución. Lo anterior sirvió para que los participantes valoraran las

contribuciones individuales o colectivas que realizaron durante la sesión.

Por otra parte esta investigación promueve que para aprender matemáticas hay que realizar

matemáticas. Al presentarles los problemas a los estudiantes la primera reacción fue querer

resolverlos usando conocimientos previos, recurriendo a la ayuda de algún algoritmo, pero

lo extraordinario fue encender esa chispa para que lograrán despertar su interés en la

actividad desarrollando habilidades y estrategias de modo natural en la resolución de

problemas. El estudiante culminó con éxito la primera tarea encomendada lo que provocó el

incremento por querer resolver los siguientes problemas y claro está que la actitud del

docente influyó demasiado al estar ilusionado e interesado en aprender, no estar cerrado a

las observaciones o críticas de los estudiantes, a las ideas o conjeturas de los participantes,

sino sorprenderse y tomar como una idea importante todas y cada una de las aportaciones

de los mismos.


67

Por lo anterior surgen las siguientes interrogantes: ¿Qué impacto tiene que los estudiantes

realicen con éxito su trabajo en clase?, ¿realmente influye en el docente para prepararse

cada día? planteando nuevas tareas y por lo tanto desarrollar nuevas estrategias y

habilidades en sus estudiantes. Después de haber realizado este trabajo de investigación sin

dudar diría que influye bastante, resultando fundamental el identificar conexiones y

relaciones en las características del problema.

El cursar la maestría ayuda a ampliar la concepción que se tiene hacia la matemática y en

especial la de uno mismo hacia esta ciencia. Debido a que no es sencillo realizar

exploraciones, reconocer conjeturar y proponer argumentos que justifiquen la solución de

los problemas propuestos, por lo que el visualizar, identificar y comunicar los resultados

son procesos fundamentales en el quehacer de la matemática y que en muchas ocasiones

evitamos realizarlas en la práctica.

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68

APÉNDICE A:

TRANSCRIPCIÓN DE LAS

VIDEOGRABACIONES

APÉNDICE A: TRANSCRIPCIÓN DE LAS VIDEOGRABACIONES

77

CASO 1 ESTUDIANTES DE LA UTSH PROBLEMA CERILLOS 1

2

ESTUDIANTE 1: Bueno nosotros a la deducción que llegamos a lo que estuvimos viendo 3

como equipo, observamos que la primer figura tenemos cuatro cerillitos, en la segunda 4

tenemos siete y en la tercer figura tenemos diez. 5

6

Por consecuencia nos pedía una fórmula para saber el número de cerillitos si tenemos diez 7

cuadros. La fórmula que nosotros encontramos fue (3n+1). 8

9

ESTUDIANTE 2: Bueno esta fue la fórmula, ya aplicando la fórmula, seria tres por “n” 10

que es uno más uno, aquí tendríamos cuatro más uno, seria; tres por uno tres, más uno 11

cuatro. 12

13


78

En la fórmula dos tendríamos dos por tres, seis más uno siete, en la fórmula tres 14

tendríamos; tres por tres, nueve más uno diez, ya si nos pide diez sería; tres por diez, más 15

uno sería igual a treinta y uno. 16

17

ESTUDIANTE 1: Encontramos una pequeña variante en cuestión de cómo acomodar los 18

cuadros porque si nosotros seguimos, pusimos un ejemplo de que si poníamos trescientos 19

cuadros, la fórmula iba a hacer tres por trescientos más uno nos tenía que dar novecientos 20

un cuadro, si se llevaban la secuencia de cuadros así (horizontalmente), el problema 21

cambiaba cuando tu ponías un cuadro aquí porque ya no ocupabas el mismo número de 22

cerillos, a partir de la segunda fila en el segundo cuadro a la derecha de aquí ya nos cambia 23

porque nada más ocupamos dos cerillos, entonces de ahí toda la fórmula este cambiaria, si 24

se aplica la fórmula en línea pero ya en secuencia hacia abajo encima uno de otro ya 25

cambia. 26

27

MAESTRO: Y hay este para encontrar su fórmula que encontraron que variaba y que 28

permanecía constante, ¿Cómo llegaron a esa fórmula? ¿Qué es lo que vieron para llegar a 29

esa fórmula? 30

ESTUDIANTE 2: Lo que permanece constante es el más uno. 31

MAESTRO: ¿Y en la figura como la relacionaron? Ese más uno ¿en que figura la 32

relacionaron? 33

ESTUDIANTE 1: Porque al ver que, nosotros en un cuadro tenemos cuatro cerillitos, en el 34

segundo cuadro un cerillo ya nos sirve de base para hacer el siguiente cuadro, ósea que ya 35


79

no ocupamos cuatro cuadros, cuatro cerillos, perdón!!! Ocupamos tres, entonces nuestra 36

base la tomamos como uno, entonces de allí va a partir el número de cuadros este 37

multiplicado por tres más el uno. 38

39

MAESTRO: ¿Qué se les dificulto? 40

ESTUDIANTE 2: ¿Con respecto a esto? 41

ESTUDIANTE 1: ¿Con respecto a esto?, nada que nos sacó un poquito de cuadro ahora sí 42

que los palitos que van abajo y se siguen en fila. 43

44

MAESTRO: Bueno pues vamos a darle un aplauso al equipo. 45


80


2

ESTUDIANTE: Bueno el método de nosotros fue contar los cerillos que tiene cada figura, 3

la figura uno tiene cuatro, la que sigue siete y la otra tiene diez entonces se ve la diferencia 4

que hay entre cada figura son tres cerillos de diferencia y se puso lo que es la diferencia la 5

posición que es la figura uno. 6

7

Por ejemplo “n” más uno y esto nos da por ejemplo tres por uno más uno, esto son tres más 8

uno son cuatro y este es el resultado que nos da de la primera y así lo mismo en el segundo 9

tres por dos más uno es igual a siete en la tercera igual y eso fue el método que ocupamos. 10

11

MAESTRO: Pero ahí este el tres me dices como lo relacionas, y el uno ¿Cómo lo 12

relacionas? o ¿Cómo pusieron ese uno? 13

ESTUDIANTE: Ha!!! El uno es por ejemplo, es sacándolo, bueno se multiplica por lo que 14

es la figura por ejemplo la uno y cuanto le falta para llegar a este número por ejemplo aquí 15

tres por uno son tres más uno ya son cuatro. 16


81

17

MAESTRO: Ok entonces si quisiera yo saber cuál es la figura, no se diez. 18

ESTUDIANTE: ¿La diez? A pues se hace lo mismo tres por diez, más uno es igual a 19

treinta y uno. 20

21

MAESTRO: Bueno no sé si alguien quiera preguntarle algo. Vamos a darle un aplauso. 22

23


82


2

ESTUDIANTE: Aquí en estas figuritas podemos ver que siempre vamos a tener tres 3

cerillos en común en este caso va a ser este, este y este y nos sobra uno, en esta igual 4

tenemos tres este, este, este pero a este lo está afectando este porque para hacer este cuadro 5

se usan estos esté este y este y nos sigue sobrando uno. 6

7

Entonces lo único que hicimos por eso tomamos como constante el número tres y como el 8

valor de “x” va a ser el valor de la cantidad de cuadros que queramos formar, por ejemplo 9

aquí tenemos un cuadrito que es el valor de “x” sería uno, tres por uno pero como nos sobra 10

un cerillo le sumamos solamente uno y nos da que son cuatro cerillos. 11

12

En este como les dije formamos dos cuadros entonces el valor de “x” va a ser dos, igual 13

aquí tenemos un cerillo, dos cerillos, tres cerillos en un cuadro en este tenemos uno dos tres 14

pero nos sobra este cerillo por eso le seguimos sumando uno, tres por dos son seis más uno 15

siete, en este es lo mismo aquí tenemos un cerillo, otro cerillo son tres cerillos en común, 16

tenemos este, este, este para formar dos, aquí también tenemos tres y nos sigue sobrando 17


83

este, entonces por eso pusimos como constante tres, el valor de x va a variar de acuerdo a la 18

cantidad de cuadros que queramos usar y la unidad porque siempre nos sobra un cerillo por 19

eso fue que lo ajustamos así. 20

21

En la pregunta que nos hacían del diez pues es lo mismo tres por diez más uno el cerillo 22

que nos sobra igual a treinta y uno y ya esta fue la forma que usamos nosotros. 23

24

MAESTRO: ¿Alguna duda? Vamos a darle un aplauso a sus compañeros. 25

26


84


2

ESTUDIANTE: Haber nosotros lo que encontramos fue que por ejemplo si se dan cuenta 3

dos cerillos apuntan para un mismo lado entonces tomamos esto. 4

5

Si se dan cuenta es el valor de “n” que va en las figuras entonces colocamos “n” pero como 6

van dos cerillos casi siempre en la misma pusimos el dos, bueno después tomamos en 7

cuenta siempre un cerillo termina aquí entonces pusimos más uno. 8

9

El de arriba va igual conforme a n que sería el número de la figura que sería uno, dos, tres y 10

así se va entonces eso le sumamos más “n” y esa es la fórmula que vamos siguiendo. 11

12


85

Porque para la siguiente que dice en la figura uno son cuatro sería dos por dos, dos por una 13

que sería la figura seria dos más una tres, más una cuatro y así se va en todos y luego dice 14

aquí que ¿cuántos cerillos en la figura diez? Serian dos por diez, más una más “n” que es el 15

número de figura seria diez otra vez ya nos daría 31, así lo hicimos nosotros. 16

17

MAESTRO: ¿Alguna pregunta? 18

19


86


2

ESTUDIANTE: Nosotros lo hicimos por el número de líneas, las líneas son dos es esta y 3

esta son dos entonces lo pusimos como una constante dos. 4

5

Después según el cómo constante “n” bueno como literal “n” para la figura, por ejemplo 6

aquí podemos ver que ya son tres nos queda una libre entonces “n” para cualquier figura ya 7

sea dos o tres a esto le vamos a sumar lo que es lo sobrante. 8

9

Por ejemplo, aquí vemos que son dos líneas le vamos a poner la “n” que es esta constante 10

porque siempre queda libre una y se le van a ir sumando las otras tres entonces “n” 11

entonces esta que sigue siendo la misma literal más uno que siempre va a quedar libre que 12

será este, en cualquiera que queramos va a quedar libre un cerillo entonces por eso decimos 13


87

dos por “n” el número de líneas por la figura que se va a representar más n más uno más el 14

cerillo que siempre queda libre. 15

16

MAESTRO: Pero por ejemplo en la figura tres, esa n que esta solita acompañando al más 17

uno, ¿Cómo la identifican? 18

ESTUDIANTE: Uno, dos tres y esta es la que siempre queda libre. 19

MAESTRO: ¿Y en la figura dos? 20

21

ESTUDIANTE: Igual es uno, dos y este queda libre, porque se ocupan estos dos, se puede 22

decir que este y este y este es el que queda libre, siempre queda una libre. 23

MAESTRO: ¿Alguna pregunta? Bueno entonces a que darle un aplauso a su compañero. 24

25


88


2

ESTUDIANTE: Bueno nosotros lo que hicimos fue a conforme lo que era la figura por 3

ejemplo aquí había cuatro cerillos, aquí bueno los partimos e identificamos que hay cuatro 4

y nos quedan tres, aquí identificamos igual hay dos, estos números los sumamos y nos dio 5

un resultado de nueve. 6

7

Después propusimos hacer una raíz cuadrada casi sería lo mismo que lo que habían 8

propuesto anteriormente, después fue lógico poner lo que era “n” 9

10

Después nos dimos cuenta que aquí hay un intervalo de uno, entonces más uno. 11

12


89

MAESTRO: Bueno entonces seguiste calculando. 13

ESTUDIANTES: Que haga la figura diez. 14

MAESTRO: Bueno calculemos la figura diez. 15

ESTUDIANTE: Entonces tres por diez más uno dan 31. 16


90

CASO 1 ESTUDIANTES DE LA UTSH PROBLEMA CUADROS 1

2

ESTUDIANTE 1: Bueno nosotros encontramos este de acuerdo a la figura, bueno aquí la 3

primera figura nos da uno, aquí tres y en la figura tres nos da cinco, igual tenemos una 4

constante que es dos, he!! Bueno a diferencia de cada figura al aumentar seria dos, entonces 5

nosotros encontramos la fórmula de 2n-1. 6

7

En donde de acuerdo por ejemplo en la figura uno seria; dos por uno serian dos menos uno, 8

nos daría una figura, la figura dos lo mismo pero nos encontramos que después la figura 9

dos hasta infinito siempre nos va a aumentar una, ósea siempre se nos va a pasar para 10

contra restar, para que nos salga la figuras que tenemos aquí, entonces necesitamos una por 11

eso. 12

13


91

ESTUDIANTE 2: En la figura que nos pide en la figura quince, nada más sustituimos el 14

número 15, como decía él siempre nos da uno de más si multiplicamos dos por quince nos 15

da treinta y lo que mencionamos que poníamos el menos uno para contra restar este treinta, 16

porque en la figura quince deberían veintinueve cuadritos. 17

18

MAESTRO: ¿Y que tomaron como constante de la figura? 19

ESTUDIANTE 2: La constante nada más la tomamos como el dos, porque nos damos 20

cuenta que aumenta de dos en dos cada figura, la figura uno tiene uno por lo tanto más dos 21

cuadritos nos da tres, tres más dos nos da cinco y así sucesivamente aumenta dos por lo 22

tanto el dos es una constante dentro de las figuras, el “n” lo tomamos como el valor de cada 23

figura de acuerdo a la figura que queramos saber que cuales hay en ella. 24

25

MAESTRO: Entonces ¿Ustedes tomaron la diferencia de uno y tres, de tres y cinco? ¿Qué 26

se les dificulto? 27

ESTUDIANTE 2: En el contra restar porque solamente que multiplicamos siempre nos 28

daba uno de más, platicando con el equipo decimos que se tenía que restar el uno para que 29

nos diera la figura. 30

MAESTRO: Pues bien vamos a darles un aplauso a sus compañeros. 31


92


2

ESTUDIANTE: Compañeros un poquito de atención así rapidito, este la fórmula que 3

encontramos fue casi similar a la de los compañeros nada más que un poco más extensa 4

digámosle de esta forma (n+n-1). 5

6

Es así y nos damos cuenta que es lo mismo nada más que ustedes la simplificaron y 7

utilizamos de esta manera para que sea un poco más entendible la situación de la 8

explicación, ciertamente si nos damos cuenta hay una diferencia de dos cuadritos por figura 9

al fin de cuentas eso nosotros no lo consideramos, lo que hicimos nosotros utilizamos como 10

si fueran bases si nos damos cuenta el número de cuadritos que tiene cada base va variando 11

en este caso las bases va aumentando uno, entonces si nos damos cuenta esto se puede 12

considerar como una base y en cierta forma esto también lo podemos considerar como una 13

base. 14

15


93

De hecho nosotros “n” lo consideramos como el número de cuadritos que tiene la base, por 16

eso como las figuras en este caso le encontramos dos bases tenemos (n + n) y el uno 17

nosotros lo restamos, porque si nos damos cuenta en esta base está compartiendo este 18

cuadrito con esta base, entonces es por eso del menos uno, simplemente sumamos las dos 19

bases menos el cuadrito que están compartiendo, entonces si aplicamos la fórmula que al 20

fin de cuentas es lo mismo que la de hace rato, digamos en la figura quince. 21

22

MAESTRO: Si te dijera que quiero la figura trescientos. 23

ESTUDIANTE: La figura trescientos seria la base trescientos más trescientos menos uno, 24

que sería trescientos más trescientos, seiscientos menos uno, y este es el resultado, nuestra 25

lógica puedes utilizar las bases de los cuadritos para hacer nuestra fórmula. 26

27


94


2

ESTUDIANTE: Nosotros encontramos que utilizando esta fórmula dos por “n” más uno, y 3

aquí nuestra constante va a ser uno porque si se dan cuenta en la figura uno solo tenemos un 4

cuadro en la esquina de la figura igual y en la tres igual y nuestra otra constante va a ser dos 5

ya que conforme va aumentando se va aumentando dos cuadros en cada extremo de las 6

figuras. 7

8

Entonces nada más sustituimos por ejemplo, dos por cero más uno, que dos por cero es cero 9

más uno es igual a uno, y en la otra si sustituimos dos por uno, dos por uno son dos más 10

uno tres ya tenemos tres cuadros aquí. 11

12


95

MAESTRO: Pero ahí por ejemplo ¿la figura uno la estarías tomando como “n” igual a 13

cero? 14

ESTUDIANTE 1: Si porque no aumenta ninguno en el primero, no tiene ningún cuadrito 15

arriba ni a lado. 16

ESTUDIANTE 2: Es lo mismo que puso el de la fórmula (n + n) porque se suponía que él 17

estaba la base de los cuadritos que estaban ya a partir del segundo hacia arriba entonces ya 18

empezaba a variar todo. 19

MAESTRO: Pero fue un caso diferente muy diferente al razonamiento de ellos, ustedes 20

quiero pensar, no sé ustedes explíquenme que están tomando los pares, ósea están tomando 21

como constante los dos cuadritos que van aumentando. 22

ESTUDIANTE 1: Si y el uno. 23

MAESTRO: Pero ahí entonces, ¿”n” que sería?, “n” ¿cómo lo toman? 24

ESTUDIANTE 2: Como el número de cuadros que aumenta. 25

ESTUDIANTE 3: Un par de cuadros sería uno, si son cuatro cuadros sería dos. 26

ESTUDIANTE 4: Por eso la figura uno la tomaron como n=0. 27

28

MAESTRO: ¿Alguna pregunta?, ¿alguna duda?, comentario. Entonces va a quedar la 29

fórmula como dos por (n-1) más uno. 30

31

ESTUDIANTES: Si así quedaría.32


96

CASO 1 ESTUDIANTES DE LA UTSH PROBLEMA PERÍMETROS 1

2

ESTUDIANTE 1: Bueno primero calculamos el perímetro de la primer figura que es cinco 3

porque son cinco los lados que tiene, después calculamos así nos fuimos con todas las 4

figuras y nos dimos cuenta de que existe una diferencia de tres por cada uno, entonces 5

nuestro primer factor que sería una constante es tres después lo multiplicamos por el 6

número de casas que existe en cada figura que sería “n”, vamos a poner por “n” y después 7

le aumentamos el más dos 8

9

ESTUDIANTE 2: El dos lo calculamos como los lados visibles de que tiene cada triángulo 10

de cada casita. 11

MAESTRO: ¿Qué lados serían? 12

ESTUDIANTE 2: Este y este 13

14


97

ESTUDIANTE 1: Los lados que se toman en cuenta al tomar el perímetro que serían nada 15

más los dos lados de arriba, el lado de abajo 16

MAESTRO: La figura dos tiene cuatro lados arriba 17

ESTUDIANTE 1: Lo tomamos por casa, por figura, porque al momento de hacerlo lo 18

podemos hacer así; tres por dos casas podemos decir más dos y nos sale, tres por dos seis 19

más dos es igual a ocho 20

21

MAESTRO: Pero ese dos, bueno ahí ya se referiría en cuanto a la figura dos, hay me estás 22

diciendo que “n” es dos de la figura dos, ¿Y ese más dos a que lo están refiriendo? 23

24

ESTUDIANTE 2: Si nos damos cuenta “n” es el número de casitas, si entonces yo estoy 25

considerando las casas en general, nos damos cuenta cada casa tiene en su techo 26

llamémosle así dos unidades en su techo así lo relacionamos, ósea como lo estamos 27

considerando por casa entonces cada casa en su techo tiene dos unidades que es uno y dos 28

por casa, por eso lo estamos considerando así 29


98

30

MAESTRO: La figura cuatro, ¿si cumple? 31

ESTUDIANTE 2: Todas cumplen ¿Qué número de figura? Bueno aquí está la cuatro 32

33



99


2

ESTUDIANTE: Nosotros lo hicimos de esta forma vimos que existen 3 rayitas en esta 3 y 3

“n” que sería el número de figura más 2 que serían del triángulo de arriba 4

5

ESTUDIANTE: Siempre lo venimos comprobando así porque hay 3 tomamos en cuenta 6

que la siguiente casita sería una, dos y tres volvemos a tomar la siguiente casita que sería 7

uno, dos y tres entonces nos sobran 2 rayitas que serían las que a completarían el triángulo 8

de arriba una, dos me faltan 2 que es donde está el más 2 9

10

Así consecutivamente en todas una, dos, tres, una, dos, tres y nos sobran 2, 4 que esos 4 11

van arriba en el triángulo serian dos y otras 2 ya son 4 nos faltan otras 2 y así se le sigue 12

haciendo consecutivamente. 13

MAESTRO: ¿Y para comprobar la fórmula que nos dieron? ¿Por ejemplo con la figura 4? 14


100

ESTUDIANTE: Que sería esta si la ponemos aquí ya directa sería 4x3=12+2 son 14 15

entonces sería lo mismo de allá arriba una, dos, tres, una, dos, tres, una, dos, tres, una, dos, 16

tres son dos, cuatro, seis los que me faltan entonces a completaríamos los triángulos de 17

arriba dos, cuatro y seis y faltarían los 2 que siempre son 2. 18

19

MAESTRO: ¿Y que tomaron como constante y que como variable? 20

ESTUDIANTE: Las 3 rayitas de la formación de la casa que sería “n” del número de 21

figura y el más 2 del triángulo que siempre van cambiando. 22

23

MAESTRO: ¿Y ese se cumple para cualquier trabajo? 24

ESTUDIANTE: Aja 25

MAESTRO: ¿Alguna duda? No todo bien entonces brindémosle un aplauso. 26

27


101


2

3

ESTUDIANTE: Primero tomamos como 5, 8, 11, 14 sacamos el valor de tres, tres es el 4

valor del triángulo de la parte de arriba. 5

6

Entonces siempre sacamos que por ejemplo el cuadro uno hay un triángulo, en el cuadro 7

dos, dos triángulos y el triángulo tiene tres lados, es este, este la parte de abajo este se 8

sustituye por la parte de abajo pero igual es uno, dos y tres son sus tres lados. 9

10

Más siempre van a sobrar dos lados a los lados, son estos dos en todos igual. Siempre va 11

hacer lo mismo va hacer los tres lados del triángulo más dos, los dos sobrantes de cada lado 12

13


102

MAESTRO: Entonces ya de ahí se vería el número de triángulos 14

ESTUDIANTE: Si, número de triángulo pues la base del triángulo ya la tenemos que es la 15

de abajo en todos la base va a ser la de abajo, entonces nada más sobran los dos lados de los 16

dos lados. 17

18

MAESTRO: ¿Notaron algo que variaba y algo que permanecía constante? 19

ESTUDIANTE: Si el número de triángulos siempre variaban 20

21

MAESTRO: ¿Y se cumple para cualquier figura? 22

ESTUDIANTE: Si hasta para un millón de triángulos. 23

24

MAESTRO: Vamos a darle un aplauso a su compañero. 25


103

CASO 1 ESTUDIANTES DE LA UTSH PROBLEMA BOLAS DE BILLAR 1

2

ESTUDIANTE: Nosotros desde un principio nos basamos en lo que es la fórmula que 3

utilizamos del triángulo, nos sirvió por la suma que nos está formando pero tuvimos que 4

hacer un análisis con ciertas modificaciones a la fórmula, la fórmula que nosotros 5

encontramos fue “n” al cuadrado más “n” sobre dos. 6

7

Es la fórmula que aquí la analizamos nosotros en cierta forma si nos damos cuenta “n” se la 8

cambio por “m”. 9

10

En este caso “n” es nuestra base si nosotros consideramos a “m” como nuestra altura siendo 11

nuestra altura, si nos damos cuenta tenemos una línea, dos y tres en este caso, consideramos 12

esa altura las columnas que va acumulando entonces si sustituimos en el número de figura 13


104

que ustedes quieran si nos damos cuenta en el cuatro tenemos uno, dos, tres y cuatro 14

entonces tenemos una altura por una base si nos damos cuenta. 15

16

Le repito “n” es nuestra base entonces si sustituimos en este caso que sería n que sería 17

cuatro que es nuestra base al cuadrado más nuestra altura que sería cuatro sobre dos esto 18

nos vendría dando el resultado de diez, esta fue nuestra forma de razonar les repito nosotros 19

nuestro razonamiento fue desde el principio con la fórmula de un triángulo para sacar en 20

este caso lo que es su área de cierta forma y eso sería nuestra explicación. 21

22

MAESTRO: ¿Y cómo relacionaron n?, por ejemplo que les dijera yo quiero la figura 23

numero veinte. 24

ESTUDIANTE: ¿Veinte? Lo relacionamos de la siguiente manera, bueno hacemos la 25

fórmula que digamos que quiere la figura veinte, serían veinte al cuadrado, si nos damos 26

cuenta lo mismo que hay en base lo tiene en altura, lo va a tener en el número de columna, 27

así lo relacionamos si tenemos veinte en este caso vente círculos en la base vamos a tener 28

las misma vente filas digamos de altura entonces por eso en este caso sería más veinte que 29

sería el número de altura sobre dos que sería doscientos más veinte… seria ciento diez. 30

31


105

MAESTRO: ¿Entonces sería “n” al cuadrado más “m”, como lo había planteado? 32

ESTUDIANTE: O “n” en cierta forma, lo quise distinguir de esta manera porque no es lo 33

mismo el número de círculos que el número de filas, por eso lo quise diferenciar de esa 34

manera pero si lo vemos de esta forma está bien. 35

36

MAESTRO: Vamos a darle un aplauso a sus compañeros. 37

38


106


2

ESTUDIANTE: En las figuras tenemos 1, 3, 6 10 entonces hicimos una diferencia y 3

entonces en la primera hay 2, luego hay 3 y luego hay 4 y son continuas entonces significa 4

que hay otra sucesión aparte de esta que es una y una las diferencias. 5

6

Entonces seguimos viendo que si es como en la sucesión anterior todo esto era lineal 7

entonces esto confirma que esto es lineal, entonces habría otra sucesión más, entonces 8

pensamos que esta es cuadrática. 9

10

A partir de eso pues vimos la figura 1, entonces le pusimos una “n” y como pensamos que 11

era cuadrática le pusimos al cuadrado quisimos checarle entonces una por una igual a una, 12

pero pues de ahí ya con los demás no salía y entonces le agregamos otra “n” por lo tanto 13

una al cuadrado una más una es igual a 2, entonces vimos que no salía entonces lo 14

dividimos entre 2 y al fin fuimos checando en cada una de estas, dos por dos son cuatro 15


107

más dos son seis entre dos es tres, que corresponde a la figura dos, y así consecutivamente 16

fuimos este encontrando los números de la sucesión. 17

18

MAESTRO: ¿Haber para la figura 4? 19

ESTUDIANTE: Aah, pues la figura 4 seria 4 al cuadrado más 4 entre 2 que son 16+4= 20 20

entre 2 son 10 y corresponden al número de la figura. 21

22

MAESTRO: ¿Entonces para una figura con, se podría decir que con 20 habría sucesión? 23

ESTUDIANTE: No, no habría nada más tendríamos que sustituir el número 20 y al final 24

otros 20 dividido entre 2 y ya está. 25

26

MAESTRO: ¿Vieron algo como constante y algo que variaba? 27

ESTUDIANTE: Si, que siempre la sucesión era 2,3,4,5,6,7,8 y luego seria 1, 1, 1, 1 y 28

hasta ahí llegamos. 29


108

30


ESTUDIANTES: No. 32

MAESTRO: Entonces demos un aplauso. 33

34


109


2

3

ESTUDIANTE: Bueno pues nosotros lo resolvimos de la siguiente manera y obtuvimos, la 4

siguiente fórmula que es: X es igual a uno por “n” al cuadrado más “n” entre dos. 5

6

De donde sacamos estos datos, lo primero observamos que en todas las figuras había una 7

constante que era la figura uno, de este era este, este y este. 8

9

Pues lo natural es que iba a seguir esa constante, por eso la tenemos aquí, después de 10

observar un buen rato vimos que este, bueno que la sucesión de esto observamos que era un 11

triángulo, luego un triángulo y todos son un triangulo, como ya sabemos un triángulo es la 12

mitad de un cuadrado. 13

14


110

Entonces supusimos que este y los otro forman un cuadrado, entonces cual es la fórmula de 15

un cuadrado “n” al cuadrado o lado por lado. 16

17

También observamos que una figura depende de la otra, por ejemplo, la figura dos depende 18

de esta la figura uno, en la figura tres se forma este triángulo de estos tres y se prosiguen 19

aumentando “n” estos ósea, todos dependen de la figura anterior, por eso es que elegimos 20

“n”, se mantiene que en este caso sería el número de la figura, por ejemplo, esta que está 21

aquí, uno seria 1+2 luego seria 3 más la otra figura 3 y el número 4, que tiene 1,2,3 22

teníamos esto más el 4 por eso es que pusimos más otra “n”. 23

24

De donde sacamos este cuadrado pues de la de esta fórmula primero ósea teníamos que 25

cuadrar todo no, porque nos resultaba un cuadrado, entonces teníamos que sacar un 26

triángulo para sacar el triángulo teníamos que dividir entre 2. 27

28

MAESTRO: Ok para comprobar por ejemplo la figura 3. 29


111

ESTUDIANTE: Bueno quedaría así, sería 9x1= 9 + 3 son 12 entre 2 son 6 este pasa así 30

porque el 1 no afecta. 31

32

MAESTRO: ¿Bueno pero entonces el uno se podría omitir? 33

ESTUDIANTE: Si solo lo usamos como constante 34

MAESTRO: ¿Y que encuentran como variable? O ¿relacionan el número de la figura con 35

algo dentro de la figura? 36

ESTUDIANTE: Si porque van aumentando de acuerdo al número de la figura. 37

MAESTRO: Bueno “n” al cuadrado porque se va completar el triángulo y ya después lo 38

dividieron entre 2 para obtener el resultado ¿Alguna pregunta? ¿No? Démosle un aplauso. 39

40


112


2

ESTUDIANTE 1: Bueno la fórmula que nosotros encontramos fue “n” por “n” más “n” 3

entre dos, nos pusimos a analizar y vimos que formábamos triángulos, tomamos como “n” 4

la parte que varía en cada triángulo. 5

6

En la primera multiplicamos, como no tenemos triángulo entonces uno por uno nos daba 7

uno, más uno sobre dos. 8

9

ESTUDIANTE 2: Uno por uno da uno, más uno da dos, sobre dos igual a uno. 10

11


113

ESTUDIANTE 1: La siguiente… 12

ESTUDIANTE 2: Dos por dos más dos son seis, lo dividimos entre dos sería tres y son 13

tres, que corresponde a la figura. 14

15

ESTUDIANTE 1: Y así le estuvimos checando igual nos da en todos los demás, he!! 16

También podría ser como una forma de una fórmula que es del triángulo de base por altura, 17

pero nosotros lo pudimos explicar bien aquí, y salió así, pero sería base por la otra base del 18

otro lado. 19

ESTUDIANTE 2: Más la otra base que sería tres, base por base, sería tres por tres, nueve 20

más tres serian doce entre dos da seis. 21

22

MAESTRO: ¿Esa fue la manera que pensaron? 23

ESTUDIANTE 2: Si, eso es lo que estábamos checando. 24

MAESTRO: Por ejemplo ahí cuando “n” es igual a cuatro. 25

ESTUDIANTE 2: ¿“n” igual a cuatro? ¿Con esta fórmula? 26

MAESTRO: Pero, ¿Cómo pensaron ahí?, ¿Cómo lo expresarían? 27

ESTUDIANTE 1: Cuatro por cuatro más cuatro son veinte entre dos nos da diez. 28

ESTUDIANTE 3: ¿Multiplican dos bases y la otra la suman? 29

MAESTRO: Entonces “n” lo relacionan con el número de bolitas de la base. 30

ESTUDIANTES: Si. 31

APÉNDICE B: TABLAS DE ANÁLISIS

115

APÉNDICE B:

TABLAS DE ANÁLISIS


117

Tabla de análisis del problema cuenta el número de cerillos

¿Lograron

entender el

problema?

¿Qué

información

lograron

identificar?

¿De cuál

estrategia o

heurística

se

auxiliaron?

¿Relacionaron

las variables

para lograr

alguna

generalización?

¿Pudieron

justificar su

conjetura?

¿Realizaron

una reflexión

sobre su

solución?

Equipo

1

Totalmente

-Un cerillo lo

toman como

base.

-Se percatan

que las figuras

tienen un

incremento de

tres en tres

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Usaron

diferencia

entre las

figuras

La diferencia

entre figuras la

relacionan con

la posición y le

sumaron la parte

que tomaron

como base

3n +1

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito,

números

Plantaron que

existe una

variación en el

resultado si se

ordenan de

forma diferente

los cerillos

Equipo

2

Totalmente

-Calcularon la

diferencia

entre las

figuras y se

dieron cuenta

que aumenta

de tres en tres.

-Identifican

que siempre

hay una parte

faltante

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Calculan la

diferencia

entre las

figuras para

identificar lo

variable

-Ensayo y

error

Lo variable que

es tres lo

multiplican por

el número de la

figura a

encontrar y le

suman lo

constante que

cantidad faltante

de cerillos

3n +1

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito,

números en

forma de tabla


118

Equipo

3

Totalmente

-Fijaron su

atención en

que el número

de cerillos va

incrementando

de tres en tres.

-Relacionan lo

constante con

1 cerillo

sobrante.

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Líneas para

identificar lo

variable

-Ensayo y

error

Lo variable que

es tres lo

relacionan

multiplicándolo

con el número

de la figura y le

suman la unida

que es lo que

siempre les

sobraba.

3x +1

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito, líneas,

círculos y

números en

forma de tabla

Realizaron un

cambio de

variable en

lugar de tomar a

“n” usaron a “x”

para representar

la posición de la

figura.

Equipo

4

Totalmente

-Fijaron su

atención en la

unión de dos

cerillos más

un cerillo en la

parte superior

de la figura.

-Se percataron

que siempre

sobra un

cerillo al final

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Unión de

dos cerillos

Relacionan la

unión de dos

cerillos con la

posición de la

figura más la

parte sobrante y

le suman la

posición de la

figura.

(2n + 1) + n

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito,

círculos y

números en

forma de tabla

Equipo

5

Totalmente

-El número de

líneas que

tiene cada

figura, una

línea superior,

una como base

y agregan otra

lateral siendo

tres en total.

-Lo constante

es el cerillo

que siempre

queda libre

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Usan líneas

para

identificar lo

variable

Multiplican las

líneas superior e

inferior con el

número de

figuras y le

suman el

número de la

figura que se

desea buscar

más la parte

libre

2n + (n + 1)

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito, líneas,

círculos y

números


119

Equipo

6

Totalmente

-Utilizaron

como base a la

figura original

-Obtuvieron

sobrantes al

restar la figura

original a las

otras figuras

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Líneas

-Diferencia

entre figuras

-Raíz

cuadrada

Relacionando la

información por

intuición y no

algo

fundamentado

√9 n +1

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito, líneas,

círculos,

números y

símbolo de la

raíz cuadrada

Tabla de análisis del problema cuenta el número de cuadritos


120

¿Lograron

entender el

problema?

¿Qué

información

lograron

identificar?

¿De cuál

estrategia o

heurística

se

auxiliaron?

¿Relacionaron

las variables

para lograr

alguna

generalización?

¿Pudieron

justificar su

conjetura?

¿Realizaron

una reflexión

sobre su

solución?

Equipo

1

Totalmente

-Fijaron su

atención en la

base de la

figura que

aumentaban la

unidad y lo

tomaron como

dos bases.

-Un cuadro se

repite dos

veces y lo

restan.

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Dibujos

-Flechas

Sumaron el

número de la

base dos veces y

le restaron el

cuadro que

comparten

2n – 1

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito,

números,

flechas

Equipo

2

Parcialmente

- Tomaron

como

constante a la

figura uno,

que es un

cuadro

-Notaron que

las figuras van

aumentando

dos cuadros

uno en la parte

lateral derecha

y otro en la

parte superior

-Figuras de

las hojas de

trabajo

A la posición de

la figura le

restaron la

unidad y lo

multiplicaron

por los dos

cuadros que vas

aumentando y al

producto le

suman la unidad

2(n - 1) + 1

Parcialmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito,

números en

forma de tabla

Desarrollaron

una nueva

generalización a

partir de una

conjetura inicial

errónea.

La expresión

inicial fue

2n +1

y concluyeron

en la propuesta

2 (n – 1) + 1


121

Equipo

3

Totalmente

-Saca la

diferencia

entre figuras

aumentando

de 2 en 2

-Identifican

que siempre

les sale un

cuadro más de

los que

aparece en la

figura

-Figuras de

las hojas de

trabajo

- Utilizan la

diferencia

entre las

figuras.

-Ensayo y

error

Relacionan lo

variable con el

número 2 y lo

multiplican por

“n” que es el

número de la

figura y al

resultado le

restan uno

2n – 1

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito,

números

Tienen

problemas al

restarle la

unidad debido a

que siempre les

sobra un cuadro

Equipo

4

Totalmente

-Observaron

que las figuras

aumentan de

dos en dos.

-Que siempre

sobra un

cuadro

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Ensayo y

error

-Rayas

Relacionan lo

variable con el

número 2 y lo

multiplican por

“n” que es el

número de la

figura y al

resultado le

restan uno

2n – 1

Totalmente

usando

lenguaje

escrito,

números y

rayas.

Equipo

5

Totalmente

-Fijaron su

atención en la

base de la

figura que

aumentaban la

unidad y lo

tomaron como

dos bases

-Un cuadro se

repite dos

veces y lo

restan.

-Figuras de

las hojas de

trabajo

Sumaron el

número de la

base dos veces y

le restaron el

cuadro que

comparten

2n – 1

Totalmente

usando

lenguaje

escrito, cruces,

y números


122

Equipo

6

Totalmente

-Se percataron

que era una

serie impar

aumentando

de dos en dos

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Diferencia

entre figuras

-Ensayo y

error

Relacionan lo

variable con el

número 2 y lo

multiplican por

“n” que es el

número de la

figura y al

resultado le

restan uno para

complementar

su expresión

2n – 1

Totalmente

usando

lenguaje

escrito y

números

Tabla de análisis del problema calcula el perímetro

¿Lograron

entender el

problema?

¿Qué

información

lograron

identificar?

¿De cuál

estrategia o

heurística

se

auxiliaron?

¿Relacionaron

las variables

para lograr

alguna

generalización?

¿Pudieron

justificar su

conjetura?

¿Realizaron

una reflexión

sobre su

solución?


123

Equipo

1

Totalmente

-Calculan el

perímetro de

las figuras y se

percatan que

aumenta de 3

en 3

-Identifican

como

constante que

siempre faltan

dos unidades

relacionándolo

las dos líneas

superiores que

forman el

triángulo

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Calculan la

diferencia

entre las

figuras

Relacionan lo

variable con el

número 3 que es

la diferencia

entre figuras

multiplicándolo

por “n” que es

la posición de la

figura y al

resultado le

suman las dos

líneas de la

parte superior

del triángulo

3n + 2

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito,

números

Equipo

2

Totalmente

-Obtuvieron la

diferencia

entre figuras

siendo de 3

-Identifican

que siempre

faltan dos

unidades

relacionándolo

con la línea

izquierda y

derecha de la

figura

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Calcularon

la diferencia

entre figuras

Relacionan lo

variable con el

número 3 que es

la diferencia

entre figuras

multiplicándolo

por “n” que es

la posición de la

figura y al

resultado le

suman las dos

líneas que

cierran la figura

3n + 2

Totalmente

usando

lenguaje

escrito,

círculos

números.


124

Equipo

3

Totalmente

-Obtuvieron la

diferencia

entre figuras

siendo de 3

- Identifican

que siempre

faltan dos

unidades

relacionándolo

con la línea

izquierda y

derecha de la

figura

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Calcularon

la diferencia

entre figuras

-Intentan

usar la

fórmula del

triángulo

Relacionan lo

variable con el

número 3 que es

la diferencia

entre figuras

multiplicándolo

por “n” que es

la posición de la

figura y al

resultado le

suman las dos

líneas de las

paredes

3n + 2

Totalmente

usando

lenguaje

escrito,

números y

líneas.

Tienen

problemas al

restarle la

unidad debido a

que siempre les

sobra un cuadro

Equipo

4

Totalmente

-Identifican

que la base del

cuadrado la

forman tres

rayas las

cuales van

aumentando.

-Se percatan

que les faltan

siempre dos

unidades

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Dibujos

-Ensayo y

error

El número de

bases lo

multiplican por

el número de la

figura y suman

la parte faltante

para completar

su expresión

3n + 2

Totalmente

usando

lenguaje

escrito,

números,

rayas y

círculos.

Equipo

5

Totalmente

-Obtuvieron la

diferencia

entre figuras y

relacionaron el

3 con el

triángulo.

-Identifican

que siempre

faltan dos

unidades

relacionándolo

con la línea

izquierda y

derecha de la

figura

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Calculan la

diferencia

entre figuras

-Flechas

-Rayas

Relacionan los

lados del

triángulo con la

posición figura

deseada y le

suman la parte

faltante que es

la de los lados

3n + 2

Totalmente

usando

lenguaje

escrito,

dibujos,

números,

flechas y rayas


125

Equipo

6

Totalmente

-Se percatan

que hay una

diferencia de 3

entre cada

figura.

-Relacionan el

número las

líneas de los

picos del

triángulos

como parte

faltante

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Calculan la

diferencia

entre figuras

-Ensayo y

error

Relacionan lo

variable con el

número 3 y lo

multiplican por

“n” que es el

número de la

figura y al

resultado le

suman las dos

líneas de la

parte superior

del triángulo

3n + 2

Parcialmente

usando

números y

símbolo de la

raíz cuadrada

Intentan usara la

raíz cuadrada

que les dio

resultado en el

primer problema

Tabla de análisis del problema cuenta el número de bolas de billar

¿Lograron

entender el

problema?

¿Qué

información

lograron

identificar?

¿De cuál

estrategia o

heurística

se

auxiliaron?

¿Relacionaron

las variables

para lograr

alguna

generalización?

¿Pudieron

justificar su

conjetura?

¿Realizaron

una reflexión

sobre su

solución?


126

Equipo

1

Totalmente

Identifican al

triángulo y lo

relacionan con

su fórmula

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Utilizaros la

fórmula del

triángulo

realizando

modificación

Relacionaron

una “n” con la

altura y a “n”

como base

n2 + n

2

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito, dibujo,

líneas y

números

El número de la

base siempre es

igual al de la

altura.

Equipo

2

Totalmente

-Obtuvieron la

diferencia

entre figuras

resultando otra

sucesión a la

cual también

aplicaron la

diferencia

entre figuras

con la cual

hallaron un

valor

constante.

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Calcularon

la diferencia

entre figuras

dos veces

-Ensayo y

error

Relacionaron

que la diferencia

de la primera

sucesión es

lineal y la

segunda

diferencia es

cuadrática y

fueron

construyendo la

expresión

tomando en

consideración

las figuras

siguientes

n2 + n

2

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

números.


127

Equipo

3

Totalmente

-Se percataron

que las figuras

forman

triángulos.

-Relacionaron

que un

triángulo es la

mitad de un

cuadrado por

ello lo dividen

entre dos.

-Observan que

todas las

figuras

dependen de la

anterior

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Calcularon

la diferencia

entre figuras

-Intentan

usar la

fórmula del

triángulo

Relacionaron a

“n2” con la

fórmula de un

cuadrado al ser

lado por lado y

le sumaron la

posición de la

figura que es

“n” por último

dividen entre

dos por ser un

triángulo y un

cuadrado tienen

dos triángulos

X= 1((n2) + n)

2

Totalmente

usando

lenguaje oral,

corporal y

escrito,

números

Que el número 1

de su expresión

algebraica

podrían

omitirlo.

Equipo

4

Insuficiente

Contestaron el

cuestionario

relacionando

la información

de las figuras

en la hoja de

trabajo

-Figuras de

las hojas de

trabajo

Conocimient

os previos de

los

problemas

anteriores

No obtuvieron

alguna

generalización


128

Equipo

5

Totalmente

-Observaron

que las figuras

formaban un

triángulo

-Figuras de

las hojas de

trabajo

-Utilizaron

la fórmula

del triángulo

con

variantes.

-Ensayo y

error.

Relacionaron a

la figura con un

triángulo donde

multiplicaron la

base por la

altura solo que

la altura la

tomaron como

si fuera una base

y le sumaron la

posición de la

figura a

encontrar.

(n)(n) + n

2

Totalmente

usando

lenguaje

escrito,

dibujos,

números

Equipo

6

Insuficiente

Contestaron el

cuestionario

relacionando

la información

de las figuras

en la hoja de

trabajo

-Figuras de

las hojas de

trabajo

Conocimient

os previos de

los

problemas

anteriores

-Dibujos

-Líneas

No obtuvieron

alguna

generalización

“e m c q i l p e r g d p...relaciones entre patrones y la forma en que se organizan éstos para...

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