anais do xi encontro nacional de educaca

Anais do XI Encontro Nacional de Educao Matemtica ISSN 2178034X Pgina 1

O ENSINO DA LGEBRA DE ACORDO COM TEORIA DOS REGISTROS

DE REPRESENTAO SEMITICA SEGUNDO RAYMOND DUVAL

CELIA FINCK BRANDT

UEPG

[email protected]

DENISE THEREZINHA RODRIGUES MARQUES WOLSKI

UEPG

[email protected]

HELAINE MARIA DE SOUZA PONTES

UEPG

[email protected]

ANA CRISTINA SCHIRLO

SEED

[email protected]

FTIMA APARECIDA QUEIROZ DIONIZIO

UEPG

[email protected]

Resumo:

Durante o ano letivo de 2012 o Grupo de Estudos e Pesquisas em Educao

Matemtica GEPAM/UEPG estabeleceu como objetivo estudar a Teoria das Representaes Semiticas de Raymond Duval, delimitando como objeto de estudo as

contribuies da referida teoria para o ensino e aprendizagem da lgebra. Na presente

pesquisa procedemos aplicando um instrumento diagnstico para alunos de 7o e 8

o

anos do ensino fundamental. Esse instrumento continha questes relativas s cinco

ideias colocadas por Duval (2011) para o desenvolvimento do pensamento algbrico.

Pretendamos identificar a atribuio de significao s expresses com letras e

nmeros e capacidade de designao de objetos. Consideramos essencial apresentar

a trajetria realizada para o desenvolvimento da presente pesquisa que j absorveu um

ano das atividades do GEPAM. Acreditamos que levaremos mais um semestre para

anlise dos dados e obteno de resultados.

Palavras-chave: lgebra; representaes semiticas; funo referencial de

designao.

1. Introduo

O GEPAM (Grupo de Estudos e Pesquisas em Aprendizagem Matemtica) se

prope, entre outros, ao estudo da Teoria das Representaes Semiticas de Raymond

Duval. Durante o ano letivo de 2012 estabelecemos o desafio de focar a pesquisa nas

contribuies da teoria para o ensino e aprendizagem da lgebra.

XI Encontro Nacional de Educao Matemtica Curitiba Paran, 18 a 21 de julho de 2013


Duval (2009) defende que um mesmo objeto pode ser representado por

diversos registros, no entanto, alerta para o fato de que no existe compreenso em

matemtica se no houver a distino entre o objeto e sua representao.

Percebemos ento a necessidade de que haja a mobilizao de vrios registros

de representao presentes na matemtica, e que isso no para o aluno, um fenmeno

evidente e nem acontece de forma espontnea devendo ser trabalhado pelo professor.

A mobilizao de vrios registros fonte, por sua vez, de dificuldades que esto

relacionadas ao fenmeno da no congruncia entre esses registros.

De acordo com Duval (2009), para que um registro seja convertido em outro,

sem dificuldades, ou de forma espontnea, preciso que haja congruncia entre eles.

Isso possvel quando so atendidas trs condies: correspondncia semntica das

unidades de significado, univocidade semntica terminal, mesma ordem das unidades

de significado nos registros de partida e de chegada.

Para Duval (2009), a passagem de um registro de representao para outro, ou

a mobilizao simultnea de dois registros, a razo de muitas dvidas e bloqueios

nos alunos, independente do nvel de ensino em que se encontram.

Esses subsdios tericos fundamentaram um estudo realizado pelo GEPAM

para enfrentar as dificuldades dos alunos dos anos finais da Educao Bsica, ao ter

que lidar com a escrita algbrica. O grupo se props a investigar: Em que medida a

proposta de Raymond Duval para o ensino da lgebra promove a aprendizagem?

Existe um caminho especfico para o processo de ensino da lgebra? Os objetivos

colocados foram: apontar em que medida a proposta de Duval (2011) para o ensino da

lgebra promove a aprendizagem; apontar um caminho para o processo de ensino da

lgebra;

At o momento, o trabalho se desenvolveu de acordo com as seguintes etapas:

estudo da teoria dos Registros de Representaes Semiticas segundo Raymond

Duval; preparao e aplicao de instrumento de coleta de dados para servir como

avaliao diagnstica; levantamento e categorizao das dificuldades recorrentes

enfrentadas pelos alunos e reveladas no instrumento inicial de coleta de dados;

anlises preliminares.

O presente artigo trar os subsdios tericos, seguidos dos procedimentos

metodolgicos de produo e anlise de dados e, finalmente as consideraes feitas a

partir das anlises preliminares.



2. Subsdios tericos

importante que seja definido neste primeiro momento a diferena entre signo

e representaes semitica. Uma exemplificao simples e resumida apresentada por

Duval (2011), sobre esta diferenciao consiste em entender que:

[...] as representaes semiticas so as frases em linguagem natural, as

equaes, e no as palavras, os algarismos e as letras. So as figuras, os

esquemas, os grficos e no os pontos, raramente visveis, ou os traos.

Muitas vezes associamos os signos a essas unidades elementares de sentido,

que so apenas caracteres para codificar: letras, siglas, algarismos, s vezes

palavras-chave, ou os gestos da mo. O que equivale considerar os signos

como as pelas quais preciso comear para dar um sentido.

(DUVAL, 2011, p. 38).

Para que possamos prosseguir necessrio levantar e responder alguns

questionamentos de ordem epistemolgica e cognitiva: O que o conhecimento

matemtico? O que ele pode ter de diferente dos outros tipos de conhecimento? Temos

um acesso direto e imediato aos objetos matemticos? Nesse sentido, o conhecimento

deve considerar: a natureza dos objetos e a forma como so apresentados e como

podemos ter acesso a eles por ns mesmos; os processos cognitivos mobilizados em

qualquer ao do pensamento matemtico.

Outras questes tambm importantes devem ser levantadas: quais so os

sistemas, estruturas ou capacidades do sujeito necessrias ou mobilizadas para ter

acesso aos objetos, diretamente ou por uma sequncia de processos conscientes ou no

conscientes? Qual a natureza da relao cognitiva entre esses processos e os objetos?

Essa abordagem cognitiva foi levada em considerao no presente estudo com

vistas superao das dificuldades para o ensino e a aprendizagem da lgebra. Esse

ponto de vista diferente do ponto de vista matemtico sobre o ensino da lgebra.

Segundo Duval (2011) os dois so incompatveis e sero esclarecidos nas

consideraes sobre o ensino da lgebra, apresentadas a seguir.

As maiores dificuldades apresentadas para a introduo e utilizao das letras

no ensino da lgebra, so resoluo de equaes e resoluo de problemas.

Segundo Duval (2011) o ensino, de acordo com o ponto de vista matemtico,

est organizado da seguinte maneira: i) definio dos conhecimentos globais a serem

adquiridos ao final de um ciclo de ensino e dos objetivos finais do ensino da lgebra

(estes conhecimentos so estabelecidos pelos matemticos, pelos didticos, pelos

professores da educao e pelas polticas ministeriais); ii) definio da decomposio a



ser feita com os elementos de base que diro que tarefas e problemas propor, visando

um desses elementos de base; iii) definio da progresso organizada (sobre um ano,

um ciclo) para adquirir um desses elementos de base, considerado o mais importante

dos trs. Essa progresso vai decidir a progresso que dever ser feita em um ano,

dois anos,... e ela cabe aos professores e aos psiclogos que devero pensar como fazer

e o que fazer para atingir esses objetivos.

No entanto, Duval (2011) entende que o caminho inverso: preciso primeiro

levar os alunos a conhecerem as letras, coloc-las em equao e depois comear a

trabalhar com as ideias de igualdade e desigualdade. O autor defende que essa ordem

mais complicada, e ao apontar o porqu dessa complexidade, faz um alerta:

Colocar em equao um grande problema. Se no conseguirmos colocar

em equao todo o resto ser construdo sobre areia. Colocar em equao

serve para a realidade. O problema que, nem os matemticos e nem os

didticos compreendem o porqu da dificuldade de ir do domnio

matemtico para a realidade e vice versa. Para colocar em equao, estes

profissionais, h dois sculos procedem da mesma forma e admitem as

dificuldades dos alunos para aprender. (p.)

Os prprios matemticos afirmam que colocar em equao envolve muitas

dificuldades. Eles dizem que o aluno deve reconhecer a incgnita do problema, aceitar

design-la por uma letra e operar sobre ela como ele faz com um nmero e, tambm,

saber traduzir os dados mais correntemente verbais em uma cadeia de operaes

escritas com letras e nmeros.

2.1 O ponto de vista cognitivo sobre a decomposio dos objetivos para a

aquisio da lgebra: 5 idias

Duval (2011) defende outro ponto de vista, o cognitivo, que definir a

decomposio dos objetivos para a aquisio dos conceitos algbricos. Esse ponto de

vista compreende cinco ideias que devem ser levadas em considerao. Para que se

inicie a discusso sobre essas ideias, necessrio nos determos antes nas funes

discursivas que implicam as operaes discursivas.

Mas quais so as funes discursivas que determinam as operaes discursivas

e o qu representam?

A funo referencial implica na operao de designao de objetos. Esta

operao a que designa [...] sobre o que, ou a propsito do que, vamos enunciar

qualquer coisa. As unidades de sentido correspondentes designao dos objetos no



so as palavras, mas as expresses que combinam pelo menos duas palavras.

(DUVAL, 2011, p. 78)

A funo apofntica implica na operao de constituio de um enunciado

completo, que consiste na operao que define uma frase. Pode representar uma

afirmao, negao, interrogao, ordem, etc. (DUVAL, 2011).

A funo de expanso discursiva implica na operao de articulao de

enunciados completos em uma unidade coerente, ou seja, [...] so aquelas que

organizam uma sequncia de frases em unidade com um mesmo propsito e que lhe

do uma coerncia. (DUVAL, 2011, p. 79)

A funo de reflexividade discursiva implica na operao de transformao

potencialmente recorrente de um enunciado completo, que permite a interpretao a

partir do vnculo que se estabelece entre o ato intencional e a produo de um

enunciado. Isto quer dizer que uma lngua deve permitir explicitar no enunciado

mesmo a maneira como o locutor emprega a lngua para dizer o que quer dizer.

(DUVAL, 2004, p. 121, trad. pelos autores).

Definidas as funes discursivas e suas respectivas operaes discursivas,

discutiremos a seguir, as ideias que devem ser consideradas para o ensino da lgebra,

de acordo com Duval (2011).

1a IDIA

No so as letras que so importantes, mas as operaes discursivas de

designao dos objetos feita por meio da lngua natural ou formal. Em relao s

prticas espontneas de designao dos objetos, a lgebra exige que utilizemos de

imediato outro tipo de designao. Os objetos que precisaremos designar so as

quantidades, os nmeros, as grandezas ou listas abertas de nmeros que podem ter

uma relao entre si.

Exemplo: Sejam as listas

1 2

2 3

3 4

4 5

. .

. .

Os nmeros da segunda lista ( direita) guardam uma relao com os nmeros

da primeira lista (da esquerda). Cada valor da segunda lista igual ao valor da

primeira lista mais uma unidade. Esse padro se repetir indefinidamente e pode ser

designado de uma forma geral: cada nmero da segunda lista pode ser obtido a partir



de um m da primeira lista mais uma unidade n = m + 1. As listas abertas permitem

colocar em equao a lei de regularidade.

Colocar em equao, segundo o autor, vai necessitar que haja um problema

para ser equacionado e exigir que o aluno seja capaz de distinguir 5 operaes de

designao.

Eis o exemplo que Duval (2011) apresenta: Um jornal e seu suplemento custam

1,10. O jornal custa 1,00 a mais que seu suplemento. Quanto custa o jornal? Nesse

caso as designaes necessrias seriam:

Quadro 1 - Designaes necessrias a resoluo do problema

Designao verbal Dados numricos

Redesignao verbal

Custo do jornal

Custo do suplemento

Custo dos dois

?

?

1,10

a

b

a + b

Designao indireta:

descritiva ou

funcional

O jornal custa .... mais

que o suplemento

( ... + 1)

Uma designao numrica

relativa ao preo de um jornal

(b + 1)

Dupla designao de

um mesmo objeto

Objeto: o custo dos dois,

isto , o custo do jornal

e seu complemento

custam 1,10

1,10

Designao direta

Designao numrica relativa

ao preo do jornal e seu

suplemento

( a + b)

(b+1 + b)

Fonte: Duval (2011)

2a IDIA

Segundo Duval (2011) para compreender o funcionamento de colocar em

equao no devemos propor a resoluo de problemas, mas a fabricao de

problemas.

Para o autor a anlise cognitiva da fabricao dos problemas se faz praticando

dois tipos de variao: a primeira, diz respeito descrio completa de uma operao

(aqui matemtica) a escrever; a segunda, se faz suprimindo os dados. H muitas

maneiras de suprimir os dados para que os dados restantes permitam encontr-los

(descrio mnima).

Exemplo: dois mais trs igual a cinco. Temos cinco dados: 2, +, 3, =, 5.

Podemos suprimir +, = (uma primeira variao) e fabricar um problema com os

nmeros 2, 3 e 5. Exemplo de problema a ser fabricado: dois multiplicado por trs

maior que cinco (2.3 > 5 ). Mas podemos fazer outra variao, por exemplo,

suprimindo o 2 e ficando com os nmeros 3 e 5, com a relao de igualdade e com a

operao de adio. Nesse caso existem diversas possibilidades para compor

enunciados concretos. Por exemplo: Tenho 5 balas e ganho 3, com quantas fico? (5 +



3 = ....); ou Tenho algumas flores e ganhei de presente 3 da minha amiga. No final

fiquei com 5. Quantas flores tenho? (...+ 3 = 5); ou Tinha 3 balas e ganhei ficando

com 5. Quantas balas ganhei? (3 + ... = 5)

Para o exemplo do problema do jornal as variaes poderiam ser: Um jornal e

seu suplemento custam 1,10. O jornal custa 1,00 a mais que seu suplemento. Quanto

custa o jornal? Existem 3 maneiras de suprimir os dados ou questes possveis: 1,05 e

... = 1,10 ou .... e 0,5 = 1,10 ou 1,05 e 0,5 = ....

Para cada questo podemos ter vrias situaes concretas. A forma de propor a

questo aos alunos proceder da seguinte forma: se eu suprimir um dos dados, como

posso encontrar o outro? Quantas supresses diferentes eu posso fazer? Nesse caso so

trs maneiras possveis.

Para a segunda variao podemos fabricar o problema: Um jornal e seu

suplemento custam juntos 1,10. O suplemento custa 0,5. Quanto custa o jornal? Para a

terceira variao poderemos fabricar o problema: Um jornal custa 1,05 e seu

suplemento custa 0,5. Quanto custa junto, o jornal e seu suplemento?

Pode ser feita uma dupla supresso. .... + .... = 1,10

Duas situaes equivalentes so possveis: A supresso exige uma designao

funcional que a descrio de uma operao a fazer.

A primeira designao relativa : o jornal custa 1,00 a mais que seu

suplemento. E essa supresso introduz outro dado que no est presente na designao

funcional na qual foram suprimidos dois dados. Essa dupla supresso obriga a uma

designao funcional intermediria: 1,05 0,05 = cujo resultado que 1,00 no est

em .... + .... = 1,10

O jornal custa 1,05 a mais que seu suplemento que custa 0,5. Quanto custa o

jornal?

Se quisermos conduzir os alunos aprendizagem da lgebra e s formas de

pensar algebricamente, essa no uma forma adequada de proceder, pois o problema

foi desmontado.

3a IDIA

Para Duval (2011) a resoluo do problema exige somente recurso a uma

representao auxiliar condicional. Os enunciados dos problemas apresentados tm

que possibilitar aos alunos reconhecer as operaes pertinentes. E qual a maneira de

possibilitar esses reconhecimentos: no uma questo gramatical, sinttica, ou de

vocabulrio.



Exemplo: Os bois e as galinhas de uma fazenda somam 3 cabeas (ou 37) e 8

(ou 118) patas. Quantos bois e quantas galinhas existem na fazenda?

Nesse problema existem duas informaes de dimenso semnticas diferentes

que se cruzam.

A informao no est no nmero de cabeas, ou no nmero de patas, ou no

nmero de galinhas ou no nmero de bois. A informao est no cruzamento dessas

informaes. Os enunciados na lngua brasileira so lidos linearmente e isso impede

esse cruzamento.

4a IDIA

Segundo Duval (2011) para resolver problemas reais no so as equaes que

so teis, mas sim as frmulas. Numa frmula as letras codificam o termo genrico

dando lugar a medidas.

5a IDIA

O autor coloca que para a resoluo de equaes no so as letras que contam,

mas a ocorrncia das letras. A diferena entre objeto e signo no importante se o

ensino se voltar para o terreno algbrico e para os clculos algbricos que trabalham

com a ocorrncia das letras e tambm para a significao das letras. Duval (2011)

sugere que as coisas (ocorrncia e significao das letras) no sejam feitas

sucessivamente e sim em paralelo.

A introduo das letras deve ser dissociada de toda atividade de resoluo de

problemas. Ela deve ser associada logo de entrada designao funcional, isto , para

dizer algo sobre um padro de regularidade, por exemplo. Por que dissociar? Porque

nos problemas as letras so introduzidas como incgnitas e isso faz criar uma

associao durvel entre uma letra e um nmero. O estatuto de letra co-varivel, como

por exemplo, na identificao de padres de regularidade, termina e 90% dos alunos

entendem que o estatuto da letra varivel.

A introduo das letras deve obedecer s seguintes condies: funo de

condensao, que uma letra est no lugar de uma lista aberta e funo de designao

funcional que exige no somente uma lista aberta, mas duas. Se isso no for feito os

alunos ficaro em tentativas numricas.

Como exemplo podemos apresentar o problema: encontrar dois nmeros

sucessivos cuja soma 143, escrever em equao e resolv-la. Primeiro os alunos

trabalham com a calculadora e podem pegar dois nmeros que no so sucessivos e

cuja soma est longe de ser 143 (25 e 26, ou 64 e 65, ou 37 e 38...). Procedendo dessa



maneira encontram os nmeros 71 e 72. Esse procedimento no deve ser incentivado.

Devemos levar os alunos a utilizar a forma x + x + 1 = 143. Isso mostra que o

problema no est na letra, mas na designao funcional. Nesse caso o professor deve

apresentar primeiro duas listas, abertas, de nmeros sucessivos:

1 2

2 3

3 4

. .

. .

Em seguida o professore deve solicitar que os alunos encontrem um padro de

regularidade que permita associar os valores das duas listas. Nesse caso se um nmero

x qualquer for da primeira lista, na segunda ele ser do tipo x + 1. Esses nmeros so

sucessivos e ento o problema poder ser resolvido, isto , somando x com x + 1 e

igualando a 143.

O professor deve levar os alunos a trabalharem conjuntamente sobre a

comparao das duas listas em paralelo. Trata-se de uma atividade de observao. Os

alunos comeam a escrever as duas listas e em determinado momento eles tomam

conscincia que esto escrevendo a mesma coisa, pois eles esto diante de um

problema de designao. Quando eles pensam de que forma podem parar, encontram-

se diante de um problema de condensao. Eles trocam o registro de partida pelo

registro de chegada. necessrio variar o registro de entrada para haver a atividade de

redesignao. Essa proposta anterior ao ensino das equaes e paralela fabricao

de problemas e ao uso de frmulas. S por ltimos o professor deve devemos levar os

alunos a adquirir os mecanismos de aplicao matemticas situaes reais e criarem

os problemas.

3. Instrumento para produo de dados

Na presente pesquisa procedemos aplicando um instrumento diagnstico para

alunos de 7o e 8

o anos (antigas 5

a e 6

a sries) do ensino fundamental. Esse instrumento

continha questes relativas s cinco idias colocadas por Duval (2011). Pretendamos

identificar a atribuio de significao para expresses com letras e nmeros e a

capacidade de designao de objetos.

Retomaremos brevemente cada uma das cinco idias colocadas por Duval

(2011) para justificar e tornar claro a seleo de cada uma das questes colocadas para

os alunos: 1a ideia - operaes discursivas de designao dos objetos feita por meio da



11 11

11

11 11

11

111

lngua natural ou formal; 2a ideia - fabricao de problemas; 3

a ideia - resoluo do

problema com recurso a uma representao auxiliar condicional; 4a ideia resoluo

de problemas reais com frmulas; 5a ideia - ocorrncia das letras.

Seguindo este raciocnio consideramos que as atividades apresentadas no

Quadro 2 esto relacionadas primeira ideia proposta por Duval (2011). Para resolver

essas atividades os alunos precisaro realizar uma operao discursiva de designao,

que pode ser por meio da lngua natural ou formal:

Quadro 2 - Atividades relacionadas a 1a ideia de Duval (2011): operaes discursivas de designao dos

objetos feita por meio da lngua natural ou formal

1. Leia este problema, que aparece muitas vezes em livros de passatempo: Um esquilo encontrou 50 nozes num perodo de 5 dias. Em cada dia, o esquilo encontrou 3 nozes a mais do

que no dia anterior. Quantas nozes ele encontrou em cada dia? Antes de tentar resolv-lo, discuta com seu professor e colegas sobre essa questo:O esquilo encontrou a

mesma quantidade de nozes todos os dias? Se a quantidade de nozes encontradas no primeiro dia fosse igual a 7,

quantas nozes ele teria encontrado no segundo dia? E no terceiro dia?Como saber se 7 um bom palpite para a

quantidade de nozes encontradas no primeiro dia?

Agora pense em uma estratgia para resolver o problema. Depois de resolv-lo, mostrem para a classe como

vocs pensaram.

2. A balana a seguir est desequilibrada:

Quantos gramas necessrio colocar em um dos pratos, para que a balana fique equilibrada? Em qual dos

pratos?

3. A balana a seguir s ficou equilibrada quando foi colocado o sexto peso no prato direito. Sabendo que cada peso tem massa igual a 40 gramas, faa o que se pede:

O que acontecer se colocarmos um peso de mesma massa somente no prato direito da balana? Justifique.

Qual a massa de cada copo?

4. A balana a seguir est em equilbrio e cada lata tem massa de 100 gramas. Faa o que se pede:

Escreva uma sentena matemtica que represente o equilbrio da balana.

O que acontecer quando reduzirmos metade o contedo de cada prato da balana? Justifique sua resposta.

O que acontecer se acrescentarmos, em ambos os pratos, o dobro do contedo contido em cada prato?

Qual a massa de cada caixinha?

5. Uma nave espacial viaja por etapas, cada uma com a mesma extenso:

Se a extenso de cada etapa de 11 anos-luz, o que se poderia dizer sobre a distncia percorrida em y etapas?

6. Complete as sequncias: A 1 1 A 1 1 A 1 1 A 1 1 vermelho, amarelo, verde, vermelho, amarelo, verde, ..

5, 10, 15, 20, 25,

7) Escreva uma sentena matemtica que represente cada sequncia, isto , que permita obter qualquer nmero da

sequncia.

a) 1, 4, 7, 10, 13, 16, b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

c) 1, 3, 5, 7, 9, 11,



d) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ....

e) 1, 3, 7, 13, 21, 31, f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)Encontre 5 regularidades e descreva-as



As atividades descritas no Quadro 3 referem-se a 2 ideia, pois o momento

em que os alunos devero elaborar um problema, considerando que se pretende que o

aluno compreenda o funcionamento da equao.

Quadro 3- Atividades relacionadas a 2 a ideia de Duval (2011): fabricao de problemas

7. Crie um problema para a sentena 2x 10 = 30

Fonte: as autoras. A prxima atividade descrita no Quadro 4 exige o cruzamento de duas

informaes de dimenses semnticas diferentes, que esto relacionadas 3 ideia de

Duval (2011).

Quadro 4 - Atividades relacionadas a 3 a ideia de Duval (2011): resoluo do problema com

recurso a uma representao auxiliar condicional;

Fonte: as autoras.

A atividade a seguir descrita no Quadro 5 refere-se 4 ideia de Duval (2011),

em que considera-se que as frmulas que so teis para resolver problemas e no as

equaes.

Quadro 5 - Atividades relacionadas a 4 a ideia de Duval (2011): resoluo de problemas reais

com frmulas;

A rea do retngulo pode ser representada por essa frmula:

A = c . 1

Qual o significado de cada letra na frmula da rea do retngulo: A = c.1?

Como seria uma frmula matemtica para representar a rea do quadrado?

Fonte: as autoras.

As atividades a seguir descritas no Quadro 6 correspondem 5 ideia de Duval

(2011), onde o que se considera na resoluo das equaes no so as letras, mas sim a

ocorrncia dessas letras;

Quadro 6 - Atividades relacionadas a 5 a ideia de Duval (2011): ocorrncia das letras.

A regra das duas pirmides a mesma. Descubra-a e encontre os nmeros que esto faltando.

1

5 12 8 15

7

20 23 22

37

c 5 12

18 15

33



Dica: Na segunda pirmide, decomponha o 33 e v tentando!Quadro 6 - Atividades relacionadas a 5 a ideia de

Duval (2011): ocorrncia das letras.

Num estacionamento h 27 veculos, entre carros e motos, o que d um total de 80 rodas

Quantos carros e quantas motos h no estacionamento? Para facilitar, voc pode preencher uma tabela como esta:

Quantidade de carros Quantidade de motos Total de veculos Quantidade de rodas

7 20 27 68

10 17 27

3

5

Encontre uma ou mais sentenas matemticas que representem o problema.

Substitua os valores encontrados na tabela nas sentenas que voc elaborou e confira sua soluo.

Indique nas flechas as operaes e os nmeros adequados para tornar os esquemas verdadeiros

Fonte: as autoras.

3.1 Caracterizao dos sujeitos

O pr-teste foi aplicado em duas situaes diferentes: na primeira delas

participaram 3 turmas de 8 ano da escola A (nvel em que os alunos j tem alguma

familiaridade com a linguagem matemtica formal), localizada num bairro de

periferia da cidade de Araucria (Pr). O mesmo foi aplicado em quatro horas/aula. No

total, participaram 76 alunos (38 meninos e 38 meninas), na faixa etria de 11 a 15

anos; na segunda, participou uma turma de 7o ano de uma escola pblica de Arapoti

(Pr) tambm num total de 4 horas aula. Participaram 38 alunos ( 20 meninas e 18

meninos)

Os sujeitos foram identificados de acordo com o cdigo composto pelos

seguintes itens: Aplicador, turma, srie, sujeito. Assim o cdigo G8A1 se refere as

respostas do aluno 1 ao teste diagnstico aplicado pelo professor G para a turma A do

8 ano .

-9

y x

8 2

4

x (-15)

a

e

b

-6

c

d

+ (-1) + (-3)

x 2 x (-1)

x 2 + (-5)



3.2 Organizao dos dados

Como cada questo tratava de ideias diferentes entre si, os dados esto sendo

organizados em modelos de tabelas diferentes. O Quadro 7 foi elaborado para

organizar os dados empricos relativos s respostas dos sujeitos questo 10. Em cada

clula do quadro ser colocada a resposta do sujeito. As anlises sero realizadas tendo

por subsdios tericos as ideias de Duval (2011) relativas aprendizagem da lgebra.

Quadro 7 dados empricos relativos s respostas apresentadas para a questo 10 Alunos Questo 10

Completou a sequncia Escreveu a sentena

numrica geomtrica certo Errado

certo errado certo errado

H7B1

H7B2

H7B3

H7B4

H7B5

Fonte: as autoras.

4. Resultados parciais da pesquisa

As anlises dos dados esto em andamento. Consideramos essencial apresentar

a trajetria realizada para o desenvolvimento da presente pesquisa que j absorveu um

ano das atividades do GEPAM. Acreditamos que levaremos mais um semestre para

anlise dos dados e obteno de resultados.

O que podemos adiantar a importncia, para o conhecimento, de considerar a

natureza dos objetos e a forma como so apresentados e como podemos ter acesso a

eles por ns mesmos. Nesse caso especfico, se queremos a aprendizagem da lgebra e

os processos cognitivos que devem ser mobilizados, devemos entender de que forma o

processo de ensino deve ser organizado.

A pesquisa, at o momento, possibilitou compreender que existem sistemas,

estruturas ou capacidades para serem mobilizadas de modo a permitir ter acesso aos

objetos, diretamente ou por uma sequncia de processos conscientes ou no

conscientes. Esses sistemas e estruturas foram necessrios para a elaborao das

atividades que foram organizadas de modo a diagnosticar as capacidades essenciais

para permitir o aprendizado da lgebra. Essas estruturas ou sistemas voltaram-se para

o desenvolvimento da capacidade de elaborar problemas, designar objetos a partir de

sentenas abertas e de padres de regularidades a serem generalizados, atribuir

significao s letras utilizadas em frmulas, trabalhar com informaes cruzadas em

tabelas de dupla entrada.



A pesquisa, por meio dos estudos tericos, possibilitou compreender que existe

uma relao cognitiva entre processos e os objetos algbricos cuja natureza

especfica desse campo de conhecimento.

Pela primeira vez pudemos refletir a respeito de outro caminho, inverso ao

tradicional (do ponto de vista matemtico) que significou entender a capacidade dos

alunos conhecerem letras (em frmulas, ou para designao de objetos) presentes em

estruturas necessrias para compreender, posteriormente, igualdades e desigualdades.

Esse diagnstico foi importante, pois para Duval (2011) o primeiro passo a ser

contemplado no ensino da lgebra verificar a capacidade de colocar em equao. Se

essa capacidade no for desenvolvida o processo de ensino no estar assentado em

bases slidas capazes de garantir o aprendizado da lgebra. O caminho inverso de

ensinar, isto , que letras podem representar nmeros, no adquire significado para os

alunos. No entanto quando elas so utilizadas para designao de padres de

regularidades observveis sua utilizao natural e espontnea, sem manifestao do

fenmeno de congruncia semntica. As dificuldades dos alunos em transitar do

domnio da matemtica para a realidade e vice-versa pode ser enfrentada.

A pesquisa encontra-se em fase de organizao dos dados para anlises. O

prximo passo ser a organizao de atividades para o momento de intervenes

didticas necessrias para a atribuio de significao aos objetos algbricos. Com

esses procedimentos estaremos em condies de propor um novo caminho para o

processo de ensino da lgebra.

No momento podemos responder pergunta Existe um caminho especfico

para o processo de ensino da lgebra? concordando que esse caminho no s

especfico para a aprendizagem da lgebra como oposto ao ponto de vista dos

matemticos com o qual convivemos at ento. Com as anlises poderemos responder

em que medida a proposta de Duval (2011) para o ensino da lgebra promove a

aprendizagem da lgebra.

5. REFERNCIAS

DUVAL, R.. Semiosis y pensamiento humano: Registros Semiticos y

aprendizajes Intelectuais. Colombia: Universidade Del Valle, 2004.

______. Semisis e Pensamento Humano: Registros semiticos e aprendizagens

intelectuais. Trad. L. F. Levy e M. R. A. da Silveira. So Paulo: Livraria da Fsica,

2009.



______. Registros de representaes semiticas e funcionamento cognitivo da

compreenso em matemtica. In: MACHADO, S. D. A. (org.). Aprendizagem em

matemtica: registros de representao semitica. Campinas: Papirus, 2010.

______. Ver e ensinar a matemtica de outra forma: entrar no modo matemtico de

pensar os registros de representaes semiticas. Organizao Tnia M. M. Campos.

Traduo Marlene Alves Dias. So Paulo: PROEM, 2011.

anais do xi encontro nacional de educaca

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