variables aleatorias...una variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada...
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Estadística, Profesora: María Durbán
1
Variables Aleatorias
1 Concepto de variable aleatoria
2 Variables aleatorias discretas y continuas
Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad
3 Medidas características de una variable aleatoria
Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma
4 Transformaciones de variables aleatorias
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2
Objetivos del tema:
Al final del tema el alumno será capaz de:
� Comprender el concepto de variable aleatorias
� Calcular probabilidades a partir de la función de d ensidad, función deprobabilidad o función de distribución
� Calcular esperanzas y varianzas de variables aleato rias
� Obtener la función de densidad o probabilidad y las medidascaracterísticas de una variable aleatoria transform ada
Variables Aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán
3
Variables Aleatorias
1 Concepto de variable aleatoria
2 Variables aleatorias discretas y continuas
Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad
3 Medidas características de una variable aleatoria
Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma
4 Transformaciones de variables aleatorias
1 Concepto de variable aleatoria
Estadística, Profesora: María Durbán
4
1 Concepto de variable aleatoria
En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio no es suficiente
Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (CCX), …}Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …}
A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento
Definir una variable
No conocemos el resultado del experimento antes de realizarloNo conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento
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1 Concepto de variable aleatoria
En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio no es suficiente
Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (XCX), …}Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …}
A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento.
No conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo
No conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento
X = Número de caras en el primer lanzamiento X[(CCC)]=1, X[(XCX)]=0, …
Y = Suma de las puntuaciones Y[(1,1)]=2, Y[(1,2)]=3, …
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1 Concepto de variable aleatoria
Una variable aleatoria es una función que asocia unnúmero real a cada elemento del espacio muestral
Las variables aleatorias se representan por letras mayúsculas, normalmente empezando por el final del alfabeto: X,Y, Z, etc.
Los posibles valores que puede tomar la variable se representanpor letras minúsculas,
x=1 es un posible valor de Xy=3.2 es un posible valor de Yz=-7.3 es posible valor de Z
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1 Concepto de variable aleatoria
Ejemplos
Número de unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 5unidades
Número de defectos superficiales en un cm2 de cierto material
Tiempo de duración de una bombilla
Resistencia a la compresión de un material de construcción
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a b
RX
E X(si) = b; si ∈ E
X(sk) = a
si
sk
• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).
• A cada posible suceso de E le corresponde un valor en RX
• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral
1 Concepto de variable aleatoria
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a b
RX
E X(si) = b; si ∈ E
X(sk) = a
si
sk
Si sobre los elementos de E existe una distribución de probabilidad, esta se transmite a los valores que toma la variable X. Es decir, toda v.a. conservala estructura probabilística del experimento aleatorio que describe:
Pr( ) Pr( : ( ) )X x s E X s x= = ∈ =
1 Concepto de variable aleatoria
Estadística, Profesora: María Durbán
10
Variables Aleatorias
1 Concepto de variable aleatoria
2 Variables aleatorias discretas y continuas
Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad
3 Medidas características de una variable aleatoria
Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma
4 Transformaciones de variables aleatorias
2 Variables aleatorias discretas y continuas
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2Variables aleatorias discretas y continuas
El rango de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar la variable.
Atendiendo al rango las variables se pueden clasificar como:
Variables aleatorias discretas : Aquellas en las que el rango es finito o infinito numerable
Variables aleatorias continuas : Aquellas en las que el rango es un intervalode números reales
Variables aleatorias discretas : Aquellas en las que el rango es finito o infinito numerable
Variables aleatorias continuas : Aquellas en las que el rango es un intervalode números reales
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Ejemplos de variables aleatorias discretas
Número de defectos en la superficie de un cristal
Proporción de piezas defectuosas en una muestra de 1000
Número de bits transmitidos que se reciben correctamente
Ejemplos de variables aleatorias continuas
Corriente eléctrica
Longitud
Temperatura
Peso
Ejemplos de variables aleatorias discretas
Número de defectos en la superficie de un cristal
Proporción de piezas defectuosas en una muestra de 1000
Número de bits transmitidos que se reciben correctamente
Ejemplos de variables aleatorias continuas
Corriente eléctrica
Longitud
Temperatura
Peso
Frecuentementecuentan elnúmero de vecesque ocurre algo
Frecuentemente miden unamagnitud
2Variables aleatorias discretas y continuas
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2Variables aleatorias discretas
Los valores de una variable aleatoria cambian de un experimento a otro al cambiar los resultados del experimento
Una v.a. está definida por
Los valores que toma.La probabilidad de tomar cada uno de esos valores .
Es una función que indica la probabilidad de cada posible valor
( ) ( )i ip x P X x= =
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x
x1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn
p(xi)
Las propiedades de la función de probabilidad se deducen de forma
inmediata de los axiomas de la probabilidad:
{ } { }1
0 ( ) 1
( ) 1
Pr( ) Pr( ) Pr( )
i
n
i
i
p x
p x
a b c A a X b B b X c
a X c a X b b X c
=
≤ ≤
=
< < → = ≤ ≤ = < ≤≤ ≤ = ≤ ≤ + < ≤
∑
2Variables aleatorias discretas
1. 0≤P(A) ≤1 2. P(E)=1 3. P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
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Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de cruces.
2Variables aleatorias discretas
CCXCCX
XX
RX
X
0 1 2
0 1/4 1/2 1
Pr
E
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X P(X=x)
0 1/4
1 1/2
2 1/4
Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de cruces.
X
X
X X
2Variables aleatorias discretas
C C
C
C
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X P(X=x)
0 1/4
1 1/2
2 1/4
Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de caras.
2Variables aleatorias discretas
x=0 x=1 x=2 X
p(x)
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2Variables aleatorias discretas
En ocasiones nos puede interesar la probabilidad de que una variable tome un valor menor o igual que una cantidad
0 0
1 2 n
1 1 1
2 2 1 2
1
( ) ( )
( ) 0 ( ) 1
si X toma valores x x :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1n
n n ii
F x P X x
F F
x
F x P X x p x
F x P X x p x p x
F x P X x p x=
= ≤−∞ = +∞ =
≤ ≤ ≤= ≤ == ≤ = +
= ≤ = =∑
K
M
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X P(X=x)
0 1/4
1 1/2
2 1/4
Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de caras.
2Variables aleatorias discretas
x=0 x=1 x=2 X
p(x)
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X F(x)
0 1/4
1 3/4
2 1
Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de caras.
2Variables aleatorias discretas
x=0 x=1 x=2 X
F(x)
0.25
0.5
0.75
1
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2Variables aleatorias continuas
Cuando una variable es continua, no tiene sentido hacer la suma:
1
( ) 1i
i
p x∞
=
=∑
ya que el conjunto de valores que toma la variable es no numerable
Lo natural es generalizar
Introducimos un nuevo concepto que sustituye en variables continuas alde función de probabilidad en variables discretas
→∑ ∫
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2Variables aleatorias continuas
La función de densidad describe la distribución de probabilidad deuna variable continua. Es una función continua que verifica:
( ) 0
( ) 1
( ) ( ) b
a
f x
f x dx
P a X b f x dx
+∞
−∞
≥
=
≤ ≤ =
∫
∫
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2Variables aleatorias continuas
La función de densidad describe la distribución de probabilidad deuna variable continua. Es una función que verifica:
( ) 0
( ) 1
( ) ( ) b
a
f x
f x dx
P a X b f x dx
+∞
−∞
≥
=
≤ ≤ =
∫
∫a b
Área por debajo de ese trozo de curva
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2Variables aleatorias continuas
( ) ( ) 0
( ) ( )
( )
( )
a
aP X a f x dx
P a X b P a X b
P a X b
P a X b
= = =
≤ ≤ = < ≤= ≤ <= < <
∫
a
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y
x2
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
La función de densidad no tiene por qué ser simétrica, ni estar definida para toda la recta real
La forma de la curva dependeráde uno o más parámetros
2Variables aleatorias continuas
( | )Xf x β
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2Variables aleatorias continuas
Si medimos una variable continua y representamos los datos en unhistograma:
Si hacemos las clases cada vez más pequeñas:
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2Variables aleatorias continuas
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2Variables aleatorias continuas
El polígono de frecuencias tenderá a un curva:
( )f x
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29
� La función de densidad para el tiempo de uso de un tipo de máquinas durante un año (en horas x100):
<≤−
<<
=
else0,
5x2.5x,2.5
0.40.8
2.5x0x,2.5
0.4
)x(f
2.5 5
0.4
f(x)
x
2Variables aleatorias continuas
Ejemplo
en otro caso
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30
� ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina elegida al azar haya funcionado durante menos de 320 horas?
2.5 5
0.4
f(x)
x
3.2
740
52
4080
52
40
23
52
0
23
52
.
.
..
.
.
).(
. .
.
=
−+
=
=<
∫ ∫ dxxdxx
XP
2Variables aleatorias continuas
Ejemplo
31
2Variables aleatorias continuas
Al igual que en el caso de variables discretas, podemos describir la distribución de una variable aleatoria continua mediante la Función de Distribución :
( ) ( ) ( ) x
F x P X x f u du x−∞
= ≤ = − ∞ < < ∞∫
x
( )P X x≤
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2Variables aleatorias continuas
Al igual que en el caso de variables discretas, podemos describir la distribución de una variable aleatoria continua mediante la Función de Distribución :
( ) ( ) ( ) x
F x P X x f u du x−∞
= ≤ = − ∞ < < ∞∫
( )( )
dF xf x
dx=
En el caso discreto la diferencia entre dos valores consecutivos de F(x)proporcionan la función de probabilidad. En el caso de variables continuas, habrá que derivar F(x) para obtener la función de densidad f(x)
A partir de la función de densidad f(x) podremos calcular probabilidades asociadas a la v.a. X.
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2Variables aleatorias continuas
La función de distribución verifica las siguientes propiedades:
( ) ( )
( ) 0 ( ) 1
a b F a F b
F F
< ⇒ ≤−∞ = +∞ =
Definimos los sucesos disjuntos:
{ } { } { } { } { } X a a X b X a a X b X b≤ < ≤ → ≤ ∪ < ≤ = ≤
Es no decreciente
Es continua
Tercer axioma de la probabilidad
0≥
Primer axioma de la probabilidad
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aFbXaaFbXaaXbXbF ≥≤<+=≤<+≤=≤= PrPrPrPr
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2Variables aleatorias continuas
La función de distribución verifica las siguientes propiedades:
( ) ( )
( ) 0 ( ) 1
a b F a F b
F F
< ⇒ ≤−∞ = +∞ =
Es no decreciente
Es continua
( ) Pr( ) ( ) 0
( ) Pr( ) ( ) 1
F X f x dx
F X f x dx
−∞
−∞
+∞
−∞
−∞ = ≤ −∞ = =
+∞ = ≤ +∞ = =
∫
∫
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� La función de densidad para el tiempo de uso de un tipo de máquinas durante un año (en horas x100):
<≤−
<<
=
else0,
5x2.5x,2.5
0.40.8
2.5x0x,2.5
0.4
)x(f
2.5 5
0.4
f(x)
x
2Variables aleatorias continuas
Ejemplo
en otro caso
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2Variables aleatorias continuas
Ejemplo
0
2.5
0 2.5
0.4 0 x 2.5
2.5
0.4 0.4( ) 0.8 u du, 2.5 x 5
2.5 2.5
1 x 5
x
x
u du
F x u du
< <
= + − ≤ < ≥
∫
∫ ∫
0.4x, 0 x 2.5
2.5
0.4( ) 0.8 x, 2.5 x 5
2.5
0, en otro caso
f x
< <= − ≤ <
Pr(0 2.5)X< < Pr(2.5 )X x≤ <
Pr( 5)X ≤
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2Variables aleatorias continuas
EjemploEjemplo
x=3.2
P(x<3.2)
2
2
0.08 0 2.5
( ) -1 0.8 - 0.08 2.5 5
1 5
x x
F x x x x
x
< <= + ≤ <
≥
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2Variables aleatorias continuas
Ejemplo
P(x<3.2)
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Variables Aleatorias
1 Concepto de variable aleatoria
2 Variables aleatorias discretas y continuas
Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad
3 Medidas características de una variable aleatoria
Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma
4 Transformaciones de variables aleatorias
3 Medidas características de una variable aleatoria
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40
3 Medidas características de una v.a.
Medidas de Centralización
En el caso de una muestra de datos la media muestral:
a cada valor se le asigna un peso 1/n
La media o Esperanza de una v.a. utiliza la probabilidad como peso:
1 2
1 1 1nx x x x
n n n= + + +K
µ
[ ]
[ ]
( )
( )
i i
i
E X x p x
E X x f x dx
µ
µ+∞
−∞
= =
= =
∑
∫
v.a. discreta
v.a. continua
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3 Medidas características de una v.a.
Medidas de Centralización
Intuitivamente: Mediana = valor que divide a la probabilidad total en dospartes iguales
0.50.5
( ) 0.5
( ) 0.5
P X m
F m
≤ =
≥
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� ¿Cuál es el tiempo medio de funcionamiento de las máquinas?
2 Variables aleatorias continuas
Ejemplo
[ ] 2.5 52 2
0 2.5
0.4 0.4( ) d 0.8 d
2.5 2.5
2.5
E X xf x dx x x x x x+∞
−∞= = + −
=
∫ ∫ ∫
0.4x, 0 x 2.5
2.5
0.4( ) 0.8 x, 2.5 x 5
2.5
0, en otro caso
f x
< <= − ≤ <
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� Si queremos saber el tiempo de funcionamiento tal que el 50% de las máquinas tiene una duración menor o igual a ese
2 Variables aleatorias continuas
Ejemplo
( ) 0.5F m =2
2
0.08 0 x 2.5
( ) -1 0.8 - 0.08 2.5 x 5
1 x 5
x
F x x x
< <= + ≤ < ≥
2
2
0.08 0.5 2.5
-1 0.8 - 0.08 0.5 2.5
x m
x x m
= → =+ = → =
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3 Medidas características de una v.a.
Medidas de posición
El percentil p de una variable aleatoria es el valor xp que verifica:
( ) y ( )
( )
p p
p
p X x p p X x p
F x p
< ≤ ≤ ≥
=v.a. discretas
v.a. continuas
Un caso particular son los cuartiles que dividen a la distribución en 4partes iguales
1 0.25
2 0.5
3 0.75
Mediana
Q p
Q p
Q p
== ==
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3 Medidas características de una v.a.
Ejemplo
Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornilladoreléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número devueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:
0.0320
0.1419
0.2118
0.1217
0.0916
0.2615
0.0614
0.0313
0.0312
0.0311
p(x)x
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3 Medidas características de una v.a.
Ejemplo
Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornilladoreléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número devueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:
0.03
0.14
0.21
0.12
0.09
0.26
0.06
0.03
0.03
0.03
p(x)
1
0.97
0.83
0.62
0.5
0.41
0.15
0.09
0.06
0.03
F(x)
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
x
( ) 0.7 y ( ) 0.7p pp X x p X x< ≤ ≤ ≥
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3 Medidas características de una v.a.
Medidas de dispersión
En el caso de una muestra de datos la varianza muestral es una medida de la dispersión o variabilidad de los datos:
La Varianza de una v.a. utiliza la probabilidad como peso:
2 2 2 2
1 2
1 1 1( ) ( ) ( )ns x x x x x xn n n
= − + − + + −K
[ ]
[ ]
22
2 2
( ) ( )
( ) ( )
i i
i
Var X x p x
Var X x f x dx
σ µ
σ µ+∞
−∞
= = −
= = −
∑
∫
v.a. discreta
v.a. continua
[ ] [ ]( )2
Var X E X E X = −
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3 Medidas características de una v.a.
Medidas de dispersión
[ ] [ ]( )2
Var X E X E X = −
[ ] [ ]( )22Var X E X E X = −
[ ]( ) [ ]( ) [ ]
[ ]( ) [ ] [ ][ ]( )
2 22
22
22
2
2
E X E X E X E X XE X
E X E X E X E X
E X E X
− = + −
= + −
= − La esperanza es un operador lineal
[ ] es una constante, no depende de
E X
X
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3 Medidas características de una v.a.
Desigualdad de Tchebychev
Si X es una variable aleatoria con:
Se puede demostrar que gran parte de la distribución está situada en un intervalo centrado en y que tiene amplitud varias veces . En concreto:
Es decir, la probabilidad de realizar una observación de una variable y queesté en ese intervalo es mayor o igual que 1-1/k2
[ ] [ ] 2 E X Var Xµ σ= =
µ σ
( ) 2
10 Pr 1k k X k
kµ σ µ σ∀ > − ≤ ≤ + ≥ −
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50
5-28
µµµµ-3σσσσ µµµµ+3σσσσµµµµ
al menos 89%
µµµµ-2σσσσ µµµµ+2σσσσ
al menos 75%
3 Medidas características de una v.a.
Desigualdad de Tchebychev
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51
3 Medidas características de una v.a.
Medidas de forma
3
3CA
µσ
=
[ ]1
2 2
1 2 2 10
m E X
m mµ µ σ
=
= = = −
[ ]( )[ ]kk
k
k
XE
XEm
µµ −=
= Momento de orden k respecto al origen.
Momento de orden k respecto a la media.
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3 Medidas características de una v.a.
Medidas de forma
3
3CA
µσ
=4 4
4 4 o 3pCA
µ µσ σ
= −
[ ]( )[ ]kk
k
k
XE
XEm
µµ −=
= Momento de orden k respecto al origen.
Momento de orden k respecto a la media.
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53
Variables Aleatorias
1 Concepto de variable aleatoria
2 Variables aleatorias discretas y continuas
Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad
3 Medidas características de una variable aleatoria
Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma
4 Transformaciones de variables aleatorias4 Transformaciones de variables aleatorias
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54
4 Transformaciones de variables aleatorias
En algunas situaciones necesitamos conocer la distribución de probabilidad de una función o transformación de una variable aleatoria
Ejemplos
Cambiar las unidadesUtilizar la escala logarítmica
)(XgY =
baX +2X
|| X
XXe
Xlog
X1
nis X sin X
1
X
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55
4 Transformaciones de variables aleatorias
Sea X una v.a. cualquiera. Si realizamos el cambio de variable Y=h(X), tenemos una nueva v.a. :
( ) Pr( ) Pr( ( ) ) Pr( )YF y Y y h X y x A= ≤ = ≤ = ∈
( )Y h X=
{ }, ( )A x h x y= ≤
Función de distribución de Y
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56
Ejemplo
Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornilladoreléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número devueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:
0.03
0.14
0.21
0.12
0.09
0.26
0.06
0.03
0.03
0.03
p(x)
1
0.97
0.83
0.62
0.5
0.41
0.15
0.09
0.06
0.03
F(x)
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
x2¿Pr( 144)?X ≤
{ }( )
2 2Pr( 144) Pr( ) , 144
Pr 12 0.06
X x A A x x
X
≤ = ∈ = ≤
≤ =
4 Transformaciones de variables aleatorias
{ }, 144A x x= ≤
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57
4 Transformaciones de variables aleatorias
1 1( ) Pr( ( ) ) Pr( ( )) ( ( ))Y XF y h X y X h y F h y− −= ≤ = ≤ =
( )Y h X=En general:
Si es continua y monótona creciente:h
Si es continua y monótona decreciente:h
1 1( ) Pr( ( ) ) Pr( ( )) 1 ( ( ))Y XF y h X y X h y F h y− −= ≤ = ≥ = −
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58
4 Transformaciones de variables aleatorias
Si X es una v.a. continua e Y=h(X),
( ) ( )Y X
dxf y f x
dy=
Función de densidad
1
( )
( ( ))( )( )
(1 ( ))
X
xYY
X
F x dx
dx dyF h yF yf y
F x dxy y
dx dy
−
∂∂∂ = = = ∂ −∂ ∂
creciente
decreciente
x
Estadística, Profesora: María Durbán
59
4 Transformaciones de variables aleatorias
Si X es una v.a. continua e Y=h(X), donde h es una función derivable e inyectiva,
Para v.a. discretas:
( )
( ) Pr( ) Pr( )i
Y i
h x y
p y Y y X x=
= = = =∑
( ) ( )Y X
dxf y f x
dy=
Estadística, Profesora: María Durbán
60
4 Transformaciones de variables aleatorias
Ejemplo
La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad
2 2( / 2) 0( )
0 en el resto
bv
V
b v e vf v
− >=
La energía cinética de la partícula es . ¿Cuál es lafunción de densidad de W?
2 / 2W mV=
Estadística, Profesora: María Durbán
61
4 Transformaciones de variables aleatorias
Ejemplo
La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad
2 2( / 2) 0( )
0 en el resto
bv
V
b v e vf v
− >=
2 / 2 2 / 2 /W mV v w m v w m= → = = −
1
2
dv
dw mw= ( )2
1 2 2 /( ( )) ( / 2) 2 / b w m
Vf h w b w m e− −=
Estadística, Profesora: María Durbán
62
4 Transformaciones de variables aleatorias
Ejemplo
La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad
2 2( / 2) 0( )
0 en el resto
bv
V
b v e vf v
− >=
2 2 /( / 2 ) 2 / 0( )
0 en el resto
b w m
W
b m w m e wf w
− >=
Estadística, Profesora: María Durbán
63
4 Transformaciones de variables aleatorias
Esperanza
[ ], ( )
( ) ( )( )
( ) ( )i i
X
i i
x h x y
h x f x dxE h X
h x p X x
+∞
−∞
=
==
∫∑
[ ] ( ) ( ) ( )y X
dxE y yf y dy h x f x dy
dy
+∞ +∞
−∞ −∞= =∫ ∫
( )Y h X=creciente
Estadística, Profesora: María Durbán
64
4 Transformaciones de variables aleatorias
Esperanza
[ ], ( )
( ) ( )( )
( ) ( )i i
X
i i
x h x y
h x f x dxE h X
h x p X x
+∞
−∞
=
==
∫∑
Transformaciones lineales
Y a bX= +
[ ] [ ][ ] [ ]2
E Y a bE X
Var Y b Var X
= +
=
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