t e o r ia d e c o la s a p lic a c io n e s e n a v ia c i...

Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y

Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Teoria de ColasAplicaciones en Aviación

Dr. Antonio A. TraniProfesor Asociado

Instituto Politécnico de Virginia

Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

Marzo 5-9, 2007

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Presentación

Teoria de colas y otros métodos de predicción de demoras

Principios matemáticos

Definiciones de un sistema de colas

Ejemplos

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Teoria de Colas y Otros Métodos para Estimar Niveles de

Servicio

Modelos análiticos

- Representa al sistema en forma exacta (por ejemplo teoria de colas)

Simulación Monte Carlo

- Descripcion de un sistema complejo con variables aleatorias (por lo general ignora el paso del tiempo)

Modelos de simulación continua

- Uso de ecuaciones diferenciales para estimar cambios del sistema aeroportuario

Simulación discreta

- Descipción de un sistema utilizando relaciones logicas para estimar cambios en el estado del sistema (cambios discretos)

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Teoria de Colas (Idea Basica)

Teoria de colas puede ser usada para el calculo rapido de niveles de servicio y demoras en subsitemas aeroportuarios

Clientes que llegan Clientes que parten Servidor

Sistema de la ColaFuente Potencial

PistaPatron de Espera(Cola - queue)

(Servidor)

(queueing system)

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Razones por la Manifestacion de Colas

Razón #1

Llegadas an un aerodromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random)

Este proceso aleatorio se analiza usando

modelos estocásticos

de colas

Razón # 2

Durante ciertos periodos de poca duracion, la demanda excede la capacidad del aerodromo

Este proceso se analiza usando

modelos deterministicos

de colas

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Manifestacion de Colas en el Espacio Aereo (Atlanta TMA)

Area!de!Colas!en!Fijo

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Colas se Manifiestan con Gran Numero de Aviones Recibiendo Vectores antes the Entrar en al Area Terminal

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Colas en Periodos Pico de Uso de Pistas (DFW)

Prediction!and!Control!of!Departure!Runway!Balancing!at!Dallas/Fort!Worth!AirportStephen!Atkins!and!Deborah!Walton

NASA!Ames!Research!Center,!Moffett!Field,!CA!94035-1000

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Modelos Estocásticos de Teoria de Colas

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Modelos Usados en Teoria de Colas

Dependiendo de las distribuciones de llegada y de servicio usadas, los modelos de colas se clasifican de la siguiente manera:

M = Distribucion exponencial (Markovianos)

D = Degenerados (tiempos constantes)

E(k) = Distribuciones tipo Erlang

G = Distribucion general

En 1953 David G. Kendall introdujo la nomenclatura A/B/C usada en la Teoria de Colas hoy en dia

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Notacion de Kendall

Un sistema se colas se designa: A/B/C

en donde,

A = funcion de llegada de clientes (aviones, pasajeros, etc.)

B = funcion de servicio de clientes (aviones, pasajeros,etc.)

C = Numero de servidores en el sistema de cola

Por ejemplo: un sistema de colas M/M/2

Se traduce como llegadas Poisson (i.e., tiempos entre llegadas exponenciales), tiempos de servicio exponenciales y el sistema tiene dos servidores

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Definiciones

Specificacion de una cola

Fuente de entrada (input population)

Disciplina de llegada (arrival discipline)

Mecanismo de servicio (service discipline)

Configuracion de la cola (service facility configuration)

Capacidad de la cola (queueing system capacity)

Clientes o entidades que reciben servicio (entities/clients)

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Definicion de Parametros en Teoria de Colas

Parametro Significado

Taza media de llegadas y servicios (clientes o entidades por unidad de tiempo)Taza media de servicio (clientes o entidades por unidad de tiempo)Numero de servidores en el sistema

Numero promedio esperado de clientes en el sistema de colasProbabilidad de que exactamente clientes esten en el sistema de colas

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Factor de uso del sistema de colasTiempo promedio en la colaTiempo promedio en el sistema de colas

Parametro Significado"

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Ecuaciones Fundamentales (derivadas por J.D. Little)

Cuando is constante, se sabe que,

Estas son tres ecuaciones fundamentales que explican el comportamiento de un cola en estado estable

Estado estable = cuando la cola alcanza un comportamiento estatico (despues de un lago tiempo)

L !W=Lq !Wq=

W Wq1µ---+=

Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS 16 of 71

Modelo Basico M/M/s (Servidores Multiples)

Asumamos una poblacion infinita con tiempos de llagada y servicio constantes and

• Llegadas Poisson (aleatorias) con parametro

• Probabilidad de la funcion de tiempos de servicio es exponentiacial negativa con parametro

• Solo una llegada o servicio por periodo

Para mayor informacion sobre la teoria de colas consulta el libro: Operations Research (i.e., Hillier and Lieberman, 1996) o equivalente

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Ecuaciones con Servidores Multiples (I)

Factor de uso del sistema de cola

Probabilidades que existan zero y entidades/clientes en el sistema de cola

" ! sµ=

P0 1 ! µ( )n

n!----------------- ! µ( )s

s!----------------- 1

1 ! sµ( )–---------------------------# $% &+

s 1–

'# $( )% &=

! µ( )n

n!-----------------P0

! µ( )n

s!sn s–-----------------P0#

0 n s* *

Ecuaciones con Servidores Multiples (II)

Numero promedio de entidades en el sistema de cola

Numero promedio de entidades en la cola

L"P0 !

µ---# $% &

s! 1 "–( )2----------------------- !

µ---+=

Lq"P0 !

µ---# $% &

s! 1 "–( )2-----------------------=

Ecuaciones con Servidores Multiples (III)

Tiempo promedio en la cola

Tiempo promedio en el sistema de colas (W) es,

WqLq!-----=

W L!---=

Multi-server Queueing Equations (III)

Funcion de probabilidad de tiempos de servicio

si entonces usemos,

P W t>( ) e µt– 1P0 !

µ---# $% &

s! 1 "–( )--------------------- 1 e µt s 1– ! µ–( )––

s 1– ! µ–--------------------------------# $% &+=

s 1– ! µ– 0=

1 e µt s 1– ! µ–( )––s 1– ! µ–

-------------------------------- µt=

Ejemplo # 1

Assumamos condiciones de operacion IFR a un aerodromo

• Llegadas aleatorias (random) a un fijo comun es de 45 aviones/hr

• Tiempo de servicio definido por separacion de llegadas (120 s) (exponencial negativa)

Runway 09L-27R

Runway 09R-27L

1525 m

Fijo comun dellegadas

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Resultados del Sistema de Colas

Parametro Valor Numerico

45 aviones/hr

30 aviones por pista por hora (promedio)

3.42 aviones (incluye los que estan en ser-vicio)2.57 minutos por operacion4.57 minutos por operacion

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Análisis de Sensibilidad del Sistema

Variando la taza media de llegadas ( ) de 20 to 55 por hora se puede apreciar la variación (no lineal) en las demoras.

20 25 30 35 40 45 50 550

Arrival Rate (Aircraft/hr)

Taza Media de Llegadas (aviones/hora)

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Variación del Parametro en Función de la Demanda

El diagrama muestra la variación del numero de aviones esperando en la cola en contra de la función demanda

20 25 30 35 40 45 50 550

Arrival Rate (Aircraft/hr)

Taza Media de Llegadas (aviones/hora)

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Ejemplo # 2: Nivel de Servicio en una Terminal del Aeropuerto (Area de Seguridad)

El aeropuerto que se muestra en las siguientes figuras tiene dos sistemas de rayos-X. Un muestreo revela que en promedio, a un pasajero le toma 45 segundos pasar por el area de seguridad (asumamos que la función de distribución de servicio es exponencial negativa)

Los pasajeros llegan al area de seguridad en forma aleatoria (desorganizada) (esto equivale a una función Poisson de llegadas). En promedio, un pasajero llega cada 25 segundos al area de seguridad.

En el futuro (2010), se espera que la función demanda aumente en un 60% con respecto a la demanda actual.

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Preguntas Tipicas en Teoria de Colas

a) Cual es el factor de utlización de las maquinas rayos-X hoy en dia?

b) Cuantas maquinas de rayos-X se deben disponer en el futuro (2010) para dar un nivel de servicio tal que el pasajero promedio no espere mas de 2 minutos en la cola?

c) Cual es el numero de pasajeros en area de seguridad (incluyendo aquellos pasajeros que estan en los servidores) en ano 2010?

d) Usando la solucion (b) cual es la utilización de las maquinas de rayos-X?

e) Cual es la probabilidad que en al ano 2010 mas the 4 pasajeros esperen el la cola?

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Terminal Aeroportuaria (Ejemplo # 2)

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Diagrama del Area de Seguridad

Q i S t S i F ilit

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Solución a la Parte (a)

a) La utilización se denota,

. Usando las ecuaciones anteriores para

" = ! / (s µ ) = 140/(2*80) = 0.90

Los otros parametros del sistema de colas se pueden calcular usando ecuaciones 1-6. Probabilidad que el sistema esta vacio (

) = 0.053 Número de pasajeros (promedio) en la cola (

) = 7.67 Número de pasajeros (promedio) en el sistema (

) = 9.4737 Tiempo promedio en la cola = 192 segundos Tiempo promedio en el sistema de colas = 237 segundos

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b) La solución para encontrar el numero de máquinas de rayos-X con un determinado tiempo de servicio no se puede encontrar algebraicamente.

Las ecuaciones (7) y (8)

No tienen una solucion analítica si se conoce el tiempo de espera en la cola (

Sin embargo podemos resolver dichas ecuaciones asumiendo valores de

hasta que el nivel de servicio requerido sea obtenido.

Come primera alternativa, asumamos que el numero de máquinas de rayos-X sea 3 (

Lq"P0 !

µ---# $% &

s! 1 "–( )2-----------------------= Wq

Lq!-----=

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Encontramos primero

Po = .0097 o bien, menos del 1% del tiempo el area de seguridad estara vacia (sin ningun cliente).

resolviendo para el tiempo de espera en la cola,

segundos

Esta demora excede el maximo establecido de 2 minutos (120 segundos). Por lo tanto es necesario incrementar el numero de servidores en el sistema . Las figuras que se muestran a continuación demuestran que los tiempos de demora aumentan de una manera súbita cuando el numero de servidores es bajo.

P0 ! µ( )2

n!----------------- ! µ( )s

s!----------------- 1

1 ! sµ( )–---------------------------# $% &+

s 1–

Variación de Probabilidad de Sistema Vacio (Po) con s

3 4 5 6 7 80

Numero de Servidores

Variación de L con s

3 4 5 60

Variación de Lq con s

3 4 5 60

Variación de Tiempo Promedio en Cola (Wq) con s

El resultado demuestra que 4 máquinas de rayos-X son necesarias para satisfacer el nivel de servicio deseado.

3 4 5 60

Limite de Tiempo de Espera

Variación de Tiempo en el Sistema (W) con s

3 4 5 60

Resultados para Partes (c) y (d)

c) El número promedio de pasajeros en el sistema con 4 servidores (s = 4) es,

L = 4.04 pasajeros en el dia tipico de 2010

d) La utilización del sistema es (4 máquinas de rayos-X)

" = ! / (sµ) = (1/25)/ (4*(1/45)) = 0.72

L"P0 !

µ---# $% &

s! 1 "–( )2----------------------- !

µ---+=

e) La probabilidad de mas de cuatro pasajeros que esperan servicio es la probabilidad de mas de ocho en el sistema

donde,

calculando, Pn > 8 is 0.0879.

P n 8>( ) 1 Pnn 0=

Pn ! µ( )n

n!-----------------P0= n s*

Pn ! µ( )n

s!sn s–-----------------P0= n s>

Modelo Básico M/G/1 (Un solo servidor)

Este model es parecido al descrito anteriormente

Notese que la distribucion de servicios es General (G) y por tanto se necesitan dos parametros para definir la media y desviación estandard del proceso de servicio

Definamos la taza media de servicios (entidades/tiempo) y la desviación estandard de los servicios (unidad es tiempo).

Entonces el modelo para estimar los tiempos en la cola es,

Wq! 1 µ( )2 ,2+[ ]2 1 ! µ–( )

------------------------------------=

Uso de las Ecuaciones de Little

Una vez encontrado el valor del tiempo promedio en la cola (Wq) podemos usar las ecuaciones de Little para encontrar otros parametros de interes,

El siguiente ejemplo illustra el uso de estas ecuaciones.

W Wq1µ---+=

L !W=Lq !Wq=

Ejemplo Ilustrativo # 3

Assumamos condiciones de operacion IFR a un aeródromo

• Llegadas aleatorias (random) a la pista 24 operaciones/hr

• Tiempo de servicio definido por separación de llegadas (120 s) con desviación estandard de 20 segundos

Pista 05R-23L

DistribucionGeneral

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Resultados del Sistema de Colas

Parametro Valor Numérico

24 aviones/hr

30 aviones por hora (promedio)ya que 120 segundos promedio entre ser-vicios resulta en 30 operaciones/hr

0.804.11 minutos por operacion

1.64 aviones en la cola

6.11 minutos por operacion2.44 aviones en el sistema de cola

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Variando la taza media de llegadas ( ) de 1 a 26 operaciones por hora se puede apreciar la variación las demoras (

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Variando la desviación estandard del servicio ( ) de 20 a 100 segundos se puede apreciar el cambio en el tiempo en cola (

= 20 segundos

= 100 segundos

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Implicaciones Para Uso Práctico

Los parametros de la cola varian de acuerdo a situaciones practicas de cada problema

a) Cuando la poblacion de aviones es homogenea y con control radar, se espera un valor de bajo (tal vez de 30-40 segundos)

b) Cuando la poblacion de aviones no es homogenea y con control radar se espera un valor alto de (tal vez de 60 segundos o mas)

c) La teoria de colas implica que cuando la capacidad ( ) es cercana a la demanda ( ) los tiempos de espera son muy altos

Cuando el factor de utilizacion de cola ( ) se acerca a 0.85-0.90 es necesario aumentar la capacidad del sistema

! µ "=

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Implicaciones Para Uso Practico (II)

El nivel de servicio de un sistema se puede medir en funcion de los parametros basicos derivados en teoria de colas. Principalmente,

utilización del sistema

tiempo en la cola (demoras en la cola)

número de entidades en la cola (estable)

Cada usuario puede especificar los valores de estos tres parametros para proporcionar un nivel de servicio adecuado. Diferentes paises utilizan diversos valores de , , y .

" !µ---=

" Wq Lq

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Modelos Determinísticos de Teoria de Colas

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Teoria de Colas Cuando la Demanda Excede la Capacidad

Las ecuaciones presentadas anteriormente no funcionan cuando la demanda ( ) excede la capacidad ( ) debido a que el factor de utilización,

es mayor que 1

Notese que todas las ecuaciones (4-9) requiren que para funcionar correctamente.

En aeródromos con suficiente demanda, es probable que durante periodos cortos, el valor de demanda ( ) exceda el valor de la capacidad ( ) de un subsistema. Entonces, es necesario usar otro criterio en teoria de colas para calcular las demoras.

" !µ---=

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Diagrama de Colas Determinísticas

Demanda

CapacidadFlujos

Flujo Acumulado

Capacidad Acumulada

Demanda

Deficit de Capacidad

Tiempo

Acumulada

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Parametros de Colas Determinísticas

La longitud de la cola, , (i.e., estado del sistema) corresponde a la distancia vertical entre las lineas de demand y capacidad acumuladas

• El tiempo de espera (o demora), , es la distancia horizontal

entre las lineas de demand y capacidad acumuladas para una entidad (avión o pasajero) que llega al tiempo

La demora total es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas

El tiempo promedio de demora per entidad (

) es el cociente de la demora total y el numero de entidades servidas o procesadas

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Definición de la Ecuacion Basica de Cola

Definamos el estado de la cola como la integral,

es el número de unidades en la cola (instantaneamente)

es la función de demanda (entidades por unidad de tiempo)

es la capacidad del sistema (entidades por unidad de tiempo)

Lt !t µt–( ) td0

Representacion para Analizar el Modelo Deterministico

La razon de cambio de la cola se puede expresar,

Esta ecuación se puede resolver integrando la derivada en función de tiempo. Para hacer el proceso mas facil, expresamos la ecuación (15) en forma diferencial finita,

Esta ecuación es facil de estimar usando una hoja de cálculo como Excel.

dLt !t µt–( )=

Lt Lt 1– !t µt–( ).t+=

Manifestacion de Colas Determinísticas (I)

Configuración del aerodromo de San Francisco (SFO)

Manifestación de Colas Determinísticas (II)

Capacidad del aerodromo SFO bajo condiciones IFR

grafico de:FAA 2001 Benchmarkreport

Manifestación de Colas Determinísticas (III)

Capacidad y demanda de SFO bajo condiciones IFR (15 minutos)

grafico de: FAA 2001 Benchmark report

Capacidad = 72 operaciones/hr (18 ops/ 15-min)

Observemos

De la figura enterior para el aeródromo de SFO, se observa que hay 11 intervalos de tiempo con periodos demanda mayor que la capacidad bajo condiciones IFR

Estos intervalos de tiempo son cortos pero propician la fomacion de colas en las pistas y en el area terminal

Usaremos un modelo de teoria de colas determinístico para estimar las demoras en este caso

Ejemplo 4 - Aeródromo Regional

Este ejemplo pronostica colas determinísticas para un aeródromo regional en donde se cierra pracialmente la terminal por un periodo de 2 horas (por una renovación)

Renovation

Descripción del Problema

! = 1500 para 0 < t < 1 (tiempo en horas)

! = 500 para t > 1

En donde, ! es la función demanda y t es el tiempo en horas.

La capacidad de la terminal (µ) es,

µ = 1000 para t < 2

µ = 1500 para t > 2

Un gráfico de ! y!µ!de!en!función!de!tiempo!ayudan!a!entender!el!problema

Gráfico del Problema 4

Demanda y capacidad para el problema 4

Tiempo (hr)

Flujo horario (pasajeros/hr)

1.0 2.0 3.0

capacidad (µ)

demanda (!)

Solución Numérica

Tabulación numérica usando hoja de cálculo

Simulation Time (hr)

State Variable(Lt)

Rate Variable(!t)

Rate Variable(µt)

Sum of Rates(!t-µt)

(Sum of Rates) .t

0 0.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0

0.2 100.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0

0.4 200.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0

0.6 300.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0

0.8 400.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0

1.0 500.0 500.0 1000.0 -500.0 -100.0

Los valores de and se asumen constantes entre cada intervalo de integración.

1.2 400.0 500.0 1000.0 -500.0 -100.0

1.4 300.0 500.0 1000.0 -500.0 -100.0

Simulation Time (hr)

State Variable(Lt)

Rate Variable(!t)

Rate Variable(µt)

Sum of Rates(!t-µt)

(Sum of Rates) .t

!t µt

Solución al Problem 4 (I)

Gráfico de flujos acumulados para entender el problema

12:57 PM 7/7/930.00 0.50 1.00 1.50 2.00

1000.00

2000.001: Passengers In 2: Passengers Served

Estado de la Cola (Lt)

Tiempo de Espera (Wt)

Solución al Problem 4 (II)

La demora total (Td) es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas

Td = 2 [(1/2)(1500-1000)] = 500 pasajeros-hora

a) El maximo numero de pasajeros, L(t) max es,

L(t)max = 1500 - 1000 = 500 pasajeros at tiempo t=1.0 hora

Solución al Problem 4 (III)

La demora promedio es la demora total (Td) dividida por el número de pasajeros afectados por la cola (Nd)

= 15 minutos

El promedio de pasajeros en cola se calcula como la demora total (Td) dividida por el tiempo de duración de la cola (td)

= 250 pasajeros

W TdNd

-----=

L Tdtq----- 500pasajeros-hora

2horas--------------------------------------------= =

Ejemplo 5 - Chicago O’Hare Cola Determinística

El ejemplo illustra el uso de colas determinísticas para calcular demoras en el aerodromo internatcional de Chicago (O’Hare Intl. Airport - ORD).

Los datos de demanda fueron extraidos de un dia típico de operaciones en ORD. Se uso el sistema ETMS (Enhanced Traffic Management System) para extraer dichos datos. La capacidad de 75 operaciones por hora se usa como valor de referencia.

ORD Cola Determinística

a) La capacidad ( ) se asume constante durante todo el dia para este problema. Su valor es 75 operaciones pro hora.

b) La demanda es variable a traves del dia.

La figura siguiente illustra el problema.

ORD Funciones de Demand y Capacidad

0 5 10 15 20

Time (hours)

ity (E

ntitie

TextEnd

Capacity (Supply)Demand

Solución Numérica

0 5 10 15 20

Time (hours)

ity (E

ntitie

TextEnd

0 5 10 15 20 250

TextEnd

Soluciones para Lt y la Integral de Lt

0 5 10 15 20 250

TextEnd

0 5 10 15 20 250

ntitie

TextEnd

Lt Function

Integral of Lt Function

Conclusiones

Teoria de colas es una herramienta útil para evaluar niveles de servicio, utilizacion y demoras en varias componentes del aerodromo

Teoria de colas puede estimar demoras causadas por dos fenomenos:

a) Llegadas an un aeródromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random)

b) Durante ciertos periodos de poca duración, la demanda excede la capacidad del aeródromo

Referencias (I)

1) Law, A.M. and W.D. Kelton, Simulation Modeling and Analysis: Second Edition, McGraw Hill, New York, 1991.

2) Hill, D.R., Object Oriented Analysis and Simulation, Addison-Wesley, Harlow, England 1996.

3) Hillier, M. and J. Lieberman, Introduction to Operations Research: 6th Edition, McGraw Hill, New York, 1996.

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