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Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y
Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Teoria de ColasAplicaciones en Aviación
Dr. Antonio A. TraniProfesor Asociado
Instituto Politécnico de Virginia
Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
Marzo 5-9, 2007
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Presentación
•
Teoria de colas y otros métodos de predicción de demoras
•
Principios matemáticos
•
Definiciones de un sistema de colas
•
Ejemplos
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Teoria de Colas y Otros Métodos para Estimar Niveles de
Servicio
•
Modelos análiticos
- Representa al sistema en forma exacta (por ejemplo teoria de colas)
•
Simulación Monte Carlo
- Descripcion de un sistema complejo con variables aleatorias (por lo general ignora el paso del tiempo)
•
Modelos de simulación continua
- Uso de ecuaciones diferenciales para estimar cambios del sistema aeroportuario
•
Simulación discreta
- Descipción de un sistema utilizando relaciones logicas para estimar cambios en el estado del sistema (cambios discretos)
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Teoria de Colas (Idea Basica)
Teoria de colas puede ser usada para el calculo rapido de niveles de servicio y demoras en subsitemas aeroportuarios
Clientes que llegan Clientes que parten Servidor
Cola
Sistema de la ColaFuente Potencial
PistaPatron de Espera(Cola - queue)
(Servidor)
(queueing system)
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Razones por la Manifestacion de Colas
Razón #1
Llegadas an un aerodromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random)
Este proceso aleatorio se analiza usando
modelos estocásticos
de colas
Razón # 2
Durante ciertos periodos de poca duracion, la demanda excede la capacidad del aerodromo
Este proceso se analiza usando
modelos deterministicos
de colas
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Manifestacion de Colas en el Espacio Aereo (Atlanta TMA)
!
Area!de!Colas!en!Fijo
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Colas se Manifiestan con Gran Numero de Aviones Recibiendo Vectores antes the Entrar en al Area Terminal
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Colas en Periodos Pico de Uso de Pistas (DFW)
!
Prediction!and!Control!of!Departure!Runway!Balancing!at!Dallas/Fort!Worth!AirportStephen!Atkins!and!Deborah!Walton
NASA!Ames!Research!Center,!Moffett!Field,!CA!94035-1000
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Modelos Estocásticos de Teoria de Colas
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Modelos Usados en Teoria de Colas
Dependiendo de las distribuciones de llegada y de servicio usadas, los modelos de colas se clasifican de la siguiente manera:
M = Distribucion exponencial (Markovianos)
D = Degenerados (tiempos constantes)
E(k) = Distribuciones tipo Erlang
G = Distribucion general
En 1953 David G. Kendall introdujo la nomenclatura A/B/C usada en la Teoria de Colas hoy en dia
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Notacion de Kendall
Un sistema se colas se designa: A/B/C
en donde,
A = funcion de llegada de clientes (aviones, pasajeros, etc.)
B = funcion de servicio de clientes (aviones, pasajeros,etc.)
C = Numero de servidores en el sistema de cola
Por ejemplo: un sistema de colas M/M/2
Se traduce como llegadas Poisson (i.e., tiempos entre llegadas exponenciales), tiempos de servicio exponenciales y el sistema tiene dos servidores
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Definiciones
Specificacion de una cola
•
Fuente de entrada (input population)
•
Disciplina de llegada (arrival discipline)
•
Mecanismo de servicio (service discipline)
•
Configuracion de la cola (service facility configuration)
•
Capacidad de la cola (queueing system capacity)
•
Clientes o entidades que reciben servicio (entities/clients)
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Definicion de Parametros en Teoria de Colas
Parametro Significado
Taza media de llegadas y servicios (clientes o entidades por unidad de tiempo)Taza media de servicio (clientes o entidades por unidad de tiempo)Numero de servidores en el sistema
Numero promedio esperado de clientes en el sistema de colasProbabilidad de que exactamente clientes esten en el sistema de colas
!
µ
s
L
Pn n
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Factor de uso del sistema de colasTiempo promedio en la colaTiempo promedio en el sistema de colas
Parametro Significado"
Wq
W
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Ecuaciones Fundamentales (derivadas por J.D. Little)
Cuando is constante, se sabe que,
(1)
(2)
(3)
Estas son tres ecuaciones fundamentales que explican el comportamiento de un cola en estado estable
Estado estable = cuando la cola alcanza un comportamiento estatico (despues de un lago tiempo)
!
L !W=Lq !Wq=
W Wq1µ---+=
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Modelo Basico M/M/s (Servidores Multiples)
Asumamos una poblacion infinita con tiempos de llagada y servicio constantes and
• Llegadas Poisson (aleatorias) con parametro
• Probabilidad de la funcion de tiempos de servicio es exponentiacial negativa con parametro
• Solo una llegada o servicio por periodo
Para mayor informacion sobre la teoria de colas consulta el libro: Operations Research (i.e., Hillier and Lieberman, 1996) o equivalente
! µ
!n
µn
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Ecuaciones con Servidores Multiples (I)
Factor de uso del sistema de cola
Probabilidades que existan zero y entidades/clientes en el sistema de cola
(4)
(5)
" ! sµ=
n
P0 1 ! µ( )n
n!----------------- ! µ( )s
s!----------------- 1
1 ! sµ( )–---------------------------# $% &+
n 0=
s 1–
'# $( )% &=
Pn
! µ( )n
n!-----------------P0
! µ( )n
s!sn s–-----------------P0#
((((%
=
0 n s* *
n s+
![Page 18: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/18.jpg)
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Ecuaciones con Servidores Multiples (II)
Numero promedio de entidades en el sistema de cola
(6)
Numero promedio de entidades en la cola
(7)
L"P0 !
µ---# $% &
s
s! 1 "–( )2----------------------- !
µ---+=
Lq"P0 !
µ---# $% &
s
s! 1 "–( )2-----------------------=
![Page 19: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/19.jpg)
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Ecuaciones con Servidores Multiples (III)
Tiempo promedio en la cola
(8)
Tiempo promedio en el sistema de colas (W) es,
(9)
WqLq!-----=
W L!---=
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Multi-server Queueing Equations (III)
Funcion de probabilidad de tiempos de servicio
(10)
si entonces usemos,
P W t>( ) e µt– 1P0 !
µ---# $% &
s
s! 1 "–( )--------------------- 1 e µt s 1– ! µ–( )––
s 1– ! µ–--------------------------------# $% &+=
s 1– ! µ– 0=
1 e µt s 1– ! µ–( )––s 1– ! µ–
-------------------------------- µt=
![Page 21: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/21.jpg)
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Ejemplo # 1
Assumamos condiciones de operacion IFR a un aerodromo
• Llegadas aleatorias (random) a un fijo comun es de 45 aviones/hr
• Tiempo de servicio definido por separacion de llegadas (120 s) (exponencial negativa)
Runway 09L-27R
Runway 09R-27L
1525 m
Fijo comun dellegadas
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Resultados del Sistema de Colas
Parametro Valor Numerico
45 aviones/hr
30 aviones por pista por hora (promedio)
0.143
0.750
3.42 aviones (incluye los que estan en ser-vicio)2.57 minutos por operacion4.57 minutos por operacion
!
µ
Po
"
L
Wq
W
![Page 23: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/23.jpg)
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Análisis de Sensibilidad del Sistema
Variando la taza media de llegadas ( ) de 20 to 55 por hora se puede apreciar la variación (no lineal) en las demoras.
!
20 25 30 35 40 45 50 550
2
4
6
8
10
12
Arrival Rate (Aircraft/hr)
Wai
ting
Tim
e (m
in)
Taza Media de Llegadas (aviones/hora)
Prom
edio
de
Tiem
po d
e D
emor
a (m
inut
os/a
vion
)
![Page 24: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/24.jpg)
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Variación del Parametro en Función de la Demanda
El diagrama muestra la variación del numero de aviones esperando en la cola en contra de la función demanda
Lq
20 25 30 35 40 45 50 550
2
4
6
8
10
Arrival Rate (Aircraft/hr)
Holdi
ng A
ircra
ft
en la
Col
a (a
vion
es)
Num
ero
de A
vion
es E
sper
ando
Taza Media de Llegadas (aviones/hora)
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Ejemplo # 2: Nivel de Servicio en una Terminal del Aeropuerto (Area de Seguridad)
El aeropuerto que se muestra en las siguientes figuras tiene dos sistemas de rayos-X. Un muestreo revela que en promedio, a un pasajero le toma 45 segundos pasar por el area de seguridad (asumamos que la función de distribución de servicio es exponencial negativa)
Los pasajeros llegan al area de seguridad en forma aleatoria (desorganizada) (esto equivale a una función Poisson de llegadas). En promedio, un pasajero llega cada 25 segundos al area de seguridad.
En el futuro (2010), se espera que la función demanda aumente en un 60% con respecto a la demanda actual.
![Page 26: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/26.jpg)
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Preguntas Tipicas en Teoria de Colas
a) Cual es el factor de utlización de las maquinas rayos-X hoy en dia?
b) Cuantas maquinas de rayos-X se deben disponer en el futuro (2010) para dar un nivel de servicio tal que el pasajero promedio no espere mas de 2 minutos en la cola?
c) Cual es el numero de pasajeros en area de seguridad (incluyendo aquellos pasajeros que estan en los servidores) en ano 2010?
d) Usando la solucion (b) cual es la utilización de las maquinas de rayos-X?
e) Cual es la probabilidad que en al ano 2010 mas the 4 pasajeros esperen el la cola?
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Terminal Aeroportuaria (Ejemplo # 2)
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Diagrama del Area de Seguridad
Q i S t S i F ilit
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Solución a la Parte (a)
a) La utilización se denota,
"
. Usando las ecuaciones anteriores para
"
.
" = ! / (s µ ) = 140/(2*80) = 0.90
Los otros parametros del sistema de colas se pueden calcular usando ecuaciones 1-6. Probabilidad que el sistema esta vacio (
P
0
) = 0.053 Número de pasajeros (promedio) en la cola (
Lq
) = 7.67 Número de pasajeros (promedio) en el sistema (
L
) = 9.4737 Tiempo promedio en la cola = 192 segundos Tiempo promedio en el sistema de colas = 237 segundos
![Page 30: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/30.jpg)
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b) La solución para encontrar el numero de máquinas de rayos-X con un determinado tiempo de servicio no se puede encontrar algebraicamente.
Las ecuaciones (7) y (8)
y
No tienen una solucion analítica si se conoce el tiempo de espera en la cola (
W
q
).
Sin embargo podemos resolver dichas ecuaciones asumiendo valores de
s
hasta que el nivel de servicio requerido sea obtenido.
Come primera alternativa, asumamos que el numero de máquinas de rayos-X sea 3 (
s=3
).
Lq"P0 !
µ---# $% &
s
s! 1 "–( )2-----------------------= Wq
Lq!-----=
![Page 31: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/31.jpg)
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Encontramos primero
Po
,
Po = .0097 o bien, menos del 1% del tiempo el area de seguridad estara vacia (sin ningun cliente).
resolviendo para el tiempo de espera en la cola,
Wq
= 332
segundos
Esta demora excede el maximo establecido de 2 minutos (120 segundos). Por lo tanto es necesario incrementar el numero de servidores en el sistema . Las figuras que se muestran a continuación demuestran que los tiempos de demora aumentan de una manera súbita cuando el numero de servidores es bajo.
P0 ! µ( )2
n!----------------- ! µ( )s
s!----------------- 1
1 ! sµ( )–---------------------------# $% &+
n 0=
s 1–
'=
![Page 32: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/32.jpg)
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Variación de Probabilidad de Sistema Vacio (Po) con s
3 4 5 6 7 80
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Numero de Servidores
Prob
abili
dad
del S
istem
a Va
cio
![Page 33: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/33.jpg)
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Variación de L con s
3 4 5 60
5
10
15
20
25
30
Num
ero
de P
asaj
eros
en
Are
a de
Seg
urid
ada
Numero de Servidores
![Page 34: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/34.jpg)
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Variación de Lq con s
3 4 5 60
5
10
15
20
25
Numero de Servidores
Num
ero
de P
asaj
eros
en
la C
ola
![Page 35: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/35.jpg)
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Variación de Tiempo Promedio en Cola (Wq) con s
El resultado demuestra que 4 máquinas de rayos-X son necesarias para satisfacer el nivel de servicio deseado.
3 4 5 60
50
100
150
200
250
300
350
Limite de Tiempo de Espera
Numero de Servidores
Tiem
po P
rom
edio
en
la C
ola
(seg
undo
s)
![Page 36: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/36.jpg)
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Variación de Tiempo en el Sistema (W) con s
3 4 5 60
50
100
150
200
250
300
350
400
Numero de Servidores
Tiem
po e
n el
Sist
ema
de C
olas
(seg
undo
s)
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Resultados para Partes (c) y (d)
c) El número promedio de pasajeros en el sistema con 4 servidores (s = 4) es,
L = 4.04 pasajeros en el dia tipico de 2010
d) La utilización del sistema es (4 máquinas de rayos-X)
" = ! / (sµ) = (1/25)/ (4*(1/45)) = 0.72
L"P0 !
µ---# $% &
s
s! 1 "–( )2----------------------- !
µ---+=
![Page 38: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/38.jpg)
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e) La probabilidad de mas de cuatro pasajeros que esperan servicio es la probabilidad de mas de ocho en el sistema
donde,
if
if
calculando, Pn > 8 is 0.0879.
P n 8>( ) 1 Pnn 0=
8
'–=
Pn ! µ( )n
n!-----------------P0= n s*
Pn ! µ( )n
s!sn s–-----------------P0= n s>
![Page 39: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/39.jpg)
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Modelo Básico M/G/1 (Un solo servidor)
Este model es parecido al descrito anteriormente
Notese que la distribucion de servicios es General (G) y por tanto se necesitan dos parametros para definir la media y desviación estandard del proceso de servicio
Definamos la taza media de servicios (entidades/tiempo) y la desviación estandard de los servicios (unidad es tiempo).
Entonces el modelo para estimar los tiempos en la cola es,
(11)
µ ,
Wq! 1 µ( )2 ,2+[ ]2 1 ! µ–( )
------------------------------------=
![Page 40: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/40.jpg)
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Uso de las Ecuaciones de Little
Una vez encontrado el valor del tiempo promedio en la cola (Wq) podemos usar las ecuaciones de Little para encontrar otros parametros de interes,
(12)
(13)
(14)
El siguiente ejemplo illustra el uso de estas ecuaciones.
W Wq1µ---+=
L !W=Lq !Wq=
![Page 41: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/41.jpg)
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Ejemplo Ilustrativo # 3
Assumamos condiciones de operacion IFR a un aeródromo
• Llegadas aleatorias (random) a la pista 24 operaciones/hr
• Tiempo de servicio definido por separación de llegadas (120 s) con desviación estandard de 20 segundos
Pista 05R-23L
DistribucionGeneral
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Resultados del Sistema de Colas
Parametro Valor Numérico
24 aviones/hr
30 aviones por hora (promedio)ya que 120 segundos promedio entre ser-vicios resulta en 30 operaciones/hr
0.804.11 minutos por operacion
1.64 aviones en la cola
6.11 minutos por operacion2.44 aviones en el sistema de cola
!
µ
"
Wq
Lq
W
L
![Page 43: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/43.jpg)
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Análisis de Sensibilidad del Sistema
Variando la taza media de llegadas ( ) de 1 a 26 operaciones por hora se puede apreciar la variación las demoras (
Wq
)!
![Page 44: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/44.jpg)
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Análisis de Sensibilidad del Sistema
Variando la desviación estandard del servicio ( ) de 20 a 100 segundos se puede apreciar el cambio en el tiempo en cola (
Wq
),
,
= 20 segundos
,
= 100 segundos
![Page 45: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/45.jpg)
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Implicaciones Para Uso Práctico
Los parametros de la cola varian de acuerdo a situaciones practicas de cada problema
a) Cuando la poblacion de aviones es homogenea y con control radar, se espera un valor de bajo (tal vez de 30-40 segundos)
b) Cuando la poblacion de aviones no es homogenea y con control radar se espera un valor alto de (tal vez de 60 segundos o mas)
c) La teoria de colas implica que cuando la capacidad ( ) es cercana a la demanda ( ) los tiempos de espera son muy altos
Cuando el factor de utilizacion de cola ( ) se acerca a 0.85-0.90 es necesario aumentar la capacidad del sistema
,
,
µ
!
! µ "=
![Page 46: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/46.jpg)
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Implicaciones Para Uso Practico (II)
El nivel de servicio de un sistema se puede medir en funcion de los parametros basicos derivados en teoria de colas. Principalmente,
utilización del sistema
tiempo en la cola (demoras en la cola)
número de entidades en la cola (estable)
Cada usuario puede especificar los valores de estos tres parametros para proporcionar un nivel de servicio adecuado. Diferentes paises utilizan diversos valores de , , y .
" !µ---=
Wq
Lq
" Wq Lq
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Modelos Determinísticos de Teoria de Colas
![Page 48: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/48.jpg)
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Teoria de Colas Cuando la Demanda Excede la Capacidad
Las ecuaciones presentadas anteriormente no funcionan cuando la demanda ( ) excede la capacidad ( ) debido a que el factor de utilización,
es mayor que 1
Notese que todas las ecuaciones (4-9) requiren que para funcionar correctamente.
En aeródromos con suficiente demanda, es probable que durante periodos cortos, el valor de demanda ( ) exceda el valor de la capacidad ( ) de un subsistema. Entonces, es necesario usar otro criterio en teoria de colas para calcular las demoras.
! µ
" !µ---=
" 1<
!
µ
![Page 49: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/49.jpg)
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Diagrama de Colas Determinísticas
Demanda
CapacidadFlujos
Flujo Acumulado
Capacidad Acumulada
Demanda
Deficit de Capacidad
Tiempo
L
t
W
t
t
1
t
2
Acumulada
![Page 50: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/50.jpg)
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Parametros de Colas Determinísticas
•
La longitud de la cola, , (i.e., estado del sistema) corresponde a la distancia vertical entre las lineas de demand y capacidad acumuladas
• El tiempo de espera (o demora), , es la distancia horizontal
entre las lineas de demand y capacidad acumuladas para una entidad (avión o pasajero) que llega al tiempo
•
La demora total es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas
•
El tiempo promedio de demora per entidad (
Wq
) es el cociente de la demora total y el numero de entidades servidas o procesadas
Lt
Wt
t1
![Page 51: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/51.jpg)
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Definición de la Ecuacion Basica de Cola
Definamos el estado de la cola como la integral,
es el número de unidades en la cola (instantaneamente)
es la función de demanda (entidades por unidad de tiempo)
es la capacidad del sistema (entidades por unidad de tiempo)
Lt
Lt !t µt–( ) td0
t
-=
Lt
!t
µt
![Page 52: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/52.jpg)
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Representacion para Analizar el Modelo Deterministico
La razon de cambio de la cola se puede expresar,
(15)
Esta ecuación se puede resolver integrando la derivada en función de tiempo. Para hacer el proceso mas facil, expresamos la ecuación (15) en forma diferencial finita,
Esta ecuación es facil de estimar usando una hoja de cálculo como Excel.
Lt
td
dLt !t µt–( )=
td
dLt
Lt Lt 1– !t µt–( ).t+=
![Page 53: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/53.jpg)
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Manifestacion de Colas Determinísticas (I)
Configuración del aerodromo de San Francisco (SFO)
![Page 54: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/54.jpg)
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Manifestación de Colas Determinísticas (II)
Capacidad del aerodromo SFO bajo condiciones IFR
grafico de:FAA 2001 Benchmarkreport
![Page 55: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/55.jpg)
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Manifestación de Colas Determinísticas (III)
Capacidad y demanda de SFO bajo condiciones IFR (15 minutos)
grafico de: FAA 2001 Benchmark report
Capacidad = 72 operaciones/hr (18 ops/ 15-min)
![Page 56: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/56.jpg)
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Observemos
De la figura enterior para el aeródromo de SFO, se observa que hay 11 intervalos de tiempo con periodos demanda mayor que la capacidad bajo condiciones IFR
Estos intervalos de tiempo son cortos pero propician la fomacion de colas en las pistas y en el area terminal
Usaremos un modelo de teoria de colas determinístico para estimar las demoras en este caso
![Page 57: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/57.jpg)
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Ejemplo 4 - Aeródromo Regional
Este ejemplo pronostica colas determinísticas para un aeródromo regional en donde se cierra pracialmente la terminal por un periodo de 2 horas (por una renovación)
Renovation
![Page 58: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/58.jpg)
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Descripción del Problema
! = 1500 para 0 < t < 1 (tiempo en horas)
! = 500 para t > 1
En donde, ! es la función demanda y t es el tiempo en horas.
La capacidad de la terminal (µ) es,
µ = 1000 para t < 2
µ = 1500 para t > 2
Un gráfico de ! y!µ!de!en!función!de!tiempo!ayudan!a!entender!el!problema
![Page 59: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/59.jpg)
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Gráfico del Problema 4
Demanda y capacidad para el problema 4
Tiempo (hr)
1500
1000
500
Flujo horario (pasajeros/hr)
1.0 2.0 3.0
capacidad (µ)
demanda (!)
![Page 60: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/60.jpg)
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Solución Numérica
Tabulación numérica usando hoja de cálculo
Simulation Time (hr)
State Variable(Lt)
Rate Variable(!t)
Rate Variable(µt)
Sum of Rates(!t-µt)
(Sum of Rates) .t
0 0.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0
0.2 100.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0
0.4 200.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0
0.6 300.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0
0.8 400.0 1500.0 1000.0 500.0 100.0
1.0 500.0 500.0 1000.0 -500.0 -100.0
![Page 61: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/61.jpg)
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Los valores de and se asumen constantes entre cada intervalo de integración.
1.2 400.0 500.0 1000.0 -500.0 -100.0
1.4 300.0 500.0 1000.0 -500.0 -100.0
Simulation Time (hr)
State Variable(Lt)
Rate Variable(!t)
Rate Variable(µt)
Sum of Rates(!t-µt)
(Sum of Rates) .t
!t µt
![Page 62: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/62.jpg)
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Solución al Problem 4 (I)
Gráfico de flujos acumulados para entender el problema
12:57 PM 7/7/930.00 0.50 1.00 1.50 2.00
Time
1 :
1 :
1 :
2 :
2 :
2 :
0.00
1000.00
2000.001: Passengers In 2: Passengers Served
1
1
1
1
2
2
2
2
Estado de la Cola (Lt)
Tiempo de Espera (Wt)
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Solución al Problem 4 (II)
La demora total (Td) es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas
Td = 2 [(1/2)(1500-1000)] = 500 pasajeros-hora
a) El maximo numero de pasajeros, L(t) max es,
L(t)max = 1500 - 1000 = 500 pasajeros at tiempo t=1.0 hora
![Page 64: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/64.jpg)
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Solución al Problem 4 (III)
La demora promedio es la demora total (Td) dividida por el número de pasajeros afectados por la cola (Nd)
= 15 minutos
El promedio de pasajeros en cola se calcula como la demora total (Td) dividida por el tiempo de duración de la cola (td)
= 250 pasajeros
W TdNd
-----=
L Tdtq----- 500pasajeros-hora
2horas--------------------------------------------= =
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Ejemplo 5 - Chicago O’Hare Cola Determinística
El ejemplo illustra el uso de colas determinísticas para calcular demoras en el aerodromo internatcional de Chicago (O’Hare Intl. Airport - ORD).
Los datos de demanda fueron extraidos de un dia típico de operaciones en ORD. Se uso el sistema ETMS (Enhanced Traffic Management System) para extraer dichos datos. La capacidad de 75 operaciones por hora se usa como valor de referencia.
![Page 66: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/66.jpg)
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ORD Cola Determinística
a) La capacidad ( ) se asume constante durante todo el dia para este problema. Su valor es 75 operaciones pro hora.
b) La demanda es variable a traves del dia.
La figura siguiente illustra el problema.
µt
!t
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ORD Funciones de Demand y Capacidad
0 5 10 15 20
0
20
40
60
80
100
Time (hours)
Dem
and
or C
apac
ity (E
ntitie
s/tim
e)
TextEnd
Capacity (Supply)Demand
![Page 68: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/68.jpg)
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Solución Numérica
0 5 10 15 20
0
20
40
60
80
100
Time (hours)
Dem
and
or C
apac
ity (E
ntitie
s/tim
e)
TextEnd
0 5 10 15 20 250
10
20
30
40
Time
Entit
ies
in Q
ueue
TextEnd
![Page 69: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/69.jpg)
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Soluciones para Lt y la Integral de Lt
0 5 10 15 20 250
10
20
30
40
Time
Entit
ies
in Q
ueue
TextEnd
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
Time
Tota
l Del
ay (E
ntitie
s-tim
e)
TextEnd
Lt Function
Integral of Lt Function
![Page 70: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/70.jpg)
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Conclusiones
Teoria de colas es una herramienta útil para evaluar niveles de servicio, utilizacion y demoras en varias componentes del aerodromo
Teoria de colas puede estimar demoras causadas por dos fenomenos:
a) Llegadas an un aeródromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random)
b) Durante ciertos periodos de poca duración, la demanda excede la capacidad del aeródromo
![Page 71: T e o r ia d e C o la s A p lic a c io n e s e n A v ia c i n128.173.204.63/courses/ipn/teoria_de_colas_aplicaciones.pdfT eoria de Colas y Otr os M todos para Estimar Ni v eles de](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022071406/60fc33aa1349c52a14377d06/html5/thumbnails/71.jpg)
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Referencias (I)
1) Law, A.M. and W.D. Kelton, Simulation Modeling and Analysis: Second Edition, McGraw Hill, New York, 1991.
2) Hill, D.R., Object Oriented Analysis and Simulation, Addison-Wesley, Harlow, England 1996.
3) Hillier, M. and J. Lieberman, Introduction to Operations Research: 6th Edition, McGraw Hill, New York, 1996.