notion de viscosité ; nombre de reynolds i) notions de viscosité 1) rappels

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

I) Notions de viscosité

1) Rappels

Actions de contact : Cas de la dynamique

dFn dS

Particule de fluide

Fluide ambiant

n

dF = dFn + dFt

dFt dF

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

I) Notions de viscosité

1) Rappels2) Force de viscosité dans les fluides

newtoniensa) Relation de Newton

v(M,t) = vx(y,t).ux

O

x

y

(R)vx(y,t)

z

Localement, les particules de fluide tournent autour d’un axe porté par Oz

Relation de Newton

Ox

y

y

vx(y + dy,t)y + dy

vx(y,t)gradvxdS

η xvd dS.

yt,sup/inf xF u

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

I) Notions de viscosité

1) Rappels2) Force de viscosité dans les fluides

newtoniensa) Relation de Newton

b) Notion de viscosité

Ordres de grandeur :

air 1,8.10–5 Pl ;

eau 10–3 Pl ;

huile 1 Pl ;

graisse 103 Pl à température ambiante ;

verre 10 Pl à 1400°C ;

verre 1013 Pl à 500°C ;

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

I) Notions de viscosité

3) Transport de quantité de mouvement par diffusion

a) Force volumique de viscosité

Force volumique de viscosité

Ox

y

y

dF(y + dy/2)y + dy/2

vx(y)

dS

y – dy/2dF(y – dy/2)

η2

x2

v

yv xf u

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

I) Notions de viscosité

3) Transport de quantité de mouvement par diffusion

a) Force volumique de viscosité

b) L’équation de Navier – Stokes

L’équation de Navier – Stokes

En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

ρ ρ η Δ . . P .tv

v grad v g grad v

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

I) Notions de viscosité

3) Transport de quantité de mouvement par diffusion

a) Force volumique de viscosité

b) L’équation de Navier – Stokes

c) Diffusion de quantité de mouvement

L’équation de Navier – Stokes

En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

ρ ρ η Δ . . P .tv

v grad v g grad v

Mode de diffusion Diffusion de particules Diffusion thermique Diffusion de quantité de mouvement volumique

Equation de diffusion n* : densité de particules T : température .v :

densité volumique de quantité de mouvement

Coefficient de diffusion (m2.s–1) D : diffusivité

Dth :

diffusivité thermique : viscosité cinématique

2

2n n

Dt y* *

2

th 2T T

Dt y

ρ ρν

2

2( . ) ( . )

t yv v

Ordres de grandeur :

air 1,8.10–5 Pl ; air 1,3 kg.m–3 ;

air 1,4.10–5 m2.s–1 ;

eau 10–3 Pl ; eau 1,0.103 kg.m–3 ;

eau 1,0.10–6 m2.s–1 ;

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

II) Nombre de Reynolds d’un écoulement

1) Les différents transports de quantité de mouvement

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

II) Nombre de Reynolds d’un écoulement

1) Les différents transports de quantité de mouvement

a) Transport par convection

Transport par convection

Le transport par convection est un transport de quantité de mouvement volumique parallèlement à la direction de l’écoulement

Transport par convection

v.dt

dm dS

v

Transfert convectif dpc de quantité de

mouvement

Transport par convection

On définit le débit convectif de quantité de mouvement par unité de surface par :

δρ

22x

p xp

D vdS.dt

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

II) Nombre de Reynolds d’un écoulement

1) Les différents transports de quantité de mouvement

a) Transport par convection

b) Transport par diffusion

Transport par diffusion

Le transport par diffusion est un transport de quantité de mouvement volumique perpendiculairement à la direction de l’écoulement

Transport par diffusion

x

y

y + dy

y

vx(y + dy)

vx(y)

gradvx(y)

Transfert diffusif dpd de quantité de mouvement

dS

Transport par diffusion

On définit le débit diffusif de quantité de mouvement par unité de surface par :

δη

2 'x x

pp v

D dS.dt y

'

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

II) Nombre de Reynolds d’un écoulement

2) Le nombre de Reynolds

a) Définition

pe

p

DR

D'

On appelle nombre de Reynolds Re, le rapport positif sans dimension :

Définition :

Description Nombre de ReynoldsÉvolution du manteau terrestre 10–20

Glacier 10–11

Bactéries dans l’eau 10–5

Spermatozoïdes dans le liquide séminal 10–3

Bille qui tombe dans du miel 10–2

Poisson d’aquarium 102

Nageur dans l’eau 105

Serpent dans l’eau 106

Oiseau 106

Gros poisson dans l’eau 108

νeL.U

R

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

II) Nombre de Reynolds d’un écoulement

2) Le nombre de Reynolds

a) Définition

b) Autres définitions du nombre de Reynolds

L’équation de Navier – Stokes

En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

ρ ρ η Δ . . P .tv

v grad v g grad v

Autres définitions du nombre de Reynolds

ν ν Δe( . )L.U accélération convective

R accélération diffusive

v grad vv

Autres définitions du nombre de Reynolds

τν τ

de

c

L.UR

etemps caractéristique de diffusion

R temps caractéristique de convection

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

II) Nombre de Reynolds d’un écoulement

2) Le nombre de Reynolds

a) Définition

b) Autres définitions du nombre de Reynolds

c) Interprétation du nombre de Reynolds

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

II) Nombre de Reynolds d’un écoulement

3) La classification des écoulements

a) Les écoulements laminaires et turbulents

Re < 1

L’écoulement est laminaire rampant

Re = 10

L’écoulement est laminaire

Re = 13

Re = 26

Re 2.103

L’écoulement est turbulent

Re 105

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

II) Nombre de Reynolds d’un écoulement

3) La classification des écoulements

a) Les écoulements laminaires et turbulents

b) Réflexion sur l’écoulement parfait

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle

1) Le paradoxe de d’Alembert

Fluide en mouvement

Ov0v0

P0 P0

v, P

Le fluide parfait

Un fluide ne peut être considéré comme parfait qu’en dehors de la couche limite et du sillage

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle

1) Le paradoxe de d’Alembert

2) Écoulement autour d’un obstacle

L’écoulement parfait est un modèle d’écoulement à fort nombre de Reynolds en dehors de la couche limite et du sillage

Définition :

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle

1) Le paradoxe de d’Alembert

2) Écoulement autour d’un obstacle

3) Description d’un écoulement autour d’une sphère

Pour les valeurs de Re inférieures à 1, l'écoulement est laminaire et approximativement linéaire.Les lignes de courant ont l'allure représentée ci – contre. Cx est inversement proportionnel à Re.

Pour des valeurs de Re supérieures à 1 (de l'ordre de Re 20), il apparaît un tourbillon torique stable derrière la sphère. Les dimensions de ce tourbillon augmentent avec le nombre de Reynolds.

Ce tourbillon finit par occuper toute la partie arrière de la sphère, pour des nombres de Reynolds de l'ordre de 300 à 450.

À partir de Re voisin de 450,le tourbillon se détache, en prenant une forme hélicoïdale.Ce tourbillon a pour conséquence l'existence d'une force transversale «tournante» s'exerçant sur la sphère

Pour Re 1000, l'écoulement n'est plus régulier :il se forme un sillage, zone turbulente et chaotique derrière la sphère.Le point de décrochement de la couche limite est situé en « avant » de la sphère.

Si Re devient très grand, (Re > 5.105), le sillage diminue d'importance.Les tourbillons évoluent de façon chaotique. Il n'est plus possible de décrire simplement l'écoulement qui devient turbulent.Alors que précédemment la couche limite était laminaire, elle devient turbulente : elle se décroche vers l’arrière

Application à la balle de golf :

Dans les mêmes conditions de lancement, une balle de golf (bosselée) va plus loin qu’une balle lisse.Autour de la balle de golf, il existe une couche limite turbulente tandis qu’autour de la balle lisse la couche limite est laminaire. Le Cx de la balle de golf est moins élevé que celui de la balle lisse pour le même nombre de Reynolds.

Description Nombre de ReynoldsÉvolution du manteau terrestre 10–20

Glacier 10–11

Bactéries dans l’eau 10–5

Spermatozoïdes dans le liquide séminal 10–3

Bille qui tombe dans du miel 10–2

Poisson d’aquarium 102

Nageur dans l’eau 105

Serpent dans l’eau 106

Oiseau 106

Gros poisson dans l’eau 108

νeL.U

R

Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds

4) Évolution de la force de traînée

III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle

1) Le paradoxe de d’Alembert

2) Écoulement autour d’un obstacle

3) Description d’un écoulement autour d’une sphère

Evolution du coefficient de traînée Cx(Re) d'une sphère lisse