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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoEquaes de Poisson e de Laplace
Lei de Gauss (Forma Pontual) = 1 Equao de Maxwell: VD =
Como ED
.= : ( ) VE =
.
VE=
Mas como gradVE =
: ( )
VV =
Obs.: ( )V
o divergente do gradiente, que o Laplaciano ( )2
Logo:
VV
=2
Mudana de notao a partir deste ponto: V passa a ser identificado co-
mo (no confundir com das coordenadas cilndricas e esfricas).
V= 2 Equao de Poisson
Para 0=V : Equao de Laplace02 =
1
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoClculo do Laplaciano
1 - Coordenadas Cartesianas:
2
2
2
2
2
2
2
zyx
+
+
=
2 - Coordenadas Cilndricas:
2
2
2
2
2
2 11
z
+
+
=
3 - Coordenadas Esfricas:
2
2
222
2
2
2
.
1
.
11
+
+
=
senrsen
senrrr
rr
2
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoNa superfcie do condutor interno, r = a e V= : B
a
AV += .
Pela segunda condio de contorno (fronteira), tem-se r = b e , logo:0=
Bb
A+=0
Resolvendo o sistema de equaes:
=+
=+
0Bb
A
VBa
A
=ba
V
A 11 e
=1
ab
V
B
O potencial (distribuio de potenciais) resulta:
=br
ba
V 11
11
A distribuio de campos eltricos pode ser obtida a partir de: =
E .
Deste modo, tem-se:
rarE
= , pois varia apenas com r.
Logo: rar
ba
VE
2
1.
11
=
Para o clculo da capacitncia, deveremos obter o valor da carga arma-
zenada no capacitor. Para isto, convm aplicar a Lei de Gauss:
4
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo
QSdD =
QSdE =
.0
=
2
0 0
2
20 ....
1
.11 ddsenaaba
V
Q
( )
=
ba
VQ
11..2.cos
00
=
ba
VQ
11
...40
A capacitncia a relao entre a carga e a ddpaplicada, ou seja:
V
QC=
=
ba
C11
..40
5
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio 2: Considere um capacitor de placas planas e paralelas composto
por duas camadas dieltricas. Obtenha a distribuio de potenciais, campos
eltricos e capacitncia empregando equaes de Laplace e condies de con-
torno (fronteira).
Resoluo:
Aplicando Laplace: 02
2
=
z
( ) BzAz += .1 para 1 = ( ) Vz == 01
( ) GzFz += .2 para 2 = ( ) ( )1211 dzdz ===
( ) 02 == dz
Tem-se tambm: ( ) ( )1211 .. dzzDdzzD ===
Como ED .= , resolvendo o sistema de quatro equaes e quatro incg-
nitas, lembrando que ( ) ( )1211 .. dzzDdzzD === , corresponde a:
( ) ( )122111
.... dzzEdzzE ===
Como := gradE ( ) ( )11
2211..
dzdzgradgrad
===
( ) ( )zz aFaA
....21
=
Ou seja: FA .. 21 = e AF2
1
=
6
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoTem-se ento:
+
=
2
1
21.
dd
VA
VB =
2
1.
AF=
( )FddG .21 +=
E: ( ) Vdd
zVz +
+
=
2
1
21
1
.
.
e ( )
( )[ ]
2
1
21
21
2
1
2
.
..
dd
ddzV
z
+
+
=
( ) zz add
VE
2
1
21
11
.
+
== e ( ) zz add
V
E
2
1
21
2
1
22
.
.
+
==
Note que: SzDzE == ...
111
( )
2
1
21
1
1
.
.
2
ddV
CV
rea
ddp
QC Sreadeunidadepor
m
S
+
====
7
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo
Exerccio 3: Anlise do caso do capacitor cilndrico.
Neste caso a equao de Laplace se simplifica de modo que:
01
=
ou seja, 0
1=
d
d
d
d
Supondo que 0 : 0=
d
d
d
d
Integrando: Ad
d=
Rearranjando e integrando mais uma vez, tem-se:
A
dd =
( ) BA += ln.
8
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoAs superfcies equipotenciais so dadas por = constante e so cilin-
dros. Para em0
V= a= e 0= em b= :
+=+=BbABaAV
ln.0
ln.0
Resolvendo: ba
bVB ln.ln.
0
=
=
a
bVA ln.
0
Ento: ba
bV
a
bV ln.ln.ln.ln.
00
=
=
ba
bV
ln.ln.
0
=
b
a
bV
ln
ln
0
=
a
b
b
V
ln
ln
0
Para o campo eltrico:
a
d
dE
==
a
a
bV
d
d
=
ln
110
Ou seja:
a
a
b
VE
=
ln
10
9
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoClculo da capacitncia:
=
=
a
ba
VDna
ln.
. 00
LaDnQa
...2. =
=
Assumindo L = 1m:
=
=
a
b
Va
a
ba
VQ
ln
.2....2
ln.
.0000
Como a capacitncia dada pela relao entre a carga armazenada e a
ddpaplicada:
0V
QC=
=
a
bC
ln
..20
Para um comprimento L genrico:
=
a
b
LC
ln
...20
10
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio 4: Considerando agora uma distribuio tal que seja funo ape-
nas de , em coordenadas cilndricas, como mostra a figura:
Nota-se a presena de dois planos infinitos radiais com um ngulo interno
. H um isolante infinitesimal em 0= . O campo potencial pode ser encon-
trado aplicando-se a equao de Laplace em coordenadas cilndricas, conforme
descrito a seguir:
Equao de Laplace: 01
2
2
2=
Supondo 0 : 02
2
=
d
d
A soluo do tipo BA += . . As condies de contorno permitem de-
terminar as constantes A e B:
+=
+=
BA
BAV
0.0
.0
0V
A = e 0=B
11
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoOu seja:
0V
=
Como e= gradE
zazaagrad
+
+
=
1
Sendo que apenas as componentes em
a
interessam:
=
aE 1
Ou seja:
=
a
VE
01
Assim:
aV
E
.
0=
Notar que E
funo de mas no de , apesar de estar orientado se-
gundo . Notar tambm como as equipotenciais de distribuem, em planos in-
termedirios que cortam as linhas de campo eltrico sempre perpendicular-
mente. Esta uma caracterstica bsica do comportamento de
a
E
e :
321VVV >>
12
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExemplo de Soluo da Equao de Poisson
A regio entre dois cilindros condutores coaxiais, com raios ae b, confor-
me mostrado na figura, contm uma densidade volumtrica de carga uniforme
V . Se o campo eltrico E
e o potencial so ambos nulos no cilindro inter-
no, determinar a expresso matemtica que fornece o potencial na regio
entre os condutores assumindo que sua permissividade seja igual do vcuo.
Resoluo:
Equao de Poisson:0
2
V=
0
1
V=
Integrando: AV +
=
2.
2
0
AV +
=
0.2
(I)
Sabe-se que: =
E
Logo:
aE
=
EE =
=
(II)
Substituindo (II) em (I):
AE V +
==
0.2
13
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo1 Condio de contorno: obteno de A: 0=E para a= :
Logo:a
AaV +
=
0.2
0
2
0.2
aA V
=
Ento:
..2
.
.20
2
0
aVV +
=
Integrando: BaVV ++
=
ln
.2
.
2.20
22
0
2 Condio de contorno: obteno de B: 0= para a= :
Baaa VV ++
= ln
.2
.
2.20
0
22
0
aaa
B VV ln.2
.
.4
.
0
2
0
2
=
Concluindo: aaaa VVVV ln
.2
.
.4
.ln
.2
.
.40
2
0
2
0
2
2
0
++
=
( )
+=
a
aa VV
ln
.2
.
.40
2
22
0
Teorema da Unicidade
Qualquer soluo das equaes de Poisson e Laplace que tambm satis-
faz as condies de contorno dever ser a nica soluo existente.
Exemplo: Plano condutor z = 0 com tenso de 100 V:
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo
Tanto comoV1001 = 100.52 += z , por exemplo, satisfaz a equao de
Laplace e a exigncia de em z = 0.V100=
Concluso: Uma nica superfcie condutora, com uma tenso especifica e ne-
nhuma referncia dada, no forma uma caracterizao completa das condies
de contorno de uma regio definida. Mesmo dois planos condutores finitos pa-
ralelos no formam uma fronteira, j que no se pode determinar o espraiamen-
to do campo nas proximidades dos lados (bordas). Supondo que o espraiamen-
to seja desprezado, caracterizam-se por completo as condies de contorno
(fronteira) para dois planos condutores finitos e paralelos.
Teorema do Valor Mdio e do Valor Mximo
A partir da equao de Laplace podem-se obter duas importantes proprie-
dades da funo potencial, para regies sem cargas:
1 - No centro de uma esfera ou crculo, o potencial igual mdia dos valo-
res assumidos sobre o crculo ou esfera;
2 - O potencial no pode ter mximo (ou mnimo) dentro da regio. Logo,
qualquer mximo de dever ocorrer na fronteira da regio.
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccios Resolvidos
Exerccio 1: O potencial vale em1V n1 do crculo e zero no resto do crculo.
Calcule o potencial no centro do crculo. Considere toda a regio desprovida de
cargas.
Resoluo:
(I): (II):
Seja o potencial no centro. A equao de Laplace permite superposi-
o de solues. Supondo nproblemas do tipo (I), o resultado ser do tipo indi-
cado (II). Devido simetria rotacional, cada sub-problema de (II) fornecer o
mesmo potencial no centro do crculo. O potencial total no centro ser, as-
sim, . A soluo nica para (II)
CV
CV
CVn. 1V= para todos os pontos dentro do
crculo e, em particular, para o central.
Ento:
1. VVn C =
Ou seja:
n
VVC
1=
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio 2: Mostrar que possvel extrair o teorema do valor mdio a partir do
resultado anterior.
Resoluo:
(III):
Considerando o caso especial apresentado em (III), onde o potencial as-
sume nvalores diferentes em n segmentos iguais do crculo: a superposio
das solues encontradas no problema anterior fornece para o potencial no
centro:
n
V
n
V
n
V
n
V
n
VV nnC +++++=
1321
n
VVVVVV nnC
+++++= 1321
Que o teorema do valor mdio nesse caso especial.
Comn
2= , ento:
2
1 =
n, ou seja:
( )
+++++= .....2
11321 nnC VVVVVV
Com :n ( )
dVC ..2
12
0
=
Que a expresso geral do teorema do valor mdio aplicado a um crculo.
17
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio 3: Provar que o potencial no pode possuir um valor mximo dentro
de uma regio desprovida de cargas.
Resoluo:
Supondo que um mximo possa ser obtido num ponto interior P. Ento,
uma pequena esfera pode ser centrada em P tal que o potencial em P seja
maior que qualquer ponto na esfera. Portanto ser maior que o valor mdio
do potencial sobre a esfera, o que contraria o teorema do valor mdio.
CV
CV
PV no pode ser maior que QV
18
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoRepresentao da equao de Laplace / Poisson
atravs de diferenas finitas
Soluo numrica das equaes de Poisson e Laplace:
- Mtodo da diferena para a frente:
hdx x0
d 23
- Mtodo da diferena para trs:
hdx x0
d 12
- Mtodo da diferena central:
hdx x .20
d 13
19
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoRepresentando a funo potencial atravs da srie de Taylor:
( ) ( ) +
+
+
+=+
000
3
33
2
22
0062
xxx dx
dh
dx
dh
dx
dhxhx termos de ordem superior (I)
Desprezando as derivadas de 3 ordem bem como os termos de ordem
superior:
( ) ( )
00
2
2
00
2xx
dx
dh
h
xhx
dx
d
+
(II)
Note que a equao (II) corresponde com a diferena para a frente, ex-ceto pelo termos de segunda ordem.
Se assumirmos o termo
0
2
2
2x
dx
dh como um erro, este ser tanto menor
quanto mais reduzido for h.
Analogamente:
( ) ( ) ++=000
3
33
2
22
0062
xxxdxdh
dxdh
dxdhxhx termos de ordem superior (III)
Desprezando os termos de 3 ordem em diante:
( ) ( )
00
2
2
00
2xx
dx
dh
h
hxx
dx
d +
(IV)
Note que a equao (IV) corresponde com a diferena para trs, exceto
pelo termo de 2 ordem.
Fazendo agora (III) - (I), tem-se:
( ) ( ) +
+
+
00
3
33
006
.2.2
xxdx
dh
dx
dhhxhx (V)
20
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo
Ou seja:( ) ( )
00
3
32
00
6.2xx
dx
dh
h
hxhx
dx
d
+=
(VI)
A equao (VI) semelhante quela correspondente a diferena central,
exceto pelo termo
0
3
32
6x
dx
dh .
Para valores de h pequenos, frequentemente utilizados em engenharia
(0,1; 0,01; 0,001) o erro na utilizao da diferena central menor que aque-
les associados s diferenas para trs e para a frente.
Para as derivadas de segunda ordem, e usando a diferena central e
processamento anlogo ao aqui efetuado, chega-se a:
2
213
1223
22
2
2.200
0
hhhh
h
dx
d
dx
d
dx
d hxhx
x
+
+
Sabendo-se que o potencial pode ser funo de duas variveis, x e y,
tem-se as derivadas:
2
2
x
e
2
2
y
Genericamente:
21
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoO que nos leva a:
2
021
2
2.2
hx
+=
e
2
043
2
2.2
hy
+=
2
04321
2
2
2
2
2 .4
hyx
+++=
+
=
Regras para utilizao deste resultado:
1 - Dividir o domnio de interesse (onde a distribuio de potenciais deve ser
determinada) em um gradeamento fino. A tcnica em estudo fornecer os va-
lores de nos ns da grade considerada;
2 - Aplicar a equao do laplaciano em cada n da grade, obtendo-se nequa-
es associadas a nincgnitas (potenciais nos ns);
3 - Resolver o sistema de equaes, iterativamente ou empregando tcnicas
diretas.
22
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio Resolvido
Considere a regio retangular mostrada na figura. Os potenciais eltricos
esto especificados nos contornos. Utilize a representao em diferenas finitas
obtendo os potenciais dentro da regio.
Resoluo:
1) Definio do gradeamento: supondo h= 5cm, tem-se uma geometria 2 x 4:
23
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo2) Utilizao da representao diferenas finitas para a equao de Laplace:
( ) 0.41,1,1,,1,12
=+++ ++ jijijijijih
3) Aplicao das equaes em cada n:
- N 1:( )
( ) 0.400005,0
1122
=+++ 21.4 =
- N 2:( )
( ) 0.40005,0
12312
=+++ 0.4 321 =+
- N 3:( )
( 0.410005,0
1322
=+ ) 100.432
=
Tem-se assim 3 equaes e 3 incgnitas que, se resolvidas, fornecem:
V79,11 = , V14,72 = e V79,263 =
4) Refazendo o problema com um gradeamento mais fino, por exemplo, h=
2,5cm, tem-se assim 21 equaes e 21 incgnitas:
24
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo
5) Representando matricialmente as 21 equaes resultantes:
CBA
=
100
0
0
0
0
410000
00004100
00001410
00000141
10000014
21
4
3
2
1
A soluo para o sistema de equaes mostrado (em volts):
210,43
663,19
153,9
296,4
010,2
913,0
353,0
7
6
5
4
3
2
1
=
==
=
=
=
=
177,53
289,26
654,12
019,6
832,2
289,1
499,0
14
13
12
11
10
9
8
=
==
=
=
=
=
210,43
663,19
153,9
296,4
010,2
913,0
353,0
21
20
19
18
17
16
15
=
==
=
=
=
=
25
-
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Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoAnlise comparativa entre as tcnicas analticas e a numrica para o pro-
blema apresentado:
Valores dosPotenciais
Erros Valores dosPotenciais
Erros Soluo AnalticaN
h= 5cm h= 2,5cm (manual)
9 1,786 63% 1,289 17,8% 1,094
11 7,143 30% 6,019 9,7% 5,489
13 26,786 2,7% 26,289 0,75% 26,094
Quanto mais pontos, mais preciso ser o resultado dos potenciais nos
pontos, ou seja, mais prximo da soluo analtica.
26
-
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