“TERCERA PRACTICA DE INGENIERIA DE CONTROL”

2015-II

UNIVERSIAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

1

INDICE

PROBLEMA DIAGRAMA DEL SISTEMA………………………………………………………….2

MODELO DEL SISTEMA………………………………………………………………………………….2

ESPACIO DE ESTADO……………………………………………………………………………………..2

LINEALIZACIÓN……………………………………………………………………………………………..3

LINEALIZANDO EN MATLAB………………………………………………………………………….4

SIMULINK………………………………………………………………………………………………………5

MODELO NO LINEAL……………………………………………………………………………………..6

SISTEMA NO LINEAL EN MATLAB…………………………………………………………………9

2

PROBLEMASe pide resolver el siguiente sistema hallando los siguientes:

1. DIAGRAMA DEL SISTEMA

Fig. 1 Sistema Péndulo Invertido

2. MODELO DEL SISTEMA

d h1(t )dt

= 1A (q i−q12) y

dh2(t )dt

= 1A (q12−q0 )……………(1)

Además de:

q12=A s√2g(h1 (t )−h2(t))=k √h1 ( t )−h2(t) yq0=k √h2(t )…… (2)

Donde :k=A s√2 g

3. ESPACIO DE ESTADO

Luego reemplazando (2) en (1), tenemos:

[ h1

h2]=[ 1A (q i−k √h1 ( t )−h2(t))

1A (k√h1 ( t )−h2(t)−k √h2(t))]=[ f 1(h ,q i)

f 2(h ,q i)]=F (h ,q i)

3

4. LINEALIZACIÓN

Es necesario encontrar los puntos de equilibrio del sistema, para lo cual se fija el caudal de entrada en Q y cada una de las derivadas se las iguala a cero.

h'1=2h'2 y h'2=(Qk )

2

→h'1=2(Qk )2

Finalmente:

A=∂F∂hǀ h=h'qi=Q

=[ −k2 A√h1−h2

k2 A√h1−h2

k2 A√h1−h2

−k2 A √h1−h2

−k

2 A√h2]ǀ h=h'qi=Q

=[ −k2

2 AQk2

2 AQk2

2 AQ−k2

AQ ]B=∂ F

∂qiǀ h=h'qi=Q

=[ 1A0 ];C=[ 1 0 ] ;C=0

5. LINEALIZANDO EN MATLAB 5.1. PROGRAMA

%Programaclear all; clc disp('ENTRADA DE PARAMETROS PARA EL PROBLEMA:') A0=input('AREA A0= ');Asal=input('AREA Asal= ');g=input('ACELERACION DE GRAVEDAD g= '); Q=input('CAUDAL DE ENTRADA FIJADO Q='); % Variables simbólicas syms f1 f2 h1 h2 k qi A0 f1=(qi-k*(h1-h2)^0.5)/A0 ; f2=((k*(h1-h2)^0.5)-k*h2^0.5)/A0 ; f=[f1;f2]; % Calculo de jacobinas en Punto de Operación v=[h1,h2]; w=[qi]; As=subs(jacobian(f,v)) Bs=subs(jacobian(f,w)) % OBTENCION DE ELEMENTOS DE As y Bs k=Asal*(2*g)^0.5; h1=2*(Q/k)^2; h2=(Q/k)^2; a1=eval(As(1,1)); a2=eval(As(1,2)); a3=eval(As(2,1)); a4=eval(As(2,2));

4

b1=Bs(1,1); b2=Bs(2,1); disp('MATRIZ A :') A=[a1 a2;a3 a4] disp('MATRIZ B :') B=[b1 ;b2] disp('MATRIZ C :') C=[1 0] disp('MATRIZ D :') D=[0] clear all; step(A,B,C,D) % Fin

5.2EJECUTANDO PROGRAMA

ENTRADA DE PARAMETROS PARA EL PROBLEMA:

Parámetros del Sistema...

AREA A0= 10

AREA Asal= 1

ACELERACION DE GRAVEDAD g= 9.81

CAUDAL DE ENTRADA FIJADO Q=2

As =

[-k/ (2*A0*(h1 - h2) ^ (1/2)), k/ (2*A0*(h1 - h2) ^ (1/2))]

[ k/(2*A0*(h1 - h2)^(1/2)), -(k/(2*h2^(1/2)) + k/(2*(h1 -h2)^(1/2)))/A0]

Bs =

1/10

0

MATRIZ A:

A =

-0.4905 0.4905

0.4905 -0.9810

MATRIZ B:

B =

1/A0

0

MATRIZ C:

C =

5

1 0

MATRIZ D:

D =

0

Fig. 2 Respuesta al Escalón Unitario.

6. SIMULINK

A0=10; Asal= 1; g= 9.81; Q=2k=Asal*(2*g)^0.5;h1=2*(Q/k) ^2;h2= (Q/k) ^2;k =4.4294

h1 =0.4077

h2 =0.2039

A =

-0.4905 0.4905

0.4905 -0.9810

B =

6

1/10

0

C =

1 0

D =

0

Fig. 3 Representacion en SIMULINK del sistema linealizado

7

Fig. 4 Estados linealizados

7. MODELO NO LINEAL

Fig. 5 Representacion en SIMULINK del sistema no linealizado

Fig.5 Estado no lineales

9

8. SISTEMA NO LINEAL EN MATLAB

%--------------------------------------------------------------------% Programa % Descripcion : dy/dx=2xy; yi(0)=.. xi(0)=..% yi(f) con h=0.01% y'=y(n+1)-y(n)/h => y(n+1)=y(n)+hy' % f=[(qi-k*(h1-h2)^0.5)/A0 ; ((k*(h1-h2)^0.5)-k*h2^0.5)/A0]%---------------------------------------------------------------------% f= f + h* [f=f+h*[(q-k*(f(1)-f(2))^0.5)/A0;((k*(f(1)-f(2))^0.5)-(k*f(2)^0.5)/A0)]; %-------------------------------------------------------------------- clc;clear all;q=2;k=4.4294 ;A0=10; t=0; h=0.01; f=[0; 0];tacu=t; facu=f;for i=1:800 f=f+h*[(q-k*(f(1)-f(2))^0.5)/A0;((k*(f(1)-f(2))^0.5)-(k*f(2)^0.5)/A0)]; t=t+h; tacu=[tacu t]; facu=[facu f]; end%plot(tacu,yacu(1,:)','b'); grid on; plot(tacu,facu(1,:),'r'); grid on; axis([min(tacu) max(tacu) min(facu(1,:)) max(facu(1,:))]);title('Sistema de vaciado de tanques');xlabel('tiempo[seg]'); ylabel('Posicion h[m/seg]');

Fig. 5 Gráfica de h’