236487168 8 cocientes notables

8/20/2019 236487168 8 Cocientes Notables

1/18

Llamaremos cocientes notables aciertas divisiones algebraicas quecumplen reglas fjas y cuyoresultado puede ser escrito porsimple inspección, es decir sinnecesidad de e ectuar laoperación.

Estos casos especiales son de laorma general.

n nx yx y

±±

, n∈¥

Donde { }x,y son las bases.

Todo cociente notable debede cumplir las siguientescondiciones

!. Las bases del dividendo ydivisor deben ser iguales.

!!. Los exponentes del dividendodeben ser iguales.

Se presentan 4 casos de laforma:

n n n n n n n nx y x y x y x y" " "x y x y x y x y

CASO I:n nx y x y

Es cociente notable paracualquier valor

entero positivo n.n n

n # n $ n $ n #x y x x y ... xy yx y

=

Ejemplo:

% %

& ' $ $ ' &x y x x y x y xy yx y

=

CASO II:n nx yx y

Es cociente notable para todo nentero positivo impar.

n nn # n $ n $ n #x y x x y ... xy y

x y =

Ejemplo:

% %

& ' $ $ ' &x y x x y x y xy yx y

=

CASO III:n nx y x y

Es cociente notable para todo nentero

positivo par.

225


2/18

n nn # n $ n $ n #x y x x y ... xy y

x y =

Ejemplo:

& &

' $ $ 'x y x x y xy yx y

=

CASO IV:n nx yx y

Sea n! par o impar no escociente notable"

O#SE$VACIO%ES

• (odo cociente notable es unpolinomio )omog*neo.

• El desarrollo del cociente

notable tiene +n t*rminos.

&'$()*A +E* T,$(I%O-E%E$A*

n - - #- ( signo x a

= ×

Donde

- ( (*rmino de lugar +- x rimera base. y /egunda base. n 01mero de t*rminos delcociente

notable. - Lugar que ocupa el t*rmino

buscado.

$E-*A .A$A E* SI-%O:

/i el divisor es de la orma x alos signos de sus t*rminos en sudesarrollo son todos .OSITIVOS

/i el divisor es de la orma x alos signos de sus t*rminos en sudesarrollo son A*TE$%A+OS .Los t*rminos del lugar par sonnegati/os y los t*rminos dellugar impar son positi/os"

Ejemplo:

01 Dado el cociente notable$22 #$2

% 'x y

x y

3allar el cuarto t*rmino.Soluci n:4n cociente notable debe tenerbases iguales y exponentesiguales.

% '

% '

x y

x y

4343

De acuerdo a la órmula

n - - #-

( signo x a = ×

El cuarto t*rmino ser5

& #&2 &% '

& ( x y

=

''6% '

& ( x y

22


3/18


4/18

p #$86

∴ p '6 $pta"

32" /i el cociente6n # %n

$n ' nx yx y

es

exacto )allar el valor de +n ,donde n ∈¥= ' ;= &D=% E= 6Soluci n:

or propiedad % n6n #$n '

= n

6n # #2n #%=

#6 &n∴ n & $pta"

38" 3allar el lugar que ocupa enel desarrollo del cociente notable.

$22 $72

% ?x y

x y

el termino que tiene como gradoabsoluto igual a $#'.= $2 ;= '2D=&2 E= %2Soluci n:4n cociente notable debe tenerbases iguales y exponentesiguales.

&2 &2% ?

% ?

x y

x y

4n t*rmino cualquiera del

desarrollo es

&2 - - #% ?

- ( x y

=

$22 %- ?- ?- ( x y

=

Luego -@< ( $#'

$22 %- ?- ? $#' =

$- $2∴ - #2 $pta"

34" /i el t*rmino del lugar #$ del

cociente notablea b

$ 'x yx y

es

$ ''x y el valor de + a b es= %% ;= 6%D=6% E= ?2Soluci n:

or propiedad a b n$ '

=

De donde a $n , b 'n=

Luego a b %n=

4n cociente notable debe tenerbases iguales y exponentesiguales.

a b n n$ ' $ '$ '

$ ' $ '

x y x y

x y x y

=

Luego el t*rmino del lugar #$ es

n #$ #$ #$ '#$ ( x y

=

229


5/18

$n $& '' $ ''

#$ ( x y x y Adato== =

De donde $n $& $= → n #'

Binalmente a b %n= ∴ a b 6%= $pta"

35" /i

n n '' % % #2

nn $

x x y yE

x y yx

=

×

Es un cociente notable. 3allar +n= ' ;= &

D=% E= 6Soluci n:Cperando

' %n %n '2

n # n $x x y yE

x y × ×=

' %n %n '2

n # n $x yE

x y

=

;omo es un cociente notable,)acemos cumplir la propiedadpara )allar el n1mero det*rminos

' %n %n '2n # n $ =

esolviendo n ' $pta"

3 " /i en el desarrollo del

cociente notable.n 'm ?m

$ &x y

x y

)ay

#& t*rminos3allar el grado absoluto delt*rmino que ocupa el lugar

m n=

8'

'x #x #

;=

82

'x #x #

D=8'

'x #

x #

E=

8'

'x #

x #

Soluci n:0ote que los exponentesdisminuyen de ' en ', entoncesel grado del denominador es ' osea 'x .

Luego el polinomio es de grado

22


6/18

82 entonces el n1mero det*rminos es

82 # '#'

=

Entonces el cociente notableser5

'#'

'

x #

x #

=

8'

'x #x #

$pta"

39" Encontrar el cociente notableque dio origen al desarrollo

#7 #6 #& #$ $

x x x x x # L=

$2

$x #x #

;=

#6

$x #x #

D=#7

$x #x #

E=

$2

$x #x #

Soluci n:;omo los exponentes vandisminuyendo de $ en $entonces el grado deldenominador es 2 .Luego el n1mero de t*rminos del

polinomio es #7 # #2$

=

Cbserve que los signos de lost*rminos del polinomio sonintercalados entonces lost*rminos del denominador sonpositivos.

#2$

$

x #

x #

=

$2

$x #x #

$pta"

3 " 3allar el n1mero de t*rminosque tiene el siguiente cociente

notable.

n $n $#

$ $x a $ax

x a

= 6 ;= ?D=7 E= 8Soluci n:Dando la orma a un cociente

notable.

n $n $#

$ $

(.;.

x a $ax

x a

2a; 2a;# & &$ & &'

n $n $#

$x a $ax

x a $ax

or propiedad

n $n $#9 (*rminos$ #

= =

esolviendo n #&

Luego #&9 (*rminos$

∴ 9 (*rminos ? $pta"

03" En el cociente notable7

mx #x #

El cuarto t*rmino tiene como

grado absoluto&m

.;alcular 8 7 ?E m m m ... m ' = #' ;= #&D=#% E= #6Soluci n:Dando orma a un cocientenotable

283


7/18

7

m m

m

x #

x #

3allando el & (

7 &m 7 &mm

& ( x x

= =

Dato @< &m

7 &m &m=

De donde m #

Luego 8 7 ?E # # # ... # '

∴ E #$ $pta"

00" ;alcular el valor num*ricodel t*rmino central del desarrollode

#22 #22

$$

x y x y

7xy yx

ara x $ ? , y ' '= ' ;= %D=? E= 8Soluci n:

F #22 #22

$$

leyendre

leyendre

x y x y

&xy $ yx

×# & $ & '

#22 #22

$ $ $ $

diferencia decuadrados

x y x y

x y x y x y x y # & & & & & & & &&$ & & & & & & & & &'

$% $%& &

& &

x y x y

x y x y

/e observa que el cocientenotable tiene $% t*rminos y eltermino central ser5 el termino#'.

$% #' #' #& &#' ( x y x y

=

&7 &7#' ( x y x y

&7$ $#' ( x y

&7$ $

#' ( $ ? ' '=

[ ]&7#' ( $7 $?

∴ #' ( # $pta"

02" /i la división

88 88%x # %x #

x

Crigina un cociente notable en elcual un t*rmino tiene la orma

b$a $%x #

3allar el valor de + a b


8/18

88 88%x # %x #

#2%x # %x #

4n t*rmino cualquiera deldesarrollo es

88 - - #- ( #2 %x # %x # =

b 88 - - #$a $%x # #2 %x # %x # =

b b 88 - - #a %x # %x # #2 %x # %x # =

;omparando b 88 - - # =

88 - - # - %2= → =

;omo +- es un lugar par

- ( negativo

Entonces a #2 y b &8

Binalmente a b '8= $pta"

08" 3allar el t*rminoindependiente del cociente

notablen nx b b

x

= n #n # b

;= n #n # b D= n #n b ×E= n #n $ b

Soluci n:Dando orma a un cocientenotable

n nx b b

x b b

El t*rmino independiente delcociente notable esta dada por lasiguiente ormula

n #

(.! n b = ×

04" Del siguiente cocientenotable

6xG' ?$8x

3allar el t*rmino independiente.


9/18

n nx $y y

x $y y

El pen1ltimo termino ser5 el n # ( n # #n n #

n # ( x $y y =

% 6 n $xy $y x $y y =

% 6 n $ n #xy $y xy $y =

or simetrHa n $ %=

De donde n ?

Luego la cuarta potencia de +n

ser5

& &n ?

∴ &n $&2# $pta"

30" 3allar el coefciente delcuarto t*rmino del desarrollo de

% %'$x $&'y$x 'y

=%$ ;=I'&D='& E=%&

32" 3allar el d*cimo t*rmino del

cociente notable'' ''a ba b

= $' 8a b ;=$% ?a b

D= $& 7a b E= $' 8a b

38" 3allar el n1mero de t*rminosdel cociente notable

&n #$ &n '

n 7 n 8x y

x y

= #' ;=#7D= #% E= #2

34" 3allar el d*cimo t*rmino den %n #7

$ 8x y

x y

, sabiendo que es un;.0.


10/18

notable para todo +n enteropositivo par.= !,!!,!!! ;=!!,!!!,!ND= ! y !! E= solo !!

38" 3allar :n:, si el gradoabsoluto del t*rmino '' en elcociente notable

%n ?n

% ?x y

x y

, es '28

= %2 ;='7D= '' E= 62

34" )allar el n1mero de t*rminosque tiene el siguiente cocientenotable.

n $n $#

$ $x a $ax

x a

= ? ;=##D= #? E= $#

37" 3allar el t*rminoindependiente de +x delcociente notable indicado

n n

x y y

x

/iendo 8 n ( #2 n y =

= ?8 ;=#8D= #? E= $#

3 " /i el octavo termino delcociente notable es el monomio

a 86 #&x y , )allar la suma de losexponentes de los t*rminoscentrales.

a $&

b cx y

x y

= #$& ;= #'&D= #&& E= #%&

03" En el siguiente cocientenotable

284


11/18

'n 8 'n

& %x y

x y

El valor num*rico del tercert*rmino de su desarrollo parax $ , #y & = es= '$ ;= 6&D= 7 E= #6

00" Dado el cociente notable

mn np

m px yx y

,

/e sabe que el quinto termino desu desarrollo tiene por gradoabsoluto &$, el octavo terminotiene por grado absoluto &% y porgrado relativo a +y $#, )allar elvalor de +m .= $ ;= &D= 7 E= #2

02" 3allar el ;. 0. Oue dio origen

al siguiente desarrollo#$ 7 &x x x #

=

#6x #x #

;=

#6

&x #x #

D=#$

&x #x #

E=

#6

&x #x #

08" educir

72 ?7 ?6 $

&2 '8 '7x x x x #x x x x # L

L

=

&2 #xx #

;=

&2 #xx #

D= #xx #

E=

#xx #

04" /implifcar6n ' 6n 6 6n 8 6 '

'n ' 'n 6 'n 8 6 'x x x ... x x #

x x x ... x x #


12/18

0 " Encontrar el cociente notableque dio origen al desarrollo

#7 #6 #& #$ $

x x x x x # L

=

#8x #x #

;=$2

$x #x #

D=$2

$x #x #

E=

$2

$x #

x

23" educir la siguienteexpresión

:n:ci ras

8 88 888 ...888...888 # & $ &'

=

n ##2 #2n8

;=n ##2 #

8

D=

n $

n#2 8n #2

#2 #

E=n ##2 #2 8n

8

20" /i al dividirn n

m m

$ $

' # ' #

x y

x y

/e obtiene como segundot*rmino en su cociente a #6 7x y .

;u5ntos t*rminos tiene sucociente notableM= ' ;= %D= ? E= 6

22" /i un t*rmino del cocientenotable generado por

n n p

' n ' n $x y

x y y

"

es #7x

, )allar n p= 8 ;= #2D= ## E= #?28" 3allar el grado absoluto deld*cimo t*rmino en el cocientenotable que se obtiene al dividir

'n $ %n #

$ n %x y

x y

= '$ ;= #7

D= '2 E= '&

24" 3allar el n1mero de t*rminosque tendrHa el cociente notable

generado por%m #2 %m %2

$n 8 $n %x y

x y

{ }m,n ⊂ ¥ " m '$= #' ;=

#&D= #% E= #6

25" 3allar el n1mero de t*rminosraccionarios de cociente notable

?% #$%

' %x x

x x

= #% ;=#?

D= #8 E= #&2 "/i el desarrollo del cocientenotable tiene &% t*rminos

a b

' &x ax a

" )allar el valor de

a b

28


13/18


14/18

qu* lugar ocupa el t*rmino que

contiene como grado absoluto'&M


15/18

44" En el desarrollo de8'#%%

'% G yx G yx

existe un t*rmino cuyo gradoabsoluto es #$$. La di erencia delos exponentes de :x: e :y: eneste t*rmino es= 8 ;=%D= 7 E= #&

53" En el cociente notable'n'n G 8

$'

yx

yx

;alcular el valor num*rico delt*rmino central, para x Q #, y Q$= #$7 ;='$D= $%6 E= #6

50" 3allar AmGn= si el t*rmino %$del desarrollo de

#$8m 76n'm $n

x a x a

es x $?2 a $77

= #$ ;=#'D= ## E= 0<

52" En el siguiente cociente

28


16/18

notable

& 7xG ' $x #

la suma de coefcientes deldesarrollo del cociente, es= $%6 ;=6&D= '$ E= %#$

58" /i en el desarrollo delsiguiente cociente notable

n'n

' yx

x y

el t*rmino del lugar 7

contado a partir del extremo fnaltiene por grado absoluto '7. Eln1mero de t*rminos deldesarrollo es= $2 ;=#%D= $% E= '%

54" /iendo p $7 #6 $ApK6=x y x y (*rminos equidistantes en eldesarrollo del siguiente cocientenotable

nm

& ? yx

x y

" 3allar

AmGnGp== #2$ ;=

8$D= '$ E= 6&

5 " ;alcular el valor num*ricodel t*rmino central del desarrollode

#22 #22

$$Ax y Ax y= =

7xy A =yx

para x $ ? , y ' '= $ ;=#6D= #$7 E= 6&

57" /i el grado absoluto deloctavo t*rmino del ;ociente

0otablen

'x #x #

es #$" el

n1mero de t*rminos de sudesarrollo es= '6 ;=7D= #2 E= $8

59" 3allar el valor de +a si sesabe que el pen1ltimo t*rmino

de la expansión dea a

$ $x yx y

es "

$ 7$x y


17/18

3" En el desarrollo de&8 ?

'x y

x x y

Oue exponente posee :y: en elt*rmino noveno.= % ;= 6D= ? E= 7

0" 3allar α β en el cociente

notable ' &x yx y

α β , si

#$ $76 8

?

t .t x yt

=

= 7& ;= &7D= '6 E= ?$

2" ;alcular el $# ( en elsiguiente cociente notable

$

$2$a a

# a #

= a K # ;= $a K #D= $a ' E= $a K %

8" ;alcular a b para que enla siguiente división exista unsolo t*rmino que toma la orma

b$a x # en el cociente

notable88 88x G # x #

$x

= %2 ;=&8D= &7 E= &?

4" /abiendo que el t*rminoquinto del desarrollo delsiguiente cociente notable

x x

y y

& &

8 8% % a b a b

es #?6 6&a b " el

n1mero de t*rminos que tiene sudesarrollo es= 8 ;=#%D= '$ E= #6

5" 3allar la relación entre a y ben el siguiente cociente notable

' '

$ $

a b ab a b ab

ab a b

x y y

xy y

=a #b

=

;= a #b

= D= ab #

E= ab #

"


18/18

=

&n

&x #x #

;=&n

&x #x #

D=

&n

$x #x #

E=&n

$x #x #

9" 3allar el ;. 0. Oue dio origenal siguiente desarrollo

#&2n #'?n 6n 'nx x . . . x x #

236487168 8 cocientes notables

Documents