DataSeismic Soporte Teórico - Cooke & Schn

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REPORTE

“Generalized linear inversion of reflection seismic data”

by Dennis A. Cooke y William A. Schneider.

María Virginia Mason

Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas UNLP

Noviembre de 2007

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Inversión lineal generalizada de datos de reflexión sísmica.

Dennis A. Cooke y William A. Schneider.

RESUMEN La inversión lineal generalizada, a veces conocida como perturbación del

modelo, regresión no lineal, o modelado inverso, es aplicada a conjuntos de datos sísmicos sintéticos y reales con el fin de obtener un perfil de impedancia como función del tiempo. Las impedancias son parametrizadas de tal manera que describan a la tierra desconocida usando menos variables que las técnicas previas de inversión lineal. En esta aplicación solo serán invertidas trazas simples de datos procesados con punto medio común (CMP). El método de inversión lineal generalizada (GLI) aquí presentado es diseñado para mejorar los defectos de la inversión iterativa con respecto a los resultados de impedancia en una escala tanto absoluta como relativa, resolución de las fronteras de impedancia, y distorsión de los efectos residuales de la ondícula. Al ir cumpliendo con estos objetivos otros aspectos ventajosos de GLI fueron descubiertos. Por ejemplo, en varios casos es sensible al ruido, y esto le permitirá a un intérprete ajustar la impedancia de cualquier cantidad de litologías conocidas en un intervalo que está siendo invertido.

El método GLI es ilustrado sobre una serie de ejemplos sintéticos y sobre un conjunto de datos de campo obtenidos de la cuenca de Powder River en Wyoming.

INTRODUCCIONLa inversión sísmica es el cálculo de la estructura de la tierra y parámetros

físicos a partir de algunos conjuntos de valores sísmicos observados. Aquí los valores a ser invertidos son varias trazas simples de punto medio común (CMP). Los resultados de la inversión son trazas simples de impedancia versus profundidad. La técnica usada para obtener nuestros resultados es la inversión lineal generalizada (GLI). Parker (1977)* y Aki y Richards (1980) formalizaron esta técnica, y Backus y Gilbert (1968, 1970) discutieron su poder de resolución y unicidad. Esta técnica fue utilizada en un marco similar por Gjoystal y Ursin (1981) simultáneamente para invertir y emigrar datos sísmicos en tres dimensiones (3-D). Wiggins (1972, 1976) usó GLI para invertir datos de terremotos y para resolver problemas de estática sísmica. La técnica GLI debería ser conceptualmente familiar para la mayoría de los intérpretes sísmicos. Es una automatización de la técnica de interpretación para encontrar un perfil de una tierra hipotética cuya respuesta sea idéntica a los valores siendo analizados. En tal caso se asume que los valores fueron extraídos de una tierra cuya estructura coincide con el perfil hipotético. Esta “automatización” es una técnica iterativa que permite mejorar un perfil de impedancia inicial hasta que la respuesta del perfil coincida con los datos siendo invertidos. Las ventajas de GLI surgen del hecho de que estos refinamientos son las soluciones del problema de mínimos cuadrados para un conjunto de ecuaciones lineales. Este conjunto de ecuaciones lineales puede ser modificado para ajustar cada parámetro que es conocido, como fue discutido por Sabatier (1977). El marco de los errores de mínimos cuadrados no permite que ningún error resultante se propague en el tiempo como sucede con las técnicas iterativas de inversión convencionales. Una explicación mas detallada de lo que se ha realizado en este trabajo fue dada por Cooke (1981) junto con el programa de computadora utilizado para generar estos resultados de inversión.

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INVERSION ITERATIVA. Quizás la técnica de inversión sísmica más popular utilizada hoy en día es la inversión iterativa. Esta está basada en la siguiente formula que da el coeficiente de reflexión en término de las impedancias acústicas adyacentes:

RCn = {( V)n+1 - ( V)n} (1) {( V)n+1 – ( V)n}

donde RCn = coeficiente de reflexión de la interfase n y ( V)n = producto de la densidad y velocidad, o la impedancia acústica, del intervalo n. La ecuación (1) se puede reescribir para expresar ( V)n+1 en función de ( V)n y RCn:

( V)n+1 = ( V)n (1 + RCn)/(1 – RCn). (2)

Si uno aprecia a una traza sísmica como una serie de coeficientes de reflexión, luego una aplicación iterativa de la ecuación (2) dará todas las impedancias si se conoce ( V)0. Para que la traza sísmica sea exactamente igual a la serie de coeficientes de reflexión, se deben satisfacer las siguientes condiciones: la ondícula de la fuente debe ser removida; no puede haber ruido; todas las reflexiones múltiples deben ser removidas; dispersión esférica y perdidas de transmisión también deben ser removidas; y todos los fenómenos multidimensionales y otros fuera del modelo deben ser ignorados. Obviamente ninguna traza sísmica puede ser registrada y procesada de manera que cumpla exactamente con los requisitos anteriores. Los siguientes ejemplos sintéticos muestran que sucede si no se cumplen estas condiciones. Estos son generados con grandes coeficientes de reflexión (hasta 0.35) y sin supresión múltiple. Estas condiciones, que causan que se corte la inversión iterativa, suelen encontrarse en las cuencas sedimentarias maduras. Un ejemplo de esto es la cuenca de Michigan donde una secuencia cíclica de evaporitas genera coeficientes de reflexión altos y los tendidos de cortas longitudes usados no suprimen a las reflexiones múltiples en forma adecuada. Un perfil de impedancia hipotético de tal cuenca se muestra en la Figura 1a. La Figura 2 muestra una traza sísmica sintética generada a partir del perfil de la Figura 1a. Esta traza es sin ruido, y la ondícula de la fuente ha sido reducida a un pulso unitario. Todas la reflexiones múltiples son incluidas excepto aquellas interactuando con la superficie. La traza es invertida con una aplicación iterativa de la ecuación (2) y los resultados son ploteados en la Figura 1b. El error en este resultado –o sea, la diferencia entre las Figuras 1a y 1b- es debido al hecho de que la traza a ser invertida no coincide con la serie de coeficientes de reflexión. Esta traza son los coeficientes de reflexión además de todas las reflexiones múltiples y pérdidas de transmisión.

Es extremadamente difícil, sino es imposible, remover la ondícula de la fuente de una traza sísmica real. Con esto en mente, invertimos la traza sísmica en la Figura 2 nuevamente, excepto que esta vez existe convolución entre la ondícula de la fuente y los datos. La ondícula de la fuente es un filtro pasa banda 5-10-90-110 de fase cero. El resultado de invertir esta traza aplicando en forma iterativa la ecuación (2) se muestra en la Figura 3a. Este resultado es esencialmente una versión filtrada de nuestro resultado previo. La idea de las aplicaciones de la inversión iterativa mencionadas anteriormente es mostrar sus limitaciones. La inversión iterativa es un método excelente para la determinación rápida y barata de los cambios de impedancia relativa, pero la

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información de la impedancia absoluta es muy difícil de obtener con este método y la resolución es limitada por la calidad del retiro de la ondícula. Deberíamos notar que los algoritmos de inversión recursiva más comerciales son capaces de mejorar los resultados iterativos presentados aquí mediante la incorporación de información de velocidad en la solución. Una alternativa para la inversión iterativa es la inversión lineal generalizada (GLI). El método de GLI presentado aquí fue diseñado específicamente para evitar los problemas de inversión iterativa mencionados anteriormente. Para ilustrar lo bien que GLI resuelve estos problemas, se repitió la inversión a partir de la Figura 3a usando GLI. Como muestra la figura 3b, los resultados obtenidos con GLI son ampliamente superiores; de hecho, en este ejemplo libre de ruido son exactos. El resto de este trabajo está dedicado a ilustrar como esta versión de GLI funciona y mostrar otras posibles aplicaciones.

IMPEDANCIA

Figura 1: El perfil de impedancia A es utilizado para generar la traza sísmica que se observa en la Figura 2. El perfil de impedancia B resulta de aplicar inversión iterativa a la traza de la Figura 2.

TRAZA SISMICA

Figura 2: Traza sísmica sintética generada a partir del perfil de impedancia en la Figura 1a. Esta traza contiene todas las reflexiones múltiples, no contiene ruido, y la ondícula de la fuente es un pulso

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Figura 3: El perfil de impedancia A es la inversión de la traza sintética 2 antes de que la ondícula de la fuente haya sido removida. El perfil de impedancia B es la inversión de la misma traza usando GLI.

EL MODELO DIRECTO. Para aplicar GLI, uno primero debe encontrar una función que modele la generación de los datos a ser invertidos. A esta función se la llama “modelo directo”. El modelo directo utilizado aquí es un algoritmo de generación de trazas sísmicas sintéticas expresado por

s(t) = w(t) * R(t), (3)

donde s(t) = traza sintética, w(t) = ondícula de la fuente, y R(t) = función de reflectividad. R(t) es generada en el dominio Z por una aplicación iterativa de la siguiente fórmula (Cooke, 1981, p.21):

Rj(Z) = Cj + Rj+1 Z , j = n-1, n-2, ........, 2, 1, 0. (4) 1 + Cj Rj+1 Z

Para una tierra con (n + 2) capas, 0 es el índice de la capa superior, y Cj es el coeficiente de reflexión de la interfase número j, dado por la ecuación (1). La aplicación iterativa deesta fórmula comienza en una capa por encima del intervalo que se encuentra más abajo, esto es, j = n – 1. Para esta primera aplicación, Rj+1 = Rn = Cn. Usando el algoritmo recién mencionado, uno puede generar una traza sísmica sintética que incluya todas las reflexiones múltiples y pérdidas de transmisión para un perfil digitalizado de impedancia y una ondícula de fuente dados. Este tipo de traza sintética representa la respuesta de una tierra lateralmente homogénea ante una fuente de ondas planas (i.e., no hay pérdidas por difusión). Es muy importante que cualquier modelo directo utilizado con GLI modele exactamente cómo los datos fueron

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generados. Por esta razón el modelo directo anterior sólo puede ser usado para invertir datos sísmicos CMP, que representa la respuesta de la tierra ante una fuente de ondas planas una vez removidas las pérdidas por difusión de los datos.

Existen otros aspectos de los datos sísmicos CMP que fueron ignorados en nuestro modelo directo por el costo que implica su cálculo. Estos son efectos de deconvolución de tiempo-variante en reflexiones múltiples de poco retraso y de apilamiento en las amplitudes de las reflexiones múltiples de mayor período. Futuros programas de inversión de este tipo pueden ser mejorados teniendo en cuenta estos efectos, pero sentimos que su impacto es marginal y su costo computacional es alto.

TEORIA DE LA INVERSION LINEAL GENERALIZADA. La técnica de GLI está basada en la expansión del modelo directo en series de Taylor. Esta expansión es de la forma

F(I) = F(IG) + F(IG) (I – IG) + 2 F(IG) (I – IG)2 + .... (5) IG IG2 2!

En esta expansión I = el perfil de impedancia a ser resuelto IG = una aproximación inicial del perfil de impedancia. (I-IG) = error de aproximación F = función de modelado directo F(I) = traza sísmica observada F(IG) = traza sísmica sintética calculada usando IG en el algoritmo de modelado directo.

F(IG) = matriz de derivadas parciales. IG

Es importante notar que la expansión (5) puede ser calculada para cualquier modelo directo. Si el modelo es complicado, puede ser ventajoso calcular los términos de la derivada con una técnica de diferencias finitas como fue realizado aquí. En la ecuación (5) queremos calcular (I – IG) que nos dice cómo corregir IG de tal manera que sea igual a I. Lamentablemente, la serie infinita no puede ser resuelta para (I – IG), pero sí se puede resolver una versión truncada (lineal) de ella. Esta versión linearizada de la ecuación F(I) = F(IG) + F(IG) (I – IG) (6) IGo F(I) – F (IG) = F(IG) (I – IG). (7) IG

En la ecuación (7), el término [ F(I) – F(IG) ] es un vector generado por la resta entre la traza sísmica observada y la traza sísmica sintética. Se lo llamará vector diferencia. El término [ F(IG) / IG] es una derivada parcial o matriz de sensibilidad. Cada columna de esta matriz es la derivada parcial de la traza sísmica sintética con respecto a uno de los valores de impedancia desconocidos. El término a resolver (I – IG) será denominado vector de corrección.

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La ecuación (7) es un sistema de ecuaciones lineales simultáneas que es resuelto para el vector de corrección usando una técnica de mínimos cuadrados modificada (esto será discutido más adelante). Una vez que el vector de corrección es conocido, se despeja I haciendo

I = IG + (I – IG). (8)

La ecuación (8) es una aproximación; cuando procedimos de la ecuación (5) a la (6), los términos no lineales en la expansión en series de Taylor fueron truncados. Esto hace que la solución para el vector de corrección (I – IG) a partir de la ecuación (7) sea una aproximación, por lo que la solución para I en la ecuación (8) también lo debe ser. Este error puede ser reducido si se usa la aproximación inicial de la ecuación (8) corregida como una nueva aproximación inicial en la ecuación (7) y se itera nuevamente. Un esquema de este procedimiento iterativo se muestra en la Figura 4. El loop iterativo de la Figura 4 tendrá un error que va decreciendo de manera exponencial con cada iteración si la aproximación inicial cae dentro de la región de convergencia. El error calculado con cada iteración está definido por

[F(IG) – F(I)]2.

Se continúa el loop hasta que el error cae por debajo de un nivel predeterminado o hasta que un (I- IG) nuevo no mejore con respecto al error de la iteración anterior. Como fue mencionado anteriormente, (I – IG) es obtenido resolviendo la ecuación (7) con un procedimiento de mínimos cuadrados modificado. La modificación consiste en el agregado de un factor de amortiguamiento a la clásica solución del error de mínimos cuadrados, lo que da

(I –IG) = (STS + K2I) ST [F(I) – F(IG)], (9) donde

S = F(IG)j (la matriz de sensibilidad), (IG)j

K2 = factor de amortiguamiento,

I= matriz identidad.

K2 refleja la linealidad local del error de superficie y puede ser calculada analíticamente como fue discutido por Marquardt (1953) o puede ser elegida de una manera empírica como fue realizado aquí. El método empírico busca el K2 que minimice el error medio cuadrático (rms) entre los datos a ser invertidos y la traza sísmica sintética generada a partir de la aproximación inicial corregida. La aproximación inicial corregida –y por eso la traza sintética asociada- es una función de K2 a través de las ecuaciones (8) y (9).

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Figura 4: Diagrama de flujo para la inversión lineal generalizada.

PARAMETRIZACION DEL PERFIL DE IMPEDANCIA La impedancia terrestre es una función continua en la profundidad o en el tiempo (como es medida aquí). Generalmente es muy ventajoso para los geofísicos hacer una aproximación discreta de esta función continua. La aproximación discreta más común es hacer un muestreo de la impedancia en intervalos iguales de 1, 2, o 4 mseg. Este es el tipo de perfil de impedancia que ingresa en el método de modelado directo discutido anteriormente. Aquí nos referiremos a este tipo de perfil de impedancia como “parametrización de muestreo equivalente”. El problema con esta parametrización surge cuando se realiza la inversión GLI con ella, ya que el número de incógnitas iguala exactamente el número de observaciones. Esto sucede porque el algoritmo de modelado directo requiere un ingreso de N valores de impedancia (las correcciones a estas impedancias son las incógnitas) en intervalos de delta t para crear una traza sísmica sintética de las mismas dimensiones. Como la traza sísmica sintética debe ser de las mismas dimensiones que la traza sísmica observada a ser invertida, el número de puntos (observaciones) en la traza a ser invertida iguala el número de incógnitas. La ecuación (9) puede ser resuelta teóricamente cuando el número de incógnitas iguala a la cantidad de ecuaciones, pero hay tres problemas asociados con esta situación.

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(1) Estabilidad.-La inversión de una matriz de ecuaciones N x N no es un problema cuando todas las ecuaciones son independientes y no hay ruido. Cuando no se cumplen estas condiciones la inversión puede convertirse en singular y/o inestable.

(2) Costo.-Si uno invierte una traza sísmica de 2 seg. registrada con un intervalo de muestreo de 2 mseg, la matriz a ser invertida será de 1000 x 1000. Esto será caro en cuanto a tiempo de computadora y almacenamiento.

(3) Otras incógnitas.-Es importante resolver para otros parámetros que no sea impedancia. Si el número de incógnitas iguala al número de ecuaciones, estos parámetros extra no pueden ser agregados sin el problema de convertirse en sobredeterminado (mayor cantidad de incógnitas que de observaciones).

Los problemas enunciados anteriormente pueden ser evitados si la tierra es parametrizada usando menos variables (incógnitas). Por supuesto que esta parametrización debe incluir tanta información como el método previo. La parametrización utilizada aquí describe a la tierra en términos de bloques separados o litologías y se la denomina “parametrización de intervalo discreto.” A cada unidad litológica se le ha asignado (1) un valor de impedancia variable al comienzo del “bloque” (el primer valor de impedancia); (2) una velocidad lineal de cambio de la impedancia dentro del bloque (el gradiente de impedancia); y (3) un espesor de tiempo variable. El tiempo de inicio de un intervalo dado es determinado por el espesor del tiempo total de todos los intervalos por encima de él. La Figura 5 compara este método de “parametrización de intervalo discreto” con el perfil continuo de impedancia terrestre.

Las ventajas de la parametrización de intervalo discreto surgen del hecho de que describe el perfil de impedancia usando menos parámetros. Si se usa esta parametrización cuando se calcula la matriz de sensibilidad [ecuación (9)], ésta será mucho menor que si fuese calculada usando la parametrización de muestreo equivalente. Esto significa que tendrá un menor costo para calcular e invertir, y la inversión será más estable. Este método de parametrización también discriminará a la inversión del ruido aleatorio dentro de la frontera y hará que el conocimiento exacto de la ondícula de la fuente usada en el modelo directo sea menos crítico. Fue descubierto que cuando se usa una parametrización de intervalo discreto, las fronteras deben ser resueltas independientemente de las impedancias. La razón es aparente cuando uno ve el proceso de GLI como un procedimiento que minimiza el error entre la traza sísmica observada y la respuesta sísmica sintética de una aproximación inicial corregida. Si una dada frontera tiene el contraste de impedancia correcto pero la ubicación incorrecta para ese contraste, hay dos formas de disminuir el error: (1) mover la ubicación de la frontera, o sea, lo que se desea, y (2) remover el contraste de impedancia igualando las impedancias a ambos lados de la frontera. Esto disminuirá el error sólo si la ubicación de la frontera es incorrecta, aunque las impedancias sean correctas. Para evitar esto, las impedancias son resueltas luego de que todas las ubicaciones de las fronteras son conocidas.

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Figura 5: Parametrización de intervalo discreto vs. perfil continuo de impedancia terrestre.

OTROS PARAMETROS ADEMAS DE IMPEDANCIAS. En la sección anterior vimos que en el modelo directo se asume que uno conoce

la ondícula exacta de la fuente con la que se hará la convolución con la función de reflectividad. En general este no es el caso con datos sísmicos reales, por lo que la ondícula de la fuente debe ser tratada como incógnita y debe ser resuelta de la misma forma que las impedancias. La ondícula desconocida es parametrizada en el dominio de la frecuencia, en donde es descripta por las cuatro frecuencias que constituyen un filtro pasa banda y mediante un desplazamiento linear de la fase. Este pasa banda y cambio de fase no pueden describir exactamente a todas las ondículas sísmicas, pero darán una excelente aproximación a ondículas de fase cero y blanqueadas en forma adecuada. Otro parámetro que debe ser resuelto es el factor de escala del dato sísmico. Actualmente hay dos factores de escala para datos sísmicos. El primero surge de la dispersión del frente de onda y es una pérdida relativa. Asumimos que esta pérdida ha sido corregida en el procesamiento usando velocidades. Frecuentemente esta corrección no es exacta debido a un perfil de velocidades inexacto, pero los errores son pequeños sobre las ventanas temporales aquí usadas. El segundo factor de escala es un error absoluto (independiente del tiempo) que surge del registro y procesamiento de los datos sísmicos. Este factor de escala puede ser calculado y resuelto con las impedancias.

LA APROXIMACIÓN INICIAL. Para iniciar el proceso GLI, uno debe dar una aproximación inicial del resultado

deseado. Las restricciones principales de la aproximación inicial son un resultado de la parametrización del intervalo, lo que requiere que la aproximación tenga una frontera de la impedancia correspondiente a cada arribo que uno desea invertir. La ubicación de cada una de estas fronteras debe caer dentro de una distancia X de la solución. La

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distancia X está definida como la mitad del ancho del lóbulo central de la ondícula de la fuente. La polaridad en cada contraste de densidad debería tener la misma polaridad que el arribo correspondiente en la traza sísmica a ser invertida. Hay una “región de convergencia” dentro de la cual debe caer la aproximación inicial si se desea que converja a una solución aceptable. Las fronteras de esta región no pueden ser determinadas sin conocer la forma exacta de la superficie multidimensional del error, una tarea demasiado cara como para ser considerada. Sin embargo, la experiencia ha mostrado que cualquier aproximación que cumpla con las condiciones anteriores cae dentro de esta región de convergencia. Por ejemplo, en algunos casos sintéticos hemos generado la aproximación inicial con la suposición incorrecta de que el ruido en la traza a ser invertida es señal. Este “ruido” puede ser un arribo múltiple o ruido aleatorio. La aproximación inicial contiene un constaste de impedancia que corresponde a este falso arribo. La solución para este falso arribo tendrá un contraste de densidad igual a cero en ausencia de ruido aleatorio, y habrá un pequeño error en presencia de ruido aleatorio. Este efecto para un arribo múltiple se muestra en las Figuras 11a, 12a, y 13a.

UNICIDAD Y RESOLUCIÓN. Las soluciones de inversión obtenidas de GLI no son únicas, como fue discutido

por Backus y Gilbert (1970). En GLI la calidad de una solución es determinada comparando la traza observada con una traza sintética generada a partir de la solución. Si estas dos son iguales, la solución es exacta, pero no necesariamente única. A modo de ejemplo, se sugiere considerar el modelo de impedancia de tres capas del caso I en la Tabla 1 (Lines, 1981). Para el caso I, sea w(t) la ondícula de la fuente. La respuesta (sismograma sintético) calculada a partir de este modelo de impedancia y de la ondícula es

s(t) = w(t) * R(t),

donde R(t) es la función de reflectividad calculada usando la ecuación (4) en el modelo de impedancia anterior. La transformada Z de s(t) es S(Z) dada por

S(Z) = W(Z) k=0 (0.5)k ( 1)kZkt (10)

Esta expresión puede ser escrita como

S(Z) = W(Z) (-1.0 + 0.5 ZT) (-1) (0.5)2K Z2KT = W’(Z) (-0.5)2K Z2KT. (11)

La ecuación (11) da otra solución de impedancia y ondícula que tiene la misma respuesta que nuestra solución original. En el mismo marco geológico que el modelo original, esta nueva solución corresponde al caso II, Tabla 2. La ondícula nueva es la convolución entre la ondículavieja y el operador (-1.0 + 0.5ZT). Esta solución es aceptada matemáticamente pero no es real geofísicamente, ya que requiere que el tercer medio tenga una impedancia de 3000 pies/seg g/cm3.

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Tabla 1: Modelo de impedancia de tres capas Tabla 2: Dos modelos de impedancia con la misma respuesta.

No es usual encontrar soluciones no reales como estas usando GLI ya que la aproximación inicial suele estar dentro de una región de convergencia alrededor de la solución real. Otros problemas con la unicidad pueden ocurrir si uno parametriza la solución incorrectamente. Por ejemplo, uno no puede distinguir datos sísmicos de CMP apilados entre el efecto del aumento de velocidad y de densidad. Por esta razón nuestra solución está parametrizada en términos de la impedancia. Restricciones en los parámetros desconocidos también disminuyen los problemas de unicidad. Hemos restringido la solución para que la ondícula de la fuente sea de fase cero, lo que hace que la solución alternativa en el ejemplo anterior sea inaceptable. Un tipo de problema de unicidad ligeramente diferente ha sido encontrado con respecto al contexto de la frecuencia en la solución de la impedancia. Los ejemplos usados aquí muestran soluciones de impedancia que tienen al parecer resolución infinita para las ubicaciones de las fronteras. Esto y la componente de baja frecuencia en las soluciones son aparentemente imposibles porque los valores a ser invertidos son de banda limitada. ¿Cómo puede ser que la solución tenga una frecuencia más ancha que los valores observados? La respuesta a este dilema yace en la no-unicidad de la solución y en las restricciones aplicadas sobre ella. La solución de impedancia no es única en los rangos de frecuencia afuera del pasa-banda de la ondícula de la señal. Esto surge porque al evaluar una solución se debe generar a partir de ella una traza sísmica sintética. Esta traza sintética es filtrada para rechazar a todas las frecuencias excepto a aquellas que se encuentran en los datos observados (este filtrado es la convolución con la ondícula de la fuente). Debido a esto vemos que la amplitud y fase de la función de reflectividad son irrelevantes en aquellas regiones que son rechazadas. Esto implica que la solución en las regiones rechazadas no es única; de hecho, cualquier solución finita en estas regiones es equivalentemente aceptable. Este problema no es tan grave como parece debido al sistema de restricciones, a la parametrización utilizada, y a la generación de la aproximación inicial. Cuando se usa GLI, la primera solución evaluada según el método anterior es la aproximación inicial. El programa cambiará la aproximación en las regiones no rechazadas con problemas usuales de unicidad. Para las regiones rechazadas cualquier solución es aceptable por lo que la aproximación inicial sería suficiente, excepto que algunas restricciones han sido ubicadas sobre la solución. La primera restricción consiste en fijar la impedancia de algún estrato guía conocido. (Cómo realizar esto es discutido en la sección de restricciones.) Cuando se utiliza más de una restricción implica que el usuario tiene alguna información de offset o de baja frecuencia acerca de

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la solución. Esta información es incorporada en la solución. Otra restricción está implícita en la parametrización utilizada. La parametrización dependiente de la litología requiere fronteras angulosas y eso le agrega más componentes de baja –y alta- frecuencia a la solución. Si una parte dada de las regiones rechazadas no es restringida como antes (y esto es frecuente cuando uno no puede fijar la impedancia), luego la solución encontrada en la aproximación inicial es suficiente, y ésta será incorporada en la solución final. De esta manera, la solución es la aproximación para aquellas frecuencias no restringidas. En la discusión anterior la solución fue analizada en el dominio de la frecuencia. Es importante recordar que la aproximación es generada y la solución es encontrada en el dominio del tiempo.

UN EJEMPLO SINTÉTICO. En las Figuras 6 y 7 se observa un ejemplo simple de GLI. En este ejemplo queremos conocer la ubicación y el contraste de impedancia de sólo una frontera. La Figura 6a muestra el perfil de impedancia que es utilizado para generar una traza sintética para ser invertida. En la Figura 7a se muestra esta traza “observada” con ruido simulado, un primer arribo simple, y ninguna reflexión múltiple. El ruido es blanco y aleatorio, y el rms de la relación señal-ruido (S/R) es 0.5, calculado sobre la traza entera. Esta traza tiene una ondícula de la fuente que es un filtro pasa banda 5-10-115-120 con un desplazamiento de fase de 22.5 grados. El perfil de impedancia de la Figura 6b es usado como una aproximación inicial de la solución. La figura 7b muestra una traza sintética generada a partir de esta aproximación. Al generar esta traza se supone que la ondícula es una 5-10-115-120 de fase cero. La Figura 6c muestra el resultado de inversión luego de cinco iteraciones. La Figura 7c muestra la sintética calculada a partir de esta solución. La solución para la ondícula de la fuente tiene un desplazamiento de fase de 19.7 grados y el mismo pasa banda que la ondícula de la fuente observada.

IMPEDANCIA

Figura 6: El perfil de impedancia A es de una tierra hipotética usada para generar el dato “observado” a ser invertido. El perfil B es la aproximación inicial de la solución. El perfil C es la solución de la impedancia.

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TRAZAS SÍSMICAS

Figura 7: La traza sintética A es la traza a ser invertida. Es generada a partir de la parte A de la Figura 6. La traza B es la sintética generada a partir de la aproximación inicial. La traza C es la sintética generada a partir de la solución.

EJEMPLO SINTETICO CON RESTRICCIONES. La ecuación (7) es un sistema de ecuaciones lineales que es resuelto para una serie de correcciones de los parámetros. Suele suceder que un intérprete conozca con exactitud algunos de estos parámetros y no quiera modificarlos. Estas restricciones podrían surgir de un perfil sónico cercano. La ecuación (7) puede ser modificada para dejar a estos parámetros sin ser modificados y basar en ellos a la solución para el resto de los parámetros. Para hacer esto, uno sólo necesita remover todas las derivadas con respecto al parámetro exacto. El vector de corrección resultante no tendrá ningún elemento correspondiente al parámetro exacto. El uso de restricciones en GLI es especialmente útil en cuanto al control de los efectos de ruido y/o cuando se trabaja en un área conocida geofísicamente. Un ejemplo de esto se encuentra en el siguiente caso hipotético. En este ejemplo uno desea invertir una línea sísmica entera, una traza a la vez. Se sabe de antemano que sólo algunas trazas están registradas sobre una arena con gas, la Figura 8 muestra esta sección hipotética y el perfil de impedancia correspondiente. Para los propósitos de este ejemplo sólo trabajaremos con dos trazas de esta línea sísmica –una que muestre la arena con gas y otra que no la muestre. Estas trazas sintéticas se muestran en la Figura 9. Es difícil la detección de la arena con gas en estas trazas porque hay (1) un arribo múltiple coincidente con el arribo de la arena con gas y (2) ruido aleatorio simulado que ha sido

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agregado a ambas trazas. Este ruido resulta ser más fuerte en el área de interés. Ambas trazas son invertidas usando la aproximación inicial hallada en la Figura 10. Si no hubiera ruido en los datos, los resultados de la inversión hubiesen sido exactos. La existencia de ruido es la responsable de los gradientes de impedancia erróneos en los resultados (ver Figura 11). Se debe notar que la escala en esta figura es diferente a la escala en otros resultados de impedancia en esta sección. La respuesta sísmica para un gradiente tal es muy sutil y puede estar parcialmente simulada por ruido. Por eso cuando hay ruido en los datos a ser invertidos, los resultados pueden tener grandes gradientes de impedancia dentro de un dado intervalo. Una restricción simple que remueve este tipo de error puede ser aplicada a la ecuación (7) como fue discutido anteriormente. Ésta fijará a todos los gradientes de impedancia en cero; los resultados se muestran en la Figura 12. Se debe notar que el ligero gradiente de impedancia que existe realmente en el modelo no está presente en este resultado de inversión. Esto puede no parecer un problema en este ejemplo, pero los perfiles de impedancia actuales muestran gradientes frecuentes y a veces bastante grandes dentro de una misma litología. En tal caso puede ser bastante indeseable restringir los gradientes a cero. Una restricción diferente (y en este caso más realista) es fijar la impedancia del último intervalo como su valor del perfil. No se fijan ubicaciones de las fronteras ni gradientes de impedancia. Los resultados (Figura 13) muestran un pequeño error comparado con la respuesta correcta, pero no hay problema en cuanto a la identificación de la arena con gas.

Figura 8: Perfil geológico hipotético. Perforaciones en el área han confirmado la existencia de arenas con gas que son difíciles de detectar con datos sísmicos.

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TRAZAS

Figura 9: Dos trazas tomadas de una traza sísmica sobre la Figura 8. La traza A no muestra a la arena con gas, mientras que la traza B sí lo hace. Ambas trazas contienen ruido simulado.

Figura 10: Aproximación inicial utilizada para invertir ambas trazas mostradas en la Figura 9.

IMPEDANCIA

Figura 11: Inversión de trazas en la Figura 9 usando la aproximación de la Figura 10. El perfil A no debería indicar la presencia de una arena con gas, y el perfil B sí.

Figura 12: Inversión de trazas en la Figura 9 usando la restricción de que todos los gradientes dentro de la frontera son fijados en cero.

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IMPEDANCIA

Figura 13: Inversión de las trazas en la Figura 9 con la impedancia de la última frontera fija.

EJEMPLO DE CAMPO. Desde la Figura 14 hasta la 18 se muestra un ejemplo donde una traza sísmica real es invertida. La Figura 14 muestra la traza sísmica a ser invertida. La Figura 15 contiene un perfil de impedancia registrado cerca de la traza. (Se asumió que todas las densidades sean de 2.0 g/cm3 para generar este perfil de impedancia.) Los valores mostrados son de una ventana, cuyo límite superior está en 1 seg. El pozo no fue perfilado por debajo del punto de la ventana correspondiente los 290 mseg. Aquí se muestra el perfil de impedancia para una comparación con los resultados de inversión de la Figura 16. Los datos sísmicos son una traza CMP que ha sido procesada para preservar la amplitud verdadera y la fase cero. Los datos fueron registrados con un intervalo de muestreo de 1 msg, vueltos a muestrear cada 2 mseg, y filtrados con un filtro pasa banda trapezoidal 5-15-80-15. Este fue el mismo filtro que fue utilizado para una aproximación inicial de la ondícula de la fuente en el proceso de inversión. Con GLI es importante incluir la región de la fuente de reflexiones múltiples en la ventana de inversión si se desea invertir a estas últimas correctamente. Este hecho implica que todas las ventanas deberían empezar en un tiempo cero, pero esto sería extremadamente caro ya que el tiempo computacional de inversión aumenta en forma geométrica con la longitud de la ventana. En este caso hemos alcanzado un compromiso mediante la inversión de la región de interés (200-400 mseg) además de la región que genera la mayor cantidad de reflexiones múltiples (0-200 mseg) cayendo dentro de la región de interés. Cualquier reflexión múltiple generada por encima de la ventana será invertida como si fuera primaria.

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La traza observada en la Figura 14 fue invertida usando la aproximación inicial encontrada en la Figura 16, y el resultado es mostrado a la derecha de la Figura 16. Esta inversión duró aproximadamente 10 minutos y tomó 10 iteraciones en una computadora Cyber 720. La aproximación inicial fue generada a partir de asignarle una frontera con un aumento de impedancia para cada máximo y una disminución para cada mínimo encontrados en los valores observados. Esto dio un total de 49 intervalos de impedancia, dos de los cuales mantuvieron sus valores de impedancia fijos. Estos intervalos fijos son el primero y aquel con el mayor valor de impedancia. Ambos valores fijos fueron tomados del perfil de impedancia asociado. Se fija al primer intervalo para que el resultado de la inversión tenga la escala absoluta correcta. Se fija a la impedancia más alta con el fin de incorporar una tendencia de baja frecuencia en la aproximación inicial y en el resultado de la inversión. La aproximación inicial para todos los gradientes de impedancia fue cero. Para evaluar los resultados, uno puede comparar la solución de impedancia en la Figura 16 con los valores perfilados en la Figura 15. Otra forma de evaluar los resultados se muestra en la Figura 17, la cual muestra una traza sísmica sintética generada a partir de la solución de impedancia y del error entre esta traza y la observada. En la Figura 18 se muestran la aproximación inicial y la solución para la ondícula de la fuente usada en la inversión anterior. La aproximación inicial es una ondícula con un pasa banda 10-20-90-105 y fase cero. Este es el último filtro utilizado en el procesamiento de la traza a ser invertida. La solución para la ondícula de la fuente es un filtro pasa banda 18.1-29.5-95.6-104 con amplitud en 95.6 Hz y 20 por ciento de ella en 29.5 Hz. La fase de esta ondícula es 6.70 grados. En la Figura 19 se compara el resultado GLI con la inversión iterativa de la misma traza. Esta figura también muestra los valores de impedancia perfilados. El algoritmo de inversión iterativa usado es el mismo que fue presentado antes con un agregado importante. Se agregó información de velocidad, lo que aumenta el contenido de baja frecuencia de los resultados.

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Figura 14: Traza sísmica actual a ser invertida

IMPEDANCIA

Figura 15: Perfil de impedancia de la traza en la Figura 14.

Figura 16: El perfil A es la aproximación inicial utilizada para invertir la traza de la Figura 14. El perfil B es la solución de impedancia hallada luego de 10 iteraciones.

Figura 17: La traza A es una sintética calculada a partir de la solución de impedancia en la Figura 16 y la solución de la ondícula en la Figura 18. La traza B es la diferencia entre la traza observada en la Figura 14 y la traza A de esta figura.

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Figura 18: Aproximación inicial y solución para la ondícula de la fuente.

Figura 19: La traza de impedancia a la izquierda es el resultado de GLI. La traza del medio contiene los valores de impedancia del perfil. La traza a la derecha es una inversión iterativa de la misma traza utilizada para dar el resultado de GLI.

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CONCLUSIONES. Hemos aplicado la técnica de inversión lineal generalizada al problema de inversión sísmica 1D. Este acercamiento nos ha permitido incluir en los resultados algunas suposiciones a cerca de su forma. Estas suposiciones surgen del método de parametrización, que exige que todas las fronteras de impedancia sean discretas. Esto, por el contrario, ha ensanchado el contenido de frecuencia de los resultados más allá del ancho de banda de los datos ingresados. El problema de inversión se plantea en términos de un conjunto de ecuaciones simultáneas, que le permite a uno fijar cualquiera de las variables de impedancia si siente que es conocida. Esto es favorable para la inversión recursiva donde los errores tienden a propagarse y la información conocida de la impedancia no puede ser utilizada fácilmente. Hemos mostrado que esta técnica puede discriminar al ruido de inversión (Figuras 6 y 7), pero para lograrlo, es importante que el usuario tenga alguna idea de qué es ruido y qué es señal. En otros casos (Figura 11) las soluciones para los gradientes de impedancia dentro de una frontera estarán dominadas por la presencia de ruido. Este efecto puede ser disminuido mediante el uso de restricciones, pero nos preguntamos si es posible extraer información confiable del gradiente de impedancia entre las fronteras en la presencia de ruido. Hemos mostrado aquí cómo es posible resolver la ondícula de la fuente. En otros casos donde no hemos resuelto la ondícula de la fuente, hemos encontrado que los efectos residuales de la ondícula son despreciables. Si tomamos una aproximación inicial para la ondícula ligeramente incorrecta y no la resolvemos con las impedancias, el resultado de impedancia será muy similar al caso donde la ondícula es resuelta. Hemos probado la técnica GLI extensivamente con datos sintéticos y hemos encontrado que tiene muchas ventajas sobre la inversión convencional. En este punto, sin embargo, GLI ha sido aplicada a sólo un conjunto de datos de campo. Recomendamos que se realicen más pruebas con datos de campo en áreas donde se tenga un buen control de pozos.

RECONOCIMIENTOS. Este trabajo ha sido llevado a cabo en la Colorado School of Mines con el apoyo financiero de Integrated Geophysics Project. Los datos de campo y el perfil de impedancia utilizados fueron provistos por Amoco Production Company.

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