las ecuaciones de zoeppritz y la impedancia elástica

DataSeismic Soporte Teórico - P. Connolly

The smar

High Technologyin Geophysics

t way t
o better decisions_

REPORTE

“Elastic Impedance”by P. Connolly (The Leading Edge, 1999)

Dr. Danilo R. Velis

CONICET

Facultad de Ciencias Astronomicas y GeofısicasUNLP

Septiembre de 2007

Resumen

El presente informe esta basado en un analisis del trabajo de Patrick Connolly sobre

impedancia elastica [Connolly, 1999]. Se desarrolla y explica en detalle como se obtienen

cada una de las expresiones de las partes 1 y 2 del apendice. Es decir, en que consiste la

linealizacion de las ecuaciones de Zoeppritz para el coeficiente de reflexion de la onda P en

funcion del angulo de incidencia (expresion (1.1)), como a partir de esta linealizacion se

llega a la expresion (1.2) con la que se calcula la impedancia elastica definida por Connolly,

como se construyen los angle stacks y como se transforman los gathers del dominio del

offset al dominio del angulo (expresiones (2.1) y (2.2)), etc. En cada caso se detallan las

aproximaciones realizadas y la validez de las expresiones obtenidas.

Indice general

1. Parte 1: Las ecuaciones de Zoeppritz y la Impedancia Elastica (EI) 2

1.1. Introduccion: Snell y Zoeppritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Derivacion de la ecuacion (1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5


2. Parte 2: Angle Stacks 13

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13



2

Capıtulo 1

Parte 1: Las ecuaciones de Zoeppritzy la Impedancia Elastica (EI)

1.1. Introduccion: Snell y Zoeppritz

Una onda sısmica que incide sobre una discontinuidad del subsuelo sufrira una parti-

cion de su energıa. Parte de su energıa se reflejara y parte se transmitira a traves de la

discontinuidad. A su vez, la energıa reflejada tendra dos componentes: una onda reflejada

compresiva (onda P reflejada) y una onda reflejada de corte o cizalla (onda S reflejada).

Lo mismo ocurre para la energıa transmitida. Esto se puede apreciar en la Figura 1.1,

donde se muestra una onda P que incide con un angulo θi sobre una discontinuidad (siem-

pre medido con respecto a la normal) que separa dos medios con propiedades elasticas

propias (lo mismo ocurre cuando la onda incidente es una onda S). Obviamente, la suma

de todas las energıas reflejadas y transmitidas sera igual a la energıa total de la onda

incidente. Ahora bien, la propiedades fısicas del medio y del fenomeno de propagacion de

ondas hacen que la direccion con que se reflejan o transmiten las ondas varıe de acuerdo

a determinadas leyes. Por eso, una onda P que incide con un angulo θi, se refleja como

onda P con un angulo θr, que resulta ser igual a θi, pero se transmite con un angulo θt,

que es en general diferente al angulo de incidencia. La formula matematica que expresa

esta relacion esta dada por la Ley de Snell1:

sin θi

Vp1

=sin θr

Vp1

=sin θt

Vp2

. (1.1)

1La Ley de Snell puede derivarse a partir del famoso principio de Fermat de tiempos mınimos oestacionarios.

Septiembre de 2007 Impedancia elastica - Danilo Velis

1.1. INTRODUCCION: SNELL Y ZOEPPRITZ 3

Medio 1

Vp1, Vs1

, ρ1

Medio 2

Vp2, Vs2

, ρ2

discontinuidad

onda S transmitida (Tps)

onda P transmitida (Tpp)

onda P reflejada (Rpp)

onda S reflejada (Rps)

θi

φr

θr

φt

θt

onda P incidente (Ap = 1)

Figura 1.1: Tetraparticion de la energıa de una onda P incidente en una discontinuidadhorizontal.

Claramente la primera igualdad implica que θi = θr. Por otro lado, ası como θi �= θt,

tambien resultan diferentes los angulos de la onda S reflejada y de la onda S transmitida,

como se ve en la figura, y tal como lo expresa la Ley de Snell cuando se tienen en cuenta

ondas de corte. Ası

sin θi

Vp1

=sin φr

Vs1

=sin φt

Vs2

. (1.2)

Poniendo todo junto, podemos escribir la Ley de Snell, que ahora llamamos Ley de Snell

generalizada, de la siguiente manera:

sin θi

Vp1

=sin θr

Vp1

=sin θt

Vp2

=sin φr

Vs1

=sin φt

Vs2

= p, (1.3)

donde p es conocido como el parametro sısmico del rayo y es constante para toda dis-

continuidad encontrada por el rayo sısmico en su viaje desde la fuente hasta el receptor

(geofono o hidrofono). Cada onda P, o cada onda S, tendra su propio parametro sısmico,

constante a lo largo de toda su trayectoria.

Las ecuaciones de Zoeppritz son las formulas que permiten relacionar, en funcion

del angulo de incidencia, cuanta energıa se transmite y cuanta se refleja, tanto para la


1.1. INTRODUCCION: SNELL Y ZOEPPRITZ 4

componente compresiva como de cizalla. Su derivacion detallada es bastante compleja y

requiere muchos pasos matematicos y algunas hipotesis sobre el modelo de subsuelo (ondas

planas en medios elasticos, isotropos y homogeneos). Esencialmente la idea es considerar

una onda plana que incide con determinado angulo sobre una interfase, y luego tener en

cuenta que los deslazamientos de las partıculas y las tensiones generadas a ambos lados de

la discontinuidad deben ser iguales (por eso hablamos de un medio elastico, caso contrario

habrıa fracturas de los materiales y se perderıa la validez del fenomeno de propagacion

de ondas como lo utilizamos en la sısmica de exploracion).

Escribiendo entonces la igualdad de los desplazamientos y tensiones para cada una de

las componentes en que se particiona la onda incidente, es que se obtienen las ecuaciones

de Zoeppritz. Las ecuaciones de Zoeppritz en sı son tambien bastante complejas, pues

relacionan no solo las amplitudes de una onda P incidente (de amplitud Ap = 1) desde el

medio 1 y desde el medio 2 con las de las onda P y S reflejadas y transmitidas a traves

de los coeficiente de reflexion y transmision (ver Figura 1.1), sino tambien el caso analogo

en que se tiene una onda S incidente, tambien desde el medio 1 y desde el medio 2.

Estas relaciones involucran todos los coeficientes de reflexion y transmision (Rpp, Rps,

Rsp, Rss, Tpp, Tps, etc.) y todas las propiedades fısicas de los dos medios (velocidades y

densidades). En el caso particular de la Figura 1.1 (onda P incidente desde el medio 1),

las ecuaciones de Zoeppritz estan conformadas por un sistema de cuatro ecuaciones con

cuatro incognitas, y se pueden escribir de la siguiente manera:

⎛⎜⎜⎝

sin θi cos φr − sin θt cos φt

cos θi − sin φr cos θt sin φt

sin 2θi a1 cos 2φr b1 sin 2θt −c1 cos 2φt

cos 2φr −a2 sin 2φr −b2 cos 2φt −c2 sin 2φt

⎞⎟⎟⎠ ×

⎛⎜⎜⎝

Rpp

Rps

Tpp

Tps

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

− sin θi

cos θi

sin 2θi

− cos 2φr

⎞⎟⎟⎠ ,

(1.4)

donde

a1 =Vp1

Vs1

, b1 =Vs2

Vp1W2

Vp2Vs1

W1

, c1 =Vp1

W2

Vs1W1

, (1.5)

a2 =Vs1

Vp1

, b2 =Z2

Z1

, c2 =W2

Z1

, (1.6)


1.2. DERIVACION DE LA ECUACION (1.1) 5

siendo Z1, Z2, W1 y W2 las correspondientes impedancias para las ondas P y S en cada

uno de los medios:

Z1 = ρ1Vp1, Z2 = ρ2Vp2

, W1 = ρ1Vs1, W2 = ρ2Vs2

. (1.7)

Dado un angulo de incidencia θi y las propiedades fısicas de los dos medios, estas

ecuaciones se pueden resolver numericamente y ası hallar los coeficientes de reflexion y

transmision correspondientes. Previamente, los angulos θt, φr y φt deben ser calculados

mediante la Ley de Snell generalizada.

1.2. Derivacion de la ecuacion (1.1)

La ecuacion (1.1) del trabajo de Connolly no es otra cosa que una aproximacion de

las ecuaciones de Zoeppritz (una simplificacion matematica que es mucho mas practica

que las ecuaciones completas) para el caso de una onda P incidente desde el medio 1, y

teniendo en cuenta solamente el coeficiente de reflexion de la onda P reflejada (esta es la

onda que usualmente se registra en un relevamiento sısmico).

A partir del sistema de ecuaciones (1.4) se puede despejar Rpp en funcion de los angulos

de incidencia, reflexion y de transmision (y de los parametros fısicos de los dos medios):

Rpp = Rpp(θi, θt, φr, φt, Vp1, Vp2

, Vs1, Vs2

, ρ1, ρ2). (1.8)

Luego, mediante el uso de la Ley de Snell generalizada, ecuacion (1.3), es posible eliminar

los angulos θt, φr y φt para finalmente obtener Rpp en funcion de θi y las velocidades y

densidades de los dos medios solamente:

Rpp = Rpp(θi, Vp1, Vp2

, Vs1, Vs2

, ρ1, ρ2). (1.9)

Este procedimiento es extremadamente tedioso, por lo cual no tiene sentido repro-

ducirlo en este informe ([Aki and Richards, 2002] brinda algunos detalles, aunque no el

desarrollo completo). La expresion final de Rpp resulta tambien extremadamente compleja

(ver primera formula en la ecuacion (5.40) en [Aki and Richards, 2002], p. 144). Por ello

en la practica se realizan simplificaciones para poder contar con una expresion matematica



mucho mas manejable. Este ultimo paso se conoce como “Linealizacion de las ecuaciones

de Zoeppritz”, y puede repetirse para Rps, Tpp y Tps.

La linealizacion consiste basicamente en asumir que los dos medios poseen propiedades

similares. Para esto se asume que las siguientes relaciones son mucho menores que la

unidad:

∆Vp

Vp

� 1,∆Vs

Vs

� 1,∆ρ

ρ� 1, (1.10)

donde

∆Vp = Vp2− Vp1

, ∆Vs = Vs2− Vs1

, ∆ρ = ρ2 − ρ1, (1.11)

Vp =Vp1

+ Vp2

2, Vs =

Vs1+ Vs2

2, ρ =

ρ1 + ρ2

2. (1.12)

Ademas se asume que el angulo de incidencia de la onda P es menor al angulo crıtico2 y

que ningun otro angulo se aproxima a 90o. Estas hipotesis son razonables para angulos

de incidencia no muy oblicuos y comienzan a perder validez para offsets muy lejanos.

Todas estas suposiciones (medios “similares” y angulos “pequenos”) permiten sim-

plificar unos cuantos terminos de la expresion completa para Rpp. La clave esta en que

algunas expresiones son reemplazadas por un desarrollo en serie, despreciandose luego

los terminos de orden cuadratico y superior en virtud de las hipotesis mencionadas (de

allı que el procedimiento toma el nombre de “linealizacion”).

Si al angulo de incidencia lo llamamos θ en lugar de θi, y si al coeficiente de reflexion

Rpp lo llamamos simplemente R, luego de numerosas operaciones algebraicas se obtiene

finalmente la expresion (1.1) del trabajo de Connolly:

R(θ) = A + B sin2 θ + C sin2 θ tan2 θ, (1.13)

donde

A =1

2

(∆Vp

Vp+

∆ρ

ρ

), (1.14)

2El angulo crıtico es aquel para el cual la onda incidente se refleja totalmente, es decir no hay ondatransmitida. Matematicamente, el angulo de incidencia crıtico es tal que θt = 90o, o sea θcritico =arcsin(Vp1

/Vp2), pues sin 90 = 1.



B =∆Vp

2Vp

− 4K∆Vs

Vs

− 2K∆ρ

ρ, (1.15)

C =1

2

∆Vp

Vp

. (1.16)

K =1

2

(V 2

s2

V 2p2

+V 2

s1

V 2p1

). (1.17)

Como se puede apreciar, el coeficiente de reflexion toma entonces valores diferentes de

acuerdo al angulo de incidencia θ. Esto significa que si la onda P incidente tiene una

amplitud de 1, la onda reflejada tendra una amplitud menor a la unidad e igual al valor

expresado por la formula anterior. Es decir que la cantidad de energıa transmitida o

reflejada dependera del angulo de incidencia y de las propiedades fısicas de los dos medios.

Cabe aclarar que la linealizacion realizada por Aki y Richards (2002), lleva a una

expresion diferente, aunque equivalente, a la que se indica en el trabajo de Connolly,

que es similar a la expresion debida a Shuey (1985). La diferencia entre la formula (1.1)

del trabajo de Connolly y la de Shuey es la forma de expresar el coeficientes B. Shuey

elimina Vs y ∆Vs e incorpora el coeficiente de Poisson, reordenando los terminos de la

aproximacion de Aki y Richards de manera tal que resulten decrecientes en relacion al

angulo de incidencia. El trabajo de Shuey fue el punto de partida para el comienzo de la

aplicacion practica del AVO, ya que ahora era posible asociar diferentes rangos de angulos

a diferentes terminos de la aproximacion.

Hay que tener bien presente que por tratarse la (1.13) de una aproximacion, el valor

calculado con esta formula no es exacto, y los errores seran mayores cuanto mayor sea

el angulo de incidencia (y cuanto mayor sea el contraste de los parametros fısicos de los

dos medios). La Figura 1.2 muestra un ejemplo de como varıa el coeficiente de reflexion

versus el angulo de incidencia utilizando la solucion exacta dada por Zoeppritz, y la apro-

ximacion anterior utilizando dos y tres terminos. Como consecuencia, la formula (1.13)

puede considerarse valida solamente para angulos menores al angulo crıtico y para me-

dios relativamente similares. No obstante ello, la aproximacion es de suma utilidad en

exploracion sısmica puesto que permite sacar el maximo provecho de la informacion de



-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0 10 20 30 40 50 60

R(θ

)

θ (grados)

Zoeppritz

A + B sin2θA + B sin2θ + C sin2θ tg2θ

Figura 1.2: Comparacion entre el coeficiente de reflexion exacto calculado a traves de lasecuaciones de Zoeppritz, y el coeficiente de reflexion aproximado cuando se utilizan dosy tres terminos en la ecuacion (1.13). En el ejemplo, Vp1

= 3,0 km/s, Vp2= 3,1 km/s,

Vs1= 1,4 km/s, Vs2

= 1,5 km/s, ρa = 2,4 gr/cc y ρb = 2,42 gr/cc.

AVO contenida en los datos pre-stack, especialmente para el desarrollo de indicadores de

presencia de hidrocarburos.

Incidencia normal

Cuando se tiene una onda P que incide normalmente a la discontinuidad (θi = 0),

como se sabe no hay conversion a onda S, por lo que Rps = Tps = 0. Luego, el siste-

ma de ecuaciones de Zoeppritz (1.4) queda reducido solamente a las dos ecuaciones que

involucran a los coeficientes no-nulos, o sea Rpp y Tpp, o sea

{Rpp + Tpp = 1Rpp − b2Tpp = −1,

(1.18)

de donde se obtiene facilmente

Rpp =b2 − 1

b2 + 1=

Z2

Z1

− 1Z2

Z1

+ 1=

Z2 − Z1

Z2 + Z1, (1.19)

que es la clasica expresion del coeficiente de reflexion para incidencia normal expresado

como un contraste de impedancias acusticas.




De la misma manera que el coeficiente de reflexion para una onda P con incidencia

normal se expresa como un contraste de impedancias acusticas, se puede definir un coe-

ficiente de reflexion (elastico) como un contraste de impedancias elasticas3, ahora para el

caso que se tienen angulos de incidencia no-nulos:

R(θ) =f2 − f1

f2 + f1, (1.20)

donde f = f(θ) es la impedancia elastica que queremos hallar.

En el trabajo de Connolly se utiliza la aproximacion logarıtmica para el coeficiente

de reflexion, que generalmente se la considera valida para coeficientes menores a ±0,3

(pequenos a moderados contrastes de impedancia). En efecto, la ecuacion anterior se

puede reescribir como

R(θ) =∆f

2 f1+f2

2

=1

2

∆f

f, (1.21)

donde hemos definido

∆f = f2 − f2 y f =f1 + f2

2. (1.22)

Luego, asumiendo que ∆f es pequeno4, podemos asociar el incremento ∆ con un diferen-

cial; y dado que la derivada del logaritmo de una variable cualquiera x es igual a 1/x por

la derivada de x, es decir d(ln x) = dx/x, se obtiene entonces

R(θ) �1

2∆ ln f, (1.23)

que es la aproximacion logarıtmica mencionada. Usando entonces la aproximacion (1.13)

y las definiciones para A, B y C vistas mas arriba, se tiene

3Por convencion usamos el termino “acustico” para casos de incidencia normal de una onda compre-siva P, ya que no se producen conversiones a onda S, y la onda compresiva es del mismo tipo que la ondade sonido. El termino “elastico” queda reservado para cuando se tiene incidencia oblicua, donde sı hayconversiones de modo.

4Recordar que todo el analisis solamente es valido para contrastes de impedancia relativamente pe-quenos, que era una de las hipotesis hechas en la linealizacion de las ecuaciones de Zoeppritz.



1

2∆ ln EI =

1

2

(∆Vp

Vp

+∆ρ

ρ

)+

(∆Vp

2Vp

− 4K∆Vs

Vs

− 2K∆ρ

ρ

)sin2 θ +

+1

2

∆Vp

Vpsin2 θ tan2 θ,

(1.24)

donde hemos reemplazado la letra f por la EI, la impedancia elastica. Usamos ahora la

relacion

sin2 θ tan2 θ = (1 − cos2 θ) tan2 θ = tan2 θ − sin2 θ. (1.25)

Aplicando la propiedad distributiva:

1

2∆ ln EI =

∆Vp

2Vp+

∆ρ

2ρ+

∆Vp

2Vpsin2 θ − 4K

∆Vs

Vssin2 θ −

− 2K∆ρ

ρsin2 θ +

∆Vp

2Vptan2 θ−

∆Vp

2Vpsin2 θ ,

(1.26)

que cancelando y reagrupando queda

1

2∆ ln EI =

∆Vp

2Vp(1 + tan2 θ) − 4K

∆Vs

Vssin2 θ +

∆ρ

ρ(1

2− 2K sin2 θ)

=1

2

[∆Vp

Vp(1 + tan2 θ) −

∆Vs

Vs8K sin2 θ +

∆ρ

ρ(1 − 4K sin2 θ)

].

(1.27)

Utilizando nuevamente el hecho que d(ln x) = dx/x � ∆x/x, con x = Vp, Vs y ρ sucesiva-

mente, y cancelando el factor 1/2, se tiene

∆ ln EI = (1 + tan2 θ)∆ ln(Vp) − 8K sin2 θ∆ ln(Vs) + (1 − 4K sin2 θ)∆ ln(ρ), (1.28)

que podemos reescribir como

∆ ln EI = ∆[(1 + tan2 θ) ln(Vp)

]− ∆

[8K sin2 θ ln(Vs)

]+ ∆

[(1 − 4K sin2 θ) ln(ρ)

],

(1.29)

ya que θ es constante y K se asume como tal, y por ende pueden estar dentro o fuera de

la diferenciacion. Usamos ahora la siguiente regla:



ln xa = a ln x. (1.30)

Entonces, reemplazando x y a por las expresiones entre corchetes correspondientes de la

ecuacion (1.29), se tiene sucesivamente

⎧⎪⎨⎪⎩

x = Vp, a = (1 + tan2 θ) ⇒ (1 + tan2 θ) ln(Vp) = ln V(1+tan2 θ)p

x = Vs, a = 8K sin2 θ ⇒ 8K sin2 θ ln(Vs) = ln V 8K sin2 θs

x = ρ, a = (1 − 4K sin2 θ) ⇒ (1 − 4K sin2 θ) ln(ρ) = ln ρ(1−4K sin2 θ),

(1.31)

entonces

∆ lnEI = ∆ ln V (1+tan2 θ)p − ∆ ln V 8K sin2 θ

s + ∆ ln ρ(1−4K sin2 θ)

= ∆[ln V (1+tan2 θ)

p − ln V 8K sin2 θs + ln ρ(1−4K sin2 θ)

]= ∆ ln

[V (1+tan2 θ)

p V −8K sin2 θs ρ(1−4K sin2 θ)

],

(1.32)

donde hemos utilizado las propiedades

ln(xyz) = ln x + ln y + ln z y ln x−1 = − ln x. (1.33)

Finalmente, para obtener la impedancia elastica a partir del desarrollo anterior, basta

con integrar para deshacernos del diferencial. Si llamamos sucesivamente x = ln EI y x

igual al logaritmo del ultimo corchete de la expresion anterior, como

∫∆x = x + C, (1.34)

se obtiene, haciendo la constante de integracion C igual a cero,

EI = V (1+tan2 θ)p V −8K sin2 θ

s ρ(1−4K sin2 θ), (1.35)

que es la expresion (1.2) del trabajo de Connolly. La expresion (1.3) del trabajo de Con-

nolly es otra forma de escribir la anterior, factorizando Vp, es decir:

V (1+tan2 θ)p = VpV

tan2 θp ⇒ EI = Vp

[V tan2θ

p V −8K sin2 θs ρ(1−4K sin2 θ)

], (1.36)



que es igual a la (1.3) del trabajo de Connolly. Por lo tanto, si se tienen los sonicos y la

densidad, se puede calcular la impedancia acustica para cada angulo de incidencia me-

diante alguna de las dos formulas anteriores. Vale la pena recordar nuevamente que estas

expresiones son validas para angulos de incidencia pequenos a moderados (definitivamen-

te menores al angulo crıtico y a 90o), y cuando los cambios en los parametros elasticos

(velocidades y densidad) no son demasiado abruptos. Ademas K debe poder asumirse

como constante o muy poco variable. En la practica se debe estimar un valor de K a

ser utilizado para toda la ventana temporal considerada, lo cual no suele representar una

dificultad porque en general la relacion entre Vp y Vs es lineal [Castagna et al., 1985].

En resumen, cuando se tiene incidencia normal, uno considera el coeficiente de reflexion

para incidencia normal dado por la ecuacion (1.19) done esta involucrada la impedancia

acustica Z. En este contexto, solo entra en juego la velocidad compresiva Vp y la densidad

ρ. Un modelo mas realista se tiene cuando se considera incidencia oblicua, y en este

caso una buena aproximacion para el coeficiente de reflexion para las ondas compresivas

y valida para angulos no muy grandes viene dada por la expresion (1.1) del trabajo

de Connolly (obtenida a partir de la linealizacion de las ecuaciones de Zoeppritz). Este

coeficiente de reflexion involucra, ademas de Vp y ρ, tambien la velocidad de la onda de

corte, Vs, ya que cuando hay incidencia oblicua existe conversion de onda P a onda S, y

este fenomeno de particion de la energıa debe tenerse en cuenta a la hora de calcular los

coeficientes de reflexion. Entonces, en este caso hablamos de impedancia elastica, que la

llamamos EI y la calculamos con alguna de las formulas anteriores. Notar que tendremos

un perfil de impedancia elastica por cada angulo de incidencia que utilicemos.

La importancia del analisis de AVO radica en que a partir de la adquisicion sısmica

de ondas P reflejadas con angulos de incidencia diferentes para un mismo CDP, es posible

extraer informacion del coeficiente de reflexion “elastico”, que a su vez contiene infor-

macion de la onda de corte S. Contrariamente a lo que ocurre con la sısmica post-stack

convencional, que no contiene informacion alguna sobre las ondas S, con un analisis de

AVO es posible identificar indicios de la presencia de hidrocarburos.


13

Capıtulo 2

Parte 2: Angle Stacks

2.1. Introduccion

Los datos sısmicos pre-stack estan en el dominio del offset, en tanto que todo el analisis

de AVO de la seccion anterior pertenece al dominio del angulo (de incidencia). Por ello,

para poder sacar conclusiones acerca de los parametros elasticos del subsuelo (por ejemplo

mediante la inversion elastica de los angle stacks), es necesario pasar los datos del domino

del offset al domino del angulo, para luego sı construir un angle stack apilando la trazas

adecuadas para algun rango de angulos de interes. Para la construccion de un angle stack

existen dos formas descriptas por Connolly, una basada en ciertas funciones de peso que

deben ser aplicadas a las trazas a apilar, y la otra basada en un apilamiento convencional,

pero que toma en cuenta solamente un rango de offsets determinados por ciertas funciones

de mute.

En general el procedimiento para pasar del domino del offset al dominio del angulo,

previo a la construccion del angle stack, es bastante complejo, pero resulta relativamen-

te sencillo si se utiliza la teorıa de rayos y se realizan algunas aproximaciones. Estas

aproximaciones implican que el proceso sera solamente valido para angulos de incidencia

moderados a pequenos (menores que 30−35o)1, y para un modelo de subsuelo consistente

en una sucesion de capas horizontales, planas e isotropas (“layer-cake geometry”).



Ax

C

B

θθ vz

A′

z

Figura 2.1: Geometrıa de los rayos reflejados en un modelo de una sola capa.


Consideremos primero un modelo de subsuelo con una sola capa horizontal de espesor

z y velocidad constante v (ver Figura 2.1). Si t0 es el tiempo de ida y vuelta para incidencia

normal (TWT),

t0 =2z

v⇒ z =

vt02

. (2.1)

Luego, a partir de la figura,

tan θ =x/2

z=

x

vt0. (2.2)

Esta expresion nos permitira calcular en forma exacta cual es el angulo θ para cada offset,

para el modelo de una capa, dada su velocidad y el TWT. De esta forma, las amplitudes

de un gather en el dominio del offset pueden ser mapeadas al dominio del angulo.

Aplicando el Teorema de Pitagoras sobre el triangulo AA′C, es muy sencillo ver cual

es la relacion tiempo-distancia para el modelo anterior:

(A′C)2 = (ABC)2 = (A′A)2 + x2 = (2z)2 + x2. (2.3)

Dividiendo todo por v2, se tiene

1Notar que bajo esta hipotesis se asumen rayos esencialmente verticales. En otras palabras, podemosdecir que se asume que el offset es significativamente menor que la profundidad de las capas del subsueloen cuestion: x � z.



Ax

C

v2

v1

B

Figura 2.2: Geometrıa de los rayos reflejados en un modelo de dos capas.

(ABC

v

)2

=

(2z

v

)2

+x2

v2, (2.4)

de donde surge inmediatamente que

t2 = t20 +x2

v2. (2.5)

Esta expresion es la clasica hiperbola de las reflexiones. Pero cuando se tienen dos o mas

reflectores horizontales, los rayos se refractan en cada uno produciendo un rayo complejo

(ver Figura 2.2). Como consideramos x � z (o sea angulos de incidencia relativamente

pequenos), resulta una buena aproximacion asumir que el rayo sigue la trayectoria indi-

cada con lınea punteada. Como consecuencia, la curva de tiempo de viaje sigue siendo

hiperbolica (como el caso de una capa sola vista recien), pero la velocidad del conjunto

de capas superiores al reflector en cuestion debe ser reemplazada por la velocidad media

vn, o mas precisamente, la velocidad cuadratica media, vrn

2.

La velocidad cuadratica media se define como [Dix, 1955]:

v2rn

=

∑ni=1 v2

i τi∑ni=1 τi

, (2.6)

donde n es el numero de capas por encima del reflector en cuestion, τi es el tiempo que

el rayo demora en atravesar la capa i−esima y vi son las velocidades intervalicas. Por lo

tanto, para offsets pequenos (x � z), el tiempo total del rayo reflejado en el reflector

enesimo a una profundidad z, puede escribirse como:

2El subındice n denota el numero de capas para las cuales se define la velocidad correspondiente.



t2n � t20 +x2

v2r

, (2.7)

donde ahora t0 viene dado por

t0 =2z

vr. (2.8)

Ahora bien, para hallar la relacion entre el offset x y el angulo de incidencia θ, debemos

recurrir al parametro sısmico del rayo, p, ya visto al principio de este informe cuando

repasamos la Ley de Snell, y que repetimos a continuacion:

p =sin θ

vi, (2.9)

donde vi es la velocidad intervalica de una capa cualquiera. Como es sabido, el parametro

sısmico (constante a lo largo de toda la trayectoria del rayo) es tambien igual a la derivada

con respecto al offset del tiempo de propagacion:

p =dtndx

. (2.10)

Luego, diferenciando la ecuacion (2.7),

2tndtn =2x

v2r

dx ⇒dtndx

=x

vrtn, (2.11)

Igualando entonces esta expresion con la del parametro sısmico en funcion del angulo,

surge

p =sin θ

vi=

dtndx

⇒ sin θ = vidtndx

=xvi

v2r tn

, (2.12)

de donde, reemplazando tn por la formula (2.7),

sin2 θ =x2v2

i

v2r(t

20 + x2

v2r

)=

x2v2i

v2r(x

2 + v2r t

20)

, (2.13)

que es la expresion (2.1) del trabajo de Connolly. De la misma forma que la ecuacion (2.2)

nos permitıa mapear las amplitudes del dominio del offset al dominio del angulo para el

caso de un modelo de una sola capa, la expresion anterior nos permitira mapear las

amplitudes de un dominio al otro cuando se tiene un modelo de capas horizontales y



planas, y los angulos de incidencia son relativamente pequenos. Si los angulo de incidencia

no son pequenos, la aproximacion debida a Dix, ecuacion (2.7) carecerıa de validez, y por

lo tanto el mapeo que acabamos de describir sera incorrecto.

Pero como aplicar la formula anterior para nuestro mapeo si no conocemos las veloci-

dades intervalicas?. Una forma serıa utilizar una ley de velocidades uniforme extraıda de

algun pozo representativo para todo un cubo (solo utilizable para zonas muy “tranquilas”),

o bien mediante el uso de la formula de Dix, que permite calcular la velocidad intervalica

de la capa enesima a partir de las velocidades cuadraticas medias correspondientes a las

capas por encima de la capa en cuestion:

vn =

(v2

rn

tn − v2rn−1

tn−1

tn − tn−1

)1/2

. (2.14)

Las velocidades cuadraticas medias se obtienen por ejemplo tras horizontalizar los

reflectores en cada uno de los gathers (velocidades del stacking), y las intervalicas se

calculan entonces sucesivamente mediante la formula anterior.


La ecuacion (1.1) del trabajo de Connolly muestra que las amplitudes de las reflexiones

varıan con el angulo de incidencia, y que depende esencialmente de los tres coeficientes

A, B y C definidos en (1.14), (1.15) y (1.16), respectivamente. Estos, a su vez, dependen

de los siguientes tres parametros (“reflectividades”) de interes:

∆Vp

Vp,

∆Vs

Vsy

∆ρ

ρ. (2.15)

Puesto que el objetivo es obtener estos parametros a partir de datos pre-stack, es

necesario hacer un ajuste de los mismos (o sea comparar lo valores de amplitud de los

datos con los del modelo predicho por la aproximacion dada por (1.1) en el trabajo de

Connolly). En la practica se encuentra que los tres terminos de (1.1) del trabajo de

Connolly cobran mayor importancia a medida que θ aumenta. Es decir, A es importante

para incidencia normal, B sin2 θ tiene relevancia para angulos intermedios y C sin2 θ tan2 θ

cobra sentido solamente para angulos grandes [Shuey, 1985], aunque siempre menores que



el angulo crıtico, por supuesto. Por ello, en general se desestima el ultimo termino y se

obtiene la aproximacion de dos terminos:

R(θ) = A + B sin2 θ, (2.16)

que es valida para θ hasta 30o–35o solamente. Esta expresion claramente indica que el

coeficiente de reflexion es lineal con respecto a sin2 θ, ya que si llamamos X = sin2 θ e

Y = R(θ), se tiene la ecuacion de una recta que corta al eje de las Y en A (intercept), y

cuya pendiente es B (gradient):

Y = A + BX. (2.17)

Estas dos cantidades constituyen unos de los principales atributos de AVO utilizados

como indicadores de la presencia de hidrocarburos3. Pero en la practica, dado que no

conocemos las “reflectividades” (2.15) y por lo tanto no conocemos los valores numericos

de A y B, es necesario algun procedimiento para poder calcular esta recta a partir de los

datos pre-stack. Una forma de hacer esto es lo que se conoce como el “weighted stack”.

Weighted stack

La idea central en la construccion de un weighted stack consiste en ajustar las am-

plitudes de los datos pre-stack para un determinado nivel (por ejemplo un reservorio)

mediante una recta utilizando el metodo de mınimos cuadrados. Esto se hace ası porque

es obvio que los datos de amplitud extraıdos de los datos no se alinearan en forma exacta

como una recta (debido a errores en el modelo, ruido en los datos, etc., etc.). Por ello,

una forma practica es tratar de buscar una recta que pase lo mas cerca posible por la

mayorıa de esos puntos (valores de amplitud leıdos de los datos). Este procedimiento se

conoce tambien como regresion lineal.

La regresion lineal la podemos resumir ası. Supongamos que a partir de los datos pre-

stack obtenemos los puntos (Xi, Yi), con i = 1, 2, · · · , N (N = fold del stack), para algun

3Existen varias expresiones de dos terminos desarrolladas por diferentes autores. Las mismas difierenen la forma de expresar el intercept y el gradiente. Por ejemplo [Shuey, 1985] expresa el gradiente enfuncion del coeficiente de Poisson, lo que permite relacionar los cambios en el atributo gradiente con lasaturacion de fluidos en las rocas el reservorio.



reflector en particular. Para hallar la recta que mejor se ajusta a estos puntos escribimos

el error

E =

N∑i=1

(A + BXi − Yi)2, (2.18)

que nos mide la suma de todas las discrepancias (distancias) al cuadrado entre la recta

de ecuacion Y = A+BX y cada uno de los puntos medidos sobre los datos. Para obtener

el mejor ajuste, debemos variar A y B hasta hallar los valores optimos que produzcan el

menor error posible. Variamos entonces estos valores calculando la derivada del error con

respecto a cada una de estas dos variables (derivadas parciales):

⎧⎨⎩

∂E∂A

= 2∑

i(A + BXi − Yi)

∂E∂B

= 2∑

i(A + BXi − Yi)Xi.(2.19)

donde todas las sumatorias van de i = 1 hasta N . Como el mınimo de una funcion

se corresponde con el valor para el cual la derivada es cero, debemos igualar las dos

expresiones anteriores a cero, con lo que nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos

incognitas, A y B:

⎧⎨⎩

∑i(A + BXi − Yi) = 0∑i(A + BXi − Yi)Xi = 0.

(2.20)

Ahora procedemos a despejar B, y luego calcularemos A. Desarrollando se obtiene

⎧⎨⎩

ΣA + ΣBXi − ΣYi = NA + BΣXi − ΣYi = 0

ΣAXi + ΣBX2i − ΣYiXi = AΣXi + BΣX2

i − ΣXiYi = 0,(2.21)

y despejando A y BΣX2i ,

⎧⎨⎩

A = (ΣYi − BΣXi)/N

BΣX2i = ΣXiYi − AΣXi.

(2.22)

Reemplazando la primera expresion en la segunda,

BΣX2i = ΣXiYi −

[ΣYi − BΣXi

N

]ΣXi = ΣXiYi −

ΣYiΣXi

N+

B(ΣXi)2

N(2.23)



Ahora multiplicamos todo por N y agrupamos:

NBΣX2i − B(ΣXi)

2 = B[NΣX2i − (ΣXi)

2] = NΣXiYi − ΣYiΣXi, (2.24)

y luego despejamos B:

B =NΣXiYi − ΣYiΣXi

NΣX2i − (ΣXi)2

=

N∑i=1

Yi

[NXi − ΣXi

NΣX2i − (ΣXi)2

], (2.25)

que es la expresion para el gradient en el trabajo de Connolly. Para hallar el intercept,

basta con reemplazar la expresion anterior en la primera de las ecuaciones (2.22):

A =ΣYi

N− B

ΣXi

N

=ΣYi

N−

[NΣXiYi − ΣYiΣXi

NΣX2i − (ΣXi)2

]ΣXi

N

=ΣYi

N−

ΣXiYiΣXi − ΣYi(ΣXi)2/N

NΣX2i − (ΣXi)2

=ΣYi [NΣX2

i − (ΣXi)2] − NΣXiYiΣXi + ΣYi(ΣXi)

2

N [NΣX2i − (ΣXi)2]

=NΣYiΣX2

i −ΣYi(ΣXi)2 − NΣXiYiΣXi +ΣYi(ΣXi)

2


=N ΣYiΣX2

i − N ΣXiYiΣXi


=N∑

i=1

Yi

[ΣX2

i − XiΣXi

NΣX2i − (ΣXi)2

],

(2.26)

Que es la expresion dada por Connolly. Finalmente, reemplazando las expresiones para A

y B recien halladas en la ecuacion de la recta (2.16), obtenemos la expresion para calcular

la amplitud correspondiente a cualquier angle stack:

R(θ) =N∑

i=1

Yi

[ΣX2

i − XiΣXi

NΣX2i − (ΣXi)2

+ sin2 θNXi − ΣXi

NΣX2i − (ΣXi)2

]. (2.27)

Resumamos un poco todo este procedimiento. La ecuacion de la recta (2.16) nos da

el valor del coeficiente de reflexion de la onda P (valor teorico) en funcion del angulo



de incidencia (siempre y cuando este sea menor a 30-35o). Pero como en la practica los

coeficientes A y B no se conocen se los estima a partir de los datos por mınimos cuadrados

tras ajustar el modelo (la recta definida por A y B) a las amplitudes Yi tomadas de un

gather previamente convertido del dominio del offset al dominio del angulo utilizando la

ecuacion (2.13). Este modelo se puede escribir entonces como se ve en la expresion anterior.

Claramente, el coeficiente de reflexion para un angulo determinado θ, resulta igual a una

suma pesada de todas las amplitudes Yi consideradas. El peso asignado a cada una de

las amplitudes esta dado por la expresion entre corchetes de la ecuacion anterior. Estas

son las weighting functions del trabajo de Connolly, que se encuentran graficadas en la

Figura A1 para diferentes valores de θ. O sea, para calcular el coeficiente de reflexion

para un angulo determinado, que siguiendo a Connolly denominamos amplitud A(θ), las

amplitudes de cada traza del gather deben ser pesadas (multiplicadas) por el valor de esta

funcion, y luego sumadas. Esto constituye un finite angle stack, por analogıa con un stack

convencional4.

Para evitar las variaciones con el offset de las amplitudes, en la practica muchas veces

se calculan los llamados “near-offset” o “far-offset” stacks. Estos stacks utilizan pesos

unitarios, como un stack convencional, pero se calculan a partir de un rango limitado de

angulos. Segun Connolly, estos stacks parciales se asemejan a un “finite angle” stack con

θ = 0 (“intercept stack”) o con angulos intermedios (“midangle stack”), respectivamente.

Para θ = 90o tambien es posible calcular un finite angle stack (“Poisson’s ratio stack”),

pero teniendo en cuenta que no sera mas que una proyeccion de un stack verdadero para

θ = 90o. Este stack apunta a explotar las diferencias entre un near-offset y un far-offset

stack, y esta usualmente asociado a cambios en el coeficiente de Poisson. Lamentablemente

este stack es muy sensitivo al moveout residual y a problemas con la ondıcula (fase, ancho

de banda, etc) siempre presentes en las trazas lejanas, por lo que resulta muy difıcil

hacer estimaciones del coeficiente de Poisson a partir de las trazas con ondas compresivas

solamente.

4En un stack convencional todas las trazas son sumadas con peso igual a la unidad.



Funciones de mute

Existe otro procedimiento para generar un angle stack, que consiste en utilizar funcio-

nes de mute apropiadas. Como sabemos, para cada offset tendremos un valor de sin2 θ de

acuerdo a la ecuacion (2.13). Luego, dado un rango de offsets x1–x2, podemos calcular el

valor medio del sin2 θ correspondiente. Para ello, integramos (sumamos) la ecuacion (2.13)

con respecto a x en el rango mencionado, y dividimos por x2−x1 para obtener el promedio:

sin2 θ =1

x2 − x1

∫ x2

x1

sin2 θdx =1

x2 − x1

∫ x2

x1

x2v2i

v2r(x

2 + v2r t

20)

dx

=1

x2 − x1

(vi

vr

)2 ∫ x2

x1

x2

x2 + v2r t

20

dx.

(2.28)

Para resolver la integral anterior, conviene dividir numerador y denominador por v2r t

20 y

hacer un cambio de variables:

∫ x2

x1

x2

x2 + v2r t

20

dx = vrt0

∫ u2

u1

u2

1 + u2du, (2.29)

donde

u =x

vrt0⇒ dx = vrt0du y u1 =

x1

vrt0, u2 =

x2

vrt0. (2.30)

Ahora bien, como

u2

1 + u2= 1 −

1

1 + u2, (2.31)

se tiene

vrt0

∫ u2

u1

u2

1 + u2du = vrt0

(∫ u2

u1

du −

∫ u2

u1

1

1 + u2du

)= vrt0 (u − arctanu)u2

u1. (2.32)

y reemplazando u por la variable original x/vrt0, se obtiene

∫ x2

x1

x2

x2 + v2r t

20

dx =

[x − vrt0 arctan

(x

vrt0

)]x2

x1

. (2.33)

Finalmente, reemplazando el valor de esta integral en la ecuacion para el valor medio de

sin2 θ, ecuacion (2.28), se obtiene



sin2 θ =1

x2 − x1

(vi

vr

)2 [x − vrt0 arctan

(x

vrt0

)]x2

x1

, (2.34)

que es igual a la expresion (2.2) del trabajo de Connolly. Cabe aclarar que el resultado

final se obtiene evaluando la expresion entre corchetes para x = x2 y restandole la misma

expresion para x = x1.

Ahora bien, siguiendo a Connolly, las funciones de mute se calculan de la siguiente

manera:

1. Dadas las velocidades cuadraticas medias e intervalicas (Figura A2, panel de la

izquierda), mediante la formula (2.1) del trabajo de Connolly se puede calcular, por

ejemplo, el valor “externo” de la funcion de mute para θ = 35o (esto para el caso

de un far-offset o “high-angle” stack, sino se usara un valor menor). Es decir, dado

θ (y las velocidades) hay que hallar x = x2 a partir de la ecuacion (2.1) del trabajo

de Connolly para cada t0.

2. El valor “interno” de la funcion de mute, x1, se calcula a continuacion utilizando

la expresion que nos da el valor medio del sin2 θ que acabamos de hallar, que en el

ejemplo de la Figura A2 es igual a 25o. Es decir, dado θ y x2, hay que hallar x1 a

partir de la ecuacion (2.2) del trabajo de Connolly.

En otras palabras, se fija el angulo maximo para el stack (en el ejemplo 35o), y haciendo

uso de la formula (2.1) del trabajo de Connolly se encuentra el offset externo, x = x2,

para cada tiempo. De esta forma queda construida la funcion de mute externa (que luego

puede ser suavizada). La funcion de mute interna se puede construir ahora haciendo uso

de la formula (2.2), tambien para cada tiempo, una vez fijado el angulo medio (25o en el

ejemplo). Alternativamente, se puede fijar primero el mute interno con la (2.1), y luego

el externo a partir de la (2.2) del trabajo de Connolly.

El procedimiento descripto permite construir un angle stack utilizando software con-

vencional, habiendo previamente definido las funciones de mute correspondientes. El stack

resultante sera asignado al valor medio del angulo. Esta estrategia apunta a que en el stack

siempre se esten considerando aquellos valores de amplitud para las cuales los angulos de

incidencia se encuentren en el rango especificado. Como ademas la amplitud es lineal con



sin2 θ, el valor medio de la amplitud se correspondera con el angulo dado por la formu-

la (2.2) del trabajo de Connolly, previamente fijado por el usuario (25o en el ejemplo).

No obstante, el metodo basado en la regresion (“weighted stack”) es el metodo mas

apropiado para la construccion de los angle stacks, puesto que permite mayor flexibilidad

a la hora de seleccionar los angulos para los cuales los stacks seran asignados.


BIBLIOGRAFIA 25

Bibliografıa

[Aki and Richards, 2002] Aki, K. and P. Richards, 2002, Quantitative seismology: Uni-

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[Connolly, 1999] Connolly, P., 1999, Elastic impedance: The Leading Edge, 18, 438–452.

[Dix, 1955] Dix, C., 1955, Seismic velocities from surface measurements: Geophysics, 20,

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[Shuey, 1985] Shuey, R., 1985, A simplification of the Zoeppritz equations: Geophysics,

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Lima 575 8th & 9th Floor / C1073AAK / Buenos Aires, ArgentinaPhone: 5411 4381 9376 / Fax: 5411 4372 [email protected]

las ecuaciones de zoeppritz y la impedancia elástica

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