روش عناصر محدودFinite Element Procedures

کریم عابدی

فصل سوم : فرمول بندی روش عناصر محدود در

تحليل خطی(بخش دوم)

:Euler-Bernouli الف- تيراثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛•از • بعد بر محور خنث,ی م,ی باشن,د، ابتدا عمود مقاط,ع مس,طح ک,ه در

تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛مقاط,ع مس,طح ک,ه در ابتدا عمود بر محور خنث,ی م,ی باشند، همچنان •

عمود باقي مي مانند.زاويه دوران مساوی است با:•

از اي,ن عنص,ر در تحلي,ل تيرهاي پیوس,ته، قاب هاي مسطح و (عناص,رتیری: 2پ-قاب هاي فضايي استفاده مي شود.

)بدون اثر برش(،Euler-Bernoulli- نظريه تير 1دو نظریه در تیرها - )با اثر برش(.Timoshenko- نظريه تير 2

Timoshenkoب- تير اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛•از • بعد باشن,د، م,ی خنث,ی محور بر عمود ابتدا در ک,ه مقاط,ع مس,طح

تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛مقاط,ع مس,طح ک,ه در ابتدا عمود بر محور خنث,ی م,ی باشن,د، در حالت •

کلی بع,د از تغييرشکل عمود باقی نمی مانند؛زاويه دوران مساوی است با:•

)بدون Euler-Bernoulliدر ای,ن بخ,ش ص,رفا فرمول بندی عنص,ر تیری بر مبنای نظري,ه تير . اثر برش( ارائه می شود

( - مولفه هاي تغييرمكان تع,ميم يافته )

از تغ,ييرشك,ل هاي محوري صرف اگ,ر چنانچ,ه بطور معمول در تحلي,ل قاب (نظ,ر شود، فق,ط الزم اس,ت ك,ه در ه,ر گره دو درج,ه آزادي مدنظر قرار گيرد،

) ((.y و يك دوران حول محور wيك خيز قائم بر تير توج,ه شود ک,ه خی,ز، ی,ک متغی,ر حال,ت مس,تقل و دوران، ی,ک متغی,ر حال,ت وابسته

می باشد(.

- مولفه كرنش )انحنا(:

- مولفه تنش )لنگر(:

: C- ماتريس مصالح

) عنصر یک بعدی می باشد(- تابع تغييرمكان:

- نحوه انتگرال گيري:

مراحل تشکیل ماتریس سختی عنصر تیری دوگرهی

از اي,ن عناص,ر براي مدل نمودن س,ازه هاي غشايي، ( عنص,ر تن,ش مس,طح: 3پ-رفتار درون ص,فحه اي تيره,ا و ص,فحه ه,ا اس,تفاده م,ي شود. در ه,ر ي,ك از اين

وجود دارد و تنش هايx-yحاالت، يك وضعيت تنش دو بعدي در صفحه مساوي صفر مي باشند.

v (x ,y) , u (x ,y) - مولفه هاي تغييرمكان:

- مولفه هاي كرنش: - مولفه هاي تنش:

:C- ماتريس مصالح

: ) عنصر دوبعدی می باشد(- توابع تغييرمكان

- نحوه انتگرال گيري براي بدست آوردن ماتريس سختي:

v (x ,y) , u (x ,y) - مولفه هاي تغييرمكان:

- مولفه هاي كرنش: - مولفه هاي تنش:

:C- ماتريس مصالح

: ) عنصر دوبعدی می باشد(- توابع تغييرمكان

- نحوه انتگرال گيري براي بدست آوردن ماتريس سختي:

از اين عناص,ر براي نمايش قس,متي) با ضخامت ( عنص,ر كرن,ش مس,طح: 4پ-واحد( از يك سازه بكار مي روند ك,ه در آن مولف,ه هاي كرنش مس,اوي ص,فر م,ي باشند. اي,ن وضعي,ت در تحلي,ل ي,ك س,د طوي,ل بكار مي

رود.

( عناصر خمش صفحه ای: 5پ- ها پ,ل س,ازه های دال نظی,ر نازک ص,فحات تحلی,ل در عناص,ر ای,ن و از

واحدهای ک,ف س,ازی تح,ت اث,ر بارهای جانب,ی قائ,م ) و/ ی,ا لنگ,ر های خمشی ( اس,تفاده م,ی شود )مقایس,ه ب,ا س,ازه های شبک,ه ای(. ویژگ,ی های این نوع

سازه ها عبارتند از:

نکته اساسی در این است که در سازه خمش صفحه ای که در یک -بعد نازک می باشد، تنش در سرتاسر ضخامت صفحه )در جهت عمود

. (σzz=0)بر میان سطح( صفر است

- ضخامت نسبت به طول و عرض ناچیز می باشد،1- تخت می باشند،2 قرار دارند،y و x- تحت اثر بارهای جانبی قائم و لنگر های خمشی حول محورهای 3- تحت اثر بارهای درون صفحه ای قرار ندارند،4- متغیرهای حالت عبارتند از:5

بررسی دو نظریه در مورد صفحات:

قابل صرف نظر کردن و ناچیزندKirchhoff( ) ( γxz , γyz .)الف( نظریه صفحه

اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛•از • بعد باشن,د، م,ی ميان س,طح بر عمود ابتدا در ک,ه مس,طح مقاط,ع

تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛از • بعد باشن,د، م,ی ميان س,طح بر عمود ابتدا در ک,ه مس,طح مقاط,ع

تغييرشکل نيز همچنان عمود باقی می مانند؛زوايای دوران مساوی است با:•

قابل صرفنظر کردن نمی باشندReissner/Mindlin( ) ( γxz , γyz .)ب( نظریۀs صفحه

اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛•از • بع,د باشن,د، م,ی ميان س,طح بر عمود ابتدا در ک,ه مقاط,ع مس,طح

تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ مقاط,ع مس,طح ک,ه در ابتدا عمود بر ميان س,طح م,ی باشن,د، در حالت •

کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی نمی مانند؛زوايای دوران مساوی است با:•

نحوه استخراج معادالت حاکم بر خمش صفحه-

اکنون می توان فرمول بندی عناصر محدود عنصر خمش صفحه ای را با استفاده از مفهوم مختصات تعمیم یافته به دست آورد:

درجه 12 عنصر خمش صفحه ای را به شکل مستطیل در نظر می گیریم )با -آزادی(:

دوران ها طبق قانون دست راستی عقربه های ساعت تعریف می شوند.

مولفه های تغییرمکان تع,میم یافته -

متغ,یر حالت مستقلمتغ,یر حالت وابسته

متغ,یر حالت وابسته

توابع تغییرمکان )عنصر دوبع,دی(: -

گ,ره داریم:4برای حالت خاص عنص,ر خمش صفحه مستطیلی با

توجه شود که برای فرمول بندی عنصر خمش صفحه از نظریه

استفاده کرده Kirchhoffصفحه ایم.

- مولفه های کرنش:

- مولفه های تنش::C- ماتریس مصالح

- نحوه انتگرال گیری برای یافتن ماتریس سختی عناصر:

: دوران مثال ماتري,س اس,تخراج با Tمطلوبس,ت ي,ك عنص,ر خم,ش ص,فحه براي درجات آزادي محلي و كلي نشان داده شده در شكل زير:

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 cos sin 0 0 0 0 0 0 0 0 00 sin cos 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 0 00 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 cos sin 0 0 00 0 0 0 0 0 0 sin cos 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos sin0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin cos

T

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4ˆ [ , , , , , , , , , , , ]Tu w x y w x y w x y w x y

مستطیلی محدود المان در تغییرمکان پیوس,تگی ابتدا در برای مس,ائل االس,تیسیته ص,فحه ای )حال,ت تن,ش مس,طح یا

کرنش مسطح ( را در نظر می گیریم:

بررسی پیوستگی تغییرمکان ها و دورا ن ها در المان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه

بنابرای,ن چهار معادل,ه چهار مجهول,ی داری,م، پ,س ب,ه اندازه کاف,ی معادل,ه برای ح,ل ضرایب مربوط - کامال ب,ه وسیله 3-1در امتداد لب,ه u , vب,ه ای,ن مقادی,ر موجود اس,ت و لذا واضح,ا تغیی,ر مکان های

( ب,ه طور منحص,ر بفرد تعیی,ن م,ی شون,د، ب,ه عبارت دیگر 3 و 1حرکات انتهای,ی لب,ه ) گره های ثاب,ت اس,ت، کس,ب م,ی شود. ب,ه همی,ن ترتی,ب می توان yدر امتداد لب,ه های,ی ک,ه u , vپیوس,تگی

ثاب,ت اس,ت ارض,ا م,ی گردد، ب,ه عبارت دیگر xدر امتداد لب,ه های,ی ک,ه u , vثاب,ت کرد ک,ه پیوس,تگی برابر هس,تند. بنابراین u , v در دو المان مجاور در تمام نقاط مزبور مشترک، تغیی,ر مکان های

توابع انتخابی، توابع ایده الی می باشند.

محدود المان در ها دوران و خی,ز پیوس,تگی وضعی,ت اکنون مس,تطیلی برای مس,ائل خم,ش ص,فحه ای را مورد بررسی قرار

می دهیم:

ب,ا - بنابرای,ن نم,ی توان ضرایب را 8لذا ش,ش مع,ادل,ه مجهول در دس,ت اس,ت، تعیین کرد.

ب,ا ی,ک بررس,ی دقی,ق م,ی توان دی,د ک,ه شام,ل چهار ضریب -شام,ل چهار ضری,ب دیگر هس,تند. در ص,ورتی ک,ه

اس,ت. بنابرای,ن برای چهار معادل,ه چهار مجهول,ی در دس,ت اس,ت و می توان را بر حس,ب تغییرمکان های گره,ی تعیی,ن نمود. پس تغییرمکان

( به 2و1و دوران در امتداد لب,ه کامال بوس,یله حرکات انتهای,ی لب,ه )گره های طور منحص,ر بفرد تعیی,ن م,ی شوند. ب,ه عبارت دیگ,ر پیوستگی در امتداد

ثابت است ، تامین می گردد.xلبه هایی که - دو معادل,ه باقیمانده برای تعیی,ن چهار ضری,ب مجهول موجود در کاف,ی نیست لذا دوران عمود بر لبه به طور منحص,ر بفرد مشخ,ص نم,ی شود. بنابراین در امتداد ای,ن لب,ه ناپیوس,ته اس,ت. ب,ه همی,ن ترتی,ب م,ی توان ثاب,ت نمود ک,ه در لبه

(، در امتداد لبه ناپیوسته است.y=0دیگر )

( Axisymmetric Element )( عناصر با محور تقارن 6پ-

از اين عناصر در تحليل محيط های پيوسته با محور تقارن استفاده مي شود. نمون,ه ای از س,ازه های ب,ا تقارن محوری، مخازن تح,ت فشار، دیسک های -

دوار، س,یلوها، برج های خن,ک کننده، گنبده,ا و شم,ع ه,ا م,ی باشن,د ک,ه هم از نظ,ر شک,ل و ه,م از نظ,ر نیروهای اعمال شده، دارای تقارن دوران,ی می

- سازه های با محور تقارن )از نظر هندسی و بارگذاری( را مي توان به باشند. دو بخش تقسيم کرد:

الف- پوسته های مدور جدارنازک که در آنها ضخامت سازه نسبت به قطرش کوچک است،

ب- پوسته های مدور جدارکلفت که ضخامت آنها در مقايسه با قطرشان قابل مالحظه است.

بارگذاری متقارن غير ب,ه طور هندس,ی محوری تقارن ب,ا ای اگ,ر س,ازه شود، در اي,ن ص,ورت ي,ا باي,د از تجزي,ه فوري,ه باره,ا برای جمع آثار جواب

های هارمونيک استفاده کرد و یا اینکه به صورت زیر عمل کرد:ال,ف- در تحلی,ل پوس,ته های مدور جدارنازک، از عناص,ر پوس,ته ای عمومی

استفاده نمود،ب - در تحلی,ل پوس,ته های مدور جدارکلف,ت، از عناص,ر س,ه بعدی عمومی

استفاده نمود.

( پوسته های مدور جدارنازک 1-6پ-

عناصر مدور جدارنازک تحت اثر نیروهای درون تفاوت با عنصر خمش صفحه ای:صفحه ای قرار دارند و تحت اثر برش و لنگر پیچشی قرار ندارند.

عناصر مدور جدارنازک تحت اثر لنگر خمشی قرار دارند.تفاوت با عنصر تنش مسطح:

عناصر مدور جدارنازک تحت اثر برش و لنگر پیچشی قرار ندارند.تفاوت با عنصر پوسته ای عمومی:

.عنصر پیشنهادی دارای دو گره حلقوی است -

- هر گره شامل حرکت های محوری، شعاعی و یک دوران می

باشد.

- مولفه های بردار تغ,ییرمکان گرهی:

- مولفه های بردار نیروی گرهی:

یا

نحوه گسسته سازی:

در حالت صفحه مسطح دایروی

در حالت پوسته استوانه ای مدور

توابع تغ,ییرمکان:

مولفه های کرنش -:

:مولفه های تنش -

: C- ماتریس مصالح

- نحوه انتگرال گیری:

توجه شود که در حالت داریم: پوسته استوانه ای مدور

توجه شود که در حالت داریم: صفحه مسطح دایروی

( پوسته های مدور جدارکلفت2-6پ-

اجسام با محور تقارن و بدنه های دیوار ضخیم و دوار )مانند پیستونها و راکت ها( با استفاده از عناصر- محدود خاصی تحلیل می شوند.

هر عنصر حاوی یک حلقه توپری است که سطح مقطع آن به شکل خاصی نظیر مستطیلی، چهار ضلعی -و مثلثی ایجاد می گردد.

- با توجه به سادگی و قابلیت کاربرد، عناصر مثلثی دوار بیشتر مورد توجه قرار گرفته اند.

جسم با محور تقارنالمان با محور تقارن

نحوه گسسته سازی:

بسط ماتریس های سختی این عناصر شبیه به بسط ماتریس های مربوط به عنصر مثلثی االستیسیته صفحه ای می باشد. اختالف اصلی در مولفه های تنش است. به عبارت دیگر یک مولفه اضافی به نام تنش محیطی

اضافه می گردد.

- مولفه های تغییر شکل:

- توابع تغییرمکان:

- مولفه های تنش:

- مولفه های ک,رنش:

- نحوه انتگرال گیری:

ب,ه منظور اجتناب از عملیات طوالن,ی انتگرال گیری، ی,ک تقری,ب س,اده ای که منجر به نتایج خوبی گردیده

ای,ن ص,ورت اس,ت ک,ه ماتریس ب,ه B اس,ت اس,تفاده م,ی شود. تقری,ب مذکور برای یک نقطه مرکز شکل درون

المان ب,ه وس,یله مختص,ات تقری,ب م,ی شود، مورد ارزیاب,ی قرار می گیرد.

لذا ماتری,س س,ختی ب,ه سادگی که درمیآی,د زی,ر ب,ه ص,ورت

سطح مثلث است .

مقادیر جایگذاری می شود. r ,zبه جای

( عنصر پوسته ای7پ- پوس,ته ه,ا س,ازه های,ی هس,تند ک,ه دارای انحناء )در ی,ک بع,د مانن,د استوانه، در دو -

بعد مانند گنبد و ...( می باشند و ضخامت آنها در مقایسه ب,ا دو بعد دیگ,ر به طور قابل مالحظه ای کوچک است. در ضمن تحت بارگذاری دلخواهی قرار دارند.

وج,ه تمای,ز پوس,ته ه,ا ب,ا ص,فحات خمش,ی آ,ن اس,ت ک,ه ص,فحات تنه,ا تح,ت اثر -نیروهای خمش,ی و برش,ی قرار دارن,د، در حال,ی ک,ه پوس,ته ها عالوه بر نیروهای

( نیز قرار دارند.Membraneخمشی و برشی، تحت اثر نیروهای غشایی)محوری( ) در ی,ک س,ازه ص,فحه ای ک,ه ب,ا عنص,ر خم,ش ص,فحه مدل شده اس,ت، در ه,ر گره سه -

w , θx , θyدرجه آزادی داریم: ول,ی در ی,ک س,ازه پوس,ته ای ک,ه ب,ا عناص,ر پوس,ته ای مدل شده اس,ت در هر -

(θx , θy , θz , u , v , wگره شش درجه آزادی داریم: ) بنابرای,ن وج,ه تشاب,ه ص,فحات خمش,ی و پوس,ته ه,ا ای,ن اس,ت ک,ه م,ی باشد، - وضعیت تنش در پوسته ها مشابه وضعیت تنش در صفحات خمشی می باشد.-

یعن,ی تن,ش در س,رتاسر ضخام,ت پوس,ته ی,ا ص,فحه )در جه,ت عمود بر میان سطح ( صفر می باشد.

- در هر نقطه از پوسته جمع,ا ده کميت زير مشخص کننده برآيند نيروهای داخلی در پوسته مي باشند:

:میدان غشایینیروهای غشایی یا -میدان خمشی:نیروهای برشی، لنگرهای خمشی و پیچشی یا -

وضعيت نيروهای داخلی در پوسته ها:

روابط نيرو – تنش در پوسته های عمومی نازک:

- طبقه بندی پوسته هااز نظر گسترش پذيری:

الف- پوسته های گسترش پذير- پوس,ته هاي,ي هس,تند ک,ه س,طح هندس,ی آنه,ا را بدون اينک,ه در آ,ن بريدگی بوجود آورده و ي,ا اينک,ه بوس,يله ای در پوس,ته تن,ش و تغييرشک,ل ايجاد کني,م، بتوان ب,ه شک,ل صفحه ای مس,توی در آورد. پوس,ته های اس,توانه ای ک,ه دارای انحناء یکجانبه می باشند از نوع

پوسته های گ,سترش پذیر به شمار می روند.

ب- پوسته های گسترش ناپذير- پوسته هايي هستند که سطح هندسی آنها را صرفا مي توان از طريق بريدگی و يا ايجاد تنش و تغييرشکل به شکل صفحه ای مستوی در آورد. پوسته های کروی که

دارای انحناء دو جانبه می باشند از نوع پوسته های گسترش ناپذیر به شمار می روند.

از نظر شکل هندسی:الف- سطوح انتقالی

سطح حاصله از لغزاندن يک منحنی صفحه ای را روی منحنی صفحه ای ديگر، يک سطح انتقالی مي گويند.

ب( سطح سطح حاصله از دوران يک منحنی صفحه ای حول يک محور دوران را سطح دورانی

دورانی مي گويند.

پ( سطح لغزشی چنانک,ه انتهای خط,ی مس,تقيم بر روی دو منحن,ی ص,فحه ای قرار داشت,ه و اي,ن خط روی

آن دو منحنی بلغزد، سطحی حاصل مي شود که آن سطح را سطح لغزشی می نامند.

از ترکيب انواع, سطوح سه گ,انه انتقالی، دورانی و لغزشی مي توان سطوح مرکب بيشماری را بدست آورد.

ت( سطح مرکب

از نظر شعاع های انحناء:الف- چنان که حاصل ضرب دو شع,اع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته – که انحنای

گوسی ناميده مي شود- مثبت باشد، پوسته سين کالستيک ناميده مي شود.ب- چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته منفی باشد،

پوسته آنتی کالستيک ناميده مي شود.پ- چنان که يکی از دو شعاع انحناء مساوی صفر باشد، پوسته با انحناء گوسی صفر

ناميده مي شود.

: در حالت کلی دو نوع عنصر پوسته ای وجود دارد

- ع,نص,ر پوس,ته ای عموم,ی ک,ه برای مدل نمودن پوس,ته های ب,ا انحناء زیاد به 1کار م,ی رود )عناص,ر پوس,ته ای عموم,ی ایزوپارامتری,ک ک,ه عالوه بر کارایی و نیز را برش,ی های تغیی,ر شک,ل اث,ر برگرفت,ن در توانای,ی العاده، فوق کارامدی

دارند(.)فرمول بندی این نوع عنصر پوسته ای در سرفصل های دوره دکترای سازه

ارائه خواهد شد(.- عنص,ر پوس,ته ای تخ,ت مس,تطیلی ک,ه برای مدل نمودن پوس,ته های با انحناء 2

ک,م و ص,فحاتی ک,ه عالوه بر نیروهای خمش,ی و برش,ی، تح,ت اثر نیروهای درون با ب,ه کار م,ی رود )نظی,ر شبک,ه های دو الی,ه ی,ا غشای,ی قرار دارن,د، ص,فحه ای

صفحه تقویتی در الیه فشاری و نیز سازه های پلیسه ای (.

عنصر تخت مستطيلی پوسته ای برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی به کار مي روند که عالوه بر نيروهای خمشی و برشی تحت اثر

ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار نيروهای درون صفحه ای يا غشايي قرار دارند.خمشی عنصر

ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار غشايي عنصر

( عنصر محدود پوEسته های تخت مستطيلی1-7پ-يک عنصر تخت مستطيلی پوسته ای ساده را مي توان از جمع آثار رفتار

خمش صفحه ای و رفتار تنش مسطح عنصر مورد استفاده به دست آورد.ماتريس سختی عنصر پوسته ای عبارت است از:

اين عنصر پوسته ای را مي توان مستقيما در تحليل انواع مختلفی از سازه های پوسته ای به کار برد. از آنجا که در اين تحليل ها، در هر گره شش درجه آزادی داريم، ماتريس های سختی عنصری را که متناظر با درجات

آزادی کلی مي باشند مي توان با استفاده از تبديل زير محاسبه نمود:ماتريس تبديل بين درجات آزادی محلی و کلی عنصر مي باشد

در z نحوه اصالح رابطه تا ضرايب سختی مربوط به دوران های محلی حول محور

گره ها را شامل شود. اين ضرايب مساوی صفر قرار داده شده اند به اين دليل که اين

درجات آزادی در فرمول بندی عنصر در نظر گرفته نشده اند

جواب يک مدل را ميتوان با استفاده از رابطه فوق به دست آورد، به شرط اينکه عناصر احاطه کننده يک گره هم صفحه نباشند. در غير اينصورت

ماتريس سختی کلی مي تواند به علت وجود عناصر قطری صفر و مشکالت ناشی از حل معادالت تعادل کلی تکين باشد. برای اجتناب از اين

مساله داريم:

( عنصر سه بعدی عمومی8پ- Three-dimensional- برای تحلیل اجسام جامد سه بع,دی )

solid body که تحت اثر بارگذاری دلخواهی قرار دارند، به )کار می روند.

u , v , w- مولفه های تغییرشکل:

: ) عنصر سه بعدی می باشد(- توابع تغییرشکل- مولفه های کرنش) حالت عمومی کرنش(:

- مولفه های تنش) حالت عمومی تنش(:

:C- ماتریس مصالح

0 0 0

c b aTK B CBdxdydz - نحوه انتگرال گیری:

(Convergence- همگرایی )5الف( منظور از

همگرایی مروری دیگر بر

فرایند تحلیل عناصر محدود :

Approximate finite)منظور اص,لی از همگرای,ی جواب های تقریب,ی تحلی,ل عناصر محدود element solution ،)

( Closed-form solution- Analytical solution - Exact solution ) همگرای,ی ب,ه جواب کامل مدل ریاضی می باشد.

جواب تقریبی عناصر محدود

جواب کامل مدل ریاضیپیچیده، پوسته ی,ک تحلی,ل حال,ت مانن,د حرک,ت، دیفرانس,یل معادالت اگ,ر نامشخ,ص باشن,د و ی,ا پیدا کردن جواب های تحلیل,ی امکان پذی,ر نباش,د، در این صورت همگرایی جواب های تحلیل عناصر محدود را می توان تنها بر مبنای این

تمام,ی شرای,ط اس,اسی س,ینماتیک، ایس,تایی و شرایط واقعی,ت ارزیاب,ی نمود ک,ه مشخص,ه ک,ه در مدل ریاض,ی نهفت,ه هس,تند، بای,د در نهای,ت در همگرای,ی تامین

شوند.

ب- خطاهای تحلیل عناصر محدود

- اگ,ر جواب های تقریب,ی تحلی,ل عناص,ر محدود را ب,ا پاس,خ کام,ل مدل ریاضی در نظ,ر بگیری,م، در ای,ن ص,ورت شناخ,ت مناب,ع خط,ا ک,ه در نتای,ج ح,ل عناصر محدود اث,ر م,ی گذارن,د، ضروری اس,ت. در جدول زی,ر خطاه,ا و منب,ع وقوع خطاها نشان

داده می شوند.

در حالت کلی خطاها را می توان به دو گونه طبقه بندی کرد:الف( خطاهای ناشی از عملیات ریاضی،

ب( خطاهای ناشی از گسسته سازی.از گس,سته سازی ناش,ی کاه,ش خطاهای ” اس,ت، نظ,ر م,د اص,ل در ک,ه آنچ,ه اس,ت“. ب,ه عبارت دیگ,ر م,ا ” مدل,ی را در نظ,ر م,ی گیری,م ک,ه در آ,ن سایر خطاهای ناش,ی از انجام عملیات ریاض,ی رخ نم,ی دهن,د؛ یعن,ی ی,ک مس,اله ایس,تایی خط,ی با هندس,ه ای ک,ه ب,ه طور کام,ل ب,ا محاس,به کام,ل ماتری,س های عناص,ر محدود و حل کامل معادالت نمایش داده می شود و نیز از خطاهای گرد کردن نیز صرفنظر می

پ- تعریف همگرایی:شود“.

- برای مساله مدل مذکور معادله اصلی کار مجازی حاکم بر جواب کامل مدل ریاضی را به صورت زیر می نویسیم:

بحثی در مورد تع,ریف همگرایی با استفاده از : مع,یار تغییر مکان،• معیار نیرو،• معیار انرژی.•

Bilinear formlinear form

به عبارت دیگر داریم:

تغییرمکان های مجازی باید باش,د، ریاض,ی کام,ل مدل اینک,ه جواب برای اختیاری ) و کرن,ش های مجازی متناظ,ر ( در رابط,ه مذکور ص,دق کنن,د، ب,ا این

شرط که تغییرمکان های از پیش تعیین شده و متناظر با آن باید صفر باشند.( را با یک نمادگذاری ساده نشان می دهیم:aمعادله )- ) و تنش های متناظر (را به گونه ای پیدا ک,نی,د ک,ه به uتغییرمکان های کامل -

)معادل تغییرمکان های مجازی ( داشته vازای تمام تغییرمکان های قاب,ل قبول باشیم:

بنابراین فرم های دو خطی و خطی مذکور، به طور ضمنی داللت بر یک پروسه انتگرال گیری دارند.

در اینجا h- فرض م,ی کنی,م ک,ه جواب تحلی,ل عناص,ر محدود ، م,ی باش,د )نشانگ,ر اندازه عنص,ر ع,موم,ی م,ی باش,د و از ای,ن رو ی,ک شبکه خاص را نشان

می دهد(، در این صورت همگرایی را به صورت زیر تعریف می کنیم:

از نقط,ه نظ,ر فیزیک,ی، گزاره مذکور، بدی,ن مع,ن,ی اس,ت ک,ه ب,ه میزان,ی ک,ه شبکه حل از طری,ق محاس,به شده کرنش,ی انرژ,ی م,ی شود، ریزت,ر محدود عناص,ر

عناصر محدود به انرژی کرنشی کامل مدل ریاضی همگرا می شود.

به صورت زیر به دست می آید:u ، انرژی ک,رنشی مربوط به جواب کامل a(u , v)=(f , v)از رابطه

حد از کمت,ر ک,ل در ه,ا تغییرمکان تحلی,ل عناص,ر محدود در -واقع,ی تخمی,ن زده م,ی شون,د و بنابراین س,ختی مدل ریاض,ی نیز در ک,ل بی,ش از ح,د واقع,ی ارزیاب,ی م,ی گردد. ای,ن تخمی,ن بیش قیدهای از ناشی فیزیک,ی( طور )ب,ه س,ختی واقع,ی ح,د از نی,ز ب,ه علت فرض های آنه,ا تغییرمکان,ی داخل,ی م,ی باش,د ک,ه تغییرمکان، ب,ه طور ضمن,ی بر جواب تحلی,ل اعمال می گ,ردند. ب,ه میزان,ی ک,ه گس,سته س,ازی عناص,ر محدود ریزت,ر می گردد، قیدهای تغییرمکان,ی داخل,ی کاه,ش پیدا م,ی کنن,د و همگرای,ی به

جواب کامل و سختی مدل ریاضی حاصل می شود. تر پایی,ن کران ی,ک ب,ه منج,ر تغییرمکان، بر مبتن,ی عناص,ر محدود بندی فرمول

(Lower bound ،در روی انرژ,ی کرنش,ی ک,ام,ل س,یستم مورد نظ,ر م,ی شود، یعنی ) و تغیی,ر مکان سیستم Overestimateفرمول بندی تغ,یی,ر مکان، س,ختی س,یستم را

می کند. Underestimateرا

Finite element stiffness

Exact stiffness

Exact displacements

Finite element displacements

Exact strain energy

Finite element strain energy

α.میزان رواداری مورد نظر )بر مبنای انرژی( برای همگرایی است

(مفهوم همگرایی یکنوا)

مثالی از همگرایی یکنوا

عنصری16گسسته سازی عنصری4گسسته سازی

عنصری64گسسته سازی عنصری36گسسته سازی

عنصری100گسسته سازی مکان Vتغییربار زیر Pدر

مکان Uتغییربار زیر Pدر

گسسته سازی

-102.236E-03 67.5259E-03 عنصری 4-124.911E-03 74.9082E-03 عنصری 16-138.265E-03 80.6202E-03 عنصری 36-147.104E-03 84.0879E-03 عنصری 64-153.502E-03 86.4E-03 عنصری 100

آنایز حساسیت

شبکه عناصر محدود

مثالی از همگرایی یکنواخمش صفحه:

عنصری4گسسته سازی

عنصری16گسسته سازی

عنصری64گسسته سازی

عنصری256گسسته سازی

مکان wتغییربار زیر Pدر

گسسته سازی

-0.0594 عنصری 4

-0.278658 عنصری 16

-0.300838 عنصری 64

-0.305912 عنصری 256

آنایز حساسیت

شبکه عناصر محدود

(Complete- ک,امل بودن عنصر ) برای همگرایی یکنوا دو شرط الزم است: -( Compatible - سازگار بودن عناصر و شبکه )

Monotonicت( مع,یارهای همگرایی یکنوا )convergence)

اگر دو شرط فوق تامین شوند، در این صورت به میزانی که تظریف شبکه عناصر محدود ادامه پیدا می کند، دقت نتایج حل به طور پیوسته افزایش خواهند یافت.

بای,د از طری,ق تقس,یم نمودن عناص,ر مورد اس,تفاده پیشی,ن به دو تظری,ف شبک,ه عنصر یا بیشتر انجام گیرد، در این

ص,ورت شبک,ه قدیم,ی در شبک,ه جدی,د لحاظ م,ی شود. از نکت,ه نظ,ر ریاض,ی، این بدان معن,ی اس,ت ک,ه فضای جدی,د تواب,ع درون یاب,ی عناص,ر محدود شامل فضای بعد ب,ه میزان,ی ک,ه شبک,ه تظری,ف م,ی شود، بود و اس,تفاده شده پیشی,ن خواه,د فضای جواب های عناص,ر محدود ب,ه طور پیوس,ته افزای,ش پیدا م,ی کن,د ت,ا در نهایت

شامل جواب کامل شود.

سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود:

:h- روش تحلیل 1 - مطاب,ق ب,ا ای,ن روش، در دنبال,ه ای از شبک,ه ها، از ی,ک نوع عنص,ر اس,تفاده م,ی شود و اندازه عناصر

(. hیکنواخت کاهش پیدا می ک,ند ) کاهش به طور

سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود:

p- روش تحلیل 2با اولی,ه شبک,ه ی,ک روش، ای,ن ب,ا مطاب,ق -عناص,ر نس,بتا بزرگ و با مرتب,ه پایین تر انتخاب شده و س,پس درج,ه بس,ط های چن,د جمله ای تغییرمکان در ع,ناص,ر، ب,ه طور پیاپ,ی افزایش

درج,ه بس,ط چند pداده م,ی شود ) افزای,ش جمل,ه ای( ) مع,ادل اضاف,ه نمودن گره ها در

یک عنص,ر(.

سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود:

:h/p- روش تحلیل 3- مطابق با این روش ، همزمان تعداد عناصر محدود و نیز مرتبه توابع تغ,ییرمکان در عناصر افزایش داده می

شوند.

شرط کام,ل بودن یک معنی عنص,,ر بدی,,ن

توابع ک,,,ه اس,,,ت باید عنص,ر تغییرمکان

که باشن,,,د قادر صلب های تغییرمکان نمایش ب,ه را جس,می

گذارند.

تعداد مدهای صلب جسمی یک عنصر مساوی تعداد درجات آزادی عنصر منهای تعداد مدهای کرنشی می باشد.

تعداد درجات آزادی= تعداد مدهای صلب جسمی + تعداد مودهای کرنشیبرای عناصر محدود پیچیده تر، تع,داد مدهای کرنشی و مدهای صلب جسمی را

می توان به طور موثری با نمایش ماتریس سختی عنصر بر مبنای ویژه بردارها نشان داد یعنی:

- ضرای,ب س,ختی مس,تقیما س,ختی عنص,ر را در مد تغ,ییرمکان مربوط,ه نشان م,ی ده,د ) از آنج,ا ک,ه تحلی,ل عناص,ر محدود س,ختی سازه را مقادیر ویژ,ه اندازه ه,ر رو ای,ن از زن,د، م,ی تخمی,ن واقع,ی اندازه از بی,ش

کوچکتر باشند، ع,نصر موثرتر خواهد بود(.

بدین معن,ی است که تغییرمکان ( Compatibility requirementشرط سازگاری )ه,ا در ع,ناص,ر و در س,رتاسر مرزهای عناص,ر بای,د پیوس,ته باشند. بنابراین از بارگ,ذاری م,ی شود، شرط سازگاری نکت,ه نظ,ر فیزیک,ی، هنگام,ی ک,ه س,ازه

تضمین می کند که هیچ گونه فاصله و درزی بین عناصر ایجاد نشود.

هنگامی که تنها درجات آزادی انتقالی در گره های عناصر تعریف می شوند، در - هر کدام که قابل کاربرد u, v, wاین صورت پیوستگی در تغییرمکان های

باشند - باید حفظ شود.از تعری,ف م,ی شون,د که آزادی دوران,ی در گره های عناص,ر هنگام,ی ک,ه درجات مشت,ق گیری تغییرمکان های جانب,ی بدس,ت م,ی آین,د، در ای,ن ص,ورت ضروری است ک,ه پیوس,تگی در مشتقات اول تغییرمکان های مربوط,ه نی,ز تامی,ن شوند ) مثال در

در امتداد لبه های ع,نصر باید تامین شوند(.əw/ əy و əw/ əxصفحات پیوستگی

- سازگاری بین عناصر خرپایی و تیری به طور خودکار تامین می شود، زیرا آنها تنه,ا در نقاط گره,ی ب,ه یکدیگ,ر اتص,ال م,ی یابن,د و لب,ه های مجاور در ای,ن عناصر

وجود ندارد.

حف,ظ س,ازگاری در حال,ت کرن,ش مس,طح دوبعدی، تن,ش مس,طح و تحلیل متقارن - به عنوان u,w,vبعدی فق,ط درجات آزادی محوری و نی,ز هنگام,ی ک,ه در تحلی,ل س,ه

متغیرهای نقاط گرهی مورد استفاده قرار می گیرند، امکان پذیر است.

- احراز شرای,ط س,ازگاری در تحلی,ل پوس,ته ه,ا و ص,فحات ک,ه در آنه,ا دوران ها از تاک,ید آین,د، دشوار م,ی باشد. بدی,ن عل,ت، مشتقات تغییرمکان جانب,ی بدس,ت م,ی زیادی به سمت بس,ط و ایجاد عناص,ر ص,فحه ای و پوس,ته ای س,وق داده شده است ک,ه در آنه,ا تغ,ییرمکان ه,ا و دوران ه,ا ب,ه عنوان متغی,ر مس,تقل ب,ا تواب,ع درون یابی

خاص مربوط به خود در نظر گرفته می شوند.