IIروش عناصر محدود غیرخطی

Nonlinear Finite Element Procedures II

کریم عابدی

فصل دوم: تحليل غیرخطی عناصر محدود)بخش چهارم(

- در اي(ن فص(ل، مبان(ي نظري(ه پالس(تيسيته ب(ا نگرش به س(وي ايجاد و توس(عة ي(ك روش عموم(ي عددي براي محاسبه

تنش ارائه مي شود. بع(د از ي(ك مقدم(ه مختص(ر بر مفاهي(م اس(اسي پالستيسيته،

تعريف مي شود. von Misesمدل مصالح

براي پالستيسيته نظريات كاربرد و توس(عه ايجاد، پيشگامانة كارهاي ب(ا مهندس(ي .St؛ Tresca (1864)مس(ائل

Venant (1870) ؛Levy (1870) آغاز گشت(ه و ب(ا كارهاي برجسته و و Prandtl (1924)؛ von Mises (1913)اص(لي Reuss (1930) ادامه

پيدا كرد. در حالت كلي، نظريه

هاي پالستيسيته را به دو رده مي توان تقسيم كرد:

نظريات -1ميكرومكانيكي

نظريات 2 -ماكرومكانيكي

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

مبانی بنیادی پالستیسیته- 4-8

، تغيي(ر شك(ل هاي پالستيك را در نظريات ميكرومكانيك(ي س(طح ميكروس(كوپي تحلي(ل كرده و در پ(ي تشري(ح شرايطي در كريس(تال ه(ا و بلورهاي فلزات هس(تند ك(ه منج(ر به جريان

پالستيك مي شود.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- مقدمه1-4-8

)كه نظريات رياضي نظريات ماكرومكانيكي پالستيسيته ني(ز ناميده م(ي شون(د(، تغيي(ر شك(ل هاي پالس(تيك را از نقطه نظ(ر پديدارشناس(ي، در س(طح ماكروس(كوپي، توصيف نموده و روابط(ي را بي(ن كمي(ت هاي مكانيك(ي ماكروس(كوپي )نظير تنش ها، كرنش ها و جز آنها( برقرار مي كند. اين روابط براس(اس اص(ول عموم(ي مكاني(ك و مشاهدات تجرب(ي استوار

مي باشند.

استوار وردش(ي قضاياي براس(اس اولي(ه ح(ل هاي روش هستند.

اي(ن روش هاي ح(ل وردش(ي، قضاياي كران پايين و باال را براي ظرفيت نهايي باربري سازه ها فراهم مي آورند.

ظرفي(ت باربري نمون(ه ه(ا را م(ي توان ب(ا استفاده از روشمشخصه نيز محاسبه نمود.

ب(ا اس(تفاده از اي(ن روش هاي كالس(يك، يافت(ن ي(ك پاسخ حالت از را شك(ل تغيي(ر تاريخچ(ة ك(ل ك(ه االس(توپالستيك ارتجاع(ي ت(ا حال(ت بارحدي ب(ه دس(ت ده(د، عمال بسيار دشوار

و حتي غيرممكن است. جزئيات با تحلي(ل انجام مهندس(ي، امروزي(ن فضاي در

كام(ل براي س(ازه هاي(ي ك(ه داراي هندس(ة بسيار پيچيده اي مي باشند، الزامي است.

شرايط از را پاس(خ كام(ل تاريخچ(ة باي(د ه(ا تحلي(ل اي(ن ارتجاع(ي ت(ا شراي(ط پالس(تيك، از جمل(ة گس(ترش تغيي(ر شكل را خرابي محتم(ل وقوع ت(ا االس(توپالستيك و بزرگ هاي

دنبال نمايند.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- مقدمه1-4-8

مفاهي(م الزم براي فرمول بندي ي(ك مدل مصالح در محاس(بة پاس(خ مص(الح در حي(ن تغيي(ر شك(ل هاي پالستيك

عبارتند از:

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- پالستيسيتة ايزوتروپيك2-4-8

- س(طح تس(ليم يا 1 تابع تسليم

را تسليم شراي((ط مشخص مي كنند.

- قاعدة سخت 2 شدگي

تغيير سطح تسليم در حين تغيير شكل را نمايش مي دهند.

- قاعدة رواب(ط تن(ش (( كرنش 3 پالستيك مصالح

در ارائه اين مفاهيم بنيادي، دو روش را اتخاذ خواهيم كرد:

از مشاهدات تجربي شروع كرده و سپس روابط رياضي براي مدل سازي

روابط رياضي مبتني بر اصول اين مشاهدات را ارائه خواهیم کرد. مكانيكي را ايجاد نموده و نتايج تجربي كه مؤيد اين روابط هستند، ارائه می

شوند.

- آزمايشات اس(اسي: نتاي(ج تجرب(ي حاص(ل از آزمايش با مطاب(ق فل(ز ي(ك فشار كش(ش/ Smith and]تك محوري

Sidebottom (1965)].اگ(ر ي(ك نمون(ة فوالدي ب(ا كرب(ن باال و بازپخ(ت شده تحت

نيز باربرداري ك(ه شام(ل باش(د، اث(ر كش(ش و س(پس فشار خواهد بود، رفتار تنش ( كرنش آن به صورت زیر است:

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8

هنگامي همچني(ن اي(ن شك(ل اثر تح((ت ابتدا نمون((ه ك((ه قرار كشش س(پس و فشار ) تن((ش رفتار گيرد، م((ي

كرن(ش مشابه(ي را نشان مي دهد.

براي مشابهي نتاي(ج آمده دست ب(ه فلزات س(اير

اند.

نقش ک(ه کرد خواهی(م آغاز تجرب(ی های داده از را خود بح(ث توسعه و ایجاد برای اس(اس و پای(ه ی(ک عنوان ب(ه را مهم(ی رواب(ط ریاض(ی برای نمای(ش رفتار ی(ک، دو و س(ه بعدی ایف(ا می

.نمایند

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8

هاي داده اين براس((اس آزمايشگاه(ي، مدل هاي مصالحي را براي تغييرشكل االستوپالستيك تك محوري بارگذاري در فل(ز ي(ك

تعريف مي نمائيم:در بررسي هاي تجربي، منحني

تنش ( كرنش تك محوري به صورت رابطه اي بين تنش

، نيرو در Cauchyحقيقي )تنش واحد سطح كنوني( و كرنش

حقيقي )كرنش لگاريتمي كه در آن

و به ترتيب طول هاي كنوني و اولية نمونة مصالح مورد نظر

مي باشند( رسم مي شود. كرنش در شكست )نقطة شكست

F يا 50 در منحني( مي تواند %بيشتر باشد.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8 در اي(ن فص(ل ، شراي(ط كرنش

درصد چهار از كمت(ر كوچ(ك هاي مدنظ(ر اس(ت. در اي(ن حال(ت، مي مدل توسعة و ايجاد در توان

مصالح، تنش را كه به صورت نيرو تعري((ف اولي((ه س((طح واح((د در

( شود و kirchhoffتنش م((ي )نهايت ب((ي مهندس((ي كرن((ش

طول eكوچ((ك به طول )تغیی((ر نمودار كرد. استفاده را، اولی(ه( شده داده نشان )ب( شكل در

ت(ك اس(ت (( كرن(ش تن(ش . منحن(ي نمايشگر )ب(، شك(ل در محوري در بنيادي منحن((((((((ي تغيير مكان كرن(ش هاي كوچ(ك و ديگر عبارت ب((ه بزرگ، هاي

شراي(ط تغيي(ر شك(ل كرن(ش كوچك مي باشد.

( كرنش Cauchy منحن(ي تن(ش نيز )ال(ف( شك(ل در لگاريتم(ي هاي تحليل در بنيادي منحن((ي

كرنش بزرگ را نمايش مي دهد.

نقط(ة مه(م در نمودارها براي االستوپالستيك، ح(ل هاي روش ح(د ارتجاع(ي ي(ا نقط(ة تس(ليم است

(.A)نقطة

اگ(ر تن(ش، پايي(ن ت(ر از تنش در صورت اي(ن در باش(د، تس(ليم بافتار به مص(الح باربرداري، اث(ر برمي خود نيافت((ة تغييرشك((ل

گردد.ميدان OAقسمت نمودار،

مي نشان را مص(الح ارتجاع(ي دهد. در حال(ت بارگذاري در باالتر پالستيك كرن(ش تس(ليم، تن(ش از باقي باربرداري از بع(د دائم(ي

مي ماند.

عبارت است از: متناظر با تنشeكل كرنش

E مدول يان(گ اس(ت ك(ه كرن(ش االس(تيك e و تن(ش را به همديگر ربط مي دهد.

كرن(ش پالستيك در تنش( متناظر با وقوع تس(ليم، يعني در تنش تسليم ، شروع مي گردد.

قرار دارد، B و Aآ(ن قس(مت از منحن(ي ك(ه بين نقاط رفتار مصالح در ميدان پالستيك را مشخص مي نمايد.

در ضم(ن شك(ل )ب( قب(ل، مماس بر منحن(ي را بين ب(ه عنوان مدول مماسي B و Aنقاط نشان م(ي ده(د ك(ه

تعري(ف شده و فرض بر اي(ن اس(ت ك(ه بزرگ ت(ر از ص(فر مي باشد.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8

(( كرن(ش مدل تك محوري، تن(ش از منحن(ي بعدی شكل در ك(ه را زي(ر بنيادي رابط(ة نشان داده شده اس(ت، م(ي توان تعيين نمود

:شرط نمایشگر ک(ه زی(ر ص(ورت ب(ه ی(ا و تسليم در بارگذاري تك محوري مي باشد:

ای(ن رابط(ه شرط تسلیم ب(ه گفته می شود.

تغيي(ر شكل ب(ا تن(ش ك(ه ده(د م(ي نشان فوق شك(ل پالستيك افزايش مي يابد.

كرنشي عنوان س(خت شدگ(ي ب(ه مص(الح، اي(ن مشخص(ة ناميده م(ي شود ك(ه ي(ك بخ(ش مه(م در توص(يف رفتار مصالح

در منطقة پالستيك به شمار مي رود.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8نقطة ي(ك در آن(ي شدگ(ي س(خت

مشخ(ص در منحن(ي تس(ليم ب(ه وسيلة مدول كرنش مشخ((ص تراز ي((ك در پالس((تيك

پالستيك توصيف مي شود:مي توان را برحسب مدول مماسي

ب(ه ص(ورت زير بيان Eآن(ي و مدول يان(گ يك حال(ت خاص رابطة تن(ش ( كرنش، رابطة دوخط(ي با شيب نمود:

E در منطقة ارتجاعي و ثابت در منطقه پالستيك است.

از س(خت شدگي پذي(ر، م(ي توان برا(ي برخ(ي مص(الح شك(ل داريم: صرف نظر نمود )به عبارت ديگر، به ازاي هر

و (. در اي(ن ص(ورت مص(الح ب(ه عنوان مصالح كامال در گون(ه خطوط چين )ب(ه در نظ(ر گرفت(ه م(ي شود پالس(تيك

شكل نشان داده شده است(.

منحن(ي مذكور از آزماي(ش ي(ك بعدي ب(ه دس(ت م(ي آي(د، با اي(ن حال مالحظ(ه خواهي(م كرد ك(ه ا(ي(ن منحن(ي به عنوان هاي شكل تغيي(ر توص(يف براي مص(الح بنيادي رابط(ه مورد نيز پيچيده بعدي س(ه و دوبعدي االس(توپالستيك

استفاده قرار خواهد گرفت.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8

از تنش تن(ش م(ر ج(ع اس(ت )معموال ي(ك آ(ن ك(ه در تس(ليم اس(تفاده م(ي شود. و ثابت هاي ب(ه دس(ت مي آزمايشگاه(ي داده هاي از ك(ه مص(الح هس(تند

آيند.

اغلب، عبارات تحليلي براي توصيف منحني تسليم در به فرمول اينج(ا در كار م(ي روند. ب(ه پالس(تيسيتة فلزي

Ramberg-Osgood ك(ه اس(تفاده از آ(ن راي(ج اس(ت اشاره مي كنيم:

یآن ا در ك(ه

است .و ثابت هاي nمقادی(ر

مقادير ک(ه مص(الح هس(تند غيرمنفي مي باشند.

پالستيسيتة توج(ه: حال(ت در كامل،

استفاده فوق رابط(ه از خواهيم كرد.

كاربرد قابل رابط(ه اي(ن لذا نمي باشد.

در يكنواخت بارگذاري قبل(ی، توص(یفی مص(الحي مدل در كشش يا فشار در نظر گرفته شد.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8

در مصالح ك(ه كني(د فرض طور به كش((ش در ابتدا مي شك(ل تغيي(ر پالس(تيك فشار تحت س(پس و ده(د

قرار مي گيرد.

تنش ” مص((الح، دربرخ((ي تس(ليم جدي(د“ در فشار بعد است تنش(ي باربرداري، از ك(ه در آن باربرداري رخ داده

ول(ی عموما، ” تن(ش تسليم است.تنش از كوچكت((ر جدي((د“

تس(ليم حاص(ل در كش(ش مي باشد.

توان معروف اس(ت و ميBauchingerاي(ن پديده ب(ه عنوان اث(ر از ك(ه ناشي تغييرات در ميكروس(ازة فلزي از طري(ق را آ(ن

باشد تشريح نمود. تغيير شكل پالستيك مي ب(ه طور مشاب(ه نی(ز، در هنگام(ي ك(ه مص(الح ابتدا تحت توج(ه: فشار و س(پس تح(ت كش(ش قرار م(ي گيرد، تن(ش تسليم بعدي

در كشش كمتر از تنش تسليم حاصل در فشار مي باشد.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8

مدل هاي س(اده سازي شده، ب(ا در نظ(ر گرفتن

Bauschingerاثر

شدگي س((خت هاي مدل ايزوتروپيك

صرف Bauschingerدر فرض س(خت شدگ(ي ايزوتروپي(ك، از اث(ر منحني از اي، چرخ(ه بارگذاري حي(ن در و شود م(ي نظ(ر

براي شروع تسليم يكساني در كشش و فشار استفاده مي شود. تنش تغيي(ر در فرض س(خت شدگ(ي س(ينماتيك، تس(ليم در بارگذاري معكوس، مس(اوي ب(ا دو برابر تن(ش تسليم

اوليه است.

شدگي س((خت هاي مدل سینماتیک

شدگي س((خت هاي مدل آمیخته

ك(ه شامل مس(ائلي براي اث(ر اي(ن گرفت(ن نظ(ر در توج(ه: بارگذاري چرخه اي مي باشند، بسيار حائز اهميت است.

مدل هاي مص(الحي ك(ه رفتاري بي(ن اي(ن دو مدل فوق را به ناميده آميخته گذارن(د، مدل هاي س(خت شدگ(ي نماي(ش م(ي

مي شوند.

براي همة مدل هاي ساده سازي شدة مذكور، منحني هاي سخت شدگي در هنگامي كه بارگذاري معكوس مي شود،

شكل مشابهي دارند، ولي از تنش هاي تسليم متفاوتي آغاز ناهمگوني مي گردند. ي(ك آميخت(ه و مدل هاي س(خت شدگ(ي س(ينماتيك

غيرايزوتروپيك را به رفتار فرض شدة مصالح وارد مي كنند.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- تغيير شكل تك محوري االستوپالستيك3-4-8

شدگي س((خت هاي مدل در ایزوتروپیک

OABFF1F2مس(ير تن(ش (( كرنش، شدگي باشد. مي س((خت هاي مدل در

سینماتیک OABCC1C2مس(ير تن(ش (( كرنش،

باشد. مي

شدگي س((خت هاي مدل در آمیخته

OABDD1D2مس(ير تن(ش (( كرنش، باشد. مي

، ، Cتن(ش تس(ليم در نقطة عبارت است از:

رابط(ه تن(ش (( كرنش تك محوري براي نرم فوالد يك شماتيك(

هاي متفاوت كرنش نرخ

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه 4-4-8

در اينجا، مفهوم تسليم اوليه را به شرايط چندمحوري تنش بعدي عموميبراي ي(ك مص(الح ايزوتروپي(ك اولي(ه بس(ط م(ي دهي(م ك(ه در آن هم(ة مؤلف(ه هاي تن(ش م(ي توانن(د غيرص(فر باشند. مي خواهي(م ي(ك شرط را براي تس(ليم اولي(ه ب(ه فرم( زير ايجاد

كنيم:كه در آن ، تابع تسليم و معادله شرط تسليم تسليم ك(ه شرط هنگام(ي ت(ا بنابراي(ن، شوند. م(ي ناميده براي تعيي(ن ي(ك فرم( مناس(ب تابع تسليم، مالحظات عمومي:ارضاء نشده است، ما صرفا كرنش هاي ارتجاعي را داريم.

از مص(الحي اس(تفاده م(ي كني(م ك(ه ب(ه تس(ليم اولي(ه به طريق(ه اي ايزوتروپي(ك م(ي رس(د؛ ب(ه عبارت ديگ(ر مصالح در

مورد هر راستايي به طريقه اي يكسان رفتار مي كند. مختصات دس(تگاه ب(ا تن(ش هاي مؤلف(ه ك(ه ج(ا آ(ن از شرط ارضاي براي رو اين از كنن(د، م(ي تغيي(ر اس(تفاده از ناورداهاي تابعي م(ي توان(د تاب(ع تس(ليم ص(رفا ايزوتروپ(ي،

و تنش باش(د )ك(ه مس(تقل از دس(تگاه مختص(ات مورد استفاده و است(:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- شرط تس(ليم براي تغيي(ر شك(ل هاي سه 4-4-8

بعدي عمومي

اوليه ايزوتروپي(ك مص(الح هرگون(ه ب(ه تس(ليم تاب(ع اي(ن در فلزات، ب(ه طور تجرب(ي مشاهده شده اس(ت ك(ه غالبا مي قابل اعمال است.

توان از اثر نخستين ناوردا، و ني(ز اث(ر ناورداي سوم ، ، ي(ا تن(ش ميانگي(ن

ب(ه گون(ه اي تعريف در تسليم صرف نظر كرد: تاب(ع تس(ليم را توان بنابراي(ن، م(ي ب(ه دومين آ(ن ص(رفا ي(ا معادل ب(ه و ك(ه ص(رفا كرد ناورداي تن(ش هاي انحراف دار، ، ك(ه ب(ه ص(ورت زير

تعريف مي شوند، بستگي داشته باشد:

دلتای Kronecker

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- شرط تس(ليم براي تغيي(ر شك(ل هاي سه 4-4-8

بعدي عمومي ، از يك روش بنيادي براي ارائ(ه ي(ك تاب(ع مشخ(ص

بنام فرضية انرژي اعوجاج استفاده می نماییم.

انرژي فرضي(ة اعوجاج

براس(اس اي(ن فرضی(ه،ك(ه مصالح فلزي هنگام(ي ب(ه ح(د ارتجاع(ي خود رسيده و شروع ب(ه تغيي(ر شك(ل پالس(تيك م(ي كند ك(ه انرژ(ي كرنش(ي ارتجاع(ي اعوجاج به

مقدار معين بحراني برسد. حالت در اعوجاج ارتجاع((ي كرنش((ي انرژ((ي فرضي((ة را كرن((((((((ش تن((((((((ش/ عموم((((((((ي م(ي توان برحس(ب تن(ش هاي انحراف دار ب(ه ص(ورت زير

بيان نمود:تك محوري بارگذاري برای شراي(ط

)كشش يا فشار(

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- شرط تس(ليم براي تغيي(ر شك(ل هاي سه 4-4-8

بعدي عموميفرض م(ي كني(م ك(ه در آغاز تس(ليم، انرژ(ي كرنش(ي ارتجاعي اعوجاج، داراي مقدار يكس(اني براي تمام شرايط بارگذاري

باشد. در اين صورت بايد داشته باشيم:

و ی(ا بر حس(ب ناورداي دوم بايد داشته باشيم:

و نموده ارضاء را ايزوتروپي شرط تس(ليم، معيار اي(ن براساس اصل هم ارزي انرژي اعوجاج استوار است.

معروف است و Von Misesاين فرم، به عنوان تابع تسليم مصالحي كه از اين شرط تسليم ”تبعيت“ مي كنند مصالح

Von Mises .ناميده مي شوندرايج ترين شرط تسليم است كه براي Von Misesشرط تسليم

فلزات مورد استفاده قرار مي گيرد.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه 4-4-8

صحت سنجي تجربيبعدي عمومي Quinney وTaylorشكل بعدی نتاي(ج تجربي به دس(ت آمده توسط

براي س(ه فل(ز را نشان م(ي ده(د ك(ه تح(ت اثر 1931در س(ال كش(ش و برش قرار گرفت(ه اند. آزمايشات در روي لوله هاي

جدار نازك، تحت اثر بارگذاري محوري و پيچش انجام شدند.)”قانون Von Misesدر اي(ن شك(ل ديده م(ي شود ك(ه شرط تسليم

Von Mises به نحو مطلوبي نتايج تجربي را نمايش مي دهد )“.

كه پيشنهاد شده ان(د فلزات براي ني(ز ديگري تس(ليم شراي(ط مي باشد. در شرط Trescaيك(ي از مه(م تري(ن آنه(ا مربوط ب(ه

، فرض بر اي(ن اس(ت ك(ه تن(ش برش(ي ماكزيمم در Trescaتس(ليم هر صفحه اي بر تسليم مصالح حاكم است.

Vonكاربرد عمل(ي اي(ن معيار بس(يار دشوارت(ر از كاربرد معي(ار Mises .است

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

رواب(ط تن(ش (( كرن(ش پالس(تيك ك(ه در اينج(ا ارائ(ه خواهن(د شد، براساس مشاهدات تجربي استوار مي باشند.

در ابتدا بح(ث خود را ب(ا تحلي(ل ي(ك آزماي(ش س(اده تك محوري آغاز م(ي کني(م، س(پس شراي(ط بارگذاري عموم(ي چند محوري

مصالح را در نظر مي گيريم.فلزي نمونة تك ي(ك بارگذاري ي(ك اث(ر تح(ت بع(د، شک(ل در

هاي كوچ(ك قرار گرفت(ه اس(ت. اگر محوري در شراي(ط كرن(ش تجاوز كن(د، در اي(ن ص(ورت مص(الح به از تن(ش تس(ليم تن(ش

دهد. صورت پالستيك تغيير شكل ميهاي دائمي، باربرداري كرده و براي تعيين تغيير شكل

را اندازه مي گيريم. )شكل بعد( تغيير مكان نتاي(ج آزمايشگاه(ي نشان م(ي دهن(د ك(ه كرن(ش هاي انقباضي دائم(ي جان(بي وجود دارن(د ك(ه عمال ب(ا نص(ف كرن(ش پالستيك

كه در راستاي طولي اندازه گرفته مي شوند مساوي هستند.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

توان مي بنابراي((ن فرض كرد كه:

کرنش حجمی

بنابراي(ن تغيي(ر شك(ل پالس(تيك ي(ك فراين(د بدون تغيي(ر حج(م مي باشد. اي(ن نتيج(ه گيري ب(ا مطالع(ة نتاي(ج آزمايشگاهي ديگري ني(ز ب(ه دس(ت م(ي آي(د ك(ه نشان م(ي دهن(د ك(ه تس(ليم تح(ت اثر

تنش ميانگين قرار نمي گيرد.

هاي كرنش اي(ن موج(ب ك(ه دار انحراف تن(ش هاي مؤلف(ه دائم(ي پالس(تيك م(ي شوند. باز ه(م ب(ا در نظ(ر گرفت(ن حالت

بارگذاري تك محوري عبارتند از:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

و پالستيك كرن(ش هاي مؤلف(ه بي(ن تناس(بي ي(ك بنابراي(ن مؤلف(ه هاي تن(ش انحراف دار متناظ(ر ك(ه موج(ب اي(ن كرنش

ها مي شوند، وجود دارد. با تعریف يك اسكالر مثبت :

در متناظر هاي تن(ش و پالس(تيك هاي كرن(ش بي(ن تناس(ب پيچيده بسيار آزمايشات در ني(ز و خال(ص برش آزماي(ش

شکل زیرمشاهده مي شود.[Pugh and Robinson (1978)]نظير

در ي(ك جم(ع بندي، براس(اس نتاي(ج تجرب(ي حاصل از آزمايشات س(اده در روي فلزات، مي توان رواب(ط تن(ش ( كرنش را به

صورت زير فرض نمود:

پالس(تيسيته مي تغيي(ر شك(ل نظري(ة ب(ا متناظ(ر رواب(ط اي(ن باشد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

يك در تاريخچة بارگذاري ب(ه پالس(تيك كرن(ش هاي وابس(تگي مثال ساده زیر نشان داده شده است.

فرض مي كنيم كه مدل مص(الح االس(توپالستيك تك محوري به وس(يله ي(ك منحن(ي دوخط(ي تن(ش (( كرن(ش ب(ا س(خت شدگي

ايزوتروپيك تعريف مي شود.

تاريخچة ب(ه وابس(ته پالس(تيك شك(ل تغيي(ر كل(ي، درحال(ت بارگذاري م(ي باشد. اي(ن بدي(ن معن(ي اس(ت ك(ه مقادي(ر كرنش هاي پالس(تيك ب(ه ازاي تن(ش هاي كنوني انحراف دار در از پيش ه(ا تن(ش تغيي(ر نحوة ب(ه بس(تگي مادي، نقط(ة ي(ك

رسيدن به مقادير كنوني دارند.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

نوع دو اثر تح((ت مص((الح اعمال كش(ش ت(ا تن(ش ، سپس بارگذاري 1(بارگذاري مي باشد:

معكوس تا تنش فشاري )ب(ا فرض ( و سپس بارگذاري

مجدد تا تنش كششي ( اعمال فشار ت(ا تن(ش ، سپس بارگذاري 2معكوس تا تنش کششي

و سپس باربرداري تا تنش كششي

متناظ(ر ب(ا مقادير روش(ن اس(ت ك(ه حال(ت تن(ش بارگذاري شرايط دو براي پالس(تيك كرن(ش مختل(ف

باشد. مذكور مي( 1برا(ي تاريخچه بارگذاري )

:داريم( 2برا(ي تاريخچه بارگذاري )

:داريم

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

هاي كرنش وابس((تگي مورد در مذكور مشاهدات پالس(تيك ب(ه تاريخچة بارگذاري منج(ر ب(ه اص(الح و تعميم

سازي رابطه مي شود. افزايش مي يابند، از نمويكرنش هاي پالستيك به طور

اين رو بايد در پي به دست آوردن رابطه اي براي باشيم كه در حالت كرنش پالستيك نموي محاسبات

خاص مورد نظر پيشين به صورت رابطة در مي آيد.

با اين حال، اين رابطه بايد كرنش هاي پالستيك را در حالت شرايط بسيار عمومي تنش نيز، از جمله

بارگذاري چرخه اي، به دست دهد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8نظريه نموي يا نظريه جريان پالستيسيته- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

فرض كني(د ك(ه در ي(ك حال(ت تن(ش معلوم در مص(الح، يك تغيي(ر كوچ(ك در بارگذاري منج(ر ب(ه جريان پالستيك شود. كرنش نموهاي ه(ا، تن(ش تغيي(ر حي(ن در اي(ن ص(ورت در پالس(تيك را خواهي(م داشت. مطاب(ق ب(ا رواب(ط تناسب ، فرض بر اي(ن اس(ت ك(ه در حي(ن تغيي(ر بارگذاري، هر

مؤلفه غيرصفر تنش انحراف دار موجب يك نمو در مؤلفة كرنش پالستيك متناظر

مي شود.نموهاي كرنش پالستيك متناسب با كل تنش هاي

نتايج ثابت مي كنند كه در حالت كلي رابطه انحراف دار كنوني مي باشندمعتبر است، در حالي كه رابطه

صرفا هنگامي داراي اعتبار است كه تنش ها به طور متناسب افزايش يابند.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

: در چ(ه حالت(ی رابطه برقرار 1س(والاست؟

فرض كني(د در حال(ت بارگذاري متناس(ب، تن(ش در يك زير ب(ه ص(ورت توان م(ي را بار( مشخ(ص تراز )ي(ا زمان

متغيري است كه بيان نمود:با زمان افزايش

مي يابد

تنش هاي مرجع متناظر با يك حالت ارتجاعي اوليه

مي باشند

مقادیر ثابت

قبل در داشتیم

اما اين رابطه، صرفا زماني ارضاء مي شود كه رابطة . صادق باشد

از انتگرال گيري آخرين معادله، خواهيم داشت:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

برقراری 2س((وال عدم برای نقضی مثال :همیشگی رابطه آورید؟

ب(ه عنوان مثال، شراي(ط االس(توپالستيك كش(ش (( پيچ(ش يك لول(ه جدار نازك ب(ا مص(الحي داراي ي(ك نوع س(خت شدگي، را بگيري(د ك(ه در ص(حت س(نجي تجرب(ي شرط تسليم در نظ(ر

von-Mises .)مورد استفاده قرار گرفته است )شكل زیر

به ب(ا توج(ه بارگذاري فرض كني(د ك(ه كني(د در حال(ت فرض رواب(ط ب(ه طور غيراس(تداللي بگوئي(م كه نموهاي

كرنش پالستيك بايد با نموهاي تنش متناسب باشند.

فرض كني(د ك(ه ي(ك حال(ت خاص تن(ش داري(م ك(ه ب(ا تنش هاي تعريف شده است. نرمال و تنش برشي

جريان صورت اي(ن در داري(م، نگ(ه ثاب(ت را ه(ا تن(ش اگ(ر پالستيكي وجود نخواهد داشت.

برش تن(ش مثال، عنوان ب(ه را( اگ(ر پيچش از ناش(ي ثاب(ت نگ(ه داري(م، در اين افزاي(ش داده و تن(ش نرمال را ص(ورت جريان پالس(تيك ادام(ه پيدا خواه(د كرد و در خواهيم ياف(ت ك(ه عالوه بر نم(و كرن(ش برش پالس(تيك، ، مؤلفه

هاي نرمال ، و ني(ز غيرص(فر خواهن(د بود، اگرچ(ه نموهاي تنش هاي نرمال

مساوي صفر مي باشند. یعنی:

همچ(نین

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

برقراری 2س((وال عدم برای نقضی مثال :همیشگی رابطه آورید؟

، متناس(ب با و در واق(ع، نموهاي ، و مي باشند.

البت(ه در اي(ن آزماي(ش، اگ(ر لول(ه تح(ت اث(ر كش(ش نباشد، ، در اين صورت خواهيم داشت:

س(رانجام، ب(ه ای(ن نكت(ه در مورد رواب(ط كه در كاربرد آنه(ا حائ(ز اهمي(ت اس(ت اشاره م(ي شود که در هنگام اس(تفاده از اي(ن رواب(ط، در ابتدا ب(ه ازاي ي(ك تغيي(ر در تن(ش ها مي انجام آزمون(ي شون(د م(ي پالس(تيك جريان موج(ب ك(ه

دهيم.

در اي(ن ص(ورت رواب(ط هنگام(ي قاب(ل كاربرد مي باشند كه جريان پالستيك رخ دهد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

براي Prandtl (1924)رواب(ط در ابتدا ب(ه وسيله تغيير شكل هاي كرنش مسطح پيشنهاد شد.

توس(ط بعدي س(ه شراي(ط براي تعميم Reuss (1930)س(پس داده شد.

معادالت ب(ه رواب(ط فرم Prandtl-Reussاي(ن هستند. مشهور اولية معادالت مذكور، به صورت زير مشخص مي شود:

(( كرنش در تن(ش تاريخ(ي، نخس(تين رواب(ط از نقط(ه نظ(ر معرف(ي شد، وي پيشنهاد St.Venant (1870)پالس(تيسيته توس(ط

بر كل(ي منطبق كرن(ش نموهاي اص(لي راس(تاهاي ك(ه كرد راستاهاي اصلي تنش ها مي باشند.

رواب(ط عموم(ي ب(ه شك(ل ،ام(ا با نموهاي و Levy (1870)كرن(ش كل(ي ب(ه جاي ، ب(ه وسيله

پينشهاد گرديد؛ Von Mises (1913)ني(ز ب(ه طور مس(تقل توس(ط معروف هستند. Levy-Von Misesاين روابط به عنوان معادالت

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- روابط تنش ( كرنش پالستيك سه بعدي5-4-8

-Prandtlس(نجي تجرب(ي معادالت س(رانجام ب(ه نتاي(ج ي(ك ص(حتReussاشاره مي بس(يار عموم(ي بارگذاري ي(ك شرط براي

نماييم.

Quinney و Taylor (1913)لول(ه اثر تح(ت را نازك جدار هاي غيرمتناسب بارگذاري ب(ا شراي(ط پيچ(ش و تركي(ب كش(ش

را Lodeهاي مناسب، متغيرهاي گيري قرار داده و ب(ا اندازهمحاسبه نمودند:

معتبر باشند، در اين صورت بايد Prandtl-Reussاگر روابط داشته باشيم:

بعد، نتايج آزمايشگاهي براي سه فلز نشان داده در شكلشده اند. يك انحراف جزئي از خط مستقيم كه به وسيله

معادله تعريف مي شود، به چشم مي خورد، ولي اين انحراف براي تحليل هاي عملي مهندسي قابل

قبول مي باشند.

Constitutive- کاربرد روابط مشخصه )8Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

س(خت تعري(ف جريان براي فرايند در فل(ز، ي(ك شدگ(ي پالستيك، بعد از رسيدن به شرط تسليم اوليه، از فرض هم

آمدهاي آن را ارزي كار پالس(تيك اس(تفاده كرده، س(پس پ(ينمائيم. ارائه مي

مي تأئي(د را پيامده(ا اي(ن ك(ه تجرب(ي نتاي(ج برخ(ي س(پس شوند. نمايند ارائه مي

م(ي فرض بخ(ش اي(ن تاريخچة در س(رتاسر در ك(ه كني(م شود. بارگذاري از منحني تسليم يكساني ا(ستفاده مي

ابتدا سخت شدگي ايزوتروپيك و سپس رفتار مصالح كامال پالستيك را به عنوان يك حالت خاص سخت شدگي در نظر

مي گيريم.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

فرض هم ارزي كار پالستيكطبق این فرض، كار پالستيك نموي كه در حين تغييرشكل هاي پالستيك در شرايط بارگذاري عمومي

انجام مي گيرد مساوي با كار پالستيك است كه در شرايط بارگذاري تك محوري انجام مي شود، به عبارت

ديگر داريم:

، براي شرايط بارگذاري Prandtl-Reussبا استفاده از معادالت عمومي داريم:

كار متناظر با اعوجاج هاي دائمي مصالح بوده توجه: و برگشت ناپذير مي باشد.

از سوی دیگر، براي حالت تك محوري داريم:

كه در آن از ، و اين شرط كه تسليم مصالح به طور پيوسته ادامه پيدا مي كند

استفاده نموده ايم.

بنابراين، در شرايط بارگذاري تك محوري در حين فرايند بارگذاري، به طور پيوسته خواهيم داشت:

بنابراين پيامدهاي فرض هم ارزي كار پالستيك را مي توان به صورت زير بيان نمود:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8در شرايط - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8 پالس(تيك جريان حال(ت ه(ر گرفت(ن نظ(ر در ب(ا

را در توان ي(ك تن(ش تسليم بارگذاري عموم(ي، م(يب(ا حال(ت تنش داده شده منحن(ي تس(ليم ي(ك بعدي متناظ(ر

شناسايي نمود.

مالحظ(ه م(ي شود ك(ه اس(اسا در حي(ن تغييرشك(ل پالستيك، Von Misesمعيار خرابي

، ب(ه طور پيوس(ته ارضاء مي متناظ(ر ب(ا منحن(ي تس(ليم ي(ك بعدي تغيير شود ك(ه در آ(ن

.مي كند

ه(م انرژي فرض فرض ب(ا تطاب(ق در پالس(تيك كار ارزي بخ(((((((ش در اس(((((((تفاده مورد اعوجاج قبل(ی م(ي باشد. ب(ه عبارت ديگ(ر، ب(ا در نظ(ر گرفت(ن انرژي

ب(ه عنوان معياري از مقاومت( مصالح در برابر اعوجاج تغييرشك(ل و ب(ا در نظ(ر داشت(ن اي(ن نكت(ه ك(ه اين فرض، در حي(ن جريان پالس(تيك ني(ز معت(بر اس(ت، م(ي توان معادل(ه زير

را نوشت:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

سمت چپ معادله، نمايشگر در شرايط بارگذاري عمومي بوده و سمت راست معادله نيز متناظر با حالت

باشد. محوري مي بارگذاري تك

عبارات نخست در هر دو سمت معادله، متناظر با تغييرشكل باشند. ارتجاعي مي

در نوشتن معادله فوق از اين شرط استفاده كرديم كه براي شرايط بارگذاري تك محوري، نموهاي كرنش كلي با

و كرنش هاي پالستيك مجموع كرنش هاي ارتجاعي مساوي هستند.

همچنين از اين نكته كه كرنش هاي ارتجاعي حجمي تأثيري بر انرژي اعوجاج ندارند، استفاده نموديم.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

Von Misesنمايش هندسي شرط تسليم

در روي منحني و M2 و M1 با دو نقطة منحني تسليم در شكل الف نشان داده شده اند. و هاي تسليم تنش

سطح تسليم ، در فضاي تنش اصلي ، و به وسيله يك استوانه با

محور ”هيدروستاتيك“ و با شعاع ، در شكل )ب( نشان داده شده است.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

Von Misesنمايش هندسي شرط تسليم

در صفحة انحراف دار با بردار عمود بر صفحه و محورهاي ، و )تنش هاي انحراف دار اصلي(،

نمايش داده مي Rسطح تسليم به وسيله يك دايره به شعاع همة نقاط تنش در صفحه توجه: شود.

انحراف دار و واقع بر سطح تسليم ، متناظر با يك نقطه در Rبه شعاع

منحني تسليم با مي باشند.

به عنوان مثال، تمام نقاط تنش در صفحه انحراف دار كه در روي دايرة

قرار دارند، به در منحني تسليم نگاشت M1نقطه

مي شوند. بنابراین، تغيير در تنش هاي

در صفحة انحراف دار انحراف دار M1M2 متناظر با كماندر منحني تسليم مي باشد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8در متون Von Misesشكل ديگري نيز از شرط تسليم - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

پالستيسيته مورد استفاده قرار مي گيرد. Von Mises، كه تنش مؤثر يا تنش كميت تنش معادل

ناميده مي شود، به صورت زير تعريف گردد:)يا نرم Sنمايشگر شدت

اقليدسي(

در اين صورت شرط تسليم عبارت است از:

هنوز قانوني را براي تغيير سطح تسليم ارائه نداده ايم. براي به دست آوردن اين قانون يا قاعده، براساس

مشاهدات تجربي رفتار مصالح و مالحظات نظري، نخست اين شرط را اعمال مي كنيم كه براي مصالح مورد نظر در

اينجا، كار پالستيك بايد مثبت باشد:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8شدگي، ارائه گام بعدي در ايجاد و توسعة يك قاعدة سخت - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

باشد كه متناظر با مي نمو كرنش پالستيك مؤثر به صورت زير است، به گونه اي كه نمو كار تنش مؤثر

تعيين مي گردد:

براي شرايط بارگذاري عمومي از آنجا كه كار پالستيكبا کار پالستیک در حالت بارگذاري تك محوري مساوي است،

در اين رابطه در حين تسليم از از اين رو خواهيم داشت:استفاده نموده ايم.

سرانجام، با تعریف برحسب و با استفاده از ، و نیز از جايگذاري در روابط فوق، Prandtl-Reussمعادالت

نتيجة زير حاصل مي شود:

و در نهایت، عبارت زير را براي نمو كرنش پالستيك مؤثر برحسب نموهاي مؤلفه هاي كرنش پالستيك به دست مي

آوريم:

y

pedd

23

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8 حالت بارگذاري تك : 1توجه

محوري، داريم:حالت برش خالص برا(ي: 1توجه

دوبعدي خواهيم داشت:

شرايط تسليم نشان مي دهد كه منحني تسليم در كشش ساده همزمان نمايشگر منحني تسليم عمومي زير

نيز مي باشد:

نمو كرنش برشي پالستيك مهندسي

که در آن كرنش پالستيك مؤثر انباشته به صورت زیر است:

3

pp ded

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8از مباحث باال نتايج زير حاصل مي شوند:- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

به وسيله منحني تسليم Von-Misesسخت شدگي مصالح 1( تعريف مي شود. شرط تسليم را مي توان به صورت

زير نوشت:

به وسيلة Prandtl-Reuss( عامل تناسب در معادالت 2 تعريف مي شود. اين عامل را مي توان از منحني تسليم

محاسبه كرد.از آنجا كه تنش تسليم به صورت تابعي از كرنش پالستيك

مؤثر مشخص مي شود، از اين رو در متون پالستيسيته، غالبا از واژة سخت شدگي كرنش استفاده مي شود.

نتايج مذكور براساس دو اصل بنيادي پالستيسيته

استوار مي باشند:

هم ارزي كار پالستيك براي شرايط تنش يك و چندبعديواقعيت فيزيكي كه كار پالستيك بايد مثبت باشد؛ به عبارت ديگر .

y

pedd

23

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

نمايش هندسي مربوط به رفتار سخت شدگيمدل مربوط به رفتار سخت شدگي در شكل زیرنمايش

داده شده است:شكل نشان مي دهد كه در حالت

بارگذاري تك محوري كششي ( نخست فشاري كرنش پالستيك

افزايش و سپس كاهش مي يابد،

كرنش ك(ه حال(ي در و پالس(تيك مؤثر

تن(ش تسليم در پالستيك جريان حي(ن

مداوم طور به افزايش مي يابند.

اندازه بارگذاري شرايط حال(ت جريان حين در تس((ليم س((طح

پالستيك افزايش مي يابد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

نمايش هندسي مربوط به رفتار سخت شدگي

دو حالت متوالي تنش- حالت 2- حالت بارگذاري تك محوري كششي ( فشاري 1

بارگذاري عمومي، در روي منحني تسليم M2 و M1به وسيلة نقاط مشابه

نمايش داده مي شوند.

به دليل سخت شدگي، اندازة هر سطح تسليم جديد، بزرگتر

از سطح پيشين است.از اين رو نتيجه مي شود كه سطح تسليم كنوني، محدودة ميدان ارتجاعي را كه در حين جريان پالستيك افزايش مي

يابد مشخص مي كند. به عبارت ديگر، اگر در حين تسليم، به تنش تسليم

برسيم، و تنش بعدي به مقدار زير برسد: در اين صورت جريان پالستيك ادامه پيدا نخواهد كرد و لذا

با حالت باربرداري ارتجاعي مواجه هستيم. نقطه تنش متناظر با اين حالت در داخل سطح تسليم قرار دارد؛ به عبارت ديگر اين نقطه در نمودار ، در روي خط و زير منحني تسليم قرار

دارد.

حالت بارگذاري بعدي برگشت به ، نمايشگر بارگذاري ارتجاعي مي باشد.

يك تغيير ديگر تنش ولي با حفظ شرط ، بارگذاري خنثي را تعريف مي نمايد. كه بدون جريان

پالستيك است. سطح تسليم در حين بارگذاري خنثي تغييري نمي كند و

نقطه تنش در شكل باال در روي سطح تسليم باقي مي ماند ولي موقعيت آن مي تواند روي سطح تغيير

نمايد. اين نقطه در روي منحني تسليم ثابت مي باشد.

هر حالت تنش در خارج از سطح تسليم يا باالي توجه : منحني تسليم غيرممكن است.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

مدل رفتار مصالح كامال پالستيك

تاكنون فرض كرديم كه مصالح داراي سخت شدگي مي باشد .

اكنون مدل رفتار مصالح كامال پالستيك) ( را در نظر مي گيريم كه براي كاربردهاي عملي حائز اهميت است،

زيرا براي برخي مصالح مي توان از سخت شدگي كرنش صرف نظر كرد.

شكل زیر، دو حالت متوالي تنش در حالت شرايط و M1بارگذاري عمومي را نشان مي دهد كه متناظر با نقاط

M2 :در روي منحني تسليم مي باشند. داريم متناظر با يك سطح تسليم با اندازة ثابت داريم:

تمام حاالت تنش در حين تسليم مصالح، صرفا با يك سطح تسليم نمايش داده مي شوند

و ميدان ارتجاعي نيز به دليل جريان پالستيك تغيير نمي كند. در حالت جريان

پالستيك تحت اثر شرايط بارگذاري عمومي، هنگامي كه تسليم گسترش مي يابد، يك

حركت مي كند، اما همواره در روي سطح M نقطة تنش تسليم باقي مي ماند، نقطة

تصوير آن در امتداد خط تسليم حركت كرده و صرفا كرنش پالستيك مؤثر

مي تواند افزايش يابد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

اكنون حاالت ديگر تغيير شكل در شرايط بارگذاري تك محوري را نيز در نظر گرفته و اين حاالت را با استفاده از

طرق زير نمايش مي دهيم:

)i( ،صفحه انحراف دار)ii(، كرنش پالستيك تك محوري ) رابطه تنش)iii(منحني تسليم

افزايش مي يابد تا اينكه تسليم σدر ابتدا، تنش تك محوري رخ دهد.

)i( نقطة تنش در امتداد خطOA در صفحة انحراف دار حركت مي كند،

)ii( نگاشت آن در امتدادOA،حركت مي نمايد )در شكل )ب )iii( نگاشت آن در امتداد OA.حركت مي نمايد )در شكل )پ

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8پالستيك - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8 كرن(ش مص(الح، كرن(ش افزاي(ش ب(ا

در و كرنش پالستيك مؤثر تك محورياين ABامتداد خ(ط ب(ا يافت(ه، ول(ی افزاي(ش

در دار انحراف تن(ش در صفحة نقط(ه حال، ثابت باقي مي ماند.Aنقطه

بارگذاري، نقط(ه تنش در ب(ا تغیی(ر راس(تاي Cحرك(ت کرده ت(ا ب(ه نقطه BCامتداد خ(ط

روي س(طح تس(ليم برس(د. در ط(ي اي(ن تغيير شك(ل ارتجاع(ي )باربرداري ارتجاع(ي(، كرنش

و كرن(ش پالس(تيك مؤثر پالس(تيكتغيير نمي كنند.

جريان راستا همان در كرن(ش افزای(ش ب(ا در تنش نقط(ة و ياب(د م(ي ادام(ه پالس(تيك

موقعي(ت انحراف Cهمان صفحة روي در و دار باق(ي م(ي مان(د ك(ه توأ(م ب(ا كاهش

مي باشد. افزايش

در حي(ن جريان پالستيك معكوس، كار توج(ه : پالستيك همچنان مثبت است.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8در متون پالس(تيسيته، از واژ(ة ”س(خت شدگي - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

كار“ نيز استفاده مي شود.

كار از استفاده ب(ا شدگ(ي س(خت معيار ي(ك پالس(تيك تعري(ف م(ي شود ك(ه به طور

تسليم منحن(ي زي(ر ب(ا س(طح هندس(ي مشخص مي شود.

چرا ك(ه رابط(ة ب(ا استفاده از منحني تسليم تعريف مي شود.در حالت پالستيسيتة كامل، داريم:

ب(ه عبارت ديگر س(خت شدگي وجود ندارد و از اي(ن رو كار پالس(تيك ب(ه طور س(اده يك معيار تغيي(ر شك(ل پالس(تيك در ي(ك نقطة كل(ي نيز مؤث(ر پالس(تيك كرن(ش البت(ه اس(ت؛ مادي

مشابه آن معيار مي باشد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8صحت سنجي - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8تجربي

در گذشته بررسي هاي تجرب(ي فراوان(ي براي ارزياب(ي درستي فرض انجام شده اس(ت. شك(ل زي(ر نتايج آزمايشات بر بارگذاري اثر تح(ت ك(ه ده(د م(ي نشان را مس(ي هاي لول(ه روي اند. در ه(ر آزماي(ش، باره(ا به محو(ري و فشار داخل(ي قرار گرفت(ه طور متناس(ب ب(ا ي(ك نس(بت ثاب(ت بي(ن تنش هاي اصلي و

و با 1 ت(ا 0افزاي(ش داده شده اند. نتاي(ج ب(ا نس(بت هاي مختل(ف بي(ن نمادهاي متفاوت در شكل نشان داده شده است.

داده شده در شكل نتاي(ج نشان اعمال 15-2-3) طريق از ،)

به برش و كش((ش متوال((ي مصالح حاصل شده اند.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8صحت سنجي - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8تجربي

(، متناظر با 3-2-16شكل )حالتي است كه در آن عالمت

بارگذاري عوض مي شود.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8با سخت شدگي آميخته Von Misesمدل مصالح - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

در بخ(ش هاي پيشي(ن، ابتدا ي(ك مدل مص(الح تك محوري را ب(ه مدل س(ه بعدي تعميم ارائ(ه داده و س(پس آ(ن مدل را

داديم. اي(ن تعمي(م س(ازي يك(ي از مه(م تري(ن و بنيادي تري(ن گام ها

در نظريه پالستيسيته مي باشد.با مطلوب(ي تواف(ق شده، ارائ(ه بعدي س(ه مدل اگرچ(ه پاسخ فلزات، برخ(ي در ول(ی دارد، تجرب(ي مشاهدات مص(الح را در شراي(ط بارگذاري پيچيده ب(ا دق(ت كافي ندارد،

اث(ر آ(ن در ك(ه اي بارگذاري چرخ(ه مي Bauschingerنظي(ر تواند قابل مالحظه باشد.

اين(ك ي(ك مدل نس(بتا عموم(ي رفتار مص(الح االستوپالستيك را ارائ(ه م(ی دهيم. ي(ك مص(الح را در نظ(ر م(ي گيري(م كه در

ابتدا ايزوتروپ مي باشد.

نوع از عموم(ي نس(بتا مدل پالستيسيتة Von Misesي(ك در مص(الح مدل ايزوتروپ، سخت Von Misesفلزات فرض ب(ا

شدگي آميخته است.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

با سخت شدگي آميخته Von Misesمدل مصالح

از جمله سطوح تسليمی که به طور تجربي تعيين مي Pugh and Robinson]شوند، داده هاي تجربي است که در

. براي فوالد به دست آمده اند[(1978)

سطوح تسليم اوليه و بعدي براي مصالحي كه تحت ا(ثر شرايط متنوع بارگذاري متناسب قرار گرفته اند تعيين گرديده اند. در شكل بعد مشاهده مي شود كه اندازه،

موقعيت و شكل سطوح تسليم تغيير مي كنند.

مي باشد.Bauschingerعامل اصلي اين تغييرات، اثر

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8با سخت شدگي آميخته Von Misesمدل مصالح - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

را که قبالارائه داديم، اندازة سطح Von Misesشرط تسليم

تسليم مطابق با تغيير مي يابد ولی، همان گونه كه در باال را در نظر نمي Bauschingerاشاره شد، اين توصيف، اثر

گيرد.براي تعميم سازي منحني هاي تسليم يك بعدي، شرط

تسليم را به صورت زير ارائه مي دهيم:

مؤلفه هاي تنش برگشت مي باشند كه موقعيت سطح تسليم را توصيف

مي نمايند.

با توجه به شکل بعدی، تنش

تسليم مي . باشد

مؤلفه تغيير اندازه و موقعيت سطح تسليم به توجه: صورت ساده سازي شده اي در فضاي تنش در نظر گرفته

مي شوند و از تغيير شكل سطح مذكور صرف نظر مي شود.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8با سخت شدگي آميخته Von Misesمدل مصالح - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

شرط تسليم را می توان به صورت زیر نوشت:

و یا روابط باال را به صورت های قبلی می نویسیم:

مؤلفه هاي شعاع سطح تسليم مي باشند.

تنش مؤثر كاهش يافته است.

مؤلفه شدت يا نرم توجه: مي باشد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8با سخت شدگي آميخته Von Misesمدل مصالح - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

مطابق با فرض سخت شدگي آميخته، نموهاي كرنش

پالستيك را مي توان به دو قسمت ايزوتروپيك و سينماتيك تقسيم نمود، به عبارت ديگر:

انتخاب يك ساده ترين روش براي ارتباط و به صورت زير است:M ثابت

، كه يك مشخصه مصالح ا(ست، پارامتر سخت شدگي Mثابت آميخته ناميده مي شود.

است كه در Bauschinger، معياري براي نمايش اثر Mثابت شرايط تغيير شكل هاي تنش تك محوري تعيين مي گردد.

به ترتيب متناظر با سخت M=0 و M=1توجه شود كه شدگي ايزوتروپيك و سينماتيك مي باشند.

به از اين تعريف نتيجه مي شود كه نمو كار پالستيك تقسيم مي و سينماتيك دو قسمت ايزوتروپيك

شود. اين دو قسمت كار پالستيك همانند كرنش هاي در نسبت يكساني رخ مي دهند. و

با فرض سخت شدگي آميخته، تنها قسمت سخت شدگي كرنش پالستيك مؤثر، بر اندازة از نمو ايزوتروپيك

سطح تسليم تأثير دارد:

بنابراين، تنش تسليم تابعي از است:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8با سخت شدگي آميخته Von Misesمدل مصالح - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

گام بعدي در تعريف مدل مصالح، مشخص نمودن روابط تنش ( كرنش پالستيك است. براي نيل به اين هدف، توجه

، به صورت زير در مي Prandtl-Reussشود كه اينك معادالت آيند:

یک ماتریس همانی است.3×3

برا(ي مشتق گيري از نسبت به ا(ز تعريف مربوط به تنش هاي انحراف دار استفاده كرده ايم كه

به حاصل آن يك فرم ماتريسي از مشتقات صورت زير مي باشد:

معادالت فوق نمايشگر قاعده جريان يا اصل متعارفي در پالستيسيته است كه يكي از بنيادي ترين روابط در

تئوري جريان پالستيسيته به شمار مي رود.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8با سخت شدگي آميخته Von Misesمدل مصالح - سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

براي تكميل فرمول بندي، ما نياز به يك قانون سخت شدگي براي تنش برگشت داريم. براي اين كار، از قاعدة

به صورت سادة زير استفاده مي Pragerسخت شدگي كنيم:

يك مدول سخت شدگي سينماتيك است.Cكه در آن

فرض مي كنيم كه تغيير مكان سطح تسليم در راستاي عمود بر سطح تسليم مي باشد.

از سطح تسليم، با در نظر گرفتن بارگذاري تك Cمدول محوري مصالح و شرايط سخت شدگي آميخته، تعيين مي

گردد.

در شرايط تك محوري كششي، شرط تسليم به صورت زير درمي آيد:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

و یا به طور نموی :

در گام بعدي اين شرط را اعمال مي كنيم كه تنش به ، منحني تسليم را به دست مي دهد. Mازاي هر مقدار

بايد مطابق با قانون سخت شدگي همچنين تنش تسليمارائه شده تغيير نمايد.

که در آن ها مدول های پالستیک زیر را داریم:

از جایگذاری روابط فوق داریم:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

فرمول وس(يلة ب(ه را تس(ليم منحن(ي اگ(ر گام -Ramberg در Osgood :نمايش دهيم، در اين صورت خواهيم داشت

”تفكيك كرنش روش ب(ا متناظ(ر روش اي(ن پالستيك“ است كه در

[Bathe and Montans (2004)] .است شده توص(يف البت(ه ب(ه عنوان ي(ك روش جايگزي(ن، مي توان نيز پالس((تيك“ مدول ”تفكي((ك روش از

استفاده كرد.

در حال(ت رابط(ه تن(ش (( كرن(ش دوخط(ي )ك(ه در آن ثابت است( و در حالت سخت شدگي سينماتيك، داريم:

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

Vonدر يك جمع بندي، روابط اصلي كه مدول مصالح Mises با سخت شدگي آميخته را توصيف مي نمايند

عبارتند از:. شرط تسليم با استفاده از 1

.تعريف مي شود. شرط روابط تنش ( كرنش پالستيك براساس قاعده 2

جريان وابسته استوار بوده و با استفاده از به دست مي آيند.

اندازه سطح تسليم مطابق با بستگي به قسمت ايزوتروپيك كرنش پالستيك مؤثر دارد.

. سخت شدگي مطابق با فرض سخت شدگي آميخته و با 3تعريف مي شود، كه براي Mپارامتر سخت شدگي آميختة

به قسمت هاي تفكيك كل نمو كرنش پالستيكايزوتروپيك و سينماتيك مورد استفاده قرار

مي گيرد.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

. مشخصات سخت شدگي به وسيله منحني تسليم كه 5به طور تجربي از شرايط تنش تك محوري مصالح به

دست مي آيد تعريف مي شوند.

با استفاده از فرض هاي سخت شدگي Von Misesمدل سينماتيك يا ايزوتروپيك ونيز مدل پالستيسيتة كامل )بدون سخت شدگي(، حاالت خاصي از مدل سخت شدگي آميختة

مذكور هستند.

Prager. قاعده سخت شدگي 4 ، بر تغيير مكان سطح تسليم حاكم است.

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

براي مدل نمودن شرايط س�خت شدگي س�ينماتيك، از پارامتر سخت شدگي

اس�تفاده م�ي نمائيم. در اي�ن ص�ورت فرض م�ي كني�م ك�ه س�طح تسليم ثابتي مي باشد، به عبارت ديگر، داراي اندازة

0M

yˆ

و س�طح تسليم قابل كاربرد نمي باشند. در طي جريان و كند تغيي�ر م�ي تن�ش در فضاي پالس�تيك، موقعي�ت س�طح تس�ليم بنابراي�ن كار پالس�تيك ص�رفا در اث�ر تغيي�ر مكان س�طح تسليم انجام م�ي شود. رواب�ط تن�ش �� كرن�ش پالس�تيك ب�ه ص�ورت مي

، بر تغيير مكان سطح تسليم حاكم است.Pragerباشند و قاعدة

)ˆ(ˆ Py eM

بنابراي�ن، فق�ط از منحن�ي تس�ليم ك�ه ب�ه طور تجرب�ي در يك تعيين مدول براي اس�ت ثب�ت شده ت�ك محوري cآزماي�ش كش�ش

براي شدگ�ي سينماتيك ب�ا س�ختvon Misesشود. مدل اس�تفاده م�ي كفايت مي كند.Bauschingerيك فلز با اثر قابل توجه

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8نظر كرد، رفتار مصالح صرفBauschingerتوان از اثر در حالتي كه مي- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

نمائيم. در اي�ن ص�ورت از پارامتر شدگ�ي ايزوتروپي�ك را فرض م�ي س�ختشدگ��������ي اس��������تفاده س��������خت

باشد و نمائي�م، شرط تس�ليم ب�ه ص�ورت م�يشخص رواب�ط تن�ش �� كرن�ش پالس�تيك ب�ا اس�تفاده از رواب�ط

شوند. ميسخت بدون مص�الح رفتار ب�ا متناظ�ر كام�ل پالس�تيسيتة شراي�ط

تنش ي�ك ص�ورت اي�ن در اس�ت. پالس�تيك جريان حي�ن در شدگ�ي گيريم و را از پي�ش در نظ�ر م�ي تس�ليم ثاب�ت همچون

آيد. رواب�ط تن�ش � در م�ي شرط تس�ليم ب�ه ص�ورت باشند. مي كرنش پالستيك به صورت

8( مشخصه رواب(((ط کاربرد -Constitutive Relations)

- مبانی بنیادی پالستیسیته4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي6-4-8

سرانجام، پاسخ مصالح را در حالتي كه تحت اثر بارگذاري تك محوري كششي و فشاري مي باشد، با

استفاده از مدل سخت شدگي آميخته كه در باال تعريف كرديم، نشان مي دهيم.

و شكل هاي )الف( و )ب( به ترتيب روابط را نشان مي دهند.

، پاسخ ABمي توان مشاهده كرد كه در رژيم بارگذاري يكسان است، ولي M مصالح به ازاي همة مقادير

هنگامي كه عالمت بارگذاري عوض مي شود، در اين خواهد بود.Mصورت پاسخ مصالح وابسته به