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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 1FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA

Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos

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TEORIA ELECTROMAGNETICA II

CAPITULO 1 LAS ECUACIONES DE CAMPO 4

1-1 Campos vectorialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4 1-2 Ecuaciones de campo en forma integralhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 81-3 Ecuaciones de campo en forma diferencialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 81-4 Ecuacioacuten de la continuidadhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101-5 Teorema de la energiacuteahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 121-6 Potenciales escalar y vectorialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

1-6-1 Ajuste de los potencialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip181-6-2 Las ecuaciones de potencialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip20

CAPITULO 2 LA ONDA PLANA 22

2-1 La ecuacioacuten de ondahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 222-2 Solucioacuten de Drsquo ALEMBERThelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 232-3 Transversalidad impedancia de onda 282-4 Onda armoacutenica con direccioacuten de propagacioacuten arbitraria 32

CAPITULO 3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA 373-1 Flujo de energiacutea en medios sin perdida37

CAPITULO 4 CONDICIONES DE BORDE 404-1 Condiciones de borde de

E 41

4-2 Condiciones de borde de

H 424-3 Condiciones de borde de D

43

4-4 Condiciones de borde de B 43

4-5 Condiciones de borde de J 44

46 Condiciones de borde de S

45

CAPITULO 5 POLARIZACION 47

CAPITULO 6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS 53

6-1 Onda estacionaria536-2 Grupo de ondas5463 Dispersioacuten5764 Velocidad de la sentildeal61

CAPITULO 7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS 64

7-1 Atenuacioacuten Y Corrimiento De Fase6472 Caracteriacutesticas De Dispersioacuten Del Conductor6973 Casos Limites De Los Conductores Metaacutelicos Y Aislantes7274 Efecto Pelicular O Piel De Un Conductor Ciliacutendrico7676 Flujo De Energiacutea En Medios Con Peacuterdidas81





CAPITULO 8 REFLEXION Y REFRACCION 86

81 Ondas Parciales Y Condiciones De Frontera8682 Polarizacioacuten De La Onda Incidente Paralela Al Plano Incidente8883 Polarizacioacuten De La Onda Incidente Perpendicular Al Plano Incidente93

CAPITULO 9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA 95

91 Condiciones De Frontera 9792 Onda Tem9993 Onda Tm10194 Onda Te11095 Guiacutea De Onda Rectangular11296 Conductores De Ondas Dieleacutectricos113

CAPITULO 10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN 115

101 Ondas No Homogeacuteneas En Conductores 115102 La Primera Ecuacioacuten De La Liacutenea120103 La Segunda Ecuacioacuten De La Liacutenea123104 Ecuaciones De Una Liacutenea De Transmisioacuten Con Conductores Reales Y Sus Soluciones126

CAPITULO 11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS 131

111 Definicioacuten Y Ajuste De Potenciales131112 Ecuaciones De Los Potenciales Y Sus Soluciones134





1 LAS ECUACIONES DE CAMPO

Las ecuaciones de Maxwell describen el mundo de los campos vectoriales

electromagneacuteticos Se nos presenta aquiacute una doble dificultad Primero los campos

electromagneacuteticos no son directamente captados por nuestros sentidos con excepcioacuten de

la luz por eso por mucho tiempo se han buscado analogiacuteas mecaacutenicas para su

visualizacioacuten Y segundo un campo vectorial sobrepasa nuestras posibilidades

imaginativas por ello hemos recurrido a representaciones muy simplificadas como los

cuadros de liacuteneas de campo los cuales reproducen incompletamente los sucesos fiacutesicos

reales en el espacio

En este capiacutetulo nos ocuparemos de los oriacutegenes y propiedades de los campos vectoriales

de la estructura matemaacutetica y del contenido fiacutesico de las ecuaciones de campo de

Maxwell

11 CAMPOS VECTORIALES

Los oriacutegenes de un campo vectorial A tenemos que diferenciarlos entre fuentes (pozos o

caiacutedas) y torbellinos

Fuentes o pozos son puntos en el espacio con la propiedad de que en ellos inician o

terminan liacuteneas de campo (fig 1a) Cuando existen fuentes o pozos del campo vectorial

en un volumen V se tiene

A dS

S

0 (11)

El valor de esta integral es una medida del flujo del vector A

a traveacutes de la superficie o de

la intensidad de la fuente encerrada en ella Es la integral nula entonces el volumen no

contiene fuentes





Los torbellinos tambieacuten denominadas orificios son liacuteneas de campo con la propiedad de

que estas se cierran alrededor de las liacuteneas del torbellino (fig 1b) Cuando los torbellinos

del campo vectorial A se distribuyen en una superficie S se tiene

A drC

0 (12)

Fig 1 Fuente y Torbellino





El valor de esta integral es una medida de la circulacioacuten del vector A

a lo largo del

contorno C o de la intensidad del torbellino Si esta integral es nula la superficie S

delimitada por C estaacute libre de torbellinos

A los campo vectoriales podemos diferenciarlos seguacuten su origen en

Campos Fuente Puros ( Campos libres de torbellinos )

Campos Torbellinos Puros ( Campos libres de fuentes )

Campos Mixtos

Un campo libre de fuentes y torbellinos (Campo Homogeacuteneo) puede existir uacutenicamente en

un recinto finito en donde la causa u origen del campo estaacute fuera de este recinto en el

caso ideal en infinito Todo campo vectorial es aproximadamente homogeacuteneo si estaacute lo

suficientemente alejado de la fuente y torbellino que lo producen

En las figuras (2a) y (2b) se indica por medio de la integral de flujo (11) y de la integral

de circulacioacuten ( 12 ) cuaacuteles son los oriacutegenes de ciertos campos vectoriales

Campo Fuente Puro

Fig 2a Clasificacioacuten de los campos vectoriales





Campo Torbellino Puro

Campo Fuente-Torbellino

Campo Homogeacuteneo

Fig 2b Clasificacioacuten de los campos vectoriales





12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL

Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir

Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS

SC

rotE B (13)

SdDJrdHC S

rotH J D

(14)

D dS dV

VS

divD (15)

B dS

S

0 divB 0 (16)

Ecuaciones para ED

la materia B1H

J E

(17)

(18)

(19)

Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una

variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos

de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B

son torbellinos de la intensidad de campo

eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ


magneacutetico

H

El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de

campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos

Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o

la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a

traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -





hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de

cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es

matemaacuteticamente necesario y suficiente

Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen

cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4

variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita

el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos

En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples

son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos

eleacutectricos

El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un

campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo

magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay

13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL

Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma

diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral

Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene

Stokes A dr rotA dS

SC

(110)

Gauss S V

dVAdivSdA

(111)





El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de

A alrededor de un elemento

de superficie Sd

y el escalar div A describe el flujo diferencial de

A a traveacutes de un

volumen diferencial dV

Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)

y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de

las ecuaciones de campo

Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara

Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre

tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no

homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones

diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de

superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen

tambieacuten sus campos

Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial

La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa

cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un

campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el

intervalo de integracioacuten es constante

14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD

En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones

de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea

electromagneacutetica

Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene

)DJ(div)Hrot(div





y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable

permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0

se obtiene que div J D( )

0 (112)

La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de

la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento

D

Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene

divJ divD 0

divJ 0 (113)

En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la

carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la

integral de volumen a los dos lados o sea

divJdv dvVV

0

Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene

0 dvsdJS V

(114)

En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente

seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S

La forma integral de (112)

00 sd)DJ(dv)DJ(divSV

(115)





se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de

corriente

15 TEOREMA DE LA ENERGIA

En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el

contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad

o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)

como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega

con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo

La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen

quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a

traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente

especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE

o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se

presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la

ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute

J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)

Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede

tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de

su superficie

Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello

la densidad de potencia p como variable descriptiva





La densidad de potencia generada por la fuente es

eqeq EJp

e introduciendo (116) se obtiene

EJJpEJJp eqeq

21

con la ecuacioacuten de campo

J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )

p J E D E rotHeq 1 2

(118)

La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial

HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div

(119)

(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )

p J E D div E H H rotEeq 1 2

( )





y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene

)HE(divBHDEJpeq

21

(120)

Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia

SmeJeq sdHEPPPP

( (121)

es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al

efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)

maacutes la potencia eleacutectrica

P E DdveV

(123)

maacutes la potencia magneacutetica

dvBHPV

m (124)

y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie

Para un medio lineal D E

B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee

Densidad de energiacutea eleacutectrica

de igual forma para 2mm H

21wP

Densidad de energiacutea magneacutetica

La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie

HES

(125)

se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute

libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo

magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto

vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso

en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las

ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que

div S H rotE E rotH 0

y con ello tambieacuten que 0S

SdS

para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia

La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de

malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues

no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y

no sus torbellinos

Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo

(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de

peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y

H B Debido a la

unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son





DdEdwe

y BdHdwm

e integrando podemos definir una densidad de energiacutea

D

e DdEw0

B

m BdHw0

con lo que obtenemos

Sdivwwdtd

me

(126)

Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la

variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad

de flujo de potenciardquo

16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL

La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten

B rotA (127)

reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B

0AErotArotErot

(128)

y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten





AgradVE (129)

Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del

potencial escalar eleacutectrico respectivamente

Formulando (127) en forma integral se tiene

B dS rotA dS

S S

y aplicando Stokes se llega a

Adr B dS

C S (130)

o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo

torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de

A encierran a la

liacuteneas de campo de B (ver figura 3)

Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial





La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo

magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c

161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES

Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el

potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido

sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los

potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben

satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los

potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales

Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los

potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A

con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE

Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada

el par de potenciales nuevo de la siguiente manera

gradFAA

FVV

Esto conduce al mismo campo asiacute





B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B

E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E

)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E

El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un

campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo

campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los

potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de

campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del

potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de

A La

consideracioacuten maacutes sencilla es

div A = 0 (131)

que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo

Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)

estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A

no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0

Entonces divA div A dF gra 0

0FAdiv 2

2 AdivF

En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten

que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten

diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de

una normalizacioacuten apropiada





LAS ECUACIONES DE POTENCIAL

Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA

VgradgradVAdivgradAAA

AVgradAgradVAAdivgrad

AAdivgrad

AgraddivAdivgradArotrot

Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv

Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)

se tiene

331

321

2

2

VV

JAA

Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial

de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)

Para el espacio libre 0

1

cv

velocidad de la luz en el espacio libre

Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA

En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad

de campo E y

H a partir de las ecuaciones de Maxwell

21 LA ECUACION DE ONDA

Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del

material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo

infinito

cte

Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar

un campo fuentes de voltaje o de corriente

000 eqJeqE

Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser

DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv

Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos

magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras

ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot

BBErotErotDJrotHrotrot

HH

Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene

000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE

Para medios aislantes 0 los campos de ondas son

0)32(

0

02

2

HH

EE

Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se

tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)

A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda

22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT

Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las

propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa

Mas condiciones de (22)





de una sola coordenada cartesiana z

012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz

con el cambio de variables

vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt

y con esto la ecuacioacuten de onda queda como

0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)





se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert

Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la

solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta

describe un campo constante en posicioacuten y tiempo

Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales

f vt z (28)

En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como

funcioacuten de la variable posicional z

1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )

al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el

tiempo t es decir

f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2

Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t

Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten

positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten

Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y

si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido

cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es

proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una





onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la

velocidad de propagacioacuten (fase)

Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)

A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -

tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies

de fase En el presente caso son planos de fase

vt - z = constante (29)

Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que

las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de

fase la cual de (29) resulta ser

vdt -dz = 0 vdtdz

(210)

La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del

material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda

electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1





La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se

mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el

mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten

como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que

para el plano de fase para esta onda parcial se tiene

v-=dtdz0=dz+dtv

es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z

La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas

parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra

en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado

en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en

efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la

onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +

y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las

ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal

superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas

estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes

adelante

La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente

por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo

que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z

Entonces para los dos vectores de campo se tiene

-= zvtEE

(211)

-= zvtHH





Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la

onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten

de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)

(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)

23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA

Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell

(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene

21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz

se tiene que 21300 vtHz

vtEz

Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un

campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de

campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que

Ez = 0 y Hz = 0

expresando en forma vectorial





0=

2140=

HyHxH

EyExE

Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a

este tipo de onda se denomina onda transversal

De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene

215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa

Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que





216-=zvt

y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son

ideacutenticas en cruz

Entonces de (215a) y de (216) obtenemos

0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey

Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre

pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una

onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z

tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de

propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377

Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el

otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda

transversal homogeacutenea plana





0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx

Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son

independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de

onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y

direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su

intensidad y polarizacioacuten

Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo

magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy

EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE

ZE

ZExEyHyHxH

Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que

tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de

propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal

El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad

de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la

suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten

experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz





24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA

A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase

armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con

una longitud de normalizacioacuten lo siguiente

z t A vt z cos 2

donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda

(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades

de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es

2222=k

La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo

223v

T

y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular

0 z

A

Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica





2242T2= f

con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica

225acos kztAtz

o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada

225beRetz zk -t wjA

Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos

226k

=cte

fasedt

dzv

Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten

(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda

monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada

espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas

monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se

denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten

aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente

Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica

para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano

Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo

tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o

tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)

227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r

Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de

direccioacuten de propagacioacuten





Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene

cte=rk-t

con lo que obtendremos para los vectores de campo

rk-t H=H

228rk-t E=E

Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas

ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute

0=HE0=Hk0=Ek

Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)

ZkEx k=H

(229)





Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que

HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22

Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como

0

Bdiv

DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot

BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22

Para (23) se obtiene





0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE





3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA

Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se

describe este mediante el campo del vector de Poynting

31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS

Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k

se tiene la

relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de

Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A

2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E

kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)

El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente

se espera

La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la

energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento

de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal

A y cuyo contenido de energiacutea es

dW = w A dl





La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que

pasa por la unidad de superficie

Sabiendo que dl = VE dt

se obtiene para Ew V=dtA

dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)

En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE

con lo que la densidad de energiacutea

2222 HEH2

E2

=w

Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea

V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt

Fig41 Elemento de volumen para

obtener la velocidad de la energiacutea





Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de

una onda armoacutenica

De (31) con E E cos (wt - k r)o

se tiene

S1Z

E cos (wt - k r) kko

2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)

La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a

la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor

promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le

denomina como Intensidad de la onda

2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)





4 CONDICIONES DE BORDE

En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las

condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell

Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de

espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en

una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una

componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared

Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten

de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial

de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse

solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios

An2

At1

An1

At2

h1 2

Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde





41 CONDICIONES DE BORDE DE E

Utilizando la ecuacioacuten de campo S

sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver

fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar

ninguacuten flujo magneacutetico

0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h

Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la

componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de

los medios pues

Et1 = Et2 (41)

Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales





42 CONDICIONES DE BORDE DE

H

En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad

de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la

conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas

aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes

adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la

corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en

un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca

de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la

conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de

corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS

pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande

En forma anaacuteloga partiendo de S

sd)D+J(rdH y considerando que la superficie

de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente

superficial es decir

J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js

Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht

43 CONDICIONES DE BORDE DE D

La ecuacioacuten de campo vS

dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal

(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una

densidad de carga superficial

hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)

44 CONDICIONES DE BORDE DE B

Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB

0 a una superficie

infinitesimal obtenemos

Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)

45 CONDICIONES DE BORDE DE J

Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie


00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)

Introduciendo (43) en (45) se tiene

02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)

La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La

componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la

superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo





46 CONDICIONES DE BORDE DE S

Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal

y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y

magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para

01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)





Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una

fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ

en la resistencia en los

conductores y en el medio circundante si ( = 0)

J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION

Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo

electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor

podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten

El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la

intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H

se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con

polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que

la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de

E sea en el sentido de x asiacute seguacuten

kZEkH

la direccioacuten de oscilacioacuten de H

debe ser en

el sentido de y (ver fig 51)

00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)

Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal





En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana

transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey

con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir

Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)

Es suficiente que consideremos solamente el caso de E

pues el H

es correspondiente

Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de

campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en

un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un

graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten

En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de

la siguiente manera

t - k z0 = -2

con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas

EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen

De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada

A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen

Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las

direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad

trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse

1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)

La flecha del vector E

de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver

fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es

vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda

se la denomina onda polarizada eliacutepticamente

Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten

Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de

propagacioacuten la flecha del vector E

gira hacia la izquierda o sea en contra de las

manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo





opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El

sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la

discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a

los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal

1) = 0 ()

con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a

que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)

2)

La ecuacioacuten (53) quedariacutea como

Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los

dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro

contrario del vector

012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx





Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la

componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la

polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten

0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo

lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho

Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica

Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E

dibuja el ciacuterculo

Ex2 + Ey2 = A2

y la onda se denomina con polarizacioacuten circular

Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso

especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos

ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra

Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)





A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas

parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana

perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la

componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe

mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres

atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La

constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en

general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla

aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico

Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado

00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE





6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS

En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas

Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o

por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente

A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en

especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o

conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas

(componentes de Fourier)

61 ONDA ESTACIONARIA

Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y

linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de

fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos

para las dos ondas parciales la consideracioacuten

kztAExkztAEx

coscos

2

1

cambiando de variable

2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1

y la onda resultante seraacute

Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)

Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de

fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute

constantekz 2

A este tipo de onda se denomina onda estacionaria

La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada

Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares

se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica

Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide

perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora

72 GRUPO DE ONDAS

Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues

ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell

podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de

Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten





separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas

armoacutenicas

La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se

denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas

Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la

misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente

nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas

resultante escrita en forma compleja se expresa como

maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)

Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente

de la variable de integracioacuten de la siguiente forma

kvk (63)

Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute

renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete

de ondas

Considerando un grupo de ondas con una banda k

k miacuten lt k lt k maacutex

cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda

Con una transformacioacuten de variables se tiene

k = ko + k k ltlt ko (64)





Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos

desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es

decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)

Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene

kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k

zkktkjo kdekkAtzE oo

o

o

oo

kk

kk

kztkjo

zktj kdekkAetzEmaacutex

miacuten

acuteRe (66)

Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver

figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la

onda con los valores centrales de la banda (o ko)

La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para

un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud

es constante o sea

ctekztdkdk

okk





De ahiacute se obtiene para su velocidad

okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)

Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo

Fig 61 Grupo de onda

63 DISPERSION

En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser

independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el

medio en el cual se propaga el grupo de ondas

En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo

tanto

dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0

ddv (68)





En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de

fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad

de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas

Vg = v (69)

En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente

velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe

depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase

con respecto a la frecuencia

ddvvfVg

Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un

medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en

la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se

consideran para o o ko)

dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv

Resolviendo con respecto a vg

ddv

v

vvg

1(610)

Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la

relacioacuten (610) para medios dispersivos





Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia

como variable independiente obtenemos

dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)

Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica

sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en

el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad

de grupo vg(o)

Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo

En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos

para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de

ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas





Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos

estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de

esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d

dv la

velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos

de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos

De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse

anormaldispersioacuten00ddvpara

dispersioacutensin 00ddvpara

normaldispersioacuten00ddvpara

ddvv

ddvv

ddvv

vg

En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia

pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la

frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta

consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase

o

v 1 (612)

y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta

ov

cn

(613)





Fig 63 Dispersioacuten

Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes

de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de

colores Por ello se habla de dispersioacuten

Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja

() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y

n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la

relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten

64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL

La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para

transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un

transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos

intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta

aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo

Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es

debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea





infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita

debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede

transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud

longitud de onda y frecuencia

Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por

ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del

transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la

onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de

ondas

La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin

embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten

para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial

anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de

grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados

(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de

propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor

especialmente de su sensibilidad

Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos





Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos

generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son

ideacutenticas o sea

vs = vg = vE = v (614)

En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor

lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute

vE vs v





7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS

Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados

Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso

las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues

es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de

ondas en conductores

El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos

variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el

nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de

onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un

corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico

71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE

La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es

EEE

2 (71)

Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos

tje)r(ERe)tr(E (72)

)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que

nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten

la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja





Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar

al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real

Introduciendo (72) en (71) tenemos

2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )

con la definicioacuten de

k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)

Para la intensidad de campo magneacutetico

H vale una ecuacioacuten correspondiente

Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real

de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante

2

22

v

Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de

desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes

de la densidad de corriente se tiene

EjDjJj

2

La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la

corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)





rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)

siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe

tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son

complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las

peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que

considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de

peacuterdidas

= arctan b (76)

Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos

la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de

corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ

Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo

Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute

nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada





espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z

Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)

que su solucioacuten es

E z E eOj k z

( ) (78)

siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una

onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir

00eE)z(E zkjO

(79)

H z H eOj k z( ) 0 0

siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se

satisfacen

Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan

xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E

introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos

- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo





Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la

relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes

pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones

correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la

impedancia de onda compleja

jkZ

2

22

(711)

o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)

)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr

Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda

Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)

Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)

La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos

intensidades de campo E adelanta a

H el aacutengulo de fase





Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la

funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que

k = krsquo - j krsquorsquo (714)

se obtiene

Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)

E y

H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten

Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una

atenuacioacuten por lo tanto

krsquorsquo 0 (716)

es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco

de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten

de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e

72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR

Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el

caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia

De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase

v dzdt

fase cte = k (717)





Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene

siempre que

krsquo gt 0 (718)

La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el

conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo

nuacutemero de onda complejo

Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma

krsquo= f() (719)

siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la

parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)

De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y

magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene

es decir

krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)

)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2





siendo la profundidad de penetracioacuten

Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda

complejo

Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del


01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k

cuya solucioacuten es

22

4

22224

222

k

krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa

2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk

se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos

)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)

La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es

funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la

frecuencia

Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten

graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean

independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da

lugar a la dispersioacuten anormal

Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores

73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES

Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea

la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en





otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte

imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso

liacutemite de un gran factor de peacuterdidas

1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)

Este caso es descrito por medio de

1111

TrTr

b (724)

Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos

Con lo que de (720) obtenemos

212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)

Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma

obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)

Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0

k

1

kv

krsquorsquo = 0 (728)

faseenHyEZ

Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia

2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)

Este caso se describe por medio de





b=

gtgt1 Tr ltlt 1

Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos

)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j

La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de

E con respecto a

H El

cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de

corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la

profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de

penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada

linealmente obtenemos

Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z





para un conductor ideal tenemos

b = 0 v = 0 y Z = 0

74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO

Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos

liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto

pelicular deacutebil)

En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor

ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad

del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten

1- Efecto Pelicular fuerte

Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la

profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a

)327(82

2aa





Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a

Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos

tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten

ubicando el origen en la superficie del conductor es a -

Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos

Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor

v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk





Para la impedancia del conductor obtenemos

al)j(

alZLijR

iv

21

2

comparando las partes real e imaginaria

alLiR

2 (734)

Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor

que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC

tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)

Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son

proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia

Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino

de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos

sin demostracioacuten

RLi

RR

o

o

21283

643

643

41





2- Efecto Pelicular Deacutebil

Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de

penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno

como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar

las funciones de Bessel

La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2

seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)

Ensayemos la siguiente solucioacuten serial

)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)

la cual es permitida debido a

122

a

Reemplazando (737) en (736) se tiene

0212

EzjEz

02224 2222 jjj





Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas

las potencias de desaparecen o sea

y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es

l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo

Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el

cuadrado de la frecuencia

220

j





Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series

en potenciales de de la solucioacuten exacta

R

Li

RR

o

o

6

31

62

4

76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS

A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda

armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja

)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41

41)( HEHEHEtS ee tjtj

Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera

HES (741)

obtenemos el valor promedio en el tiempo de S

definido como la intensidad

)Re(21)( StS

(742)

Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S

HHZZ

EES

Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica

)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj





Con (742) obtenemos para la intensidad

222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS

Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos

)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j

La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del

medio de propagacioacuten

Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la

divergencia del vector Poynting

)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv

Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material

)467(

jj





Con lo que

HrotEErotH)HE(divSdiv

21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21

La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de

energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv





Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia

Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar

a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente

la que representa la suma de todas las peacuterdidas

La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del

nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y

luego extraemos su parte imaginaria Asiacute

kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222





8 REFLEXION Y REFRACCION

Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida

nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia

Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una

onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como

anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo

ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas

Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos

liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal

81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA

Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una

superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de

coordenadas cartesianas (ver fig 81)

En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik

El plano

que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para

nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano

de incidencia el plano (x - z)

El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de

incidencia

En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla

entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay





que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es

reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones

1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que

es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)


es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)

a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia

Fig 81 Polarizacioacuten lineal

En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de

polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E

Para diferenciar al primer caso

se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)

En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio

(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta

perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las

variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el

medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos

para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de





reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio

2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T

tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los

determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto

siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1

y Tk2

de

las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a

la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple

Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las

considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea

nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se

presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten

entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a

maacutes de la onda transmitida la onda reflejada

82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO

INCIDENTE

Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del

campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente

Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos

las siguientes consideraciones





e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11

Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para

todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra

manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo

Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la

superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente

aparezca la coordenada x

Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111

Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si

k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T

De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten

r = I (81)





y la ley de refraccioacuten

k2 sen T = k1 sen I (82)

Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos

Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a

tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al

cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la

ley de Snell

( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I

n2 sen T = n1 sen I (83)

y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera

)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR





pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten

pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten

Consideraremos los siguientes casos especiales

1) Z1 = Z2

Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello

pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0

Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con

y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)

El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente

completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de

H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))

3)1

01

Z

2

02

Z

Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones

algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos

titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)





que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea

de la luz elaacutestica

Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B

en la

superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H

y

con ello B

solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de

D

es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H

para medios dieleacutectricos como

consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular

considerando una carga superficial

83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE

El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo

eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es

completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo

podemos resumir

La consideracioacuten de las ondas parciales es

ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00





Las condiciones de frontera para E

y H

en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a

la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes

i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1

y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo

siguiente

Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la

polarizacioacuten de la onda incidente

1) Z1= Z2

Aquiacute tambieacuten se tiene

Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)

El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con

respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de

fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z

Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia

Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que

t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se

obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el

caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse

Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R

)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)





9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA

Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)

iZi

iXi kkkk cossen 1111

zxzxzxzx zKxKjzKxKji

zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos

rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr

iXr kkkk cossen 1111

iiii

iiii

CoszKSenxKjCoszKSenxKji


OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi

jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos

xx jxKzi

jxKziop ezkezkjEE 11

11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2

Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y

Ez

Ep = EX 0 EZ

k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i

Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg

k12 = kc2 + kg2

Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la

guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre

k = 2

Entonces

es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en

la guiacutea y c como la longitud de onda de corte

En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas

son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el

rango de los GHz como medios de transporte

1 1 12 2 2

g c





Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los

circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes

sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular

con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y

con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos

estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de

tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de

propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda

91 CONDICIONES DE FRONTERA

Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados

entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas

( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()

De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea

de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de

perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal

de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda

trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)

En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico





Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales

Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas

seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son

Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY

Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan

el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas

que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se

obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos

condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una

densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales

pueden determinarse de estas dos condiciones

En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0

con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la

guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la

propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea

aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor





A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede

distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente

superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una

resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales

dimensiones en y y en z

92 ONDA TEM

Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se

alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z

000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH

siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras

condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el

campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se

denomina a esta onda como Onda TEM

Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y

de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)

kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)





La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de

divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento

000kztjeEjD

La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva

HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)

Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos

El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten





La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico

93 ONDA TM

Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la

guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la

polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de

incidencia (ver fig 93)

1) Solucioacuten Visual

Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una

discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica

Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada





La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella

se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase

La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce

una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos

P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el

campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo

de la onda incidente

Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la

guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y

reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos

los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con

respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen

Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase

simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared

Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior

Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior

debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten

2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)

Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente

determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda

incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de

onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)





Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima

(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2

Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se

obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada

se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene

nodos de onda en las dos paredes

En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar

una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la

guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente

2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)





Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos

v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)

La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto

es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de

grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos

g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos

senvvG gG vvv cos (911)

En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda

incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0

Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM

A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en

todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general

que

Ez 0 (912)

Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura

Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda





para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de

programacioacuten se denomina onda TM

2) Solucioacuten Analiacutetica

Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al

sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y

la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo

respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten

z rsquo= z cos + x sen (913)

z rsquorsquo= z cos - x sen

Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada

Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )

00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH

Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda

jkzcos-o

jkxsen-jkzsen-jkzcos-o

rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix

esenkxsen2j sen=sene-eeE=

senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr

Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de

frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de

propagacioacuten (96)

Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos

sen (kdsen ) = 0 kdsen = n





De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como

nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente

Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene

que

Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero

de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo

que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas

Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una

propagacioacuten de una onda en la guiacutea

Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn

2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2





La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la

relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y

magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino

915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx

El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se

denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda

TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0

y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa

sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte

transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)

)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o





Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2

El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero

en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten

(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z

Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0

94 ONDA TE

Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y

cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia

00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i





Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0

sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en

la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por

el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH

Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda

cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH

Para x = 0 Hx = 0 entonces

01 cos)e(eH jcosjkzo

por lo que = y con ello tenemos

cosjkzo

jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2

De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de

propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =

d

La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de

campo magneacutetico es





zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go

95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR

En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de

propagarse son en todo caso ondas TE y TM

Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10

Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal

pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -





paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los

paraacutemetros m y n

kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n

Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal

los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes

grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes

desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no

es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para

la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)

22

2

dn

bmvf nm (919)

La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto

es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo

es m = n = 1)

96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS

En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)

A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten

aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las

superficies de separacioacuten





Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente

con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de

refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente

(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan

totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de

propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de

tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la

informacioacuten oacuteptica

La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con

cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con

un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica

delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis

matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos

TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda

asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal

Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica





10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN

Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia

mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes

grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes

abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de

transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es

ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el

incremento de la frecuencia

En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo

de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de

transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de

transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de

la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de

transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos

concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores

en cascada o en cadena

101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES

Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de

aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal

( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de

transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas

ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce





como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda

TEM cumple con las condiciones de frontera

Et = 0 Hn = 0 (101)

las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las

componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de

la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de

frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas

Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas

Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten

)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)

siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido

De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene

0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)





En los planos z = cte E y

H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse

a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el

plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la

funcioacuten temporal jwte )

00

jkze)yx(v)zyx(V (104)

y con ello

)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00

En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la

ecuacioacuten de potencial de Laplace

02 )yx(v (105)

En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con

ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una

determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v

Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea

desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones

rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)

Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para

vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)

Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de

onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico

permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la

impedancia de onda del medio

En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una

liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la

guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente

superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de

separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su

fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la

liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio

se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores

(comparar con la fig 92)





Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos

En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c

aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de

corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y

de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute

acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es

decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una

corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea

Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene

una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de

separacioacuten Et debe ser continua

Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal

entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente

de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente

En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe

uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para

z 2 k oacute z 1 (109)





los cambios de fase de los campos de onda son despreciables

En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible

pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el

conductor como inductivo

Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v

obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables

integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden

representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad

una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio

102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA

Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y

supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee

peacuterdidas ( M gt 0)

Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell

ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)

en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo

(ver fig 103) En el conductor es JD

y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de

la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de

campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico





Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten

Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos

o)S(

zildH

(1011)

En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por

medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene

)s( cubierta cubierta

)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM

siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones

(1011) y (1012) son iguales

)zz(iiq)z(i oMo





Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos

z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)

Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea

y

zilimi M

zM 0 (1015)

que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La

peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que

fluye en el dieleacutectrico

Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de

liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es

ldEv





Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)

Mi`qzi

(1016)

q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica

vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi

Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la

conductancia por unidad de longitud

1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA

Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell

)s(

SsdBldE

(1017)

a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo

largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de

campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z





Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea

En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute

relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten

Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado

dii

1 (1018)

el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del

conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente

se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la

integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa

Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de

corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del

campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no

cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es





para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo

total

tldE

)s(

(1019)

A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los

planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces

)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)

el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje

diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo

magneacutetico

Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se

tiene

iL a

)2010(tz

v





y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)

iLjzv

a

(1022)

que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la

inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea

104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES

En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia

interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la

ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de

longitud L = La +Li obtenemos

i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv

Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de

longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)





Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt

Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito

equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos

simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la

entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la

mitad en la entrada y la otra mitad en la salida

Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda

obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea

zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv





Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda

La variable compleja en (1024)

))(( CjGLjR (1025)

= + j

se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se

denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de

propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda

complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten

intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece

especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)

Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se

propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a

una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene

)zt(jzo eevv (1026)

Como velocidad de fase obtenemos

fv (1027)

La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo

cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene





)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v

)CjG()LjR()LjR()LjR(

iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)

Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que

CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)

La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo

son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en

cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la

velocidad de grupo





ddvG (1030)

Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se

encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de

propagacioacuten en la liacutenea





11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS

Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas

En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten

La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones

arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas

electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos

De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo

111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES

Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales

La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten

externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no

conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de

corriente proporcionada es

J = -

Jeq

En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)

Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la

primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de

)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot





Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues

con las de los campos de variacioacuten lenta

Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables

de campo son invariantes respecto a las transformaciones

Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F

de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces

podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar

del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de

potencial

Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las

dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes

Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de

Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene

(112)A-Vgrad-EArot B

)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E

Y con el signo negativo se tiene

0 VgradrotArotErot

Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo

pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial

vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar

expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell

(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o

sea

0 VAdiv

Entonces de (113) y de (115) se tiene

)FgradA(divV)FgradA(divAdiv

022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)





Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de

una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo

positivo

0 VAdiv

(117)

y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza

para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0

112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES

Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)

que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)

VV 2 (118)

2 A A J

Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la

funcioacuten de ajuste F

Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su

comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)

dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4

en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en

consideracioacuten y

1

v (1111)

es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten

A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto

en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente

sino que aparece retrasado el tiempo

t tRv

(1112)

que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto

de consideracioacuten

Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o

estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es

muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo

tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para

campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales

electrodinaacutemicos





TEORIA ELECTROMAGNETICA II

CAPITULO 1 LAS ECUACIONES DE CAMPO 4

1-1 Campos vectorialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4 1-2 Ecuaciones de campo en forma integralhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 81-3 Ecuaciones de campo en forma diferencialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 81-4 Ecuacioacuten de la continuidadhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101-5 Teorema de la energiacuteahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 121-6 Potenciales escalar y vectorialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

1-6-1 Ajuste de los potencialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip181-6-2 Las ecuaciones de potencialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip20

CAPITULO 2 LA ONDA PLANA 22

2-1 La ecuacioacuten de ondahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 222-2 Solucioacuten de Drsquo ALEMBERThelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 232-3 Transversalidad impedancia de onda 282-4 Onda armoacutenica con direccioacuten de propagacioacuten arbitraria 32

CAPITULO 3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA 373-1 Flujo de energiacutea en medios sin perdida37

CAPITULO 4 CONDICIONES DE BORDE 404-1 Condiciones de borde de

E 41

4-2 Condiciones de borde de

H 424-3 Condiciones de borde de D

43

4-4 Condiciones de borde de B 43

4-5 Condiciones de borde de J 44

46 Condiciones de borde de S

45

CAPITULO 5 POLARIZACION 47

CAPITULO 6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS 53

6-1 Onda estacionaria536-2 Grupo de ondas5463 Dispersioacuten5764 Velocidad de la sentildeal61

CAPITULO 7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS 64

7-1 Atenuacioacuten Y Corrimiento De Fase6472 Caracteriacutesticas De Dispersioacuten Del Conductor6973 Casos Limites De Los Conductores Metaacutelicos Y Aislantes7274 Efecto Pelicular O Piel De Un Conductor Ciliacutendrico7676 Flujo De Energiacutea En Medios Con Peacuterdidas81




























Maxwell







A dS

S

0 (11)




contiene fuentes








A drC

0 (12)







a lo largo del






Campos Mixtos







Campo Fuente Puro

















SC

rotE B (13)

SdDJrdHC S

rotH J D

(14)

D dS dV

VS

divD (15)

B dS

S

0 divB 0 (16)

Ecuaciones para ED

la materia B1H

J E

(17)

(18)

(19)







magneacutetico

H



















eleacutectricos








Stokes A dr rotA dS

SC

(110)

Gauss S V

dVAdivSdA

(111)







de superficie Sd
























)DJ(div)Hrot(div








0 (112)



D


divJ divD 0

divJ 0 (113)




divJdv dvVV

0


0 dvsdJS V

(114)





(115)






corriente














J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)



su superficie








eqeq EJp


EJJpEJJp eqeq

21


J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )


(118)



(119)



( )






)HE(divBHDEJpeq

21

(120)


SmeJeq sdHEPPPP

( (121)


efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)


P E DdveV

(123)


dvBHPV

m (124)



B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee



21wP



HES

(125)









SdS





no sus torbellinos




H B Debido a la






DdEdwe

y BdHdwm


D

e DdEw0

B

m BdHw0


Sdivwwdtd

me

(126)






B rotA (127)


0AErotArotErot

(128)






AgradVE (129)




B dS rotA dS

S S


Adr B dS

C S (130)



A encierran a la


















con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE



gradFAA

FVV















A La


div A = 0 (131)




no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0


0FAdiv 2

2 AdivF










Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA



AAdivgrad


Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv


se tiene

331

321

2

2

VV

JAA


de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)


1

cv


Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA


de campo E y





infinito

cte



000 eqJeqE


DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv



ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot


HH


000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE


0)32(

0

02

2

HH

EE


tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)











012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz


vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt


0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)










f vt z (28)



1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )


tiempo t es decir























vdt -dz = 0 vdtdz

(210)













v-=dtdz0=dz+dtv












adelante





-= zvtEE

(211)

-= zvtHH












21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz


vtEz




Ez = 0 y Hz = 0






0=

2140=

HyHxH

EyExE




215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa






216-=zvt




0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey



onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z










0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx







magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy


ZE

ZExEyHyHxH
















z t A vt z cos 2




2222=k


223v

T


0 z

A






2242T2= f


225acos kztAtz


225beRetz zk -t wjA


226k

=cte

fasedt

dzv













227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r








cte=rk-t


rk-t H=H

228rk-t E=E



0=HE0=Hk0=Ek


ZkEx k=H

(229)






HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22


0

Bdiv


BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22






0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE










se tiene la


Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A


kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)


se espera





dW = w A dl









dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)



2222 HEH2

E2

=w


V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt










se tiene

S1Z


2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)





2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)
















An2

At1

An1

At2

h1 2











0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h



los medios pues

Et1 = Et2 (41)







H
















J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js







hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)



0 a una superficie


Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)




00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)


02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)












01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)









J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION










kZEkH


debe ser en


00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)









Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)


pues el H

es correspondiente






la siguiente manera

t - k z0 = -2


EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen


A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen




1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)



















1) = 0 ()



2)





012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx













Ex2 + Ey2 = A2




















00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE


















kztAExkztAEx

coscos

2

1


2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1


Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)



constantekz 2







72 GRUPO DE ONDAS










armoacutenicas







maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)



kvk (63)



de ondas












decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)


kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k


o

o

oo

kk

kk

kztkjo


miacuten

acuteRe (66)






es constante o sea

ctekztdkdk

okk






okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)



63 DISPERSION





tanto


ddv (68)








Vg = v (69)





ddvvfVg





dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv


ddv

v

vvg

1(610)









dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)




de grupo vg(o)












dv la







ddvv

ddvv

ddvv

vg





o

v 1 (612)


ov

cn

(613)

































ondas

















vs = vg = vE = v (614)



vE vs v


















EEE

2 (71)


tje)r(ERe)tr(E (72)











2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )


k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)





2

22

v




EjDjJj

2







rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)






peacuterdidas

= arctan b (76)



corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ









Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)


E z E eOj k z

( ) (78)



00eE)z(E zkjO

(79)



satisfacen


xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E


- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo










jkZ

2

22

(711)


)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr


Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)












se obtiene


E y




krsquorsquo 0 (716)








v dzdt

fase cte = k (717)






siempre que

krsquo gt 0 (718)





krsquo= f() (719)





es decir


)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2







complejo



01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k


22

4

22224

222

k


2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk


)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)



frecuencia


















1111

TrTr

b (724)



212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)


obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)


k

1

kv


faseenHyEZ








b=

gtgt1 Tr ltlt 1


)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j


E con respecto a

H El






Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z






b = 0 v = 0 y Z = 0











)327(82

2aa











v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk






al)j(

alZLijR

iv

21

2


alLiR

2 (734)



tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)






RLi

RR

o

o

21283

643

643

41











seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)


)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)


122

a


0212

EzjEz

02224 2222 jjj








l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo



220

j







R

Li

RR

o

o

6

31

62

4




)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41



HES (741)



)Re(21)( StS

(742)


HHZZ

EES


)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj






222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS


)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j





)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv


)467(

jj





Con lo que


21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21


energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv












kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222



















El plano





incidencia


































y Tk2

de










INCIDENTE









e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11







Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111




r = I (81)











ley de Snell




)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR








1) Z1 = Z2


pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0


y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)




3)1

01

Z

2

02

Z



titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)








en la


y

con ello B


D









podemos resumir


ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00






y H



i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1


siguiente



1) Z1= Z2


Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)



fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z







)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)







iZi




rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr


iiii

iiii



OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi


xx jxKzi


11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2


Ez

Ep = EX 0 EZ



k12 = kc2 + kg2



k = 2

Entonces






1 1 12 2 2

g c






























Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY






















92 ONDA TEM



000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH







kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)







000kztjeEjD


HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)








93 ONDA TM






























2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)




onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)






(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2








2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)






v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)




g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos







que

Ez 0 (912)


















00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH


jkzcos-o


rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix


senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr













que







2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2








915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx







)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o








(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z


94 ONDA TE



00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i








el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH


cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH




cosjkzo




d







zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go













kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n







22

2

dn

bmvf nm (919)



es m = n = 1)


























































Et = 0 Hn = 0 (101)







)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)



0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)










00


y con ello




02 )yx(v (105)






rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)


vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)





















































ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)












o)S(

zildH

(1011)




)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM



)zz(iiq)z(i oMo






z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)


y

zilimi M

zM 0 (1015)






ldEv






Mi`qzi

(1016)


vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi





)s(

SsdBldE

(1017)












dii

1 (1018)














total

tldE

)s(

(1019)



)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)



magneacutetico


tiene

iL a

)2010(tz

v






iLjzv

a

(1022)








i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv















zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv







))(( CjGLjR (1025)

= + j










)zt(jzo eevv (1026)


fv (1027)







)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v


iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)


CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)




velocidad de grupo





ddvG (1030)





















J = -

Jeq




)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot













potencial






)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E


0 VgradrotArotErot






sea

0 VAdiv



022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)







positivo

0 VAdiv

(117)






VV 2 (118)

2 A A J





dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4



1

v (1111)





t tRv

(1112)




































Maxwell







A dS

S

0 (11)




contiene fuentes








A drC

0 (12)







a lo largo del






Campos Mixtos







Campo Fuente Puro

















SC

rotE B (13)

SdDJrdHC S

rotH J D

(14)

D dS dV

VS

divD (15)

B dS

S

0 divB 0 (16)

Ecuaciones para ED

la materia B1H

J E

(17)

(18)

(19)







magneacutetico

H



















eleacutectricos








Stokes A dr rotA dS

SC

(110)

Gauss S V

dVAdivSdA

(111)







de superficie Sd
























)DJ(div)Hrot(div








0 (112)



D


divJ divD 0

divJ 0 (113)




divJdv dvVV

0


0 dvsdJS V

(114)





(115)






corriente














J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)



su superficie








eqeq EJp


EJJpEJJp eqeq

21


J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )


(118)



(119)



( )






)HE(divBHDEJpeq

21

(120)


SmeJeq sdHEPPPP

( (121)


efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)


P E DdveV

(123)


dvBHPV

m (124)



B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee



21wP



HES

(125)









SdS





no sus torbellinos




H B Debido a la






DdEdwe

y BdHdwm


D

e DdEw0

B

m BdHw0


Sdivwwdtd

me

(126)






B rotA (127)


0AErotArotErot

(128)






AgradVE (129)




B dS rotA dS

S S


Adr B dS

C S (130)



A encierran a la


















con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE



gradFAA

FVV















A La


div A = 0 (131)




no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0


0FAdiv 2

2 AdivF










Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA



AAdivgrad


Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv


se tiene

331

321

2

2

VV

JAA


de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)


1

cv


Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA


de campo E y





infinito

cte



000 eqJeqE


DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv



ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot


HH


000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE


0)32(

0

02

2

HH

EE


tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)











012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz


vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt


0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)










f vt z (28)



1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )


tiempo t es decir























vdt -dz = 0 vdtdz

(210)













v-=dtdz0=dz+dtv












adelante





-= zvtEE

(211)

-= zvtHH












21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz


vtEz




Ez = 0 y Hz = 0






0=

2140=

HyHxH

EyExE




215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa






216-=zvt




0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey



onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z










0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx







magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy


ZE

ZExEyHyHxH
















z t A vt z cos 2




2222=k


223v

T


0 z

A






2242T2= f


225acos kztAtz


225beRetz zk -t wjA


226k

=cte

fasedt

dzv













227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r








cte=rk-t


rk-t H=H

228rk-t E=E



0=HE0=Hk0=Ek


ZkEx k=H

(229)






HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22


0

Bdiv


BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22






0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE










se tiene la


Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A


kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)


se espera





dW = w A dl









dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)



2222 HEH2

E2

=w


V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt










se tiene

S1Z


2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)





2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)
















An2

At1

An1

At2

h1 2











0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h



los medios pues

Et1 = Et2 (41)







H
















J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js







hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)



0 a una superficie


Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)




00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)


02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)












01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)









J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION










kZEkH


debe ser en


00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)









Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)


pues el H

es correspondiente






la siguiente manera

t - k z0 = -2


EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen


A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen




1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)



















1) = 0 ()



2)





012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx













Ex2 + Ey2 = A2




















00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE


















kztAExkztAEx

coscos

2

1


2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1


Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)



constantekz 2







72 GRUPO DE ONDAS










armoacutenicas







maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)



kvk (63)



de ondas












decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)


kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k


o

o

oo

kk

kk

kztkjo


miacuten

acuteRe (66)






es constante o sea

ctekztdkdk

okk






okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)



63 DISPERSION





tanto


ddv (68)








Vg = v (69)





ddvvfVg





dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv


ddv

v

vvg

1(610)









dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)




de grupo vg(o)












dv la







ddvv

ddvv

ddvv

vg





o

v 1 (612)


ov

cn

(613)

































ondas

















vs = vg = vE = v (614)



vE vs v


















EEE

2 (71)


tje)r(ERe)tr(E (72)











2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )


k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)





2

22

v




EjDjJj

2







rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)






peacuterdidas

= arctan b (76)



corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ









Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)


E z E eOj k z

( ) (78)



00eE)z(E zkjO

(79)



satisfacen


xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E


- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo










jkZ

2

22

(711)


)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr


Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)












se obtiene


E y




krsquorsquo 0 (716)








v dzdt

fase cte = k (717)






siempre que

krsquo gt 0 (718)





krsquo= f() (719)





es decir


)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2







complejo



01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k


22

4

22224

222

k


2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk


)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)



frecuencia


















1111

TrTr

b (724)



212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)


obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)


k

1

kv


faseenHyEZ








b=

gtgt1 Tr ltlt 1


)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j


E con respecto a

H El






Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z






b = 0 v = 0 y Z = 0











)327(82

2aa











v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk






al)j(

alZLijR

iv

21

2


alLiR

2 (734)



tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)






RLi

RR

o

o

21283

643

643

41











seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)


)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)


122

a


0212

EzjEz

02224 2222 jjj








l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo



220

j







R

Li

RR

o

o

6

31

62

4




)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41



HES (741)



)Re(21)( StS

(742)


HHZZ

EES


)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj






222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS


)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j





)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv


)467(

jj





Con lo que


21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21


energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv












kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222



















El plano





incidencia


































y Tk2

de










INCIDENTE









e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11







Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111




r = I (81)











ley de Snell




)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR








1) Z1 = Z2


pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0


y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)




3)1

01

Z

2

02

Z



titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)








en la


y

con ello B


D









podemos resumir


ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00






y H



i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1


siguiente



1) Z1= Z2


Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)



fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z







)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)







iZi




rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr


iiii

iiii



OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi


xx jxKzi


11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2


Ez

Ep = EX 0 EZ



k12 = kc2 + kg2



k = 2

Entonces






1 1 12 2 2

g c






























Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY






















92 ONDA TEM



000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH







kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)







000kztjeEjD


HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)








93 ONDA TM






























2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)




onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)






(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2








2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)






v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)




g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos







que

Ez 0 (912)


















00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH


jkzcos-o


rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix


senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr













que







2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2








915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx







)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o








(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z


94 ONDA TE



00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i








el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH


cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH




cosjkzo




d







zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go













kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n







22

2

dn

bmvf nm (919)



es m = n = 1)


























































Et = 0 Hn = 0 (101)







)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)



0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)










00


y con ello




02 )yx(v (105)






rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)


vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)





















































ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)












o)S(

zildH

(1011)




)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM



)zz(iiq)z(i oMo






z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)


y

zilimi M

zM 0 (1015)






ldEv






Mi`qzi

(1016)


vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi





)s(

SsdBldE

(1017)












dii

1 (1018)














total

tldE

)s(

(1019)



)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)



magneacutetico


tiene

iL a

)2010(tz

v






iLjzv

a

(1022)








i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv















zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv







))(( CjGLjR (1025)

= + j










)zt(jzo eevv (1026)


fv (1027)







)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v


iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)


CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)




velocidad de grupo





ddvG (1030)





















J = -

Jeq




)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot













potencial






)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E


0 VgradrotArotErot






sea

0 VAdiv



022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)







positivo

0 VAdiv

(117)






VV 2 (118)

2 A A J





dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4



1

v (1111)





t tRv

(1112)
















A drC

0 (12)







a lo largo del






Campos Mixtos







Campo Fuente Puro

















SC

rotE B (13)

SdDJrdHC S

rotH J D

(14)

D dS dV

VS

divD (15)

B dS

S

0 divB 0 (16)

Ecuaciones para ED

la materia B1H

J E

(17)

(18)

(19)







magneacutetico

H



















eleacutectricos








Stokes A dr rotA dS

SC

(110)

Gauss S V

dVAdivSdA

(111)







de superficie Sd
























)DJ(div)Hrot(div








0 (112)



D


divJ divD 0

divJ 0 (113)




divJdv dvVV

0


0 dvsdJS V

(114)





(115)






corriente














J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)



su superficie








eqeq EJp


EJJpEJJp eqeq

21


J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )


(118)



(119)



( )






)HE(divBHDEJpeq

21

(120)


SmeJeq sdHEPPPP

( (121)


efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)


P E DdveV

(123)


dvBHPV

m (124)



B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee



21wP



HES

(125)









SdS





no sus torbellinos




H B Debido a la






DdEdwe

y BdHdwm


D

e DdEw0

B

m BdHw0


Sdivwwdtd

me

(126)






B rotA (127)


0AErotArotErot

(128)






AgradVE (129)




B dS rotA dS

S S


Adr B dS

C S (130)



A encierran a la


















con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE



gradFAA

FVV















A La


div A = 0 (131)




no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0


0FAdiv 2

2 AdivF










Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA



AAdivgrad


Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv


se tiene

331

321

2

2

VV

JAA


de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)


1

cv


Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA


de campo E y





infinito

cte



000 eqJeqE


DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv



ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot


HH


000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE


0)32(

0

02

2

HH

EE


tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)











012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz


vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt


0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)










f vt z (28)



1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )


tiempo t es decir























vdt -dz = 0 vdtdz

(210)













v-=dtdz0=dz+dtv












adelante





-= zvtEE

(211)

-= zvtHH












21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz


vtEz




Ez = 0 y Hz = 0






0=

2140=

HyHxH

EyExE




215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa






216-=zvt




0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey



onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z










0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx







magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy


ZE

ZExEyHyHxH
















z t A vt z cos 2




2222=k


223v

T


0 z

A






2242T2= f


225acos kztAtz


225beRetz zk -t wjA


226k

=cte

fasedt

dzv













227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r








cte=rk-t


rk-t H=H

228rk-t E=E



0=HE0=Hk0=Ek


ZkEx k=H

(229)






HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22


0

Bdiv


BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22






0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE










se tiene la


Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A


kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)


se espera





dW = w A dl









dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)



2222 HEH2

E2

=w


V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt










se tiene

S1Z


2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)





2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)
















An2

At1

An1

At2

h1 2











0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h



los medios pues

Et1 = Et2 (41)







H
















J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js







hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)



0 a una superficie


Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)




00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)


02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)












01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)









J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION










kZEkH


debe ser en


00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)









Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)


pues el H

es correspondiente






la siguiente manera

t - k z0 = -2


EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen


A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen




1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)



















1) = 0 ()



2)





012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx













Ex2 + Ey2 = A2




















00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE


















kztAExkztAEx

coscos

2

1


2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1


Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)



constantekz 2







72 GRUPO DE ONDAS










armoacutenicas







maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)



kvk (63)



de ondas












decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)


kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k


o

o

oo

kk

kk

kztkjo


miacuten

acuteRe (66)






es constante o sea

ctekztdkdk

okk






okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)



63 DISPERSION





tanto


ddv (68)








Vg = v (69)





ddvvfVg





dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv


ddv

v

vvg

1(610)









dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)




de grupo vg(o)












dv la







ddvv

ddvv

ddvv

vg





o

v 1 (612)


ov

cn

(613)

































ondas

















vs = vg = vE = v (614)



vE vs v


















EEE

2 (71)


tje)r(ERe)tr(E (72)











2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )


k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)





2

22

v




EjDjJj

2







rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)






peacuterdidas

= arctan b (76)



corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ









Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)


E z E eOj k z

( ) (78)



00eE)z(E zkjO

(79)



satisfacen


xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E


- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo










jkZ

2

22

(711)


)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr


Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)












se obtiene


E y




krsquorsquo 0 (716)








v dzdt

fase cte = k (717)






siempre que

krsquo gt 0 (718)





krsquo= f() (719)





es decir


)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2







complejo



01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k


22

4

22224

222

k


2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk


)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)



frecuencia


















1111

TrTr

b (724)



212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)


obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)


k

1

kv


faseenHyEZ








b=

gtgt1 Tr ltlt 1


)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j


E con respecto a

H El






Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z






b = 0 v = 0 y Z = 0











)327(82

2aa











v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk






al)j(

alZLijR

iv

21

2


alLiR

2 (734)



tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)






RLi

RR

o

o

21283

643

643

41











seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)


)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)


122

a


0212

EzjEz

02224 2222 jjj








l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo



220

j







R

Li

RR

o

o

6

31

62

4




)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41



HES (741)



)Re(21)( StS

(742)


HHZZ

EES


)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj






222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS


)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j





)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv


)467(

jj





Con lo que


21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21


energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv












kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222



















El plano





incidencia


































y Tk2

de










INCIDENTE









e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11







Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111




r = I (81)











ley de Snell




)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR








1) Z1 = Z2


pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0


y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)




3)1

01

Z

2

02

Z



titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)








en la


y

con ello B


D









podemos resumir


ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00






y H



i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1


siguiente



1) Z1= Z2


Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)



fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z







)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)







iZi




rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr


iiii

iiii



OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi


xx jxKzi


11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2


Ez

Ep = EX 0 EZ



k12 = kc2 + kg2



k = 2

Entonces






1 1 12 2 2

g c






























Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY






















92 ONDA TEM



000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH







kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)







000kztjeEjD


HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)








93 ONDA TM






























2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)




onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)






(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2








2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)






v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)




g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos







que

Ez 0 (912)


















00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH


jkzcos-o


rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix


senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr













que







2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2








915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx







)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o








(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z


94 ONDA TE



00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i








el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH


cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH




cosjkzo




d







zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go













kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n







22

2

dn

bmvf nm (919)



es m = n = 1)


























































Et = 0 Hn = 0 (101)







)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)



0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)










00


y con ello




02 )yx(v (105)






rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)


vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)





















































ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)












o)S(

zildH

(1011)




)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM



)zz(iiq)z(i oMo






z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)


y

zilimi M

zM 0 (1015)






ldEv






Mi`qzi

(1016)


vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi





)s(

SsdBldE

(1017)












dii

1 (1018)














total

tldE

)s(

(1019)



)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)



magneacutetico


tiene

iL a

)2010(tz

v






iLjzv

a

(1022)








i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv















zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv







))(( CjGLjR (1025)

= + j










)zt(jzo eevv (1026)


fv (1027)







)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v


iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)


CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)




velocidad de grupo





ddvG (1030)





















J = -

Jeq




)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot













potencial






)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E


0 VgradrotArotErot






sea

0 VAdiv



022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)







positivo

0 VAdiv

(117)






VV 2 (118)

2 A A J





dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4



1

v (1111)





t tRv

(1112)














a lo largo del






Campos Mixtos







Campo Fuente Puro

















SC

rotE B (13)

SdDJrdHC S

rotH J D

(14)

D dS dV

VS

divD (15)

B dS

S

0 divB 0 (16)

Ecuaciones para ED

la materia B1H

J E

(17)

(18)

(19)







magneacutetico

H



















eleacutectricos








Stokes A dr rotA dS

SC

(110)

Gauss S V

dVAdivSdA

(111)







de superficie Sd
























)DJ(div)Hrot(div








0 (112)



D


divJ divD 0

divJ 0 (113)




divJdv dvVV

0


0 dvsdJS V

(114)





(115)






corriente














J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)



su superficie








eqeq EJp


EJJpEJJp eqeq

21


J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )


(118)



(119)



( )






)HE(divBHDEJpeq

21

(120)


SmeJeq sdHEPPPP

( (121)


efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)


P E DdveV

(123)


dvBHPV

m (124)



B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee



21wP



HES

(125)









SdS





no sus torbellinos




H B Debido a la






DdEdwe

y BdHdwm


D

e DdEw0

B

m BdHw0


Sdivwwdtd

me

(126)






B rotA (127)


0AErotArotErot

(128)






AgradVE (129)




B dS rotA dS

S S


Adr B dS

C S (130)



A encierran a la


















con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE



gradFAA

FVV















A La


div A = 0 (131)




no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0


0FAdiv 2

2 AdivF










Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA



AAdivgrad


Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv


se tiene

331

321

2

2

VV

JAA


de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)


1

cv


Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA


de campo E y





infinito

cte



000 eqJeqE


DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv



ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot


HH


000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE


0)32(

0

02

2

HH

EE


tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)











012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz


vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt


0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)










f vt z (28)



1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )


tiempo t es decir























vdt -dz = 0 vdtdz

(210)













v-=dtdz0=dz+dtv












adelante





-= zvtEE

(211)

-= zvtHH












21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz


vtEz




Ez = 0 y Hz = 0






0=

2140=

HyHxH

EyExE




215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa






216-=zvt




0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey



onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z










0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx







magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy


ZE

ZExEyHyHxH
















z t A vt z cos 2




2222=k


223v

T


0 z

A






2242T2= f


225acos kztAtz


225beRetz zk -t wjA


226k

=cte

fasedt

dzv













227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r








cte=rk-t


rk-t H=H

228rk-t E=E



0=HE0=Hk0=Ek


ZkEx k=H

(229)






HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22


0

Bdiv


BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22






0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE










se tiene la


Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A


kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)


se espera





dW = w A dl









dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)



2222 HEH2

E2

=w


V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt










se tiene

S1Z


2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)





2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)
















An2

At1

An1

At2

h1 2











0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h



los medios pues

Et1 = Et2 (41)







H
















J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js







hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)



0 a una superficie


Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)




00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)


02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)












01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)









J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION










kZEkH


debe ser en


00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)









Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)


pues el H

es correspondiente






la siguiente manera

t - k z0 = -2


EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen


A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen




1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)



















1) = 0 ()



2)





012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx













Ex2 + Ey2 = A2




















00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE


















kztAExkztAEx

coscos

2

1


2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1


Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)



constantekz 2







72 GRUPO DE ONDAS










armoacutenicas







maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)



kvk (63)



de ondas












decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)


kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k


o

o

oo

kk

kk

kztkjo


miacuten

acuteRe (66)






es constante o sea

ctekztdkdk

okk






okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)



63 DISPERSION





tanto


ddv (68)








Vg = v (69)





ddvvfVg





dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv


ddv

v

vvg

1(610)









dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)




de grupo vg(o)












dv la







ddvv

ddvv

ddvv

vg





o

v 1 (612)


ov

cn

(613)

































ondas

















vs = vg = vE = v (614)



vE vs v


















EEE

2 (71)


tje)r(ERe)tr(E (72)











2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )


k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)





2

22

v




EjDjJj

2







rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)






peacuterdidas

= arctan b (76)



corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ









Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)


E z E eOj k z

( ) (78)



00eE)z(E zkjO

(79)



satisfacen


xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E


- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo










jkZ

2

22

(711)


)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr


Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)












se obtiene


E y




krsquorsquo 0 (716)








v dzdt

fase cte = k (717)






siempre que

krsquo gt 0 (718)





krsquo= f() (719)





es decir


)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2







complejo



01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k


22

4

22224

222

k


2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk


)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)



frecuencia


















1111

TrTr

b (724)



212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)


obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)


k

1

kv


faseenHyEZ








b=

gtgt1 Tr ltlt 1


)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j


E con respecto a

H El






Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z






b = 0 v = 0 y Z = 0











)327(82

2aa











v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk






al)j(

alZLijR

iv

21

2


alLiR

2 (734)



tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)






RLi

RR

o

o

21283

643

643

41











seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)


)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)


122

a


0212

EzjEz

02224 2222 jjj








l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo



220

j







R

Li

RR

o

o

6

31

62

4




)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41



HES (741)



)Re(21)( StS

(742)


HHZZ

EES


)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj






222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS


)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j





)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv


)467(

jj





Con lo que


21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21


energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv












kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222



















El plano





incidencia


































y Tk2

de










INCIDENTE









e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11







Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111




r = I (81)











ley de Snell




)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR








1) Z1 = Z2


pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0


y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)




3)1

01

Z

2

02

Z



titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)








en la


y

con ello B


D









podemos resumir


ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00






y H



i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1


siguiente



1) Z1= Z2


Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)



fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z







)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)







iZi




rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr


iiii

iiii



OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi


xx jxKzi


11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2


Ez

Ep = EX 0 EZ



k12 = kc2 + kg2



k = 2

Entonces






1 1 12 2 2

g c






























Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY






















92 ONDA TEM



000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH







kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)







000kztjeEjD


HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)








93 ONDA TM






























2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)




onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)






(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2








2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)






v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)




g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos







que

Ez 0 (912)


















00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH


jkzcos-o


rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix


senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr













que







2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2








915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx







)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o








(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z


94 ONDA TE



00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i








el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH


cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH




cosjkzo




d







zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go













kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n







22

2

dn

bmvf nm (919)



es m = n = 1)


























































Et = 0 Hn = 0 (101)







)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)



0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)










00


y con ello




02 )yx(v (105)






rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)


vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)





















































ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)












o)S(

zildH

(1011)




)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM



)zz(iiq)z(i oMo






z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)


y

zilimi M

zM 0 (1015)






ldEv






Mi`qzi

(1016)


vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi





)s(

SsdBldE

(1017)












dii

1 (1018)














total

tldE

)s(

(1019)



)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)



magneacutetico


tiene

iL a

)2010(tz

v






iLjzv

a

(1022)








i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv















zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv







))(( CjGLjR (1025)

= + j










)zt(jzo eevv (1026)


fv (1027)







)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v


iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)


CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)




velocidad de grupo





ddvG (1030)





















J = -

Jeq




)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot













potencial






)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E


0 VgradrotArotErot






sea

0 VAdiv



022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)







positivo

0 VAdiv

(117)






VV 2 (118)

2 A A J





dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4



1

v (1111)





t tRv

(1112)
























SC

rotE B (13)

SdDJrdHC S

rotH J D

(14)

D dS dV

VS

divD (15)

B dS

S

0 divB 0 (16)

Ecuaciones para ED

la materia B1H

J E

(17)

(18)

(19)







magneacutetico

H



















eleacutectricos








Stokes A dr rotA dS

SC

(110)

Gauss S V

dVAdivSdA

(111)







de superficie Sd
























)DJ(div)Hrot(div








0 (112)



D


divJ divD 0

divJ 0 (113)




divJdv dvVV

0


0 dvsdJS V

(114)





(115)






corriente














J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)



su superficie








eqeq EJp


EJJpEJJp eqeq

21


J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )


(118)



(119)



( )






)HE(divBHDEJpeq

21

(120)


SmeJeq sdHEPPPP

( (121)


efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)


P E DdveV

(123)


dvBHPV

m (124)



B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee



21wP



HES

(125)









SdS





no sus torbellinos




H B Debido a la






DdEdwe

y BdHdwm


D

e DdEw0

B

m BdHw0


Sdivwwdtd

me

(126)






B rotA (127)


0AErotArotErot

(128)






AgradVE (129)




B dS rotA dS

S S


Adr B dS

C S (130)



A encierran a la


















con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE



gradFAA

FVV















A La


div A = 0 (131)




no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0


0FAdiv 2

2 AdivF










Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA



AAdivgrad


Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv


se tiene

331

321

2

2

VV

JAA


de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)


1

cv


Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA


de campo E y





infinito

cte



000 eqJeqE


DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv



ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot


HH


000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE


0)32(

0

02

2

HH

EE


tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)











012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz


vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt


0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)










f vt z (28)



1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )


tiempo t es decir























vdt -dz = 0 vdtdz

(210)













v-=dtdz0=dz+dtv












adelante





-= zvtEE

(211)

-= zvtHH












21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz


vtEz




Ez = 0 y Hz = 0






0=

2140=

HyHxH

EyExE




215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa






216-=zvt




0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey



onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z










0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx







magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy


ZE

ZExEyHyHxH
















z t A vt z cos 2




2222=k


223v

T


0 z

A






2242T2= f


225acos kztAtz


225beRetz zk -t wjA


226k

=cte

fasedt

dzv













227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r








cte=rk-t


rk-t H=H

228rk-t E=E



0=HE0=Hk0=Ek


ZkEx k=H

(229)






HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22


0

Bdiv


BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22






0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE










se tiene la


Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A


kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)


se espera





dW = w A dl









dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)



2222 HEH2

E2

=w


V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt










se tiene

S1Z


2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)





2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)
















An2

At1

An1

At2

h1 2











0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h



los medios pues

Et1 = Et2 (41)







H
















J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js







hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)



0 a una superficie


Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)




00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)


02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)












01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)









J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION










kZEkH


debe ser en


00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)









Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)


pues el H

es correspondiente






la siguiente manera

t - k z0 = -2


EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen


A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen




1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)



















1) = 0 ()



2)





012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx













Ex2 + Ey2 = A2




















00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE


















kztAExkztAEx

coscos

2

1


2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1


Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)



constantekz 2







72 GRUPO DE ONDAS










armoacutenicas







maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)



kvk (63)



de ondas












decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)


kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k


o

o

oo

kk

kk

kztkjo


miacuten

acuteRe (66)






es constante o sea

ctekztdkdk

okk






okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)



63 DISPERSION





tanto


ddv (68)








Vg = v (69)





ddvvfVg





dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv


ddv

v

vvg

1(610)









dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)




de grupo vg(o)












dv la







ddvv

ddvv

ddvv

vg





o

v 1 (612)


ov

cn

(613)

































ondas

















vs = vg = vE = v (614)



vE vs v


















EEE

2 (71)


tje)r(ERe)tr(E (72)











2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )


k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)





2

22

v




EjDjJj

2







rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)






peacuterdidas

= arctan b (76)



corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ









Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)


E z E eOj k z

( ) (78)



00eE)z(E zkjO

(79)



satisfacen


xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E


- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo










jkZ

2

22

(711)


)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr


Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)












se obtiene


E y




krsquorsquo 0 (716)








v dzdt

fase cte = k (717)






siempre que

krsquo gt 0 (718)





krsquo= f() (719)





es decir


)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2







complejo



01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k


22

4

22224

222

k


2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk


)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)



frecuencia


















1111

TrTr

b (724)



212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)


obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)


k

1

kv


faseenHyEZ








b=

gtgt1 Tr ltlt 1


)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j


E con respecto a

H El






Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z






b = 0 v = 0 y Z = 0











)327(82

2aa











v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk






al)j(

alZLijR

iv

21

2


alLiR

2 (734)



tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)






RLi

RR

o

o

21283

643

643

41











seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)


)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)


122

a


0212

EzjEz

02224 2222 jjj








l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo



220

j







R

Li

RR

o

o

6

31

62

4




)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41



HES (741)



)Re(21)( StS

(742)


HHZZ

EES


)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj






222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS


)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j





)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv


)467(

jj





Con lo que


21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21


energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv












kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222



















El plano





incidencia


































y Tk2

de










INCIDENTE









e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11







Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111




r = I (81)











ley de Snell




)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR








1) Z1 = Z2


pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0


y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)




3)1

01

Z

2

02

Z



titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)








en la


y

con ello B


D









podemos resumir


ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00






y H



i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1


siguiente



1) Z1= Z2


Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)



fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z







)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)







iZi




rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr


iiii

iiii



OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi


xx jxKzi


11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2


Ez

Ep = EX 0 EZ



k12 = kc2 + kg2



k = 2

Entonces






1 1 12 2 2

g c






























Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY






















92 ONDA TEM



000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH







kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)







000kztjeEjD


HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)








93 ONDA TM






























2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)




onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)






(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2








2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)






v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)




g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos







que

Ez 0 (912)


















00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH


jkzcos-o


rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix


senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr













que







2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2








915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx







)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o








(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z


94 ONDA TE



00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i








el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH


cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH




cosjkzo




d







zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go













kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n







22

2

dn

bmvf nm (919)



es m = n = 1)


























































Et = 0 Hn = 0 (101)







)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)



0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)










00


y con ello




02 )yx(v (105)






rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)


vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)





















































ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)












o)S(

zildH

(1011)




)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM



)zz(iiq)z(i oMo






z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)


y

zilimi M

zM 0 (1015)






ldEv






Mi`qzi

(1016)


vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi





)s(

SsdBldE

(1017)












dii

1 (1018)














total

tldE

)s(

(1019)



)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)



magneacutetico


tiene

iL a

)2010(tz

v






iLjzv

a

(1022)








i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv















zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv







))(( CjGLjR (1025)

= + j










)zt(jzo eevv (1026)


fv (1027)







)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v


iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)


CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)




velocidad de grupo





ddvG (1030)





















J = -

Jeq




)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot













potencial






)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E


0 VgradrotArotErot






sea

0 VAdiv



022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)







positivo

0 VAdiv

(117)






VV 2 (118)

2 A A J





dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4



1

v (1111)





t tRv

(1112)






















eleacutectricos








Stokes A dr rotA dS

SC

(110)

Gauss S V

dVAdivSdA

(111)







de superficie Sd
























)DJ(div)Hrot(div








0 (112)



D


divJ divD 0

divJ 0 (113)




divJdv dvVV

0


0 dvsdJS V

(114)





(115)






corriente














J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)



su superficie








eqeq EJp


EJJpEJJp eqeq

21


J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )


(118)



(119)



( )






)HE(divBHDEJpeq

21

(120)


SmeJeq sdHEPPPP

( (121)


efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)


P E DdveV

(123)


dvBHPV

m (124)



B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee



21wP



HES

(125)









SdS





no sus torbellinos




H B Debido a la






DdEdwe

y BdHdwm


D

e DdEw0

B

m BdHw0


Sdivwwdtd

me

(126)






B rotA (127)


0AErotArotErot

(128)






AgradVE (129)




B dS rotA dS

S S


Adr B dS

C S (130)



A encierran a la


















con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE



gradFAA

FVV















A La


div A = 0 (131)




no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0


0FAdiv 2

2 AdivF










Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA



AAdivgrad


Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv


se tiene

331

321

2

2

VV

JAA


de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)


1

cv


Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA


de campo E y





infinito

cte



000 eqJeqE


DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv



ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot


HH


000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE


0)32(

0

02

2

HH

EE


tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)











012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz


vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt


0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)










f vt z (28)



1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )


tiempo t es decir























vdt -dz = 0 vdtdz

(210)













v-=dtdz0=dz+dtv












adelante





-= zvtEE

(211)

-= zvtHH












21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz


vtEz




Ez = 0 y Hz = 0






0=

2140=

HyHxH

EyExE




215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa






216-=zvt




0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey



onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z










0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx







magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy


ZE

ZExEyHyHxH
















z t A vt z cos 2




2222=k


223v

T


0 z

A






2242T2= f


225acos kztAtz


225beRetz zk -t wjA


226k

=cte

fasedt

dzv













227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r








cte=rk-t


rk-t H=H

228rk-t E=E



0=HE0=Hk0=Ek


ZkEx k=H

(229)






HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22


0

Bdiv


BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22






0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE










se tiene la


Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A


kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)


se espera





dW = w A dl









dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)



2222 HEH2

E2

=w


V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt










se tiene

S1Z


2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)





2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)
















An2

At1

An1

At2

h1 2











0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h



los medios pues

Et1 = Et2 (41)







H
















J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js







hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)



0 a una superficie


Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)




00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)


02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)












01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)









J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION










kZEkH


debe ser en


00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)









Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)


pues el H

es correspondiente






la siguiente manera

t - k z0 = -2


EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen


A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen




1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)



















1) = 0 ()



2)





012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx













Ex2 + Ey2 = A2




















00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE


















kztAExkztAEx

coscos

2

1


2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1


Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)



constantekz 2







72 GRUPO DE ONDAS










armoacutenicas







maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)



kvk (63)



de ondas












decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)


kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k


o

o

oo

kk

kk

kztkjo


miacuten

acuteRe (66)






es constante o sea

ctekztdkdk

okk






okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)



63 DISPERSION





tanto


ddv (68)








Vg = v (69)





ddvvfVg





dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv


ddv

v

vvg

1(610)









dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)




de grupo vg(o)












dv la







ddvv

ddvv

ddvv

vg





o

v 1 (612)


ov

cn

(613)

































ondas

















vs = vg = vE = v (614)



vE vs v


















EEE

2 (71)


tje)r(ERe)tr(E (72)











2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )


k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)





2

22

v




EjDjJj

2







rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)






peacuterdidas

= arctan b (76)



corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ









Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)


E z E eOj k z

( ) (78)



00eE)z(E zkjO

(79)



satisfacen


xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E


- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo










jkZ

2

22

(711)


)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr


Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)












se obtiene


E y




krsquorsquo 0 (716)








v dzdt

fase cte = k (717)






siempre que

krsquo gt 0 (718)





krsquo= f() (719)





es decir


)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2







complejo



01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k


22

4

22224

222

k


2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk


)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)



frecuencia


















1111

TrTr

b (724)



212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)


obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)


k

1

kv


faseenHyEZ








b=

gtgt1 Tr ltlt 1


)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j


E con respecto a

H El






Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z






b = 0 v = 0 y Z = 0











)327(82

2aa











v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk






al)j(

alZLijR

iv

21

2


alLiR

2 (734)



tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)






RLi

RR

o

o

21283

643

643

41











seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)


)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)


122

a


0212

EzjEz

02224 2222 jjj








l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo



220

j







R

Li

RR

o

o

6

31

62

4




)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41



HES (741)



)Re(21)( StS

(742)


HHZZ

EES


)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj






222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS


)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j





)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv


)467(

jj





Con lo que


21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21


energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv












kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222



















El plano





incidencia


































y Tk2

de










INCIDENTE









e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11







Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111




r = I (81)











ley de Snell




)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR








1) Z1 = Z2


pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0


y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)




3)1

01

Z

2

02

Z



titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)








en la


y

con ello B


D









podemos resumir


ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00






y H



i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1


siguiente



1) Z1= Z2


Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)



fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z







)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)







iZi




rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr


iiii

iiii



OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi


xx jxKzi


11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2


Ez

Ep = EX 0 EZ



k12 = kc2 + kg2



k = 2

Entonces






1 1 12 2 2

g c






























Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY






















92 ONDA TEM



000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH







kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)







000kztjeEjD


HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)








93 ONDA TM






























2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)




onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)






(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2








2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)






v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)




g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos







que

Ez 0 (912)


















00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH


jkzcos-o


rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix


senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr













que







2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2








915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx







)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o








(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z


94 ONDA TE



00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i








el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH


cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH




cosjkzo




d







zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go













kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n







22

2

dn

bmvf nm (919)



es m = n = 1)


























































Et = 0 Hn = 0 (101)







)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)



0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)










00


y con ello




02 )yx(v (105)






rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)


vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)





















































ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)












o)S(

zildH

(1011)




)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM



)zz(iiq)z(i oMo






z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)


y

zilimi M

zM 0 (1015)






ldEv






Mi`qzi

(1016)


vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi





)s(

SsdBldE

(1017)












dii

1 (1018)














total

tldE

)s(

(1019)



)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)



magneacutetico


tiene

iL a

)2010(tz

v






iLjzv

a

(1022)








i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv















zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv







))(( CjGLjR (1025)

= + j










)zt(jzo eevv (1026)


fv (1027)







)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v


iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)


CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)




velocidad de grupo





ddvG (1030)





















J = -

Jeq




)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot













potencial






)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E


0 VgradrotArotErot






sea

0 VAdiv



022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)







positivo

0 VAdiv

(117)






VV 2 (118)

2 A A J





dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4



1

v (1111)





t tRv

(1112)















de superficie Sd
























)DJ(div)Hrot(div








0 (112)



D


divJ divD 0

divJ 0 (113)




divJdv dvVV

0


0 dvsdJS V

(114)





(115)






corriente














J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)



su superficie








eqeq EJp


EJJpEJJp eqeq

21


J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )


(118)



(119)



( )






)HE(divBHDEJpeq

21

(120)


SmeJeq sdHEPPPP

( (121)


efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)


P E DdveV

(123)


dvBHPV

m (124)



B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee



21wP



HES

(125)









SdS





no sus torbellinos




H B Debido a la






DdEdwe

y BdHdwm


D

e DdEw0

B

m BdHw0


Sdivwwdtd

me

(126)






B rotA (127)


0AErotArotErot

(128)






AgradVE (129)




B dS rotA dS

S S


Adr B dS

C S (130)



A encierran a la


















con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE



gradFAA

FVV















A La


div A = 0 (131)




no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0


0FAdiv 2

2 AdivF










Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA



AAdivgrad


Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv


se tiene

331

321

2

2

VV

JAA


de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)


1

cv


Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA


de campo E y





infinito

cte



000 eqJeqE


DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv



ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot


HH


000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE


0)32(

0

02

2

HH

EE


tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)











012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz


vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt


0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)










f vt z (28)



1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )


tiempo t es decir























vdt -dz = 0 vdtdz

(210)













v-=dtdz0=dz+dtv












adelante





-= zvtEE

(211)

-= zvtHH












21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz


vtEz




Ez = 0 y Hz = 0






0=

2140=

HyHxH

EyExE




215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa






216-=zvt




0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey



onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z










0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx







magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy


ZE

ZExEyHyHxH
















z t A vt z cos 2




2222=k


223v

T


0 z

A






2242T2= f


225acos kztAtz


225beRetz zk -t wjA


226k

=cte

fasedt

dzv













227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r








cte=rk-t


rk-t H=H

228rk-t E=E



0=HE0=Hk0=Ek


ZkEx k=H

(229)






HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22


0

Bdiv


BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22






0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE










se tiene la


Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A


kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)


se espera





dW = w A dl









dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)



2222 HEH2

E2

=w


V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt










se tiene

S1Z


2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)





2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)
















An2

At1

An1

At2

h1 2











0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h



los medios pues

Et1 = Et2 (41)







H
















J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js







hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)



0 a una superficie


Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)




00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)


02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)












01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)









J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION










kZEkH


debe ser en


00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)









Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)


pues el H

es correspondiente






la siguiente manera

t - k z0 = -2


EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen


A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen




1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)



















1) = 0 ()



2)





012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx













Ex2 + Ey2 = A2




















00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE


















kztAExkztAEx

coscos

2

1


2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1


Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)



constantekz 2







72 GRUPO DE ONDAS










armoacutenicas







maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)



kvk (63)



de ondas












decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)


kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k


o

o

oo

kk

kk

kztkjo


miacuten

acuteRe (66)






es constante o sea

ctekztdkdk

okk






okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)



63 DISPERSION





tanto


ddv (68)








Vg = v (69)





ddvvfVg





dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv


ddv

v

vvg

1(610)









dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)




de grupo vg(o)












dv la







ddvv

ddvv

ddvv

vg





o

v 1 (612)


ov

cn

(613)

































ondas

















vs = vg = vE = v (614)



vE vs v


















EEE

2 (71)


tje)r(ERe)tr(E (72)











2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )


k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)





2

22

v




EjDjJj

2







rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)






peacuterdidas

= arctan b (76)



corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ









Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)


E z E eOj k z

( ) (78)



00eE)z(E zkjO

(79)



satisfacen


xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E


- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo










jkZ

2

22

(711)


)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr


Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)












se obtiene


E y




krsquorsquo 0 (716)








v dzdt

fase cte = k (717)






siempre que

krsquo gt 0 (718)





krsquo= f() (719)





es decir


)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2







complejo



01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k


22

4

22224

222

k


2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk


)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)



frecuencia


















1111

TrTr

b (724)



212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)


obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)


k

1

kv


faseenHyEZ








b=

gtgt1 Tr ltlt 1


)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j


E con respecto a

H El






Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z






b = 0 v = 0 y Z = 0











)327(82

2aa











v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk






al)j(

alZLijR

iv

21

2


alLiR

2 (734)



tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)






RLi

RR

o

o

21283

643

643

41











seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)


)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)


122

a


0212

EzjEz

02224 2222 jjj








l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo



220

j







R

Li

RR

o

o

6

31

62

4




)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41



HES (741)



)Re(21)( StS

(742)


HHZZ

EES


)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj






222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS


)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j





)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv


)467(

jj





Con lo que


21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21


energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv












kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222



















El plano





incidencia


































y Tk2

de










INCIDENTE









e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11







Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111




r = I (81)











ley de Snell




)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR








1) Z1 = Z2


pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0


y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)




3)1

01

Z

2

02

Z



titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)








en la


y

con ello B


D









podemos resumir


ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00






y H



i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1


siguiente



1) Z1= Z2


Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)



fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z







)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)







iZi




rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr


iiii

iiii



OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi


xx jxKzi


11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2


Ez

Ep = EX 0 EZ



k12 = kc2 + kg2



k = 2

Entonces






1 1 12 2 2

g c






























Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY






















92 ONDA TEM



000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH







kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)







000kztjeEjD


HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)








93 ONDA TM






























2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)




onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)






(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2








2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)






v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)




g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos







que

Ez 0 (912)


















00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH


jkzcos-o


rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix


senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr













que







2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2








915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx







)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o








(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z


94 ONDA TE



00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i








el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH


cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH




cosjkzo




d







zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go













kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n







22

2

dn

bmvf nm (919)



es m = n = 1)


























































Et = 0 Hn = 0 (101)







)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)



0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)










00


y con ello




02 )yx(v (105)






rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)


vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)





















































ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)












o)S(

zildH

(1011)




)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM



)zz(iiq)z(i oMo






z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)


y

zilimi M

zM 0 (1015)






ldEv






Mi`qzi

(1016)


vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi





)s(

SsdBldE

(1017)












dii

1 (1018)














total

tldE

)s(

(1019)



)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)



magneacutetico


tiene

iL a

)2010(tz

v






iLjzv

a

(1022)








i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv















zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv







))(( CjGLjR (1025)

= + j










)zt(jzo eevv (1026)


fv (1027)







)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v


iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)


CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)




velocidad de grupo





ddvG (1030)





















J = -

Jeq




)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot













potencial






)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E


0 VgradrotArotErot






sea

0 VAdiv



022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)







positivo

0 VAdiv

(117)






VV 2 (118)

2 A A J





dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4



1

v (1111)





t tRv

(1112)
















0 (112)



D


divJ divD 0

divJ 0 (113)




divJdv dvVV

0


0 dvsdJS V

(114)





(115)






corriente














J E Eeq ( ) (116)

oacute

EJJ eq

(117)



su superficie








eqeq EJp


EJJpEJJp eqeq

21


J rotH D

se tiene

p J rotH D Eeq 1 2

( )


(118)



(119)



( )






)HE(divBHDEJpeq

21

(120)


SmeJeq sdHEPPPP

( (121)


efecto Joule

P J dvJV

1 2

(122)


P E DdveV

(123)


dvBHPV

m (124)



B H

dvE21

tdvEEP 2

VVe





22

21

21 EwE

tp ee



21wP



HES

(125)









SdS





no sus torbellinos




H B Debido a la






DdEdwe

y BdHdwm


D

e DdEw0

B

m BdHw0


Sdivwwdtd

me

(126)






B rotA (127)


0AErotArotErot

(128)






AgradVE (129)




B dS rotA dS

S S


Adr B dS

C S (130)



A encierran a la


















con sus

respectivos campos

ArotB

AgradVE



gradFAA

FVV















A La


div A = 0 (131)




no satisfacen el

ajuste del Coulomb

div A

0


0FAdiv 2

2 AdivF










Con

AVgradAgradVArotrot

AgradVEAxBH

EEDJHx

1

11

ademaacutes con

3212

2

2

2

2

2

VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA



AAdivgrad


Por otro lado





33122 AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv


se tiene

331

321

2

2

VV

JAA


de esa onda es

)fzyx(gfv1f 2

2

comparando se tiene

1v (135)


1

cv


Se define mFx

mFx

mH 129

07

0 1085481036

1104





2 LA ONDA PLANA


de campo E y





infinito

cte



000 eqJeqE


DJHrot

BErot

)12(0

0

Bdiv

Ddiv



ecuaciones de campo





BrotErotrot

EE

DJHrotHrot


HH


000

)22(

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE


0)32(

0

02

2

HH

EE


tiene

22

10

1

vsiendo v

(24)











012

2

22

2

tvz

)tz(

(25)

o sea

0

vtzvtz


vt

z

z

z

zvtzvt

1

1(26)

obtenemos

zzz

vtvtvt


0

02

Su solucioacuten

zvtgzvtftz

gf

(27)










f vt z (28)



1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )


tiempo t es decir























vdt -dz = 0 vdtdz

(210)













v-=dtdz0=dz+dtv












adelante





-= zvtEE

(211)

-= zvtHH












21200

x0=

00x

0=

zHz

zzvtHz

yzvtHyzvtHxHdiv

zEz

zzvtEz

yzvtEyzvtExEdiv

conz

Ezz

Ezvt

EzvtEz


vtEz




Ez = 0 y Hz = 0






0=

2140=

HyHxH

EyExE




215a-=

-=-

0+--

+-=

0

vtHyv

zEx

vtHxv

zEy

zytHyx

tHxErot

zy

Exx

Eyyz

Exxz

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

215b-=

-=-

+-

0+--

vtEyv

zHx

vtExv

zHy

zy

Hxx

Hyyz

Hxxz

HyHrot

zytEyx

tExHrot

aaa

aaa






216-=zvt




0=HyExzz

yHv-=z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=z

Ey



onda obtenemos

217-=+= HxEyHyEx

la variable 218=Z










0H

(219)0E

ZzvtEx

ZzvtEy

zvtEyzvtEx







magneacutetico

2210Z

Ey-Ex=

22022

22

ZExEy


ZE

ZExEyHyHxH
















z t A vt z cos 2




2222=k


223v

T


0 z

A






2242T2= f


225acos kztAtz


225beRetz zk -t wjA


226k

=cte

fasedt

dzv













227n2=n

kk

x

y

z

Pk

r








cte=rk-t


rk-t H=H

228rk-t E=E



0=HE0=Hk0=Ek


ZkEx k=H

(229)






HHEE

HjHEjE

eeHeHH

eeEeEEtjrkjrktj

tjrkjrktj

22


0

Bdiv


BjErotBjErotBErot

Para (22) se tiene

00022

22

eqeq JEcte

HjHH

EjEE

HjHHEjEE

22

22






0

0

)22(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE










se tiene la


Poynting

Zk)Ex k(x E=Hx E=S

)BA(C-)CA(B=Cx Bx A


kkHZ

kk

ZE=S 2

2

(31)


se espera





dW = w A dl









dlw A =dtA

dW=S

Entonces wSVE (32)



2222 HEH2

E2

=w


V1HHZ

wSV 2

2

E

(33)

dW

k

A

dl = VE dt










se tiene

S1Z


2 2

kk)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z1S 2

o

(34)





2o

2o H

2ZE

2Z1=S(t)=I (35)
















An2

At1

An1

At2

h1 2











0)drEt-t(E

drtEdrtErdElim

Q

P21

P

Q2

Q

P10h



los medios pues

Et1 = Et2 (41)







H
















J s =

mA=]sJ[hJlim

J0h

rdHlim

0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P21

Ht1 - Ht2 = 0 para





Js







hlimhS

0

Vh

Sh

dVlimsdDlim

00

SS

SS

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (43)



0 a una superficie


Sh

ds)BnBn(sdBlim 0210





Bn1- Bn2 = 0 (44)




00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021 n)DJ(n)DJ( (45)


02121 )nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (46)












01 2

0

sv

sdSdVJlimh

00

sv

sdSdVJElimh

0 sdSsdJEss

021 SnSnJE st

paraJEfinitopara

SnSnst

021 (47)









J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hxxo

o

xxo

o

o oxx+

- E

S





5 POLARIZACION










kZEkH


debe ser en


00kztEE x

00 Z

kztEH x (51)









Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (52)


pues el H

es correspondiente






la siguiente manera

t - k z0 = -2


EA

x cos ( - 2

) = cos 2

cos + sen 2

sen

EB

y cos ( + 2

) = cos 2

cos - sen 2

sen


A

E x B

E y 2 cos 2

cos





EA

x EB

y 2 sen 2

sen




1

22

22

22

senBE

AE

cosBE

AE yxyx

(53)



















1) = 0 ()



2)





012

102

cossen

0BEy

AEx

23

2

21

2222 cossen

02

2

2

2

BEy

AEx













Ex2 + Ey2 = A2




















00

00

2

1

kztcosBE

kztcosAE


















kztAExkztAEx

coscos

2

1


2acute kzkz

obtenemos





kztAEx

kztAEx

2cos

2cos

2

1


Ex = Ex1 + Ex2

2cos

2cos2

kztA (61)



constantekz 2







72 GRUPO DE ONDAS










armoacutenicas







maacutex

miacuten

Rek

k

kztj dkekAtzE (62)



kvk (63)



de ondas












decir

okk

o kkdkdkk

o

kdkdk

okko

(65)


kk o acute okkdk

d

acute

y para (62)

maacutex

miacuten

acuteRek

k


o

o

oo

kk

kk

kztkjo


miacuten

acuteRe (66)






es constante o sea

ctekztdkdk

okk






okkcteMA dkd

dtdzVg

(67)



63 DISPERSION





tanto


ddv (68)








Vg = v (69)





ddvvfVg





dkd

ddvkv

dkvkd

dkdvg

gvddv

vv


ddv

v

vvg

1(610)









dkdvkv

dkvkdvg

2

k ddk 2

2

d

kdk

ddvvvg (611)




de grupo vg(o)












dv la







ddvv

ddvv

ddvv

vg





o

v 1 (612)


ov

cn

(613)

































ondas

















vs = vg = vE = v (614)



vE vs v


















EEE

2 (71)


tje)r(ERe)tr(E (72)











2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )


k j2 2 (73)

se llega a

022 rEkrE (74)





2

22

v




EjDjJj

2







rkRekgIm

DJb

1

2

2

(75)






peacuterdidas

= arctan b (76)



corriente total

bJEJEsenJEJEP WWWJ









Entonces tenemos

d Edt

k E2

22 0

(77)


E z E eOj k z

( ) (78)



00eE)z(E zkjO

(79)



satisfacen


xxy

yx

EEjz

H

Hjz

E


- jk Eo = - j H0 (710)

jkH0 = (j + ) Eo










jkZ

2

22

(711)


)127(1

1

1

1

1

2

2

22

2

22

jbZ

bj

Z

jjZ

rr


Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)












se obtiene


E y




krsquorsquo 0 (716)








v dzdt

fase cte = k (717)






siempre que

krsquo gt 0 (718)





krsquo= f() (719)





es decir


)217(2

12

2

kk

jkjkkkjkk 2222 2







complejo



01114

224224

222

22

`k`k

`k`k

`k`k


22

4

22224

222

k


2

2

112

k

22

112

112

k

2112

bk


)227(0

1 22

vk

k





2112

bk

(723)



frecuencia


















1111

TrTr

b (724)



212

212

212

21212

2

4

1

2

22

2111

2

112

112

bk

bk

bk

bk

bk

)257(8

12

bk





22

222

81

bkk

184

118

122222

bbbk

2bk (726)


obtenemos

b

bj

bjb

jbZ

22

211

21

11

11

21 bjZ (727)


k

1

kv


faseenHyEZ








b=

gtgt1 Tr ltlt 1


)307(

21j21

211

1

211

11

12

22

112

4

22

222

2

212

jejZ

jjbj

jbZ

jjjjkkk

kk

k

vk

bbk

j


E con respecto a

H El






Ex (z t) =

zteE

z

cos0 (731)

Hy (z t) =

4cos

20

zteE z






b = 0 v = 0 y Z = 0











)327(82

2aa











v = l

dz)a(Ez0

= Eol

i =

2

0)( adaH =

ZEo 2 a

)337(

)1(

1

jEz

ZEzH

eEoeEoEza

jajk






al)j(

alZLijR

iv

21

2


alLiR

2 (734)



tenemos

Ro = 1 a2

RoLi

RoR (735)






RLi

RR

o

o

21283

643

643

41











seguacuten (730) es

0212

EzjEz

(736)


)(EoEo)(Ez

2

2

122

1

(737)


122

a


0212

EzjEz

02224 2222 jjj








l

)j(EollajEodz)a(Ezv

Ademaacutes

jEo)(Ez

0

22

2

2

2

214

1

21

)j(Eoai

Eoajad)(Ezia

22

02

22

1

412


oo RjRjjLijR 4

24

2

2

121

121

)()(1 62

241

A

RLiA

RR

oo



220

j







R

Li

RR

o

o

6

31

62

4




)407()(

21)(Re)(

)(21)(Re)(

eee

eeetjtjtj

tjtjtj

HHrHtrH

EErEtrE

con lo que

)(41)(

41)(

41)(

)()(41

)(

22 HEHEHEHEtS

HHEEHEtS

ee

eeee

tjtj

tjtjtjtj

SSS

HES

HES

HEHEHE

Re2

Re2





entonces

22 Re21

41



HES (741)



)Re(21)( StS

(742)


HHZZ

EES


)437(21)()Re(

21)(

41)(

)(41

))((41

)(21

22

22222

2

HHtHHHHHHHtH

HHHHHHHentonces

HHHHH

HHH

ee

eeee

ee

tjtj

tjtjtjtj

tjtj






222

2

Re)(Re)()(

)(2Re21Re

21Re

21)(

ZZtEZtHtS

ZtHHHZStS


)447()(2

)(1)(

1Re2

22

4

tHtHtS

ZZ e j





)457(Re21)(

Re21)()(

SdivtSdiv

SdivtSdivtSdiv


)467(

jj





Con lo que


21

21

21

21

)()(21

EEEEjHHj

EEEHH

EEHHjEEEEHHSdiv

EEEEjjHHjjSdiv

21

21

)()(21

21


energiacutea

)t(H)t(E)()t(Sdiv

HHEE)()SdivRe(

22 2221

21

21

)457()()(

)()()(

22

22

2

tEZ

tSdiv

tEZ

tEtSdiv












kIm

)(j

jjjjjk

2

222

222



















El plano





incidencia


































y Tk2

de










INCIDENTE









e)ZTE(H

esenTEecosTEE

e)ZRE(H

esenREecosREE

e)ZE(a)ZE(H

esenEecosEaeEE

rkjpo

T

rkjTpo

rkjDpo

T

rkjpo

r

rkjrpo

rkjrpo

r

rkjoyo

i

rkjio

rkjioE

rkjo

i

T

TT

r

rr

i

iiir

00

0

00

0

00

0

2

22

1

11

1

111

2

1

11







Tri

Tri

senxkjp

senxkjp

senxkj

senxkjTp

senxkjrp

senxkji

e)ZT(e)ZR(e)Z(

ecosTecosRecos

211

211

2111




r = I (81)











ley de Snell




)58(coscoscoscos

coscoscos

coscoscos22

coscos2)()(

)48(coscos

cos2coscos2)()(

)(1

coscos1

)(1

coscoscos

21

21

2

21

21

2

2

1

21

2

2

1

2

1

211

ti

tip

i

ti

ti

ip

i

tpp

ti

ip

i

tp

pp

tpp

pp

tprpi

ZZZZR

ZZZ

ZZZR

ZZTRab

ZZZT

ZZTba

bZZTR

iTR

aZT

ZR

Z

TR








1) Z1 = Z2


pR = 0 pT = 1 (86)

2) Z2 = 0


y con ello se tiene

pR = 1 pT = 0 (87)




3)1

01

Z

2

02

Z



titi

itp

ti

tip

cossencossenT

tgtgR

2(88)








en la


y

con ello B


D









podemos resumir


ee

e

ee

e

ee

e

rkjt

srkjt

sts

rkjs

ts

rkjr

srkjr

srs

rkjs

rs

rkji

rkji

is

rkjis

tt

t

rr

r

ii

i

senZ

TEcosZ

TEH

TEE

senZREcos

ZREH

REE

senZEcos

ZEH

EE

22

2

11

1

11

1

2

0

2

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

00

0

00

0

00






y H



i

tss

ss

cosZcosZTR

TR

2

11

1


siguiente



1) Z1= Z2


Rs = 0 y Ts = 1 (811)

2) Z2 = 0

Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)



fase de

Tii

TiiS ZZ

ZZR

coscoscoscos

12

12

Ti

iS ZZ

ZT

coscos

cos2

12

2

(89)

(810)





3)1

01

Z

2

02

Z







)(cos2

Ti

iTS sen

senT

21

21

ZZZZRR SP

21

22ZZ

ZTT SP

)()(

Ti

TiS sen

senR

(813)







iZi




rjKiO

rjKiO

iP

ii

esenEeEE 11 0cos

rjKiPO

rjKiPO

rP

rr

esenREeREE 11 0cos

rP

iPP EEE

rjKrjKi

rjKrjKiOP

riri

eeseneeEE 1111 0cos

z0xr

rZ

rX

riZ

iX

i kkkkkk 111111 00

iZi


iZr


iiii

iiii



OPeesen

eeEE

1111

1111 0cos

XXr

Xi kkk 111

ZZr

Zi kkk 111





xzzxzz jxKjzKjzKi


xx jxKzi


11 cossen20sencos2

xx jxKzi


11 cossen0sencos2


Ez

Ep = EX 0 EZ



k12 = kc2 + kg2



k = 2

Entonces






1 1 12 2 2

g c






























Ey = Ez = 0

Hx = 0 (91)

Dx = s

Hy = J sZ Hz = J sY






















92 ONDA TEM



000kztjeEE

(92)

00 01 kztjZ eEH







kztjxxs eEED 0

kztjsz eEHyJ

0 (93)







000kztjeEjD


HxEtS

kztjz eEtzS

22

0Re

)(2cos 20 kztEtzSz

(95)








93 ONDA TM






























2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)




onda

nsenv

f

22

nfdsen

vnf 2

n

dsennf

v 121 (97)






(onda fundamental)

dvf

2min (98)

dmaacutex 2








2cos

gdsen

cos2dseng

kdsen

dsen2

2

dsen

cosg

22

211cos

dfnvsen

2

21

cos

dfnv

g (99)






v

dfnv

vvfv gg

2

21

cos (910)




g

gG dk

dvkgvgv

1

coscos

ddkg

ddvgkv coskkg

con

2coscosvsenv

dd

ddvg

cos

22

cos2

cosdsen

ndd

ddk

dd

ddkg

2

1send

nctgdn

dd

se obtiene

22

cos

coscos

senn

dvsenkvvG





cos

22

cos1 3sen

nd

dsennvvG

21cos







que

Ez 0 (912)


















00

0kzji eEE

00

0 kzji eZEH

00

0kzjr eEE





00

0 kzjr eZEH


jkzcos-o


rx

ix

ecoskxsencos2E=

cose+eeE=

cosE+cosE=Ex II1

Ey = 0

jkzcos-


rx

ix


senE+sSenE-=Ez II1

0=Hz

ekxsencosZEo2=

H+H=Hy

0=Hx

jkzcos-

ry

iy IIr













que







2

22

21

2

1sen1cos

dfvnkk

vf

vk

kdnkkkk

g

g

dfnv

dfnv

dfnv

21

210

21

22

miacutenfndvnf

2








915w

kg=HyEx

wkg=u

u1

wkg=z

wvkg=

HyEx







)149(

0)(

coscos2)(

0)(

2cossen

2)(

0)(

coscos2)(

tzHz

zktd

nZEtzHy

tzHx

zktd

ndvnEtzEz

tzEy

zktd

nvkEtzEx

go

go

gg

o








(916)cos22

x

dn

wkg v

ZEo= Ex Hy= tS z


94 ONDA TE



00

00

eZHE

eHH

jkzo

i

jkzo

i








el momento

00

00

jjkzo

r

jjkzo

r

eZHE

eHH


cos)(

coscossensencos

jxjkzxjkxjkzox

rx

ixx

eeeeHH

HHH




cosjkzo




d







zktcosxd

ncosdvnH)tz(Hz

)tz(Hy

zktcosxd

nsenvk

H)tz(Hx

go

gg

o

2

02

2

02

2

0

)tz(Ez

zktcosxd

nZsenH)tz(Ey

)tz(Ex

go













kbsen1 = m

(918)

kbsen2 = n







22

2

dn

bmvf nm (919)



es m = n = 1)


























































Et = 0 Hn = 0 (101)







)yx(Hy)yx(HxH

)yx(Ey)yx(ExE

)kzwt(j)kzwt(j

)kzwt(j)kzwt(j

ee

ee

0

0

(102)



0

0

Hrot

Erot

z

z

(103)










00


y con ello




02 )yx(v (105)






rotacionales

Hxjz

Ey

HxjkEy (106a)

Hyjz

Ex

HykEx (106b)

Exjz

Hy

ExkHy (106c)





Eyjz

Hx

EykHx (106d)


vk

(107)

y entregan

HyEx

HxEy

(108)





















































ss

SdDJldH

)(

)(

(1010)












o)S(

zildH

(1011)




)zzo(isdJsdDldH

(1012)

= )zz(iiq oM



)zz(iiq)z(i oMo






z)z(iz)z(iiq)z(i o

oMo

zilim

zqlim

z)z(ilim

zi

zq

z)z(i M

zz

o

z

Mo

000

Es decir - `i`qzi

M

(1013)

Con

zqlim`q

z

0 (1014)


y

zilimi M

zM 0 (1015)






ldEv






Mi`qzi

(1016)


vGvCj`i`qjzi

M

v`)G`Cj(zi





)s(

SsdBldE

(1017)












dii

1 (1018)














total

tldE

)s(

(1019)



)()()()()(

oo

ooos

zvzdz

vzzvzvzzvldE

ozzvz

Es decir z

limtz

vlim

tzzzv

zzo

00

1

Siendo

zlim

z

0 (1021)



magneacutetico


tiene

iL a

)2010(tz

v






iLjzv

a

(1022)








i)LajLijR(zv

)2310()(

)(

vCjGzi

iLjRzv















zi)LjR(

zvi)LjR(

zv

2

2

)2410())((2

2

vCjGLjRz

v

022

2

v

zv







))(( CjGLjR (1025)

= + j










)zt(jzo eevv (1026)


fv (1027)







)ztj(o evv

i)LjR(z

evi)LjR(zv )zt(j

o

i)LjR(v


iv

CjGLjRZ

iv

o

(1028)


CLjw

CLv f

1

CLZo (1029)




velocidad de grupo





ddvG (1030)





















J = -

Jeq




)111(

0BdivDdiv

DJHrot B-Erot













potencial






)311(FgradAA

F-VacuteV

(114)0VgradA

(115)0VAdiv





0 )AVgrad(E


0 VgradrotArotErot






sea

0 VAdiv



022 VFAdivFAdivV

div A F V F ( ) 2 0

div A F V F

2 0

2F F div A V ( ) (116)







positivo

0 VAdiv

(117)






VV 2 (118)

2 A A J





dvR

)vRtr(

)tr(v

41 (119)





dvR

)vRtr(J

)tr(A

4



1

v (1111)





t tRv

(1112)











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