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“Modelamientode Problemas”

Carlos ValleVidal

Introduccion

Proceso deModelamiento

Sistemasdinamicos

“Modelamiento de Problemas”

Carlos Valle [email protected]

Departamento de Informatica -Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Rancagua, Agosto 2009

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Introduccion


Sistemasdinamicos

Temario

1 Introduccion

2 Proceso de Modelamiento

3 Sistemas dinamicos

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Sistemasdinamicos

Temario

1 Introduccion



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Sistemasdinamicos

Introduccion

Se denomina modelamiento a la descripcion matematica deun sistema o fenomeno.El modelamiento tiene dos pasos relevantes:

Identificar las variables que originan cambios.Establecer hipotesis razonables.

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Sistemasdinamicos

Temario

1 Introduccion



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Sistemasdinamicos

Proceso de Modelamiento

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Sistemasdinamicos

Crecimiento demografico

El economista ingles Thomas Maltus (1798) fue el primero enmodelar matematicamente el crecimiento demograficohumano.

Hipotesis: El crecimiento de la poblacion crece en formaproporcional a la poblacion total.

Sea P(t) la poblacion en un tiempo t.

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Sistemasdinamicos

Crecimiento demografico (2)

Matematicamente:∂P∂t

= kP

Esta ecuacion predijo con mucha exactitud la poblacion deEEUU entre 1790 a 1860.

La ecuacion anterior es la misma que rige la desintegracionradioactiva, la tasa de capitalizacion de una inversionfinanciera, etc.

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Sistemasdinamicos

Ley de Newton

La Ley de Newton de enfriamiento se expresa como:

∂T∂t

= k(T−Tm)

Donde T(t) representa la temperatura del objeto en elinstante t y Tm es la temperatura del medio

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Sistemasdinamicos

Vaciado en un estanque

∂h∂t

=−A0

At

√2gh

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Sistemasdinamicos

Caida Libre

∂2s∂t2 = −g

s(0) = s0

s′(0) = v0

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Sistemasdinamicos

Caida Libre con resistencia al aire

m∂2s∂t2 = mg− kv

s(0) = s0

s′(0) = v0

mg actua en la direccion positiva. K es una constante12 / 25


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Sistemasdinamicos

Circuitos electricos

L∂i∂t

+Ri+1C

∫i∂t

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Sistemasdinamicos

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1 Introduccion



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Sistemasdinamicos

Sistemas dinamicos

Los ejemplos anteriores son muestras de los llamados“Sistemas dinamicos”, es decir, sistemas que cambian atraves del tiempo.

Un sistema dinamico consiste en un conjunto de variablesdependientes del tiempo llamadas variables de estado.

Los sistemas dinamicos se modelan por las llamadasecuaciones diferenciales.

Una ecuacion diferencial es una ecuacion que contiene lasderivadas de una o mas variables dependientes con respectoa una o mas variables independientes.

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Sistemasdinamicos

Clasificacion de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su:Tipo: ordinarias o derivadas parcialesOrdinarias: una variable independienteOrden: derivada de mayor orden.LinealidadLa siguiente ecuacion es ordinaria de grado dos y lineal.

∂2y∂t2 +3

∂y∂t

+2y = 4e−2t−5

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Sistemasdinamicos

Resolucion de ecuaciones diferenciales

Veremos la forma de resolver ecuaciones diferenciales enMATLAB a traves de un ejemplo.

Solucionar la ecuacion:

∂2y∂t2 +3

∂y∂t

+2y = 4e−2t−5

Sujeta a las siguientes condiciones iniciales:y(0) = 2, ∂y

∂t =−1

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Sistemasdinamicos

Primer Paso: Conversion a variables de estado

Esto se hace cambiando variables:

x1 = y

x2 =∂y∂t

Esto significa escribir la ecuacion diferencial original de ordenn como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primerordenLa ecuacion original queda:

∂x1

∂t= x2

∂x2

∂t= −3x2−2x1 +4e−2t−5

x1(0) = 2

x2(0) = −118 / 25


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Sistemasdinamicos

Segundo paso: Creacion de un archivo M pararepresentar la funcion

function dx = ecuacion1(t,x)% x es el vector de estado%para minimizar parentesis usamos variables x1 y x2x1=x(1);x2=x(2);% ahora se escriben las ecuaciones de estadodx1 =x2dx2= -3*x2 - 2*x1 + 4*exp(-2*t) -5;% se agrupan las derivadas en un vector columnadx=[dx1; dx2];

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Sistemasdinamicos

Tercer paso: Invocar un “ode solver”

Ode: Ordinary differential equation solvers

MATLAB posee varios “ode solvers” . Usaremos el ode45.

>> [t,x]=ode45(@ecuacion1, [0 10], [2; -1]);

Se usa el sımbolo @ seguido del nombre de la funcion.

[0 10] es el rango de valores.

[2 ; −1] son las condiciones iniciales

>> [t,x]=ode45(@ecuacion1, [0 10], [2; -1]);

[t,x] es la solucion. T almacena el tiempo y x es la soluciondonde x(1) es la columna 1 y x(2) la columna 2

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Cuarto paso: Graficar las soluciones

Para graficar la primera columna de x:

>> plot(t, x(:,1))

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Sistemasdinamicos

Ejemplo: Demografıa

Resolver la ecuacion de Maltus

∂P∂t

= kP,k = 0.5,P(0) = 1000

Como es de orden 1, solo hay una ecuacion: x1 = P yx1(0) = 1000.

Se crea el archivo M:

function dx= maltus(t,x)x=x(1);dx=0.5*x;

Se invoca el “ode solver”

[t,x]=ode45(@maltus, [0 10], [1000])

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Sistemasdinamicos

Ejemplo: Demografıa (2)

Si queremos generalizar k como parametro

function dx= maltus(t,x,k)x=x(1);dx=k*x;

Se invoca el “ode solver”

>>k=0.5;>>[t,x]=ode45(@maltus, [0 10], [1000],[],k)

se agregan los parametros adicionales a la funcion, pero almomento se llamar a ode45 se agrega [ ] como cuartoparametro antes de ingresar los valores de los demasparametros.

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Sistemasdinamicos

Ejemplo: Demografıa (3)

Se grafica el resultado

plot(t,x(:,1))

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