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UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARANA
Cleonice Aparecida Pelagia Ferreira
o ENSINO DE CONCEITOS E PROPRIEDADES DOS TRIANGULOS
POR MEIO DE MANIPULA<;Ao DE DIVERSOS MATERIAlS
2006
Curitiba
Cleonice Aparecida Pelogia Ferreira
o ENSINO DE CONCEITOS E PROPRIEDADES DOS TRIANGULOS
POR MEIO DE MANIPULA<;Ao DE DIVERSOS MATERIAlS
Trabalho de Condus:io de Curso apresentadocomo requisito parcial para a obtencao do grau deLicenciada em Pedagogia, do Curso dePedagOQia, da Faculdade de Cii!ncias Humanas,Letros e Artes, da Universidade Tuiuti do Parana.
Orienlador: Prof. Carlos Alves Rocha
Curitiba
2006
ilf Universidade Tuiuti do Parana./
FACULDADE DE CIENCIAS HUMANAS, LETRAS E ARTES
Curso de Pedagog;a
TERMO DE APROVAC;:AO
NOME DO ALUNO: CLEONICE APARECIDA PELOGIA
TiTULO a Ensino de Conceitos e Propriedades dos Triangulos porMeio de Manipular;ao de Diversos Materiais.
TRABALHO DE CONCLUSAO DE CURSO APROVADO COMO REQUISITO PARCIAL
PARA A OBTENC;:AO DO GRAU DE L1CENCIADO EM PEDAGOG lA, DO CURSO DE
PEDAGOGIA, DA FACULDADE DE C1ENCIAS HUMANAS, LETRAS E ARTES, DA
UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARANA.
MEMBROS DlW. OMISSAO. AVALIADORA:. } 11/\v\., '-\~
PROF(a). CARLOS ALVE) ROCHA
ORIENTADOR(A)
PRtMkR~~~k(z
MEMBdo DA ~;;;,/)
PROF(a) ELlZ~H HARTOG
MEMBRO DA BANCA
DATA: 07112/2006
MEDIA: _'LQ _CURITIBA - PARANA
2006
AGRADECIMENTOS
A Deus,
Ao esposo Edna, pelo tempo quedeixei de compartilhar as bons momentos,mas que soube compreender.
A minha filha Emanuele, que soubeesperar a momento certo para fazer partede minhahist6ria.
DEDICATORIA
OedicD este trabalho aD meu esposo por sernpre ter acreditadoem meLls ideais, dando foryas, ajudando renovar meu amor pela
profissao, com fe, compreensao e humildade.A minha mae que de uma formaou de Dutra contribuiu para que
eu aqui chegasseAos professores e colegas do curSQ pal a amizade.
Ao professor orientador Carlos Alves Rocha pela orientayao prestada.
"Gloria a Deus no mais alto dos ceus e paz na terra aos homens que ele ama."
Evangelho Segundo Lucas
RESUMO
Este trabalho tern 0 objetivo de apresentar sugestoes para 0 ensina de conceitos ealgumas propriedades referentes a tria:ngulos. Partindo da experiemcia da autora,percebeu-se a dificuldade em S8 trabalhar no segundo cicio dos anos iniaais doEnsino Fundamental com tal tema. Par iSso, apOs pesquisa bibliogn,fica, estaosendo propostas atividades com 0 manuseio de material alternativQ de baixo custo,principal mente com dobraduras. Este estudo esta fundamentado em pressupostospedagogicos, tendo na epistemologia genetica de Piaget a base para a sugestao dasatividades. Neste senti do, algumas propostas de passiveis soluc;5es estao sendosugeridas, tendo em vista uma tentativa para minimizar 0 relacionamento entreprofessor, aluno e geometria. Estes procedimentos tern uma parte teorica, comsitua¢es em que a crian98 pod era entender a importancia e 0 significado do queesta sendo estudado
PALAVRAS-CHAVE: Aprendizagem, Educa91lo,Ensino e Geometria.
SUMARIO
RESUMO ..
1 INTRODUCAO ...
2 PRESSUPOSTOS EDUCACIONAIS ..
2.1 0 ORIGAMI E 0 ENSINO ..
2.1.1 0 Papel- Materia Prima para as Dobraduras ..
2.1.2 Origami, uma Arte Milenar..
2.1.3 Origami na Sala de Aula ..
3 A GEOMETRIA DOS TRIANGULOS ..
3.1 DEFINIC;:AO DE TRIANGULOS ..
4 SUGESTOES DE ATIVIDADES ..
4.1 RETAS PERPENDICULARES ...
4.2 PONTO MEDIO DE SEGMENTO ..
4.3 DESAFIOS .
5 CONSIDERACOES FINAlS ..
REFERENCIAS ...
. 06
. 08
. 13
. 16
. 16
..17
. 18
. 21
. 21
. .23
......... 23
. .28
. 38
. ..43
. ..45
1 INTRODU<;AO
Diante das transforma90es aceleradas que vern ocorrendo mundialmente
tanto no plano economica, quanta no cientifico e tecnologico da sociedade, ja em
prindpios do seculo XX manifestou·se a preocupayao pelo ensina da Matematica.
Par ser uma cifJncia, e toda ciencia e dinamica, sempre asia em urn
processo de desenvolvimento que tern provocado reflexoes e reformulayaes.
MHistoricamente, no entanto, esla ensina mantev8-se alheio ao que as crian~s
faziam ou sabiam pelo fata de viver em uma sociedade e em uma cultura
determinada: (DUHALDE, 1998, p. 31).
A principal motiva~1io para a escolha do tema do presente trabalho foi a
preocupa~o com a melhoria do processo ensino/aprendizagem de Matematica, nos
conteudos de Geometria nas series iniciais do Ensino Fundamental. 0 tema
triangulos desde os pavos da antiguidade e de extrema imporUmcia, pais aparecem
nas construr;ees de suas habita~es.
Por trabalhar de 5" a 8" serie do Ensino Fundamental na area de Matematica
ha mais de 13 anos, a autera percebeu que a crian!;a na 5" sarie traz consigo
grandes dificuldades no que diz respeito aos conceitos e propriedades relacionados
aos triangulos. Cansada de ouvir a frase "a culpa esta na 1a a 48 serie· e que esta
pesquisa bibliogn3fica foi feita voltada para esse tema. Este trabalho apresenta uma
enfase ao estudo de autores que apresentam cantribui!;6es para se trabalhar com 0
tema "triangulos" no Ensino Fundamental.
Em geral, os conceitos e procedirnentos propostos em classe erarn
desvinculados de prcHicas que proporcionam urna aprendizagem de Matematica
significativa. Decorrentes desse fato, hoje e voz corrente em meio aos alunos, que
aprender Matematica e apenas decorar f6rmulas e regras. Muitos profissionais da
educaC;:8o, especializados ou nao em Matematica, ao aplicar determinados
conteudos nao fazem esclarecimentos adequados ao educando, como por exemplo,
ao inves de dizer como surgiu delerminada siluac;iio (formula), simplesmenle aponla
qual e, e cabe ao aluno decon3-la e pronto. Este, na maioria das vezes nao
can segue par si 56 entender de onde surgiu tal colocar;c30, um mot iva pelo qual um
grande numero de pessoas detesta 0 estudo da Matematica.
No que se refere ao ensino de Geometria, em particular, a maiaria dos
curriculos escolares, durante longo tempo, nao deram a importancia devida a
capacidade infanlil de percep~ao e explorac;iio do espa~o, bern como das formas
geometricas presentes nele.
A crianc;:a tern varias fases no seu desenvolvimento e em cada uma dessas
fases vai S8 adaptando e adquirindo compreensao e domlnio atraves das respostas
ambientais, reagindo aos estimulos que encontram na tentativa de modificar 0
ambiente para a satisfacao de suas necessidades. Segundo Toledo,
Esse panorama vern se modificando a alguns nnos, devido n pesquisas ernque a geometria e vista como urn campo VilstO pilra 0 desenvo/vimento deraciocinios na resolu9Ao de problemas que exigem visualiu9Ao e
manipuln~o de modelos de figuras geometricas. (TOLEDO, 1997, p. 221).
Assim, a aprendizagem de conceitos geometricos nos Parametres
Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), esla relacionada a urn Ii po especial de
pensamento que permite compreender, descrever 8 representar, de forma
organizada, 0 mundo que vive.
Sendo assim, quando a criar19a estabelece relar;oes, ao perceber
semelhanc;:as e diferen<;as, ao identificar regularidades que tenham significado, a
1(1
imagem e extremamente utijizada como instrumento de informac;ao. Sem
visualiz89i1D e manuseio, 0 estudo da Geometria S8 torna enfadonho e desprovido
de significado.
Algumas tentativas para mudar essa SitU8<;80 incluem diversos recursos
didaticos, entre eles 0 usa de materiais concretos em sala de aula, com 0 objetivo de
desenvolver urna melhor e maior aprendizagem.
Urn desses recursos sao atividades realizadas com a auxilio de dobras em
papal, au seja, "as dobraduras", que a partir do seu manuseio estudantes
familiarizam-se com conceitos e formas geometricas.
Desta forma 0 motivo principal da escolha do tema do presente trabalho foi a
preocupac;:ao com a mel haria do processo ensino/aprendizagem de Matematica, nos
conteudos de Geometria do Primeiro e Segundo Cidos das Series Iniciais do Ensino
Fundamental.
Este trabalho tem um embasamento pedag6gico a partir dos estudos feitos
sobre os pressupostos do construtivismo, a partir do que dizem autores que estudam
a Epistemologia Genetica de Jean Piaget, como FLAVELL (1996), em seu livro "A
Psico/agia do Desenvo/vimento de Jean Piagef, PULASKI (1986), com a obra
"Compreendendo Piagef e SEBER (1997), em '0 Die/ago com Crian98s e 0
Desenvolvimento do Raciocinio" Neste caso, a fundamenta980 basica diz respeito
principal mente ao desenvelvimento cognitive da crianr;a.
II
A estrategia utilizada foi a de propor aD educador que a inclusao de
atividades manuais no desenvolvimento de conceitns e algumas propriedades
relativas a triangulos sao fundamentais. pois torna as aulas mais atraentes e
produtivas.
Nesse sentido. parte·se do seguinte problema: Como 0 desenvolvimento de
atividades realizadas com materiais manipulaveis podem contribuir para 0 ensina e
aprendizagem de conceitos e propriedades geometricas dos triangulos? Para
soludona-Io. estabeleceu-se 0 seguinte objetivo: Apresentar contribui¢es dos
autores estudados para estimular 0 professor a ter iniciativa do usa de materiais
alternativQs (manipulaveis) em suas aulas.
Tendo em vista que a pesquisa foi bibliografica, foram pesquisados autores
que apresentam estudos e atividades que subsidiam professores com conteudos
basicos de geometria, especial mente triangulos, em series iniciais do ensina
fundamental. A inten9ao foi de dar suporte a importancia de trabalhar com confec9ao
de materials manipulaveis, pais com eles e muito mais eficaz estabelecer a
percep980 entre figuras planas e figuras espaciais, camparar fOflTlas e posi90es de
figuras planas exploranda a criatividade do aluno, ou seJa, pesquisar como as
materiais manipulativos podem cantribuir para 0 ensino e aprendizagem de
conceitos e propriedades geometricas dos triangulos.
A partir do estudo do referencial te6rico apresentado, 0 trabalho fornece
algumas sugestoes de recursas metodol6giCQs que poderao auxiliar 0 professor na
hora de aplicar conteudos referentes a na<;6es basicas sabre os conceitos da
geornetria dos triangulos, relacionados ao nosso cotidiano e ao cotidiano infant;1
A presente obra, apas a introdu~o, traz os seguintes capftulos: 10
"Pressupostas Educacionais", em que e Feitc uma reFlexao dos pressupostos
"pedag6gicos com a pratica em sala de aula; 0 apaio teorico para 0 desenvolvimento
dessa pesquisa e constituido pelos trabalhos de IMENES (1992), que investigou
sabre 0 assunto Geornetria das Dobraduras; 2°) "0 Origami e 0 Ensino", mostrando
como urna pratica chinesa pode auxiliar no ensina da geometria; foi feito urna
pesquisa sobre os estudos de REGO et al. (2003), sobre A Geometria do Origami.
Outra obra pesquisada para esse capitulo foj tambem Origami & Artesanato em
Papel, de JACKSON, P. e A'COURT, A. (1996), que trata sobre a hist6ria do origami
com demonstrativos de varias atividades; 3°) "A Geometria dos TriangulosH, em que
sao apresentados ao leitor as conceitos que S8 referem ao trabalho, com apaio do
Referencial Curricular Nacional para a Educayilo Infantil - RCN (1998) , que e uma
referencia nacional no auxilio da Educayao Infantil, e as Para metros Curriculares
Nacionais do Ensino de Matematica no Brasil- PCNs (1997); 4°) Neste capitulo sao
apresentadas algumas Sugestoes de Atividades dadas a partir do embasamento
te6rico; esta sugestao vern de urn "apanhado~ de informac;oes de varias referencias
bibliograficas e tambem da experiencia em sala de aula; 5°) Considera,oes Finais do
trabalho, a autora apresenta argumentos comprovadores dos objetivos atingidos,
bem como apresenta indicios para novos estudos e pesquisas.
2 PRESSUPOSTOS EDUCACIONAIS
A base deste trabalho asta em estudos de autores que discutem sabre a
Epistemologia Genetica de Jean Piaget, principalmente no que diz respeito ao
desenvolvimento da crianQa.
PULASKI (1986) diz que Piaget chama de opera~6es concretas a
capacidade do raciocinio 100ieD e da organizayao do pensamento, total e
coerentemente dispostas em relac;6es hierarquicas au seqOenciais. Para seus
astudos utilizau-se da manipulac;~o do material concreto par crian98s.
Em sua obra, PULASKI (1986) diz que conforme os experimentos de Piaget,
a crianC;8 tern urn estado estill/al de equillbrio quanta ao raciocfnio logieD, para 0
desenvolvimento de sua faixa etaria. Dependendo da idade predomina 0
desequilibrio, anda ala utiliza mais a intuiC;80 para chegar a uma conviC98.0 16gica,
porem, tern capacidade de lidar com todos as fatores que S8 apresentam em seus
experimentos. Tambem e capaz de coordenar duas au tras dimensoes de urn objeto
ao mesmo tempo em um nivel mais maduro. Utiliza-se da reversibilidade, ou seja,
recordam atividades passadas em seus experimentos, tendo 0 raciocinio mais rapido
e flexlvel.
Para PULASKI (1986), os estimulos do meio colaboram para que a crian~a
elabere a ideia de conservayao, percebendo assim as mudan9as de tamanho e
forma, 0 aumento e a diminui~o. Ainda sao capazes de organizarem e coordenarem
pensamentos estaveis e equilibrados.
o estudo da linguagem da 16gica e da matematica foi observado e estudado
por Piaget, conforme ainda PULASKI, quando a crian~ atinge 0 periodo escolar,
,.sempre como finalidade, descrevendo as estruturas intelectuais no estagio das
operac;Oes concretas. Em suas experimentac;6es, Piaget (apud PULASKI, 1986) diz
que a crian9a 56 apes as sete anos e capaz de classificar e seriar objetos de
diferentes formas.
Confrontando estes argumentos com 0 lema principal do trabalho, 0 ensina
de geometria, pode-s8 estabelecer alguns criterios importantes para a aprendizagem
do tema.
CARDOSO (2001), em seu dicionario de matematica, diz que a geometria ea ciencia da extensao. Estuda as propriectades, as rela¢es e a forma das figuras e
dos solidos, ou seja, no plano, no espac;o bidimensional e no espac;o tridimensional.
As situ890es cotidianas oferecem oportunidades privilegiadas para 0 trabalho com
especificidade das ideias matematicas. A crianC;8 precisa da manipula~o e a
explorac;ao de objetos e brinquedos e esse contato que da 0 inicio da identificac;ao
de propriedades de objetos e figuras, como formas, tipos de contornos,
bidimensionaHdade, trfdirnensionalidade, faces planas, lados retos etc.
Nos estudos feitos por PULASKI (1986), Piaget verificou que a crianc;a e
capaz de lidar corn a 16gica das classes e suas relag6es, utilizando do raciocinio
descritivo e dedut;6es a partir de hip6teses.
Nos ultirnos anos, 0 en sino de geometria ern sido motivo de muitos estudos
e debates. Tais movimentos revelarn urna preocupa<;ao que se justifica pelo fato de
o conhecimento mate matico desempenhar urn papel decisivo na forrna<;ao de urn
cjdad~o capaz de, analisar e interpretar, de forma critica, 0 mundo em que ViV8.
Segundo IMENES,
Algumas pessoas gostam de dan<;ar, oulras n:lo. He'! quem vibre ao dirigiraulom6veis, e quem sinta sono na dire9Ao. Como tudo na vida, h<i quem
gosta de M;llematica e quem nao a vej ••com bons olhos. S2Ibemos que,para gostar de algumil coiSl:l, e precise conhec~-Ia. experimenta-la e ler achance de sentir algum prazer ncste. (IMENES, 1992, p. 03).
Em qualquer parte do mundo par onde andamos, basta olhar para urn de
nossos lados que nos deparamos com figuras geometricas, na maior parte figuras
espaciais, ou seja, as constru<;oes, algumas modernas, outras faitas por povos da
Antiguidade, mas todas lembram formas geometricas. Nesse sentido, as Diratrizes
CUrriculares da EduC89aoFundamental da Rede de Educa9~0 Basica do Estado do
Parana dizem que:
Um lrabalho import ante e a planificayao das figuras espaciais, que pede serfeilo, par exemplo, montando e desmontando caixas, embalagens, etc.Usando 0 conceito de angulo rete podemos chegar a uma classificar;:~o dasnguras planas. (PARANA, 200212006, sip).
A geometria e, inicialmente, a conhecimento imediato da nossa rela<;aocom
a espa90. Comec;a com a viseo e vai do que pode sar percebido, nos da
conhecimento e, nos leva a constru<;aogradativa do saber geometrico. A observac;ao
humana e ativa, logo, a abstra<;8o,nos faz compreender a forma como algo qua sa
pode imprimir a um material. E precise desenvolver habilidades de ob5ervayao,
interagir com ela para transforma-Ia.
Nessa sentido as Referenciais Curriculares Nacionais para a EduC8gclO
Infantil - RCNs (1998) colocam que os conteudos da aprendizagem de geometria
podem ser organizados de modo a pennitir que, por um lado, a crianc;autilize aquilo
que jil conhece e tern familiaridade, e, por outro lado, que possa estabelecer novas
relagoes, alargando seu saber sabre os assuntos abordados. As crianc;as podem
manusear diferentes materiais, perceber marcas, ge5tos e texturas, explorar 0
esparyo fisico e construir objetos variados. E preciso que as crian9as explarem
situa<;6esque levem a ideia de "forma' como atributo dos objetos. PULASKI (1986)
16
diz que para Piaget toda crian9B tem capacidade de estrutura9ao e organiza91io de
pensamento atraves da manipula~o.
Continuando essa discussa.o, passa-s8 a apresentar uma rela980 do Origami
com 0 ensina, mostrando como uma arte milenar pade auxiliar a ens ina da
geometria (conceitos e propriedades de triangulos) na sala de aula.
2.1 0 ORIGAMI EO ENSINO
2.1.1 0 Papel - Materia Prima para as Dobraduras
Oesde as primordias da humanidade que 0 Homem desenha as suas memorias
visuais. Antes da fabrica~o do papal, muitos povos utilizaram formas curiosas de S8
expressarem atraves da escrita.
Com 0 desenvolvimento cultural e economico na sociedade humana, houve uma
enorme necessidade de S8 encontrar urn material que fosse leve, conveniente e duradouro
em que S8 pudesse escrever. Isto leI/au a invem;ao do papel par parte dos chineses no
primeiro seculo a.C., que era feito de fibras de plantas. 0 homem escreveu, desenhou e
pintou em papiro e pergaminho, que sao as materias primas mais famosas e pr6ximas do
papeL
Conforme 0 dicionario LUFT (2000), 0 papel e uma subst~ncia feita de materia
fibrosa, preparada em folhas delgadas para escrever, embrulhar, etc.
REGO et al. (2003), em uma de suas obras, contam que a primeira folha de papel
inventada hi! quase dois mil anos atras na China, foi criada atraves da macerac;ao
de cascas de arvores e restos de teeido.
lJ
As construc;6es apresentadas com papel sao de suma importancia, pois 0
papel tambern e um material indispensavel em nossas vidas, pais estas S8 tornariam
dificeis sem embrulhos, cartas, revistas, cart6es, pacotes, folhetos, cartazes, jornais
e blocos de anota90es. Ele e um dos artigos mais baratos e disponiveis que existem,
embora ainda seja normal mente rejeitado como material para artesanato, arte e
meio de hobby.
Com conhecimento, imaginaC;Bo e entusiasmo, 0 artesanato em papal, as
tecnicas e a arte podem transformar esse produto simples em formas maravilhosas e
incriveis artefatos como brinquedos, sacos, bijuterias e caixas. A realiza~o de tais
construc;6es permite ao aluno manipular e verificar na pratica formas geometricas.
Afirma SEBER (1997, p. 44), que para Piaget "e, interagindo com tudo 0 que a
rodeia, com 0 meio, que a crianya constr6i sua inteligencia, ao mesmo tempo em
que estrutura esse meio·.
Ja foi men cion ado anteriormente que a arte de trabalhar com papel €I uma
arte barata, que pode ser leita em qualquer lugar a qualquer tempo e nao requer
nenhum equipamento au instalai):6es, alem de uma folha de papel e de preferencia
uma superficie firme para trabalhar. Oeve·se sempre lembrar as criant;as que a arte
de trabalhar com a papel e uma arte delicada, porem €I preciso ter seguran<;a e
respeito ao meio ambiente.
Em meados da decada de 50 virou mania no mundo inteiro 0 trabalha
criativo com 0 papel. Essa tecnica recebeu 0 nome de HOrigami~, 0 que S8 passa a
discutir na seqOencia.
2.1.2 Origami, uma Arte Milenar
A palavra Origami e formada par 'on" (que significa em Japones, dobra) e
"Kami" (que significa papel au tambem Deus). Como ja foi dito, a cresci menta do
Origami no Ocidente teve inicio na decada de 1950. No fasciculo Origami &
Artesanato em Papel, as autores JACKSON e A'COURT (1998), dizem que
a histcria do Origami e bastante obscura, mas e claro que nilo pode ser anterior ainven~o do papel hi! dois mil anos atras na China, e que a arte de trabalhar com
papel iniciou no Jap~o desde 610 d.C, e nao palos chineses, como a maiaria das
pessoas pensa.
Outros autores como Rego, Rego e Gaudencio Junior. (2003), dizem que "as
primeiras instruc;6es escritas sobre 0 Origami surgiram em 1797, com a publica~o
de uma obra intitulada Senbazuru Orikata que significa, (Como dobrar mil gar~asr
Apes essa publica~o houve uma larga fabrica~o do papel, e a popula~ao de urn
modo geral passou a ter cantata com esta arte secular. A partir do ana de 1876, a
Origami passou a fazer parte do curricula eseelar no Japao.
o Origami tern viajado pelo mundo, em cada re9iao que passa reeebe urn
nome diferente. No Brasil e rnais conhecida como dobradura, apesar dos diferentes
names de acordo com 0 regionalismo local, a linguagem simb6!ica utilizada para
mostrar a sequencia de passos de cada figura e universal, como a linguagem
malematica.
2.1.3 Origami na Sala de Aula
De acordo com SEBER, a teoria piagetiana, traz que:
As lecnicas de ensino. ~ busca por rnelodofogias sofisticadas progride narnesma proporyao em que florescem eooismo. Urania. desigualdade de
'0
oportunid.,des. Conciliar progresso cientifico e justi<;a social podem deixarde ser simples ideal se nos convencennos de que 0 homem faz a hist6ria.Mas sem se tamar autor consciente do seu destino, ser·lhe-a mais dificilmudar 0 rumo dos Olcontecimentos. Compete principalmente a escola(Xomover lal consci~ncia, estimulando a criatividade e 0 prazer par aprenderaspectos naturais e esponl~neos nas crianc;as. Para tanto, limn daspossiveis direyOes seria refletir urn pouco mais sobre a que se faz em salnde aula. (SEBER, 1997, p. 27)
o trabalho com Origami no Brasil ainda nao consta do Curriculo Nacional de
Educa9ao, mas ja faz parte das atividades de manuseio em salas de aulas. Algumas
escolas incentivam alunos a arte de dobrar em concursos e competic;oes, onde 0
aluno adquire habilidades e criatividade. Professores de escolas tanto publicas
quanto privadas passaram a usar 0 origami (dobradura) em suas aulas, para ensinar
conteudos de aries, geometria e outras disciplinas. Para trabalhar com as
dobraduras em sala de aula, e comum seguir procedimentos de acompanhamenlos,
au seja, 0 instrutor realiza a dabradura passo-.a-passo, sendo acompanhada pela
turma e sempre explorando conceitos matematicos.
Para REGO, REGO e GAUDENCIO JUNIOR,
o Origami pede representar para 0 processo de ensinolaprendizagem deMatemallca urn import<lnte recurso metoclot6gico na reatiza~o dasdobraduras, que os estudantes familiarizam-se com fonniS geometricas. NaMalemiltica. 0 usc do Origami permile 0 desenvrnvimcnto de alividades queimplicam a constru~o de conceitos, ~ discriminavao de forma. posivao elamanho; bern como a teitura e a interpretayao de diagram as, a construt;aode figums planas e espaciais, 0 usa des termos geometricos em umcontexto, 0 desenvolvimento da percep~;1o e discrimin'lIyio de rela¢esplanas e eSP<lciajs, 8 explora~ao de ptillrOes geomelricos, 0desenvolvimento do raciocinio do passo-a-passo e 0 desenvolvimento dosensa de localizayAo espacial. (2003. p.18).
Eo neste sentido que 0 presente trabalho foi buscar no Origami a
oportunidade de torna-Io urn recurso para aprendizagem de formas geometricas, nos
anos iniciais do Ensino Fundamental.
Assim como a Origami fo; urn indicativa a ser usado como base para a
trabalho de conceitos e propriedades de triangulos, 0 proximo capitulo trata da
20
geometria dos triangulos, no intuito de favorecer a reflexao dos professores a
respeito dos mesmas.
21
3 A GEOMETRIA DOS TRIANGULOS
Neste capitulo serao abordados t6picos que abrangem: formas geometricas,
defini<;lio de triangulos, a classifical'ao de um triangulo pel a medida dos lados e pela
medida dos angulos, representa<;lio, reprodu,ao e visualiza<;lio de triangulo bem
como sua rigidez.
Entre essas formas geometricas, existem algumas que chamamos de
poligonos, cujas formas sao planas, seu contorno e fechado e formado so mente por
linhas retas. Entre esses poligonos, existe um que e chamado de tritmgulo, que
pode ser identificado em estruturas, sinalizac;oes, pontes, obras de arte e Qutras
situa96es do nosso dia-a-dia.
Assim, s~o apresentados alguns conceitos da Geometria que serao
utilizados no decorrer deste trabalho. Por ser um trabalho direcionado ell 4" Serie do
Ensino Fundamental, sera considerada conhecida a nomenclatura basica da
Geometria elementar tal como: ponto, reta, semi-reta, segmento de reta, retas
paraJelas, angulo. Os conceitos aqui abordados estao descritos par suas
propriedades caracteristicas, acompanhados de atividades com material concreto
para ilustraryao. A maior parte das atividades sera feita par dobraduras, que foram
elaboradas a partir de estudas e discussOes sabre a melhar forma de expor 0
respectiv~ conceito. Algumas das dobraduras aqui utilizadas constam no fasciculo
Geomelria das Dobraduras de IMENES, L. M. (1992).
3.1 DEFINIc;:Ao DE TRIANGULO
o triElngulo e definido a partir de tres pontcs nao colineares A, B e C, como
sendo a reuniao dos segmentos de reta AB. Be e ,I.e Os tres pontos dados sao
as verticesdo triangulo e os segmentos sao as lados do triangulo; cada par de lados
forma, com 0 vertice no ponto de intersecyao, um angulo que e denominado angulo
interno do triangulo. 0 triangulo de vertices A, SeC sera representado par !lASC.
Urn tri~lngulo reunido com 0 seu interior e uma regiao triangular.
Neste trabalho, a palavra ~trianguloW sera usada tanto com 0 significado de
regi80 triangular como com a significado de triangulo conforme a definiyao acima.
Por exemplo, com freqOencia, havera a descriyao: tome um tri~nglilo
recortado em papel. E evidente que ne5sa situa<;ao a figura nao pode ser apenas a
contorno e, portanto, a rigor, dever-se-ia fazer referencia a uma ·regi80 triangular
recortada em papal" Neste trabalho nao s.era usada a denomina980 rigor05a, em
vista da forma consagrada pelo usa. Mesmo porque PULASKI (1986) diz que para
Piaget e55a forma de linguagem 56 pode ser aplicada para comunicar aquilo que ja
foi compreendido.
Quanta as atividades propos!as, a trabalho traz uma seyao especial. 0
pr6ximo capitulo apresenta sugest6es de atividades com materiais manipulaveis.
Trata-se de uma t.arefa que nao pode ser realizada pelo professor isoladamente,
mas que requer urn envolvimento dos alunos nllm nivel mais amplo.
4 SUGESTOES DE ATIVIDADES
Conforme citado anteriormente, as atividades que serao apresentadas visam
explorar atraves de materiais manipulaveis, 0 reconhecimento de formas
geometricas planas por meio da planifica<;ilo de figuras espaciais. Procura-s8
trabalhar com conteudo em estudo de maneira descontraida associando dessa
forma corn objetos presentes no dia-a-dia.
As atividades sao sugeridas para serem trabalhadas na 4a serie do Segundo
Cicio do Ensino Fundamenlal.
Segundo Piagel cilado por FLAVELL (1996), 0 que se deve oferecer a crian<;a,
nao pode ser algo nem muito conhecido, nem muito novo. Se muito conhecido, ha
chance de haver desinteress8. Se muito novo, a desinteresse tambem pode
aparecer, pois sua organizayao intelectual ainda pode naD estar em condi<;oes de
assimila,ao.
Para iniciar as atividades havera uma se9ao extra de algumas n090es basicas
da geometria elementar. Partindo deste principia, apresenta-se as atividades
seguintes, mostrando antes a abordagem do contetido que os livros trazem e 0
professor utiliza.
4.1 RETAS PERPENDICULARES
No livro de PULASKI (1986), para Jean Piagel as crian<;as apes oilo anos jil
conseguem raciocinar em term os de horizantais e verticais.
Duas /inhas retas sao denominadas perpendiculares se formam angu/o reto.
Urn angu/a reta pode ser definido como 0 ~ngulo que oj congruente ao seu
suplementar adjacente. Assim, uma figura que ilustra essa situ8980 eo:
D
Se a angulo BC' Ii reto, tambem oj reto a ;;ngulo COD, pais urn e 0
sup/ementar adjacente do Dutro
A seguir, sera descrita uma atividade na qual S8 obtem uma linha
perpendicular a uma borda de uma folha de papel sulfite.
ATIVIDADE 1
Obter, por dobradura, uma linha perpendicular a uma borda reta de uma
folha de papel.
Esta atividade exigir8 que 0 professor enfoque a importancia de traba/har
corn 0 senso de observa~o e 0 raciocfnio da crian<;a do tipo passo-a-pa5so, a partir
de definic;:oes de regras negociadas entre professor e alunos para confecc;ao de
materiais manipulaveis. Segundo PULASKI (1986), Piaget acredita que a crian<;a
quando pequena ainda nao e capaz de pensar no todo e em suas partes aD mesmo
tempo.
25
Passo 1: Tomar uma lolha de papel, cujas bordas sejam linhas retas. (Para lacilitar a
referencia para as explicay6es, serao usadas letras nos -cantos" da folha).
Passo 2: Escolher uma borda, par exemplo, Sii,e um ponto desta borda, sabre a
qual sera leita a dobra perpendicular.
P'----I -----1;s w R
Passo 3 Dobrar a folha no ponto W, de modo a sobrepor WR em SW. e vi ncar a
dobra a partir do ponto W
P Q
CJs ,I' R
Passo 4: Ao abrir e lolha, observe-se que foi produzida uma linha que passa par W e
e perpendicular a SR.
IV R
EXPLICACAo: Ficaram formados dais angulos retos. com vertice no ponto W.
exatarnente como na figura ilustrativa da definic;ao de linhas perpendiculares.
ATIVIDADE 2
A partir dos estudos feitos e pel a observa~o do cotidiano. nem sempre
temas em maos uma folha de papel sulfite retangular pronta para ser dobrada. E
preciso saber como utilizar uma folha qualquer de papel, mesmo est a tendo um
formata irregular, au seja, sem bordas, sem linhas retas, que naG tern angulos retas,
como na figura a seguir, como obter essas perpendiculares? Par isso que este
estudo sempre teve presente a seguinte afirmayao: "0 trabalho de Geometria com
as crianc;as comec;a no espac;o e n~o na reta au no ponto au no plano' (PARANA.
1992. p72)
No casa em que 0 papel tern um formata irregular. par meio de dobraduras,
vamos construir duas linhas perpendiculares entre si:
Passo 1: Fazer urn vinca em qualquer posi~o.
em linha reta.
Passo 2: Manter 0 papel dobrado sobre aquele vinco. Assim obtern-se uma borda
/~-~
( / ..// ..
\ r .\i .
perpendicular a que foi feita.
Passo 3: Dobra-se novamente a papel criando outro vinca e constr6i uma linha
20
Passo 4: Ao abrir 0 papal, ve-se que os vincos formam duas linhas perpendiculares.
RESULTADO: Para IMENES (1992), e possivel realizar a constru"ao de retas
perpendirulares mesma sem ter urn papal com formata regular.
4.2 PONTO MEOlO DE SEGMENTO
o ponto medic de urn segmento e a ponto que a divide ao meio. Urna
caracterizac;ao mais formal e: dado urn segmenta, a seu ponto media e 0 ponto que
pertance ao segmento e esta a igual disttmcia das suas extremidades.
A atividade descrita a seguir tern 0 objetivo de visualizar a propriedade do
ponto media de urn segmento. 0 material usado sera urn canudinho de refrigerante,
em bora a semelhamy8 desse objeto com urn segmento de reta seja muito remota. A
mesma atividade podena ser realizada com urn pedac;o de fio de linha, a borda de
urna folha de papal, au varios outros abjetos.
29
ATIVIDADE 3
Nesta atividade tambem sera preciso a observayao e 0 raciocino da crian<;a
do tipo passo-a-passo. A crian,a, para Piaget (apud PULASKI, 1986), quando
pequena pade agir sabre as objetos concretos. e na idade escolar, vai alem, age
sabre eles em pensamentos.
Marcar 0 ponto media de urn canudinho de refrigerante (Para facilitar a
referencia para as explica96es, serao usadas letras nas "pontasW do canudinho).
Passo 1: Toma-S8 urn canudinho de refrigerante.
A B
PaSSQ 2: Dobra-s8 0 canudinho de modo que as duas pontas S8 encontrem.
A B
Pas so 3: Ao desdobrar 0 canudinho, verifica-se que roi produzida urna marea no
meio do canudinho.
A B
A ~marca· produzida no meio do canudinho e 0 ponto media procurado.
As duas atividades seguintes permitem urna perce~~o muito concreta de duas
propriedades basicas de triAngulos. Em suas pesquisas sabre a desenvolvimento
cognitiv~ da crianl'a, Piaget na obra de PULASKI (1986) procura confirmar suas
hipoteses, afirmando que a criancya na 4011 serie do Ensino Fundamental ja e capaz de
observar, assimilar e realizar experimentos, que podem n~o 56 esclarecer as muitas
regulay6es que compoe a dinamica da equilibrac;:ao progressiva, como tambern
ajuda 0 aspecto da aprendizagem.
ATIVIDADE4
Construir um triangulo qualquer, recortado em papel.
Passo 1: Marcar tres pontcs nao colineares.
Passo 2: Trac;:ar com urna fegua as linhas que unem as pontcs dois a dais.
Passe 3: Cortar sabre as linhas trayadas 0 triangu[o formado.
EXPLlCA<;AO: Sempre e possivel recortar um triangulo de uma folha de papel. Pela
definiyao aeima de triangulo, basta escolher tres pontcs nao colineares e em
]I
qualquer plano sempre existem tres pontcs nao coJineares; assirn, S8 garante a
obten~o do triangulo de papel
ATIVIDADE 5
Nesta atividade vamos observar a montagem de po ligon os regulares, au
seja, de triangulos. Para Jean Piaget, citado por FLAVELL (1996, p. 238) "0
desenvolvimento perceptiv~ e urn evento quantitativa e qualitativo mais continuo do
que 0 desenvolvimento intelectual-.
Dados tres palitos, formar um triangulo.
Passo 1: Utilizar os tres palitos para formar um triangulo.
Passo 2: Desfazer 0 triangulo do passe 1. Quebrar um dos palitos ao meio e formar
urn triangulo com uma das metades e dois pahtos inteiros.
32
Passo 3: Desfazer 0 triangulo do passo 2. Quebrar um dos palitos inteiros em 3
partes iguais e formar urn tri~ngu!o com urn pedar;o destes e duas metades.
Passo 4: Desfazer 0 triangu!o do passo 3. Formar urn triangulo com urn palitD inteiro,
urn pedac;o de urn ter90 e urna metade.
CONCLUSAO: Este passo evidencia que nem sempre e possivel formar um
tri~mgulo com tres palitos quaisquer.
EXPlICACiio: Existe uma rela<;~o entre as medidas dos lados de qualquer
triElngulo, denominada desigualdade triangular em qualquer triimgulo, cada lado e
menor do que a soma dos Qutros dais ladas. Urna demonstrar;ao dessa propriedade
pode ser encontrada no livro Geometria Moderna de MOISE e DOWNS (1971) e nilo
sera apresentada aqui porque requer urna grande quanti dade de pre-requisitos que
nao fcram desenvolvidos neste trabalho. Os Parametres Curricula res Nacional,
afirrnam que:
Ao procurar identificar, mediante a observayio e 0 ditilogo, como 0 alunoesta pensando, 0 professor obtem as pistOlS do que ale n:io estacompreendendo e pode interforir P'lru auxilia-Io. (BRASIL, 1~H~7,p.59)
Na atividade anterior, foram usados palitos de varios tamanhos, inteiros e
cortados, para construir trifmgulos. Agora os mesmas palitos serao usados para
calcular a medida dos lados desses triangulos, au seja, para aprender a calcular a
medida do peri metro desses triangulos de acordo com as medidas de seus lados.
Pas so 1: No primeiro momenta, usamos tres palitos para formar urn triangulo.
Vamos agora dar nomenclaturas e medidas a esses palitos, ou saja, s~o palitos
comuns de f6sforos e cada urn mede 6 centimetr~s (em) de eomprimento. Com
assas medidas ja e possivel calcular 0 seu peri metro. Observe:
6cm
6cm
6cm
Se cada palito de f6sforo mede 6 em, e usamos tn3s dales para a primeiro tri~ngulo,
basta entao adicionar suas medidas, ou seja, 6em+6cm+6cm para obter que as tres
lados juntos medem 18em.
Passo 2: No segundo momento, desfazemos 0 triangulo anterior. Quebra-se urn dos
palitos ao meio.
Vamos formar agora um triangulo com uma das metades e dais palitos
inteiros. Bem, se cada palito mede 6cm, logo, 0 palito cortado ao meio passara a ter
3cm.
6cm LJ 3cm
3cm
6cm
6cm
Agora temos apenas dois palitos de f6sforos com Scm e, 0 terceiro tern 3cm,
que nao muda a situat;(ao, basta adicionarmos tambem as medidas de seus lados,
ou .eja, 6cm+6cm+3cm para obtermo. que os tres lados juntos medem 15cm.
Passo 3: No terceiro triangulo iremos pegar um palito inteiro e dividi-Io (quebrar) em
tres partes iguais.
Dado que cada palito de losloro mede 6cm, logo 0 palito do passo 3
~quebrado·em tres partes iguais passara a ter 2cm cada pedayo.
Enquanto que no passe 2 dividimos urn palito ao meio, logo, cada peda90
passou a ter 3cm.
Entao ficamos com urn palito em duas metades e, urn outre palite com 3
(tres) pedac;o•.
35
Com apenas urn pedac;o de palito de 2cm e duas metades de 3 em
formaremos urn novo triangulo.
2 em
3cm ~2em
3cm3 em
Novamente obtem-se a soma dos lados desse triangulo, au seja, 0
Perimetro desse triangulo. Para isso e necessaria apenas somar as medidas dos
palitos, que nada mais e as lados do triElngulo. Temas 2cm+3cm+3cm=8cm
CONCLusAo: Pode-se concluir que Perimetro de Triangulos (figuras planas), e a
soma das medidas dos lados dessa figura, podendo dizer ainda, que e 0 tamanho do
contorno dessa figura. E Sempra e passivel calcular 0 Perimetro de urn triangu!o
adicionando as medidas de seus lados. Para i550 podemos concluir que:
P=L+L+L onde, P e 0 peri metro e L sao as lados.
EXPLlCA<;AO: Pela defini<;:ao acima para calcular a medida do Peri metro de um
triEmgulo, basta saber quanta mede cada lado dessa figura, assim, S8 garante a
obtenC;c30 do peri metro de urn triimgulo. Este assunto e importante para a formaC;8o
do aluna, pais permite a recanhecimento de objetos com figuras geometricas, a
cantata com a construc;ao das figuras e angulos na constru<;3o de uma casa,
apresentando assim uma rela<;E1o com a cotidiano da crianc;:a. Os parametres
Curriculares Nacionais de Matematica deixam claro que:
Os conhecimentos das crianyas nao est~o classificados em campos(numericos, geometricos, metricos etc.), mas sim interligados. Es.sa formaarticulada deve ser preservada no trabBlho do professor, pais as crianc;asterao melhores condi¢es de aprender 0 significado dos diferenlesconleudos se collseguirem perceMr diferentes relacOes dele! entre si.(ParAmelros Curriculare5 Nacionais - Matermitica, 1997, p. 66)
No Passo 4 desfazendo este tri~ngulo, observamos que sobra em nossas maos, 1
(um) palito inteiro, 1(um) palito na metade e um peda<;ode um ter<;odo palito que
quebramos em tres peda90s. Formaremos um autro triangulo cam um pal ito inteiro
que mede Gcm de comprimento, um pedal'o de um ter<;o, que mede 2cm de
comprimenta e uma meta de, que tern 3cm de comprimento.
6cm
3cm
2cm
CONCLusAo: Neste passo, ja visto anteriormente, torna-se claro que nem sempre
e passlvel formar um triangulo com Ires palitos quaisquer.
EXPLICA<;:AO:Como ja explicado no passo 4 acima, existe uma relal'ao entre as
medidas dos lados de qualquer tri'mgulo. Para se obter um triimgulo, cada lado tem
de ser menor do que a soma dos oulros dois lados, logo, passa a ser impossivel
calcular seu perimelro, pois temos ai uma desigualdade triangular:
ATIVIDADE 6
Vimos que TRIANGULO e uma figura geometrica plana que possui 3 (tres)
lados. E tambem que e possivel fazer varios tipos de triElngulos, inclusive sua
condfyao de exfstenda. Nesta atividade fremos aprender que cada tritmgulo das
atividades anteriores (ATIVIDADES 4 e 5) possui um nome diferente. Iremos
37
identificar as triangulos em rela~o ao seu tamanho de seus lados.
Passo 1: No passe 1 quando usa mas tres palitos para formar urn triimgulo, usamos
palitos com as masmas medidas de comprimento. Para esse modelo de triangulo ha
urna nomenclatura, au seja, ale tern urn nome especifico: TRIANGULO
EQUILATERO.
CONCLusAo: Se eada palito de 16sloro mede 6 em. todos tem 0 mesmo lamanho.
Entiio TRIANGULO EQUILATERO e 0 triimgulo que possui os tres lados de mesmo
comprimento.
Passa 2: Ao construirmos a trifmgulo do paSSD 2, Quebra·se urn dos palitos ao meio,
implica-se que seus lados ja nao sao mais iguais, melhor dizendo, um deles e
diferente, e menor.
~
3cm
6cm
Da-se a esse triangulo que possui um unico lado dilerente, 0 nome de TRIANGULO
ISOSCELES.
Por fim, pode-se tambern construir urn triangulo cujos lados nao possuem
rnedidas iguais. Neste casa usa-sa a condiyao de existencia de tri~lngulo, que, para
se obter um triangulo €I necessario que cada lade seja menor que a soma dos outros
dois lados. Para nao ocorrer a desigualdade triangular iremos criar urn novo
triangulo. Observe:
5cm
30m ~5cm
2cm 20'11
Neste caso, 0 Triangulo cujos lados s~o todos de medidas diferentes recebe
o nome TRIANGULO ESCALENO.
CONCLusAo: Conclui-se que para cada figura triangular existe uma denomina98o.
E importante notar, porem, que nao esta definida uma sequencia nos itens
abordados.
Tudo isto ate aqui explicado colabora com 0 que disse Piaget na obra escrita
por FLAVELL (1996), que denominou de opera90es formais as opera90es mentais
dos adolescentes e adultos para 0 raciocinio hipotetico-dedutivo, que se refere 80
raciocinio baseado em hip6teses, levando as certas deduyees l6gicas.
4.3 DESAFIOS
Em diversas obras escritas par autores que falam de Jean Piaget, e no livro
de PULASKI, encontra-se que ao inieiar seus experimentos Piaget faz testes com as
erianryas em forma de desafio, pois acredita que, Ma erianrya na medida em que
eresee e S8 da sua maturaryao, sua mente se torna cada vez mais alerta e ativa"
(pULASKI, 1986, p.25).
)y
De acordo com a teoria piagetiana, a seguir e apresentacto alguns recursos
que podem ser trabalhados palo professor nas suas aulas em forma de desafios.
DESAFIO 1:
PASSO 1 :Utilizando palitos, construa uma figura semelhante a indicada abaixo.
/\L\1\/VV\
PASSO 2: Observe que na figura existem 9 lri,mgulos de mesmo tamanho. Resolva
a seguinte atividade: Retire urn tri,mgulo, isto e, apenas 3 (tres) palitos para formar 6
triangulos.
/\/VV\
OBSERVA<;AO: Com criatividade, e possivel que as crianyas obtenham outras
respostas.
EXPLlCA<;Ao: Para Jean Piaget no livro"A Psicclogia do Desenvolvimento de Jean
Piager de FLAVELL (1996), a crianya pequena ainda nao e capaz de pensar no
todo e em suas partes ao masma tempo. Ap6s este esta.gio da-se a descoberta
intuitiva, utilizando-se do ensaio e erro, para ap6s chegarem a eoordenaC;:8o
operacienal entre as partes e e tode em seu pensamento. Assim, iniclam e
desenvolvimento da capacidade de agrupar por seriac;:ttO, coordenarem as relac;:oes
e adquirirem a capacidade de seriar ou dispor em uma serie l6gica.
DESAFIO 2:
o desafio a seguir recebe 0 nome de ~uma embalagern diferente" Faz parte
de nos so eotidiano querer agradar alguem, sempre que isso aconteee, 0 mats pratieo
e Ihes dar urn presente e, queremos que este impressione a pessoa ja pela
embalagem, esta normalmente e de forma retangular ou quadrada.
Vamos agora eriar uma embalagem para presente pratica e diferente, ou
seja, sair do tradieional. Para isso, precisaremos de tesoura, regua, uma folha de
papel sulfite, cartolina, cola, lapis de escrever e lapis de cor. Na obra eserita por
FLAVELL, Piaget dizia que:
A educac:io tradicional sempre tratou a criCln~ como urn adullo, um ser queraciocina e pensa como n6s, mas desprovido simplesmente deconhecimentos e de experiOncias. (FLAVELL, 1996, p.92).
PASSO 1: Com regua e lapis de escrever, desenhar na folha de sulfite triangulos
iguais a estes.
__________0 _
.,PASSO 2: Cole a folha de sulfite na cartolina e reeorte onde estao os pontilhados .
.........0//
PASSO 3: Depois que a cola secar, a erian98 pode pintar os triiingulos, isto e, as
faces da piramide.
PASSO 4: Dobre e cole as abas, (mas nao a lingOeta retangular), para ter a
piramide.
PASSO 5: A lingO eta nao deve ser colada. Ela sera encaixada no corte que foi feito
antes, para que a caixa possa ser aberta e fechada quando quiser.
CONCLUSAo: Se cada triangulo construido no pas so 1, e um lado da caixa, a caixa
construida com lad as triangulares reeebe a nome de piramide, isto e, uma figura
espacial. Logo, conclui~se que para construyao de figuras espaciais e indispensavel
a presenya de figuras planas.
EXPLICACAo: A Matematica esta presente em varias situa<;6es do nosso dia-a-dia.
Mesmo quando nao nos damos conta, somos levados a realizar contagens, fazer
medi<;:oes e efetuar calculos. De acordo com os RCNs,
A abordilgem da Malematic.1 na educav<'!o infanlil tem como finalidadeproporcionar oportunidades para que as crian(f8s desenvolvam capacidadede eslabelecer aproximaCl3es it algumas notyOes malemalicas presenles noseu cotidiano. (RCNs, 1998, p.218).
'3
5 CONSIDERAC;OES FINAlS
o presente trabalho apresentou um estudo sobre varias propriedades e
conceitos a respeito de triangulos. Os topicos abordados fcram desenvolvidos a
partir de atividades com material concreto, que permitem visualizar conc!usOes, que
foram validadas mediante justificativas te6ricas. Foi incluida tambem a deduc;ao da
formula para calculo de medidas importantes de urn triangulo, como a medida do
peri metro em func;ao dos seus ladas.
Os temas fcram introduzidos a partir de material concreto, urn recurso nao
comum a metodologia tradicional. As atividades com esse material podem
aperfei90ar 0 aprendizado atraves da construc;ao, percepc;ao e compreensao dos
conceitos, ao mesmo tempo em que estimulam 0 pensamento e 0 raciodnio. 0
objetivo eo estimular 0 estudante na passagem de urn estado de comprovac;ao direta
para urn estado de busca e descoberta ajudando a minimizar as dificuldades da
aprendizagem de alguns conceitos basicos e algumas propriedades de triimgulos.
Este estudo pretendeu estimular 0 professor de series iniciais,
principal mente de 4- serie do Ensino Fundamental, a utilizar com mais frequencia 0
material concreto, porem e preciso enfatizar que: a) nao se sugere que se estude
qualquer t6pico exclusivamente pel a via do manuseio de material; b) as atividades
manuais podem ser uteis para entender os enunciados, mas nem sempre servem
para provar as afirmayaes neles contidas; c) nem tudo que se pensa estar
enxergando em determinadas figuras construidas e matematicamente verdadeiro; d)
as atividades manuais que permitem chegar a alguma conclusao pel a simples
observa~o devem ser acompanhadas das explicayOes te6ricas que justifiquem tal
conclusao, sempre que a nrvel de dificuldade seja compatrvel com 0 nival de
trabalhoque esteja sendo desenvolvido.
Durante esta pesquisa, a autora trocau experiencia com varios professores,
colegas de trabalho e amigos que atuam com educaC;8Io sobre 0 presente estudo.
Pode-se afrrmar que a reflex~o sabre as transforma<;Oesepistemologicas que
decidiu trabalhar foi uma con stante que permeou as conversas tornando-se uma
convicyao.
Como 0 objetivo deste trabalho era apresentar uma contribui9ao para 0
professor de series iniciais do Ensino Fundamental, fica claro que ele foi atingido,
pois foram apresentadas sugestoes de atividades com explica90es tanto sobre 0 seu
conteudo, quanto ao fundamento pedagogico de cada atividade.
Porem, e sabido que este trabalho s6 se tornara uma pratica se 0 professor
passar a utilizar as sugestoes oferecidas em suas aulas. Os educadores precisam
conscientizar-se de que deve sempre estar procurando aperfei9Qar a sua docencia,
aprofundando 0 conhecimento.
Enfim, a utilizac;ao de atividades com material alternativo como introdur;;ao ao
estudo de algumas propriedades do triangulo podem ser um caminho para a
aprendiz compreender, assimilar e memorizar conteudos, fazendo com que ele fique
atrafdo pelas suas "descobertas" e deixe de dizer a famosa frasa: "Odeio
Matematica'-
REFERENCIAS:
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