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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

CURSO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

MÁRCIA YARA DE OLIVEIRA SILVA

GEOMETRIA APLICADA À CONSTRUÇÃO DE ESTRADAS: ANÁLISE DO

PROJETO EXECUTIVO DE ENGENHARIA PARA PAVIMENTAÇÃO E

MELHORIA DO TRAÇADO DA BR-110/RN

MOSSORÓ-RN

2013





Monografia apresentada à Universidade

Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA,

campus Mossoró para obtenção do título de

Bacharel em Ciência e Tecnologia.

Orientadora: Prof.ª M.Sc. Valdenize Lopes do

Nascimento

MOSSORÓ-RN

2013

Ficha catalográfica preparada pelo setor de classificação e

catalogação da Biblioteca “Orlando Teixeira” da UFERSA

S581g Silva, Márcia Yara de Oliveira.

Geometria aplicada à construção de estradas: análise do

projeto excutivo de engenharia para pavimentação e melhoria

do traçado da BR-110/RN. / Márcia Yara de Oliveira Silva --

Mossoró, RN: 2013.

101f.: il.

Monografia (Graduação em Ciências e tecnologia) –

Universidade Federal Rural do Semi-Árido. Pró-Reitoria de

Graduação.

Orientador: Profº. M.Sc. Valdenize Lopes do Nascimento

1.Projeto. 2.Estrada. 3.Geometria. I.Título.

CDD:625.7 Bibliotecária: Marilene Santos de Araújo

CRB-5/1033





Monografia apresentada à Universidade

Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA,

campus Mossoró para obtenção do título de

Bacharel em Ciência e Tecnologia.

APROVADA EM: 12/04/2012

BANCA EXAMINADORA

À minha família, em especial minha filha

Maíne e meu esposo Rostand, pela paciência e

apoio para que eu pudesse realizar este

trabalho.

À minha orientadora Valdenize, por receber de

braços abertos a proposta da monografia e pelo

auxílio tão primoroso e rigoroso.

A todos os professores que fizeram parte da

minha jornada no Bacharelado em Ciência e

Tecnologia, pois a contribuição de cada um fez

muita diferença e resultou neste belo trabalho.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por me propiciar saúde, vontade de aprender e intelecto para que eu pudesse

concluir mais uma fase da minha vida.

À minha filha Maíne, que apesar de pequena possui uma capacidade enorme de compreensão

e desenvolvimento, por entender que mesmo eu estando concentrada nas atividades da

universidade, sabia que meu pensamento era todo dela. Ao meu amigo e companheiro

Rostand, por me incentivar e acreditar que eu conseguiria vencer mais esta batalha.

À minha mãe Mariza e minha sogra Neci, por cuidarem da minha filha para que eu pudesse

concretizar minhas tarefas.

À minha orientadora Valdenize, por ser muito alto astral, principalmente quando o problema

da geometria se mostrava complicado, por todo o auxílio e incentivo.

Agradeço aos professores Joseane e Thikão, membros da minha banca examinadora, por

aceitar fazer parte deste momento tão importante.

À Thikão, que além de fazer parte da minha banca examinadora, me auxiliou com muito

material, e por ser meu professor amigão de Topografia e Cartografia Ambiental.

Agradeço sinceramente a todo o corpo docente que fez parte da minha formação, pela

dedicação, compreensão e ensinamentos, em particular os ensinamentos para a vida.

Agradeço à família Lino Construções Ltda., pela permanência na empresa durante o curso e

pela minha função de supervisora, que me instigou a conhecer mais sobre projetos de

terraplenagem, problemas de topografia e de laboratório, sendo um ponto crucial para a

escolha do assunto a ser pesquisado.

Aos engenheiros Nilton, Gustavo e Antoniel Feitosa do Departamento Nacional de Infra-

estrutura de Transportes – DNIT, por proporcionar meus estudos em estrada através do

projeto executivo de engenharia para pavimentação e melhoria do traçado da BR-110/RN, e

todo o auxílio necessário, além de toda a educação e respeito pelo meu trabalho.

“Não existem métodos fáceis para resolver

problemas difíceis.”

René Descartes

RESUMO

A identificação da geometria e do seu papel principal no desenvolvimento do projeto

de uma rodovia foi o objetivo da análise do Projeto Executivo de Engenharia para

Pavimentação e Melhoria do Traçado da BR-110/RN. O trabalho foi desenvolvido em três

etapas: a primeira consistiu no estudo do Projeto Executivo de Engenharia para Pavimentação

e Melhoria do Traçado da BR-110/RN, onde se escolheu alguns elementos básicos e

facilmente identificáveis da rodovia. Posteriormente, cada elemento foi fundamentado com

bases nas normas do Departamento Nacional de Estradas de Rodagem – DNIT e literatura

especializada e por último, demonstrou-se estes elementos geometricamente. Para obter uma

boa rodovia, após todos os estudos técnicos preliminares que são determinantes para suas

características, o mais importante é que o engenheiro projetista seja embasado de

conhecimentos geométricos e matemáticos elementares, que muitas vezes são “esquecidos” ao

longo dos estudos da engenharia em detrimento aos conhecimentos do Cálculo Diferencial e

Integral, complementares se comparados à função da Geometria.

Palavras-Chave: Projeto. Estrada. Geometria.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES - FIGURAS

Figura 1 – Representação gráfica de ponto, reta e plano ....................................................... 17

Figura 2 – Segmento de reta 𝐴𝐵 ........................................................................................... 18

Figura 3 – Representação de ponto médio ............................................................................ 20

Figura 4 – Transporte de segmento ....................................................................................... 20

Figura 5 – Comparação de segmentos .................................................................................. 20

Figura 6 – Adição de segmentos ........................................................................................... 21

Figura 7 – Elementos de um ângulo ..................................................................................... 21

Figura 8 – Ângulos suplementares........................................................................................ 22

Figura 9 – Ângulos opostos pelo vértice ............................................................................... 23

Figura 10 – Adição de ângulos ............................................................................................. 23

Figura 11 – Bissetriz de um ângulo ...................................................................................... 24

Figura 12 - Ângulo reto ........................................................................................................ 24

Figura 13 – Ângulo agudo .................................................................................................... 24

Figura 14 – Ângulo obtuso ................................................................................................... 25

Figura 15 – Semelhança de triângulos .................................................................................. 25

Figura 16 - Semelhança de triângulo .................................................................................... 26

Figura 17 – Triângulos retângulos ........................................................................................ 26

Figura 18 – Elementos de uma circunferência ...................................................................... 27

Figura 19 – Corda, diâmetro e raio ....................................................................................... 27

Figura 20 – Raio perpendicular a uma corda ........................................................................ 28

Figura 21 - Reta tangente a uma circunferência .................................................................... 28

Figura 22 – Ângulo central ................................................................................................... 29

Figura 23 – Comprimento de arco ........................................................................................ 29

Figura 24 – Paralelogramo ................................................................................................... 30

Figura 25 – Triângulo .......................................................................................................... 30

Figura 26 – Trapézio ............................................................................................................ 31

Figura 27 – Círculo Trigonométrico ..................................................................................... 32

Figura 28 – Cincunferência trigonométrica e eixo da tangente .............................................. 32

Figura 29 – Estacas completas e intermediárias em planta .................................................... 39

Figura 30 – Representação do projeto em perfil .................................................................... 41

Figura 31 – Seção transversal de uma estrada ....................................................................... 42

Figura 32 – Elementos geométricos de uma estrada .............................................................. 42

Figura 33 – Escala gráfica .................................................................................................... 44

Figura 34 – Exemplo 1 do projeto com indicação da estaca 35 ............................................. 44

Figura 35 – Exemplo do projeto 2 (distância entre a estaca 11 e a estaca 25) ........................ 45

Figura 36 – Legenda ............................................................................................................ 45

Figura 37 – Orientação ......................................................................................................... 46

Figura 38 – Coodernadas UTM ............................................................................................ 47

Figura 39 – Quadro dos RN ................................................................................................. 47

Figura 40 - Numeração da folha ........................................................................................... 48

Figura 41 – Seção transversal tipo de terraplenagem ............................................................ 54

Figura 42 – Seção transversal tipo de pavimentação para seção em tangente ........................ 55

Figura 43 – Seção transversal tipo de pavimentação para seção em curva ............................. 55

Figura 44 – Rodovias radiais ................................................................................................ 57

Figura 45 – Rodovias longitudinais ...................................................................................... 57

Figura 46 – Rodovias transversais ........................................................................................ 58

Figura 47 – Rodovias diagonais ........................................................................................... 58

Figura 48 – Curva circular horizontal ................................................................................... 63

Figura 49 – Grau de curva .................................................................................................... 64

Figura 50 – Triângulo retângulo 𝑂𝐴𝐵 .................................................................................. 66

Figura 51 – Deflexão............................................................................................................ 68

Figura 52- Curva horizontal simples n° 8 ............................................................................. 70

Figura 53 – Curva vertical parabólica de 2° grau .................................................................. 71

Figura 54 – Talude de corte .................................................................................................. 78

Figura 55 – Triângulo retângulo de representação do talude de corte .................................... 79

Figura 56 – Talude de aterro ................................................................................................ 79

Figura 57 – Triângulo retângulo de representação do talude de aterro ................................... 80

Figura 58 – Triângulo retângulo do acostamento em tangente .............................................. 81

Figura 59 – Triângulo retângulo da semipista em tangente ................................................... 82

Figura 60 – Prismoide triangular .......................................................................................... 84

Figura 61 – Relação para encontrar 𝑏𝑥 ................................................................................. 85

Figura 62 – Relação para encontrar hx. ................................................................................ 86

Figura 63 - Interseção da estaca 0 com a rodovia BR-304..................................................... 91

Figura 64 – Interseção da estaca 1836+10,20 para a RN-405 ................................................ 92

Figura 65 – Interseção da estaca 3782 com o acesso para Campo Grande ............................. 93

Figura 66 - Interseção da estaca 3899 + 17,49 com a rodovia RN-233 (Areia Branca) .......... 94

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Fatores de veículos ............................................................................................. 49

Quadro 2 - Tráfego médio diário .......................................................................................... 50

Quadro 3 - Tráfego médio diário (anual) .............................................................................. 50

Quadro 4 - Volume médio diário (VMD) ............................................................................. 50

Quadro 5 - Projeções de tráfego ........................................................................................... 51

Quadro 6 - Elementos de curvas implantadas no trecho ........................................................ 53

Quadro 7 - Características técnicas e operacionais do traçado em planta e perfil ................... 60

Quadro 8 - Larguras das faixas de rolamento em tangentes (m) ............................................ 76

Quadro 9 - Recomendação usual de declividade ................................................................... 76

Quadro 10 - Larguras dos acostamentos externos (m) ........................................................... 77

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Composição da frota .......................................................................................... 51

Gráfico 2 – Representação das cotas e estacas da curva vertical parabólica de 2° grau .......... 71

Gráfico 3 - Representação das distâncias horizontais e verticais da curva vertical parabólica de

2° grau ................................................................................................................................. 72

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas

AASHTO – American Association of State Highway and Transportation Officials

DERs – Departamento de Estradas de Rodagem

DNER – Departamento Nacional de Estradas de Rodagem

DNIT – Departamento Nacional de Infraestrutura e Transportes

IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

IPR – Instituto de Pesquisas Rodoviárias

gms – grau, minuto, segundo

LC – comprimento da transição na curva composta

m – unidade de medida linear, metro.

SUDENE – Superintendência do Desenvolvimento do Nordeste

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 15

2 REFERENCIAL TEÓRICO .......................................................................................... 17

2.1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES GEOMÉTRICAS .......................................................... 17

2.2. NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA ................................................................................ 31

2.3. NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ............................................ 33

2.4. DESCRIÇÃO BÁSICA DO PROJETO DE ENGENHARIA PARA PAVIMENTAÇÃO E

MELHORIA DO TRAÇADO DA BR-110/RN ..................................................................... 34

2.4.1. Considerações sobre um projeto de engenharia e breve histórico da BR-110/RN

trecho Mossoró-Upanema .................................................................................................. 35

2.4.2. Definições técnicas básicas dos elementos de uma estrada ..................................... 38

2.4.3. Elementos topográficos e representações no projeto da BR-110/RN ..................... 43

2.3.4. Descrição das etapas de confecção do projeto da BR-110/RN ................................ 48

2.3.4.1. Estudo de tráfego, capacidade e segurança .......................................................... 49

2.3.4.2. Estudo Topográfico ............................................................................................... 51

2.3.4.3. Projeto geométrico................................................................................................. 53

2.3.4.4. Estudo de terraplenagem ...................................................................................... 56

2.3.4.5. Classificação, características técnicas e operacionais do trecho .......................... 56

3. METODOLOGIA .......................................................................................................... 61

4. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DO PROJETO DE ENGENHARIA PARA

PAVIMENTAÇÃO E MELHORIA DO TRAÇADO DA BR-110/RN ............................ 62

4.1. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS AXIAIS ..................................................................... 62

4.1.1. Geometria na curva circular horizontal simples ..................................................... 62

4.1.2. Geometria da curva vertical parabólica .................................................................. 70

4.2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS TRANSVERSAIS ..................................................... 75

4.2.1. Ângulos dos taludes de corte e de aterro ................................................................. 78

4.2.2. Acostamento ............................................................................................................. 80

4.2.3. Semipista ................................................................................................................... 82

4.2.4. Considerações sobre os valores encontrados do acostamento e da semipista ........ 83

4.2.5. Cálculo de áreas........................................................................................................ 83

4.2.6. Cálculo de volumes ................................................................................................... 84

4.3. INTERSEÇÕES, ACESSO E TRAVESSIA URBANA.................................................. 89

4.3.1. As figuras geométricas das interseções do projeto .................................................. 90

4.3.2. Interseção da estaca 0 com a rodovia BR-304 (contorno de Mossoró) ................... 90

4.3.3. Interseção da estaca 1836 + 10,20 para a RN-405 ................................................... 91

4.3.4. Interseção da estaca 3782 com o acesso para Campo Grande ................................ 92

4.3.5. Interseção da estaca 3899 + 17,49 com a rodovia RN-233 (Areia Branca) ............ 93

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 95

REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 96

GLOSSÁRIO ....................................................................................................................... 99

ANEXOS .................................................................................................................. 101

15

1. INTRODUÇÃO

A geometria está associada na Engenharia Civil em projetos arquitetônicos de

residências térreas, edifícios ou piscinas, entretanto, esta agregação não é visualizada tão

facilmente nas estradas. Apesar de locomovermo-nos por elas, não imaginamos como a

Geometria é predominante na sua constituição, mesmo sem podermos identificar prontamente

os elementos geométricos.

Uma estrada é composta basicamente por segmentos de retas, arcos e ângulos, ou

seja, conceitos elementares da Geometria.

Desde a antiguidade, procura-se solucionar problemas práticos, partindo de técnicas

empíricas, que acabam resultando em conhecimentos matemáticos que se repetem e passam a

ser escritos de forma a descrever cada fenômeno.

A matemática dedutiva atual foi originada com Tales de Mileto no século VI a.C.,

quando ele ordena logicamente a geometria grega até que ela assuma o aspecto de

proposições. As proposições eram demonstradas partindo de proposições precedentes e assim

sucessivamente, entretanto, os gregos perceberam que algumas proposições eram tão simples

que não necessitam de demonstrações por serem facilmente entendidas e estas foram

chamadas de postulados. Antes disso a matemática era baseada nos princípios babilônicos e

egípcios que não possuíam proposições logicamente ordenadas (ÁVILA, 2007, p. 56).

É importante saber que Os Elementos é o primeiro documento que retrata os fatos de

forma encadeada, sendo a corporificação do método axiomático de organização da

Matemática.

Os Elementos ou Elementos de Euclides, cujo autor ou responsável por unir os

conhecimentos da época é Euclides de Alexandria (que viveu por volta de 300 a.C.), não é

uma obra puramente de Geometria, há nela Aritmética e Álgebra, demonstradas pelo rigor da

Geometria.

Partindo destes princípios, vê-se que os conhecimentos vão sendo aprimorados

principalmente no que diz respeito a sua formatação de escrita e simplificação.

Como já citado, um projeto de estrada é uma aplicação prática dos conceitos de

segmentos de retas, arcos e ângulos, diferenciando-se da Geometria pelo modo como são

descritos os elementos. Entretanto, ao se realizada uma análise direcionada é possível

verificar que uma estaca numerada é a identificação do segmento de reta real por um

algarismo arábico maiúsculo, que a distância entre as estacas é a distância entre dois pontos

16

ou o comprimento de um segmento de reta; que o ângulo formado pelo cruzamento de dois

segmentos de reta é determinante para a segurança e pela sensação de conforto durante uma

viagem.

A análise geométrica de um projeto real de uma estrada é importante para mostrar a

relevância dos conhecimentos básicos que são determinantes na qualidade e orientadores no

desenvolvimento da engenharia, e como estes saberes se refletem em soluções satisfatórias

dos problemas, desde a antiguidade até a atualidade.

Os objetivos da pesquisa são: mostrar a importância do estudo da geometria como

ferramenta fundamental para a construção de estradas, nas etapas de projetos, execução e

implantação; conhecer e conceituar as principais variáveis para execução do projeto executivo

de uma estrada, relacionando a geometria generalista aos elementos do projeto executivo de

uma estrada e identificar os elementos topográficos essenciais para a construção de uma

estrada, principalmente no que diz respeito à execução do projeto, utilizando o projeto

executivo de engenharia para pavimentação e melhoria do traçado da BR-110/RN.

17

2. REFERENCIAL TEÓRICO

O referencial teórico objetiva revisar alguns conceitos em Geometria euclidiana,

Trigonometria e Cálculo Diferencial e Integral e descrever o projeto executivo de engenharia

para pavimentação e melhoria do traçado da BR-110/RN, partindo dos conceitos gerais até

suas especificidades.

2.1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES GEOMÉTRICAS

Ponto, reta e plano são noções primitivas adotadas sem definição.

A notação para ponto são letras maiúsculas latinas (A, B, C,...); reta, letras

minúsculas latinas (a, b, c,...) e plano , letras gregas minusculas (α, β , γ,...). Graficamente

são representados conforme Figura 1:

Figura 1 – Representação gráfica de ponto, reta e plano

Fonte: Dolce e Pompeo (1993)

Pontos e retas do plano satisfazem a cinco grupos de axiomas: incidência (axiomas 1

e 2), ordem (axiomas 3, 4 e 5), medição de segmentos (axiomas 6, 7 e 8), medição de ângulos

(axiomas 9, 10 e 11) e congruência (axioma 12).

Axioma 1: Qualquer que seja a reta existe pontos que pertencem e pontos que não pertecem à

reta.

Axioma 2: Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém.

18

Proposição 1: Duas retas distintas ou não se interceptam ou se interceptam em um único

ponto.

Axioma 3: Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles localiza-se entre os

outros dois.

Axioma 4: Dados dois pontos distintos A e B sempre existem um ponto C entre A e B e um

ponto D tal que B está entre A e D.

Axioma 5: Uma reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja interseção é a

reta m.

Definição 1: O conjunto constituído por dois pontos A e B e por todos os pontos que se

encontram entre A e B é chamado segmento de reta 𝑨𝑩 . Os pontos A e B são denominados

extremos ou extremidades do segmento. (Figura 2)

Figura 2 – Segmento de reta 𝑨𝑩

Fonte: o autor

Definição 2: Se A e B são pontos distintos, o conjunto constituído pelos pontos do segmento

AB e por todos os pontos C tais que B encontra-se entre A e C, é chamado de semirreta de

origem A contendo o ponto B, e é representado por SAB. O ponto A é então denominado de

origem da semirreta SAB.

Definição 3: Dois segmentos são consecutivos se, e somente se, o final de um segmento é o

ponto de início do outro, ou seja, a extremidade de um coincide com a extremidade do outro.

Definição 4: Segmentos são colineares se, e somente se, estão numa mesma reta.

Definição 5: Dois segmentos consecutivos e não colineares são adjacentes se, e somente,

possuem apenas um ponto em comum.

19

Definição 6: Sejam m uma reta e A um ponto que não pertence a m. O conjunto constituído

pelos pontos de m e por todos os pontos B tais que A e B estão em um mesmo lado da reta m é

chamado de semi-plano determinado por m contendo A, e será representado por PmA.

Axioma 6: A todo par de pontos do plano corresponde um número maior ou igual a zero. Este

número é zero se, e somente se, os pontos são coincidentes.1

Axioma 7: Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em correspondência

biunívoca com os números reais, de modo que a diferença entre estes números meça a

distância entre dois pontos correspondentes.

Definição 7: Dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são congruentes quando 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 .

Definição 8 (Distância métrica): Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida

(em número, unidade de comprimento: cm, m, km, etc) do segmento 𝐴𝐵 .

Definição 9 (Distância geométrica): Sejam A e B dois pontos distintos, a distância entre A e

B d(A, B) é o próprio segmento 𝐴𝐵 ou qualquer segmento congruente a 𝐴𝐵 .

Axioma 8: Se o ponto C encontra-se entre A e B então 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 .

Definição 10: Chama-se de ponto médio do segmento 𝐴𝐵 a um ponto M deste segmento tal

que 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 . (Figura 3)

O ponto M só é ponto médio do segmento 𝐴𝐵 se ele estiver entre as extremidades A

e B e satisfazer as seguintes condições:

i. 𝐴𝑀 ≡ 𝑀𝐵 ;

ii. M ∈ 𝐴𝐵 .

1 Este axioma se refere a distância entre os pontos ou o comprimento do segmento determinado pelos dois

pontos.

20

Figura 3 – Representação de ponto médio


Postulado 1 (Transporte de segmentos): Dados um segmento 𝐴𝐵 e uma semirreta de

origem A’, existe sobre esta semirreta um único ponto B’ tal que 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴𝐵 . (Figura 4)

Figura 4 – Transporte de segmento


Proposição 2 (Comparação de segmentos): Se 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são segmentos de retas quaisquer,

então ocorre exatamente uma das seguintes afirmações:

i. 𝐴𝐵 > 𝐶𝐷

ii. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷

iii. 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷 .

Demonstração:

Pelo postulado do transporte de segmentos, numa semirreta de origem A, existe um ponto P

tal que 𝐴𝑃 ≡ 𝐶𝐷 (Figura 5):

Figura 5 – Comparação de segmentos


21

Pela análise da Figura 5 é possível concluir:

𝐴𝐵 > 𝐴𝑃 ⇒ 𝐴𝐵 > 𝐶𝐷

𝐴𝐵 = 𝐴𝑃 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷

𝐴𝐵 < 𝐴𝑃 ⇒ 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷

∎

Proposição 3 (Adição de segmentos): Sejam 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 segmentos quaisquer. Dados os

segmentos adjacentes 𝑅𝑃 e 𝑃𝑇 tomados numa semirreta qualquer de origem R, e 𝐴𝐵 ≡ 𝑅𝑃 e

𝐶𝐷 ≡ 𝑃𝑇 , então, 𝑅𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 ou 𝑅𝑇 = 𝑅𝑃 + 𝑃𝑇 . (Figura 6)

Figura 6 – Adição de segmentos


Caso o segmento congruente 𝐴𝐵 se repita, o segmento 𝑅𝑇 será igual a n segmentos

congruentes.

Definição 11: Ângulo é a figura formada por duas semirretas com a mesma origem. (Figura

7)

Figura 7 – Elementos de um ângulo

Fonte: www.somatematica.com.br

22

Na Figura 7, 𝑂 é o vértice do ângulo (origem comum das semirretas) e as semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵

são os lados do ângulo. Neste caso, o ângulo pode ser representado por 𝐴𝑂 𝐵, 𝐵𝑂 𝐴, ou

simplesmente, 𝑂 , quando conveniente.

Axioma 9: Todo ângulo tem uma medida maior ou igual à zero. A medida de um ângulo é

zero se, e somente se, ele é constituído por duas semirretas coincidentes.

Axioma 10: É possível colocar, em correspondência biunívoca, os números reais entre zero e

180 e as semirretas da mesma origem que dividem um dado semiplano, de modo que a

diferença entre estes números seja a medida do ângulo formado pelas semirretas

correspondentes.

Axioma 11: Se uma semirreta SOC divide um ângulo 𝐴𝑂 𝐵, então

𝐴𝑂 𝐵 = 𝐴𝑂 𝐶 + 𝐶𝑂 𝐵.

Definição 12: Sejam SOA, SOB e SOC semirretas de mesma origem. Se o segmento AB

interceptar SOC diremos que SOC divide o ângulo 𝐴𝑂 𝐵.

Definição 13: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma de suas medidas é 180°. O

suplemento de um ângulo é o ângulo adjacente ao ângulo dado obtido pelo prolongamento de

um de seus lados. (Figura 8)

Figura 8 – Ângulos suplementares


Definição 14: Dois ângulos são consecutivos quando têm um lado em comum.

23

Definição 15: Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) quando os lados de um deles são

as respectivas semirretas opostas aos lados do outro. Em outras palavras, quando duas retas

distintas 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷 se interceptam em um ponto 𝑂, elas formam quatro ângulos 𝐴𝑂 𝐷, 𝐷𝑂 𝐶,

𝐶𝑂 𝐵, 𝐵𝑂 𝐴. Os pares de ângulos 𝐴𝑂 𝐷 e 𝐶𝑂 𝐵 e, 𝐷𝑂 𝐶 e 𝐵𝑂 𝐴 são ditos opostos pelo vértice

𝑂. (Figura 9)

Figura 9 – Ângulos opostos pelo vértice


Proposição 4: Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

Teorema 1: Por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta.

Definição 16 (Adição de ângulos): Se 𝐴𝑂 𝐵 e 𝐵𝑂 𝐶 são ângulos consecutivos, definimos a

soma de 𝐴𝑂 𝐵 e 𝐵𝑂 𝐶 como sendo o ângulo 𝐴𝑂 𝐶 formado pelas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐶 . (Figura

10)

Figura 10 – Adição de ângulos


Definição 17: Dois ângulos são congruentes se eles têm a mesma medida.

24

Definição 18 (Bissetriz de um ângulo): É uma semirreta com origem no mesmo vértice do

ângulo que o divide em dois ângulos congruentes (Figura 11).

Figura 11 - Bissetriz de um ângulo


Definição 19 (Ângulo reto): É todo ângulo congruente a seu suplementar adjacente (Figura

12).

Figura 12 - Ângulo reto

Definição 20 (Ângulo agudo): É um ângulo menor do que um ângulo reto (Figura 13).

Figura 13 - Ângulo agudo

25

Definição 21 (Ângulo obtuso): É um ângulo maior do que um ângulo reto (Figura 13).

Figura 14 – Ângulo obtuso

Definição 22: Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer

uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que ângulos correspondentes

sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais. Isto é, se 𝐴𝐵𝐶 e 𝐸𝐹𝐺 são dois

triângulos semelhantes e se 𝐴 ⟷ 𝐸, 𝐵 ⟷ 𝐹 e 𝐶 ⟷ 𝐺 é a correspondência que estabelece a

semelhança, então valem simultaneamente as seguintes relações:

𝐴 = 𝐸 , 𝐵 = 𝐹 , 𝐶 = 𝐺 e 𝐴𝐵

𝐸𝐹 =

𝐵𝐶

𝐹𝐺 =

𝐶𝐴

𝐺𝐸

Figura 15 – Semelhança de triângulos

Teorema 2 (Teorema fundamental de semelhança de triângulos): Se uma reta é paralela a

um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o

triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. (Figura 16)

26

Figura 16 - Semelhança de triângulo

Definição 23: Um triângulo que possui um ângulo reto é chamado triângulo retângulo. O lado

oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa, e os outros dois lados são denominados catetos

(Figura 17).

Figura 17 – Triângulos retângulos


Definição 24 (Seno do ângulo em um triângulo retângulo): Seno do ângulo em um

triângulo retângulo é igual ao quociente entre o cateto oposto e a hipotenusa.

𝑠𝑒𝑛 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Definição 25 (Cosseno do ângulo em um triângulo retângulo): Cosseno do ângulo em um

triângulo retângulo é igual ao quociente do cateto adjacente e a hipotenusa.

𝑐𝑜𝑠 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Definição 26 (Tangente do ângulo em um triângulo retângulo): Tangente do ângulo em

um triângulo retângulo é o quociente entre o seno e o cosseno deste ângulo.

𝑡𝑔 =𝑠𝑒𝑛

𝑐𝑜𝑠

27

A tangente também pode ser definida pelo quociente entre o cateto oposto e o cateto

adjacente.

𝑡𝑔 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Teorema 3 (Teorema de Pitágoras): A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado

da hipotenusa, ou seja, 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 (Figura 17).

Definição 27: A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (n ≥ 3), Sn , é

dada por:

𝑆𝑛 = 𝑛 − 2 ∙ 180°

Definição 28: Chamamos de circunferência de centro 𝑂 e raio 𝑟 o conjunto dos pontos do

plano que estão a uma distância 𝑟 do ponto 𝑂. (Figura 18)

Figura 18 – Elementos de uma circunferência


Definição 29: Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à

circunferência. (Figura 19)

Definição 30: Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro. (Figura 19)

Figura 19 – Corda, diâmetro e raio

Fonte: Dolce e Pompeo (1997, p. 148)

28

Proposição 5: Um raio é perpendicular a uma corda (que não é um diâmetro) se e somente se

a divide em dois segmentos congruentes. (Figura 20)

Figura 20 - Raio perpendicular a uma corda

Definição 31: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a

circunferência num único ponto. O ponto comum com a circunferência é o ponto de

tangência.

Proposição 6: Uma reta 𝑟 é tangente a uma circunferência de centro 𝑂, em um ponto 𝑃 se, e

somente se, 𝑟 é perpendicular ao segmento 𝑂𝑃 . (Figura 21)

Figura 21 - Reta tangente a uma circunferência

Definição 32: Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no

centro da circunferência. (Figura 22).

29

Figura 22 – Ângulo central


Proposição 7: O comprimento do arco de circunferência (𝐿) que subentende um ângulo

central 𝛼 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 é dado por 𝐿 =𝜋𝑅𝛼

180. (Figura 23)

Figura 23 – Comprimento de arco

Demonstração: Sabemos que o comprimento de uma circunferência de raio 𝑅 é dado por

𝐶 = 2𝜋𝑅, e portanto, o comprimento 𝐿 de um arco de circunferência, que subentende um

ângulo central de 𝛼 graus pode ser obtido através de uma regra de três simples, onde L está

para 𝛼, assim como 2𝜋𝑅 está para 360°.

360° → 2𝜋𝑅

𝛼 → 𝐿

𝐿 =2𝜋𝑅𝛼°

360°⟹ 𝐿 =

𝜋𝑅𝛼

180

∎

30

Proposição 8: A área de um paralelogramo é o produto do comprimento de um de seus lados

pelo comprimento da altura relativa a este lado (Figura 24).

Figura 24 – Paralelogramo

Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 = Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐹𝐸 = 𝑏 × 𝑕

Proposição 9: A área de um triângulo é a metade da área do paralelogramo determinado por

dois de seus lados (Figura 25).

Figura 25 – Triângulo

Fonte: Barbosa (2004)

Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶 =1

2Á𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷)

Proposição 10: A área de um trapézio é metade do produto do comprimento de sua altura

pela soma dos comprimentos de suas bases (Figura 26).

31

Figura 26 – Trapézio

Fonte: Barbosa (2004)

Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 =1

2(𝐴𝐵 + 𝐷𝐶) ∙ 𝐶𝐸

2.2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS

Teorema 4: Existe um único par de funções sobrejetivas, definidas em ℝ e tomando valores

no intervalo −1, 1 , chamadas seno e cosseno, indicadas por 𝑠𝑒𝑛 e 𝑐𝑜𝑠, respectivamente, as

quais satisfazem as seguintes propriedades:

(1) 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

(2) 𝑐𝑜𝑠 0 = 1

(3) Quaisquer que sejam os reais 𝛼 e 𝛽

sen(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛼

(4) Quaisquer que sejam os reais 𝛼 e 𝛽

cos(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽

(5) Existe 𝑟 > 0 tal que

0 < 𝑠𝑒𝑛𝜃 < 𝜃 < 𝑡𝑔𝜃 𝑡𝑔𝜃 =𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

para0 < 𝜃 < 𝑟.

(6) cos2 𝜃 + sen2 𝜃 = 1, ∀ 𝜃 ∈ ℝ.

32

Podemos observar que para todo 𝜃, o ponto (𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜃) pertence à circunferência

𝑥2 + 𝑦2 = 1. (Figura 27).

Figura 27 – Círculo Trigonométrico

A partir das funções seno e cosseno podemos definir uma função chamada tangente,

indicada por tg e dada por 𝑡𝑔𝜃 =𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃, cujo domínio é o conjunto de todos os 𝜃 ∈ ℝ tais que

𝑐𝑜𝑠𝜃 ≠ 0.

Geometricamente, 𝑡𝑔 𝜃 é interpretada como a medida algébrica do segmento 𝐴𝑇,

onde 𝑇 é a interseção da reta contendo o segmento 𝑂𝑃 com a reta tangente ao círculo

trigonométrico no ponto 𝐴, conhecido como o eixo das tangentes. (Figura 28)

Figura 28 – Cincunferência trigonométrica e eixo da tangente

De fato, os triângulos 𝑂𝑀𝑃 e 𝑂𝐴𝑇 indicados na Figura 28 são semelhantes. Logo,

33

𝐴𝑇

𝑀𝑃=

𝑂𝐴

𝑂𝑀⟺

𝐴𝑇

𝑠𝑒𝑛𝜃=

1

𝑐𝑜𝑠𝜃⟺ 𝐴𝑇 =

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑡𝑔𝜃.

∎

Definição 33: Seja a equação 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑥. No intervalo −𝜋

2,𝜋

2 , a função 𝑠𝑒𝑛 𝑦 é estritamente

crescente e contínua. Assim, para cada 𝑥 ∈ −1,1 existe um único 𝑦 ∈ −𝜋

2,𝜋

2 tal que

𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑥. Pois bem, a função 𝑦 = 𝑦(𝑥) definida implicitamente por esta equação e a cada

𝑥 ∈ −1,1 associa 𝑦 ∈ −𝜋

2,𝜋

2 é denominda função arco-seno e é indicada por 𝑦 =

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥. Assim, para 𝑦 ∈ −𝜋

2,𝜋

2 , 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥.

Definição 34: Seja a equação 𝑡𝑔 𝑦 = 𝑥. No intervalo −𝜋

2,𝜋

2 , a função 𝑡𝑔 𝑦 é estritamente

crescente e contínua. Além disto, lim𝑦⟶

𝜋

2

− 𝑡𝑔 𝑦 = +∝ e lim𝑦⟶

𝜋

2

+ 𝑡𝑔 𝑦 = −∝. Segue que para

cada 𝑥 ∈ ℝ existe um único 𝑦 ∈ −𝜋

2,𝜋

2 tal que 𝑡𝑔 𝑦 = 𝑥. A função 𝑦 = 𝑦(𝑥) definida

implicitamente por esta equação e que a cada 𝑥 ∈ ℝ associa 𝑦 ∈ −𝜋

2,𝜋

2 é denominada

função arco-tangente e é indicada por 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥. Assim, para 𝑦 ∈ −𝜋

2,𝜋

2 ,

𝑡𝑔 𝑦 = 𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥.

2.3. NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Definição 35 (Derivada de uma função): Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio.

O limite

lim𝑥→𝑝

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑝)

𝑥 − 𝑝

quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por 𝑓′(𝑝). Assim

34

𝑓′ 𝑝 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑝

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑝)

𝑥 − 𝑝

Se f adimite derivada em p, então diremos que f é derivável ou difernciável em p.

Proposição 11: (Derivada de 𝒙𝒏): Seja 𝑛 ≠ 0 um natural. Então

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛

𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1

Definição 36 (Primitiva de uma função): Seja f uma função definida num intervalo I. Uma

primitiva de uma função de f em I é uma função F definida em I, tal que

𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥

Teorema 5 (1º Teorema Fundamental do Cálculo): Se f for integrável em [a,b] e se F for

uma primitiva de f em [a,b], então

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎

A diferença 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) será indicada por 𝐹(𝑥) 𝑎𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝑎𝑏

= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎

2.4. DESCRIÇÃO BÁSICA DO PROJETO DE ENGENHARIA PARA PAVIMENTAÇÃO

E MELHORIA DO TRAÇADO DA BR-110/RN

A descrição básica do projeto de engenharia para pavimentação e melhoria do

traçado da BR-110/RN está dividida em: considerações sobre um projeto de engenharia e

breve histórico da BR-110/RN, definições técnicas básicas dos elementos de uma estrada,

35

elementos topográficos, representações em planta e descrição das etapas de confecção do

projeto de engenharia para pavimentação e melhoria do traçado da BR-110/RN.

2.4.1. Considerações sobre um projeto de engenharia e breve histórico da BR-110/RN

trecho Mossoró-Upanema

A Lei 8.666 de 21.06.93 que regulamenta o art. 37, inciso XXI, da Constituição

Federal, instituem normas para licitações e contratos da Administração Pública e dá outras

providências, Seção II – Das definições:

Art. 6o Para os fins desta Lei, considera-se:

I - Obra - toda construção, reforma, fabricação, recuperação ou ampliação,

realizada por execução direta ou indireta; II - Serviço - toda atividade destinada a obter determinada utilidade de

interesse para a Administração, tais como: demolição, conserto, instalação,

montagem, operação, conservação, reparação, adaptação, manutenção,

transporte, locação de bens, publicidade, seguro ou trabalhos técnico-profissionais;

(...)

IX - Projeto Básico - conjunto de elementos necessários e suficientes, com nível de precisão adequado, para caracterizar a obra ou serviço, ou complexo

de obras ou serviços objeto da licitação, elaborado com base nas indicações

dos estudos técnicos preliminares, que assegurem a viabilidade técnica e o adequado tratamento do impacto ambiental do empreendimento, e que

possibilite a avaliação do custo da obra e a definição dos métodos e do prazo

de execução, devendo conter os seguintes elementos:

a) desenvolvimento da solução escolhida de forma a fornecer visão global da obra e identificar todos os seus elementos constitutivos com clareza;

b) soluções técnicas globais e localizadas, suficientemente detalhadas, de

forma a minimizar a necessidade de reformulação ou de variantes durante as fases de elaboração do projeto executivo e de realização das obras e

montagem;

c) identificação dos tipos de serviços a executar e de materiais e equipamentos a incorporar à obra, bem como suas especificações que

assegurem os melhores resultados para o empreendimento, sem frustrar o

caráter competitivo para a sua execução;

d) informações que possibilitem o estudo e a dedução de métodos construtivos, instalações provisórias e condições organizacionais para a obra,

sem frustrar o caráter competitivo para a sua execução;

e) subsídios para montagem do plano de licitação e gestão da obra, compreendendo a sua programação, a estratégia de suprimentos, as normas

de fiscalização e outros dados necessários em cada caso;

f) orçamento detalhado do custo global da obra, fundamentado em

quantitativos de serviços e fornecimentos propriamente avaliados;

36

X - Projeto Executivo - o conjunto dos elementos necessários e suficientes à

execução completa da obra, de acordo com as normas pertinentes da

Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT.

Na seção III – Das Obras e serviços:

Art. 7o As licitações para a execução de obras e para a prestação de serviços

obedecerão ao disposto neste artigo e, em particular, à seguinte seqüência:

I - projeto básico; II - projeto executivo;

III - execução das obras e serviços.

§ 1o A execução de cada etapa será obrigatoriamente precedida da conclusão

e aprovação, pela autoridade competente, dos trabalhos relativos às etapas

anteriores, à exceção do projeto executivo, o qual poderá ser desenvolvido

concomitantemente com a execução das obras e serviços, desde que também

autorizado pela Administração. § 2

o As obras e os serviços somente poderão ser licitados quando:

I - houver projeto básico aprovado pela autoridade competente e disponível

para exame dos interessados em participar do processo licitatório; II - existir orçamento detalhado em planilhas que expressem a composição

de todos os seus custos unitários;

O projeto executivo de engenharia para pavimentação e melhoria do traçado da BR-

110/RN cumpre as solicitações da lei citada anteriormente, que teve como objetivo o

atendimento das empresas interessadas na licitação das obras, por meio do conhecimento dos

aspectos mais relevantes dos serviços a realizar, visando à elaboração do plano de trabalho

para a execução e o cálculo dos preços unitários e orçamento.

A BR-110 no segmento Mossoró - Upanema tem registro nos anais do 14º DRF do

extinto DNER de que a inauguração da sua implantação data de 1957 (e constituía um trecho

rodoviário da antiga BR-9), onde recebera apenas um revestimento primário em sua

plataforma, sendo entregue ao uso nestas condições.

Por dez anos, ou seja, até 1967 esta rodovia no segmento compreendido desde Areia

Branca/RN até Patos/PB esteve delegada a Diretoria de Vias e Transportes do Ministério do

Exército. Naquele ano, já como BR-110, foi devolvida ao extinto DNER sem que nenhuma

benfeitoria houvesse sido executada no trecho do Rio Grande do Norte. No final da década de

70 e início de 80 o trecho de Areia Branca até Mossoró foi pavimentado e nada executado no

segmento restante.

O trecho em pauta, Mossoró, Upanema, Campo Grande recebeu, em alguns

momentos, apenas pequenas intervenções de benfeitorias, nenhuma de vulto que viesse a

melhorar as condições do pavimento. No ano de 1996 o 14º Distrito Rodoviário do extinto

DNER elaborou um projeto básico de engenharia para recuperação deste segmento com vista

37

a um melhor tratamento na plataforma, numa extensão de 75,8 km, projeto básico este

estimado em R$ 875 mil, que embora aprovado pela Diretoria de Engenharia Rodoviária, não

evoluiu por falta de recursos financeiros.

Este segmento tem seu início no km 51,3 localizado no entroncamento com a BR-

304/RN, interiorizando-se aproximadamente no sentido Norte-Sul. Os primeiros 48,9 km do

traçado (em leito natural) são absolutamente retilíneos, até a cidade de Upanema, atravessa o

perímetro urbano por uma extensão de 2,0 km e, volta a ter leito natural até o final do trecho,

na cidade de Campo Grande, cuja extensão é de 28,5 km.

Hoje, antes do início da obra, este segmento Mossoró - Campo Grande da BR-

110/RN, não difere muito daquele que foi inaugurada em 1957. Até o ano de 2002, passaram-

se 45 anos e nenhuma melhoria de consideração sofreu este trecho, a exceção fica por conta

da pavimentação de 11,3 km executado pelo Governo do Estado e a construção de desvio de

8,0 km, provocado pelo remanso da recente barragem construída de Umarí e este desvio

contando também com duas novas pontes em concreto.

Quanto ao estado de conservação é pode-se afirmar que não é mais visível

revestimento primário, face aos constantes patrolamentos (regularização simples com

motoniveladora), e que o leito por onde hoje se trafega, encontra-se abaixo do terreno natural.

No ano corrente, o trecho está sendo executado conforme projeto que contempla

atividades de terraplenagem, pavimentação, drenagem e obras de arte correntes, especiais e

complementares e sinalização horizontal e vertical.

A publicação IPR 739 – Diretrizes básicas para elaboração de estudos e projetos

rodoviários / instruções para acompanhamento e análise, estabelece que um projeto de

engenharia deva ser composto por quatro volumes básicos descritos da seguinte forma:

Volume 01 – Relatório de projeto e documentos de licitação;

Volume 02 – Projeto de execução;

Volume 03 – Memória justificativa;

Volume 04 – Orçamento e plano de execução.

Para o controle de qualidade o DNIT instituiu a partir do ano de 2000, procedimentos

baseados nas normas da ABNT em uso no Brasil resultando no atendimento e observações

para as obras rodoviárias:

DNIT 011/2004 – PRO – Gestão da Qualidade em Obras Rodoviárias.

DNIT 012/2004 – PRO – Requisitos para a Qualidade em Projetos

Rodoviários

38

DNIT 014/2004 – PRO – Requisitos para a Qualidade em Supervisão de

Obras Rodoviárias.

2.4.2. Definições técnicas básicas dos elementos de uma estrada

O traçado de uma rodovia é determinado pelas sua características topográficas,

respeitando as normatizações de acordo com o padrão da via e seus estudos operacionais. É

realizada uma representação gráfica da via no terreno, associando-a a sua topografia,

identificando as possíveis interrupções e problemas ocasionados pelo desenho natural do

terreno, observando também a geologia da região, fazendo assim uma relação de todos os

elementos naturais presentes que possam interferir no traçado da rodovia. De acordo com

Pontes Filho (1998, p. 12) os principais fatores que interferem no traçado de uma estrada são

a topografia da região, as condições geológicas e geotécnicas do terreno, a hidrologia e a

hidrografia da região e a presença de beneficiários ao longo da faixa de domínio.

Como a predominância da via é o seu comprimento, ela é representada pelo seu eixo

longitudinal. Quando o eixo longitudinal é projetado num plano horizontal, obtêm-se o

traçado em planta, quando o eixo longitudinal é projetado sobre uma superfície cilíndrica

vertical, resulta-se no traçado em perfil. Este eixo longitudinal é locado (materializado) em

campo, sendo o ponto de partida para construção de uma estrada.

Para se marcar o eixo da rodovia no campo, é utilizado o sistema topográfico de

demarcação de distância chamado de estaqueamento, que consiste na implantação de uma

estaca (marco físico geralmente em madeira numerado progressivamente) distanciados em 20

m , para estacas inteiras2. As estacas com distâncias diferentes de 20 m, mas que por algum

motivo é necessária a sua materalização, obtendo comprimentos intermediários, chama-se de

estacas intermediárias.

2 As estacas também podem ser marcadas a cada 50 ou 100 m quando os terrenos são favoráveis,

entretanto, para garantir maior precisão, as estacas a cada 20 m são as mais usuais e indicadas pelo DNIT.

39

Figura 29 - Estacas completas e intermediárias em planta

Fonte: Projeto geométrico – DES.-4.33.55

A Figura 29 mostra um trecho em planta com as estacas inteiras 1910, 1915 e 1920.

Entre as estacas inteiras numeradas há outras estacas representadas por um traço

perpendicular ao eixo principal, não numerado, apenas com o objetivo de não carregar o

desenho com informações excessivas. Para se encontrar os valores das estacas não numeradas,

é preciso apenas considerar que os segmentos podem ser contatos como numa régua

graduada: a estaca 1910 está precedida de um traço, que é a estaca 1909; entre 1910 e 1915,

existem quatro indicações, que podem ser lidas como 1911, 1912, 1913 e 1914; entre as

estacas 1915 e 1920, também existem quatro indicações que são lidas como 1916, 1917, 1918

e 1919; após 1920, o desenho mostra três indicações, que são lidas como 1921, 1922 e 1923.

Esta contagem é realizada em todo o projeto e também no campo durante a execução.

A Figura 34 também apresenta a estaca intermediária 1915+8,70, que mostra o local

de construção de um elemento de drenagem da rodovia chamado BDTC (bueiro duplo tubular

de concreto).

As estacas inteiras e intermediárias expressam a distância que aquele ponto está da

origem. Como cada estaca no projeto equivale 20 m, o BDTC está localizado distante de

Mossoró3, como segue na equação abaixo:

3 Este cálculo será explicado com mais detalhes posteriormente.

40

𝐵𝐷𝑇𝐶1915+8,70 = 1915 × 20𝑚 + 8,70𝑚

𝐵𝐷𝑇𝐶1915+8,70 = 38.308,70𝑚

O traçado da rodovia em planta é basicamente representada por segmentos retos

concordados/ligados por curvas. Os segmentos retos são chamados tangentes e são adjacentes

a uma curva de concordância, imprescindível para modificar gradualmente a direção dos

veículos.

As concordâncias podem ser feitas por curvas circulares simples, quando é

empregado apenas um arco de círculo, curvas compostas com transição, quando são

empregados radióides na concordância dos alinhamentos retos e curvas compostas sem

transição, utilizando dois ou mais arcos de cículos de raios diferentes.

O traçado em perfil representa os planos inclinados sucessivos, sejam as rampas ou

aclives (sentido ascendente) ou contrarrampas ou declives (sentido descendente). Os perfis

também são indicados por estacas, e cada estaca relaciona-se a uma cota, que é a altura do

terreno natural em relação a uma referência de nível.

Os alinhamentos retos ou elementos altimétricos, greides retos, são concordados por

curvas de concordâncias verticais, greides curvos.

Antas, et al, p. 21:

A concordância vertical pode ter duas situações particulares: uma

aparente saliência ou uma aparente reentrância. A primeira ocorre

quando se passa de uma aclive para um declive, ou de uma rampa

mais acentuada para uma rampa mais suave. Nesta situação tem-se um

PIV saliente ou uma concordância convexa. Em uma rodovia, quando

tal concordância é muito pronunciada tem-se o que se denomina

correntemente de lombada.

(...), quando se tem uma aparente depressão, tem-se um PIV reentrante

ou uma concordância côncava. O funcionamento dos dois tipos de

concordância oferece algumas diferenças, daí a preocupação em

diferenciá-los.

41

Figura 30 - Representação do projeto em perfil

Fonte: Projeto geométrico – DES.-4.33.55

Nas Figuras 29 e 30, é mostrado o mesmo trecho da estrada, sendo uma vista em

planta e em perfil, respectivamente. Na primeira, a vista é superior, enquanto na segunda, a

vista é proporcionada por um corte longitudinal ao longo do eixo, mostrando a altura do

terreno natural em linha tracejada e vermelha, a altura do greide de terraplenagem em azul

escuro e a altura da rodovia com o revestimento asfáltico final, em azul claro. A numeração

horizontal indica os números das estacas, a numeração vertical em azul é a cota de projeto de

terraplenagem e em preto, as cotas do terreno natural.

As seções transversais, Figura 31, podem ser definidas como a representação

geométrica obtida pelo “corte transversal” da estrada em cada estaca inteira, ou intermediária

caso se faça necessário, estabelecendo o padrão da via, que pode ser apresentado em corte,

aterro ou corte / aterro, denominada seção.4

4 No projeto geométrico da BR-110 não há desenhos das seções transversais.

42

Figura 31 – Seção transversal de uma estrada

Fonte: Pontes Filho (1998)

As seções transversais mostram os elementos dispostos na rodovia como taludes,

meios-fios, inclinação e dimensões das faixas de rolamento e acostamentos, por exemplo. Por

meio das seções transversais são executados os cálculos das áreas de cada perfil e

posteriormente de volume de material necessário para construção da rodovia, na fase de

terraplenagem, dimensionamento da quantidade de material do revestimento final, seções

transversais dos elementos de drenagem, com o objetivo final de composição de quantidades

para confecção do orçamento e medição de serviços.

É possível caracterizar os elementos geométricos de uma estrada pelo esquema

abaixo da Figura 32:

Figura 32 - Elementos geométricos de uma estrada

Fonte: Pontes Filho (1998).

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

AXIAIS

PLANIMÉTRICOS

TANGENTES

CURVAS HORIZONTAIS

ALTIMÉTRICOS

GREIDES RETOS

CURVAS VERTICAIS

TRANSVERSAIS

SEÇÕES EM ATERRO

SEÇÕES EM CORTE

SEÇÕES MISTAS

43

2.4.3. Elementos topográficos e representações no projeto da BR-110/RN

O anexo 1 – Projeto Geométrico DES.4.3.01, representa o início do projeto, na estaca

0, localizada no na interseção da BR-304 com a rua Sérvulo Marcelino e a BR-110/RN

existente.

Devido suas dimensões, o projeto da BR-110 foi representado de forma reduzida

mas, conservando suas dimensões, formas e áreas. Esta representação é possível porque foi

utilizada uma escala, que pode ser definida pela relação entre cada medida do desenho e a sua

dimensão real.

𝐸 =𝑑

𝑅

Onde,

E – é a escala,

d – dimensão no desenho,

R – dimensão real.

No projeto são utilizados dois tipos de escala: a numérica e a gráfica. As escalas

númericas são horizontal e vertical.

A escala horizontal representa as distâncias longitudinais.

𝐸 =1

2.000

𝐻 = 1 2.000

A escala vertical representa as alturas ou cotas em relação a uma referência de nível.

𝐸 =1

200

𝑉 = 1 200

A escala gráfica é a representação da escala numérica, como mostra a Figura 33.

44

Figura 33 – Escala gráfica

Fonte: Projeto geométrico – DES. 4.3.01

O projeto é divido em estacas inteiras, distantes entre si 20 m, e intermediárias, com

distâncias menores que 20 m. Toda estaca possui uma numeração, destinada a saber em qual

trecho se encontra distante da origem.

O cálculo para saber a distância até a origem é explicado pela equação abaixo:

𝐸𝑛° = 𝐸𝑛° − 0 × 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠

𝐸𝑛° = 𝑛° × 20𝑚

onde d é a distância em metros entre as estacas.

Exemplo do projeto (1):

Figura 34 - Exemplo 1 do projeto com indicação da estaca 35


𝐸35 = 𝐸35 × 20𝑚

𝐸35 = 35 × 20𝑚

𝐸35 = 700 𝑚

45

ou seja, a estaca 35 está distante da origem (Mossoró) 700 m.

Para se encontrar a distância entre dois pontos, subtrai-se os valores das estacas e

multiplica-se pela distância entre elas.

Exemplo do projeto (2): saber a distância entre a estaca 11 (acesso ao bairro Sumaré) até a

estaca 25 (localização do RN-01), conforme Figura 35 e equação abaixo:

Figura 35 - Exemplo do projeto 2 (distância entre a estaca 11 e a estaca 25)


𝐷11−25 = 𝐸11 − 𝐸25 × 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠

𝐷11−25 = 11 − 25 × 20𝑚

𝐷11−25 = −14 × 20𝑚

𝐷11−25 = 280𝑚

A distância entre as estacas 11 e 25 é de 280 m.

A legenda é um elemento de desenho utilizado para descrever as simbologias usadas

na representação dos elementos pertencentes ao mesmo. A Figura 36 mostra um exemplo de

legenda presente no projeto.

Figura 36 – Legenda


Por meio de cores e tipos de linhas diferentes, cada elemento a ser representado

possui uma indicação própria para facilitar a leitura.

46

Para a análise deste trabalho, as representações mais importantes são:

Bordos – extremidade lateral da pista. Em preto o bordo existente e em rosa o

bordo projetado a ser executado (em planta);

Acostamento – região lateral a pista de rolamento. Em preto, o acostamento

existente e em azul o acostamento projetado a ser construído (em planta);

Terreno – a altura do terreno em relação a um referencial de nível está

representado em perfil pela linha tracejada vermelha. Esta altura foi medida

por meio de levantamentos topográficos;

Curvas de nível – é a representação em planta dos pontos de mesma cota ou

altura em relação a um plano horizontal tomado como referência. No projeto,

sua linha é contínua azul clara que cortam a representação da estrada

transversalmente;

Greide de terraplenagem – linha contínua azul escura representando a altura

que o terreno da estrada terá após as atividades de terraplenagem (em perfil);

Greide de pavimentação – sobre a linha do greide de terraplenagem está a

linha do greide de pavimentação, mostrando a altura do revestimento asfáltico

da estrada, em linha contínua azul.

A orientação do terreno é dada pela indicação do Norte Magnético. O Norte

Geográfico ou Verdadeiro são convenções de localização para os Pólos Norte e Sul, indicando

onde o eixo de rotação da Terra corta a superfície do planeta, enquanto o Norte Magnético é

um fenômeno natural que ocorre em razão da Terra ser um grande imã. O Norte Magnético

pode ou não ser igual ao Norte Geográfico ou Verdadeiro. A Figura 37 é a indicação do Norte

Magnético no projeto da BR-110/RN.

Figura 37 - Orientação


As estacas são posicionadas por sistemas de coordenadas retangulares UTM

(Universal Transversa de Mercator) com indicação da latitude e longitude. A latitude está no

sentido norte-sul, no hemisfério sul o valor arbitrário no equador é 10.000.000 m, e partindo

47

sentido do meridiano central, no sentido leste-oeste, o valor arbitrário de 500.000 m,

conforme Figura 38.

Figura 38 - Coodernadas UTM


Há também um quadro de RN (referência de nível) que é uma marcação de

referência em relação às coordenadas das estacas e altura das mesmas. A utilização de uma

informação incorreta de um RN, ocasiona erro de execução, custos financeiros e tempo.

Geralmente são em concreto no campo e no projeto é denotado por um quadrado preto com

sua respectiva numeração. O quadro dos RN mostra as informações das suas coordenadas, a

localização representada por estaca, o lado da estrada que o RN se encontra, a localização é

modo como está materializado em campo, por exemplo, o RN 00 está localizado na parada de

ônibus e o RN 01 é um MC (marco em concreto) e, por último, sua cota (Figura 39).

Figura 39 - Quadro dos RN


O trecho de Mossoró à Campo Grande possui aproximadamente 78 km, logo, para

que não ocorra perda na qualidade do projeto, o mesmo foi divido em várias folhas. O projeto

geométrico tem numeração até a folha 112 – DES. 4.3.112. e adotou-se a sigla FL para folha,

o número antecessor significa o número da folha atual e o número sucessor, indica a próxima

folha do projeto (Figura 40).

48

Figura 40 - Numeração da folha


2.3.4. Descrição das etapas de confecção do projeto da BR-110/RN

Para confecção do projeto executivo de engenharia para pavimentação e melhoria do

traçado da BR-110/RN, foram realizados os seguintes estudos:

Tráfego, capacidade e segurança;

Topográfico;

Geotécnico;

Hidrológico.

Estes estudos resultaram nos projetos:

Geométrico;

Interseções, acesso e travessia urbana;

Terraplenagem;

Pavimentação;

Drenagem e obras de arte correntes;

Obras de arte especiais;

Obras complementares;

Sinalização.

Para este trabalho serão considerados os estudos de tráfego, capacidade e segurança e

topográfico e os projetos geométrico, interseções, acesso e travessia urbana e terraplenagem.

49

2.3.4.1. Estudo de tráfego, capacidade e segurança

É o primeiro estudo realizado e tem o objetivo de identificar as características do

tráfego atual e estimar o tráfego futuro.

Para estimar o futuro tráfego da BR-110/RN, trecho entre a entrada da BR-110/RN

em Mossoró e entrada da RN-233 em Campo Grande, foram realizados estudos do tráfego

atual com coletas para subsidiar o projeto de implantação da pavimentação.

Foram coletados dados através de pesquisas de campo e junto ao DNIT, dados de

séries históricas dos postos de contagem através do Portal do Dnit, via internet; “Estatística de

Tráfego do Nordeste” oriundo do antigo convênio SUDENE/DNER/DER dos trechos Areia

Branca – Mossoró, Mossoró – Upanema, Upanema – Campo Grande e Campo Grande –

Janduís.

Estes dados foram as referências para adoção das taxas de crescimento aplicada nas

projeções de tráfego. O DNIT recomenda uma taxa de 3% ao ano.

Os fatores de veículos foram determinados com base na lei da balança e através da

análise do Projeto nº 029/2006.

Para os fatores de veículos foram considerados 80% do veículos carregados e 20%

descarregados trafegando na via, e um acréscimo de 7,5% no peso sobre cada eixo, referente

ao percentual de tolerância legal.

Após os cálculos de cada veículo na condição de vazio e carregado pelos métodos

AASHTO e USACE, chegou-se ao seguinte quadro de fatores de veículos:

Quadro 1 - Fatores de veículos

Método Ônibus 2C 3C 2S1 2S2 2S3 3S3 2C2 2C3

AASHTO 2,980 2,994 2,138 5,621 4,799 4,707 3,856 8,321 7,388

USACE 4,439 4,455 10,496 8,602 14,675 15,610 21,668 12,729 18,777

Fonte: DER-PE apud Volume 01 – Relatório do projeto e documentos para referência

Onde:

Ônibus – veículos comerciais rígidos de maiores dimensões, incluindo ônibus urbanos longos,

ônibus de logo percurso e de turismo;

2C – caminhão simples com 2 eixos;

3C – caminhão simples com 3 eixos;

2S1 – caminhão trator (cavalo mecânico) com 2 eixos + semi-reboque com 1 eixo;

50

2S2 – caminhão trator (cavalo mecânico) com 2 eixos + semi-reboque com 2 eixos;



2C2 – caminhão simples com 2 eixos + 1 reboque com 2 eixos;

2C3 – caminhão simples com 2 eixos + 1 reboque com 3 eixos.

As contagens volumétricas do tráfego atual foi realizada no dias 07 a 09 de junho de

2004 (segunda, terça e quarta feira) na rodovia durante 24 h em três postos:

Posto 01 – Interseção BR-110/RN-233 (p/Assu e Janduís);

Posto 02 – Interseção BR-110/RN-233 (p/Caraúbas);

Posto 03 – Interseção BR-110/RN-405 (p/Mossoró);

obtendo os seguintes resultados, conforme Quadro 2:

Quadro 2 - Tráfego médio diário

Posto de

Contagem Total Subtotal Ônibus 2C 3C 2S1 2S2 2S3 3S3 2C2 2C3

01 699 482 20 107 40 5 1 19 18 3 4

02 710 517 18 83 42 11 3 12 11 7 6

03 366 322 9 24 3 0 0 1 1 6 0

Total 1775 1321 47 214 85 16 4 32 30 16 10

Média 590 440 16 71 28 5 1 11 10 5 3 Fonte: Volume 01 – Relatório do projeto e documentos para referência

Quadro 3 - Tráfego médio diário (anual)

Posto de

Contagem

Total Auto Ônibus 2C 3C 2S1 2S2 2S3 3S3 2C2 2C3

01 687 473 20 105 39 5 1 19 18 3 4

02 697 507 18 81 41 11 3 12 11 7 6

03 360 316 9 24 3 0 0 1 1 6 0

Média 581 432 16 70 28 5 1 11 10 5 3

% 100 74,3 2,8 12,0 4,8 0,9 0,2 1,9 1,7 0,9 0,5 Fonte: Volume 01 – Relatório do projeto e documentos para referência

Quadro 4 - Volume médio diário (VMD)

Quadro 04 - Volume médio diário (VMD)


1598 1189 44 192 77 14 3 30 27 14 8

100% 74,3% 2,8% 12,0% 41,8% 0,9% 0,2% 1,9% 1,7% 0,9% 0,5%

Fonte: Volume 01 – Relatório do projeto e documentos para referência

51

Para a projeção de tráfego, com uma taxa crescente de 3% a.a., chegou-se às

seguintes projeções de tráfego, mostradas no Quadro 5:

Quadro 5 - Projeções de tráfego

Ano Volume médio diário - VMD


2004 1598 1189 44 192 77 14 3 30 27 14 8

2008 1790 1338 50 216 87 16 3 34 30 16 9

2017 2335 1746 65 282 113 21 4 44 44 21 12 Fonte: Volume 01 – Relatório do projeto e documentos para referência

Gráfico 1 - Composição da frota

Fonte: Volume 01 – Relatório do projeto e documentos para referência

2.3.4.2. Estudo Topográfico

O reconhecimento do terreno foi realizado por meio de estudo topográfico,

preparando a base planialtimétrica cadastral, com detalhes suficientes para permitir os

projetos a nível executivo.

Com base no objetivo foram desenvolvidos os seguintes serviços:

Locação e amarração da linha de eixo – o eixo foi estaqueado e piqueteado

com estacas cravadas a cada 20 m nos trechos em tangente e, nos trechos em

curva horizontal com raio maior que 300 m, o estaqueamento foi realizado

com estacas cravadas a cada 10 m. Adotar distâncias menores nas curvas

74,3%

2,8%

12,0%

4,8%

0,9%0,2% 1,9% 1,7% 0,9% 0,5%

Auto

Ônibus

2C

3C

2S1

2S2

2S3

3S3

52

aumenta a precisão e permite que a figura geométrica aproxime-se a uma

parte de uma circunferência.

Nivelamento e contranivelamento do eixo – foram utilizados uma rede de

RNs constituída de marcos de concreto, locados com espaçamento médio de

500 m, nivelado e contranivelado com datum vertical do IBGE. O erro

máximo admitido entre nivelamento e contranivelamento é de 10 mm e

calculado pela seguinte expressão:

𝐸𝑚á𝑥 = 12,5 𝑛

Sendo 𝐸𝑚á𝑥, o erro máximo admitido, mm e 𝑛, a extensão, km.

Seções transversais – levantadas em todas as estacas inteiras e intermediárias;

Levantamento cadastral – realizados levantamento cadastral da interseção e

acessos agrupados conforme as características dos elementos, mostrados em

layout, caracterizando a área de modo que os estudos integrados resultem em

melhorias de funcionalidade do tráfego de veículos;

Levantamento das obras d’ arte correntes – ao longo do trecho todas as obras

de arte foram levantadas obtendo os seguintes elementos: tipo da obra,

localização, escossidade, dimensões, etc;

Levantamento dos locais de interseções: levantamento topográfico completo,

contemplando locação, nivelamento, seções, cadastro e estudo de obras d’arte

das interseções. Este estudo foi desenvolvido além da faixa de domínio;

Apresentação do estudo topográfico: após os estudos referentes aos serviços

de locação, nivelamento e contranivelamento, seções, cadastro e estudo de

obras, foram obtidos os seguintes produtos:

a. Traçado em planta e perfil do eixo locado e perfil do terreno natural,

onde constam os elementos das curvas, amarrações e referências de

nível. As escalas utilizadas foram 1:2000 (H) e 1:2000 (V);

b. Seções transversais que oferecem subsídios aos projetos geométricos,

drenagem e terraplenagem.

53

2.3.4.3. Projeto geométrico

O trecho apresenta uma extensão aproxima de 78 km, compreendido entre a rodovia

BR-304 (contorno de Mossoró) e o entroncamento com a rodovia RN-233 em Campo Grande,

na localidade conhecida como Areia Branca.

A diretriz do traçado foi a rodovia BR-110/RN já implantada, coincidindo o eixo

existente e partindo-se da estaca 0 (zero) em Mossoró.

Em planta, na conexão de dois trechos em tangente foram utilizadas curvas de

concordância simples ou compostas, de acordo com cada caso, dotadas de transição em

espiral prevendo-se o estabelecido pelas normas do DNIT.

Os elementos de curva implantadas no trecho são resumidas no Quadro 6 abaixo:

Quadro 6 - Elementos de curvas implantadas no trecho

Curva Raio LC (m) Lado AC (gms)

1 763,00 70 E 15º04’26”

2 710,00 70 E 17°40’32”

3 740,80 70 E 31°44’05”

4 445,00 80 D 27°24’31”

5 180,00 0 D 22°48’29”

6 35,00 0 E 59°23’37”

7 75,00 0 D 47°26’02”

8 70,00 0 D 27°57’51”

9 250,00 0 E 09°21’56”

10 580,00 0 D 11°15’19”

11 2000,00 0 E 02°46’42”

12 755,90 80 D 11°11’08”

13 400,00 90 D 45°17’14”

14 350,00 80 D 35°56’45”

15 350,00 80 E 27°26’56”

16 1200,00 0 D 07°14’34”

17 2200,00 0 D 05°55’28”

18 214,00 80 E 39°13’13”

19 1200,00 0 E 10°27’58”

20 350,00 80 D 20°54’17”

21 210,00 100 E 83°51’45”

22 350,00 80 E 46°38’25”

23 400,00 80 D 31°12’30”

24 214,00 100 D 81°52’31”

25 600,00 100 E 29°31’23”

26 1200,00 0 D 09°31’39”

27 350,00 100 D 66°45’24”

28 350,00 100 E 77°58’39” Fonte: Volume 01 – Relatório do projeto e documentos para referência

54

O greide foi projetado de modo a evitar alterações de menor vulto no valores das

rampas, ou seja, evitando-se pequenas ondulações durante o trajeto, mantedo-as com a

geometria tão contínua quanto possível.

Em trechos longos em rampa foi conveniente manter as rampas mais íngremes na

parte inferior e as rampas mais suaves no topo, objetivando tirar o proveito do impulso

acumulado no segmento plano ou descendente anterior a subida.

Evitou-se o lançamento de greides excessivamente colados, ou seja, com cotas

próximas ao terreno natural, principalmente nos traçados retos, não somente pelos motivos

estéticos, como também no sentido de evitar situações perigosas em terrenos levemente

ondulados em vista que a sucessão de pequenas lombadas e depressões oculta veículos nos

pontos baixos, dando a falsa impressão de ultrapassagem. Em alguns casos, o greide foi

elevado visando eliminar os segmentos baixos (eixo baixo e bordo alto) ocasionado pelo

“patrolamento” durante a conservação do segmento rodoviário em sucessivas manutenções.

A rampa máxima adotada para o trecho foi de 5% em região ondulada e na região

plana foi de 3%.

Para as curvas de concordância verticais foram adotadas parábolas do 2º. Grau,

definidas pelo parâmetro de curvatura “k” representativo da taxa de variação de declividade

longitudinal na unidade de comprimento estabelecido para a velocidade de projeto de 100

km/h.

A seção transversal tipo, ou seja, a seção modelo, adotada para o trecho terá

acostamentos com 2,50 metros e pista com 7,00 metros de largura. As seções transversais

tipos de terraplenagem, de pavimentação para seção em tangente e de pavimentação para

seção em curva, são mostradas nas Figuras 41, 42 e 43, respectivamente, com todas as

dimensões em metro.

Figura 41 - Seção transversal tipo de terraplenagem

Fonte: Seção transversal tipo – terraplenagem – TER-1

55

Figura 42 - Seção transversal tipo de pavimentação para seção em tangente

Fonte: Seção transversal tipo – pavimentação – PAV1

Figura 43 – Seção transversal tipo de pavimentação para seção em curva


As interseções contidas no projeto são:

Interseção da estaca 0 com a rodovia BR-304/RN (contorno de Mossoró) – do tipo

“gota e ilha” com ramos que permitem o acesso para Natal e Mossoró através da BR-

304/RN, em pista simples;

Interseção da estaca 1836 +10,20 para a RN-405 – foi projetada com “ilha e gota”.

Os ramais tiveram ângulos de concordância em torno de 90 graus concordados com

curvas circulares simples, com raios de 56 e 48 metros, respectivamente;

Interseção da estaca 3782 com o acesso para Campo Grande – formato semelhante

as anteriores, ou seja, “gota e ilha”.

56

Interseção da estaca 3899 + 17,49 com a rodovia estadual RN-233 (Areia Branca) –

localiza-se no final do trecho com a rodovia RN-233, apresenta “layout” semelhante

às anteriores e forma ângulo reto com a RN-233, possibilitando-se desenvolver um

projeto que ofereça melhores condições de segurança e conforto.

As interseções foram obtidas com base nos resultados dos estudos topográficos

cadastrais e planialtimétricos, dos estudos de tráfego e do projeto geométrico da rodovia.

2.3.4.4. Estudo de terraplenagem

No projeto, o estudo da terraplenagem foca a implantação da rodovia ao longo do

trecho. Para o desenvolvimento do projeto, foram considerados os seguintes elementos

básicos:

Resultados das sondagens e ensaios do subleito e terreno natural;

Estudo topográfico e mapa de cubação.

Os resultados de sondagens e ensaios de subleito e terreno natural, após selecionados

e analisados estatisticamente, interferiram diretamente nas relações de aterro e corte de cada

seção da estrada, resultando nos seguintes rebaixamento do greide:

CBR do solo abaixo do greide < 2% = rebaixo de 0,60 m;

Rocha sã abaixo do greide = rebaixo de 0,40 m.

Os últimos 0,60 m da camada do aterro é constituída por material com CBR ≥ 7% e

expansão ≤ 2%, executadas em camadas de 0,20 m.

O mapa de cubação foi confeccionado com base nos levantamentos topográficos, da

seção tipo definida para regiões em tangente e em curva.

2.3.4.5. Classificação, características técnicas e operacionais do trecho

O Plano Nacional de Viação define vários eixos em diversas direções que atravessam

o Brasil servindo de base para a nomenclatura de rodovias e ferrovias, por exemplo. As

ferrovias são designadas por EF e as rodovias pela sigla BR e são identificadas por três

57

algarismos, onde o primeiro indica a característica da posição da via no território nacional. As

identificações são:

Radiais – o primeiro algarismo é o 0 (zero) e são aquelas que partem de

Brasília, em qualquer direção, ligando capitais estaduais ou a pontos

perífericos importantes (Figura 44);

Figura 44 – Rodovias radiais

Fonte: www.dnit.gov.br

Longitudinais – orientação na direção geral Norte-Sul, sendo o primeiro

algarismo característico 1, e os outros dois variando de 00 a 99 (Figura 45);

Figura 45 – Rodovias longitudinais


http://www.dnit.gov.br/


58

Transversais – orientação na direção geral leste-oeste, sendo o primeiro

algarismo característico 2, e os outros dois variando de 00 a 99. (Figura 46);

Figura 46 – Rodovias transversais


Diagonais pares – orientação geral no sentido NO-SE. Sua numeração está

contemplada com os números pares, entre 300 e 398 (Figura 47);

Diagonais ímpares – orientação geral no sentido NE-SO. Sua numeração está

contemplada com os números ímpares, entre 301 e 399 (Figura 47).

Figura 47 – Rodovias diagonais




59

Ligações – traçados que não se enquadram nas características citadas

anteriormente, mas que ligam pontos importante como principais terminais

marítmos, fluviais, ferroviários, rodoviários, cidades tombadas pelo Instituto

do Patrimônio Histórico e Artítico Nacional. O número de ligação ao Norte

de Brasília ficará entre 400 e 450, se ao sul, entre 451 e 499.

Outro modo de classificar uma rodovia é em relação a classe, conforme Manual de

projeto geométrico de rodovias rurais do DNIT:

Classe 0 – é a Via Expressa, considerada uma rodovia do mais elevado

padrão técnico, com pista dupla e controle total de acesso. É influenciada

pelo volume de tráfego, quanto à função de atender preponderantemente à

demanda do tráfego de passagem pela região de travessia em detrimento ao

atendimento do tráfego local, pelo interferência recíproca de atividades

humanas nas propriedades lindeiras ou áreas vizinhas;

Classe I – dividida em vias de Classe-IA (rodovia com duas pistas e controle

parcial do acesso) e Classe IB (rodovia em pista simples, de elevado padrão,

suportando volumes de tráfego projetados para 10 anos após abertura ao

tráfego);

Classe II – rodovia de pista simples, suportando volume de tráfego médio

diário bidirecional de 700 a 1.400 veículos mistos;

Classe III – rodovia de pista simples, suportando volume de tráfego médio

diário bidirecional de 300 a 700 veículos mistos;

Classe IV – rodovia de pista simples, apenas com revestimento primário.

Compreende a Classe IV-A, para volume médio diário entre 50 e 200

veículos e a Classe IV-B, para volume médio diário inferior a 50 veículos.

Com base nestas informações a BR-110 pode ser classificada como uma rodovia

federal longitudinal de Classe II.

As características técnicas e operacionais do traçado em planta e em perfil, são

mostradas no Quadro 7:

60

Quadro 7 - Características técnicas e operacionais do traçado em planta e perfil

Tra

çado e

m P

lanta

Região Suavemente

ondulada

Velocidade diretriz (km/h) 100

Faixa de domínio (m) 70

Extensão em curva (m) 5.731,28

Porcentagem de extenção em curva (%) 7,35

Rai

o d

e C

urv

a

<=200m Frequência 4

Extensão (m) 204,19

201-400m Frequência 12

Extensão (m) 3.018,56

500-1.000m Frequência 7

Extensão (m) 1.613,62

1.001-1.500m Frequência 3


1.501-2.000m Frequência -

Extensão (m) -

>2.000m Frequência 1


Extensão de maior tangente (m) 34.984,36

Tra

çado e

m P

erfi

l

Declividade máxima (%) 4,999

Comprimento total em declividade máxima (m) 140

Percentagem do traçado sob declividade máxima (%) 0,18

Ram

pa

Rampa (%)

Em nível 0,000 3.500

Aclive 0,001-1,000 21.319,49

1,001-2,000 11.060,00

2,001-3,000 4.220,00

3,001-4,000 2.420,00

4,001-5,000 2.810,00

5,001-6,000 -

6,001-7,000 -

7,001-8,000 -

8,001-9,000 -

Dec

live

0,001-1,000 14.850,00

1,001-2,000 9.865,00

2,001-3,000 1.670,00

3,001-4,000 2.790,00

4,001-5,000 3.495,00

5,001-6,000 -

6,001-7,000 -

7,001-8,000 -

8,001-9,000 -

Total em nível (m) 3.500,00

Total em aclive (m) 41.829,49

Total em declive (m) 32.670,00

Total Geral (m) 77.999,49 Fonte: Volume 01 – Relatório do projeto e documentos para referência

61

3. METODOLOGIA

Através do projeto para execução do trecho da BR-110 (trecho Areia Branca – divisa

RN/PB, subtrecho de Mossoró à Campo Grande no segmento do km 51,3 ao km 129,3, com

extensão total de 78,0 km), analisaremos os pontos cruciais que permitiram a confecção do

mesmo, comparando suas informações com material bibliográfico na área da geometria e

engenharia.

A análise do projeto foi fundamentada em entender as características da rodovia,

escolhendo alguns elementos isolados para comparação e estudo. Estes elementos são as

curvas de concordância horizontal simples, curva vertical por meio de parábola de 2º grau,

cálculo de volumes através das seções transversais e interseções, acesso e travessia urbana.

As principais limitações do trabalho se relacionam ao conhecimento técnico para

escolha dos elementos a serem estudados e na avaliação da influência do elemento geométrico

no corpo estradal para fatores como segurança, comodidade, etc.

62

4. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DO PROJETO DE ENGENHARIA PARA

PAVIMENTAÇÃO E MELHORIA DO TRAÇADO DA BR-110/RN

Os elementos geométricos do projeto de engenharia para pavimentação e melhoria do

traçado da BR-110/RN, foram divididos em elementos geométricos axiais, elementos

geométricos longitudinais e análise dos elementos de interseção, acesso e travessia urbana.

4.1. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS AXIAIS

O traçado horizontal, como dito anteriormente, de uma estrada são tangentes

concordadas por curvas, com o objetivo de manter as características de entidades

tridimensionais contínuas, fluentes e com gradativas mudanças de direção.

Do ponto de vista da continuidade, nem as retas nem as curvas são problemas

isolados, ele surge da junção destes dois elementos.

O Manual de projeto geométrico de rodovias rurais do DNIT (1999), define os

aspectos básicos a serem considerados no traçado com o objetivo de fluência e aparência:

a) Trechos excessivamente longos em tangentes são indesejáveis em rodovias. O

traçado deverá ser antes uma sequência de poucas curvas de raios amplos do que de

longas tangentes “quebradas” por curvas de pequeno desenvolvimento circular.

b) No caso de ângulos centrais AC pequenos, iguais ou inferiores a 5°, para que se

evite a aparência de quebra do alinhamento, os raios deverão ser suficientemente

grandes para proporcionar os desenvolvimentos circulares mínimos D.

4.1.1. Geometria na curva circular horizontal simples

A curva circular simples é a curva mais utilizada para concordar dois alinhamentos

retos em visrtude da sua simplicidade em ser projetada e locada. A Figura 48 é um exemplo

de curva circular horizontal simples, com a informação dos elementos pertencentes a este tipo

de curva.

63

Figura 48 - Curva circular horizontal

Fonte: Pontes Filho (1999)

PC – ponto de início da curva

PI – ponto de interseção das tangentes

PT – ponto onde a curva termina

D – desenvolvimento das tangentes

Δ – ângulo de deflexão

AC – ângulo central da curva

R – raio da curva circular

T – tangente externa

O – centro da curva

E – afastamento

G – grau de curva

c – corda

d – deflexão sobre a tangente

Os principais elementos de uma curva circular simples são:

a) Raio da curva (R) – é o raio do arco do círculo usado na concordância e é expresso em

metros. É definido pelas normas vigentes, das carcteríticas técnicas e da topografia, condições

usadas na confecção do projeto.

64

b) Ângulo central (AC) – é o ângulo central formado pelos raios do centro da curva ao ponto

de curva (𝑂𝑃𝐶 ) e do centro da curva ao ponto de tangente (𝑂𝑃𝑇 ).

c) Grau de curva (G) – é o ângulo central que corresponde a uma corda de comprimento c. O

grau de curva é independente do ângulo central (Figura 54).

Demonstração do grau de curva:

Figura 49 - Grau de curva

Onde

AC – ângulo formado pelos raios 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 ;

G = AC – correspondente a corda c;

𝐴𝐵 = 𝑐;

𝐴𝐷 =𝑐

2;

R – hipotenusa.

Pela propriedade trigonométrica do triângulo retângulo AOD.

𝑐

2= 𝑠𝑒𝑛

𝐺

2× 𝑅 ⟹ 𝑠𝑒𝑛

𝐺

2=

𝑐

2𝑅

Para encontrar o grau de curva G, é utilizada a função inversa do seno, ou seja,

𝑎𝑐𝑟𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝐺

2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

𝑐

2𝑅⟹

𝐺

2= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

𝑐

2𝑅 ⟹

65

𝐺 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑐

2𝑅

∎

Para locação no campo, são adotadas relações entre as dimensões do raio e da corda

para que a curva locada apresente a maior precisão possível. Pontes Filho (1998, p.78),

recomenda as seguintes relações:

i. 𝑅 ≥ 180𝑚, 𝑐 = 20 𝑚

𝐺20 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 20

2𝑅 ⟹ 𝐺20 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

10

𝑅

ii. 65𝑚 ≤ 𝑅 < 180𝑚, 𝑐 = 10 𝑚

𝐺10 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 10

2𝑅 ⟹ 𝐺10 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

5

𝑅

iii. 25𝑚 ≤ 𝑅 < 65𝑚, 𝑐 = 5 𝑚

𝐺5 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 5

2𝑅 ⟹ 𝐺5 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

2,5

𝑅

iv. 𝑅 < 25𝑚, 𝑐 = 2 𝑚

𝐺2 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 2

2𝑅 ⟹ 𝐺2 = 2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

1

𝑅

É importante salientar que quanto menor o grau de curva, mais precisa é a marcação

da curva no campo.

d) Tangente (T) – as tangentes externas, ou simplesmente tangentes, são os segmentos de retas

que unem os pontos de curva (PC) e da tangente (PT) ao ponto de interseção PI. (Figura 50)

66

Demonstração:

Figura 50 - Triângulo retângulo 𝑶𝑨𝑩

Pelas relações formadas no triângulo retângulo 𝑂𝐴𝐵,

𝑡𝑔 AC

2=

𝑇

𝑅⟹ 𝑇 = 𝑡𝑔

AC

2× 𝑅

∎

e) Desenvolvimento da curva (D) – é o comprimento do arco de círculo, desde PC até o PT.

Da geometria euclidiana, sabe-se que o desenvolvimento de um arco de círculo AC é dado

por:

𝐷 =𝜋𝑅

180× AC

Em casos práticos, o desenvolvimento da curva é dado em função do grau de curva e

da corda.

67

Demonstração: o desenvolvimento é o quociente do ângulo central (AC) pelo respectivo grau

de curva (G), multiplicado pela corda (c).

𝐷 =AC

G× c

∎

Sabendo que G pode ser expresso de acordo com a dimensão da corda, o desenvolvimento é

escrito das seguintes maneiras:

Para G20 e c = 20m,

𝐷 =AC

2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑐

2𝑅 × 20m ⟹ 𝐷 =

AC

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑐

2𝑅 × 10m

Para G10 e c = 10m,

𝐷 =AC

2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 5𝑅

× 10m ⟹ 𝐷 =AC

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 5𝑅

× 5m

Para G5 e c = 5m,

𝐷 =AC

2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 2,5𝑅

× 5m ⟹ 𝐷 =AC

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 2,5𝑅

× 2,5m

Para G2 e c = 2m,

𝐷 =AC

2 × 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1𝑅

× 2m ⟹ 𝐷 =AC

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1𝑅

× 1m

f) Deflexão (Δ) – é o ângulo contado a partir do prolongamento do alinhamneto anterior com

o posterior. No caso da curva circular simples é formado entre as tangentes externas do

ângulo e é igual ao ângulo central da curva. A deflexão pode ser direita ou esquerda.

Demonstração:

68

Sabe-se da geometria plana que o somatório dos ângulos internos de um polígono é

dado por:

𝑆𝑛 = 𝑛 − 2 × 180°

sendo n o número de lados do polígono.

O polígono 𝑂𝐴𝐵𝐶 , Figura 51, possui n = 4, então,

𝑎𝑖 = 4 − 2 × 180° ⟹ 𝑎𝑖 = 2 × 180° ⟹ 𝑎𝑖 = 360°

As retas tangentes formam um ângulo reto com os raios do círculo. Da Figura 51,

deduz-se:

Figura 51 – Deflexão

2 ∙ 90° + 𝛾 + 𝐴𝐶 = 360° ⟹ 180° + 𝛾 + 𝐴𝐶 = 360° ⟹ 𝛾 + 𝐴𝐶 = 180°

𝛾 = 180° − 𝐴𝐶 (1)

69

Do prolongamento da tangente externa dos pontos PC e PI, estão contidos os ângulos

𝛾 e 𝛽. Por definição, 𝛾 e 𝛽 são ângulos suplementares:

𝛾 + 𝛽 = 180° ⟹ 𝛾 = 180° − 𝛽 (2)

Igualando as esquações (1) e (2),

1 = (2)

180° − 𝐴𝐶 = 180° − 𝛽 ⟹ −𝐴𝐶 = − 𝛽 ⟹

𝐴𝐶 = 𝛽

Como 𝛽 é o ângulo de deflexão Δ,

𝐴𝐶 = Δ

∎

A Figura 52 exemplifica a curva horizontal simples com a curva 8. Ela está

localizada nas coordenadas N=9376293.293 e E=692860.959, AC = 27°57’51”, R = 70 m e a

tangente T = 17,430 m.

70

Figura 52- Curva horizontal simples n° 8

Fonte: Projeto geométrico DES. 4.3.70

4.1.2. Geometria da curva vertical parabólica

As curvas geométricas mais utilizadas são a circunferência, a elipse, as parabólas de

2º e 3º graus, entretanto, em razão das suas caracteríticas mais favoráveis para ser mantida a

angulosidade resultante da modificação de inclinação do greide, são utilizadas as curvas com

uso da parábola de 2º grau.

De acordo com Carvalho, M.P. (1973) e Pontes Filho (1998), as vantagens e

desvantagens da concordância da parábola de 2° grau, avaliadas de acordo com cada caso

específico, são:

As taxas de variação da declividade da parábola são constantes;

A equação da curva é simples e as propriedades adequadas;

71

A transformada da parábola devido as duas escalas do perfil é também uma

parabóla;

É possível empregar a parábola composta para adapta-se melhor ao terreno, o que

não pode ser feito com outra curva;

O P.C.V e o P.T.V. podem ser localizados em estaca inteira ou (+10), como convém

no projeto e no perfil definitivo

É desnecessário o uso de tabelas ou gabaritos para desenhar a curva no projeto.

Para demonstrar a geometria, foi escolhida uma curva vertical parabólica de 2º grau,

localizada entre as estacas 286 e 294, apresentada na Figura 58, Gráficos 2 e 3.

Figura 53 – Curva vertical parabólica de 2° grau

Fonte: Projeto geométrico DES. 4.3.09

Gráfico 2 – Representação das cotas e estacas da curva vertical parabólica de 2° grau

72

Gráfico 3 - Representação das distâncias horizontais e verticais da curva vertical parabólica de 2° grau

A equação da parábola é

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. (1)

Na curva x = 0, y = 0,025

0,025 = 𝑎02 + 𝑏0 + 𝑐 ⟹ 𝑐 = 0,025

I. A derivada da curva no ponto PCV é igual a inclinação da reta tangente à curva. (PCV:296 +

10m)

𝑑

𝑑𝑥 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑖1 ⟹ 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖1

Para x = 0

II. A derivada da curva no ponto PTV é igual a inclinação da reta tangente à curva

(PTV:293+10m):

𝑑

𝑑𝑥 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑖2 ⟹ 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖2

Para x = L

2𝑎0 + 𝑏 = 𝑖1 ⟹ 𝑏 = 𝑖1

(2)

2𝑎𝐿 + 𝑏 = 𝑖2

(3)

73

Substituindo (2) em (3), temos:

2𝑎𝐿 + 𝑖1 = 𝑖2 ⟹ 2𝑎𝐿 = 𝑖2 − 𝑖1 ⟹

Substituindo o valo de L-140 m (Gráfico 3) em (4):

𝑎 =

𝑖2 − 𝑖1

2 × 140⟹ 𝑎 =

𝑖2 − 𝑖1

280

(5)

Sendo 𝑔 a diferença algébrica entre as rampas, ou seja, 𝑔 = 𝑖1 − 𝑖2 e substituindo na equação

da parábola (1), encontramos a equação da reta para a curva vertical parabólica estudada:

(Figura 53)

𝑦 =

−𝑔

280𝑥2 + 𝑖1𝑥 + 0,025

(6)

Esta equação fornece a ordenada y de qualquer ponto de abscissa x da curva,

permitindo encontrar quaisquer coordenadas em relação ao ponto de curva PCV.

A inclinação do ângulo é igual ao valor da sua tangente, então:

𝑖 =𝑉

𝐻

E seja 𝑖 a inclinação, 𝑉, a dimensão vertical e 𝐻, a dimensão horizontal.

Sabe-se também que 𝑡𝑔 𝛼 =𝑉

𝐻, logo

𝑖1 = 𝑡𝑔 𝛼

As distâncias verticais são calculadas subtraindo-se o valor da altura do ponto e da

cota de referência. No caso da curva compreendida entre as estacas 286 + 10 e 293 + 10, a

cota de referência é o PTV, então:

𝑎 =

𝑖2 − 𝑖1

2𝐿

(4)

74

PCV – PTV = 40805 mm – 40038 mm = 767 mm ⟹ 0,767 m

PIV – PTV = 40063 mm – 40038 mm = 25 mm ⟹ 0,025 m

As distâncias horizontais são dadas pela distância entre duas estacas, de acordo com

as equações abaixo:

𝐷290−(286+10) = 𝐸290 × 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠 − (𝐸286 × 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠 + 10 𝑚)

𝐷290−286+10) = 290 ∙ 20 − (286 ∙ 20 + 10) 𝑚 ⟹ 𝐷290−286 +10 = 70 𝑚

e

𝐷(293+10)−290 = (𝐸293+10 × 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠 + 10 𝑚) − 𝐸290 × 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠

𝐷(293+10)−290 = 293 ∙ 20 + 10 − 290 ∙ 20 𝑚 ⟹ 𝐷(293+10)−290 = 70 𝑚

Substituindo os valores das dimensões verticais e horizontais na equação de tangente (Gráfico

3), obtemos:

𝑖1 = 𝑡𝑔 𝛼 = 0,767 − 0,025 𝑚

70𝑚⟹

𝑖1 =0,742

70⟹ 𝑖1 = 0,0106

Pelos Gráficos 2 e 3, a inclinação 𝑖2 = 𝑡𝑔 𝛾, então:

𝑖2 = 𝑡𝑔 𝛾 = 𝑡𝑔 (180° − 𝛽)

𝑖2 = 𝑡𝑔 180 − 𝛽 =𝑡𝑔 180° − 𝑡𝑔 𝛽

1 + 𝑡𝑔 180° × 𝑡𝑔 𝛽

Como 𝑡𝑔 180° = 0,

𝑖2 = 𝑡𝑔 180 − 𝛽 =0 − 𝑡𝑔 𝛽

1 + 0 × 𝑡𝑔 𝛽⟹

𝑖2 =−𝑡𝑔 𝛽

1⟹ 𝑖2 = −𝑡𝑔 𝛽

Para 𝑖2, as dimensões vesrticais e horizontais são, respectivamente, V = 0,767 m e H = 70 m.

Então:

𝑖2 = −0,767 𝑚

70 𝑚⟹ 𝑖2 = −0,010957

75

Com os resultados de 𝑖1 e 𝑖2 é possível calcular os valores de a e b e substituí-los na equação

da parabóla da curva vertical parabólica de 2° grau compreendida entre as estacas 286 + 10 e

293 + 10 :

Valor de a:

𝑎 =𝑖2 − 𝑖1

280⟹ 𝑎 =

−0,010957 − 0,0106

280⟹ 𝑎 = −7,6989 × 10−5

Valor de b:

𝑏 = 𝑖1 ⟹ 𝑏 = 0,0106

Valor de c:

𝑐 = 0,025

Substituindo os valores de a, b e c na equação da curva parabólica de 2° grau localizada entre

as estacas 286 e 294 (6):

𝑦 𝑥 = −7,698979 × 10−5 + 0,0106 × 10−2 + 0,025, 𝑥 ∈ 0,140 .

4.2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS TRANSVERSAIS

A seção transversal é o elemento de projeto que personaliza a via, isto porque na

planta e no perfil não existem características suficientes para estabelecer seu padrão. A

definição da seção transversal tipo estabelece a forma que a rodovia apresentará, influenciada

pelos veículos de projeto, tanto por suas características físicas e dimensões, comprimentos dos

balanços traseiros e dianteiros de veículos de transporte de passageiros e de cargas, cuja

referência é a distância entre os eixos medida de centro a centro das rodas dos eixos dos

extremos.

Os veículos de projeto foram definidos pelo estudo de tráfego e são representados no

Gráfico 1 – Composição de frota.

A largura da faixa de rolamento da seção tipo é função da definição do veículo de

projeto, onde é acrescentada a sua largura, uma largura de faixa de segurança, em

76

correspondência à velocidade diretriz, à classe da rodovia e à região. Para as pistas

pavimentadas os valores situam-se entre 3,00 m e 3,60 m.

Quadro 8 - Larguras das faixas de rolamento em tangentes (m)

Classe do projeto Relevo

Plano Ondulado Montanhoso

Classe 0 3,60 3,60 3,60

Classe I 3,60 3,60 3,50

Classe II 3,60 3,50 3,30*

Classe III 3,50 3,30* 3,30

Classe IV-A** 3,00 3,00 3,00

Classe IV-B** 2,50 2,00 2,50

*Preferivelmente 3,50 m quando esperada alta porcentagem de veículos comerciais **Os valores referentes à Classe IV são baseadas na publicação “Manual de Rodovias Vicinais” –

BIRD/BNDE/DNER – 1976

Fonte: Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais (1999)

O número de faixas da pista de rolamento depende da capacidade da via em função

do tráfego de veículos definidos pelo estudo de tráfego. A quantidade mínima de faixas são

duas, uma cada sentido de fluxo de veículo, sem separação física entre as mesmas para

permitir a ultrapassagem pelo domínio da faixa contrária.

Para proporcionar direção confortável e segurança na via, ela deveria ser construída

em nível, plana, mas, esta característica não deve ser adotada em razão da necessidade de

escoamento das águas pluviais que, ao permanecerem na pista, acarretariam instabilidade na

segurança por causa do acúmulo de água e danos ao pavimento.

A declividade em pistas de rolamento simples varia em razão do tipo de acabamento,

permitindo um escoamento superficial satisfatório. Antas, et al (pág. 29, 2010), recomenda as

seguintes declividades em função do tipo de pavimento:

Quadro 9 - Recomendação usual de declividade

Tipo de Pavimento Declividade recomendada

Pavimento de concreto de cimento 1% - 1,5% (preferencialmente)

Pavimento betumoniso de alta qualidade 2%

Paviemnto betuminoso de grande rugosidade 2,5% - 3%

Pistas de rolamento com revestimento primário 3% - 4% Fonte: Antas, et al (2010)

Os acostamentos são elementos de apoio às vias principalmente no que diz respeito à

segurança, pois permite estacionamento à veículos acidentados ou defeituosos, tráfego de

pedestres, ciclistas ou véiculos de tração animal, parada de ônibus para descida ou subida de

77

passageiros, em caso de desgoverno do veículo o acostamento proporciona espaço para

retorno do mesmo para a estrada, entre outros. De acordo com o Manual de Projeto

Geométrico de Rodovias Rurais (1999, p. 143), a largura ideal do acostamento deveria ser a

largura do veículo de projeto acrescida do espaço para trabalho de uma pessoa lateralmente,

entretanto, isto só seria viável em vias com grande fluxo, com apresentação de topografia

desfavorável e haveria um problema na segurança, caso a largura do acostamento fosse

próxima à largura da faixa de rolamento, sendo confundida com outra faixa, e deste modo

não serviria ao propósito do elemento, podendo ser utilizado como extensão de tráfego da

estrada.

A largura precisa se manter constante e, caso seja necessária a redução por qualquer

motivo adverso deve ser sinalizado, com a indicação da redução da referida medida.

A declividade normal em acostamentos adotada é 5% para seções em tangente, sejam

elas pavimentados ou não e nos acostamentos internos e externos na curva circular, a mesma

declividade do pavimento com um único caimento.

Quadro 10 - Larguras dos acostamentos externos (m)

Classe do projeto Relevo

Plano Ondulado Montanhoso

Classe 0 3,50 3,00* 3,00*

Classe I 3,00* 2,50 2,50

Classe II 2,50 2,50 2,00

Classe III 2,50 2,00 1,50

Classe IV-A** 1,30 1,30 0,80

Classe IV-B** 1,00 1,00 0,50 *Preferivelmente 3,50 m onde for previsto um volume horário unidirecional de caminhões superior a 250 veículos **Valores baseados na publicação “Manual de Rodovias Vicinais” – BIRD/BNDE/DNER – 1976. No caso de

rodovias não pavimentadas, representam a contribuição por estabelecimento da largura da plataforma. Fonte: Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais (1999)

Os taludes são elementos que contornam lateralmente o corpo estradal. Sua geometria

depende da topografia da região e se ele será oriundo de corte (escavação/retirada de material ou

rocha excessivo conforme especificações do projeto) ou de aterro (formado pelo acumulo de

material oriundo do corte ou retirado de jazidas e transportados até o local com o proposito de

complementação da cota até o exigido no projeto.

Os taludes dem se apresentar o mais harmonioso possível com a paisagem, com

estabilidade, procurando garantir a máxima segurança com um bom aspecto.

No estrada constam as seções transversais dos três tipos: corte, aterro e mista. O que

define qual o tipo de seção é o levantamento topográfico do terreno natural, identificando a altura

do terreno e a relação com a cota de projeto, a altura final que a rodovia irá apresentar após a sua

78

construção, levando em conta as características provenientes de todos os estudos preliminares

realizados (estudo de trafégo, topográfico, hidrológico, geotécnico, entre outros).

A seção transversal de corte é caracterizada pela altura do greide estar abaixo da cota do

terreno natural, a seção de aterro, o greide projetado está acima do nível do terreno natural e, as

seções mistas apresentam áreas com características de corte e aterro numa mesma área.

4.2.1. Ângulos dos taludes de corte e de aterro

As inclinações dos talude de cortes e aterros geralmente são diferentes devido às suas

caracteríticas próprias. É importante salientar que as inclinações são escolhidas por dois

fatores principais: estabilidade e economia. Quanto menor a inclinação, mais estável e

harmonioso é o talude com o ambiente.

Os talude são representados por proporções, uma unidade de medida vertical é

proporcional à unidade de medida horizontal. No projeto, para taludes de corte ele é dado por

3:2, isto é, a cada duas unidades de medida horizontal, existem três unidades de medida

vertical. O talude de corte é representado na Figura 59 e o triângulo retângulo que o

representa, na Figura 60.

Figura 54 - Talude de corte


79

Figura 55 - Triângulo retângulo de representação do talude de corte

Fonte: autor

Calculando o ângulo 𝛼:

𝑡𝑔 𝛼 =𝑉

𝐻=

𝐴𝐵

𝐴𝐶 ⟹ 𝑡𝑔 𝛼 =3

2

Para encontrar o valor do ângulo 𝛼 utilizamos a função inversa da tangente

𝑡𝑔 𝛼 =3

2⟹ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔 𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

3

2 ⟹

𝛼 ≅ 56,31°

Para os taludes de aterro, a dedução é análoga. Pelas Figura 61 e 62, temos:

Figura 56 – Talude de aterro


80

Figura 57 – Triângulo retângulo de representação do talude de aterro

Cálculo do ângulo 𝛼, modo análogo ao método utilizado no talude de corte.

𝑡𝑔 𝛼 =𝑉

𝐻=

𝐴𝐵

𝐴𝐶 ⟹ 𝑡𝑔 𝛼 =2

3

Para encontrar o valor do ângulo 𝛼 utilizamos a função inversa da tangente:

𝑡𝑔 𝛼 =2

3⟹ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔 𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

2

3 ⟹

𝛼 ≅ 33,69°

4.2.2. Acostamento

O acostamento também é representado por um triângulo. Ao compará-lo com o

talude, é possível notar, inicialmente, que suas dimensões são representadas por proporções

entre unidades de medida horizontal e vertical e também por um valor de inclinação (%).

Usando as definições de seno e cosseno para o acostamento, os catetos não são

conhecidos e serão dados por H (cateto adjacente) e V (cateto oposto) e a hipotenusa será a

dimensão 2,50 m. Como já sabemos que a tangente de um ângulo também pode ser definida

pela relação entre sua dimensão vertical e sua dimensão horizontal, temos:

81

𝑡𝑔 𝛽 =𝑉

𝐻

Figura 58 - Triângulo retângulo do acostamento em tangente

A inclinação de acostamento é o valor da tangente do ângulo representada em

porcentagem, ou seja,

𝑡𝑔 𝛽 =𝑖

100

Encontrando os catetos em função da inclinação:

𝑉 = 𝐻 × 𝑖

100

Como o valor da inclinação é 𝑖 = 5%, resulta em:

𝑉 = 𝐻 × 5

100

𝑉 = 0,05𝐻

Pelo Teorema de Pitágoras,

(2,50𝑚)2 = 𝑉2 + 𝐻2 ⟹ 2,50𝑚 = 𝑉2 + 𝐻2

Substituindo 𝑉 = 0,05𝐻,

2,50𝑚 = (0,05𝐻)2 + 𝐻2 ⟹ 2,50𝑚 = 1,0025𝐻2 ⟹

82

2,50𝑚 = 1,001249𝐻 ⟹ 𝐻 = 2,4969𝑚

Para encontrar V, o valor de H é substituído em, logo:

𝑉 = 0,05𝐻 ⟹ 𝑉 = 0,05 × 2,4969 𝑚 ⟹

𝑉 = 0,125 𝑚

o ângulo 𝛽 pode ser encontrado pela relação:

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑉

𝐻⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =

0,125𝑚

2,4969𝑚⟹

𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑒𝑛 𝛽) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0,125𝑚

2,4969𝑚 ⟹

𝛽 ≅ 2,8695°

4.2.3. Semipista

O caso da semipista é análogo ao caso do acostamento, onde a diferença é apenas nos

dados, ou seja, as dimensões e o valor da inclinação, representado pela Figura 64.

Figura 59 - Triângulo retângulo da semipista em tangente

Dados da semipista, 𝑖 = 3,00%, hipotenusa = 3,50m e 𝑉 = 0,03𝐻

Pelo Teorema de Pitágoras,

3,50𝑚 = (0,03𝐻)2 + 𝐻2 ⟹ 3,50𝑚 = 1,0009𝐻2 ⟹

3,50𝑚 = 1,00045𝐻 ⟹ 𝐻 = 3,4984𝑚

83

Para encontrar V, o valor de H é substituído em:

𝑉 = 0,03𝐻 ⟹ 𝑉 = 0,03 × 3,4984 𝑚 ⟹

𝑉 = 0,105 𝑚

O ângulo 𝛾 é encontrado pela relação:

𝑠𝑒𝑛 𝛾 =𝑉

𝐻⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝛾 =

0,105𝑚

3,4984𝑚⟹

𝛾 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑒𝑛 𝛾) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0,105𝑚

3,4984𝑚 ⟹

𝛾 ≅ 1,7199°

4.2.4. Considerações sobre os valores encontrados do acostamento e da semipista

Os dados nos mostram que os ângulos são tão pequenos, acostamento 𝛽 ≅ 2,8695° e

na semipista 𝛾 ≅ 1,7199°, que suas dimensões horizontais, na prática, são as mesmas

dimensões da hipotenusa, ou seja, da medida inclinada, sem nenhuma perda.

4.2.5. Cálculo de áreas

Para o cálculo de áreas podem ser utilizados métodos analíticos e gráficos.

O método gráfico consiste em transformar a representação do desenho da seção

transversal em figuras geométricas conhecidas como retângulos, triângulos ou trapézios,

cálculadas de acordo com as Proposições, 8, 9 e 10, em razão da simplicidade.5

5 Limitação: não foi possível a demonstração com dados do projeto porque este não apresenta caderneta de

campo com as cotas do terreno natural, dados imprescindíveis para este cálculo.

84

4.2.6. Cálculo de volumes

A principal dificuldade do cálculo de volume das unidades de terraplenagem vem da

indefinição da forma geométrica da superfície do solo. “Pode-se comprovar que essa

superfície se aproxima satisfatoriamente da superfície de uma parabloide hiperbólico, gerado

por uma reta que se desloca apoiada nas duas linhas do terreno definidas em duas seções

transversais contiguas. Pode-se aquilar o trabalho exigido para se definir, em cada interperfil,

correspondente superíficie dessa paraboloide.” (ANTAS et al, 2010, p. 200).

Outra dificuldade diz respeito a seção intermediária entre as seções extremas do

interperfil de modo a conter as particularidades dessas seções.

O prismoide é um “sólido que tem duas superfícies planas paralelas, limitado

lateralmente por superfícies geradas por retas que se deslocam apoiadas no contorno das duas

Figuras extremas” (id., p. 202).

Uma seção qualquer, intermediária as duas seções, paralelas às bases e distantes x de

uma das extremidades, terá por área 𝑆𝑥 =1

2𝑏𝑥 ∙ 𝑕𝑥 .(Figura 60)

Figura 60 – Prismoide triangular

Fonte: Antas, et al (2010)

85

Partindo dos conceitos d e semelhança de triângulos serão encontrados os valores de

𝑏𝑥 e 𝑕𝑥 .

Base 𝑏𝑥 (Figura 61):

Figura 61 - Relação para encontrar 𝒃𝒙

Fonte: autor

𝑦

𝑦 + 𝑑=

𝑏2

𝑏1⇔ 𝑏2 𝑦 + 𝑑 = 𝑦𝑏1 ⇔ (𝑏1 − 𝑏2)𝑦 = 𝑏2𝑑 ⇔

𝑦 =

𝑏2𝑑

(𝑏1 − 𝑏2)

(1)

Por outro lado,

𝑦

𝑦 + 𝑑 − 𝑥=

𝑏2

𝑏𝑥⇔

𝑏𝑥 =

𝑏2(𝑦 + 𝑑 − 𝑥)

𝑦

(2)

Logo, da equação (1), temos:

𝑦 + 𝑑 =𝑏2𝑑

(𝑏1 − 𝑏2)+ 𝑑 ⇔ 𝑦 + 𝑑 =

𝑏2

(𝑏1 − 𝑏2)+ 1 𝑑 ⇔ 𝑦 + 𝑑 =

𝑏2 + 𝑏1 − 𝑏2

(𝑏1 − 𝑏2) 𝑑

𝑦 + 𝑑 =

𝑏1

(𝑏1 − 𝑏2) 𝑑

(3)

Substituindo (1) e (3) em (2)

86

𝑏𝑥 =𝑏2(𝑦 + 𝑑 − 𝑥)

𝑦 ⇔ 𝑏𝑥 =

𝑏2 𝑏1

(𝑏1 − 𝑏2) 𝑑 − 𝑥

𝑏2𝑑(𝑏1 − 𝑏2)

⇔

𝑏𝑥 =

𝑏1𝑑 − (𝑏1 − 𝑏2)𝑥(𝑏1 − 𝑏2)

𝑑(𝑏1 − 𝑏2)

⇔ 𝑏𝑥 =𝑏1𝑑 − (𝑏1 − 𝑏2)𝑥

𝑑⇔ 𝑏𝑥 = 𝑏1 −

(𝑏1 − 𝑏2)𝑥

𝑑

𝑏𝑥 = 𝑏1 +

(𝑏2 − 𝑏1)𝑥

𝑑

(4)

Altura 𝑕𝑥 (forma análoga a 𝑏𝑥 ), pela Figura 62:

Figura 62 - Relação para encontrar 𝑕𝑥.

𝑦

𝑦 + 𝑑=

𝑕2

𝑕1⇔ 𝑕2 𝑦 + 𝑑 = 𝑦𝑕1 ⇔ (𝑕1 − 𝑕2)𝑦 = 𝑕2𝑑 ⇔

𝑦 =

𝑕2𝑑

(𝑕1 − 𝑕2)

(5)

Por outro lado,

𝑦

𝑦 + 𝑑 − 𝑥=

𝑕2

𝑕𝑥⇔

𝑕𝑥 =

𝑕2(𝑦 + 𝑑 − 𝑥)

𝑦

(6)

Logo, da equação (5), temos:

87

𝑦 + 𝑑 =𝑕2𝑑

(𝑕1 − 𝑕2)+ 𝑑 ⇔ 𝑦 + 𝑑 =

𝑕2

(𝑕1 − 𝑕2)+ 1 𝑑 ⇔ 𝑦 + 𝑑 =

𝑕2 + 𝑕1 − 𝑕2

(𝑕1 − 𝑕2) 𝑑

𝑦 + 𝑑 =

𝑕1

(𝑕1 − 𝑕2) 𝑑

(7)

Substituindo (5) e (7) em (6), temos:

𝑕𝑥 =𝑕2(𝑦 + 𝑑 − 𝑥)

𝑦 ⇔ 𝑕𝑥 =

𝑕2 𝑕1

(𝑕1 − 𝑕2) 𝑑 − 𝑥

𝑕2𝑑(𝑕1 − 𝑕2)

⇔ 𝑕𝑥 =

𝑕1𝑑 − (𝑕1 − 𝑕2)𝑥(𝑕1 − 𝑕2)

𝑑(𝑕1 − 𝑕2)

⇔

𝑕𝑥 =𝑕1𝑑 − (𝑕1 − 𝑕2)𝑥

𝑑⇔ 𝑕𝑥 = 𝑕1 −

(𝑕1 − 𝑕2)𝑥

𝑑⇔

𝑕𝑥 = 𝑕1 +

(𝑕2 − 𝑕1)𝑥

𝑑

(8)

Substituindo os valores de 𝑏𝑥 (4) e 𝑕𝑥 (8), na equação 𝑆𝑥 =1

2∙ 𝑏𝑥 ∙ 𝑕𝑥 , temos:

𝑆𝑥 =

1

2× 𝑏1 +

(𝑏2 − 𝑏1)𝑥

𝑑 ∙ 𝑕1 +

(𝑕2 − 𝑕1)𝑥

𝑑

(9)

O volume infinitesimal, gerado pelo deslocamento dx desta seção será:

𝑑𝑉 = 𝑆𝑥𝑑𝑥 (10)

𝑉𝑜𝑙 = 𝑆𝑥𝑑𝑥

𝑑

0

=1

2 𝑏1 +

(𝑏2 − 𝑏1)𝑥

𝑑 × 𝑕1 +

(𝑕2 − 𝑕1)𝑥

𝑑

𝑑

𝑜

𝑑𝑥 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =1

2 𝑏1𝑕1 + 𝑏1 ∙

(𝑕2 − 𝑕1)𝑥

𝑑 + 𝑕1 ∙

(𝑏2 − 𝑏1)𝑥

𝑑 +

(𝑏2 − 𝑏1)𝑥

𝑑∙

(𝑕2 − 𝑕1)𝑥

𝑑

𝑑

𝑜

𝑑𝑥 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =1

2 𝑏1𝑕1 + 𝑏1 ∙

(𝑕2 − 𝑕1)𝑥

𝑑 + 𝑕1 ∙

(𝑏2 − 𝑏1)𝑥

𝑑 + (𝑏2 − 𝑏1) ∙ (𝑕2 − 𝑕1)

𝑥2

𝑑2

𝑑

𝑜

𝑑𝑥 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =1

2 𝑏1𝑕1 𝑥 + 𝑏1 ∙

(𝑕2 − 𝑕1)𝑥2

2𝑑 + 𝑕1 ∙

(𝑏2 − 𝑏1)𝑥2

2𝑑 + (𝑏2 − 𝑏1) ∙ (𝑕2 − 𝑕1)

𝑥3

3𝑑2 𝑑0

⟹

𝑉𝑜𝑙 =1

2 𝑏1𝑕1 𝑑 + 𝑏1 ∙

(𝑕2 − 𝑕1)𝑑2

2𝑑 + 𝑕1 ∙

(𝑏2 − 𝑏1)𝑑2

2𝑑 + (𝑏2 ∙ 𝑕2 − 𝑏2 ∙ 𝑕1 − 𝑏1 ∙ 𝑕2 + 𝑏1𝑕1)

𝑑3

3𝑑2 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =1

2𝑑 𝑏1𝑕1 + 𝑏1 ∙

(𝑕2 − 𝑕1)𝑑

2 + 𝑕1 ∙

(𝑏2 − 𝑏1)𝑑

2 + (𝑏2 ∙ 𝑕2 − 𝑏2 ∙ 𝑕1 − 𝑏1 ∙ 𝑕2 + 𝑏1𝑕1)

𝑑

3 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =1

2 𝑏1𝑕1𝑥 + 𝑏2 − 𝑏1 𝑕1

𝑥2

2𝑑+ 𝑏1(𝑕2 − 𝑕1)

𝑥2

2𝑑+ (𝑏2 − 𝑏1)(𝑕2 − 𝑕1)

𝑥3

3𝑑2 𝑑0

⟹

88

𝑉𝑜𝑙 =1

2 𝑏1𝑕1𝑑 + 𝑏2 − 𝑏1 𝑕1

𝑑2

2𝑑+ 𝑏1(𝑕2 − 𝑕1)

𝑑2

2𝑑+ (𝑏2 − 𝑏1)(𝑕2 − 𝑕1)

𝑑3

3𝑑2 𝑑

0⟹

𝑉𝑜𝑙 =1

2𝑑 𝑏1𝑕1 +

1

2 𝑏2 − 𝑏1 𝑕1 +

1

2𝑏1(𝑕2 − 𝑕1) +

1

3(𝑏2 − 𝑏1)(𝑕2 − 𝑕1)

𝑑0

⟹

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

2

1

3𝑏1𝑕1 +

1

6𝑏1𝑕2 +

1

6𝑕1𝑏2 +

1

3𝑏2𝑕2 ⟹ 𝑉𝑜𝑙 =

𝑑

6 𝑏1𝑕1 +

1

2𝑏1𝑕2 +

1

2𝑕1𝑏2 + 𝑏2𝑕2 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

6

2𝑏1𝑕1

2+

1

2𝑏1𝑕2 +

1

2𝑕1𝑏2 +

2𝑏2𝑕2

2 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

6

1

2𝑏1𝑕1 +

1

2𝑏1(𝑕1 + 𝑕2) +

1

2𝑏2(𝑕1 + 𝑕2) +

1

2𝑏2𝑕2 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

6

1

2𝑏1𝑕1 + 4

1

2×

(𝑏1 + 𝑏2)

2×

(𝑕1 + 𝑕2)

2 +

1

2𝑏2𝑕2

(7)

Pela Figura 60, sabe-se que: 𝑆1 =1

2𝑏1𝑕1, 𝑆2 =

1

2𝑏2𝑕2 e 𝑆𝑚 =

1

2×

(𝑏1+𝑏2)

2×

(𝑕1+𝑕2)

2,

substituindo S1, S2 e Sm em (7),

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

6 𝑆1 + 4𝑆𝑚 + 𝑆2 (8)

∎

Esta expressão poderá ser utilizada para qualquer forma de interperfil, não se

limitando ao prismoide.

Um método aproximado de cálculo de volume é definindo a seção média (Sm)

pertencente entre a seção anterior (S1) e posterior (S2) , dado por:

𝑆𝑚 = 𝑆1 +𝑆2

2 ⟹ (9)

𝑆1 + 𝑆2 = 2𝑆𝑚 (10)

O volume determinado pelo método da média das áreas, é determinado pela substituição de

(9) em (8) e expresso por:

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

6 𝑆1 + 4𝑆𝑚 + 𝑆2 ⟹ 𝑉𝑜𝑙 =

𝑑

6 𝑆1 + 4

𝑆1 + 𝑆2

2 + 𝑆2 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

6 𝑆1 + 2 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆2 ⟹ 𝑉𝑜𝑙 =

𝑑

6 3𝑆1 + 3𝑆2 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

2 𝑆1 + 𝑆2 (11)

∎

89

O volume determinado pelo método da área média, é determinado pela substituição de (10)

em (8) e expresso por:

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

6 𝑆1 + 4𝑆𝑚 + 𝑆2 ⟹ 𝑉𝑜𝑙 =

𝑑

6 𝑆1 + 𝑆2 + 4𝑆𝑚 ⟹

𝑉𝑜𝑙 =𝑑

6 2𝑆𝑚 + 4𝑆𝑚 ⟹ 𝑉𝑜𝑙 =

𝑑

6 6𝑆𝑚 ⟹

𝑉𝑜𝑙 = 𝑑𝑆𝑚 (11)

Sendo 𝑑 a distância entre as seções, em metro (m).

O método de cálculo de volume é definido de acordo com a precisão necessária.

Alguns métodos são mais precisos, entretanto devido sua complexidade ainda não são tão

utilizados na prática.6

4.3. INTERSEÇÕES, ACESSO E TRAVESSIA URBANA

O Manual de Projeto de Interseções – Versão Final (2005, p. 39) define interseção

como “área em que duas ou mais vias se unem ou se cruzam, abrangendo todo o espaço

destinado a facilitar os movimentos dos veículos que por ela circulam” e:

Interseção: confluência, entroncamento ou cruzamento de duas ou mais vias.

Acesso: interseção de uma rodovia com uma via de ligação a propriedades

marginais, de uso particular ou público.

Retorno: dispositivo de uma rodovia que permite a veículos de uma corrente de tráfego a transferência para a corrente de sentido contrário.

Designa-se por “área funcional de uma interseção, acesso ou retorno” a área

que contém todos os dispositivos destinados a ordenar os diversos movimentos do tráfego, incluindo canalizações e faixas auxiliares.

Pontes Filho (1998, p. 315) conceitua interseção como “a área em que duas ou mais

vias se cruzam ou se unificam, e na qual estão localizados todos os dispositivos destinados a

ordenar os diversos movimentos de tráfego.”

6 Limitação ao cálculo de volume do projeto: o mesmo não apresenta os dados das cotas e áreas das seções para

que se pudesse demonstrar o volume nas seções reais.

90

Todas as interseções do projeto ocorrem em nível, ou seja, toda a sua extensão se

encontra na mesma altura do greide.

No projeto existem quatro interseções: Interseção da estaca 0 com a Rodovia BR-

304 (contorno de Mossoró), Interseção da estaca 1836 +10,20 para a RN-405, Interseção da

estaca 3782 com o acesso para Campo Grande e a Interseção da estaca 3899 + 17,49 com a

rodovia RN-233 (Areia Branca).

Todas as interseções presentes no projeto são destinadas a separar e regularizar os

movimentos dos veículos, incrementadas com ilhas de canalização para aumentar a segurança

e organizar a movimentação dos veículos e dos pedestres.

4.3.1. As figuras geométricas das interseções do projeto

As interseções são do tipo “gota e ilha”. A gota é uma forma geométrica

indeterminada, com o objetivo de se apresentar como um obstáculo visual ao motorista e

direcionar o fluxo. A ilha é representada por triângulo e tem a função de direcionar os vários

fluxos de veículo.

A gota e a ilha são dimensionadas de acordo com as características de tráfego da via.

4.3.2. Interseção da estaca 0 com a rodovia BR-304 (contorno de Mossoró)

A configuração atual desta interseção é do tipo “gota e ilha” com ramos que

permitem o acesso para Natal e Mossoró através da BR-304, em pista simples, representado

pela Figura 63.

Os estudos realizados tiveram como base uma avaliação dos volumes de tráfego total

e relativo dos movimentos futuros cujos resultados permitiram adequar a situação existente

mantendo-se o mesmo layout, aumentando-se a condição de conforto e segurança do usuário

através da implantação de faixas adequadas de aceleração e desaceleração.

Os raios adotados nas “alças” tiveram dimensões confortáveis, compatíveis com

uma velocidade em torno de 40 Km/h.

91

Figura 63 - Interseção da estaca 0 com a rodovia BR-304

Fonte: Projeto geométrico DES.4.3.01

4.3.3. Interseção da estaca 1836 + 10,20 para a RN-405

Esta interseção foi projetada com “ilha e gota”. Os ramais tiveram ângulos de

concordância em torno de 90 graus concordados com curvas circulares simples com raios de

56 e 48 metros, respectivamente. (Figura 64)

92

Figura 64 – Interseção da estaca 1836+10,20 para a RN-405


4.3.4. Interseção da estaca 3782 com o acesso para Campo Grande

A geometria foi definida adequando-se o acesso principal ao novo alinhamento

previsto para a BR-110. Será de formato semelhante as anteriores, ou seja, gota e ilha.

As faixas de aceleração e desaceleração tiveram maior amplitude para permitir

segurança a quem se destina para entrar no acesso a Campo Grande. (Figura 65)

93

Figura 65 – Interseção da estaca 3782 com o acesso para Campo Grande


4.3.5. Interseção da estaca 3899 + 17,49 com a rodovia RN-233 (Areia Branca)

Esta interseção localiza-se no final do trecho com a rodovia RN-233.

O projeto desenvolvido apresenta um layout semelhante às anteriormente projetadas

e explicadas.

O traçado da rodovia nesse ponto forma ângulo reto com a RN-233, possibilitando-

se desenvolver um projeto que ofereça melhores condições de segurança e conforto. (Figura

66)

94

Figura 66 - Interseção da estaca 3899 + 17,49 com a rodovia RN-233 (Areia Branca)


95

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os objetivos propostos com a análise do projeto executivo de engenharia para

pavimentação e melhoria do traçado da BR-110/RN foram alcançados, com pequenas

ressalvas.

A estrada pode ser comparada como uma semirreta composta por segmentos de retas,

identificados por numeração arábica, que são as estacas. Além da função de marcar o trecho,

as estacas também podem ser utilizadas para saber a distância entre dois pontos.

Ao analisar a seção transversal da rodovia, vemos que ela é o conjunto de triângulos,

ora informados com relação à inclinação, ora pela razão entre suas dimensões verticais e

horizontais.

O tipo de curva mais usado é a simples, devido suas características de cálculo e de

locação. Suas relações geométricas são fundamentadas em definições de circunferência,

posição da circunferência e retas, ângulos, todos utilizados na topografia através de

coordenadas e transporte de segmentos de retas, ou seja, materialização das coordenadas que

serão à distância entre duas estacas.

As ressalvas dizem respeito à falta do levantamento topográfico do terreno natural

impossibilitando a realização dos cálculos de área da seção transversal e volume entre as

estacas.

Após estas considerações, concluiu-se que a Geometria faz parte de todos os

segmentos do projeto de estrada, podendo ir além das geometrias plana e analítica, passando

para as geometrias não euclidianas que poderão aprimorar os cálculos e os métodos de

trabalho.

96

REFERÊNCIAS

ANTAS, Paulo Mendes [et al.]. Estradas: projeto geométrico e de terraplenagem. Rio de

Janeiro: Interciência, 2010.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Várias faces da matemática. São Paulo: Blucher, 2007.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6023-2002: informação e

documentação – referências – elaboração. Rio de Janeiro: ABNT, 2002.

______. NBR 14724-2011: informação e documentação – trabalhos acadêmicos –

apresentação. Rio de Janeiro: ABNT, 2011.

BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 6. ed. Rio de Janeiro:

Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. (Coleção do professor de matemática)

BORGES, Alberto de Campos. Topografia – vol. 1. São Paulo: Blucher, 2012.

BORGES, Alberto de Campos. Topografia – vol. 2. São Paulo: Blucher, 2012.

BOYER, Carl B. História da matemática. Revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F.

Gomide – 2. ed. São Paulo: Blucher, 1996.

BRASIL. LEI 8.666, 21 de junho de 1993. Regulamenta o art. 37, inciso XXI, da

Constituição Federal, institui normas para licitações e contratos da Administração Pública e

dá outras providências Disponível em:

http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l8666compilado.htm. \Acesso em: 14/03/2013.

BRASIL. Departamento nacional de estradas e rodagens. Divisão da capacitação tecnológica.

Glossário de termos técnicos rodoviários. Rio de Janeiro, 1997. (IPR. Publ., 700)

_______. Departamento nacional de estradas e rodagens. Divisão da capacitação tecnológica.

Manual de projeto geométrico de rodovias rurais. Rio de Janeiro, 1999. (IPR. Publ., 706)

_______. Departamento nacional de infraestrutura de transportes. Diretoria de Planejamento e

Pesquisa. Coordenação Geral de Estudos e Pesquisas. Instituto de Pesquisas Rodoviárias.

Manual de estudos de tráfego. Rio de Janeiro, 2006. (IPR. Publ., 723)

http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l8666compilado.htm

97


Pesquisa. Instituto de Pesquisas Rodoviárias. Diretrizes básicas para estudos e projetos

rodoviários: escopos básicos / instrução de serviços. 3. ed. Rio de Janeiro, 2006. (IPR. Publ.,

726)


Pesquisa. Instituto de Pesquisas Rodoviárias. Diretrizes básicas para estudos e projetos

rodoviários: instruções para acompanhamento e análises. Rio de Janeiro, 2010. (IPR. Publ.,

739)

_______. Departamento nacional de infraestrutura de transportes. Diretoria Executiva.

Instituto de Pesquisas Rodoviárias. Manual de projetos de travessias urbanas. Rio de

Janeiro, 2010. (IPR. Publ., 740)

_______. Departamento nacional de infraestrutura de transportes. Diretoria Executiva.

Instituto de Pesquisas Rodoviárias. Manual de práticas operacionais de segurança nas

rodovias. Rio de Janeiro, 2010. (IPR. Publ., 741)


Pesquisa. Terminologias rodoviárias usualmente utilizadas. Versão 1.1, 2007.

CARMO, Manfredo Perdigão, et al. Trigonometria e números complexos. Rio de Janeiro:

Sociedade brasileira de Matemática, 2005. (Coleção do professor de Matemática)

CARVALHO, Alexandre Braz de, et al. Projeto geométrico de estradas: introdução.

Viçosa: UFV, 2004.

CARVALHO, Alexandre Braz de, et al. Projeto geométrico de estradas: concordância

horizontal e vertical. Viçosa: UFV, 2005.

CARVALHO, M. Pacheco. Curso de estradas: estudos, projetos e locação de ferrovias e

rodovias – vol. 1. Rio de Janeiro: Editora Científica, 1973.

CEREJA, William Roberto; MAGALHÃES, Thereza Cochar. Gramática reflexiva: volume

único. 3. ed. São Paulo: Atual, 2009.

COMASTRI, José Aníbal; TULER, José Claudio. Topografia: altimetria. 3. ed. Viçosa:

UFV, 2005.

98

Departamento Nacional de Infraetrura de Transportes – DNIT. Disponível em:

www.dnit.gov.br. Acesso em: 05/04/2013.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar, 9:

geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 3: trigonometria. 3. ed. São Paulo:

Atual Editora, 1977-78.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo – vol. 1. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,

2008.

LAKATOS, Eva Maria; MARCONI, Marina de Andrade. Metodologia do trabalho

científico: procedimentos básicos, pesquisa bibliográfica, projeto e relatório, publicações e

trabalhos científicos. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2012.

LIMA, Elon Lajes et al. A matemática do ensino médio: volume 1. 9. ed. Rio de Janeiro:

SBM, 2006. (Coleção do professor de matemática)

LIMA, Elon Lajes et al. A matemática do ensino médio: volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro:

SBM, 2009. (Coleção do professor de matemática)

PONTES FILHO, Glauco. Estradas de rodagem: projeto geométrico. São Carlos: G. Pontes

Filho, 1998.

REPÚBLICA FEDERATIVA DO BRASIL. Ministério dos Transportes. Departamento

nacional de infraestrutura de transportes. Projeto executivo de engenharia para

pavimentação e melhoria do traçado da BR-110/RN. Recife/PE, 2009. CD-ROM.

SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: www.somatematica.com.br. Acesso em: 05/04/2013.

http://www.somatematica.com.br/

99

GLOSSÁRIO

ACOSTAMENTO Parte rodovia, contígua à pista de rolamento, destinada ao suporte lateral

do pavimento e proteção aos efeitos da erosão e, eventualmente, em caso de emergência,

parada ou trânsito de veículos.

COTA Distância vertical de um ponto do terreno a uma superfície de nível fictícia ou plano

horizontal de referência (datum), que pode situar-se acima ou abaixo do nível do mar.

COTA VERMELHA Diferença entre a cota do greide no projeto e a do terreno natural,

considerada no mesmo ponto.

CRISTA DE ATERRO Interseção da superfície da plataforma com a saia do aterro.

CRISTA DE CORTE Interseção do terreno natural com o talude de corte.

CRISTA DE TALUDE Sucessão dos pontos mais altos de um talude.

CRUZAMENTO EM NÍVEL Interseção de eixos de vias em um mesmo nível.

CURVA 1) Lugar geométrico de um ponto que se desloca no espaço com um único grau de

liberdade. 2) Parte de uma estrada que não tem alinhamento retílineo, podendo ser horizontal

ou vertical.

CURVA CIRCULAR Lugar geométrico de um ponto que se desloca sobre um plano,

definido por distância constante de um ponto, denominado centro do círculo.

CURVA COMPOSTA Curva formada por dois ou mais arcos concorrentes de curvas

diferentes.

DECLIVE Rampa descendente no sentido de um deslocamento.

DECLIVIDADE TRANSVERSAL Tangente triginométrica do ângulo formado entre um

plano horizontal e o plano que contém a superfície de rolamento do perfil transversal em

consideração.

EIXO 1) Reta real ou fictícia que passa pelo centro de um corpo, em volta do qual este

executa um movimento de rotação. 2) Linha principal, verdadeira ou imaginária, que divide

um corpo simetricamente. 3) Linha fictícia que se estende entre dois pontos geográficos

extremos. 4) Elemento estrutural de um veículo em que se fixam rodas, as quais transmitem

movimento ou em que se montam rodas para livre movimento.

EIXO DE LONGITUDINAL Linha axial.

100

EMPRÉSTIMO Volume de material que se escava para suprir a deficiência ou insuficiência

do destinado ao aterro.

ENCOSTA/VERTENTE Superfície lateral de elevação ou depressão do terreno.

ESTACA 1)Marco que se crava no terreno, em trabalhos topográficos, para assinalar

temporariamente um ponto da superfície. 2) Distância horizontal de 20 m, ao longo do eixo,

que é o intervalo entre duas estações topográficas designadas por número inteiros.

ESTACA TESTEMHUNHA Pequena estaca numerada, em geral fazendo parte de um

conjunto de estacas topográficas, que identifica ponto importante de um levantamento

topográfico.

GREIDE Perfil do eixo de uma estrada complementado com a inscrição de todos os

elementos que o define.

SAIA DO ATERRO Superfície do terreno limitada pelas cristas e pés dos aterros.

TALUDE 1) Superfície inclinada de qualquer parte da superfície terrestre. 2) Terreno

inclinado, superfície inclinada (aterro ou escavação). 3) Inclinação da superfície de um

terreno, do solo em uma escavação ou aterro, de um muro. 4) Superfície definida pela área de

acabamento de um corte ou aterro, formando um ângulo com o plano vertical, que é medido

pela tangente deste ângulo.

101

ANEXOS

ANEXO 1 – Projeto geométrico DES. 4.3.01






ANEXO 7 – Seção transversal tipo – terraplenagem TER-1

ANEXO 8 – Seção transversal tipo – pavimentação PAV-1

3%3%

T.N

T.N

6,55 m 6,55 m

SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO DE TERRAPLENAGEM

2

2

2

3

3

3

3,0 m

SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO - TERRAPLENAGEM TER-1

TECNOPLANPROJETOS E CONSULTORIA LTDA.

DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRA-ESTRUTURA DE TRANSPORTES DNIT

RODOVIA

BR-110/RN

TRECHO : AREIA BRANCA - DIV. RN/PBSUBTRECHO : MOSSORÓ - CAMPO GRANDESEGMENTO : km 51,3 - km 129,3EXTENSÃO : 78,0

3%

5%

3%

5%

2

2

3

3

SEÇÃO EM TANGENTE

SEÇÃO EM CURVA

C.B.U.Qe = 0.075 m

T.S.DT.S.D

C.B.U.Qe = 0.075 m

OBSERVAÇÃO :

1) TODOS AS DIMENSÕES ESTÃO EM METRO

BASESOLO-BRITAe = 0,15 m

BASESOLO-BRITAe = 0,15 m

ACOSTACOSTSEMI-PISTA SEMI-PISTA

3,50 3,50 2,50 m3,00 m 2,50 m

ACOSTACOSTSEMI-PISTA SEMI-PISTA

3,50 3,50 2,50 m3,00 m 2,50 m

SUB-BASEESTABILIZADA GRANULOMETRICAMENTEe = 0,20 m

SUB-BASEESTABILIZADA GRANULOMETRICAMENTEe = 0,20 m

T.N

T.N

2

2

2

2

3

3

3

3

SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO - PAVIMENTAÇÃO PAV - 1

TECNOPLANPROJETOS E CONSULTORIA LTDA.

DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRA-ESTRUTURA DE TRANSPORTES DNIT

RODOVIA

BR-110/RN

TRECHO SUBTRECHOSEGMENTOEXTENSÃO

: AREIA BRANCA - DIV. RN/PB: MOSSORÓ - CAMPO GRANDE: km 51,3 - km 129,3: 78,0 km

3%

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