universidade federal do paranÁ - ufpraproveitar os inúmeros pequenos rios com pch’s, aproveitar...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

SETOR DE TECNOLOGIA – CENTRO POLITÉCNICO

DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

JOSÉ LUIZ GRAVENA JR.

LUIZ CARLOS CAVAGNOLI

CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA NA

DISTRIBUIÇÃO COM ROTAÇÃO DE EIXOS

Trabalho de graduação apresentado à disciplina Projeto de Graduação, sob a Orientação do Professor Odilon Luís Tortelli.

Curitiba - PR Julho - 2011

Sumário

1 INTRODUÇÃO: O SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA. .................................................... 5

1.1 Histórico ................................................................................................................................... 5

1.2 Considerações sobre a estrutura da rede elétrica tradicional ................................................. 7

1.3 Evolução do Sistema................................................................................................................. 8

1.4 Objetivos ................................................................................................................................ 10

1.5 Revisão bibliográfica das técnicas de solução do fluxo de potência. ..................................... 12

1.6 Estrutura da dissertação ........................................................................................................ 17

2 MÉTODOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA ..................................................... 18

2.1 Introdução .............................................................................................................................. 18

2.2 O problema Fluxo de Potência ............................................................................................... 18

2.2.1 Subsistema1 ................................................................................................................. 20

2.3 Método de Newton-Raphson ................................................................................................. 21

2.3.1 Aplicação do Método de Newton .............................................................................. 22

2.3.2 Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo método de

Newton-Raphson ................................................................................................................... 24

SUBSISTEMA 1 .............................................................................................................................. 24

SUBSISTEMA 2 .............................................................................................................................. 25

2.3.3 Considerações finais quanto ao método de Newton-Rapshon ............................ 25

2.4 Método Desacoplado ............................................................................................................. 26

2.4.1 Método de Newton Desacoplado .............................................................................. 26

SUBSISTEMA 1 .............................................................................................................................. 28

SUBSISTEMA 2 .............................................................................................................................. 30

2.4.2 Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR) .................................................... 30

2.5 Considerações finais ............................................................................................................... 33

3 NORMALIZAÇÃO COMPLEXA ............................................................................................... 34

3.1 Introdução .............................................................................................................................. 34

3.2 Rotação de Eixos .................................................................................................................... 34

3.2 Normalização Complexa por Unidade .................................................................................... 39

3.4 Cálculo do Ângulo de Rotação ou Ângulo de Base ................................................................. 42

3.4.1 Ângulo Ótimo Orientado ao Ramo ............................................................................ 42

3.4.2 Ângulo Ótimo Orientado a Barra ............................................................................... 44


4 RESULTADOS ........................................................................................................................... 48

4.1 Introdução .............................................................................................................................. 48

4.2 Sistemas Teste ........................................................................................................................ 48

4.2.1 Sistema teste de 7 barras .......................................................................................... 48

4.2.2 Sistema Teste de 20 barras Copel – Baixa Tensão .............................................. 51

4.2.3 Sistema Teste de 34 barras IEEE (modificado) ...................................................... 52

4.2.5 Sistema Teste de 118 barras do IEEE modificado ................................................ 54


5 CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 56

Referencias Bibliograficas ............................................................................................................ 57

1 INTRODUÇÃO: O SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA.

1.1 Histórico

A implantação de energia elétrica no Brasil teve inicio em 1879, ainda no

Brasil império, com uma usina termoelétrica a carvão no estado do Rio de

Janeiro, para a iluminação da então estação central Dom Pedro II, hoje estação

Central do Brasil. Logo após em 1881 tem-se a primeira iluminação elétrica

externa da América do Sul em São Paulo.

A primeira usina hidroelétrica do Brasil entrou em operação em 1883 em

Diamantina/MG, que além de fornecer energia para mineradoras locais também

alimentava a iluminação municipal.

Este foi o cenário de evolução da energia elétrica no país até os anos

1930, caracterizado pela localização da geração muito próxima da carga e falta de

diferenciação entre transmissão e distribuição, pois com “linhas de transmissão”

bem curtas e ainda com poucos pontos de carga, estas praticamente faziam o

papel da distribuição.

A partir dos anos 1930 com o avanço do “Brasil-Indústria” e a

necessidade crescente de energia, foi preciso que se buscassem fontes maiores

de energia de maior porte, localizadas principalmente na região Sudeste do país

(Minas Gerais, São Paulo e Rio de Janeiro) conectadas agora com linhas mais

longas aos centros de carga.

Em 1963 é inaugurada a usina de Furnas, permitindo o início da

interligação do sistema elétrico de potência no Brasil, na época ligando RJ, MG e

SP.

A década de 1980 foi bastante promissora quanto ao desenvolvimento do

sistema elétrico de potência no Brasil. Em 1984 entra em operação a Usina

Hidroelétrica de Itaipu Binacional, até hoje a maior geradora energia elétrica do

mundo. Em 1986 teve início o processo de interligação dos subsistemas

brasileiros, inicialmente coma interligação do sistema Sul-Sudeste conduzindo no

final da década de 1990 à configuração atual do sistema elétrico brasileiro, o

Sistema Interligado Nacional (SIN).

Hoje tem-se 96,6% do sistema nacional interligado. Com isso pode-se

dizer que , devido ao tamanho e a potencia gerada, este sistema é um dos mais

complexos do mundo, tendo potencia instalada de 122,3GW, dos quais 62,3%

são provindas de energia hidráulica, 26,1% de energia térmica e apenas 3% de

pequenas centrais hidroelétricas (PCH) [1].Esta grande potência instalada

consegue ser entregue aos quatro cantos do país graças as grandes linhas de

transmissão. Este cenário exigiu que os grandes centros geradores como a UHE

de Tucuruí com 8300MW e a UHE de Itaipú com 14000MW instalados, fossem

bem utilizados com linhas de transmissão de 2000km e 1000km respectivamente,

ligando ao principal centro de consumo do país. O tamanho destas linhas implica

em uma série de variáveis, tais como as perdas e a manutenção de linhas.

Estas características não podem ser ditas como vantagens ou

desvantagens do sistema, elas são apresentadas aqui para expor a evolução do

mesmo. Um dado relevante que poderá ser melhorado é, por exemplo, o prejuízo

econômico causado ao país devido a um grande apagão, como aconteceu em

2001 e custou R$ 44 bilhões, segundo as contas da União. O processo de

evolução não irá acabar com apagões, mas irá diminuir a probabilidade de que

eles venham a ocorrer.

1.2 Considerações sobre a estrutura da rede elétrica tradicional

O sistema elétrico de transmissão é composto por uma rede malhada de

linhas, com tensões variando de 69 kV até 764 kV com capacidade de

transmissão de grande quantidade de energia, na ordem de centenas de MVA. O

termo rede malhada de transmissão se deve ao fato de ter mais de um “caminho

elétrico” entre dois pontos do sistema, facilitando o fluxo de potência. Pequenos

trechos operando de forma radial podem ser encontrados nas redes de

transmissão. Estes casos são poucos freqüentes e contemplam pequenas

distâncias, portanto, não apresentam maiores prejuízos à característica malhada

dos sistemas de transmissão.

Já os sistemas de distribuição são basicamente radiais, caracterizados

por ter em um único caminho entre cada consumidor e o alimentador de

distribuição. A potência flui da subestação para os consumidores através de um

caminho simples, o qual, em caso de interrupção, resulta na perda total de

energia para os consumidores à jusante do defeito. Os sistemas radiais de

distribuição podem apresentar uma característica de fracamente malhados, termo

adotado para indicar a possibilidade de realização da interligação de dois ramais

de um mesmo alimentador, sem que seja necessário o desligamento deste

alimentador.

Outra condição de operação do sistema de distribuição, denominada

paralelismo, consiste em se ter à possibilidade de conexão entre dois

alimentadores distintos através de uma chave seccionadora. Esta configuração

disponibiliza dois caminhos distintos entre a fonte de potência e os consumidores,

podendo ser em duas subestações diferentes, a mesma subestação com dois

transformadores diferentes ou mesmo o mesmo transformador. Este sistema por

ser mais complexo que o sistema radial em termos de proteção do sistema, só

pode ser adotado de maneira momentânea (com uma duração máxima da ordem

de dezenas de minutos). A sua vantagem está na melhoria do serviço de entrega

de energia, que passa a não se interrompido para a maioria dos consumidores

quando um segmento da rede é desligado, uma vez que existe um caminho

alternativo para o fluxo de potência, através do fechamento da citada chave de

interligação.

1.3 Evolução do Sistema

O contínuo crescimento da economia, bem como dos bens

industrializados e o consumo cada vez maior de tecnologia, exigirá cada vez

maior quantidade e qualidade de energia. O próximo passo para a melhoria e o

aumento da produtividade do sistema passa, sem dúvida, pela diversificação das

opções de geração, com a maior utilização de usinas eólicas, painéis solares,

geradores a diesel/biodiesel e o melhor aproveitamento de pequenas centrais

hidroelétricas (PCH’s). Desta forma, esta diversificação, trará benefícios como:

maior quantidade de energia gerada, menores perdas, a viabilidade do

consumidor/gerador (o consumidor poderá gerar a energia que irá usar)

diminuindo as perdas causadas pela transmissão, além de maior segurança na

operação, pois, quanto maior for o número de geradores, menor será a

possibilidade de uma falha total do sistema e menor a chance de uma sobrecarga

do mesmo.

Todos estes benefícios estão logo a nossa frente. Em um futuro muito

próximo não serão apenas uma vantagem, mas também uma necessidade gerada

pela produção, industrialização e/ou modernização de todos os setores a nossa

volta. Embora a qualidade dos produtos encontrados no mercado hoje em dia,

seja cada vez maior quando se fala em eficiência energética, por outro lado, tem-

se também cada vez mais máquinas produzindo estes produtos. Antigamente,

existiam famílias que tinham uma televisão em casa, por exemplo, ou ainda várias

famílias que se juntavam para assistir televisão na casa de um dos vizinhos, e

hoje a grande maioria das casas possui um destes aparelhos por morador. Estas

mesmas famílias que antes tinham uma geladeira, se é que tinham, hoje tem uma

geladeira, um freezer, dentre outros aspectos da vida moderna.

Então hoje, além do grande aumento do consumo de energia de

consumidores de baixa tensão também existe a mecanização das indústrias que

precisaram aumentar seu poder de produção automatizando seu processo para

atender a demanda em suas respectivas áreas, sejam elas agrícola, eletrônica,

automobilística, madeireira, etc.

Esta evolução do perfil social traz hoje cada vez mais a necessidade de

uma evolução também no atendimento deste consumo de energia, e quando é

dito evolução no fornecimento de energia elétrica não basta apenas criar mais

uma grande hidroelétrica. É necessário pensar em viabilizar alternativas visando

aproveitar os inúmeros pequenos rios com PCH’s, aproveitar os grandes campos

e planícies neste país geograficamente favorável à geração eólica, aproveitar o

pioneirismo do desenvolvimento de um combustível natural e renovável como o

biodiesel e tirar o máximo proveito destas fontes alternativas.

É importante destacar que, todo este desenvolvimento do setor elétrico

não seria possível se o atual sistema elétrico não estivesse instalado, ou seja, o

sistema elétrico do futuro não é em hipótese alguma uma substituição do atual

sistema elétrico, mas sim, uma evolução do mesmo, buscando sempre tirar ao

máximo benefícios para aqueles que produzem, fornecem e consomem esta

energia.

1.4 Objetivos

Como descrito anteriormente a evolução natural do sistema elétrico

brasileiro mostra uma situação em que tem-se atualmente grandes centros de

carga a grandes distâncias dos grandes centros geradores de energia elétrica.

Com relação à interação entre transmissão e distribuição, tem-se atualmente a

seguinte visão: a operação da transmissão vê o sistema de distribuição não como

um todo, mas sim como uma carga “fixa”, conectada no barramento da

subestação de distribuição, enquanto a operação da distribuição enxerga a

transmissão apenas como um gerador conectado no lugar da subestação de

tratamento de energia. Como ilustrado na figura 1. Resumindo, pode-se dizer que

cada sistema enxerga o outro, apenas como um ponto de entrada ou saída de

potência. Para um melhor aproveitamento de recursos energéticos num futuro não

muito distante tem-se a perspectiva de ampliação da geração local. A geração

junto à carga irá aumentar a quantidade de energia disponível e diminuir as

perdas causadas pela transmissão. Com isso todos ganham, concessionárias

com mais opções de fornecimento, consumidores com energia de mais qualidade

e mais barata e ainda, maior disponibilidade de fornecimento sendo que apagões

seriam menos frequentes e mais isolados, diminuindo impactos como os apagões

de 1998 e o de 2001 por exemplo.

FIGURA 1

Um dos entraves para a operação de um sistema elétrico com tais

características é a dificuldade para execução de análises como a de fluxo de

potência, tendo em vista que os métodos de cálculo empregados para analisar a

rede de distribuição não funcionam para a rede de transmissão e vice-verso.

O que este trabalho vem contribuir no estudo do emprego de uma técnica

que permita que estes dois sistemas possam sim, interagir de forma mais “amiga”,

possibilitando que o sistema de distribuição seja visto de forma completa pela

rede de transmissão, inclusive quando operar injetando potência na transmissão.

Para a adequação destes dados será utilizado a normalização complexa

dos dados dos sistemas.

Neste trabalho será enfocado o sistema de distribuição buscando

demonstrar a eficácia da normalização complexa visando uma futura integração

computacional para análise conjunta de fluxo de potencia nas rdes de

transmissão e distribuição.

1.5 Revisão bibliográfica das técnicas de solução do fluxo de potência.

Desde a formulação inicial na década de 60, vários métodos vêm sido

propostos para resolver o problema de fluxo de potência para sistemas de

distribuição radiais. Alguns deles serão destacados a seguir por ordem

cronológica:

Nos anos 50, empregava-se o método de Gauss-Siedel para a resolução

do fluxo de potência. Apesar de eficiente, é considerado muito lento, pois

necessita de um número excessivo de iterações para encontrar a solução. Aliado

à baixa capacidade de processamento dos computadores da época, tornava o

método pouco utilizável.

No final dos anos 60, W.F. Tinney ET AL. (1967) apresenta a resolução

do problema de fluxo de potência pelo método Newton-Raphson, cujo

desenvolvimento considera apenas as características dos sistemas de

transmissão de energia (sistemas malhados), sem explorar

computacionalmente características típicas de redes de distribuição (redes

radiais). O Método de Newton passou a ser uma referência no cálculo do fluxo

de potência para redes malhadas, pois apresenta uma convergência rápida e

eficiente.

Em 1967 surge o primeiro trabalho desenvolvido exclusivamente para

sistemas de distribuição, R. Berg ET AL (1967) " Mechanized calculation of

unbalanced load flow on radial distribuition circuits," que pode ser considerado

como base para o sistema Backward/Forward e para todas as variantes que

seguiram após a efetivação do método.

O método Backward/Forward Sweep, foi proposto por D. Shimohammadi et

al. (1976). O método de resolução consiste em dois passos básicos, varredura

backward, onde são calculados as correntes ou fluxos de potência nas linhas,

iniciando das barras finais em direção a subestação e a varredura forward, que

realiza os cálculos das quedas de tensão com as atualizações das correntes ou

fluxos de potência, partindo da subestação alimentadora em direção as barras no

final do alimentador. Esses passos são repetidos até que se obtenha a

convergência do algoritmo. Por possuir boa características de convergência e ser

muito robusto tornou-se o principal método de solução, e serviu como base para

muitos métodos propostos posteriormente. Este método pode ser aplicado

também para sistemas fracamente malhados, ou seja, sistemas que apresentam

poucas interligações, onde são convertidos em redes radiais.

Porém, enquanto muitos pesquisadores buscavam aperfeiçoar e

desenvolver técnicas para resolver o problema de FP voltado para redes de

transmissão, as pesquisas para as redes de distribuição não tiveram tanta

ênfase. Os estudos de FP para distribuição eram realizados com pouca ou

nenhuma análise.

No final dos anos 80, com a modernização da legislação e o

aumento da competitividade, bem como a necessidade de uma melhora da

qualidade da energia fornecida, como decorrência do aparecimento de cargas

sensíveis com a variação da tensão, o setor da distribuição de energia passou a

ser estudado de maneira mais intensa.

Em 1984 A. V. Garcia, A. J. Monticeli et al. [5] propõem um método para

solução do fluxo de potência na distribuição utilizando o método Desacoplado

Rápido pois apresenta uma convergência rápida e eficiente, no entanto propõe

uma modificação no método para compensar a alta relação de resistência e

reatância nas linha r/x encontradas nos sistemas de distribuição, que provoca

dificuldades na convergência para esses sistemas. A modificação proposta é a

rotação dos eixos das impedâncias, fazendo com que a rede de distribuição

assuma parâmetros de uma de alta tensão.

Em 1989, M.E.Baran e F. F. Wu apresentaram o método baseado no

método Newton – Raphson, porém levando em consideração as características

dos sistemas de distribuição, o que torna esse método exclusivo para o sistema

radiais de energia elétrica. O método propõe um novo modelo de equações para o

cálculo de fluxo de potência, diferente, portanto das equações de fluxo de

potência para sistemas de transmissão. Essas equações são denominadas pelos

autores de “equações de fluxo de ramos” ou então “DistFlow”. Outra melhoria

importante para a convergência do método é o uso de uma matriz de

sensibilidade (Jacobiana) modificada que atende as características radiais dos

sistemas de distribuição. H.D. Chiang (1991) apresenta o método de uma maneira

mais detalhada onde realiza um estudo dos algoritmos e convergência.

Em 1990, R. Céspedes apresentou o método Soma de Potências,

baseado no método Backward/Forward. O método Soma de Potências tem,

como característica básica, a possibilidade de transformar o problema de cálculo

em um conjunto de subproblemas que por sua vez podem ser resolvidos

através das equações que relacionam as tensões entre dois nós de um

alimentador de distribuição, com as potências equivalentes dos nós. Essa

potência equivalente é a soma de todas as potências a jusante da barra, incluindo

as perdas e é alocada na posição correspondente a barra (carga equivalente), ou

seja, calcula-se as cargas equivalentes para cada barra de carga. Este

procedimento se dá no sentido das barras terminais para as subestações.

Partindo da barra da subestação, calculam-se as tensões do lado da carga para

todas as barras. Com as novas tensões recalculam-se as perdas e com isto

recalculam-se as novas cargas. Repetindo o processo até se atingir a

convergência.

Em 1992 é apresentado por A. S. Barbosa, E. Colman, et al. [7]

um trabalho onde é realizado a comparação da utilização do fluxo de potência em

redes de distribuição utilizando-se o método da rotação de eixos e da soma

equivalente de potência, mostrando que ainda não existia um unanimidade sobre

quais propostas seriam mais eficientes para o problema do fluxo de potência

para as rede de distribuição.

No método proposto em 1992, por S.K. Goswani e S.K. Basu, o processo

de resolução é iniciado a partir da subestação considerando as “cargas

equivalentes” da mesma forma que R. Cepedes (1990) propôs. A diferença esta

na primeira iteração, onde não são levadas em conta as perdas das linhas, e

também no equacionamento, já que neste método ele utiliza o fluxo de correntes

nos ramos. A cada iteração então são encontradas novas perdas no sistema que

são utilizadas no processo do método Soma de Potência.

D. Rajicic et al. (1994) propuseram um método que se baseia na

ordenação e orientação da matriz impedância Z junto com o método da Soma das

Potências, porém o método se demonstra eficiente apenas para redes fracamente

malhadas.

C.S. Chen e D. Shirmohammadi (1994) apresentam um método

para sistemas de distribuição trifásicos desequilibrados, também baseados no

método Backward/Forward Sweep.

O método proposto por em 1994, por R. D. Zimmerman e H. D. Chiang é

o método desacoplado rápido para sistemas de distribuição. Foi baseado na

formulação proposta de M.E. Baran e F.F. Wu, mas com a diferença de

utilizar o fluxo de corrente nos ramos ao invés de utilizar as potências

como no método original. Utiliza uma matriz jacobiana aproximada, com isso

consegue diminuir o tempo computacional, já que é necessária somente uma

inversão da matriz.

Em 1999 A.G. Exposito e E.R. Ramos apresentaram um método

para resolver o problema de fluxo de potência em redes radiais. O algoritmo

apresentado segue uma aproximação diferente, apontada para aumentar a taxa

de convergência. Está baseado na idéia intuitiva que quanto mais linear um

sistema de equações melhor é sua taxa de convergência. Para alcançar esta

meta, as equações de fluxo de carga foram escritas em termos de variáveis

"alternativas" que conduzem a um conjunto de 3N equações (2N equações

lineares e N quadráticas) para uma rede com N+1barras. Um algoritmo

computacional é baseado no método de Newton-Raphson, proposto para resolver

o sistema de equação resultante.

O Trabalho apresentado em 2000 M. H. Haque [14] calcula o fluxo de

carga para sistemas de distribuição radiais ou fracamente malhados. O

sistema de distribuição é convertido primeiro a uma rede equivalente com

configuração radial. As características do sistema original são preservadas

injetando potência apropriada nos pontos em que foram abertos os circuitos no

sistema equivalente. As potências injetadas são calculadas e atualizadas durante

o processo iterativo.

Em 2000, S. Jovanovic e F. Milicevic explora a topologia espacial

dos sistemas de distribuição para formular o método triangular de fluxo de

carga de distribuição. Utiliza em sua formulação uma matriz triangular T, que é

formada por NXM, constante durante o processo iterativo. Após a formulação

da matriz calcula-se o fluxo de potência através de um processo baseado no

backward Sweep. A vantagem deste método é a simplicidade de sua formulação.

O artigo de T. L. Baldwin s S.A. Lewis (2003) apresenta uma revisão dos

métodos clássicos e propõe uma nova metodologia, baseado no trabalho de

S.Jovanovic e F. Milicevic (2000) e no método Backward/Forward Sweep. Outra

contribuição do método apresentado está na inclusão de múltiplas gerações, ou

seja, não somente uma fonte (subestação) de alimentação.

O artigo de R. Ciric et al. (2004) apresenta uma metodologia baseada no

método Backward/Forward Sweep, para cálculo de fluxo de potência de sistemas

de distribuição com retorno por terra.

1.6 Estrutura da dissertação

No capítulo 2 os métodos de cálculo de fluxo de potência, Newton-

Raphson é apresentado de maneira resumida, objetivando o entendimento de sua

variação, o método Desacoplado Rápido. O método Desacoplado Rápido é

apresentado de maneira resumida, objetivando o entendimento posterior das

modificações a serem introduzidas pela nova metodologia.

No capítulo 3 é apresentada a metodologia proposta no trabalho, tanto

para a resolução da rotação dos eixos de resistências e admitâncias como a

metodologia de escolha do melhor ângulo de rotação.

No capítulo 4 são apresentados os resultados das simulações com a

aplicação da metodologia proposta para os sistemas de distribuição radial IEEE

de 34 barras e 118 barras, um sistema real da copel com 20 barras em baixa

tensão, um sistema de 70 barras, além de um sistema de fictício 7 barras .

As conclusões gerais são apresentadas no capítulo 5.

2 MÉTODOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA

2.1 Introdução

Neste capítulo serão apresentados o problema do fluxo de potência, os

métodos de cálculo e os algoritmos utilizados para a solução do mesmo.

2.2 O problema Fluxo de Potência

As equações de potência nodais para as barras da rede, resultantes da

aplicação da lei de Kirchhoff das correntes. As injeções de potência ativa e reativa

na barra k podem ser expressas por:

∑ (2.1)

∑ (2.2)

onde k= 1, NB; sendo NB o número de barras da rede.

As equações (2.12) e (2.13) indicam a existência de 4 variáveis por barra,

quais sejam, injeção de potência ativa, injeção de potência reativa, modulo e

ângulo da tensão na barra: Vk, θk, Pk e Qk . Essas variáveis nodais podem

configurar como incógnitas ou dados de entrada dependendo da classificação da

barra, definida em três tipos:

1 - Barra tipo PQ – são especificados os valores de Pk e Qk e calculados

os valores de Qk e θk.

2 - Barra tipo PV – são especificados os valores de Pk e Vk e calculados

os valores de Vk e θk.

3 – Barra de Referência - são especificados os valores de Vk e θk e

calculados os valores de Pk e Qk.

Para se obter o estado da rede é necessário conhecer os valores

magnitudes das tensões (V) e os ângulos de fase (θ) destas tensões de todas as

barras do sistema. A partir desses fasores, conhecendo-se também os

parâmetros do sistema de transmissão é possível determinar a distribuição de

fluxo através de todo o sistema [2].

Tem-se, assim, para cada barra, duas equações de potências nodais e

duas variáveis conhecidas. As outras duas variáveis devem ser encontradas

através do método de Newton-Raphson, criando-se assim um problema com 2NB

equações e 2NB incógnitas:

∑

(2.3)

∑

Normalmente um sistema elétrico é composto de NPQ barras do tipo PQ;

NPV barras do tipo PV; e 1 barra do tipo Vθ, tomada como referência para as

tensões. Sendo assim, o sistema possui:

. • 2 (NPQ + NPV + 1) variáveis especificadas

. • 2 (NPQ + NPV + 1) incógnitas

Com isto foi criado um processo matemático que permitir uma resolução

mais rápida do sistema. Esse processo se resume em criar dois subsistemas, um

para cálculo das variáveis de estado de todas as barras do sistema, ou seja,

calcular V e θ para as barras PQ; e θ para as barras PV. Este subsistema é

normalmente chamado de subsistema 1 [2]. O outro subsistema permite calcular

as potências nodais de todas as barras do sistema, ou seja, P e Q da barra Vθ e

Q das barras PV, além da determinação da distribuição dos fluxos de potência

ativa e reativa das perdas do sistema. Este subsistema é normalmente chamado

de subsistema 2 [2], e pode ser obtido diretamente, ou seja, sem a necessidade

de processo iterativo.

A seguir iremos detalhar melhor o processo matemático para resolução

do subsistema 1 que, por envolver soluçai de equações algébricas não lineares,

exige a aplicação de métodos iterativos.

2.2.1 Subsistema1

Conforme já mencionado este subsistema permite obter os valores de V e

θ desconhecidos das barras da rede.

Como para as barras do tipo Vθ, a solução já é conhecida, estas barras

não entram nesta etapa, apenas as barras do tipo PQ e PV são consideradas,

visto que os valores de V e θ são desconhecidos para as barras PQ e os valores

de Q e θ são desconhecidos paras barras do tipo PV.

Tem-se, assim, um sistema determinado:

• (2NPQ + NPV) dados especificados: P e Q das barras PQ; P das barras

PV

• (2NPQ + NPV) incógnitas: V e θ das barras PQ; θ das barras PV

Chamando de

e

os valores conhecidos de P e Q, então o objetivo é

resolver:

∑

(2.4)

∑

As incógnitas do Subsistema 1 podem ser agrupadas no vetor de estado x

tal que:

[ ] (2.5)

Onde θ é o vetor dos ângulos das tensões das barras PQ e PV e tem dimensão

(NPQ + NPV), e V é o vetor das magnitudes de tensões das barras PQ e tem

dimensão NPQ.

Com o sistema (2.14) reescrito, podemos obter:

(2.6)

Sendo que:

• e são os resíduos ou mis matches de potência ativa e reativa da

barra k;

•

e

são os valores já conhecidos de P e Q;

• e

são calculados através das equações (2.12) e (2.13) de

potências nodais.

Os valores de obtidos são validos para as barras tipo PQ e PV, já os

valores de são validos para as barras do tipo PQ.

Definindo a função vetorial g(x) por:

[

] (2.7)

Onde é um vetor de desvios de potência ativa de dimensão (NPQ +

NPV) e é um vetor de desvios de potência reativa de dimensão NPQ.

2.3 Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é uma ferramenta numérica bastante

utilizada para resoluções de sistemas de equações não-lineares e consiste

basicamente num processo no qual iterações lineares dos sistemas são montadas

e resolvidas. Devido à sua eficiência, Com estas características este método ficou

sendo um dos principais para soluções de cálculo de fluxo de potência de rede

elétricas, principalmente para redes malhadas como a de sistemas de

transmissão.

2.3.1 Aplicação do Método de Newton

Pelo método iterativo de Newton, para cada iteração v, tem-se:

( ) ( ) (2.8)

Onde:

J é a matriz Jacobiana das derivadas de a x;

é o vetor de correção de estado calculado a cada iteração.

Com o apresentado acima e realizando manipulações algébricas é

possível obter-se o sistema linear do problema de fluxo de potência a ser

resolvido a cada iteração v:

[

] [

]

[

] (2.9)

Sendo assim é possível perceber que a matriz Jacobiana é composta

pelas

submatrizes chamadas de H, N, M e L definidas por:

(2.10)

Como para redes de transmissão malhadas a matriz admitância Y é

simétrica é possível calcular os elementos de cada submatriz através das

equações 2.22, 2.23, 2.24 e 2.24, indicadas a seguir:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

A dimensão de cada submatrizes é:

Matriz H: [(NPQ + NPV) ×(NPQ + NPV)];

Matriz N: [(NPQ + NPV) NPQ]

Matriz M: [NPQ ×(NPQ + NPV)]

Matriz L: [NPQ ×NPQ]

O vetor de correções de variáveis, para uma determinada iteração, é

obtido através de:

[

] [[

]

]

[

] (2.15)

A solução do processo iterativo ocorre quando, para um determinado

estado (θ, V), os desvios de potência estiverem bem próximos de zero, ou seja,

as potências ativas e reativas calculadas para as barras do tipo PQ devem ser

iguais ou estar bem próximas das especificadas. O mesmo valendo para os

valores das potências ativas das barras tipo PV.

Usualmente são determinadas as seguintes condições de convergência

utilizando os desvios de potência:

• | |≤ εP, para as barras k do tipo PQ e PV

• | |≤ εQ, para as barras k do tipo PQ

Onde εP e εQ são as tolerâncias admitidas para os mismatches de

potência ativa e reativa, respectivamente.

2.3.2 Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo método de

Newton-Raphson

As etapas para a resolução do problema de fluxo de potência carga pelo

método de Newton-Raphson são descritas a seguir.

SUBSISTEMA 1

1. Fazer v=0 (contador de iterações) e escolher valores iniciais dos

ângulos das tensões das barras PQ e PV, e as magnitudes das tensões das

barras PQ. Criando assim o vetor:

[

] (2.16)

2. Calcular ( , ) para as barras PQ e PV. E ( , ) para as

barras PQ e determinar os respectivos desvios de potência:

.

3. Testar a convergência:

Se max | |k=PQ, PV ≤ εP e max |

|k=PQ ≤ εQ

Então o processo iterativo convergiu para a solução ( , ), ir para o passo 7.

Caso Contrário executar o passo seguinte.

4. Calcular a matriz jacobiana

[

]=[

]x [

] (2.17)

E determinar a nova solução:

6. Fazer (k+1 = k) e voltar ao passo 2.

SUBSISTEMA 2

7. Calcular Pk e Qk para a barra de referência e Qk para as barras tipo e

PV, calcular fluxos de potência ativa e reativa dos elementos da rede, calcular

perdas.

2.3.3 Considerações finais quanto ao método de Newton-Rapshon

O método de Newton–Raphson aplicado à resolução de fluxo de potência

de redes elétricas é hoje a mais difundida e robusta ferramenta usada para

obtenção da solução dos valores das tensões complexas das barras do sistema.

No entanto sob certas condições, o método pode não apresentar convergência

como no caso de redes radiais, ou encontrar uma solução para o sistema não-

factível para a rede elétrica. Isto principalmente em redes de distribuição com

características radiais, onde dois fatores contribuem para a não convergência do

sistema. Um dos fatores seria, como já mencionado anteriormente a relação r/x

do sistema de distribuição ser diferente da relação r/x do sistema de transmissão

e outra razão seria o condicionamento da matriz Jacobiana. Em [12] é

apresentada análise onde se verifica que no caso de redes em anel (redes

malhadas) a matriz Jacobiana apresenta a característica de ser diagonalmente

dominante, ou seja, o elemento da diagonal principal é maior que a soma de

todos os elementos, da mesma linha, fora a diagonal. Em sistemas radiais esta

característica não se repete indicando que a convergência do sistema se torna

mais difícil.

Com o passar do tempo este método foi aprimorado com diversos tipos

de controle e limites, entre os principais podemos citar o controle dos valores de

tensão das barras, injeção de potências ativas e reativas bem como a inclusão de

taps de transformadores. E também ocorreram implementações no método de

Newton-Raphson para um melhor desempenho devido ao poucos recursos

computacionais existentes anteriormente, entre uma dessas variações está o

Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR) que será alvo de estudo do

próximo capítulo.

2.4 Método Desacoplado

O método desacoplado e, subseqüentemente, o método desacoplado

rápido foram desenvolvidos com uma variação do método de Newton-Raphson

para que o processo de cálculo do fluxo de potência pudesse convergir de

maneira mais rápida e para isso forma utilizadas algumas simplificações

aproximações O primeiro considera a existência de uma baixa interação entre [P

e V] e entre [Q e θ]. O segundo vai além, realizando simplificações em algumas

grandezas elétricas e obtendo uma notória redução de custo computacional.

A seguir iremos descrever resumidamente estes dois métodos.

2.4.1 Método de Newton Desacoplado

Foram descritas anteriormente, as submatrizes H, N, M e L que compõem

a matriz Jacobiana (J), as quais indicam as sensibilidades entre as potências

(ativas e reativas) e as tensões complexas (magnitudes e ângulos de fase).

Sendo possível observar para estas submatrizes, que as sensibilidades entre [P e

θ] e entre [Q e V] são bem maiores que aquelas entre [P e V] e [Q e θ].

Quando existe uma sensibilidade forte entre duas variáveis, se diz que

existe um acoplamento forte e quando a sensibilidade é fraca pode-se dizer que

existe um desacoplamento.

Com estas premissas foi deduzido o método de Newton Desacoplado no

qual são desprezadas as submatrizes N e M, já que seus valores são

substancialmente menores que os de H e L.

Utilizando estas simplificações é possível deduzir que:

= .

(2.18)

= .

(2.19)

As equações (2.18) e (2.19) são chamadas de resolução simultânea, pois

os mismatches de potências ativa e reativa são calculados com base nos valores

de estado da iteração anterior.

Uma maneira de melhorar a característica de convergência do sistema é

utilizando o esquema de solução alternado, no qual tem-se:

= .

(2.20)

= .

(2.21)

Sendo que o sistema (2.20) constitui a meia-iteração, através da qual é

feita a atualização dos ângulos de fase das tensões das barras, relacionados aos

mismatches de potência ativa (meia-iteração ativa). O sistema (2.21) compõe a

outra meia-iteração, na qual é feita a atualização das magnitudes das tensões das

barras, relacionadas aos mismatches de potência reativa (meia-iteração reativa).

Aqui, utilizam-se os valores atualizados dos ângulos de fase, melhorando o

desempenho do método. Tem-se, portanto, uma atualização de variáveis de

estado a cada meia iteração.

2.4.1.1 Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo

método Desacoplado

Seja p e q como os contadores das meias-iterações ativa e reativa,

respectivamente e KP e KQ como os indicadores de convergência dos

subproblemas ativo e reativo, respectivamente. Esses têm a função de

sinalizadores (semáforos) computacionais: sempre que alguma variável de estado

é alterada, o indicador de convergência do outro subproblema é igualado a ”1”,

provocando uma avaliação dos mismatches deste outro subproblema, mesmo que

já tenha convergido em uma iteração anterior. Com isso, evita-se afastamento do

ponto de solução.

SUBSISTEMA 1

1 - Atribuir os valores iniciais: KP =KQ =1, p =q =0. Escolher valores

iniciais para as magnitudes (barras PQ) e ângulos de fase (barras PQ e PV) das

tensões nodais não fornecidas. Com isso, tem-se o vetor.

[

] (2.22)

2 - Calcular Pk(θp, Vq )para as barras PQ e PV. Calcular os respectivos

mismatches de potência Pk.

3 - Testar a convergência:

Se Max| | , para k=PQ, (2.23)

ir para o passo 13, caso contrário ir para o próximo passo.

4. Calcular a matriz H. Calcular os vetores de correções para θ, resolvendo

= (2.24)

e determinar o novo valor

(2.25)

4. Incrementar o contador de meias-iterações ativas (p ← p +1).

6. Fazer KQ =1.

7. Calcular Qk (θp, Vq) para as barras PQ. Calcular os respectivos mismatches de

potência Qk.

8. Testar a convergência: se

Max| | , para k=PQ (2.26)

ir para o passo 13, se não convergiu, ir para o próximo passo

9. Calcular a matriz L. Calcular os vetores de correções para V, resolvendo

= (2.27)

E determinar o novo valor

(2.28)

10. Incrementar o contador de meias-iterações reativas (q ← q +1).

11. Fazer KP =1.

12. voltar ao passo 2.

13. Fazer KP =0.Testar: se KQ =0, o processo convergiu. Se sim, ir para o passo

14 , se não, voltar para o passo 7

14. Fazer KQ =0.Testar: se KP =0, o processo convergiu. Se sim, ir para o passo

14 , se não, voltar para o passo 2

SUBSISTEMA 2

14. Calcular Pk e Qk para a barra de referência e Qk para as barras tipo PV,

calcular fluxos de potência nos elementos da rede e calcular perdas. Neste

algoritmo, os passos 2 a 6 e 13 correspondem à meia-iteração ativa. Os passos 7

a 12 e 14 correspondem à meia-iteração reativa. A resolução do subsistema 2

(passo 14) igual ao método de Newton-Raphson.

2.4.2 Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR)

Baseando-se no método desacoplado, faz-se em algumas considerações

a fim de se chegar a um método de cálculo mais rápido.

Seja a matriz diagonal de magnitude de tensões, cuja dimensão é definida

de acordo com as dimensões de H e L, ou seja:

V=[

] (2.29)

De forma que definem-se duas novas matrizes, H’ e L’, dadas por:

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Assim o método desacoplado fica:

(2.34)

(2.35)

Levando em conta as seguintes considerações:

• é pequeno, de tal forma que é muito próximo de 1. Esta

aproximação é válida para sistemas de transmissão de Extra Alta Tensão e Ultra

Alta Tensão e também para sistemas de distribuição, já que para estes últimos as

aberturas angulares são em geral pequenas;

• é, em magnitude, muito maior que . Para Extra Alta Tensão, a

relação é da ordem de 4, e para de UAT a relação pode atingir

a ordem de 20.

• é, em magnitude, muito maior que . Isso indica que as reatâncias shunt

são, na grande parte dos casos, muito maiores que as reatâncias série (linhas e

transformadores);

•As tensões são próximas da unidade (em p.u.). Aplicando estas aproximações

às matrizes H’ e L’ chega-se a duas novas matrizes, chamadas de B’ e B’’,

respectivamente:

(2.36)

(2.37)

Vê-se aqui um resultado bastante interessante: as matrizes B’ e B’’

dependem apenas dos parâmetros da rede (impedâncias e suceptâncias dos

ramos e elementos shunt), ficando, portanto, independentes das variáveis de

estado do sistema (magnitudes e ângulos das tensões nodais). As novas matrizes

aproximam-se bastante da matriz susceptância nodal B, com a ressalva de que

em B’ não constam as linhas e colunas referentes à barra Vθ, e em B’’ não

constam as linhas e colunas referentes às barras Vθ e PV. Essas matrizes são

constantes ao longo do processo iterativo (diz-se que o método apresenta

"tangente fixa"), diminuindo o tempo computacional e a quantidade de memória

antes usada para calcular e inverter H e L a cada iteração. Daí o método ser

denominado desacoplado rápido, cujas equações são:

(2.38)

(2.39)

Estas equações passam a substituir os passos 4 e 9 do algoritmo do

método desacoplado, apresentado na seção 3.1.1. O restante do algoritmo não é

alterado.

As matrizes constantes B’ e B’’ são calculadas logo no passo 1, apenas

uma vez para todo o processo iterativo.

2.4.2.1 Versões do Método Desacoplado Rápido

Com um estudo mais aprofundado do método desacoplado rápido foram

propostas e avaliadas 4 (quatro) versões deste método, sendo assim nomeados,

versão BB, versão XB , versão BX e versão XX [14, 16].

Resumidamente a diferença entre os quatro métodos esta em se usar ou

não os valores das resistências das linhas e se não for utilizada onde desprezar

estes valores.

A versão BB não despreza os valores das resistências e pode ser disser

que é o método desacoplado rápido propriamente dito.

A versão XB despreza os valores das resistências para a formação da

matriz B’, sendo este o método mais utilizado.

A versão BX despreza os valores das resistências para a formação da

matriz B’’.

A versão XX despreza os valores das resistências para a formação tanto

da matriz B’ como da matriz B’’

2.5 Considerações finais

Neste capítulo foi apresentado o problema do fluxo de potência junto com

os métodos de resolução: o Newton-Raphson tradicional e os métodos

Desacoplados, derivados do método Newton.

3 NORMALIZAÇÃO COMPLEXA

3.1 Introdução

As aproximações usadas durante a apresentação e dedução do Método

Desacoplado Rápido aplicam-se bem onde a relação reatância e resistência (x/r)

dos ramos são altas, característica das redes de alta tensão, como a dos

sistemas de transmissão. Quanto mais alto o nível de tensão, maiores são as

relações x/r e consequentemente, maior é o acoplamento P-θ e Q-V e, portanto,

mais adequadas são as aproximações propostas, fazendo o método convergir de

maneira satisfatória. Porém, no sistema de distribuição, a relação x/r é muito

baixa, podendo chegar em valores inferiores à unidade. Assim, os métodos

desacoplados apresentados, em sua forma simples e convencional, não podem

ser aplicados de maneira satisfatória nos sistemas de distribuição.

A técnica de rotação de eixos utilizada neste trabalho foi apresentada na

década de 80 [5] e consiste em mudar, temporariamente, o sistema de referência

complexo para a rede de estudo. Utilizando-se deste artifício, é possível fazer

com que a relação x/r do novo sistema se aproxime da relação típica de sistema

de alta tensão, sendo assim favorável para a utilização dos métodos

desacoplados.

Neste capítulo, será apresentada a técnica de normalização complexa,

que é baseada na normalização do módulo e dos ângulos das impedâncias

adotando uma base complexa de potência e possibilitando a adequação da

relação x/r de forma similar à técnica de rotação de eixos.

3.2 Rotação de Eixos

Como já dito anteriormente, os sistemas de distribuição possuem linhas

de transmissão com valores de reatância e resistência séries de ordem

equivalentes e que podem chegar, em alguns casos, em relações x/r inferiores à

unidade..

As figuras 3.1 e 3.2 ilustram as representações gráficas das impedâncias

séries típicas de linhas de transmissão de um sistema de alta tensão e de um

sistema de baixa tensão respectivamente. A figura 3.3 ilustra a rotação de eixos

complexos aplicada a uma impedância típica de uma rede de distribuição.

FIGURA 3.1 – Representação gráfica da impedância típica de Alta Tensão

Na figura 3.1 é possível observar que o valor da reatância x (Ω ou p.u.) é maior

em relação ao valor da resistência r (Ω ou p.u.). Essas características dos

sistemas de alta tensão implicam em um forte acoplamento entre o fluxo de

potência ativa e a abertura angular e entre o fluxo de potência reativa e a

diferença de potencial. Resultando no conhecido desacoplamento Pθ-QV.

Figura 3.2 – Representação típica de impedância de Baixa Tensão

Ao contrário da figura anterior, a figura 3.2 ilustra a impedância série

típica de um sistema de baixa tensão, onde a reatância x (Ω ou p.u.) e a

resistência r (Ω ou p.u.) possuem proporções equivalentes. Essa característica

restringe o uso das técnicas de desacoplamento, adotados pelos métodos

desacoplados.

Seja a impedância z = r + jx, representada no plano complexo (Real,

Imag), conforme a figura 3.3:

Figura 3.3 – Rotação de eixos de uma impedância de Baixa Tensão

A rotação de eixos [5] consiste em mudar o sistema de referência

complexo da rede em estudo através de uma rotação de eixos real e imaginário.

Na figura 3.3 existe um outro plano (Realrot, Imagrot), rotacionado de um

ângulo ɸ em relação ao primeiro. Neste, o ponto correspondente à impedância z

torna-se

Sendo assim, devido à rotação:

ɸ (3.1)

de onde, aplicando a relação de Euller:

ɸ ɸ (3.2)

ɸ ɸ (3.3)

Sendo todos os ramos rotacionados de um mesmo ângulo ɸ, a relação r/x de

cada ramo passa a ser:

ɸ ɸ

ɸ ɸ (3.4)

Trabalhando com esse novo sistema de referência, é possível obter

relações x/r que sejam mais favoráveis à aplicação do método desacoplado

rápido, dependendo do ângulo de rotação ɸ. No entanto, para evitar a

necessidade de uma aplicação de um processo de “desrotação” aos estados da

rede, é preciso que se mantenha o mesmo estado de operação da rede original,

isto é, as mesmas magnitudes e ângulos de tensão em cada barra da rede fictícia.

Para que isso aconteça, é necessário rotacionar também as injeções de potência

ativa e reativa. Sendo assim, das relações:

(3.5)

(3.6)

tem-se, após substituir z por ɸ:

ɸ (3.7)

Podemos observar da equação (3.7) que, se for aplicada uma rotação de mesmo

ângulo nas correntes, mas de sentido oposto à aplicada as impedâncias, as

tensões complexas serão as mesmas do sistema original.

ɸ

(3.8)

Assim, para a potência complexa, tem-se:

(3.9)

ou

ɸ (3.10)

Ou seja, as potências são rotacionadas de maneira idêntica às impedâncias, daí

tem-se:

ɸ ɸ (3.11)

e

ɸ ɸ (3.12)

Desse modo, após a aplicação da rotação de eixos aos valores

especificados de potência ativa e reativa, bem como aos valores de impedância

série, tem-se uma nova rede fictícia para qual o método desacoplado rápido

obtém um bom desempenho e o estado fornecido (tensões complexas) é o

mesmo que o da rede original. Após a resolução do problema, aplica-se uma

rotação inversa às grandezas de interesse, obtendo então o resultado final, ou

seja, os valores reais da rede.

3.2 Normalização Complexa por Unidade

A Normalização Complexa por unidade [12] nada mais é do que uma

outra maneira de explicar a rotação de eixos descrita na seção anterior. Esta

técnica é baseada nos conceitos de normalização das grandezas elétricas dos

sistemas de energia.

O Sistema por unidade, ou sistema p.u., como é mais conhecido, consiste

na definição de valores de base para as grandezas (tensão, corrente, potência,

etc.), seguida da substituição dos valores das variáveis e constantes (expressas

no Sistema Internacional de Unidades) pelas suas relações com os valores de

base pré-definidos.

(3.13)

As quatro grandezas fundamentais (tensão, corrente, potência e

impedância) se relacionam entre si de tal forma que a escolha de valores base

para quaisquer duas delas determina os valores de base para outras duas. Como

podemos observar nas equações a seguir:

(3.14)

(3.15)

Num sistema de energia, normalmente, definem-se como bases

independentes a potência aparente total, Sbase, para o sistema e a tensão, Vbase,

para um barramento determinado. Em uma rede com vários níveis de tensão,

cujas zonas são definidas pelos transformadores existentes, haverá uma base de

tensão para cada zona existente, sendo conveniente que as relações entre as

bases de zonas adjacentes sejam iguais às relações de transformação dos

transformadores que as ligam. Consequentemente, os valores bases de corrente

e impedância são calculados através das equações (3.14) e (3.15).

É importante ressaltar que, normalmente, as grandezas potência e tensão

de base são valores reais, resultando em valores reais de corrente e impedância.

Dessa forma, somente os módulos das grandezas envolvidas são afetados, sendo

assim, os ângulos de fase não são alterados. Neste trabalho, será considerado a

possibilidade de adoção de uma base de potência complexa (em VA), ou seja:

ɸ (3.16)

As grandezas bases de tensão são definidas da mesma forma que na

normalização p.u. convencional, isto é, um diferente valor de magnitude é

escolhido para cada nível de tensão do sistema de acordo com as relações de

transformação enquanto que o ângulo da tensão de base é nulo. Sendo assim,

enquanto a base da potência é complexa, as bases para as tensões são reais, de

tal forma que:

(3.17)

Logo, a partir das equações (3.16) e (3.17), é possível concluir que o valor de

base de impedância Zbase será também complexo e expresso por:

ɸ (3.18)

ɸ (3.19)

A partir da equação (3.19) é possível verificar que a impedância na

representação em p.u. terá sua magnitude normalizada e esta dependerá dos

valores base adotados de potência e tensão, da mesma forma que na definição

convencional por unidade. Porém, diferentemente da normalização convencional,

os novos valores de impedância em p.u. terão defasagem angular definida pelo

ângulo de fase da impedância base, que é o mesmo ângulo da potência base,

com sinal contrário, isto é:

ɸ

ɸ

(3.20)

ɸ ɸ (3.21)

onde ɸorig é o ângulo original da impedância série do elemento.

Assim, os valores da parte real (resistência) e da parte imaginária (reatância) em

p.u., são definidos por:

ɸ ɸ (3.22)

ɸ ɸ (3.23)

Portanto, a relação x/r na nova normalização p.u. complexa é dada por:

ɸ ɸ (3.24)

Assim, de forma similar, as injeções de potência ativa e reativa são devidamente

normalizadas pela base de potência (VA) complexa, ou seja:

(3.24)

e

ɸ ɸ

(3.26)

ɸ ɸ

(3.27)

Observando as equações (3.22), (3.23), (3.26) e (3.27) é possível notar

uma nova relação entre o fluxo de potência ativa e potência reativa, assim como

entre os valores da resistência e reatância do ramo é obtida para o sistema

normalizado. Sendo assim, as relações x/r representadas pela equação (3.24)

podem ser ajustadas pela definição do ângulo de fase da potência de base ɸbase,

resolvendo assim os problemas sobre a convergência do método desacoplado

rápido para o sistema de distribuição que possuem uma baixa relação x/r,

podendo esta relação ser contornada através da escolha/cálculo adequado do

ângulo ɸbase.

É importante observar que, a solução obtida através da aplicação do

cálculo de fluxo de potência para o sistema normalizado com o uso de uma base

complexa é a mesma que a solução obtida usando a base real (p.u.

convencional). Tal fato é esperado, já que as bases de tensão são mantidas reais

na nova abordagem.

3.4 Cálculo do Ângulo de Rotação ou Ângulo de Base

Os estudos feitos nas seções anteriores demonstraram quão importante é

o ângulo de rotação ou ângulo de fase para a aplicação da metodologia que será

utilizada neste trabalho

Serão apresentados nas próximas seções dois métodos para o cálculo

desse ângulo. [18]

3.4.1 Ângulo Ótimo Orientado ao Ramo

Como citado anteriormente, o ângulo de rotação (ɸ) ou de base (ɸbase)

precisa ser ajustado às necessidades do sistema. Portanto, busca-se um valor

único e ideal para cada ramo alimentado. Uma solução é realizar uma rotação

automática, que será apresentada a seguir.

O método Desacoplado Rápido para o cálculo de fluxo de carga se baseia

em um desacoplamento que desconsidera o efeito dos módulos das tensões nas

barras sobre a injeção de potência ativa e o efeito dos ângulos das mesmas na

injeção de potência reativa. Assim, utiliza-se um critério para realizar o cálculo do

ângulo de rotação que consiste em minimizar os acoplamentos entre P e V e

entre Q e θ, ou seja, o ângulo ɸ deve fazer com que as submatrizes N e M [18],

obtidas após a rotação, tenham valores próximos a zero.

Com o uso desta técnica, é possível obter, para cada trecho k-m, um

ângulo de rotação, diferentemente de um mesmo ângulo aplicado a toda rede.

Assim, cada equação nodal possui seu respectivo ângulo otimizado.

Inicialmente, são calculados os ângulos das impedâncias de cada trecho

k-m da rede de distribuição, definido por (αkm):

⁄ (3.28)

A seguir, determina-se o ângulo “ideal” da rotação para cada trecho.

Considerando que se pretende determinar a maior relação x/r possível. Assim, o

ângulo de rotação de cada trecho, (ɸkm) é determinado por:

ɸ (3.29)

A partir das equações (3.28) e (3.29), é possível verificar que para cada trecho k-

m da rede de distribuição, o objetivo é simplesmente fazer com que a resistência

rotacionada do ramo seja igual a zero ( =0).

Finalmente, um ângulo único para toda rede é determinado a partir da média

aritmética simples de todos os ângulos envolvidos, conforme proposto em [4]

ɸ ( ⁄ ) ɸ (3.30)

onde Nl é o número total de ramos do sistema.

A partir deste ângulo são determinados os valores rotacionados de resistência e

reatância de cada ramo, ou seja:

(ɸ

) (ɸ

) (3.31)

e

(ɸ

) (ɸ

) (3.32)

Assim, as potências ativa e reativa, injetadas no sistema são igualmente

rotacionadas para garantir que o estado obtido para rede fictícia seja o mesmo da

rede original. Então:

(ɸ

) (ɸ ) (3.33)

e

(ɸ

) (ɸ ) (3.34)

3.4.2 Ângulo Ótimo Orientado a Barra

Uma outra forma de cálculo do ângulo de rotação, que seria direcionado a

barra, é um processo mais complexo e não apresenta ganhos significativos

quando comparado ao método proposto anteriormente.

A diferença básica deste método está em calcular o ângulo ótimo para

rotacionar uma barra k de maneira que as considerações de desacoplamento de

um ramo k-m sejam mantidas. Sendo este ângulo calculado para uma barra, é

preciso que novos cálculos sejam feitos para determinar o valor dos ângulos de

todos os ramos conectados a mesma barra, tornando o ângulo calculado para k-m

ser diferente do ângulo m-k.

Assim, uma alternativa encontrada para minimizar a influência do conjunto

de ramos ligado à barra k é utilizar o critério dos mínimos quadrados.

Demonstrando matematicamente:

ɸ

(3.34)

∑ ( ɸ

)

(3.36)

ɸ

∑ ( ɸ

)

ɸ

ɸ (3.37)

ɸ ∑ (

) (3.38)

ɸ (

∑ (

) ) (3.39)

onde Nk é o número de barras conectadas à barra k.

Este método duplica o número de admitâncias da rede e provoca a perda

da simetria da matriz admitância nodal, além da rede elétrica perder sua

representação física.

A seguir, é mostrado o fluxograma simplificado para a realização da

rotação de eixos das impedâncias da rede de distribuição.

Figura 3.4 – Fluxograma para aplicação da Normalização Complexa


Neste capítulo apresentou-se a metodologia utilizada neste trabalho para

o estudo dos sistemas que serão comentados nas seções a seguir. Utilizando-se

da Normalização Complexa e seus métodos de cálculo dos ângulos de rotação é

possível adequar as relações x/r dos sistemas de distribuição para a utilização

dos métodos de Newton e os métodos desacoplados.

4 RESULTADOS

4.1 Introdução

Neste trabalho, foram realizados estudos e simulações utilizando-se 5

sistemas testes. Sendo eles de 7, 20, 34, 70 e 118 barras. Para a realização das

simulações, foi utilizada uma rotina para normalização complexa desenvolvida na

plataforma Matlab e o toolbox Matpower, cálculo do fluxo de potência.

Inicialmente, foram feitas simulações para verificar a convergência dos

sistemas em sua configuração original e em seguida, utilizando o conceito de

rotação de eixos e da normalização complexa foram feitas novas simulações para

verificar a consistência e adequação do método utilizado quando comparado com

as simulações feitas sem a rotação de eixos.

As simulações foram feitas utilizando os métodos de Newton-Rapson,

Desacoplado Rápido – XB, Desacoplado Rápido – BX e o Gauss-Seidel.

Nas seções a seguir serão apresentados os sistemas detalhadamente,

bem como os resultados obtidos.

4.2 Sistemas Teste

Os dados de todos os sistemas teste encontram-se em anexo.

4.2.1 Sistema teste de 7 barras

A figura 4.1 mostra o diagrama unifilar do sistema de 7 barras.

Inicialmente, as simulações foram feitas baseadas no sistema original que

possuía: 1 barra de geração, 7 barras de carga e 6 linhas de transmissão.

Posteriormente, algumas mudanças foram adotadas resultando em 8 cenários de

operação diferentes baseadas neste mesmo sistema.

Figura 4.1 – Diagrama Unifilar Sistema 7 barras

Os 4 primeiros cenários foram baseados na topologia original,

modificando-se a relação x/r e incluindo em alguns casos geração distribuída nas

barras 6 e 7. Já nos outros 4 cenários, além das mudanças semelhantes as 4

primeiras, foram incluídas 2 linhas de transmissão entre as barras 6-7 e 7-5,

transformando a topologia em um sistema fracamente malhado..

Os diferentes cenários são resumidos na tabela 4.1 e os resultados

obtidos sem rotação de eixos e com rotação de eixos comparados em termos de

número de iterações para convergência são mostrados nas tabelas 4.2 e 4.3.

RADIAL RADIAL RADIAL RADIAL ANEL ANEL ANEL ANEL

R<X R>X R<X R>X R<X R>X R<X R>X

s/ GD s/ GD c/ GD c/ GD s/ GD s/ GD c/ GD c/ GD

Tabela 5.1 – Topologias Sistema 7 Barras

Tabela 4.2 – Resultados das simulações sem rotação de eixos

Os resultados sem rotação, baseados nos 4 métodos de cálculo de fluxo

de potência, foram como esperados. Os casos com a relação x/r característicos

de um sistema de distribuição, ou seja: x<r, não apresentaram convergência com

nenhum dos 4 métodos tanto no sistema radial quanto no sistema em anel sem

geração distribuída. Com a geração distribuída, os sistemas só convergiram com

o método de Newton e com o método de Gauss-Seidel, não convergindo para os

métodos desacoplados.

Tabela 5.3 – Resultados das simulações com rotação de eixos

Já os resultados com uma rotação de 30°, apresentaram convergência

em todos os métodos de cálculo e em todos os cenários utilizados, conforme a

tabela 5.3, mostrando assim a eficiência da metodologia da rotação de eixos. Os

métodos que já convergiam, apresentaram convergência em menos iterações e

os que não convergiam passaram a convergir.

4.2.2 Sistema Teste de 20 barras Copel – Baixa Tensão

Este caso considera um sistema de 20 barras de distribuição em baixa

tensão da Copel, cujo diagrama unifilar está mostrado na figura 5.2 e consiste em:

1 barra de geração, 19 barras de carga e 19 linhas de transmissão.

A relação x/r para os ramos deste sistema é aproximadamente 1.

Figura 4.2 – Diagrama Unifilar Sistema 20 barras

Por se tratar de um sistema típico de baixa tensão, a relação x/r não é

favorável à aplicação dos métodos tradicionais de cálculo de fluxo de potência.

Sendo assim, como esperado, não houve a convergência em nenhum dos

métodos sem a rotação de ângulos.

Através dos métodos de cálculo do ângulo ótimo, apresentados no

capítulo 3, foi obtido um ângulo ótimo de aproximadamente 45.65°. Este ângulo

foi aplicado na normalização dos parâmetros série e injeções de potência e, após

novas simulações, foi verificado que o sistema que antes não convergia, passou a

apresentar convergência, conforme mostrado na tabela 4.4.

Em seguida, adotou-se um ângulo de 60° para que fossem feitas novas

simulações em um ângulo diferente do ângulo ótimo calculado anteriormente e

mais uma vez, verificou-se que o sistema apresentou convergência.

Com Rotação

Método Θ°

NR

NR – BX

NR - XB

Ângulo Ótimo Orientando ao Ramo

45.6622°

3

4P 4Q

4P 4Q

Ângulo Ótimo Orientado à Barra

45.6415°

3

4P 4Q

4P 4Q

Ângulo de Rotação Arbitrado

60°

3

5P 5Q

5P 5Q

Tabela 4.4 – Resultados das simulações com rotação

4.2.3 Sistema Teste de 34 barras IEEE (modificado)

Para a topologia do caso de 34 barras do IEEE, o sistema consiste em: 1

barra de geração, 33 barras de carga e 33 linhas de transmissão. Foi adotada

uma base de 25MVA para que o sistema ficasse com um carregamento mais

crítico e consequentemente, dificultando sua convergência.

Como em outros sistemas de distribuição, a relação x/r também é baixa, o

que dificulta o uso dos métodos desacoplados. Mesmo com essa relação, os

métodos de Newton tradicional e o DR versão BX convergiram, conforme mostra

a tabela abaixo:

Sem Rotação

Newton 4

DR-XB N/C

DR-BX 28 P 27 Q

Tabela 4.5 – Resultados das simulações sem rotação

Observou-se para este caso que, antes da rotação o sistema possuía

uma relação r/x máxima de 0.4108 e mínima de 0.1749, portanto, desfavoráveis

para a aplicação dos métodos de cálculo.

Usando a metodologia proposta de rotação de eixos, foram calculados os

ângulos ótimos relacionados à barra e ao ramo e aplicado os métodos de Newton

tradicional e os Desacoplados Rápidos versões XB e BX, cujos resultados estão

apresentados abaixo, assim como os resultados para um ângulo de rotação

escolhido de 60° e aplicados aos mesmos métodos.

Com Rotação

Método Θ°

NR

DR – XB

DR - BX


78.3246°

2

3P 3Q

4P 3Q


78.2961°

2

3P 3Q

4P 3Q


90°

2

4P 4Q

4P 3Q

Tabela 4.6 – Resultado das simulações com rotação

4.2.4 Sistema Teste de 70 barras

Este sistema já é um sistema de distribuição um pouco maior, se

comparado aos outros estudados anteriormente e consiste em 1 barra de

geração, 69 barras de carga e 69 linhas de transmissão.

Antes da rotação, o sistema apresentava uma relação x/r nos ramos

máxima de 24.9630 e mínima de 0.3034. Verificou-se, que o sistema sem a

rotação de eixos não apresentou convergência e após os cálculos dos ângulos

ótimos de rotação o sistema passou então a convergir, como indicado na tabela

4.7.

Com Rotação

Método Θ°

NR

DR – XB

DR – BX


56.0956°

3

5P 5Q

6P 5Q


56.3316°

3

5P 5Q

6P 5Q


60°

3

6P 5Q

7P 6Q


4.2.5 Sistema Teste de 118 barras do IEEE modificado

Neste caso, foi estudado um sistema típico de transmissão do IEEE de

118 barras, com alterações na relação x/r das linhas de transmissão originais.

Visto que os métodos funcionavam devido as características do sistema,

multiplicou-se os valores da resistência por um fator de 10, tornando a relação x/r

pequenas e deixando o sistema com uma característica x/r de um sistema de

distribuição, como indicados nos dados em anexo.

Após esta modificação, foram feitas as simulações sem rotação de eixos

e verificados que os métodos passaram a não convergir, o que era esperado.

Após isso, aplicou-se a rotação de eixos e os resultados são mostrados a seguir.

Antes das modificações realizadas, o sistema apresentava uma relação

r/x máxima de 0.4735 e mínima de 8, relações favoráveis à aplicação dos

métodos desacoplados. Já após as alterações, a máxima relação r/x foi de 4.7348

e a mínima de 0.

Com Rotação

Θ° Método

NR

DR – XB

DR – BX


63.8702°

4

27P 26Q

9P 9Q


50.5722°

4

19P 18Q

11P 11Q


75°

4

50P 49Q

11P 10Q



Neste capítulo, foram apresentados resultados de simulações feitos em

diversos sistemas teste, com diferentes topologias. Foram realizadas simulações

sem a rotação de eixos e posteriormente com a rotação de eixos para verificar e

comparar a convergência dos sistemas.

Observou-se comparando os resultados antes e depois da técnica de

rotação de eixos em todos os sistemas estudados que, utilizando-se da

metodologia proposta, os sistemas que não convergiam passaram a convergir e

os que já apresentavam convergência, obtiveram o mesmo resultado com menos

esforço computacional, ou seja, com menos iterações nos métodos utilizados,

consequentemente, convergindo mais rapidamente.

5 CONCLUSÃO

Neste trabalho foi apresentado um breve histórico da evolução do sistema

elétrico brasileiro, seguida da apresentação do problema fluxo de potência e de

uma revisão dos principais métodos de cálculo do mesmo.

O cálculo de fluxo de potência em redes de distribuição é fortemente

limitada devido à sua baixa relação x/r dos ramos do sistema, dificultando assim a

aplicação dos métodos de Newton e os Desacoplados que são métodos

amplamente utilizados em redes de transmissão, onde as relações x/r são

favoráveis à utilização destes métodos.

Sendo assim, para a realização deste trabalho, utilizou-se uma

metodologia que consiste na aplicação do conceito de normalização complexa às

redes de distribuição, possibilitando assim o emprego de técnicas de cálculo de

fluxo de potência baseadas no método de Newton, tradicionalmente associadas à

análise de redes de transmissão. Esta metodologia baseia-se na rotação do eixo

complexo das impedâncias da rede elétrica a fim de obter uma relação x/r que

torne a característica do sistema de distribuição semelhante às verificadas em

sistemas de transmissão

Utilizando-se da metodologia proposta, foi possível obter resultados

confiáveis para os diversos tipos de sistemas estudados. Além de apresentar

bons resultados para os sistemas teste com topologias de distribuição

convencionais, foi visto também que tal metodologia torna viável a análise de

redes de distribuição na presença de geração distribuída, bem como na operação

em anel da mesma.

Referencias Bibliograficas

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il.asp consultado em 30/06/2011

[2] A. Monticelli “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica” Editora Edgard

Blücher Ltda.

[3] G. H. S. Bauab. “Cálculo de Fluxo de Carga em Sistemas de Transmissão

com Alimentadores Primários de Distribuição.” Tese de Mestrado,

Universidade Estadual de Campinas , Julho, 2005.

[4] R. B. Gomes. “Resolução do Problema do Fluxo de Cargas para Rede de

Distribuição Utilizando o Método Desacoplado Rápido com Rotação

Automática de Eixos.” Tese de Mestrado, Universidade Estadual de Campinas,

Maio, 2006.

[5] Garcia, Ariovaldo V. et al. “Simulação de Redes de Distribuição de Energia

Elétrica Através de Fluxo de Carga Desacoplado Rápido”. IX Seminário

Nacionalde Distribuição de Energia Elétrica, 9, Salvador , 1984. Anais. Salvador,

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[6] Barbosa, Ailson de S. et al. “Aspectos Práticos Sobre a Utilização de

Programas Fluxo de Carga em Sistemas de Distribuição com Configuração

Radial”. IX Seminário Nacional de Distribuição de Energia Elétrica, Setembro de

1992 .

[7] D. Shirmohammad, H. W.Hong, A. S.Semley, G. X. Luo, “A Compensation

based Power Flow Method for Weakly Meshed Distribution and

Transmission Newtworks”, IEEE Transactions on Power Systems,vol.3 nº 2,

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[8] A. Monticelli, A. Garcia, “Modeling Zero Impedance Branches in Power

System State Estimation”, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 6 nº 4,

pp1561-1570,1991.

[9] A. Monticelli, A. Garcia, O.R. Saavedra “Fast Decoupled Load Flow : 95

Hypothesis, Derivations, and Testing”, IEEE Transactions on Power Systems,

vol.5 nº 4, pp1425-1431,1990.

[10] E. M Lourenço, N. S Silva., A S. Simões Costa, “Fast Decoupled Steady-

Stade Solution for Power Networks Modeled at the Bus Section Level”, IEEE

Power Tech - Bucareste, 2009.

[11]H.D.M.Brasz, B.A.Souza, A.M.F Almeida e F.M.P. Pamplona, “Método da

Soma de Potências com Ajuste de Demanda Considerando Múltiplas

Medições” Simpósio Brasileiro de Sistemas Elétricos - SBSE -2010-

[12] E.M Lourenço, O. L. Tortelli e T. Loddi “Unifed Load Flow Analysis for

Emerging Distribution Systems” - IEEE Transactions on Power Systems –

Innovative Smart Grid Technologies Europe – Suécia -2010

[13] F. Zhang e C. S. Cheng “ A Modified Newton Method for Radial

Distribution System Power Flow Analysis” IEEE Transactions on Power

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[14] M. H. Haque “Load Flow Solution of Distribution Systems with Voltage

Dependent Load Models” Eletric Power Systems Research 36 (1996) pg 151-

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[15] B. Stott, A. Alsac, “Fast Decoupled Load Flow” IEEE Transmitions and

Power Systems vol. PAS-86, nº 11, pp 1449-1460 1967.

[16] R. A. M. Van Amerongen “A General-Purpose Version of the Fast

Decoupled Loadflow”, IEEE Transmitions and Power Systems vol. 4, nº 2, pp

760-770 1989.

[17] W. D. Stevenson, Jr “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”

Editora McGraw-Hill do Brasil,LTDA 2ª edição 1976.

[18] T. Loddi “Cálculo de Fluxo de Potência Unificado em Sistemas de

Transmissão e Redes de Distribuição Através do Método de Newton

Desacoplado Rápido com Rotação Ótima de Eixos.” Tese de Mestrado,

Universidade Federal do Paraná, 2010.

ANEXOS

Dados dos Sistemas Teste

Sistema Teste de 7 barras

Sbase = 1MVA

Vbase = 13.8kV

Tabela 1 – Potências Ativas e Reativas de cada barra

Barra P (kW) Q (kVAR)

1 0 0

2 0.8 0.2

3 0.6 0.2

4 0.8 0.3

5 0.5 0.1

6 0.3 0.1

7 0.4 0.2

Tabela 2 – Valores de Resistência e Reatância

LT R(pu) X(pu)

1 para 2 0.04 0.10

2 para 3 0.04 0.10

3 para 4 0.04 0.10

4 para 5 0.04 0.10

2 para 6 0.02 0.08

4 para 7 0.10 0.30

Estes são os dados do cenário original do sistema, isto é, com um R<X em um

sistema radial.

Para os casos em que R>X, foram feitas as seguintes mudanças:

(0.04 + j0.10) para (0.08 + 0.02)

(0.02 + j0.08) para (0.10 + j0.03)

(0.1 + j0.3 para 0.16 + j0.03)

Para os cenários em que continha geração distribuída, incluiu-se uma Pg de

0.2kW na barra 6 e uma Pg de 0.3 na barra 7.

Para os cenários em anel e com uma relação R<X, incluiu-se uma LT entre as

barras:

5-7 com uma impedância de (0.06 + j0.14)


Já para os cenários em anel e com uma relação R>X, incluiu-se uma LT entre as

barras:



Sistema Teste de 20 barras da Copel – BT

Sbase = 1kVA

Vbase = 127V


Barra P(kW) Q(kVAr)

1 8.4105 4.3038

2 2.8391 1.4566

3 0 0

4 3.2752 1.6779

5 4.6547 2.3847

6 2.4653 1.2630

7 0.0712 0.0365

8 7.8320 4.0125

9 1.42133 7.2817

10 2.7145 1.3907

11 3.4799 1.7828

12 0.0801 0.04103

13 2.0915 1.0715

14 6.764 3.4653

15 2.9637 1.5184

16 4.2631 2.1841

17 5.5091 2.8224

18 4.2275 2.1658

19 1.0235 0.5243

20 0.0712 0.0365


LT R(pu) X(pu)

1 para 2 0.00079862 0.00078105

2 para 3 0.00034644 0.00033881

3 para 4 0.00054089 0.00052898

3 para 12 0.00061742 0.00060384

4 para 5 0.00094928 0.00092546

5 para 6 0.00113749 0.00111245

6 para 7 0.00096954 0.00094820

6 para 8 0.00023096 0.00022588

8 para 9 0.00091951 0.00089927

9 para 10 0.00079862 0.00078105

10 para 11 0.00093249 0.00091197

1 para 13 0.00091951 0.00089927

13 para 14 0.00109016 0.00106617

14 para 15 0.00093249 0.00091197

15 para 16 0.00093249 0.00091197

13 para 19 0.00089571 0.00087600

19 para 20 0.00093249 0.00091197

13 para 17 0.00115047 0.00112515

17 para 18 0.00102985 0.00100719

Sistemas Teste IEEE

Sistema Teste 34 barras IEEE – Modificado

Sbase = 25MVA

Vbase = 24.9kV

Sistema Teste 118 barras IEEE – Modificado

Sbase = 100MVA

Vbase = 138kV

Sistema Teste 70 Barras

Sbase = 10MVA

Vbase = 12.66kV


Barra P(kW) Q(kVAR)

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 2.6 2.2

8 40.4 30

9 75 54

10 30 22

11 28 19

12 145 104

13 145 104

14 8 5.5

15 8 5.5

16 0 0

17 45.5 30

18 60 35

19 60 35

20 0 0

21 1 0.6

22 114 81

23 5.3 3.5

24 0 0

25 28 20

26 0 0

27 14 10

28 14 10

29 26 18.6

30 26 18.6

31 0 0

32 0 0

33 0 0

34 14 10

35 19.5 14

36 6 4

37 26 18.55

38 26 18.55

39 0 0

40 24 17

41 24 17

42 1.2 1

43 0 0

44 6 4.3

45 0 0

46 39.22 26.3

47 39.22 26.3

48 0 0

49 79 56.4

50 384.7 274.5

51 384.7 274.5

52 40.5 28.3

53 3.6 2.7

54 4.35 3.5

55 26.4 19

56 24 17.2

57 0 0

58 0 0

59 0 0

60 100 72

61 0 0

62 1244 888

63 32 23

64 0 0

65 227 162

66 59 42

67 18 13

68 18 13

69 28 20

70 28 20


LT R(pu) X(pu)

1 para 2 0.0003 0.0007

2 para 3 0.0003 0.0007

3 para 4 0.0001 0.0001

4 para 5 0.0009 0.0022

5 para 6 0.0157 0.0183

6 para 7 0.2284 0.1163

7 para 8 0.2378 0.1211

8 para 9 0.0575 0.0293

9 para 10 0.0308 0.0157

10 para 11 0.5110 0.1689

11 para 12 0.1168 0.0386

12 para 13 0.4439 0.1467

13 para 14 0.6426 0.2121

14 para 15 0.6514 0.2153

15 para 16 0.6601 0.2181

16 para 17 0.1227 0.4056

17 para 18 0.2336 0.0772

18 para 19 0.0029 0.0010

19 para 20 0.2044 0.0676

20 para 21 0.1314 0.0434

21 para 22 0.2131 0.0704

22 para 23 0.0087 0.0029

23 para 24 0.0993 0.0328

24para 25 0.2161 0.0714

25 para 26 0.4672 0.1544

26 para 27 0.1927 0.0637

27 para 28 0.1081 0.0357

3 para 29 0.0027 0.0067

29 para 30 0.0399 0.0976

30 para 31 0.2482 0.0820

31 para 32 0.0438 0.0145

32 para 33 0.2190 0.0724

33 para 34 0.5235 0.1757

34 para 35 1.0657 0.3523

35 para 36 0.9197 0.3040

4 para 37 0.0027 0.0674

37 para 38 0.0399 0.0976

38 para 39 0.0657 0.0767

39 para 40 0.0190 0.0190

40 para 41 0.0011 0.0013

41 para 42 0.4544 0.5309

42 para 43 0.1934 0.2260

43 para 44 0.0256 0.0298

44 para 45 0.0057 0.0072

45 para 46 0.0679 0.0857

46 para 47 0.0006 0.0007

5 para 48 0.0021 0.0052

48 para 49 0.0531 0.1300

49 para 50 0.1808 0.4424

50 para 51 0.0513 0.1255

9 para 52 0.0579 0.0295

52 para 53 0.2071 0.0695

10 para 54 0.1086 0.0553

54 para 55 0.1267 0.0645

55 para 56 0.1773 0.0903

56 para 57 0.1755 0.0894

57 para 58 0.9920 0.3330

58 para 59 0.4890 0.1641

59 para 60 0.1898 0.0665

60 para 61 0.2409 0.0731

61 para 62 0.3166 0.1613

62 para 63 0.0608 0.0309

63 para 64 0.0905 0.0460

64 para 65 0.4433 0.2258

65 para 66 0.6495 0.3308

12 para 67 0.1255 0.0381

67 para 68 0.0029 0.0009

13 para 69 0.4613 0.1525

69 para 70 0.0029 0.0010

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