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UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICASDEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

ESTUDIO DEL REFINAMIENTO DE MALLAS GEOMÉTRICASDE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ISÓSCELES

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN CIENCIASMENCIÓN COMPUTACIÓN

OLIVER AMADEO VILCA HUAYTA

PROFESOR GUÍA:MARÍA CECILIA RIVARA ZÚÑIGA

MIEMBROS DE LA COMISIÓN:NANCY VIOLA HITSCHFELD KAHLER

CLAUDIO DOMINGO GUTIERREZ GALLARDODIEGO JAVIER CELENTANO

SANTIAGO DE CHILEMARZO 2009

RESUMEN

La tesis se sitúa en el área de las mallas geométricas, específicamente en elestudio del proceso de refinamiento y mejoramiento de las mismas, para estosfines, se ha diseñado y utilizado el algoritmo Lepp-Bisección basado en la bisec-ción de triángulos por la arista más larga.

El problema de refinamiento de mallas compuestas de triángulos rectángulosisósceles es: Dada una triangulación uniforme inicial Mi de triángulos rectángu-los isósceles, una región de refinamiento R deMi y un parámetro de longitud dearista ε; obtener una triangulación refinada1 y conforme Mf de triángulos rec-tángulos isósceles, tal que la longitud de la arista más larga de cada triángulodeMf que intersecta R sea menor o igual que ε. Se demostró que el refinamientode la región R depende de la condición de refinamiento:

En el refinamiento alrededor de un vértice P , la inserción de puntos y ge-neración de triángulos es una función logarítmica de L

ε.

En el refinamiento alrededor de una arista (segmento) AB, la inserción depuntos y generación de triángulos es una función lineal de L

ε.

La inserción de puntos y generación de triángulos para el refinamiento deun sector cuadrado es una función cuadrática de L

ε.

Donde L es la longitud inicial de la arista más larga de los triángulos queintersectan R y ε es la cota de la longitud de arista más larga a la cual se debenreducir todos los triángulos que intersectan R.

Si el refinamiento es sobre una malla general TRI, hay la posibilidad delpeor caso de refinamiento. Por lo que en el costo se debe agregar O(N). Donde Nes el número total de triángulos deMi.

También se efectuó un estudio teórico y empírico sobre la longitud de propa-gación del LEPP, en el primero se calculó la longitud media de propagación delLEPP utilizando funciones generatrices de probabilidad, siendo ésta igual a cua-tro triángulos.

En el estudio empírico se experimentó para diferentes tamaños de muestrasde vértices aleatorios. Para cada muestra se construyó la triangulación Delaunayy se obtuvo el promedio de las longitudes de propagación LEPP de los triángu-los (que se conforman al expandir cada triángulo por la arista más larga). Losresultados empíricos concuerdan con los teóricos, la longitud media de propa-gación del LEPP es menor que cuatro (µ = 3,582) triángulos con una desviaciónestándar σ = 1,617 para muestras aleatorias mayores a mil vértices.

1Insertando puntos y generando nuevos triángulos rectángulos isósceles por efecto de la bi-sección iterativa de los mismos.

I

A Dios, quien me ha protegido.A mis padres que me han cuidado,

a mi hermano Alfredo con quien compartí la misma infancia.A todos mis familiares, amigos y profesores.

II

Agradecimientos

En primer lugar le agradezco mi madre Noemí, mujer esforzada que dio muchopor sus hijos, a mi padre Cristín. A mis hermanos Alfredo, Delma y Edwin.

Debo reconocimiento a los profesores que me enseñaron, Ricardo Baeza, Ser-gio Ochoa, Alejandro Bassi, Claudio Gutiérrez, Gonzalo Navarro, Eric Tanter,María Cecilia Bastarrica, Rodrigo Paredes, Luis A. Guerrero, Marco Zúñiga, Ce-sar Guerrero, Sebastián Castro y al profesor José Pino quien me apoyó y merecibió atentamente cuando ingrese al programa de Postgrado. Agradezco elhaber tenido buenos profesores.

A todos los trabajadores administrativos de la Facultad de Ciencias FísicasMatemáticas de la Universidad de Chile, en especial a Angélica Aguirre, graciaspor tu orientación, a Magaly Zúñiga, y a todo el personal del DCC sin excep-ción. En general a la Universidad de Chile y a la Escuela de Postgrado por sugenerosidad y por la oportunidad que me otorgó. Recibí conocimiento y tambiénformación personal.

También a mis compañeros y amigos en el DCC: Nayer Tumi, Andrés Neyem,Mauro San Martin, Renzo Angles, Diego Arroyuelo, Cristian Aracena, JoséCanuman, Javier Bustos, Francisco Venegas, Rodrigo González, Francisco Claude,Ricardo Barrientos, Lai Chun-Hau y Alcides Quispe.

A los profesores de mi comisión, Claudio Gutiérrez, Nancy Hitschfeld, Diego Ce-lentano.

Finalmente, a mi profesora guía María Cecilia Rivara, muchas gracias por tuapoyo, comprensión y tiempo.

Agradezco a todos ustedes por haber llegado a mi vida, no los olvidaré.

Muchas gracias que Dios los bendiga.

III

Índice

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

1. Introducción 11.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Definición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. El problema del refinamiento de triangulaciones . . . . . . . 31.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Descripción de los Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Antecedentes 72.1. Mallas de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Refinamiento de triangulaciones mediante la bisección de triángulos 9

2.2.1. Bisección de un triángulo por la arista más larga . . . . . . . 92.2.2. Propiedades de la bisección de un triángulo por la arista

más larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3. LEPP (Longest-Edge Propagation Path) . . . . . . . . . . . . 112.2.4. Algoritmo de refinamiento de triangulaciones (Lepp-bisección) 12

2.3. Refinamiento de mallas Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Refinamiento de mallas de triángulos rectángulos isósceles 163.1. El problema de refinamiento de triángulos rectángulos isósceles . . 163.2. Triangulación uniforme TRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Refinamiento alrededor de un vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1. Refinamiento alrededor de un vértice para una triangula-ción TRI de cuatro triángulos (figura 3.6(a)) . . . . . . . . . . 21

3.3.2. Algoritmo para el refinamiento alrededor de un vértice . . . 263.3.3. Refinamiento alrededor de un vértice para una triangula-

ción uniforme TRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4. Refinamiento alrededor de una arista . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IV

3.4.1. Refinamiento alrededor de una arista para la triangulaciónTRI de la figura 3.8.(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.2. Algoritmo para el refinamiento alrededor de una arista . . . 353.4.3. Refinamiento alrededor de una arista para una triangula-

ción uniforme TRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5. Refinamiento de un sector cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1. Refinamiento de un sector cuadrado para una triangulaciónTRI de la figura 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.2. Refinamiento de un sector cuadrado para una triangulaciónuniforme TRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6. Refinamiento de un sector circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6.1. Refinamiento de un sector circular para la triangulación

TRI de la figura 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6.2. Refinamiento de un sector circular para una triangulación

uniforme TRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7. El peor caso de refinamiento de las triangulaciones generales TRI . 503.8. Refinamiento en una triangulación general TRI . . . . . . . . . . . 51

4. Estadística experimental de la longitud de propagación del LEPP 524.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2. Peor caso de la longitud máxima de propagación LEPP en una malla 534.3. Longitud de propagación del LEPP en una malla Delaunay . . . . . 54

4.3.1. Longitud media de propagación del LEPP en una malla De-launay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.2. Longitud máxima de propagación del LEPP en una mallaDelaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4. Longitud de propagación del LEPP en una malla refinada conLepp-Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.1. Longitud media de propagación del LEPP en una malla re-

finada con Lepp-Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.2. Longitud máxima de propagación del LEPP en una malla

refinada con Lepp-Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5. Nuevo algoritmo de refinamiento: Lepp-Bisección-Delimitado . . . 62

5. Estadística teórica de la longitud de propagación del LEPP 645.1. Introducción a las funciones generatrices . . . . . . . . . . . . . . . 645.2. Función generatriz de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3. Longitud media de propagación del LEPP . . . . . . . . . . . . . . . 675.4. Desviación estándar de la longitud media de propagación del LEPP 705.5. Comparación de los resultados empíricos y teóricos de la longitud

media de propagación del LEPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

V

5.6. Cuando en el LEPP las probabilidades de tener un triángulo vecinode tipo A, B y C son distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. Conclusiones 75

Bibliografía 79

VI

Índice de figuras

2.1. Bisección del triángulo ABC por la arista más larga. . . . . . . . . 102.2. Refinamiento LEPP del triángulo t0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Bisección de un triángulo rectángulo isósceles. . . . . . . . . . . . . 173.2. Bisección de un triángulo rectángulo escaleno. . . . . . . . . . . . . 173.3. Triangulación Delaunay compuesta por triángulos rectángulos (isósce-

les o no isósceles). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4. Inserción de un vértice en el circuncentro de un triángulo rectán-

gulo isósceles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5. Malla de triángulos rectángulos isósceles. . . . . . . . . . . . . . . . 193.6. Refinamiento alrededor de un vértice P . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7. Iteraciones del refinamiento alrededor del vértice P . . . . . . . . . . 233.8. Refinamiento alrededor de una arista. . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9. Iteraciones del refinamiento alrededor de la arista AB. . . . . . . . 313.10.Refinamiento de un sector cuadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . 393.11.Refinamiento dentro del área de un sector cuadrado Ω. . . . . . . . 403.12.Refinamiento en el exterior de un sector cuadrado. . . . . . . . . . . 443.13.Refinamiento de un sector circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.14.Peor caso del refinamiento de triángulos rectángulos isósceles. . . . 51

4.1. Peor caso de la longitud máxima de propagación LEPP en una ma-lla (con n+ 1 triángulos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2. Longitud media de propagación del LEPP en una malla Delaunay. 554.3. Longitud media de propagación del LEPP en una malla Delaunay. 574.4. Longitud del LEPP máximo en una malla Delaunay. . . . . . . . . . 584.5. Longitud media de propagación del LEPP en una malla refinada

con Lepp-Delaunay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6. Longitud media de propagación del LEPP en una malla refinada

con Lepp-Delaunay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7. Longitud del LEPP máximo en una malla refinada con Lepp-

Delaunay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

VII

Índice de Tablas

3.1. Vértices y triángulos insertados en el refinamiento alrededor deun vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2. Vértices insertados en el refinamiento alrededor de una arista. . . 323.3. Triángulos insertados en el refinamiento alrededor de una arista. . 343.4. Refinamiento por iteraciones dentro del área de un sector cuadrado. 413.5. Refinamiento por iteraciones en el exterior de un sector cuadrado. . 43

4.1. Resultados de los experimentos realizados sobre mallas construi-das por puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1. Resultados de la longitud media y desviación estándar de la propa-gación del LEPP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

VIII

Capítulo 1

Introducción

1.1. Aspectos generales

Existen diferentes aplicaciones que utilizan triangulaciones en dos y tres di-

mensiones, por ejemplo, para el análisis de fenómenos físicos en ingeniería, mo-

delación de terrenos, aplicaciones médicas, aplicaciones CAD/CAM1, visualiza-

ción científica, aplicaciones de computación gráfica, etc. En general se utilizan

para describir objetos geométricos.

En consideración a la amplia utilización de las mallas geométricas el refi-

namiento se ha convertido en una tarea necesaria para diferentes aplicaciones,

en particular en el uso de métodos de elementos finitos adaptativos para analizar

fenómenos físicos modelados por ecuaciones diferenciales parciales. Debido a

este requerimiento y a su importancia en diferentes aplicaciones, el refinamiento

de triangulaciones es objeto de estudio.

1CAD: Computer-Aided Design. CAM: Computer-Aided Manufacturing.

1

Para el refinamiento de mallas, se ha diseñado diferentes estrategias, por

ejemplo, las que se basan en la inserción de vértices en el circuncírculo de los

triángulos que se requieren refinar. En particular Rivara ha desarrollado al-

goritmos basados en la bisección de triángulos por la arista más larga [7, 9].

Resultados recientes sobre estos algoritmos han sido obtenidos por Gutierrez,

Gutierrez y Rivara [6].

Dentro de las estrategias que utilizan la bisección de triángulos por la arista

más larga, existe una investigación previa efectuada por Rivara y Vénere [13],

donde se realiza un análisis geométrico limitado del costo de triangulaciones

mediante la bisección de triángulos. En este trabajo no se realiza el estudio em-

pírico de la longitud de propagación del LEPP en el proceso de refinamiento de

mallas geométricas, siendo el tema parte del estudio de esta tesis.

Por otro lado, Duchaineau et al. discuten el algoritmo ROAM2 [3] que es un

método usado en la modelación de terrenos y visualización en tiempo real con

mallas de triángulos basado en la noción de un bintree de triángulos rectángulos

isósceles (el bintree tiene una variante para triángulos, como lo tiene el quadtree),

recursivamente refina los triángulos dividiendo su arista más larga.

1.2. Definición del problema

El estudio del refinamiento de mallas es un tema teórico de interés. Sin em-

bargo, existen inconvenientes para su análisis:

- Debido a que está supeditado a cada aplicación en particular (los objetos

que representan las mallas), es difícil precisar la estructura final de las2Real-time Optimally Adapting Meshes.

2

mallas geométricas. La ubicación y distribución de los puntos determinan

las características de la malla.

- Se desconoce el comportamiento exacto del proceso de refinamiento de ma-

llas geométricas. El resultado varía y depende de los algoritmos de cons-

trucción y refinamiento de mallas.

1.2.1. El problema del refinamiento de triangulaciones

En distintas aplicaciones se necesita resolver el siguiente problema: Dada

una triangulación inicial Ti de calidad aceptable3 en particular de triángulos

rectángulos isósceles (como los que se muestran en la figura 3.5), una región de

refinamiento R de Ti y un parámetro ε de longitud de arista más larga requerida;

refinar los triángulos que intersectan la región R (por ejemplo el área definida

por un cuadrado) construyendo una nueva triangulación Tf que cumpla con las

siguientes características:

- La triangulación Tf (refinada) es conforme.

- Refinar la región R de modo que todos los triángulos que intersectan R

tengan una longitud de la arista más larga menor o igual que ε.

- Mantener triángulos de buena calidad.

- Minimizar el costo que involucra la propagación del refinamiento fuera de

la región de refinamiento R (operación que se efectúa para la conformidad

de la malla).3El ángulo más pequeño de la triangulación tiene una cota inferior (α ≥ αcota).

3

1.3. Objetivos

1.3.1. Objetivo general

El objetivo principal de esta tesis es estudiar teórica y empíricamente el pro-

ceso de refinamiento según la longitud de la arista más larga sobre los triángulos

en mallas geométricas de triángulos rectángulos isósceles y discutir la extensión

de estos resultados.

1.3.2. Objetivos específicos

Estudiar el costo del proceso de refinamiento de mallas de triángulos rec-

tángulos isósceles aplicado a las siguientes condiciones de refinamiento:

refinamiento alrededor de un vértice, refinamiento alrededor de una arista,

refinamiento de un sector cuadrado y de un sector circular, considerando la

longitud de la arista más larga de los triángulos.

Determinar la longitud promedio de la propagación del algoritmo de refi-

namiento bisección LEPP.

Estudiar empíricamente el refinamiento de triangulaciones generales obtenidas

por vértices aleatorios.

1.4. Metodología

La investigación se inicia con la revisión bibliográfica, luego se estudia las

estrategias de refinamiento de mallas de triángulos rectángulos isósceles con

4

el objetivo de calcular el costo de refinamiento. Por otro lado, se realiza experi-

mentos empíricos sobre mallas Delaunay con el objetivo de calcular la longitud

media y máxima de propagación del Lepp (estadística experimental). También

se calcula la longitud media de propagación del Lepp utilizando funciones gene-

ratrices de probabilidad (estadística teórica). Finalmente esos dos resultados, el

experimental y el teórico se contrastan observando las diferencias de las medias

y sus desviaciones estándar.

Definición de variables. En principio son las siguientes:

El costo del proceso de refinamiento, que se puede medir considerando el

número de puntos insertados o el número de triángulos generados.

El nivel o la escala de refinamiento, que se puede especificar indicando la

máxima longitud ε del lado más largo de los triángulos que están en una

región de refinamiento.

Para el desarrollo de los experimentos se procede de la siguiente manera:

Experimentos. Para los experimentos se genera un conjunto P de puntos

aleatorios en el plano, y según sea conveniente se conforman para diferentes

tamaños de muestra. Con estos puntos se construyen mallas (triangulaciones)

Delaunay. A continuación, estas triangulaciones se refinan considerando los si-

guientes tipos de refinamiento: alrededor de un vértice, alrededor de una arista,

en un sector cuadrado y en un sector circular. Este procedimiento se repite

cuarenta veces para cada tamaño de muestra con la finalidad de obtener resul-

tados generales. Para la medición se utiliza una computadora y un programa en

lenguaje C/C++. Finalmente se obtiene los resultados y conclusiones.

5

1.5. Descripción de los Contenidos

En el capítulo Antecedentes se muestra una breve reseña teórica del refi-

namiento mallas de triángulos. En particular el LEPP (Longest-Edge Propaga-

tion Path).

En el capítulo Refinamiento de mallas de triángulos rectángulos isósceles

se describe el refinamiento de triangulaciones TRI (de Triángulos Rectángulos

Isósceles) aplicado a las siguientes condiciones de refinamiento: refinamiento

alrededor de un vértice, refinamiento alrededor de una arista, refinamiento de

un sector cuadrado y refinamiento de un sector circular. Este capítulo termina

explicando el peor caso de refinamiento de las triangulaciones TRI.

En el capítulo Estadística experimental de la longitud de propagación del

LEPP se realizan experimentos empíricos sobre mallas Delaunay y se obtiene

la longitud media y longitud máxima de propagación del LEPP. Las mismas

medidas se obtienen en una malla refinada con Lepp-Delaunay.

En el capítulo Estadística teórica de la longitud de propagación del LEPP

se efectúa el cálculo de la longitud media de propagación LEPP utilizando fun-

ciones generatrices de probabilidad. El capítulo culmina comparando los resul-

tados empíricos y teóricos de la longitud media de propagación del Lepp.

En el capítulo Conclusiones se resume los resultados obtenidos y se muestra

las principales deducciones alcanzadas de los resultados.

6

Capítulo 2

Antecedentes

2.1. Mallas de triángulos

Las mallas de polígonos (triángulos en particular) sirven para diferentes apli-

caciones, por ejemplo, se utilizan ampliamente para representar y aproximar su-

perficies en el espacio, etc. Los modelos de gráficos en computadora por lo general

se representan utilizando mallas de triángulos.

Una triangulación de un polígono es una partición en un conjunto de trián-

gulos que cubren el polígono, de tal manera que dos triángulos vecinos se inter-

sectan ya sea en un vértice común o en una arista común.

Definición 2.1. Una triangulación de un polígono es conforme si para cualquier

par de triángulos vecinos se cumple que éstos se intersectan en un vértice común

o en una arista común.

Diagrama Voronoi V (P ): Sea P = p1, p2, ..., pn un conjunto de n puntos

7

distintos en el plano, se define el diagrama Voronoi de P como la subdivisión

del plano en n celdas, con la propiedad de que un punto q pertenece a la celda

correspondiente al sitio pi, si y sólo si distancia(q, pi) < distancia(q, pj) para cada

pj ∈ P con j 6= i [2].

Triangulación Delaunay: Sea P = p1, p2, ..., pn un conjunto de n puntos en

el plano, la Triangulación Delaunay de P se define como el dual del diagrama de

Voronoi (tiene un punto para cada celda Voronoi y una arista entre dos puntos si

las correspondientes celdas son vecinas). Una propiedad importante es que dado

un conjunto de puntos P , es la triangulación más equilátera descrita en [2, 4]

donde también se demuestran las siguientes propiedades:

Teorema 2.2. Sea P un conjunto de puntos en el plano.

Tres puntos pi, pj, pk ε P son vértices de un mismo triángulo de la triangula-

ción Delaunay de P si y sólo si el círculo formado por pi, pj y pk no contiene

en su interior un punto de P .

Dos puntos pi, pj ε P forman una arista de la triangulación Delaunay de P

si y sólo si existe un disco cerrado C que contiene a pi y pj en su límite y no

contiene otro punto de P .

El teorema 2.2 implica la siguiente descripción de la triangulación Delaunay.

Teorema 2.3. Sea P un conjunto de puntos en el plano, y sea Γ una triangulación

de P , entonces Γ es una triangulación Delaunay de P si y sólo si el circuncírculo

de cada triángulo de Γ no contiene en su interior un punto de P .

8

2.2. Refinamiento de triangulaciones mediante

la bisección de triángulos

El objetivo principal es refinar triangulaciones de buena calidad, debido a

que estos algoritmos mantienen la calidad de la triangulación inicial.

Existen algoritmos de refinamiento de triangulaciones basados en la bisec-

ción de triángulos [7, 9] por la arista más larga, que garantizan la conservación

de la calidad de la triangulación de entrada. Esto debido a las propiedades

matemáticas de la bisección de triángulos por la arista más larga [10] y a la

estrategia de propagación del área de refinamiento. Como consecuencia, su estu-

dio se ha extendido a tres dimensiones [8, 11, 12]. También existe la partición

en cuatro triángulos [10], el que se obtiene uniendo el punto medio del lado más

largo con el vértice opuesto y los puntos medios de los dos lados restantes.

Observación: Las triangulaciones producidas por la bisección de triángulos

en general no son Delaunay.

2.2.1. Bisección de un triángulo por la arista más larga

Definición 2.4. Sea el triángulo ABC con vértices A, B y C. La bisección del

triángulo ABC por la arista más larga se define como sigue. Se forman dos trián-

gulos a partir del triángulo ABC insertando un punto D en la mitad de la arista

más larga del triángulo ABC y se traza un segmento desde el punto D al vér-

tice opuesto al lado más largo. Si hay más de un lado de longitud más larga, se

selecciona uno de ellos [16].

9

En la figura 2.1 se muestra la bisección del triángulo ABC por su arista más

larga. Se inserta el punto D en la mitad de la arista más larga BC y se traza

una nueva arista AD, desde el punto D (de la arista BC) al respectivo vértice

opuesto. Se forman dos nuevos triángulos ABD y ADC.

A B

C

D

Figura 2.1: Bisección del triángulo ABC por la arista más larga.

2.2.2. Propiedades de la bisección de un triángulo por la

arista más larga

Una propiedad importante de la bisección iterativa de un triángulo en relación

a la calidad de triángulos generados es el teorema 2.5 que se explica y demuestra

en [7, 16].

Teorema 2.5. La bisección iterativa de un triángulo ABC genera triángulos

cuyos ángulos interiores más pequeños son siempre mayores o iguales a α/2,

donde α es el ángulo interior más pequeño del triángulo inicial ABC.

También Gutierrez et al. [6] describen las características de los triángulos y

en consecuencia el comportamiento del método de bisección.

10

Conformidad de una malla por la bisección de un triángulo: Sea t0 un

triángulo de una malla conforme Γ, la bisección de t0 por la arista más larga hace

que la malla Γ quede no conforme en el caso de existir un triángulo vecino t1 que

comparte con t0 la arista recientemente dividida, debido al punto insertado en la

mitad de la arista compartida. De otro modo si la arista más larga del triángulo

t0 pertenece al contorno de la malla, entonces Γ permanecerá conforme.

2.2.3. LEPP (Longest-Edge Propagation Path)

El camino de propagación por la arista más larga de un triángulo t0 (Lepp(t0))

es una lista ordenada de triángulos t0, t1, ..., tn−1, tn. El LEPP cumple las siguien-

tes propiedades [9, 7]:

ti+1 es el vecino de ti por el lado más largo de ti para i = 0, ..., n− 1.

El lado más largo de ti es mayor que el lado más largo de ti−1.

Para cada t0, Lepp(t0) es siempre un conjunto finito1 de triángulos.

Para el último triángulo tn de Lepp(t0), se cumple que (i) tn tiene su arista

más larga en el perímetro y es el de mayor longitud, o bien (ii) tn y tn−1

comparten la misma arista más larga.

1La propiedad está demostrada.

11

(d)

(e) (f)

2

1

3

2

1

345

2

1

345

6

(a) (b)

(c)

t

1

1

2

1

t 2

t 3

t 0

Figura 2.2: Refinamiento LEPP del triángulo t0.

2.2.4. Algoritmo de refinamiento de triangulaciones (Lepp-

bisección)

El algoritmo Lepp-Bisección de refinamiento de triangulaciones por la arista

más larga (Lepp-bisección, anteriormente conocido como: Backward Longest-

Edge Refinement) se ilustra en la figura 2.2, el cual muestra el refinamiento

del triángulo t0 sobre una triangulación inicial de la figura 2.2(a). Se observa

que Lepp(t0) = t0, t1, t2, t3. Las triangulaciones de (b), (c) y (d) muestran los tres

primeros pasos del algoritmo (inserción de los puntos 1, 2 y 3 respectivamente),

12

y (e) es la penúltima triangulación. Finalmente (f) es la malla refinada, donde t0

ha sido dividido.

Algoritmo 2.1 LEPP-Bisección(t0)Entrada: t0 : Triángulo inicial para el refinamiento.

1: Mientras t0 no esté bisectado Hacer2: Encontrar Lepp(t0)3: tn ← El último triángulo de Lepp(t0)4: Si tn está en el perímetro Entonces5: Bisectar tn6: Sino7: Bisectar el último par de triángulos tn y tn−1

8: Fin Si9: Fin Mientras

Definición 2.6. Un triángulo t es casi equilátero si se comporta como un trián-

gulo equilátero en su bisección: En la primera bisección por la arista más larga

se introduce una mediana no paralela a los lados de t, y las posteriores medianas

son paralelas a algún lado de t.

Observación: Las triangulaciones compuestas por triángulos rectángulos

isósceles son casi equiláteras, su ángulo mínimo esta acotado por π4.

2.3. Refinamiento de mallas Delaunay

En esta sección se revisan otros algoritmos de refinamiento de mallas, especí-

ficamente los que trabajan en mallas Delaunay.

El objetivo principal de los algoritmos de refinamiento de mallas Delaunay

es insertar nuevos puntos en lugares estratégicos con el objetivo de eliminar

elementos de baja calidad, de tal manera que ningún vértice caiga dentro del

13

circuncírculo de los triángulos, manteniendo las propiedades Delaunay y por lo

tanto mejorando la calidad de la malla resultante. A continuación se revisan los

algoritmos más destacados de refinamiento de mallas Delaunay.

Entre los primeros algoritmos de refinamiento de mallas Delaunay que se in-

trodujeron está el de Ruppert [17] tal vez el primero de los que son teóricamente

garantizados, Ruppert prueba que su algoritmo produce mallas con ángulos no

más pequeños que 20,7. Es la extensión de un anterior algoritmo de Chew (cuyo

primer algoritmo de refinamiento no permite triángulos de diferentes tamaños).

La estrategia del algoritmo es hacer mejoras locales con el objetivo de elimi-

nar triángulos flacos (triángulos que tienen algún ángulo menor a una cota α).

Cada mejora implica agregar un nuevo vértice a la triangulación y en consecuen-

cia volver a triangular.

Los lados (arcos) del grafo de líneas rectas en el plano (planar straightline

graph PSLG en ingles) se denominan como segmentos para distinguir de los lados

de la triangulación Delaunay. Las dos operaciones básicas en el algoritmo son

dividir un segmento añadiendo un vértice en su mitad, y dividir un triángulo

añadiendo un vértice en su circuncentro2.

Para un segmento S el círculo con S como diámetro es referido como su círcu-

lo diametral, y se dice que un vértice invade un segmento S si cae en el círculo

diametral de S. En esencia el algoritmo divide triángulos flacos añadiendo un

vértice en su circuncentro que puede caer no necesariamente en el triángulo

vecino adyacente, a menos que el circuncírculo del triángulo invada algún seg-

mento, en tal caso se divide el segmento (o los segmentos invadidos) en lugar del

triángulo.

2Es el punto en que se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo y es el centrode la circunferencia circunscrita.

14

La estrategia elaborada por Shewchuk [19] combina el algoritmo de Ru-

ppert [17] y el algoritmo de Chew [1] reemplazando el círculos diametrales por

lentes diametrales, de este modo un segmento se considera invadido siempre que

un vértice cae dentro del lente diametral (este y otros arreglos además). El lente

diametral de un subsegmento S es la intersección de dos discos con la capacidad

de almacenar un triángulo isósceles cuyos ángulos en la base S son 30. Otra ex-

tensión de Shewchuk para el algoritmo de Ruppert se puede encontrar en [20].

Existe un refinador de mallas denominado Triangle [18] desarrollado por

Shewchuk que está disponible en la dirección Web del autor en http://www.cs.

cmu.edu/~quake/triangle.html y en Netlib3. Construido en el lenguaje C para

generación de mallas en dos dimensiones sirve para la construcción de triangu-

laciones Delaunay, triangulaciones Delaunay restringido, diagramas de Voronoi

y mallas de triángulos de alta calidad (en la versión 1.6). El autor en [18] discute

los tópicos de implementación como la estructura de datos, los pasos para crear

y refinar una malla y el uso de aritmética exacta para mejorar la robustez del

programa, finalmente recomienda para el análisis de elementos finitos.

También existe el algoritmo Lepp-Delaunay [12, 14, 15] utiliza la propagación

por la arista más larga de triángulos de mala calidad. Se inserta un vértice

en la arista terminal del LEPP como lo hace el algoritmo Lepp-Bisección. Para

cumplir las propiedades Delaunay, en la inserción de los vértices se aplica el

procedimiento de intercambio de aristas (del algoritmo Delaunay) sobre cada

uno de los triángulos nuevos y sobre algunos de sus vecinos hasta obtener una

nueva malla Delaunay.

3Netlib es una colección que está a libre disposición contiene Software, documentos y basesde datos de interés para la comunidad de computación científica, numérica y otros. Su direcciónWeb es http://www.netlib.org.

15

Capítulo 3

Refinamiento de mallas de

triángulos rectángulos isósceles

3.1. El problema de refinamiento de triángulos

rectángulos isósceles

En este capítulo se estudia las triangulaciones compuestas de triángulos rec-

tángulos isósceles (TRI en este capítulo). Se explica que las mallas conformadas

por triángulos rectángulos son Delaunay. También se expone el motivo por el que

en este capítulo se estudian exclusivamente las mallas compuestas de triángulos

rectángulos isósceles (TRI).

Triángulo rectángulo isósceles: Un triángulo rectángulo isósceles ABC

tiene un ángulo recto C (π/2 radianes) y dos agudos iguales (π/4 cada uno). Los

lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Si se divide la arista

más larga AB de un triángulo rectángulo isósceles ABC por el punto medio M

16

de AB y el vértice opuesto C, se obtiene dos nuevos triángulos rectángulos isósce-

les iguales ACB y BCM , esto se ilustra en la figura 3.1. Luego, la bisección de

un triángulo rectángulo isósceles genera necesariamente dos nuevos triángulos

rectángulos isósceles idénticos.

•

•

•

•C B

M

A

π/2

π/4

Figura 3.1: Bisección de un triángulo rectángulo isósceles.

Triángulo rectángulo escaleno: Un triángulo rectángulo escaleno ABC

tiene un ángulo recto C (π/2 radianes) y todos sus lados y ángulos son diferentes.

La bisección de un triángulo rectángulo escaleno por el punto medio M del lado

más largo AB y el vértice opuesto C, no genera nuevos triángulos rectángulos,

por lo que no son considerados en esta sección.

•

•

•

•

C B

M

A

π/2

Figura 3.2: Bisección de un triángulo rectángulo escaleno.

Teorema 3.1. Todas las mallas de triángulos rectángulos son Delaunay.

Demostración. El circuncírculo de un triángulo rectángulo ABC no puede con-

tener en su interior al tercer vértice no común D de un triángulo rectángulo

vecino BCD que comparten el lado BC o cualquiera de los otros dos lados sin

17

perder generalidad. Por contradicción, si el vértice no común D estuviera dentro

del circuncírculo, entonces el ángulo que representa (respecto al lado BC) sería

mayor que π/2 y por lo tanto no sería un triángulo rectángulo. De esta manera,

en secuencia todos los triángulos rectángulos vecinos cumplen la prueba del cir-

cuncírculo de Delaunay. Luego todas las mallas de triángulos rectángulos son

Delaunay.

Por ejemplo en la figura 3.3 el triángulo rectángulo ABC tiene dos vecinos

el triángulo rectángulo BCD y ABE. El circuncírculo del triángulo rectángulo

ABC no contiene en su interior a los vértices D y E de sus vecinos. El vértice D

cae en el límite del circuncírculo y el vértice E está en el exterior.

• •

•

•

•

•A B

C

E

D

Figura 3.3: Triangulación Delaunay compuesta por triángulos rectángulos(isósceles o no isósceles).

Corolario 3.2. Todas las mallas de triángulos rectángulos isósceles son Delau-

nay.

Observación: La inserción de un vértice M en el circuncentro de un trián-

gulo rectángulo isósceles T es la misma inserción que se realiza al insertar un

vértice en el lado más largo de T (producto de la bisección). Si a un triángulo

rectángulo isósceles T , por ejemplo, el de la figura 3.1 se le agrega el circuncír-

culo entonces el circuncentro cae justamente en M , que es el punto medio de la

hipotenusa, como se vuelve a mostrar en la figura 3.4.

18

•

•

•

•C B

M

A

π/2

π/4

Figura 3.4: Inserción de un vértice en el circuncentro de un triángulo rectánguloisósceles.

3.2. Triangulación uniforme TRI

Definición 3.3. Triangulación uniforme TRI: Es una triangulación compues-

ta de triángulos rectángulos isósceles, donde todos los triángulos son del mismo

tamaño. En la figura 3.5 se pueden observar algunos ejemplos.

(a) (b) (c)

Figura 3.5: Malla de triángulos rectángulos isósceles.

Propiedad 3.4. En una triangulación uniforme TRI, los triángulos son del mis-

mo tamaño y cada triángulo ti puede tener hasta tres vecinos. Los catetos de ti

pueden tener vecinos que comparten también sus catetos, debido a que la longi-

tud del cateto es distinta al de la hipotenusa. Del mismo modo, a la hipotenusa

de ti le corresponde un vecino que comparte también su hipotenusa.

19

Teorema 3.5. En una malla uniforme TRI la longitud de propagación por la

arista más larga de un triángulo es a lo más dos. Dos si el triángulo tiene un

vecino por la hipotenusa o uno si el triángulo tiene su hipotenusa en el borde de

la malla.

Demostración. De acuerdo a la propiedad (3.4) en una malla uniforme TRI, si

a la hipotenusa de un triángulo tiene un vecino entonces ambos comparten sus

aristas más largas y en consecuencia la longitud de propagación LEPP es dos. Y

si la hipotenusa cae en el borde de la malla entonces la longitud de propagación

LEPP es uno.

Corolario 3.6. En una malla uniforme TRI la bisección por la arista más larga

de cualquier triángulo no tiene el peor caso de propagación.

Observación: Una triangulación no uniforme está compuesta de triángu-

los rectángulos isósceles de diferentes tamaños. Una triangulación general TRI

puede ser uniforme o no uniforme.

Definición 3.7. El problema de refinamiento de mallas compuestas de triángu-

los rectángulos isósceles es como sigue: Dada una triangulación uniforme inicial

Mi de triángulos rectángulos isósceles, una región de refinamiento R de Mi y un

parámetro de longitud de arista ε; obtener una triangulación refinada1 y con-

formeMf de triángulos rectángulos isósceles, tal que la longitud de la arista más

larga de cada triángulo deMf que intersecta R sea menor o igual que ε.

La región R de refinamiento que se consideran son las siguientes: alrededor

de un vértice, alrededor de una arista, dentro del área definida por un cuadrado


20

y dentro del área definida por un círculo. El área de la región R puede ser in-

cluso igual a cero (aunque se puede esperar que sea distinta de cero), en el caso

del refinamiento alrededor de un vértice (punto) el área del sector R es cero, lo

mismo sucede si el refinamiento es alrededor de una arista.

3.3. Refinamiento alrededor de un vértice

3.3.1. Refinamiento alrededor de un vértice para una trian-

gulación TRI de cuatro triángulos (figura 3.6(a))

Se considera el caso de refinamiento estable de una triangulación, es decir,

cuando el refinamiento es local y presenta un comportamiento que sigue un pa-

trón. Motivo por el cual se pueden obtener resultados exactos.

Por ejemplo la figura 3.6(a) se refina utilizando seis iteraciones, una iteración

consiste en la división de todos los triángulos que comparten el vértice común

P . El resultado se muestra en la figura 3.6(b) con la inserción de 24 vértices y

44 triángulos en seis iteraciones, y si se considera los 5 vértices y 4 triángulos

iniciales, hacen un total de 29 vértices y 48 triángulos.

21

•

• •

•

•

(a)

P

L•

• •

•

••

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

••

• •

••••

••• ••

(b)

Figura 3.6: Refinamiento alrededor de un vértice P : (a) Malla inicial y (b) Mallarefinada en seis iteraciones.

Supuesto 3.8. Se consideran sólo triangulaciones conformadas por triángulos

rectángulos isósceles TRI.

Definición 3.9. Triangulación inicial Tv para refinar alrededor de un

vértice: La triangulación inicial Tv para refinar alrededor de un vértice es la

mostrada en la figura 3.6(a). El refinamiento se realiza alrededor de un vértice

interior P donde se unen los vértices y ángulos internos adyacentes iguales de

(cuatro) triángulos rectángulos isósceles con longitudes iniciales de hipotenusas

L.

Problema 3.10. Refinamiento alrededor de un vértice: Dada una triangu-

lación inicial Tv, un vértice P y un parámetro de longitud de arista ε, se requiere

refinar el sector definido por un vértice P de Tv, tal que la longitud de la arista

más larga de cada triángulo de vértice común P sea menor o igual que ε.

Teorema 3.11. Refinamiento alrededor de un vértice: Para el problema 3.10

sobre la triangulación Tv de la definición 3.9. El número de vértices insertados y

el número de triángulos generados alrededor de un vértice común P utilizando el

algoritmo Bisección-Lepp es igual a 8 log2

(

Lε

)

y 16 log2

(

Lε

)

− 4, respectivamente.

22

Demostración. El objetivo es calcular el número de vértices insertados y trián-

gulos generados, de acuerdo a la longitud de arista (más larga) deseada ε que

indica hasta que longitud debe reducirse la arista (más larga) inicial L de los

triángulos que comparten el vértice común P . Aparte de la triangulación Tv y el

vértice P , los parámetros de entrada serán L y ε.•

• •

•

•

(a)

P

•

• •

•

••

•

•

•

(b)

•

• •

•

••

•

•

•

•

• •

•

(c)

•

• •

•

••

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

(d)

Figura 3.7: Iteraciones del refinamiento alrededor del vértice P : (a) Triangula-ción inicial, (b) Primera, (c) Segunda y (d) Tercera iteración.

El comportamiento se muestra en la figura 3.7, donde se observa que desde

la segunda iteración expresa un comportamiento estable, es decir, el número de

vértices y triángulos agregados es constante en cada paso iterativo (en particular

se agregan cuatro vértices y ocho triángulos). Se cumple también que el número

de aristas que están conectadas al vértice P es ocho. En la tabla 3.1 se registran

los pasos.

Número de vértices insertados: La cantidad de triángulos rectángulos

isósceles que pueden rodear un vértice compartido P es cuatro y ocho (con cua-

tro ángulos rectos y ocho ángulos de π/4 respectivamente), en estos dos casos

el número de vértices insertados en cada iteración es cuatro vértices, el com-

23

Itera-ción

Vérticesinserta-dos

Total vér-tices p(n)

Triángulosinserta-dos

Totaltriángulost(n)

Aristamáslargah(n)

1 4 4 4 4√

2L/22 4 8 8 12 L/2

3 4 12 8 20√

2L/44 4 16 8 28 L/4

5 4 20 8 36√

2L/86 4 24 8 44 L/8

7 4 28 8 52√

2L/16... ... ... ... ... ...n 4 p(n−1)+4 8 t(n−1)+8 h(n−1)√

2

Tabla 3.1: Vértices y triángulos insertados en el refinamiento alrededor de unvértice.

portamiento incremental se describe en la tabla 3.1. Luego, el número total de

vértices insertados p(n) en función del número de iteraciones n, queda definido

por la ecuación p(n) = p(n − 1) + 4 con p(1) = 4, el desarrollo de la ecuación

recursiva es:

p(n) = 4n (3.1)

Número de triángulos insertados: El mismo procedimiento se efectúa con-

siderando que en cada iteración se agregan ocho triángulos. En consecuencia, el

número de triángulos generados t(n) en función del número de iteraciones n, está

definido por la ecuación t(n) = t(n− 1) + 8 con t(1) = 4, es decir:

t(n) = 8n− 4 (3.2)

24

Bisección de la arista más larga: La arista más larga de cada triángulo

que comparte el vértice común P , se reduce multiplicándose por√

22

en cada ite-

ración, este factor se obtiene con la aplicación del teorema de Pitágoras en las

bisecciones sucesivas de un triángulo rectángulo isósceles. Luego la longitud de

la arista más larga h(n) en función del número de iteraciones n, queda definida

por la ecuación h(n) = h(n − 1)/√

2 con h(0) = L, cuya fórmula no recursiva es

(sexta columna de la tabla 3.1):

h(n) =L

2n

2

(3.3)

Debido a que se requiere expresar las ecuaciones en función de la arista de-

seada ε, se despeja n de la ecuación 3.3 reemplazando h(n) por ε, obteniéndose:

n = 2 log2

(

L

ε

)

(3.4)

Finalmente se calcula el número de vértices y triángulos agregados con-

siderando que la longitud de la arista más larga de cada triángulo de vértice

común P sea menor o igual que un parámetro de entrada ε. Reemplazando la

ecuación 3.4 en la ecuación 3.1 y 3.2 se obtiene:

p(L, ε) = 8 log2

(

L

ε

)

(3.5)

t(L, ε) = 16 log2

(

L

ε

)

− 4 (3.6)

25

En este caso, el trabajo de bisección se realiza sólo en los triángulos que com-

parten el vértice común P , no hay propagación en el resto de la malla.

3.3.2. Algoritmo para el refinamiento alrededor de un vér-

tice

El trabajo consiste en dividir los triángulos que están alrededor de un único

vértice de referencia P , esto hace que el algoritmo (3.1) sea simple. El algoritmo

recibe como parámetro de entrada P , L y ε.

P : Vértice de referencia alrededor del cual se refina.

L : Longitud de la arista inicial de los triángulos con vértice común P .

ε : Longitud de la arista requerida para los triángulos con vértice común P .

Las aristas de los triángulos rectángulos isósceles de vértice común P tienen

una misma longitud por lo que para representarlas se puede utilizar una varia-

ble, en el algoritmo es longitud_arista, y se divide por√

2 en cada paso iterativo de

bisección. Las iteraciones terminan cuando la longitud de arista (longitud_arista)

deja de ser mayor que ε, es decir, cuando los triángulos refinados han alcanzado

la dimensión requerida.

26

Algoritmo 3.1 Refinamiento_alrededor_de_un_vértice(P ,L,ε)Entrada: P : Vértice de referencia alrededor del cual se refina.Entrada: L : Longitud de la arista inicial de los triángulos con vértice comúnP .

Entrada: ε : Longitud de la arista requerida para los triángulos con vérticecomún P .

1: longitud_arista← L2: Mientras longitud_arista > ε Hacer3: Para cada triángulo t con vértice común P Hacer4: Lepp_Bisección(t)5: Fin Para6: longitud_arista← longitud_arista√

2

7: Fin Mientras

En el refinamiento alrededor de un vértice, existen mallas en los que la bisec-

ción de un triángulo puede involucrar la bisección de otros los triángulos de la

malla. El algoritmo recursivo Lepp-Bisección efectúa la bisección de los triángu-

los de vértice común P cuidando la conformidad de la malla.

3.3.3. Refinamiento alrededor de un vértice para una trian-

gulación uniforme TRI

Teorema 3.12. En una triangulación uniforme TRI, el número de vértices inser-

tados y el número de triángulos rectángulos isósceles generados alrededor de un

vértice común P utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función logarítmi-

ca de Lε.

Demostración. La demostración sigue al teorema 3.11, donde el número de vér-

tices insertados y el número de triángulos generados alrededor de un vértice

común P utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función logarítmica de

27

Lε, esto viene a ser un caso particular de refinamiento estable, es decir, cuando el

refinamiento es local y sin el peor caso de propagación en la malla. Para genera-

lizar este resultado se requiere demostrar que en las triangulaciones uniformes

TRI no existe el peor caso de propagación. El corolario 3.6 sustenta que en una

malla uniforme TRI la bisección por la arista más larga de un triángulo no tiene

el peor caso de propagación.

3.4. Refinamiento alrededor de una arista

3.4.1. Refinamiento alrededor de una arista para la trian-

gulación TRI de la figura 3.8.(b)

Se considera el caso de refinamiento estable de una triangulación, donde el

refinamiento es local y presenta un comportamiento que sigue un patrón. Motivo

por el cual se pueden obtener resultados exactos.



Definición 3.14. Triangulación inicial Ta para refinar alrededor de una

arista: La triangulación inicial Ta para refinar alrededor de una arista es la

mostrada en la figura 3.8.(b). El refinamiento se realiza sobre los triángulos

que están alrededor de una arista AB de longitud L donde se unen los lados

de (dos) triángulos rectángulos isósceles con longitudes iniciales de hipotenusas

L (simétricamente distribuidos y sin solapamiento).

Problema 3.15. Refinamiento alrededor de una arista: Dada una triangu-

lación inicial Ta, un arista inicial AB y un parámetro de longitud de arista ε, se

28

requiere refinar el sector definido por una arista AB de Ta, tal que la longitud de

la arista más larga de cada triángulo cuya arista es segmento de AB sea menor

o igual que ε.

Teorema 3.16. Refinamiento alrededor de una arista: Para el problema 3.15

sobre la triangulación Ta de la definición 3.14. El número de vértices insertados y

el número de triángulos generados alrededor de una arista común AB utilizando

el algoritmo Bisección-Lepp es igual a:

p(L, ε) =

7(

Lε

)

+ 8 log2

(

Lε

)

− 7 si n es par

4√

2(

Lε

)

+ 8 log2

(

Lε

)

− 11 si n es impar

y

t(L, ε) =

14(

Lε

)

+ 16 log2

(

Lε

)

− 14 si n es par

8√

2(

Lε

)

+ 16 log2

(

Lε

)

− 22 si n es impar

respectivamente.

Demostración. En la figura 3.8 contiene dos mallas iniciales (a) y (b), en donde

(b) está adecuada para obtener las fórmulas. El segmento AB que está definido

por los vértices A y B, inicialmente es la arista que comparten dos triángu-

los, posteriormente AB contiene subsegmentos que son aristas de los triángu-

los bisectados. Los triángulos cuyas aristas son segmentos de AB, no necesa-

riamente pertenecen a AB con sus hipotenusas (la arista más larga) sino tam-

bién con cualquiera de sus dos catetos (figura 3.9). Una iteración consiste en

la división de todos los triángulos cuyas aristas son segmentos de AB, de esta

manera, la primera iteración comienza con los dos triángulos que comparten la

29

arista común AB, se bisecta el segmento AB en dos subsegmentos (conforman-

do nuevos triángulos), éstos a su vez son bisectados en otros subsegmentos, así

sucesivamente.

A B

L

(a)

A B

L

(b)

Figura 3.8: Refinamiento alrededor de una arista: (a) y (b) son triangulacionesiniciales para el refinamiento alrededor de la arista definida por los vértices A yB.

El objetivo es calcular el número de vértices insertados y triángulos genera-

dos, de acuerdo a la longitud de arista deseada ε que indica hasta qué longitud

debe reducirse las aristas más largas de los triángulos cuyas aristas son segmen-

tos de AB. La longitud AB es L.

30

A B

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 3.9: Iteraciones del refinamiento alrededor de la arista AB: (a) Trian-gulación inicial, (b) Primera, (c) Segunda, (d) Tercera, (e) Cuarta y (f) Quintaiteración.

El comportamiento se muestra en la figura 3.9, donde se observa que en las

iteraciones impares (primera, tercera, etc.) la inclusión de vértices y triángulos

es en progresión geométrica de potencias de dos (debido a la bisección de los

triángulos). Es similar en las iteraciones pares, que además tiene una constante.

En la tabla 3.2 se registran los pasos.

Número de vértices insertados: El número de vértices insertados en ca-

da iteración es la mitad del número de triángulos agregados, esto debido a que

por cada dos triángulos agregados se inserta un nuevo vértice, el vértice que-

da rodeado por cuatro triángulos nuevos en donde anteriormente eran sólo dos

31

Itera-ción

Vértices insertados Totalvér-ticesp(n)

1 21−1

2 = 1 12 2(2

2

2−1 − 1) + 2(2

2

2 ) + 10 = 14 153 2

3−1

2 = 2 174 2(2

4

2−1 − 1) + 2(2

4

2 ) + 10 = 20 375 2

5−1

2 = 4 416 2(2

6

2−1 − 1) + 2(2

6

2 ) + 10 = 32 737 2

7−1

2 = 8 818 2(2

8

2−1 − 1) + 2(2

8

2 ) + 10 = 56 137... ... ...n (*) (*)

(*) Depende si n es par o impar.

Tabla 3.2: Vértices insertados en el refinamiento alrededor de una arista.

(ver los cálculos del número de triángulos insertados). La ecuación 3.7 es exac-

tamente la mitad de la ecuación 3.9. El comportamiento incremental se describe

en la tabla 3.2. Luego, el número total de vértices insertados p(n) en función del

número de iteraciones n, queda definido por la siguiente ecuación con p(1) = 1:

p(n) =

p(n− 1) + 3(

2n

2

)

+ 8 si n es par

p(n− 1) + 2n

2− 1

2 si n es impar(3.7)

El resultado para el número de vértices insertados es:

p(n) =

7(

2n

2

)

+ 4n− 7 si n es par

4(

2n+1

2

)

+ 4n− 11 si n es impar(3.8)

Número de triángulos insertados: La inserción de triángulos se clasifi-

32

ca en dos casos: las iteraciones pares y las impares, esto debido a su compor-

tamiento incremental. Cuando el número de la iteraciones es par el número de

triángulos cuyas aristas son segmentos de AB es de 2n

2 a cada lado (donde n

es el número de iteración) debido a que únicamente en cada dos iteraciones se

bisectan las aristas que son segmentos de AB (figura 3.9). Se tiene la misma

cantidad de triángulos en ambos lados, sumando un total de 2n

2+1 triángulos. La

propagación necesaria para la conformidad de la malla genera nuevos triángu-

los, y por cada triángulos cuya arista es segmento de AB, la propagación es de

seis nuevos triángulos menos los tres iniciales bisectados, es decir, tres triángu-

los adicionales. Luego se agregan 3(

2n

2+1)

triángulos más 16 triángulos prove-

nientes de la propagación adicional de los cuatro triángulos que están en los

extremos, quienes se propagan añadiendo cuatro triángulos cada uno. En el caso

que la iteración sea impar, el número de triángulos cuyas aristas son segmentos

de AB es de 2n

2+ 1

2 . La propagación genera nuevos triángulos, en este caso por

cada triángulo cuya arista es segmento de AB, la propagación es de dos trián-

gulos nuevos menos uno inicial bisectado, es decir, uno. Luego se agregan 2n

2+ 1

2

triángulos. Finalmente, el número de triángulos generados t(n) en función del

número de iteraciones n, está definido por la ecuación:

t(n) =

t(n− 1) + 3(

2n

2+1)

+ 16 si n es par

t(n− 1) + 2n

2+ 1


La sumatoria para encontrar la ecuación resultado para el número de trián-

gulos agregados es:

t(n) =

∑

n

2

k=1

(

3(

2i+1)

+ 16)

+∑

n

2

k=1 2i si n es par∑

n+1

2

k=1 2i +∑

n+1

2

k=2

(

3(

2i)

+ 16)

si n es impar(3.10)

33

Itera-ción

Triángulos insertados Totaltriángulost(n)

Arista máslarga h(n)

1 21+1

2 = 2 2√

2L/2

2 3(22+2

2 ) + 16 = 28 30 L/2

3 23+1

2 = 4 34√

2L/4

4 3(24+2

2 ) + 16 = 40 74 L/4

5 25+1

2 = 8 82√

2L/8

6 3(26+2

2 ) + 16 = 64 146 L/8

7 27+1

2 = 16 162√

2L/16

8 3(28+2

2 ) + 16 = 112 274 L/8... ... ... ...n (*) (*) h(n) = h(n−1)√

2


Tabla 3.3: Triángulos insertados en el refinamiento alrededor de una arista.

El resultado para el número de triángulos agregados es:

t(n) =

14(

2n

2

)

+ 8n− 14 si n es par

8(

2n+1

2

)

+ 8n− 22 si n es impar(3.11)

Bisección de la arista más larga: El resultado es el mismo del refinamien-

to alrededor de un vértice, la arista más larga de cada triángulo, se reduce mul-

tiplicándose por√

22

en cada iteración, este factor se obtiene con la aplicación del

teorema de Pitágoras en las bisecciones sucesivas de un triángulo rectángulo

isósceles. Luego la longitud de la arista más larga h(n) en función del número

de iteraciones n, queda definida por la ecuación h(n) = h(n− 1)/√

2 con h(0) = L,

cuya fórmula no recursiva es (cuarta columna de la tabla 3.3):

h(n) =L

2n

2

(3.12)

34

Debido a que se requiere expresar las ecuaciones en función de la arista de-

seada ε, se despeja n de la ecuación 3.12 reemplazando h(n) por ε, obteniéndose:

n = 2 log2

(

L

ε

)

(3.13)


siderando que la longitud de la arista más larga de cada triángulo cuya arista es

segmento de E sea menor o igual que un parámetro de entrada ε. Reemplazando

la ecuación 3.13 en la ecuación 3.8 y 3.11 se obtiene:

p(L, ε) =

7(

Lε

)

+ 8 log2

(

Lε

)

− 7 si n es par

4√

2(

Lε

)

+ 8 log2

(

Lε

)

− 11 si n es impar(3.14)

t(L, ε) =

14(

Lε

)

+ 16 log2

(

Lε

)

− 14 si n es par

8√

2(

Lε

)

+ 16 log2

(

Lε

)

− 22 si n es impar(3.15)

3.4.2. Algoritmo para el refinamiento alrededor de una arista

El trabajo consiste en dividir los triángulos que están alrededor de una

arista inicial AB, el algoritmo (3.2) expone los detalles. El algoritmo recibe como

parámetro de entrada AB, L y ε.

E : Arista (segmento) de referencia alrededor del cual se refina.

35

L : Longitud de la arista inicial de los (dos) triángulos con arista común

AB.

ε : Longitud de la arista requerida para los triángulos cuyas aristas son

segmentos de AB.

Las hipotenusas de los triángulos rectángulos isósceles cuyas aristas son seg-

mentos de AB tienen una misma longitud por lo que para representarlas se

puede utilizar una variable, en el algoritmo es longitud_arista, y se divide por√

2

en cada paso iterativo de bisección. Las iteraciones terminan cuando la longitud

de arista (longitud_arista) deja de ser mayor que ε, es decir, cuando los triángulos

refinados han alcanzado la dimensión requerida.

Algoritmo 3.2 Refinamiento_alrededor_de_una_arista(AB,L,ε)Entrada: AB : Arista (segmento) de referencia alrededor del cual se refina.Entrada: L : Longitud de la arista inicial de los triángulos con arista comúnAB.

Entrada: ε : Longitud de la arista requerida para los triángulos cuyas aristasson segmentos de AB.

1: longitud_arista← L2: Mientras longitud_arista > ε Hacer3: Para cada triángulo t con arista ∈ AB Hacer4: Lepp_Bisección(t)5: Fin Para6: longitud_arista← longitud_arista√

2

7: Fin Mientras

En la línea cuatro del algoritmo 3.2 se utiliza el algoritmo recursivo 2.1 para

la bisección del triángulo t y sus vecinos, es decir Lepp(t), esto para la conformi-

dad de la malla.

36

3.4.3. Refinamiento alrededor de una arista para una trian-



tados y el número de triángulos rectángulos isósceles generados alrededor de una

arista común AB de longitud L utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una

función lineal de Lε.


tices insertados y el número de triángulos generados alrededor de una arista

común AB de longitud L utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función

lineal de Lε, esto viene a ser un caso particular de refinamiento estable, es de-

cir, cuando el refinamiento es local y sin el peor caso de propagación en la malla.

Para generalizar este resultado se requiere demostrar que en las triangulaciones

uniformes TRI no existe el peor caso de propagación. El corolario 3.6 sustenta

que en una malla uniforme TRI la bisección por la arista más larga de un trián-

gulo no tiene el peor caso de propagación.

3.5. Refinamiento de un sector cuadrado

3.5.1. Refinamiento de un sector cuadrado para una trian-

gulación TRI de la figura 3.10

Se considera el caso de refinamiento estable de una triangulación, donde el

refinamiento es local y presenta un comportamiento que sigue un patrón. Motivo

por el cual se pueden obtener resultados exactos.

37



Definición 3.19. Triangulación inicial Ts para refinar un sector cuadra-

do: La triangulación inicial Ts para refinar un sector cuadrado es la mostrada

en la figura 3.10. El refinamiento se realiza en un sector cuadrado ABCD con

lado de longitud L y centro P , donde se unen los vértices y ángulos internos adya-

centes iguales de (cuatro) triángulos rectángulos isósceles con longitudes iniciales

de hipotenusas L.

Problema 3.20. Refinamiento de un sector cuadrado: Dada una triangula-

ción inicial Ts, un cuadrado ABCD y un parámetro de longitud de arista ε, se

requiere refinar el sector definido por un cuadrado ABCD dentro de Ts, tal que la

longitud de la arista más larga de cada triángulo contenido en ABCD sea menor

o igual que ε.

Teorema 3.21. Refinamiento de un sector cuadrado: Para el problema 3.20

sobre la triangulación Ts de la definición 3.19. El número de vértices insertados

y el número de triángulos rectángulos isósceles generados dentro y fuera de un

sector cuadrado utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es igual a:

p(L, ε) =

2(

Lε

)2+ 8√

2(

Lε

)

+ 8 log2

(

Lε

)

− 15 si Lε

es par

4(

Lε

)2+ 1 si L

εes impar

y

t(L, ε) =

4(

Lε

)2+ 16√

2(

Lε

)

+ 16 log2

(

Lε

)

− 36 si Lε

es par

4(

Lε

)2si Lε

es impar

respectivamente.

38

B

C

A

D

L

Figura 3.10: Refinamiento de un sector cuadrado ABCD.

Demostración. El objetivo es calcular el número de vértices insertados y triángu-

los generados, de acuerdo a la longitud de arista deseada ε que indica hasta qué

longitud debe reducirse la arista de los triángulos contenidos en un cuadrado

ABCD de la figura 3.10. La medida puede expresarse con la proporción L/ε.

La solución está compuesta por dos partes: (A) Lo que se genera dentro del

área del cuadrado y (B) Lo que se genera fuera de la región del cuadrado, esto

para la conformidad de la malla.

A. Refinamiento dentro del área de un sector cuadrado

El comportamiento del refinamiento por iteraciones se muestra en la figu-

ra 3.11, donde se grafica exclusivamente el sector ABCD de la figura 3.10. El

resto del gráfico se omite debido a que en la primera parte se estudia parcial-

mente el refinamiento en el interior de un cuadrado. Se observa que a diferencia

del refinamiento alrededor de un vértice, el número de vértices y triángulos agre-

gados no es constante en cada paso iterativo de división de los triángulos. En este

caso es exponencial como se observa en la tabla 3.4 donde se distingue mejor el

número de vértices y triángulos agregados.

39

•

• •

•

•

(a)

•

• •

•

••

•

•

•

(b)

•

• •

•

••

•

•

•

•

• •

•

(c)

•

• •

•

••

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

• •

•

•

••

•

•

(d)

Figura 3.11: Refinamiento dentro del área de un sector cuadrado Ω.

De acuerdo al comportamiento incremental descrito en la tabla 3.4, el número

de vértices insertados dentro del área definida por el cuadrado está definido por

la siguiente ecuación, que indica el número de vértices insertados p(n) en función

del número de iteraciones n:

p(n) =

2n + 2n+2

2 + 1 si n es par

2n + 2n+1

2 + 1 si n es impar(3.16)

De igual manera se efectúa para el número de triángulos generados, definido

por la ecuación t(n) = 2 ∗ t(n− 1) con t(1) = 4, que indica el número de triángulos

generados t(n) en función del número de iteraciones n:

t(n) = 2n+1 (3.17)

40

Itera-ción

Vérticesinser-tadosen elinterior


Triángulosinserta-dos en elinterior


Aristamáslargah(n)

1 1 5 4 4 L

2 4 9 4 8√

2L/23 4 13 8 16 L/2

4 12 25 16 32√

2L/45 16 41 32 64 L/4

6 40 81 64 128√

2L/87 64 145 128 256 L/8... ... ... ... ... ...n - (*) − 2n+1 h(n−1)√

2


Tabla 3.4: Refinamiento por iteraciones dentro del área de un sector cuadrado.

La arista más larga de los triángulos contenidos en el cuadrado ABCD en

función del número de iteraciones n (sexta columna de la tabla 3.4) está definida

por:

h(n) =L

2n−1

2

(3.18)

Luego se despeja n de la ecuación 3.18, obteniéndose:

n = 2 log2

(

L

ε

)

+ 1 (3.19)


siderando que la longitud de la arista más larga de cada triángulo dentro de

ABCD sea menor o igual que un parámetro de entrada ε. Reemplazando la

41

ecuación 3.19 en las ecuaciones 3.16 y 3.17 se obtiene:

p(L, ε) =

(√2Lε

+ 1)2

si Lε

es par(

2Lε

)2+ 1 si L

εes impar

(3.20)

t(L, ε) =(

2L

ε

)2

(3.21)

Considerando los resultados de estas dos últimas fórmulas. El número de

vértices insertados y el número de triángulos rectángulos isósceles generados

exclusivamente dentro de un sector cuadrado es una función cuadrática. Este

resultado es la solución parcial del problema definido inicialmente en la sec-

ción 3.5.1.

B. Refinamiento en el exterior de un sector cuadrado

El comportamiento se muestra en la figura 3.12, donde se grafica los vértices

agregados sólo en el exterior del cuadrado ABCD, no se consideran los vértices

insertados en el interior debido a que en esta parte se estudia el comportamiento

en el exterior de un cuadrado. Los vértices de color negro son los que han sido

insertados en las iteraciones anteriores a la reciente iteración, los nuevos vér-

tices insertados son de color azul. El número de vértices y triángulos agregados

es exponencial como se observa en la tabla 3.5.

De acuerdo al comportamiento incremental descrito en la tabla 3.5, el número

de vértices insertados en el exterior del área definida por el cuadrado está

definido por la siguiente ecuación, que indica el número de vértices insertados

p(n) en función del número de iteraciones n:

42

Itera-ción

Vérticesinserta-dos enel exte-rior


Triángulosinserta-dos en elexterior


Aristamáslargah(n)

1 - - - - L

2 0 0 4 4√

2L/23 0 0 0 4 L/2

4 20 20 48 52√

2L/45 0 20 0 52 L/4

6 32 52 80 132√

2L/87 0 52 0 132 L/8

8 56 108 144 276√

2L/169 0 108 0 276 L/16

10 104 212 272 548√

2L/32... ... ... ... ... ...n - (*) − (*) h(n−1)√

2


Tabla 3.5: Refinamiento por iteraciones en el exterior de un sector cuadrado.

43

B

C

A

D

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.12: Refinamiento en el exterior de un sector cuadrado (iteración inicial0, 1, 3 y 5).

p(n) =

3(2n+2

2 ) + 4n− 20 si n es par


El número de triángulos generados t(n) en función del número de iteraciones

n es:

t(n) =

2n+8

2 + 8n− 44 si n es par


44

La arista más larga de los triángulos contenidos en el cuadrado ABCD en

función del número de iteraciones n (sexta columna de la tabla 3.5) está definida

por:

h(n) =L

2n−1

2

(3.24)

Luego se despeja n de la ecuación 3.24, obteniéndose:

n = 2 log2

(

L

ε

)

+ 1 (3.25)


siderando que la longitud de la arista más larga de cada triángulo dentro de

ABCD sea menor o igual que un parámetro de entrada ε. Reemplazando la

ecuación 3.25 en las ecuaciones 3.22 y 3.23 se obtiene:

p(L, ε) =

6√

2(

Lε

)

+ 8 log2

(

Lε

)

− 16 si Lε

es par

0 si Lε

es impar(3.26)

t(L, ε) =

16√

2(

Lε

)

+ 16 log2

(

Lε

)

− 36 si Lε

es par

0 si Lε

es impar(3.27)

De las ecuaciones 3.26 y 3.27, el resultado parcial del número de vértices in-

sertados y el número de triángulos generados específicamente en el exterior de

un sector cuadrado es una función lineal de Lε. Y el resultado parcial del número

de vértices insertados y el número de triángulos generados específicamente en

45

el interior de un sector cuadrado es una función cuadrática de Lε, esto según las

ecuaciones 3.20 y 3.21.

Considerando ambos resultados obtenidos del trabajo que se efectúa dentro

y fuera de un sector cuadrado, el de mayor orden es el que se desarrolla en el

interior del sector cuadrado.

C. Refinamiento dentro y en el exterior de un sector cuadrado

El resultado total del refinamiento realizado en el interior y en el exterior de

un sector cuadrado se obtiene sumando los resultados parciales. Para el número

de vértices insertados se suman las ecuaciones 3.20 y 3.26. Para el número de

triángulos generados se suman las ecuaciones 3.21 y 3.27, es como sigue:

p(L, ε) =

2(

Lε

)2+ 8√

2(

Lε

)

+ 8 log2

(

Lε

)

− 15 si Lε

es par

4(

Lε

)2+ 1 si L

εes impar

(3.28)

t(L, ε) =

4(

Lε

)2+ 16√

2(

Lε

)

+ 16 log2

(

Lε

)

− 36 si Lε

es par

4(

Lε

)2si Lε

es impar(3.29)

Luego el número de vértices insertados y el número de triángulos rectán-

gulos isósceles generados dentro y fuera de un sector cuadrado es una función

cuadrática de Lε. En el refinamiento de un sector cuadrado, el refinamiento de

los triángulos que están en el exterior es para la conformidad de la malla.

46

3.5.2. Refinamiento de un sector cuadrado para una trian-



tados y el número de triángulos rectángulos isósceles generados dentro y fuera

de un sector cuadrado utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función

cuadrática de Lε.


tices insertados y el número de triángulos generados dentro y fuera de un sector

cuadrado utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función cuadrática de Lε,

esto viene a ser un caso particular de refinamiento estable, es decir, cuando el






3.6. Refinamiento de un sector circular

3.6.1. Refinamiento de un sector circular para la triangu-

lación TRI de la figura 3.13

Se considera el caso de refinamiento estable de una triangulación, es decir,

cuando el refinamiento es local y presenta un comportamiento que sigue un pa-

trón. Motivo por el cual se puede obtener resultados exactos.

47


rectángulos isósceles (TRI).

Definición 3.24. Triangulación inicial Tc para refinar un sector circu-

lar: La triangulación inicial Tc para refinar un sector circular es la mostrada

en la figura 3.13. El refinamiento se realiza en un sector circular Φ inscrita en

un cuadrado ABCD con centro P , donde se unen los vértices y ángulos internos

adyacentes iguales de (cuatro) triángulos rectángulos isósceles con longitudes ini-

ciales de hipotenusas L.

Problema 3.25. Refinamiento de un sector circular: Dada una triangula-

ción inicial Tc, un círculo Φ y un parámetro de longitud de arista ε, se requiere

refinar el sector definido por un círculo Φ (inscrita en un cuadrado ABCD) dentro

de Tc, tal que la longitud de la arista más larga de cada triángulo contenido en

Φ sea menor o igual que ε.

Teorema 3.26. Refinamiento de un sector circular: Para el problema 3.25

sobre la triangulación Tc de la definición 3.24. El número de vértices insertados

y el número de triángulos rectángulos isósceles generados dentro y fuera de un

sector circular utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función cuadrática

de Lε.

B

C

A

D

L

Figura 3.13: Refinamiento de un sector circular.

48

Demostración. Las triangulaciones iniciales de los refinamientos de un sector

cuadrado y de un sector circular son las mismas, definidas como Ts y Tc respec-

tivamente (figuras 3.10 y 3.13). El área del sector circular Φ está incluida en

el área de un cuadrado ABCD, que es el mismo cuadrado del cual se calculado

el costo de refinamiento en el teorema 3.21. Entonces, el costo de refinamiento

de un sector circular es equivalente al refinamiento de un sector cuadrado (al

menos en el orden de la función). Luego el número de vértices insertados y el

número de triángulos rectángulos isósceles generados dentro y fuera de un sec-

tor circular utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función cuadrática deLε.

3.6.2. Refinamiento de un sector circular para una triangu-

lación uniforme TRI


tados y el número de triángulos rectángulos isósceles generados dentro y fuera de

un sector circular utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función cuadráti-

ca de Lε.


tices insertados y el número de triángulos generados dentro y fuera de un sector

circular utilizando el algoritmo Bisección-Lepp es una función cuadrática de Lε,

esto viene a ser un caso particular de refinamiento estable, es decir, cuando el






49

3.7. El peor caso de refinamiento de las triangu-

laciones generales TRI

El peor caso de refinamiento de las mallas conformadas de triángulos rectán-

gulos isósceles es cuando el refinamiento de un sector R involucra el refinamien-

to de toda la malla (con la bisección de todos los triángulos). En este caso el refi-

namiento global de todos los triángulos es hasta que llegue a su estado monótono

(estable) donde el refinamiento de las siguientes iteraciones son locales respecto

al sector R.

En la figura 3.14, el refinamiento alrededor del vértice A involucra en la

primera ocasión el refinamiento (bisección) de todos los triángulos de la malla,

y algunas otras hasta llegar a su estado monótono de refinamiento. Lo mismo

ocurre si el refinamiento es alrededor de la arista AB y otros tipos de refinamien-

to local. Se nota que el refinamiento de cualquier sector que está arriba en la

figura involucra el refinamiento de todos los triángulos que están en la parte

inferior del mismo. Sin embargo, no todos los triángulos se bisectan en cada ite-

ración de refinamiento del sector R, en cambio, el refinamiento es local desde

que alcanza su estado monótono.

Luego en cualquier tipo de refinamiento el costo de refinamiento puede in-

cluir el peor caso. Por lo que, en general, el costo de todo refinamiento (alrededor

de un vértice, arista, etc.) tiene necesariamente el término O(N), donde N es el

número de triángulos de la malla inicial (antes de efectuar el refinamiento).

50

...

A B

C

Figura 3.14: Peor caso del refinamiento de triángulos rectángulos isósceles.

3.8. Refinamiento en una triangulación general

TRI

Si el refinamiento es en una malla general TRI (no necesariamente uniforme),

hay la posibilidad del peor caso de refinamiento. Entonces, en el análisis del

costo considerando el peor caso, se debe agregar un término que es O(N). Donde

N es el número total de triángulos de la malla inicial Mi (antes de efectuar el

refinamiento).

51

Capítulo 4

Estadística experimental de la

longitud de propagación del

LEPP

4.1. Introducción

La longitud de propagación del LEPP (Longest-Edge Propagation Path) de

un triángulo t0, es el número de elementos del conjunto de triángulos Lepp(t0)

que se conforman al expandir el triángulo t0 por la arista más larga (se explica

en la sección 2.2.3).

Para obtener los indicadores de la longitud de propagación del LEPP en una

triangulación Delaunay se realizó el siguiente procedimiento:

Generar un conjunto P de puntos aleatorios coplanares.

52

Construir una malla Γ a partir del conjunto de puntos P , utilizando el algo-

ritmo de triangulación Delaunay.

Calcular el LEPP de cada triángulo de Γ.

Calcular la longitud media, máxima y desviación estándar de los LEPP de

Γ.

El procedimiento descrito se aplicó a diferentes tamaños de muestras, con la

finalidad de obtener resultados generales. Para obtener las medidas del LEPP

(longitud media y máxima) para cada tamaño de muestra se repitió cuarenta

veces los experimentos (por cada tamaño de muestra).

Para los experimentos se utilizó una computadora HP (Intel Core duo) de

1.66 GHz con 1 Gb de RAM.

4.2. Peor caso de la longitud máxima de propa-

gación LEPP en una malla

En el peor caso la longitud máxima de propagación del LEPP en una malla

de triángulos es igual al número de triángulos de la malla. Esto significa que la

longitud máxima de propagación LEPP de un triángulo t0 es igual al número de

elementos del conjunto Lepp(t0). Un ejemplo se muestra en la figura 4.1 donde

la longitud máxima de propagación LEPP del triángulo t0 es igual a n + 1, que

es igual al número total de triángulos de la malla (t0, t1, t2, ..., tn). El LEPP del

triángulo t0 inicia arriba y se prolonga hasta el último triángulo tn, esto debido

a que cada triángulo de la malla tiene su lado más largo en la parte inferior

53

con longitudes de aristas más largas crecientes según la secuencia del LEPP, es

decir, Lepp(t0) = t0, t1, t2, ..., tn.

...

t 0

t n

t 4

t 2

3t

t 1

Figura 4.1: Peor caso de la longitud máxima de propagación LEPP en una malla(con n+ 1 triángulos).

4.3. Longitud de propagación del LEPP en una

malla Delaunay

4.3.1. Longitud media de propagación del LEPP en una ma-

lla Delaunay

Se efectuó el experimento considerando los siguientes tamaños de muestra:

Primero. De cien puntos hasta mil puntos. Con incrementos de cien puntos,

con la finalidad de observar el comportamiento inicial.

Segundo. De mil puntos hasta veinte mil puntos. Con incrementos de mil

puntos.

54

En la figura 4.2 se observa que los experimentos de muestras menores a mil

puntos un LEPP promedio corto, con un crecimiento proporcional al número de

puntos. Desde los mil o más puntos el LEPP llega a su mayor valor donde in-

mediatamente se mantiene estable en un promedio (media).

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

100200

300400

500600

700800

9001000

11001200

13001400

15001600

17001800

19002000

Long

itud

med

ia d

el L

EP

P

Puntos

Longitud media del LEPP según puntos

Malla Delaunay

Figura 4.2: Longitud media de propagación del LEPP en una malla Delaunay.

Para calcular la media no se consideraron las muestras de triangulaciones

construidas con menos de mil puntos debido a que el comportamiento inicial no

es estable, es decir, que la media crece proporcionalmente al tamaño de la mues-

tra. Luego, se observa que para mallas construidas con muestras mayores a mil

puntos el LEPP mantiene una media de µ = 3,582 triángulos con una desviación

estándar1 σ = 1,617. Una desviación estándar pequeña indica que el LEPP está

alrededor y cerca de una media para triangulaciones construidas con mil o más

puntos. De esta forma se confirma la existencia del LEPP promedio. En la figu-

ra 4.3 y la tabla 4.1 se observa el LEPP promedio para muestras exclusivamente

1Desviación estándar (o desviación típica) es una medida del grado de dispersión de los datosal valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es el promedio o variación es-perada con respecto de la media aritmética.

55

Malla Delaunay Malla Refinada (conLepp-Delaunay 25o)

Númerode Pun-tos

Lepp Desviaciónestándar

Longitudmáximadel Lepp

Lepp Desviaciónestándar

Longitudmáximadel Lepp

1000 3,602 1,627 11,725 3,46 1,715 15,3752000 3,604 1,638 13,025 3,464 1,692 15,6753000 3,611 1,639 13,7 3,454 1,668 15,9754000 3,598 1,622 13,85 3,475 1,696 16,855000 3,596 1,63 14,375 3,469 1,677 17,1256000 3,59 1,622 14,45 3,474 1,685 18,17000 3,583 1,617 14,475 3,467 1,671 17,0758000 3,579 1,615 15,175 3,471 1,671 17,9259000 3,58 1,614 14,85 3,47 1,669 17,810000 3,581 1,618 15,4 3,472 1,666 17,611000 3,574 1,609 15,025 3,478 1,695 18,67512000 3,579 1,616 15,65 3,473 1,665 17,77513000 3,573 1,612 16,15 3,472 1,662 18,5514000 3,575 1,612 15,925 3,47 1,66 17,97515000 3,571 1,613 16,2 3,477 1,665 17,7516000 3,573 1,61 15,85 3,474 1,66 1817000 3,57 1,605 16,075 3,473 1,659 18,0518000 3,567 1,609 16,8 3,478 1,664 18,0519000 3,566 1,602 15,85 3,47 1,657 18,12520000 3,566 1,602 16,575 3,474 1,671 19,225Promedio: 3,582 1,617 15,056 3,471 1,673 17,584

Tabla 4.1: Resultados de los experimentos realizados sobre mallas construidaspor puntos.

56

mayores a mil puntos.

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

10002000

30004000

50006000

70008000

900010000

11000

12000

13000

14000

15000

16000

17000

18000

19000

20000

Long

itud

med

ia d

el L

EP

P

Puntos


Malla Delaunay

Figura 4.3: Longitud media de propagación del LEPP en una malla Delaunay.

4.3.2. Longitud máxima de propagación del LEPP en una

malla Delaunay

En la figura 4.4 se observa el LEPP máximo de las mallas (de las mismas

muestras de la sección anterior), el LEPP crece proporcionalmente al número de

puntos. A partir de una cantidad de mil puntos mantiene un promedio estable

de aproximadamente quince triángulos, esto se aprecia en la cuarta columna de

tabla 4.1.

57

8

9

10

11

12

13

14

100200

300400

500600

700800

9001000

11001200

13001400

15001600

17001800

19002000

Long

itud

máx

ima

del L

EP

P

Puntos

Longitud máxima del LEPP según puntos

Malla Delaunay

Figura 4.4: Longitud del LEPP máximo en una malla Delaunay.

4.4. Longitud de propagación del LEPP en una

malla refinada con Lepp-Delaunay

También se experimentó con mallas refinadas con el algoritmo Lepp-Delaunay

que se emplea para mejorar las mallas hasta que el ángulo mínimo de los trián-

gulos sean mayores o iguales que 25 grados sexagesimales. Este algoritmo se

aplicó sobre las mismas mallas de la sección anterior, por lo tanto las muestras

son las mismas.

58

4.4.1. Longitud media de propagación del LEPP en una ma-

lla refinada con Lepp-Delaunay

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

100200

300400

500600

700800

9001000

11001200

13001400

15001600

17001800

19002000

Long

itud

med

ia d

el L

EP

P

Puntos


Malla DelaunayMalla refinada (con Lepp−Delaunay 25)

Figura 4.5: Longitud media de propagación del LEPP en una malla refinada conLepp-Delaunay.

Para calcular la media no se consideraron las muestras de triangulaciones

construidas con menos de mil puntos. Se observa que para cantidades grandes

(mayores a mil puntos) el LEPP mantiene una media de µ = 3,471 triángulos

(menor a la malla Delaunay no refinada µ = 3,582) y una desviación estándar

1,673. Una desviación estándar pequeña indica que el LEPP está alrededor y cer-

ca de una media. De esta manera se confirma la existencia del LEPP promedio.

En la figura 4.6 se presenta el LEPP promedio para muestras exclusivamente

mayores a mil puntos, donde la barra sombreada (de color negro) representa las

mallas refinadas con el algoritmo Lepp-Delaunay(25). Los valores de las medias

y las desviaciones estándar de cada tamaño de muestra están en la quinta y

sexta columna de la tabla 4.1.

59

La reducción del LEPP promedio respecto a la malla inicial no refinada se

explica al efecto de la aplicación del algoritmo Lepp-Delaunay(25) que mejora

la calidad de los triángulos, y en consecuencia la longitud media del LEPP es

menor.

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

10002000

30004000

50006000

70008000

900010000

11000

12000

13000

14000

15000

16000

17000

18000

19000

20000

Long

itud

med

ia d

el L

EP

P

Puntos



Figura 4.6: Longitud media de propagación del LEPP en una malla refinada conLepp-Delaunay.

60

4.4.2. Longitud máxima de propagación del LEPP en una

malla refinada con Lepp-Delaunay

8

10

12

14

16

18

100200

300400

500600

700800

9001000

11001200

13001400

15001600

17001800

19002000

Long

itud

máx

ima

del L

EP

P

Puntos

Longitud máxima del LEPP según puntos


Figura 4.7: Longitud del LEPP máximo en una malla refinada con Lepp-Delaunay.

En la figura 4.7 las barras sombreadas (de color negro) representan la

longitud máxima del LEPP de las mallas refinadas con el algoritmo Lepp-

Delaunay(25) construidas con las mismas muestras de la sección 4.3.2, en la

que se muestra la longitud máxima del LEPP de las mallas sin refinamiento.

Los resultados para muestras mayores a mil puntos se presentan en la sépti-

ma columna de la tabla 4.1 con un promedio de 17,584 triángulos.

61

4.5. Nuevo algoritmo de refinamiento: Lepp-Bisección-

Delimitado

La crítica fundamental que se puede hacer al algoritmo Lepp-Bisección es

el peor caso en donde la propagación del LEPP llega a abarcar incluso toda la

malla.

En razón a que la longitud de propagación del LEPP tiene una media pequeña

y considerando que también se dispone de las estadísticas de la longitud máxima

del LEPP para cada tamaño de muestra. En esta sección se elabora y plantea un

nuevo algoritmo de refinamiento denominado Lepp-Bisección-Delimitado, sin el

peor caso de propagación.

En esencia es una condición que se agrega a su predecesor. En la búsque-

da del LEPP se controla el número de triángulos que se avanza, si este pasa

un límite Max entonces se bisecta el triángulo que está en el límite y dejamos

de avanzar en la búsqueda del último par de triángulos (o triángulo que es-

tá en el perímetro). El triángulo que cae en el límite es el triángulo con la

arista más larga de toda la secuencia examinada de triángulos (de acuerdo a las

propiedades del LEPP) por lo puede ser bisectado. El inconveniente por supuesto

es dejar de buscar el último triángulo tn del LEPP.

Si se considera los experimentos efectuados a partir de los diferentes tamaños

de muestra, sobre las triangulaciones Delaunay refinadas o sin refinar en ningún

de los casos el LEPP máximo es mayor a 20 (tabla 4.1) por lo que el límite apro-

piado de búsqueda es Max = 20 (u otro si la aplicación lo exige). También se

respalda por el estudio teórico en el cual se tiene una media de cuatro triángulos

y una desviación estándar de 2,4.

62

Por otro lado, tratándose de refinamiento de un sector, el efecto de la inclusión

de un límite en la búsqueda del LEPP no tiene importancia debido a que los

triángulos que pasan el límite pueden no estar en la región de refinamiento, y

si están pueden ser bisectados cuando se examina otro triángulo de la región de

refinamiento.

Dentro de los algoritmos de ordenamiento más utilizados esta el Quicksort

que en el caso promedio es óptimo pese a que tiene el peor caso (no frecuente).

El peor caso en las mallas de triángulos es aun menos frecuente, por lo que es

posible que casi nunca se llegue al límite (al menos en los experimentos con

mallas elaboradas por vértices aleatorios).

En el nuevo algoritmo de refinamiento basado en la bisección de triángulos

por la arista más larga, el costo de la búsqueda del LEPP de un triángulo t0

es constante O(1), no depende del tamaño de la malla (número de triángulos o

vértices de la triangulación).

63

Capítulo 5

Estadística teórica de la longitud

de propagación del LEPP

5.1. Introducción a las funciones generatrices

Esta sección tiene la finalidad de recordar los conceptos relacionados con las

funciones generatrices y, primordialmente, establecer la terminología y notación

para las mismas (hay textos de referencia por ejemplo [5]). Con igual intención

se ha incluido en la sección de anexos el tema de probabilidades discretas.

Las funciones generatrices vienen a ser un método simbólico. El de mayor

utilidad que se conoce para tratar con secuencias de números. Se utilizan, por

ejemplo, para resolver problemas combinatorios entre otros varios. Se aplican en

diferentes áreas de la ciencia. La función generatriz tiene la siguiente forma:

64

G(z) = g0 + g1z + g2z2 + · · · =

∑

n≥0

gnzn (5.1)

Se dice que G(z) es la función generatriz para la secuencia <g0, g1, g2, . . .>, el

cual también se denomina <gn>.

Hay dos tipos de “forma cerrada” para las funciones generatrices. Puede

haber una forma cerrada para G(z), expresada en términos de z; o puede haber

una forma cerrada para gn, expresado en términos de n. Por ejemplo, la función

generatriz para los “números Fibonacci” tiene la forma cerrada z/(1 − z − z2) y

los números Fibonacci tienen la forma cerrada (φn − φn)/√

5.

5.2. Función generatriz de probabilidad

Si X es una variable aleatoria que toma solamente valores de enteros no

negativos, la función generatriz de probabilidad o FGP de X es:

Gx(z) =∑

k≥0

Pr(X = k)zk (5.2)

Esta serie de potencias en z contiene toda la información acerca de la variable

aleatoria X.

Los coeficientes de Gx(z) son no negativos y su sumatoria es uno, es decir:

Gx(1) = 1 (5.3)

65

La ventaja de las funciones generatrices de probabilidad es que usualmente

simplifican el cálculo de medias y varianzas. La media (promedio o valor espera-

do) se expresa como:

E(x) =∑

k≥0 k.Pr(X = k)

=∑

k≥0 k.Pr(X = k).k.zk−1|z=1

= G′x(1)

(5.4)

Es decir, se diferencia la FGP con respecto a z y se asigna z = 1.

La varianza es como sigue:

E(X2) =∑

k≥0 k2.P r(X = k)

=∑

k≥0 Pr(X = k).(

k(k − 1)zk−2 + kzk−1)∣

∣

∣

z=1= G′′X(1) +G′X(1)

Por lo tanto:

V (X) = G′′X(1) +G′X(1)−G′X(1)2 (5.5)

Las ecuaciones (5.4) y (5.5) indican que se puede calcular la media y la va-

rianza si se puede calcular los valores de las dos derivadas, G′X(1) y G′′X(1).

66

5.3. Longitud media de propagación del LEPP

En esta sección se calcula la longitud media de propagación LEPP utilizando

funciones generatrices de probabilidad.

En una malla conforme de triángulos, cada triángulo Ti tiene tres lados

TiA ,TiB y TiC en orden creciente de longitud respectivamente, donde, el lado más

corto es TiA y el lado más largo es TiC . Se dan dos casos particulares cuando los

triángulos tienen dos o tres lados iguales (triángulo isósceles y triángulo equi-

látero respectivamente).

Definición 5.1. Triángulo vecino de tipo A, B y C del LEPP: Sean Ti y Ti+1

triángulos vecinos de la lista ordenada del Lepp(T0)1, donde Ti es vecino de Ti+1

por el lado más largo de Ti (es decir por TiC ), entonces:

Se dice que Ti+1 es vecino de “tipo A” si Ti+1 es vecino de Ti por el lado más

corto de Ti+1, es decir, por T(i+1)A .

Se dice que Ti+1 es vecino de “tipo B” si Ti+1 es vecino de Ti por el lado medio

de Ti+1, es decir, por T(i+1)B .

Se dice que Ti+1 es vecino de “tipo C” si Ti+1 es vecino de Ti por el lado más

largo de Ti+1, es decir, por T(i+1)C .

Teorema 5.2. Longitud media de propagación del LEPP: La longitud me-

dia de propagación del LEPP de un triángulo es cuatro.

Demostración. El conjunto Lepp(T0) proviene de una secuencia ordenada de

triángulos. El número de elementos está compuesto de tres partes: (a) Un trián-

gulo inicial T0 sin tipo debido a que el primer triángulo no tiene predecesor. (b)1Que cumplen las propiedades del LEPP definida en la sección 2.2.3.

67

Seguido indistintamente de cero o más triángulos de tipo A o B, y (c) termina con

un triángulo Tn de tipo C. Luego la longitud mínima del LEPP es dos (compuesta

del primer triángulo sin tipo y el último triángulo de tipo C).

Número medio de triángulos de tipo B o C del LEPP:

Sean:

p = Probabilidad de tener un triángulo vecino de tipo C (de que el siguiente

triángulo es vecino por su lado más largo).

q = Probabilidad de tener un triángulo vecino de tipo A o B (de que el

siguiente triángulo es vecino por su lado más corto o lado medio).

En una malla de triángulos el número de lados cortos, medios y largos son

iguales2. Por lo que es justo asignar la probabilidad de 13

a cada tipo de trián-

gulo vecino. Luego: p = 13q = 2

3(q representa dos posibilidades).

La función generatriz de probabilidad del número de triángulos de la secuen-

cia de vecinos de tipo A o B hasta tener un vecino de tipo C está dado por:

G(z) = p+ qpz + q2pz2 + · · · = p∑

k≥0

(qz)n (5.6)

Y su forma cerrada es:

G(z) =p

1− qz (5.7)

2Para cualquier triángulo Ti del LEPP. El triángulo vecino Ti+1 comparte cualquiera de sustres lados con igual probabilidad P (Ti+1A) = P (Ti+1B ) = P (Ti+1C ) = 1

3.

68

Si se deriva (5.7) se obtiene:

G′(z) =pq

(1− qz)2(5.8)

G′′(z) =2pq2

(1− qz)3(5.9)

De esto G′(1) = q

py G′′(1) = 2q2

p2. Luego la media y varianza del número medio

de triángulos de tipo B o C es:

E(G) = G′(1) =q

p= 2 (5.10)

V (G) = G′′(1) +G′(1)−G′(1)2 =q

p2= 6 (5.11)

Al resultado de la ecuación (5.10) se le debe sumar dos, esto al considerar

la parte (a) y (c) del número de elementos del LEPP descrito inicialmente en la

presente demostración. Finalmente la longitud media de propagación del LEPP

por el lado más largo de un triángulo es cuatro.

Observación: La función generatriz de probabilidad de la ecuación (5.7) es

equivalente a la expresión regular G(z) = (qz)∗p.

69

5.4. Desviación estándar de la longitud media de

propagación del LEPP

Dado la varianza de la longitud media de propagación del LEPP en la

ecuación (5.11), la correspondiente desviación estándar (denotado por σ) es:

σ =√

V (G) =√

6 = 2,449 (5.12)

5.5. Comparación de los resultados empíricos y

teóricos de la longitud media de propagación

del LEPP

En la sección (4.3.1) se realizó un estudio empírico (experimental) sobre la

longitud del LEPP. Para cada tamaño de muestra, se construyó la triangulación

Delaunay. La longitud media de propagación del LEPP es el número promedio

de elementos del conjunto Lepp(t0) (que se conforman al expandir el triángulo t0

por la arista más larga). Esta longitud media del LEPP es para todos los casos

menor que el valor teórico de cuatro triángulos (es aproximadamente igual a

µ = 3,6 triángulos).

En la anterior sección (5.3) se efectuó el cálculo teórico de la longitud media

de propagación del LEPP, obteniéndose cuatro triángulos. La diferencia puede

deberse a que en el estudio empírico (el experimento):

70

Se efectuó en una malla construida con el criterio Delaunay, que es la trian-

gulación más equilátera.

Se ha calculado el LEPP promedio considerando todos los triángulos de la

malla incluido los casos especiales: Triángulos con la arista más larga en

el perímetro (borde) de la malla, cuyo Lepp es uno; y triángulos cuyo Lepp

termina en un triángulo con la arista más larga en el perímetro (borde) de

la malla.

Por naturaleza, en los experimentos empíricos difícilmente se termina con

una misma media.

Los cálculos con las funciones generatrices considera eventos estrictamente

independientes (en condiciones ideales).

Al menos estos factores hacen que el valor del LEPP promedio del experimen-

to empírico sea menor al teórico.

Debido a que los resultados son aproximados se confirma la existencia de la

longitud media del LEPP. También ambos resultados indican que este valor en

promedio es pequeño.

5.6. Cuando en el LEPP las probabilidades de te-

ner un triángulo vecino de tipo A, B y C son

distintas

El conjunto Lepp(T0) tiene una secuencia ordenada de triángulos de tipo A, B

y C con excepción del primero que no tiene tipo. En la demostración del teore-

71

ma 5.2 se ha considerado que las probabilidades de tener un vecino de tipo A, B

o C son las mismas (con equiprobabilidades de 13). También se tuvo:

p = Probabilidad de tener un triángulo vecino de tipo C (de que el siguiente

triángulo es vecino por su lado más largo).

q = Probabilidad de tener un triángulo vecino de tipo A o B (de que el

siguiente triángulo es vecino por su lado más corto o lado medio).

Donde: p = 13q = 2

3(q representa dos posibilidades).

Pero ¿qué sucedería si la probabilidad de p, que es la probabilidad

de tener un triángulo vecino de tipo C, fuera distinta? La probabilidad

de tener un vecino de tipo A, B y C no siempre son iguales, depende de cada

malla. Por ejemplo, se tiene el caso especial de la malla de la figura 4.1 donde la

probabilidad de tener un vecino de tipo C es cero (p = 0), en esta malla no existe

vecinos de tipo C debido a que el LEPP de cada triángulo siempre termina en

el borde de la malla, es decir, el último triángulo de cada LEPP es tn (cuyo lado

más largo está en el borde de la malla).

Entonces si se cambia adecuadamente la probabilidad de tener un vecino de

tipo C, por ejemplo, en el caso particular cuando se asume p = 0,3872. Primero la

probabilidad de q (que es igual a 1− p) cambia a q = 0,6128.

También se modifican los resultados de la demostración de teorema 5.2. Se

vuelve a calcular la media y varianza del número medio de triángulos de tipo B

o C, con el siguiente resultado:

E(G) = G′(1) =q

p= 1,582644628 (5.13)

72

V (G) = G′′(1) +G′(1)−G′(1)2 =q

p2= 4,087408647 (5.14)

Al resultado de la ecuación (5.13) se le debe sumar dos. Luego longitud media

de propagación del LEPP por el lado más largo de un triángulo es 3,582644628

triángulos. Este resultado es aproximadamente igual al resultado obtenido en

los experimentos (se diferencia en 0,000644628).

Del mismo modo, dado la varianza de la longitud media de propagación del

LEPP en la ecuación (5.14), la desviación estándar es:

σ =√

V (G) =√

6 = 2,021734069 (5.15)

También en este caso los valores empíricos son menores al valor teórico (la

diferencia de los dos resultados es 0,404734069). Estos resultados se presentan en

la tercera columna de la tabla (5.1) como sigue:

Resultado Experimentoempírico

Funcionesgeneratrices

con equiproba-bilidad en los

vecinos de tipoA, B y C

Funcionesgeneratrices

conprobabilidad

p = 0,3872 en elvecino de tipo C

Longitud media 3,582 4 3,582644628Desviación estándar 1,617 2,449 2,021734069

Tabla 5.1: Resultados de la longitud media y desviación estándar de la propa-gación del LEPP.

Los resultados del experimento empírico son aproximadamente iguales a las

obtenidas con las funciones generatrices, pero asumiendo distintas probabili-

73

dades para los vecinos de tipo A, B y C (específicamente con p = 0,3872 que

es la probabilidad de tener un vecino de tipo C).

74

Capítulo 6

Conclusiones

1. El problema de refinamiento de mallas compuestas de triángulos rectángu-

los isósceles es: Dada una triangulación uniforme inicial Mi de triángulos

rectángulos isósceles, una región de refinamiento R de Mi y un parámetro

de longitud de arista ε; obtener una triangulación refinada1 y conformeMf

de triángulos rectángulos isósceles, tal que la longitud de la arista más

larga de cada triángulo de Mf que intersecta R sea menor o igual que ε.

Se demostró que el refinamiento de la región R depende de la condición de

refinamiento:

En el refinamiento alrededor de un vértice P , la inserción de puntos y

generación de triángulos es una función logarítmica de Lε.

En el refinamiento alrededor de una arista (segmento)AB, la inserción

de puntos y generación de triángulos es una función lineal de Lε.

La inserción de puntos y generación de triángulos para el refinamiento

de un sector cuadrado es una función cuadrática de Lε.


75

Donde L es la longitud inicial de la arista más larga de los triángulos que

intersectan R y ε es la cota de la longitud de arista más larga a la cual se

deben reducir todos los triángulos que intersectan R.

2. En la estudio teórico, la longitud media de propagación del LEPP es igual a

cuatro triángulos. Resultado obtenido utilizando funciones generatrices de

probabilidad. Si se reajusta adecuadamente la probabilidad de tener un ve-

cino de tipo C, por ejemplo, con p = 0,3872, la longitud media de propagación

del LEPP es µ = 3,5826 triángulos.

3. En el estudio empírico, la longitud media de propagación del LEPP es

menor que cuatro triángulos para todos los casos, lo cual está en concor-

dancia con el valor teórico (para muestras aleatorias mayores a mil vér-

tices la media es igual a µ = 3,582 triángulos con una desviación estándar

σ = 1,617).

76

ANEXO A

Probabilidades discretas

Las probabilidades se denominan “discretas” si se puede calcular las proba-bilidades de todos los eventos mediante sumatorias en lugar de integraciones.

Sea Ω un espacio de probabilidad, es decir, el conjunto de todos los eventos quepueden ocurrir a un problema dado, con una regla que asigna una probabilidadPr(ω) a cada evento ω ∈ Ω. La probabilidad Pr(ω) debe ser un número real nonegativo, con la siguiente condición:

∑

ω∈Ω

Pr(ω) = 1

Cada valor Pr(ω) debe estar en el intervalo [0. .1]. Se dice a Pr una distribuciónde probabilidad, porque distribuye el total de probabilidades (que es uno) entrelos eventos ω.

Valor esperado: Es la media de una variable aleatoria X sobre un espacio deprobabilidad Ω.

E(X) =∑

ω∈Ω

X(ω) Pr(ω) (1)

Propiedades: Si X y Y son dos variables aleatorias definidas en el mismoespacio de probabilidad y si α es una constante:

E(X + Y ) =∑

ω∈Ω

(

X(ω) + Y (ω))

Pr(ω) = E(X) + E(Y )

E(αX) = αE(X)

E(XY ) = E(X)E(Y ), Si X y Y son variables aleatorias independientes.

Varianza: Se define como:

V (X) = E(

(X − E(X))2)

(2)

Si se denota µ en lugar de E(X), la varianza V (X) es el valor esperado de(X − µ)2. Esto mide la “dispersión” de X.

Hay una forma de calcular la varianza en lugar de la ecuación (2), teniendoen cuenta que E(X) es una constante.

77

V (X) = E(X2)− (E(X))2 (3)

“La varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media”.

Desviación estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza, y usualmente sedenota por la letra Griega σ:

σ =√

V (X) (4)

78

Bibliografía

[1] L. Paul Chew. Guaranteed-quality mesh generation for curved surfaces.In SCG ’93: Proceedings of the ninth annual symposium on Computational

geometry, pages 274–280, New York, NY, USA, May 1993. ACM.

[2] Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and OrfriedSchwarzkopf. Computational Geometry Algorithms and Applications.Springer-Verlang Berlin Heidelberg, 1997, 2000.

[3] Mark Duchaineau, Murray Wolinsky, David E. Sigeti, Mark C. Miller,Charles Aldrich, and Mark B. Mineev-Weinstein. ROAMing terrain: real-time optimally adapting meshes. In VIS ’97: Proceedings of the 8th conferen-

ce on Visualization ’97, pages 81–88, Los Alamitos, CA, USA, 1997. IEEEComputer Society Press.

[4] Jacob E. Goodman and Joseph O’Rourke. Handbook of Discrete and Compu-

tational Geometry. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC PressLLC, 1997.

[5] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik. Concrete Ma-

thematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley LongmanPublishing Co., Inc., Boston, MA, USA, 1994.

[6] Claudio Gutierrez, Flavio Gutierrez, and María-Cecilia Rivara. Complexityof the bisection method. Theor. Comput. Sci., 382(2):131–138, 2007.

[7] María-Cecilia Rivara. Algorithms for refining triangular grids suitable foradaptative and multigrid techniques. International Journal of Numerical

Methods in Engineering, 20:745–756, 1984.

[8] María-Cecilia Rivara. Local modification of the meshes for adaptativeand/or multigrid finite-element methods. Journal of Computational and

Applied Mathematics, 36:79–89, 1991.

79

[9] María-Cecilia Rivara. New longest-edge algorithm for the refinementand/or improvement of unstructured triangulation. International Journal

of Numerical Methods in Engineering, 40:3313–3324, 1997.

[10] María-Cecilia Rivara and Gabriel Iribarren. The 4-Triangles longest-sidepartition of triangles and linear refinement algorithms. Mathematics of

Computing, 65(216):1485–1502, 1996.

[11] María-Cecilia Rivara and Cristian Levin. A 3D refinement algorithm sui-table for adaptative and multi-grid techniques. Comunications in Applied

Numerical Methods, 8:281–290, 1992.

[12] María-Cecilia Rivara and Mauricio Palma. New LEPP algorithms for qual-ity polygon and volume triangulation: Implementation issues and practicalbehavior. The 1997 Joint ASME/ASCE/SES Summer Meeting. Northwest-

ern University. Evanston Illinois, June 29 - July 2 1997.

[13] María-Cecilia Rivara and M. J. Vénere. Cost analysis of the longest-side(triangle bisection) refinement algorithm for triangulation. Engineering

with Computers, 12(3-4):224–234, September 1996.

[14] Maria-Cecilia Rivara and Carlo Calderon. Lepp terminal centroid methodfor quality triangulation. Computer-Aided Design, November 2008.

[15] Maria-Cecilia Rivara, Nancy Hitschfeld, and Bruce Simpson. Terminal-edges Delaunay (small-angle based) algorithm for the quality triangulationproblem. Computer-Aided Design, 33(3):263–277, March 2001.

[16] Ivo G. Rosenberg and Frank Stenger. A lower bound on the angles of trian-gles constructed by bisecting the longest side. Mathematics of Computation,29(130):390–395, 1975.

[17] Jim Ruppert. A Delaunay refinement algorithm for quality 2-dimensionalmesh generation. J. Algorithms, 18(3):548–585, 1995.

[18] Jonathan Richard Shewchuk. Triangle: Engineering a 2D Quality MeshGenerator and Delaunay Triangulator. In FCRC ’96/WACG ’96: Selec-

ted papers from the Workshop on Applied Computational Geometry, To-

wards Geometric Engineering, pages 203–222, London, UK, 1996. Springer-Verlag.

[19] Jonathan Richard Shewchuk. Delaunay Refinement Mesh Generation. PhDthesis, School of Computer Science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh,Pennsylvania, May 1997. Available as Technical Report CMU-CS-97-137.

80

[20] Jonathan Richard Shewchuk. Delaunay refinement algorithms for triangu-lar mesh generation. Computational Geometry: Theory and Applications,22:1–3, May 2002.

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