Teorema Fundamental do Cálculo –T.F.C.

T.F.C. – Parte 01 e 02 E

Integrais definidas

T.F.C. – Parte 01

x

a

Se for contínua em [a,b], então a função

definida por ( )= (t)dt, a b é contínua

em [a,b], derivável (a,b) e = ( ).

f g

g x f x

g f x

Exemplo 1

2

0

Ache a derivada da função ( ) 1 .x

g x t dt 2

2

: Uma vez que ( ) = 1+

é contínua, a Parte 1 do T.F.C. fornece

1

Solução f t t

g x

Exemplo 24x

1

Ache sec .d

t dtdx

4: Seja , entãoSolução u x4

1 1sec sec

x ud dt dt t dt

dx dx

1secud du

t dtdu dx

pela regra da cadeia

secduudx

peloT.F.C.1

4 3sec( ).4x x

T.F.C. – Parte 02b

a

Se for contínua em [a,b], então ( ) ( ) ( )

onde é qualquer primitiva de , isto é, uma função tal que F .

f f x dx F b F

f

a

F f

Dem.: Seja ( ) ( ) .Sabemos que ( ) ( ),

isto é, g é uma primitiva de .Se é uma outra primitiva

de em [a,b] então e g se diferem por uma constante:

b

ag x f t dt g x f x

f F

f F

( ) ( ) . F x g x C (

)

T.F.C. – Parte 02

para a < < b. Como e g são contínuas em [a,b] t s emo :x F

a

aSe fizermos a em g( ) temos: g(a)= ( ) = 0x x f t dt Usando a equação ( ) com = b e a, resulta:x x

(b) - (a) = [g(b) + C] - [g(a) + C]F F

= g(b) - g(a) = g(b)b

a= ( ) .f t dt

Exemplo 33

1Calcule a integ

ral e .xdx: ( )= é contínua e uma primitiva sua é ( ) ,

logo pelo T.F.C.2, temos:

x xSolução f x e F x e

3 3

1 (3) (1)

xe dx F F e e

b

a Obs.: Uma outra notação que podemos usar é ( )

( ) ( ) .F b F a F x

Exemplo 4

2Ache a área sob a parábola de 0 até 1.y x

2 31: Uma primitiva de ( )= é ( ) ,

3a área então será :

Solução f x x F x x

1 2

0A= x dx

3 3

1 0

3 3

13

03

x

1

3

Exemplo 5

6

3Calcule

dx

x

: Uma primitiva de ( ) 1/ é ( ) | |,Solução f x x F x ln x e, sendo 3 6,podemos escrever ( ) ln .Logo,x F x x

6

3

1

dxx 6

3lnx 6 3ln ln 6

3ln 2ln

Exemplo 6

Encontre a área sob a curva cosseno de 0 até , onde 0 .2

b b

:Uma primitiva de ( ) cos é ( ) sen ,Solução f x x F x x

b

0 0A = cos sen sen .

b

xdx x b Em particular tomando , teremos que a área sob

2

a curva cosseno de 0 até2

b

A = sen 12

Derivação e integração como processos inversos

Resumindo as duas partes do Teorema Fundamental temos:

Seja contínua em [a,b]. Então:f

1.Se ( ) ( ) , então ( ) ( ).x

ag x f t dt g x f x

2 . ( ) ( ) ( ),quando for qualquerb

af x dx F b F a F

primitiva de , isto é, .f F f

Exemplo 7

313

211

1 1 41

1 3 3

xdx

x

O que tem de errado com o Calculo a seguir?

A função não é contínua em[-1, 3]. não existe !

3

21

1dx

x

Integrais IndefinidasO Teorema Fundamental cuja segunda parte utiliza

primitivas é uma arma poderosa para calcular a

integral definida. Devido a relação entre primitivas e

integrais utilizamos a notação abaixo para denotar a

primitiva de ,sendo então chamada de Integral

Indefinida.Assim,

f

( ) ( )f x dx F x significa '( ) ( )F x f x

Exemplo:

32

3

xx dx C

Podemos escrever 3

2pois 3

d xC x

dx

Obs.: A integral definida ( ) é um número,

enquanto que a integral indefinida ( ) é

uma função (ou uma família de funções, onde

para cada valor da constante C temos uma primitiva).

b

af x dx

f x dx

A tabela abaixo serve como suprimento de primitivas de

funções na notação de integrais indefinidas, onde cada

fórmula pode ser verificada derivando-se a função do lado

direito e obtendo-se o integrando.

Tabela das Integrais Indefinidas

kdx kx C 1

( 1)1

nn xx dx C n

n

1ln | |dx x C

x x xe dx e C

ln

xx aa dx C

a cossen xdx xdx C

cos xdx sen x C 2sec xdx tg x C 2cossec xdx cotg x C tsec x g xdx sec x C

cossec xcotg xdx cossec x C 1

2

1

1dx tg x C

x

1

2

1

1dx sen x C

x

senhdx cosh x C cosh xdx senh x C

Exemplo 1

4 2Ache a integral indefinida geral (10 -2sec ) .x x dx: Usando a tabela acima, temos

:Solução4 2 4 2(10 2 ) 10 2

x sec x dx x dx sec xdx 5

= 10 25

xtg x C

5= 2 2

x tg x C

2

cosCalcule .

send

Essa integral indefinida necessita do uso de

identidade trigonométrica para reescrever a função antes

de integrá-la

.

:Solução

2

1.

cos cosd d

sen sen sen

cossec cotg d

cossec C

Exemplo 2

2 320

3Calcule 2 6 . Interprete o resultado em

1

termos de áreas.

x x dxx

24 22 3 120

0

: Do Teorema Fundamental :

3 2 62 6 3

1 4 2

Solução

x xx x dx tg x

x

24

2 1

0

3 32

xx tg x

1

1

8 12 3 2 0

4 3 2

tg

tg

Esta figura representa o gráfico

do integrando, o valor da integral

pode ser interpretado como a soma

de áreas com o sinal de mais, menos

a área com o sinal de menos.

Exemplo 3

2 29

21

2

14)Calcule .

t t tdt

t

: Escrevendo o integrando numa forma mais

simples, obtem

os:

Solução

9391 3/ 22

11

t 2 1 = 2t + 2

3/2 1 3

t tt

t

92 29 1/ 2 221

1

2 1(

2 )t t t

dt t t dtt

3/ 2 3/ 22.9 1 2.12.9 2.1 1

3 9 3

18 18 1/9 2 2/3 1 292/ 9

Exemplo 4