Karen López Riojas

TAREA 15

CÁLCULO

PROFRA. SANDRA CASTILLEJA

4.9 AntiderivadasLa antiderivada es el cálculo que nos arroja como resultado lo que se está buscando (vgc. capacidad de agua que se fuga, reproducción de bacterias, etc.) dentro de un intervalo de tiempo definido. Pero se le llama antiderivada porque al hallar la función (F) de un problema, su derivada es la función inicial (f); esto siempre y cuando (F) exista.

Entonces decimos que una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre un intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.

Por ejemplo en f(x) = x2 se usa una fórmula general:

F(x) + C donde C es una constante

Decimos que, si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I entonces esta fórmula nos da la antiderivada general de f sobre I.

f(x) puede tener más de dos antiderivadas, la primera puede ser F(x)= 13x3 , y la segunda puede ser G(x)=

13x3 + 100,

entonces decimos que F’(x) = f(x) = G’(x).

La fórmula general nos indica que en una gráfica, la pendiente será la misma pero C hará que se desplace hacia arriba o hacia abajo.

En la tabla 1 se encuentran algunas antiderivadas, como se observa, la antiderivada siempre se le agrega una constante (C).

Tabla 1 Hablando de la primera fórmula se dice que la antiderivada (A(x)) de una constante (k) multiplicada por una función (f(x)) es una constante multiplicada por al antiderivada de una función.

Integrales5.1 Áreas y distancias

Ilustración 1 Ejemplo en donde se señala el área debajo de una curva

Para la distancia se habla de una distancia recorrida por un objeto, y cuando se habla de área nos referimos al área debajo de una curva. Para ambas circunstancias se va a utilizar el mismo tipo especial de límite.

Si dividiéramos el área en una gran cantidad de rectángulos, diríamos que el área exacta es el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos. (Ilustración 2)

Ilustración 2 El área debajo de la curva se divide en rectángulos

Por tanto el límite siempre existe porque f se supone que es continua, pero para poder calcular el área se toman puntos muestras que es cualquier número x* del valor de f respecto a la altura í-estimo del rectángulo.

Todo el área dividida en rectángulos le llamamos intervalo [a,b], entonces el ancho de cada rectángulo es b-a entre el número de rectángulos:

Cada intervalo de los rectángulos se representan como:

Y para los puntos extremos:

Se usa a porque se toman los puntos de la derecha, para la izquierda se tomaría b.

Para representar matemáticamente la ecuación del cálculo del área se utiliza:

A=limx→∞

¿¿

Para indicar que tenemos que realizar varias sumas usamos sigma:

En done:

5.2 Integral definidaLa integral definida es la suma exacta entre un intervalos y otro infinitamente pequeño. También se puede decir que es la suma de áreas de los rectángulos de aproximación (suma de Riemann).

Decimos que si f es una función continua, entonces, repetimos el proceso de división del intervalo [a,b] y sus subintervalos. Después haga que x0 y xn sean los puntos extremos de los intervalos eligiendo x1

¿ , x2¿………. xn

¿ como los

puntos muestras de modo que x1¿ se encuentre en el í-ésimo subintervalo. Entonces:

Si el límite existe en f, entonces la función es integrable en [a,b]

En la suma de Riemann, si existen valosres negativos y positivos en la función f , entonces los valores positivos se encuentran arriba del eje x y los negativos debajo del eje x, por lo tanto al sumar ambas áreas, se restan los positivos con los negativos.

Si la longitud de un intervalo se asegura que tiende a 0 entonces la integral definida se define para una función integrable y decimos que si f es continua en [a,b] o si f tiene un número infinito de saltos continuos, entonces f es

integrable en [a,b] es decir la integral∫b

a

f ( x )dx existe.

Y si f es integrable en [a,b] entonces:

Regla del punto medioCualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, pero para el punto medio se utilizan x1

¿ como punto medio del intervalo en lugar del í-ésimo intervalo poniéndolo como x i entonces:

Propiedades de la integral definida

Propiedad 1: La integral de una función f(x)=c es la constante multiplicada por la longitud del intervalo. Propiedad 2: La integral de una suma es la suma de las integrales. Propiedad 3: La integral de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la

integral de la función. La constante se lleva afuera de un signo de integral. Propiedad 4: Aplicar propiedades 2 y 3 con c=-1 y se prueba escribiendo f-g = f+ (-g)

Propiedad 5Se dice cómo combinar las integrales de la misma función sobre intervalos adyacentes

Propiedades de comparación de integralEn estas se comparan tamaños de funciones e integrales y son verdaderas solo si a≤b

Propiedad 6: las áreas son positivas Propiedad 7: una función más grande tiene una integral más grande Propiedad 8: el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que el

área del rectángulo con altura M.

5.3 Teorema fundamental del cálculoEstablece una conexión entre dos ramas: cálculo diferencial y cálculo integral.

Isaac Barrow y Leibniz explotaron la correspondencia inversa inequívoca entre la derivada y la integral. Isaac dice que la derivada y la integral son procesos inversos. Con este teorema se dieron cuenta que es fácil calcular áreas e integrales sin tener que calcularlas como límites de sumas.

La primera parte de este teorema dice que

1 Trata funciones definidas por una ecuación de la forma

En donde g depende de x, si f es una función positiva entonces g(x) puede interpretarse como el área debajo de la gráfica de a-x.

2 El teorema el valor extremo establece que hay números u y v en [x,x +h] tal que f(u)=m y f(v)=M, donde m y M son valores máximo y mínimo.

Suponga que h>0

3 Se demuestra la parte media de desigualdad usando la ecuación 2 como remplazo

4 La ecuación 4 se interpreta como un límite unilateral y se muestra que ges continua en [a,b]

5 La ecuación 5 demuestra que si primero se integra f y luego se obtiene la derivada del resultado se regresa a la función original

En la segunda parte tenemos un teorema más fácil para evaluar las integrales

Si se conoce una antiderivada F de f entonces se puede evaluar∫a

b

f ( x )dx calculando la diferencia de los valores de F en

los extremos del intervalo [a,b]

La derivación e integración como procesos inversos

Como resultado final obtenemos que la primera parte se puede volver a escribir como

En la cual se afirma que si se integra y después deriva el resultado se regresa a la función original f y como F’(x)=f(x) la segunda parte se puede escribir:

Aquí se afirma que si se toma la función F, se deriva y después se integra el resultado, vuelve a la función original F pero en la forma F(b) – F(a).

5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio totalUna integral indefinida es una antiderivada para cada valor constante de C, por lo tanto tenemos que:

En la primera parte se representa una notación para una antiderivada de f.

Por ejemplo:

***Una integral definida es un número, una integral indefinida es una función.

Teorema del cambio totalEstablece que si f es continua en [a,b] entonces:

La ecuación se puede volver a escribir como la siguiente porque F’=f

Podemos decir que

F(b)-F(a) representa un cambio total en y.

5.5 La regla de la sustituciónEsta regla es para hallar integrales de este tipo

1. Se introduce algo adicional como una variable y cambiar de una variable de x a una de u

2. Se aplica la regla de la cadena para derivar la función final de la ecuación

3. Si la integral puede escribirse como∫ f ' (g ( x ) ) g' (x )dx y F’=f entonces

4. Se hace el cambio de variable o la “sustitución” u=g(x) y desde la ecuación anterior se obtiene

Integrales definidasExisten dos métodos:

1. Se evalúa la integral indefinida y se aplica el teorema fundamental2. Se cambian los límite de integración cuando se cambia la variable. Entonces decimos que:

SimetríaSe usa la regla de sustitución de integrales definidas para simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetría como: