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Tarea 1. Resuelta

Equation Chapter 0 Section 1

1. Indica qué tipo de aplicación matemática (función, operador, funcional) es cada uno de los

siguientes:

Respuestas

a. Una integral definida

b

a

f x dx F b F a

Toma una función y arroja un número, por lo tanto es un funcional.

b. Una integral indefinida

f x dx F x C

Toma una función y arroja otra función, por lo tanto es un operador.

c. Sacar la raíz cuadrada

a b

Toma un número y arroja otro número, por lo tanto es una función.

d. El producto escalar

,D

f g f x g x dx

Toma dos funciones y les aplica una integral definida, la cual es un funcional.

e. Dividir por la variable

f x

g xx

Toma una función y arroja otra función, por lo tanto es un operador.

2. Efectúa los siguientes productos escalares:

Respuestas

a.

125

†

14

27, 5 3 6 2 8

6 2i

i

u v u v

1 1 5 8

, 5 3 27 6 2 6 2 8 81 36 425 4 25 4

1 1 2559 4

25651.2

5 50 2

5

i i

u v

b. †

16 3

2 3

11, 1 1

42

i

i

ii i

ii

a b a b

59 91 59 182

30 15 30

1

1 1, 1 2 3 1 1 4

2 6 3

12 6 12 62 3 2 3 1 4 2 6 2 6

12 6 144 36 180

2 1 1 1 60 1 90

.97 6.0

12 6 2 6

30 30 15 3 15

7

0

ii i i i

i i

i i ii i i i i i

i

ii i i

ii

i

a b

c. †

1

2

1

11, 1 1

2 i

i

i

iii i

i

a a a a

1 1 1

, 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4

15

215. 5

42

4

i ii i i i

i i

a a

d. 1 1

1 1

,2 2D

i xf g f x g x dx xdx i dx

x x

Aplicando el cambio de variable:

1 32

1 1

uu x

du dx u

3 33

1

1 1

2 ln 3 1 0

2 2, 1 2ln 3 2ln 3 1 2ln 1

2 2ln 3 .197

uf g i du i du i u u i

u

i i i

u

e. , sin cosD

h k h x k x dx x x dx

Aplicando el cambio de variable:

sin

cos

u x

du x dx

2 2 22 sin sin si0

n 0 0,

2 2 2 2

xuh k udu

3. Calcula ln(1.3) usando la serie de Taylor de ln(x) alrededor de x0 = 1. El valor en la

calculadora es 0.262364. Tú puedes detenerte al llegar a 0.2623. Tal vez te sirva continuar

la siguiente tabla:

Respuesta:

Continuando la tabla

n Término algebráico Término sustituido Término evaluado Suma acumulada

0

0

0 00

0ln

0!x

x x dx

dx

0ln x ln(1) = 0 0

1

0

0ln

1! x

x x dx

dx

0

0

x x

x

1.3 – 1 = 0.3 0.3

2

0

2 20

2ln

2!x

x x dx

dx

2

0

2

02

x x

x

20.30.045

2 0.255

3

0

3 30

3ln

3!x

x x dx

dx

3

0

3

03

x x

x

30.30.009

3 0.264

4

0

4 40

4ln

4!x

x x dx

dx

4

0

4

04

x x

x

40.30.002025

4

0.261975

5

0

5 50

5ln

5!x

x x dx

dx

5

0

5

05

x x

x

50.30.000486

5

0.262461

6

0

6 60

6ln

6!x

x x dx

dx

6

0

6

06

x x

x

60.30.0001215

6

0.2623395

4. Para las siguientes funciones, encuentra:

a. El dominio natural

b. Los puntos de discontinuidad

c. Los puntos estacionarios (máximos y mínimos)

d. Las asíntotas

e. Si los hay:

i. Ceros

ii. Paridad

f. Realiza un bosquejo a mano de la gráfica indicando las características relevantes

22

3 3 2

2

10

16

4

ln

x

x

x dx e x x x x x x

x dx

x x e

Respuesta:

2

3xx e

Dominio: x x

Discontinuidades: No tiene

Puntos estacionarios:

Se deriva la función:

2 2 223 3 3

3 2 3x x xd d d

x e e x e xdx dx dx

La derivada obtenida se iguala a cero:

2

32 3 0

xe x

Se resuelve la ecuación para x

2 2 23 33 ln 0 30

333 0 3 3

x xx xex

xx x x

Los valores al infinito son asíntotas , así que sólo hay un punto estacionario en x = 3, la

función vale:

2

3 3 03 1e e

Por lo que el punto estacionario es (3, -1)

Para saber si es máximo o mínimo se obtiene la segunda derivada:

2 2 2

2 2 2

23 3 3

2

2 23 3 3

2 3 2 3 3

2 2 3 2 1 2 3

x x x

x x x

d d d dx e x e x x e

dx dx dx dx

e x e e x

Y se evalúa en el punto estacionario:

2 23 3 03 2 1 2 3 3 2 1 0 2e e

Como 2 > 0, se concluye que es un mínimo

Las asíntotas:

2

2

3

3

lim lim 0

lim lim 0

x

x x

x

x x

x e

x e

Ceros:

2

2

3

3

2

2

0

0

0

3 ln 0

3

3

x

x

x

e

e

x

x

x

x

En este caso no hay ceros porque corresponden a las asíntotas.

Paridad:

22 26 93 3x xx xx e e e

x x x x

Esta función no tiene paridad.

Gráfica:

2

2

16

4

xx

x

Dominio: x x




2 2 2 22

22 2

2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

4 16 16 416

4 4

4 2 16 2 4 16 20 402 2

4 4 4 4

d ddx dx

x x x xd d xx

dx dx x x

x x x x x x xx x

x x x x


2

2

400

4

x

x


2 2 2 22 2

40 0 0 0 00

44 0 4

x x x xx

x xx x

Los valores al infinito son asíntotas , así que sólo hay un punto estacionario en x = 0, donde la

función vale:

2

2

0 16 160 4

0 4 4

Por lo que el punto estacionario es (0, -4)


2 2 22 2 2 2 22

2 4 42 2 2 2

2 2 2

3 32 2

4 4 4 4 44040 40

4 4 4

4 4 4 340 40

4 4

d ddx dx

x x x x x x xd d xx

dx dx x x x

x x x

x x

Y se evalúa en el punto estacionario:

2

3 3 22

4 3 0 4 40 40 10 50 40 40

4 4 16 4 20 4

Como 5/2 > 0, se concluye que es un mínimo

Las asíntotas:

2 2

2 2

2 2

2 2

16lim lim lim 1

4

16lim lim lim 1

4

x x x

x x x

x xx

x x

x xx

x x

Ceros:

2

2

2 2

1 222

0

160

4

16 0 416 4

44 0

4

x

x

x

x xx x

xxxx

x

Quitando las asíntotas, los ceros se encuentran en x = 4 y x = –4.

Paridad:

2 2

2 2

16 16

44

x xx

xx

x x

Esta función es par.

Gráfica:

22

40

4

d xx x

dx x

Dominio: x x




2

2 32 2

40 4 340

4 4

d d x xx

dx dx x x


2

32

4 340 0

4

x

x


2 2 2

3 32 2

2 2

2 2 244 3 0 3 43 3 3 3

4 0 44

x x x xxx

x xx xx

Los valores al infinito son asíntotas , así que hay dos puntos estacionarios en x = 2/√3 y

x = -2/√3, donde la función vale:

2 2

3

2 2 22 164

2 3 33

2

3

2 22 4

2 33

402 80 80 80 3 80 9 451.6238

16 2563 3 3 16 33 4 34

402 80 451.6238

3 16 33 44

Por lo que los puntos estacionarios son (1.1547, 1.6238) y (-1-1547, -1.6238)

Para saber si son máximos o mínimos se obtiene la segunda derivada:

3 32 2 2 22 2

3 62 2 2

3 22 2 2 2 2

6 42 2

2 2

4 42 2

4 4 3 4 3 44 340 40

4 4

4 6 4 3 3 4 2 4 4 340 240

4 4

8 2 4240 480

4 4

d ddx dx

x x x xd d xx

dx dx x x

x x x x x x xx

x x

x xx x

x x

Y se evalúa en los puntos estacionarios:

22 4843 3 3

4 4 42 164

2 3 33

22 43 3

4 42 4

2 33

4 42 2 960 960 960 8 3 405480

3 163 3 3 3 3 128 344

4 42 2 960 405480

3 3 3 128 344

De acuerdo con los signos (1.1547, 1.6238) es máximo y (-1-1547, -1.6238) es mínimo.

Las asíntotas:

2 4 32

2 4 32

1lim 40lim 40lim 40lim 0

4

1lim 40 lim 40 lim 40 lim 0

4

x x x x

x x x x

x xx

x xx

x xx

x xx

Ceros: En el ejercicio anterior se obtuvo que el cero para esta función está en x = 0.

Paridad:

2 22 2

40 40

44

x xx

xx

x x

Esta función es impar.

Gráfica:

3 2x x x

Dominio: x x




3 2 2 3

3 2

3 2 3 2

3 2 1 3 2x x x x x x xd dx x x

dx dx x x x x


3

3 2

1 3 20

x x x

x x

Se resuelve la ecuación para x 3

2 23 3

1 3 23 2

0 0 0 0

1 0 1 1 1

3 2 0 3 2

0

x x x

x x xx

x x x

x x xx x

Los valores al infinito son asíntotas , así que hay tres puntos estacionarios: x = 0,

x = -1 y x = -2/3 ; donde la función vale:

3 2 3 2

3 2

3 2

0 0 0 0

1 1 1 1 1 0

2 2 2 8 4 12 8 4 4

3 3 3 27 9 27 27 27

x x

Por lo que los puntos estacionarios son (0, 0), (-1,0) y (-2/3, 4/27)

Para saber si son máximos o mínimos se obtiene la segunda derivada:

32

2 3 2

3 2 3 3 3 2

23 2

3 2 3 3

24

3

3

3 2

3 2 3

24

26

2

1 3 2

1 3 2 1 3 2

11 3 2 1 3 2

1

1 3 21 3 2

11 3 2 3 2 1

1

1 33 1 3 2

d ddx dx

d ddx dx

d ddx dx

x x xd dx

dx dx x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x xx x

x x xx x x

x x

x x x x x x xx x

x xx x x

2 24

2

3 2

1 3 23 2 3 2

1

24

2 22 3 2 4

24

24 4

24

24

24

2

3 1 3 2 3 1 3 2

1

1 6 5 3 1 3 2 1 3 2

1

1 6 5 3 1 3 2 1 3 2

1

1 6 5 3 1 3 2 3 2

1

6 5 3 1 3

x x x

x

x

x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x x

2

2 2

2 2 2

2

2 3 2

1

6 5 3 3 3 2 9 12 4

1

3 7 4 9 15 6 6 8 2

1 1

2 3 4 1

1

x x

x

x x x x x x

x

x x x x x x

x x

x x

x


2

2

22 2 843 3 9 3

2 13 3

2 3 0 4 0 1 2 10 2

0 1 1

2 3 1 4 1 1 2 3 4 1 2 01 indeterminado

1 1 0 0

2 3 4 1 2 3 12 12 8 12 24 96 1 6

3 1 9 3 9

3 66 2

9 3

De acuerdo con los signos (0, 0) es mínimo, (-1, 0) es un punto de quiebre y (-2/3, 4/27) es

máximo.

Las asíntotas:

3 2 3

3 2 3 3

lim lim lim

lim lim lim lim

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

Esta función no tiene comportamiento asintótico

Ceros:

3 2

2

2

2

0

0

1 0

00 0 0

1 0 11 0 1 0

0

1

x

x x

x x

xx x x

x xx x

x

Los ceros de esta función se encuentran en x = 0 y x = -1.

Paridad:

3 2 3 2x x x x x

x x x x


Gráfica:

10ln xx x e

Dominio: 0 0x x x

Discontinuidades: x = 0



10 10 10 10 9

10

10

1ln ln ln ln 10

10ln

x x x x x

x

d d d dx x e x e e x x e e x

dx dx dx dx x

e xx


1010ln 0xe x

x


1010 10

ln 00

10 10ln 10 ln 1ln 0 ln

1.7632

x

x

xe x x x

x x x x x ex xx x

x

El valor al infinito es una asíntota, así que hay un punto estacionario en x = 1.7632, donde

la función vale:

10 1.76321.7632 ln 1.7632 0.9726e

Por lo que el punto estacionario es (1.7632, 0.97626)


210 10 10

2

910 10

2 10 2

10

2

10 10 10ln ln ln

10 10 10 10 10 10ln ln

10 20ln

x x x

x x x

x

d d d dx e x e x x e

dx dx x dx x x dx

xe x e e x

x x x x x x

e xx x


1.7632 10

2

10 201.7632 ln 1.7632 1.5242

1.7632 1.7632e

Como -1.5242 < 0 el punto es un máximo.

Las asíntotas:

10 10

10 10

10

0 0

lim lim ln lim ln lim 0

lim lim ln lim ln lim

lim lim ln

x x

x x x x

x x

x x x x

x

x x

x x e x e

x x e x e

x x e

Ceros:

10

10 1010 0

0

ln 0

0 ln 0

1ln 0 1

1

x

x

x

x e

e x x x

xx xx e

x

Quitando la asíntota, los ceros de esta función se encuentran en x = 1 y x = -1.

Paridad:

10 10ln lnx xx x e x e

x x x x


Gráfica:

5. Encuentra la serie de McLaurin de la función α(x) del problema anterior hasta el 4º término

diferente de cero.

Para una serie de Mclaurin:

0 0

1

!

nn

nn x

dx x x

n dx

Calculemos término a término.

n =0:

2 2

03 30 9

00

0

1

0!

x x

xx

de x e e

dx

n =1:

2 2 2

2 2

2

13 3 31

1

0 00

23 3

00

3 9

0

1

1!

3 2 3

2 3 6

x x x

x xx

x x

xx

x

x

d d de x e x e x

dx dx dx

de x x e x x

dx

e x x e x

n =2:

2 2

2 2

2 2

2

23 32 2

2

00

3 3 2

0

3 3 2

0

23 2 9 2

0

1 12 3

2! 2

12 3 3

2

12 3 2 3

2

12 1 2 3 17

2

x x

xx

x x

x

x x

x

x

x

d de x e x x

dx dx

d de x x e x

dx dx

e x e x x

e x x e x

n =3:

2 2

2 2

323 33 3

3

00

2 23 3 3

0

1 12 1 2 3

3! 6

12 1 2 3 1 2 3

6

x x

xx

x x

x

d de x e x x

dx dx

d de x x e x

dx dx

2 2 2

2

323 3 33 3

30

0

23 3 9 3

0

1 12 4 3 1 2 3 2 3

3! 6

14 3 2 1 2 3 30

6

x x x

xx

x

x

de x e x x e x x

dx

e x x x e x

Ya que se han calculado los cuatro términos procedemos a la suma:

9 9 9 2 9 3 9 2 36 17 30 1 6 17 30e e x e x e x e x x xx

6. En la resolución de la ecuación de onda (ver documento de apoyo) se obtiene la relación

frecuencia-longitud de onda tras despejar la frecuencia angular en la ecuación que depende

sólo del tiempo. Ahora despeja el número de onda de la ecuación que depende sólo de la

posición, x, y llega a la misma expresión final.

Respuesta:

Se despeja –k2 de (1.22)

2 fk

f

Se sustituye el cociente de f’s en la ecuación (1.19)

2 2 2 2 2v k v k

Se despeja v: 2 2

2

2 2v

k k

vk

Finalmente se sustituyen las relaciones vistas en clase:

2

2v

Con lo que se completa la demostración.

7. La ecuación de onda tiene un número infinito de soluciones. Sustituye la siguiente

propuesta de solución unidimensional:

, exp |n

u x t A kx t n

Y comprueba que se cumpla la igualdad,

2 2

2

2 2, ,u x t v u x t

t x

.

Nota que u(x,t) escrita de esta forma no puede escribirse como f(x)g(t) más que para n = ±1.

Respuesta:

Hay que derivar con respecto a t y con respecto a x,

Del lado izquierdo tenemos:

2 2

2 2, exp

nu x t A kx t

t t

Para la primera derivada, usando regla de la cadena:

1

1

exp exp exp

exp

exp

n n n n n

n n

n n

A kx t A kx t A kx t A A kx t kx tt t t

A A kx t n kx t kx tt

A A kx t n kx t

Acomodando la expresión:

1

exp expn n n

A kx t n A kx t A kx tt

Y la segunda derivada, usando la derivada de un producto:

21

2

1

1

exp exp

exp

exp

n n n

n n

n n

A kx t n A kx t A kx tt t

n A kx t A kx tt

A kx t kx tt

Trabajando la derivada del segundo sumando se tiene:

1 2 2

2

1 1

1

n n n

n

kx t n kx t kx t n kx tt t

n kx t

El primer término de la suma contiene exactamente a la primera derivada que ya se obtuvo,

entonces:

21 1

2

2

exp exp

1 exp

n n n n

n n

A kx t n A kx t n A kx t A kx tt

n kx t A kx t

Reacomodando los términos:

22 2 22

2

22

exp exp 1

exp 1

n n n n

n n n

A kx t n A A kx t nA kx t n kx tt

n A kx t A kx t nA kx t n

Lo que seguiría es derivar ahora con respecto a x, pero si nos damos cuenta de que ωt hace el

mismo papel que –kx en la función, entonces podemos concluir que:

2

22

2exp exp 1

n n n nA kx t nk A kx t A kx t nA kx t n

x

Y al sustituir en la ecuación de onda se llega a que:

22

22 2

exp 1

exp 1

n n n

n n n

n A kx t A kx t nA kx t n

v nk A kx t A kx t nA kx t n

Eliminando todos los términos iguales a ambos lados de la igualdad:

2 2 2v k

vk

Esta última expresión corresponde a uno de los pasos de la demostración en el problema

anterior. Por lo que podemos decir que la igualdad sí se cumple.

8. Calcula los siguientes parámetros ondulatorios:

Respuestas:

a. El número de onda, k, para una onda acústica (investiga la rapidez del sonido en el

vacío) con frecuencia, ν = 494 Hz (nota musical SI).

12 rad 494 s2 2 2

3

988 rad m

43 m9.

s05 rad m

343k

v v

b. El periodo, T, para una onda con longitud λ = 2.5 cm y que se propaga a 300 m/s.

5

4

1 1 0.025 m

300 m s

1 s 8.33 10 s

1.2 10T

v v

c. La frecuencia espacial, en cm-1

, para un rayo de luz infrarroja con frecuencia

angular ω = 1.13×1014

rad/s.

14 51

1

4 1

8

4

1.13 10 rad s1 1 2 1.88 10 m 6.00 10 m

2 2 rad 3.00 10 m s

6.00 10 1 m

1 m 100 c600

mcm

v v v v

d. La rapidez de propagación de una onda con frecuencia espacial = 321 cm-1

y

periodo T = 3.21×10-4

s.

1 4

21 1

321 cm 3.21 10 s9.70 cm s 9.70 10 m sv

T

e. La frecuencia angular de una onda luminosa con longitud λ = 498 nm.

8

9

2 rad 3.00 10 3.7

m s22

498 10 m8 rad s

v

tarea 1. resuelta equation chapter 0 section...

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