struktur aljabar i ibu
TRANSCRIPT
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
1/17
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
2/17
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
3/17
DEFINISI
(Terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a G
sedemikian hingga G ={an| n Z}. Elemen a
disebut generator dari grup siklik tersebut.
(Terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a G
sedemikian hingga G ={na | n
Z}.
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
4/17
DEFINISI
Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G,
maka generator a yang membangun suatu
Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*).
Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu
suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satuunsur.
Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka
generator a yang membangun suatu Subgrup [a]
dimana [a] = G, maka Subgrup tersebutdinamakan Grup Siklik.
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
5/17
Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang
unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dariGrup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa
beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa
juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur.
Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur
terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan
Grup Siklik yang beranggotakan banyaknyaunsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak
hingga.
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
6/17
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
7/17
[1] = {(1)n| n Z}
= {(1)0, (1)1, (1)2, }
= {1}
generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik,
sehingga : [-1] = {-1, 1}
generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik,sehingga : [1] = {1}.
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
8/17
Contoh
Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup
terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan GrupSiklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian
Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3[0] = {n(0) | n Z}
= {0}
[1] = {n(1) | n Z}= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, }
= {0, 1, 2, 3}
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
9/17
Penyelesaian
[2] = {n(2) | n Z}
= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, }
= {0, 2}
[3] = {n(3) | n Z}
= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, }= {0, 3, 2, 1}
generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup
Siklik, sehingga : [1] = [3] = {0, 1, 2, 3}
generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik,
sehingga : [0] = {0} dan [2] = {0, 2}
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
10/17
Contoh
Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang
dibangun oleh 1.
Penyelesaian :
[1] = {, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, }
= {, -2, -1, 0, 1, 2, }
Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup
Siklik tak hingga.
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
11/17
Contoh
Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan
kompleks terhadap perkalian (I4, .). TentukanGrup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian :
Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i dan -i[1] = {(1)n| n Z}
= {(1)0, (1)1, (1)2, }
= {1}[-1] = {(-1)n| n Z}
= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, }
= {-1, 1}
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
12/17
[i] = {(i)n| n Z}
= {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4, }
= {1, i, -1, -i}
[-i] = {(-i)n| n Z}
= {, (-i)-2, (-i)-1, (-i)0, (-i)1, (-i)2, }
= {1, -i, i, -1 }
generator i dan -i adalah membangun suatu Grup
Siklik, sehingga : [i] = [-i] = {1, -1, i,-i}generator 1 dan -1 adalah membangun Subgrup
Siklik, sehingga : [1] = {1} dan [-1] = {1, -1}
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
13/17
DEFINISI
Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.Bukti :
Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a
merupakan pembangun dariG, sehingga G = {an| n Z}.
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
14/17
Ambil x, y G, sehingga x = amdan y = an, untuk m, n
Z.
x . y = am. an= am+n= an+m= an. am= y . x
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.
Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a
merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n
Z}.
Ambil x, y G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n Z.
x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y +
x
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
15/17
LATIHAN
1. Diketahui matriksadalah suatu grup terhadap perkalian.
Tunjukkan apakah (M, .) merupakan suatu
grup siklik.
2. Diketahui matriks
adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkanapakah (N, .) merupakan suatu grup siklik.
01
10
,01
10
,10
01
,10
01
M
10
01,
10
01,
10
01,
10
01N
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
16/17
LATIHAN
3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari
Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.
-
8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU
17/17
Selamat Belajar