string gas cosmology...京都大学 天体核研究室 string gas cosmology 中央大学セミナー...
TRANSCRIPT
京都大学 天体核研究室
String Gas Cosmology
中央大学セミナー 2013.6.4
10月1日~ 神戸大学 素粒子論研究室
散る花、鳴く鳥、見とめ聞きとめざれば止まることなし（芭蕉）
早田次郎
話の内容
インフレーションとその問題点
ストリング理論の初歩
ストリングガス宇宙論
まとめ
References Brandenberger & Vafa, “Superstrings in the early universe”,
Nucl.Phys.B316(1988) 391. Tseytlin & Vafa, “Elements of string cosmology”,
Nucl.Phys.B372 (1992) 443. Brandenberger, “String Gas Cosmology”, 0808.0746 Kanno & Soda, “Moduli stabilization in string gas cosmology”,
Phys.Rev.D72 (2005) 104023. Brandenberger, Kanno, Soda, Easson, Khoury, Martineau,
Nayeri, Patil, “More on the spectrum of perturbations in string gas cosmology”, JCAP 0611 (2006) 009.
インフレーションとその問題点
H 2 =
8πG3
ρフリードマン方程式
FLRW 宇宙
宇宙原理 = 宇宙は空間的に（平均の意味で）一様かつ等方
ハッブルの法則
アインシュタイン方程式より
ビッグバン宇宙
エネルギー保存則
状態方程式
ds2 = −dt2 + a2 (t) dx 2 + dy 2 + dz 2⎡⎣ ⎤⎦k = 0
log (長さスケール)
log（時間スケール）
地平線サイズ 1H
地平線問題
放射優勢
暗黒物質優勢
L∝ a
地平線問題が無い
a ∝ t p , p < 1重力は引力なので減速膨張
1H
∝ t
H = const.
a = 0⇔ a ∝ t
加速膨張！
log ( )
Log（時間スケール）
宇宙の熱化
放射優勢
暗黒物質優勢
ρ
ρ= const.
∝
1a4
∝
1a3
終わらないと いけない！
インフレーション
熱平衡宇宙
真空
H = const.
ρ= const.
8
インフレーションのモデル
膨張率が大きいので となり、振動できず、ゆっくり転がる
ポテンシャルが優勢となり加速膨張宇宙となる
初期のエネルギー密度が大きいとする
スカラー場（インフラトン）のダイナミクス
H = m で振動が始まりインフレーション終了
H =
aa= const.
′′V (φ) ≡ m2
1H1m
粒子生成が起こり、熱化する
log ( )
Log（時間スケール）
宇宙構造の起源は量子揺らぎ！
放射優勢
暗黒物質優勢
ρ
ρ= const.
∝
1a4
∝
1a3
δρρ≈δaa≈ Hδt ≈ Hδφ
φ≈Δ
インフレーション
量子揺らぎ
horizon size
宇宙の構造の起源は量子揺らぎ!!
inflation 放射優勢
物質優勢
再加熱
Δ = const.
我々はここで観測
初期揺らぎ
Δ ⇒保存することがポイント
log (長さスケール)
log（時間スケール）
CMB温度揺らぎを観測！
1992 年, COBE 衛星は量子揺らぎを見た！ 宇宙背景放射観測衛星COBEのデータ
δTT Δ 重力的赤方偏移
WMAP データ 2003~2012
精密宇宙論の幕開け
12
宇宙背景放射観測衛星PLANCKの最新データ
密度揺らぎの性質
ガウス統計
統計的に一様 統計的に等方
Δ(k)Δ(k ') = δ (k + k ')P(k =| k |)
スケール不変 P(k) ≈ const.
=1
2πP(k)exp −
12Δ2 (k)P(k)
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
揺らぎの 分布関数
Δ(x) = 1
2π( )32
d 3kΔ(k)∫ eik ix
精密観測の時代へ
統計的に等方からのずれ
スケール不変からのずれ
ガウス統計からのずれ
パーセントレベルの詳細に物理の情報
超プランクスケール問題
量子重力 領域
長さ
t
k
10−33cm
初期条件はハッブルホライズンより十分 小さなところで設定される
高エネルギーの世界をみることができる？
ホライズン長
GUT scale
宇宙の謎
ダークエネルギー ダークマター 宇宙大規模構造の起源
超プランクスケール問題
初期特異点 ストリング理論 10-次元 なぜ４次元か？ 内部空間の安定性
インフレーションは正しいのか？
最も有望な量子重力理論
インフレーション以外を考えるには十分な動機
弦理論と宇宙論
インフレーション
幾何学的
超弦理論
特異点
LSS, CMB, 21cm, etc.
Primordial GW 宇宙の精密観測
非幾何学的 非インフレーション
超重力理論 D-brane inflation
old inflation new inflation chaotic inflation hybrid inflation
………
場の理論
String gas cosmology
Ekpyrotic or cyclic cosmology AdS/CFT, Matrix? Pre-big-bang cosmology
ストリングガス宇宙論
非インフレーションモデル
ストリング特有の自由度：巻き付き数
ストリングの対称性：T 双対
特異点の解消:ハゲドーン相
揺らぎは熱揺らぎでつくる
精密観測に耐え得るか？
ストリング理論の初歩
ストリングの作用
world sheet
ポリャコフ作用
ストリングスケール
世界面上の計量
誘導計量
南部・後藤作用
張力=単位長さ当たりの質量
点粒子の作用 world line
長さ
面積
古典的な等価性
ポリャコフ作用の対称性
時空のポアンカレ対称性
２次元一般座標変換
ワイル対称性
モード展開
22
string scale
X L
µ (τ +σ ) = xµ +α0
µ
2(τ +σ ) +
i2
α nµ
nn≠0∑ e− in(τ +σ )
X R
µ (τ − σ ) = xµ +α0
µ
2(τ − σ ) +
i2
α nµ
nn≠0∑ e− in(τ −σ )
in conformal gauge gab ∝δab
αnµ ,αm
ν⎡⎣ ⎤⎦ = nηµνδn+m,0
グラビトン, 2 形式場 , ディラトン
◆ 低エネルギーではゼロ質量モードが重要。
ミンコフスキー時空上のストリング
は10次元時空の添え字
質量スペクトル
レベルマッチ条件
ストリングの各振動モードは粒子と解釈できる。
pµ = 2 α 0
µ = 2 α 0µ
グラビトン 2形式場 ディラトン
一般の背景場中のストリングを考える。
ワイル不変性
低エネルギー有効作用
低エネルギー有効理論
ストリングガス宇宙論
概観
ストリング理論から想像される宇宙像
従来の標準的宇宙論では宇宙の構成物は素粒子であった。 しかし、ストリング理論では全ての素粒子はストリングの異なる励起状態とみなされる。従って、ストリング・ガスで満ちた宇宙を考えることは自然である。
初期には全ての９次元空間は小さく、トーラス状に丸まっている。
普通のKalza-Klein コンパクト化とは違う
宇宙はストリング・ガスで満たされている。
ストリングがサイクルに巻きつくことで空間が膨張することを妨げている。
４次元だけが膨張できる
熱揺らぎが構造形成の種
ストリングガス宇宙
シナリオ
宇宙初期特異点が無い
T双対性
最小の長さ
ハゲドーン温度を超えない
N − N = nm
コンパクト空間に巻きついたストリング
4-d universe
トーラスコンパクト化の半径を R とする。 内部運動量は p=n/R, 巻きつき数は w=mR.
質量スペクトル レベルマッチ条件
α 0=
12
p − w( )
Target space (T-) duality
α 0=
12
p + w( )
XL (σ + 2π ) + XR (σ + 2π ) = XL (σ ) + XR (σ ) + 2πw
p = 1
2πXL + XR( )
0
2π
∫ dσ =12
α0 +α0( )
29
T–双対対称性
は有効的な最小の長さに対応する
momentum winding
T-双対対称性のため、 次の２つの空間は区別できない
x = exp ipx( ) pp∑
x = exp iwx( ) wp∑
x = x + 2πR x = x + 2π
R
アインシュタインの重力理論で不変な意味を持つ距離は、 ストリング理論では自明ではない
自己双対点
Ramanujanの公式
縮退度は
E2 nan
†ann=1
∞
∑ N の場合
a1†
a2†, a1
†( )2
a3†, a1
†a2†, a1
†( )3
a4†, a1
†a3†, a2
†( )2 , a2† a1†( )2 , a1†( )4
E2
1
2
3
4
p(N )
1
2
3
5
p(N ) 1
4N 3exp 2π N
6⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ N 1
ハゲドーン温度
p(E) ∝ exp βH E( ) βH = 4π
exp −βEi( )
i∑ dE p(E)∫ exp −βE( )
ストリングの縮退度は
のように指数関数的に振舞うことが分かる。ゆえに、熱力学的分配関数
は のとき発散する。
物理的には となることを意味している。
ハゲドーン温度
E2 24 nan
†ann=1
∞
∑ 24N なので
E2 ≈ N より 一方、
p(N ) ≈ exp 2π 24N
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≈ exp 4π N( )
ハゲドーン温度と初期宇宙
巻きつきの消滅は空間の次元が４を超えると起こらない。
宇宙はなぜ４次元か？ B-V機構
4次元時空は巻き付き数の消滅によって膨張する。
shifted dilaton
4次元宇宙
次元降下
6次元トーラス
B-V機構が働くと仮定する。 このとき、4次元時空は非コンパクトである。 一方、 6次元時空はトーラスコンパクト化されている。
次元降下によって低エネルギーの物理を記述する4次元有効作用 を導く。
T双対不変な有効作用
T双対変換
行列記法
yy120identify
1
変形モジュライ
両側を同一視する。
コンパクト化のモデル
各々のトーラスを別々に解析できる。
体積モジュライ
フラックスモジュライ
変形モジュライ
固定するべきモジュライ
ディラトン
アインシュタインフレイムでの4-d有効作用
体積 フラックス
変形
シフト ディラトン
ストリングの質量
有効ポテンシャル
ストリングの質量
体積、 変形、フラックスモジュライは自己双対点で安定化
安定なコンパクト化
両方の寄与を同時に考える。
自己双対点で下に凸
有効ポテンシャル
ハッブル減衰 モジュライの振動による変調
ディラトンはマージナルに安定
ディラトンに対する方程式
: モジュライ
ハゲドーン相
S =
12
d 4∫ x −ge−2φ R + 4 ∂φ( )2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥− d 4∫ x F λ,β( )
ds2 = −dt 2 + e2λ (t )δ ij dxidx j
β =1T
−3 λ2 + ϕ 2 = 2eϕ F + β ∂F
∂β⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = 2e
ϕE
λ − ϕ λ = eϕ −∂F∂β
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = e
ϕP
E + 3 λP = 0
E = const. λ = 0P = 0 ϕ = −
2t
内部空間は固定されていることが分かったので４次元のみを考える
ハゲドーン相
ϕ = 2φ − 3λ
自由エネルギー
ストリング・ガス宇宙論における構造形成
42
長さ
t
k
H −1
H −1 ≈ ∞
ハゲドーン相
熱揺らぎ
放射優勢
ストリングガスの熱力学
Z(β) = dEΩ(E)0
∞
∫ e−βE分配関数は状態密度のラプラス変換として与えられる
Ω(E) = dβ2πi
Z(β)L− i∞
L+ i∞
∫ eβE
逆ラプラス変換は
C
L
β
Z(β) = βH
β − βH
βH
β − β1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6
Ω(E,R) = βHeβH E 1+ δ Ω(E,R)[ ] δ Ω = −
βHE( )55!
e−(βH −β1 )E
Heterotic ストリングガスの分配関数は
β1 = 1− 1R2
+ 2 − 1R2
βH = 2 +1
ストリングガスの状態密度は
ストリングガスの熱揺らぎ
δρ2 = ρ2 − ρ 2 = −1R6
∂∂β
F + β ∂F∂β
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
T 2
R6CV
S = logΩ T =∂S∂E
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−1
T = TH 1+ βH − β1βH
δ Ω⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
E =R2
s3 log
s3TH
R2 1− TTH
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
CV =
∂E∂T
=R2
s3T
1− TTH
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1
δρ2 =
1R4
T s3 1−
TTH
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1
熱力学の関係式より
逆に解いて
ただし
βH − β1 ≈
s3
R2
結局
ストリングガスの揺らぎがつくる重力波
TijTi
j − Tij Ti
j =1
βR3∂
∂ logR−1R3
∂F∂ logR
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
1βR3
∂p∂R
T µν = Gµα 2
G∂ logZ∂Gαν なので
p = T ∂S∂V
= −T ∂(βH − β1)∂V
Eδ Ω
ここで
を使うと
1βR3
∂p∂R
=43
T 2
R4 s3TH
1− TTH
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟log R2
s2 1− T
TH
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
2
k2hij (k) ≈ 8πGδTij (k) より重力波がつくられる
熱揺らぎのパワースペクトル
Ph (k) =
p s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
1− TTH
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟log 1 s2k2
1− TTH
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
2
PΦ(k) =
p s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
1− TTH
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−1
∇2Φ = 4πGδρ
PΦ(k) = k
3 Φ(k) 2 = 16π 2G2k−4 δρ2 = 16π 2G2 T s3 1−
TTH
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1
k−1 = Rポアッソン方程式 と を使うと
となり、スケール不変なスペクトル
が得られる。同様に、重力波についても
まとめ
ストリング・ガス宇宙論は色々と面白い特徴を持ったストリング宇宙論の１つである。
もちろん、たくさんの問題が未解決のまま残されている。特に、構造形成の問題はこのシナリオの成否を握っている。
最大の問題はハゲドーン相から膨張宇宙への接続の機構が分かっていないことである。
インフラトンの正体が分かっていない以上、alternativeを考える価値はある。
内部空間の安定性：backup
背景場中のストリング
背景場は定数と仮定する
正準運動量は と定義できる
運動方程式に２形式場からの寄与は無く
なのでモード展開は前と同じ。重心の運動量は
であり、巻き付きのある場合
が得られる
質量公式
従って、ゼロモードは
と表すことができて、質量公式は
で与えられる
ストリング・ガスの作用
ストリングの質量スペクトルを定数背景場 の場合に計算する。この計算の後に背景場を時空の関数 とみなす。 をストリング・ガスの共動個数密度とする。
T双対不変性
4次元運動量
ストリング・ガスの共動個数密度
ストリングのエネルギーは
と与えられるので
T双対性と自己双対点
自己双対点
T双対変換
1
1
モジュライの安定化 I
平坦方向
自己双対点で質量がゼロとなるストリングモードからなる
第１種のストリング・ガスを考える。
巻きついたストリング・ガスの質公式
有効ポテンシャル
平坦方向
巻きついたストリングの質量公式
モジュライの安定化 II
自己双対点で質量がゼロとなるストリングモードからなる
第2種のストリング・ガスを考える。