SolvinPatrick M

The probl

almost 20

familiar n

human  in

anthropo

geometric

replicatin

“…

ba

fin

th

fo

an

as

D

Albeit Vit

body  fit  i

geometric

problem i

relationsh

In  looking

Proportio

g the Vit. Dey & Dami

lem of solving

000 years. Som

umber phi (ϕ

n  the  square

metrics, whe

c process  is r

g geometry. V

… In the huma

ack, with  his 

ngers and toes

herefrom. And

ound from it. F

nd then apply 

s the height, as

e Architectura

ruvius does n

nto both  a  c

cians,  such a

n that we can

hips and prop

g at Leonard 

ns, we can be

truvian Mian ‘Pi’ Lannin

g the Vitruvia

me probably 

ϕ), a number 

e  and  circle 

ther the hum

related to oth

Vitruvius desc

n body the ce

hands  and  fee

s of his two h

  just as the hu

For if we meas

that measure t

s in the case of

, Book III, 1 : 3 

not present t

circle  and  a  s

s Agrippa, Ce

n map the pro

portions. But w

Da Vinci’s Vit

egin to under

Man ngham 

The Problem

an Man seem

never knew t

that seems t

is  created, 

man is in moti

her geometri

cribes the geo

ntral point is n

et  extended,  a

ands and  feet 

uman body yie

sure the distan

to the outstret

f planes and su

the question 

square?  This 

esariano, Dür

oportions and

we must ask t

truvian Man, 

rstand some g

m and the Ge

ms to have elu

there was pro

o be the mag

and  how  t

on or not. Fu

es, such as t

ometrical pro

naturally the n

and  a  pair  of 

will touch the

elds a circular 

nce from the so

tched arms, th

urfaces which a

at hand, the 

problem has

rer, and Da V

d geometries

then : how is 

the most no

general probl

eometry 

uded mathem

oblem. It use

gician of all n

he  same  ge

urthermore w

he pentagram

oportions of t

navel. For if a m

compasses  ce

e circumferenc

outline, so too

oles of the fee

he breadth will

are perfectly sq

question sti

s been  searc

Vinci. The pro

s of the huma

this geometr

otable  interpr

ems : 

maticians and

es that myste

umbers. We 

eometries  ca

we will illumin

m, and how 

the human bo

man be placed

entered  at  his

ce of the circle

o a square fig

et to the top o

l be found to b

quare.” 

ll exists  : how

ched  and wo

oblem  is  som

an body and d

ry created in 

retation of Vi

 

 geometricia

rious, and ye

will show ho

n  account  f

nate how the 

it  is a natura

ody as such :

d flat on his 

s  navel,  the 

e described 

ure may be 

of the head, 

be the same 

w does the h

rked out by 

mewhat of a 

discover num

the first place

itruvius’s Can

ns for 

t very 

w the 

or  all 

same 

l self‐

uman 

many 

latent 

erous 

e? 

non of 

The first i

do not m

error by r

either the

geometric

humanist 

beautiful)

In order t

very ques

the  fathe

collaborat

AFNOR on

“T

m

th

w

Logically t

inherent 

square an

the  oppo

adjacent 

greater th

Figure

The produ

couple  of

rectangle 

the oppos

base of  t

(Figure E)

90° (Figur

                  1 Le Corbus2004. P. 37

ndication tha

eet the boun

roughly 1.5% 

e human body

cally  perfect 

ideals of  the

) geometricia

to tackle this 

stion was con

ers  of Moder

tor, who  is o

n standardizin

Take a man‐wi

meters each, su

hird  square  sh

where to put th

this process s

in  human  pr

nd then produ

osing  side  of 

squares (Figu

han 90° (Figur

e A   

uct of the roo

f  years  later

is constructe

sing mid‐poin

he geometry

, but still in e

re F) : 

                       sier. The Modu7. 

at there is a g

ndary of the c

of the circle’

y is not perfe

means  of  co

e body being

n, we have to

problem a b

nsidered and 

rnist  architec

only known as

ng products, g

ith‐arm‐uprais

perimposed o

ould  give  you

is third square

should incorp

roportions.  T

uce golden re

the  square 

ure B), theref

re C) : 

        

ot‐two solutio

r,  meeting  w

ed from a squ

nt of the  initi

y at point  c  (

error by 0.63%

                   ulor. Trans. Pet

geometrical p

circle, but rat

s radius. Con

ect and natur

onstructing  th

g perfect, as 

o argue for th

it of history a

attempted b

cture.  Betwee

s Hanning, as

goods, and bu

ed, 2 ∙ 20 m. i

n each other; p

u  a  solution.  T

e.”1 

porate and be

he  first  prop

ectangle a. Ne

from  the  go

fore the angle

      Figure B

on rectangle i

with  Mlle  Elis

are. Next a li

ial square, po

Figure D). Th

% and produc

ter de Francia a

problem is th

ther overlap 

nsidering this 

e is not a per

he  Vitruvian 

well as  the b

e latter. But o

and other att

by the archite

en  1943  and

s well as Mlle

uildings prese

n height; put 

put a third squ

The  place  of  th

e developed f

posal  given  b

ext, from the

olden  rectang

e (ϴ) of the “

 

is in error by 

sa  Maillard  a

ne is constru

oint b. A 90° 

he  resulting  r

ces “regulatin

and Anna Bost

e fact that th

it. This  is no 

error one of 

rfect geomet

Canon.  Since

belief  that na

once again : h

tempts to sol

ect Charles  ‘L

d  1945  Le  Co

e Elisa Mailla

ented a propo

him inside two

uare astride the

he  right  angle

from the gold

by Hanning  (F

e initial square

gle.  The  resu

“regulating” 

   

1.6%, and th

another  solu

cted from po

is drawn fro

rectangle  is  c

ng” lines that 

tock. Basel, Sw

he upper vert

mild error, a

f two things m

trician, or the

e  the  former

ature  is  the 

how?  

lve it should 

Le Corbusier’ 

orbusier wor

ard. Le Corbu

ortioning pro

o squares 1 ∙ 1

ese first two sq

e  should  help 

den mean, sin

Figure  A) wa

e draw root‐t

ulting  rectan

lines of the o

 Figure C 

erefore not a

ution  was  pro

oint a of the g

m  line ab to 

closer  to  two

have an ang

witzerland : Birk

tices of the s

as the overlap

must be accep

ere is a natura

r  is  antithetic

most perfect

be looked at

Jeanneret, o

ked with  a  y

usier, working

oblem to Hann

10 by 1 ∙ 10 

quares. This 

you  decide 

nce this prope

as  to  begin w

two rectangle

gle  is  almos

overall rectan

a viable solut

oposed.  A  g

golden rectan

intersect wit

o adjacent  sq

le (ϴ) greater

khäuser Publis

quare 

p  is  in 

pted : 

al and 

cal  to 

t  (and 

. That 

one of 

young 

g with 

ning : 

erty is 

with  a 

e b on 

t  two 

ngle  is 

 

ion. A 

golden 

gle to 

th the 

quares 

r than 

hers. 

Figur

The differ

Although 

Modulor 

proportio

architectu

false and 

tangentia

compasse

draftsman

was  flawe

squares; o

being  eco

negligible

suspect  th

open and

of a fatefu

We, on  th

happens  t

paradigm

claim that

                  2 Ibid., p. 63 Ibid., p. 2

re D   

rence in the e

this  system 

System, whic

nately grow (

ure. We mus

probably forc

l  to  its  circle

es, and penci

n’s behalf. M

ed!    In  1948

one of their s

onomical  con

e quantity… it

hat  these  six

shut, it is no

ul equality wh

he other han

to be dead w

s on urbanism

t if there is an

                       64, Fig. 21. 234.  

        

errors of the a

is  in  error, 

ch  is  a  syste

(or diminish) 

t admit  that 

ced (for insta

e2). But  given

ls,  it seems  lo

ore surprising

  a Monsieur

sides is larger

nsiders  :  “In 

 is not seen w

x  thousandths

t sealed; ther

hich is not exa

nd, argue  tha

wrong  (which

m do not nee

n error, no ma

                   

       Figure E

above solutio

Le  Corbusier

m  of measur

from the init

the geometr

ance a tangen

n  that  these  g

ogical that a 

gly, though, i

r  R.  Taton  inf

r by six thous

everyday  pra

with the eye.”

s of a value 

re is a chink t

actly, not stri

at  there  is no

  is certainly 

ed to be acco

atter how triv

 

ns can be see

r  used  this  g

rements  built

tial geometric

ries are appr

ntial line prod

geometries w

geometrical 

s the fact tha

forms  Le  Cor

andths of the

actice,  six  th

” But Le Corb

have an  infin

to let in the a

ctly equal… …

o error  in  the

not  the  first 

ounted here)

vial and small

   

en here : 

geometric  str

t  on  the  prin

c construct. T

roximated, an

duced from th

were  constru

error would 

at Le Corbusi

rbusier  :  “yo

e other [gross

ousandths  o

busier also be

nitely preciou

air; life is ther

… And that is 

e  initial probl

time he was

). As mathem

l, it is an erro

  Figure F 

ucture  to  de

nciple  of  ant

This was his m

nd at  certain

he regulating 

cted with  T‐

be considere

er did know t

our  two  initia

s miscalculati

f  a  value  are

eing a mystic 

us  importance

re, awakened

what creates

lem and  that

s dead wrong

maticians and 

or, and therefo

 

evise  his  infa

hropometrics

means to hum

  times  comp

lines, which

squares,  tria

ed an error o

that this geom

al  squares  ar

ion].” Le Corb

e what  is  ca

further adds 

e:  the  thing 

 by the recur

s movement.”

t Le Corbusie

g, but 20th Ce

geometrician

ore incorrect

 

amous 

s  that 

manize 

pletely 

is not 

ngles, 

on the 

metry 

re  not 

busier 

lled  a 

: “… I 

is not 

rrence 

” 3 

er  just 

entury 

ns we 

. 

Furtherm

show that

rectangle 

from  its  in

distance b

(Figure H)

vertical h

into accou

account fo

Figure G 

                 

Looking a

geometrie

“reason” 

their  likin

construct 

simply co

more con

1) C

2) T

     V

3) T

     m

4) It

5) A

In conside

with a squ

through s

critical  di

human bo

ore, we argue

t it is not eleg

created by t

nitial side of 

between the 

). The final pr

uman measu

unt horizonta

or shortly.  

 

 

t Le Corbusie

es do not dis

and “logic”, c

ng.  On  the  o

the whole. 

nstructs harm

straints :  

Construct a ge

The geometry

Vitruvian Can

The geometry

measurement

t is devised fr

And, finally, th

ering  this pro

uare and cons

some other fo

viding  lines  c

ody, such as t

e that the sol

gant. For his g

the regulating

the square to

top of the h

roblem with 

urements,  tha

al measureme

   

   

er’s Modulor w

sassemble an

construct geo

other  hand,  t

Man  disasse

mony that is 

eometry that 

y constructs th

on of Proport

y accounts no

ts and propor

rom the golde

he constructio

oblem we  fin

structing a go

orm of geom

created  by  a

the height of t

lution has to 

geometry to b

g  lines (estab

o be placed n

ead to the ti

Le Corbusier’

at  is,  it only 

ents, such the

we find that i

d  then  reass

ometries and 

the  geometri

embles  and  r

beautiful; nat

continuously

he human ins

tions 

t only for the

rtions 

en mean 

on of the geo

nd  that  it  is  j

olden rectang

etrizing. Also

an  overlappin

the head. 

be elegant. A

be in accorda

blished at poi

next to the g

p of the fing

’s solution is 

attempts  to 

e proportions

          

 

it is not only 

semble a con

reassemble t

es  of  nature

eassembles  h

ture just is. N

y builds upon 

side both a ci

e vertical anth

ometry has an

ustifiable  tha

gle that this co

o, we assume

ng  third  squa

Another look 

nce with the 

nt c) shown 

golden rectan

ers when the

that it only a

solve  the he

s of the arm 

  Figure H   

   

incorrect, but

struction. Hu

them arbitra

e  are  built  u

harmony  to 

Now we retur

itself 

rcle and squa

hropometrics

n elegant solu

at Le Corbusi

ould inevitab

e he must also

are must  be 

at Le Corbus

human body

in Figure D h

gle (Figure G

e arm  is raise

accounts for t

ight. The Mo

span to the w

         (Drawing

             from T

t it is also not

umans are  th

rily in what e

p  from  an  in

create  “beau

rn the initial 

are in accorda

, but also for 

ution.  

ier would ass

bly produce tw

o be right in 

found  in  acc

ier’s geometr

y the portion o

has to be rem

G). This create

ed above the

the proportio

odulor never 

whole. This w

g by Le Corbus

The Modulor) 

t elegant. Na

he ones, with

every manner

nitial  geomet

uty”, while  n

question, but

ance with the

the horizont

sume  that  st

wo perfect sq

assuming tha

cordance wit

ry will 

of the 

moved 

es the 

 head 

ons of 

takes 

we will 

ier, 

ture’s 

  their 

r suits 

try  to 

nature 

t with 

e  

al  

arting 

quares 

at the 

th  the 

When we

segments

present w

divides th

for the w

opfe are 

squares, a

3).  

      

Although 

elegant, it

therefore

created  i

anthropo

The easie

two  golde

equal  to 

midpoint 

yd  is  equ

segmente

create the

  Square   

Area = φ2 ‐

Perimeter 

                  4 In this pa“squaring”

e  began  appr

s of line ab ar

with a square,

he square abc

whole geomet

equal. Finally

as well as giv

 Figure 1 

this does  so

t simply is no

  natural  geo

nitially  from

metrics. So th

st remedy to

en  rectangles

(φ ‐ ϕ) creat

of line bc. Th

ual  to  line  yh

ed  into  two  li

e square beih

  

‐ 2φϕ + ϕ2 

= 4φ ‐ 4φ 

                       per we will use” refers to mak

roaching  this 

re a golden m

, but not nec

cd  into a gold

try thus  far  (F

y,  if  the  initia

ving the posit

   

olve  the prob

ot elegant eno

metries,  do 

m  another  go

he constructio

o justifying th

s  on  perpend

e a golden  re

hen construct

h,  in which  p

ines,  instead 

h. The new sq

 Golden Rect

Area = φ2 ‐ φ

Perimeter = 

                   e terms in drafking a square fr

problem we

mean (Figure 1

cessarily form

den mean  is 

Figure 2). The

al square  is s

ion of the th

     Figur

blem of  the  t

ough. It is not

not  typically 

olden  geome

on of this geo

e golden me

dicular  axes. 

ectangle cdfe

 another gold

point  y  is  the

of  just one, 

uare’s area is

tangle

φϕ 

4φ ‐ 2ϕ

fting with T‐sqrom a given lin

e  segmented 

1). We did thi

ming a golden 

squared4, th

erefore, Figu

quared,  this 

ird square ov

re 2 

wo  squares 

t elegant eno

segment  a  s

etry.  Addition

ometry must 

an segmenta

Essentially,  s

e so  that  line

den rectangle

e midpoint  o

so  that  the s

s φ2. 

 Two Golden R

 Line be = bh =

 

uares, compase segment, an

a  square  ab

is assuming t

rectangle. If 

is naturally c

re 1 = Figure

naturally cre

verlapping th

  F

created  from

ough simply b

square with 

nally,  it  doe

be reconside

ation of the sq

starting with

e xd   equal  to

e adgh on the

of  line  ab. W

segments are

 Rectangles 

= φ   

 

sses, and triangd not be confu

bcd with  a  li

that the golde

f the length o

creates a gold

e 2, and the s

eates  two per

e two adjace

Figure 3 

m  a  golden m

because sacre

a  golden me

es  not  accou

red. 

quare is to fo

  square  abcd

o  line xe,  in  t

e perpendicul

We  now  have

e golden mea

       Squar

 Area =

 Perim

gles. The term used with x2 

ne  op  so  tha

en mean had 

of segment op

den rectangle

squares abcd

rfect and adj

ent squares (F

mean  and  is  r

ed geometries

ean without 

unt  for  horiz

orm a square

d whose  edg

that point x

lar axis so tha

e  a  square  t

ans. We  ther

re 

= φ2 

meter = 4φ 

“squared” or 

at  the 

to be 

p that 

e bcef  

d   and 

jacent 

Figure 

 

rather 

s, and 

being 

zontal 

e from 

ges  all 

is  the 

at line 

hat  is 

refore 

 

Thus, the 

a golden r

cg  is equa

equal to  l

that lines 

and  elmi 

equally se

2φ2.  

Golden Rec

Area = 2φ2

Perimeter 

To reitera

1) The 

2)The a

3) Squa

4) From

5) From

with

6) The 

7) Thus

 

 

same proces

rectangle ejki

al to  line cj. T

line zj. As a r

ie and el are

are  all  equa

egmented int

ctangle  2 ‐ φϕ   

= 6φ ‐ 2ϕ 

ate the steps a

initial square

area of the go

aring off the g

m this new sq

m the square 

h an area of φ

rhythmic pat

s the two adj

ss of creating 

i by squaring 

This  is the sa

result squares

e equal. The 

al,  thus  locate

o a golden m

      

   

   

and the math

e with an area

olden rectang

golden rectan

quare create a

created in st

φ2, so that the

ttern of the p

acent square

Figures 1 – 3

line segment

me result as 

s beih and cjk

result is two 

es  the placem

ean as the in

 Proof of

 Squares

hematics : 

a of φ2 ‐ 2φφ

gle equals φ2

ngle creates a

another golde

ep 2 square o

e overall geom

erimeter of t

s are equally 

 can be reiter

t cg, that is, t

if the midpo

kg are equal

perfect and 

ment  of  the 

itial square. T

f Third Square

 beih = cjki = φ

 

‐ ϕ2 creates a

– φϕ. 

a new square

en rectangle w

one of its leng

metry has an 

his geometry

segmented i

rated as follo

the golden m

oint of  line be

. Subsequent

adjacent squ

third  square

The overall ge

  

φ2   

 

a golden mea

 with an area

with an area 

gths to produ

 area of 2φ2.

y is : φ ‐ ϕ, ϕ,

nto golden m

ows. With squ

ean of square

e was rotated

tly take  line e

ares, in that 

e.  The  newly 

eometry thus

 Two S

 Area =

 Perim

an. 

a of φ2. 

of 2φ2 – φϕ. 

uce two equa

φ ‐ ϕ, ϕ, φ ‐ 

means. 

uare beih con

e beih, so tha

d, so that  lin

ei and square

squares beih

created  squ

s far has an a

Squares 

= 2φ2 

meter = 6φ 

l squares eac

ϕ, ϕ, φ ‐ ϕ, ϕ

struct 

at line 

e zi  is 

e  it so 

h, cjki, 

are  is 

rea of 

 

h 

ϕ… … 

To empha

Placement

Here  it m

problem 

account f

you decid

If we wer

as such : 

First  cons

square ab

regulating

perpendic

square th

Next draw

two perfe

the vertic

point o.  I

square ab

Thus  the 

Although 

regulating

asize that this

t of Third Squar

ay be argued

as  he  posed 

or the regula

de where to p

e to correct L

struct  golden

bcd  into  a  go

g lines, then t

cular  to each

e line will inte

w a line from 

ect and adjac

al anthropom

f a  line pq  is

bcd are bisect

above  essen

this does sol

g lines to exp

s is correct th

        re         

d that we me

it.  If we we

ting lines and

ut this third s

Le Corbusier’s

n  rectangle  a

olden mean b

the easiest wa

h other. So  if 

ersect at poin

point y that 

ent squares, 

metrics it also

s drawn  to  in

ted into golde

        

ntially  create

ve Le Corbus

ress the rest 

e following d

         Creation of

erely establish

ere  to  solve  t

d the 90° ang

square.” At th

s problem as 

aefd.  Then  sq

by  the  line  s

ay to create t

we draw a 4

nt y.  

is perpendicu

so that squa

 can create th

ntersect at p

en means.  

      

es  a  reiteratio

sier’s problem

of the creatio

rawings will i

f Second Squar

hed our own 

the  problem 

gle. As he said

his point the 

he posed it t

quare  line  ef

segment  xy. B

two squares i

45°  (ϴ)  from 

ular to line ey

res abcd = xe

he horizontal

oint o as we

on  of  the  sa

m as he posed

on of the Vitru

illustrate the 

      re     

 geometry, b

as  Le  Corbu

d : “The place

placement of

the results wi

f  back  towar

But  if  this  co

s to draw two

point e  tow

y so that it cr

efy = gxyh. T

 measuremen

ell,  then  the 

  

ame  geometr

d it, it is not n

uvian Man. 

squares and 

   Two Perfect A

but did not so

usier  posed w

e of the right

f the right ang

ill still be the 

rds  the  circle

onstruction  is

o successive 4

ards  the opp

reates point g

This construct

nts. Lines bc a

golden  recta

ry we  have 

necessary to c

their placem

Adjacent Squar

olve Le Corbu

we would  ha

t angle should

gle is rather t

same, and fo

e, which  segm

s  supposed  t

45° angles th

posing edge o

g. This create

tion not only

and ey inters

angle befc an

already  prop

continue usin

ents : 

 res 

usier’s 

ave  to 

d help 

trivial. 

ollows 

ments 

o use 

at are 

of  the 

  

es the 

 gives 

sect at 

nd  the 

posed. 

ng the 

So far the

not  only 

measurem

assume  t

squaring l

is better t

that this p

grows int

off the lar

the first c

the way  i

i.e. a gold

So, if the 

This is do

Vitruvian 

complete

proportio

 S

 L

From this 

geometrie

equal as w

equally ve

midpoint 

were draw

point u. T

e very structu

accurately 

ments that ar

hat  line  jk  is

line bj, based

to understand

process starts

o a golden m

rgest golden 

constraint est

n which a na

en mean. 

process cont

ne so that lin

Man  rests. 

d to create b

ns and measu

Squaring the He

ine bj = bo  

geometry we

es. For instan

well. Given th

ertically, and 

and point of 

wn, for instan

hus it can be 

ure of the ou

giving  the  h

re the result 

  the  top of  t

 on Vitruvius’

d the logical c

s with a squa

mean. Thus it 

mean thus fa

ablished abo

utilus shell c

tinues as befo

nes bj and bo 

Then  the  w

lpo, a grid of 

urements, an

eight   

e find several

ce lengths jn 

hese equalitie

line vw segm

intersection o

nce a line bp o

established t

r proposed g

human  heigh

of squaring t

the human h

’s description

construction o

re that grows

can be logica

ar. This is not

ve states tha

ontinuously b

ore, the large

are equal, th

whole  array  o

squares and 

nd henceforth

l aspects that

and jb are eq

s it can there

ments the cons

of lines eq an

or lo, then the

that point u is

geometric con

ht  in  the  sq

the golden m

head,  so we 

n. But assumi

of the human

s into anothe

ally concluded

t a justificatio

t the geomet

builds upon  i

est golden rec

hus creating t

of  constructio

golden recta

h will be refer

  

t are related t

qual, and the

efore be estab

struct equally

nd vw. Likewis

eir midpoints

s the center o

nstruct  incor

quare  and  ci

mean.  It seem

can  complete

ng is rather in

n geometry. L

er square by a

d that the ne

on but a comp

tries must bu

tself with the

ctangle bjkh 

he square bjn

on  lines  and

angles. This is

rred to at the 

 Completin

to Vitruvius’s 

refore a squa

blished that li

y horizontally

se, if a diagon

s and point of

of the constru

porates the g

ircle,  but  als

ms rather  logic

e  the  rest of

nappropriate

Logically, thou

a golden mea

ext step is to 

pletely ration

ild upon them

e same propo

is squared es

no, being the

d  geometries

s the primary 

“geometric c

ng the Grid 

description o

are. Lengths e

ine eq segme

y. Therefore p

nal line bisect

f intersection

uct, or, in a se

golden mean

so  has  horiz

cal at this po

f  the  geomet

 here, but rat

ugh, it can be

an, and this s

repeat and s

nal next step,

mselves, muc

ortional geom

stablishing po

e square with

s  are  orthogo

grid of the h

construct”. 

of the human

eb, ei, and el a

ents the const

point u is the 

ting the const

 would still b

ense it is the 

, thus 

zontal 

oint to 

try by 

ther it 

e seen 

quare 

quare 

 since 

ch like 

metry, 

oint o. 

in the 

onally 

uman 

 

n 

are 

truct 

truct 

e 

center of 

well as th

        V

    A

   P

Not only 

anthropo

the  shou

Proportio

construct 

square, th

Logically f

be able to

more  pro

anthropo

the hands

establishe

they shou

Le Corbus

derived fr

or produc

squaring 

provide th

One mino

positions 

inertia. Acco

e center of th

Vitruvian Cano

Area = 4φ2 ‐ 2φ

Perimeter = 4φ 

is  this  soluti

metrics, as th

lders.  As  opp

ns was  slight

another squa

hen square th

from this bas

o be construc

oper  way  of

metrics of th

s and digits) a

ed above. Sin

uld be able to

sier’s Modulo

rom anthropo

ced  from  the

or  producing

he most accu

or  flaw on Le

of body parts

rding to Vitru

he circle that 

on of Proportion

φϕ 

‐ ϕ 

on  elegant  a

he  initial squ

posed  to  Le 

tly  irregular, 

are from the 

he previous go

ic geometrica

cted from the

f  saying  it, 

e human bod

and bodily loc

nce  these pro

be construct

or is a propor

ometrics that

e golden mea

g  a  golden m

rate Modulor

 Corbusier’s 

s. For instanc

uvius it can be

encompasses

ns 

and  builds up

are, golden m

Corbusier’s 

here  the  sol

initial (or pre

olden mean, 

Creating a

al construct t

e overall geom

correcting  L

dy. Furthermo

cations (i.e. lo

oportions can

ted inward, o

rtionately gro

t grow or dim

an. Since  the

mean  follows

r System.  

part  is that h

ce the positio

e logically con

s the human 

           

pon  its own 

mean, and th

geometry,  w

ution provide

evious) golden

et cetera.  

ll Anthropom

the rest of the

metry. In esse

Le  Corbusier

ore, we shou

ocation of the

n be built out

r fractalize. 

owing (or dim

minish by eith

solution pro

s  this  exact 

his geometric

on of the third

ncluded that t

figure.  

 Vitruvian 

geometries, 

he reflected s

whose  definin

es a  regular 

n mean, then

metrics 

e measureme

ence, we hav

r’s  Modulor 

ld be able to

e elbow) by b

tward,  i.e. gr

minishing) sys

her squaring (

oposed  involv

same  patter

c construct o

d square in th

this is the loc

Man 

it  also  accou

square establ

ng  geometry

grid  that  can

n square the i

ents of the h

ve to account

System  and

o account for 

building off of

row upon  the

tem of meas

(or doubling) 

ves  the  same

rn,  therefore

nly accounts 

he Modulor p

cation of nave

unts  for horiz

ish the bread

y  of  the  Can

n be  repeate

nitial (or prev

uman body s

t for creating,

d  achieve  al

all body part

f the same pr

emselves,  lik

urements tha

the measure

e process of e

  our  solution

for a few pr

provides the c

el, as 

 

zontal 

dth of 

on  of 

d,  i.e. 

vious) 

hould 

, or, a 

ll  the 

ts (i.e. 

rocess 

kewise 

at are 

ement 

either 

n  can 

rimary 

crown 

of the he

course,  t

positions 

various nu

H above).

Thus, our

positions 

construct

solution is

Since rest

must star

square)  is

larger  squ

geometric

through a

above  the

and there

the arms 

they fall i

body. So t

Construct

golden  re

measurem

the nipple

elbow. 

     

ad, and the “

his  only  acco

on the body 

umbers, and 

 

 solution’s “M

of  body  par

ing  the  over

s as follows : 

t of  the bodi

rt with a squa

s  to be chose

uares,  say  sq

c construct, a

a golden mea

e head)  to cr

efore is not a 

are held perp

nto the great

the groin squ

t golden recta

ectangle and 

ments produc

es in males, b

“common” ed

ounts  for  th

are accounte

therefore an 

Modulor syste

rts.  The  solut

rall  geometri

ly positions a

are. The squa

en, since  it  is

uare abcd  is

and therefore

n). If the squa

reate golden 

prime square

pendicular to 

t circle and th

are appears t

angles on all f

continue  the

ced account f

but center of 

dge of the tw

eir  vertical  p

ed for second

rather arbitr

em”, so to sa

tion  to  defin

c  construct, 

and measure

are surroundi

  the smallest

s  chosen,  the

e produce no 

are above the

means,  then

e to choose. T

the body or 

he navel beco

to be the mos

four sides of 

em  to  the ed

for the vertic

the breasts in

wo squares p

positions  and

arily by eithe

rary means of

ay, has to be 

ning  the  less

as  it  follows

ments must 

ng the groin

t square  that

en  the  constr

new results.

e head is cho

  the geomet

The groin so 

lower. If the 

omes the cen

st logical choi

the groin squ

dges of  the g

al height of t

n adult femal

 

rovides the p

d  not  their 

er squaring or

f accounting 

able to provi

er  anthropom

s  an  identica

be defined b

(henceforth 

t  lies within  t

ruction proce

(Since square

sen (in the re

tries will  lie o

happens to b

arms are hig

nter, thus pro

ice.  

uare. Then ta

great  square, 

the knees and

les), as well a

position of th

horizontal  po

r producing th

for these pos

de both hori

metrics  are  j

al means  of 

by a golden m

will be referr

the human b

ess will only 

e abcd create

egion created

outside  the st

be the center

her than the 

oducing geom

ke the edges 

therefore  cr

d the center 

as the horizon

he belly butto

ositions.  All 

he golden me

sitions. (See F

zontal and ve

just  as  elega

construction

mean,  the so

red to as the 

body.  If one o

repeat  the o

es the groin s

d by the arm r

tatic human 

r of the body 

shoulder line

metries outsid

produced by

reating a grid

of the breast

ntal position o

on. Of 

other 

ean of 

Figure 

ertical 

ant  as 

n.  The 

lution 

groin 

of  the 

overall 

quare 

raised 

body, 

when 

e then 

de the 

y each 

d. The 

ts (i.e. 

of the 

 

The next s

the groin 

just  the  s

account f

the femu

offset fro

     

Again, the

for  the  ve

sternum),

     

The  same

centerline

palm. Doi

meet the 

smallest squa

square – is th

same manne

or the vertica

r) and the po

m the nose (i

e next smalle

ertical positio

, and the hori

e  constructio

e of the arms

ing  this once

palm. 

are – that is, o

hen used to p

r  as  in  the  p

al height of th

osition of the

.e. the outer 

st square the

on of  the mo

izontal positio

n  repeated  f

s and the heig

 more will ac

one of the sm

produce four 

previous  step

he groin (i.e. 

 collar bone, 

edge of the e

en produces f

outh  and  the

on of the wris

for  the next 

ght of the eye

ccount  for  th

maller squares

golden mean

p  illustrated 

the height of

as well as th

eye).  

 

four golden m

e  trough of  t

st. 

 

smallest  squ

es, as well as

he horizontal 

s produced by

ns on each sid

above.  The 

f the pubic tr

he horizontal 

means. The m

he breastplat

are  accounts

 the horizont

location of  t

y squaring th

de of the squa

measuremen

iangle and th

position  in w

measurements

te’s  center  (

s  for  the  vert

tal position o

the moment 

e golden mea

are. This is do

nts  produced

he fulcrum po

which the eye

s created acc

i.e. bottom o

tical height o

f the center o

where  the  fi

ans of 

one in 

  here 

oint of 

es are 

 

counts 

of  the 

 

of  the 

of the 

ingers 

     

This is, of 

the  golde

iterative 

measurem

accounts 

earlobe. T

vertical an

the Modu

construct

     

Now, Le C

measurem

product d

                  5 Ibid., p. 8

course, an it

en means  the

process,  any

ment or posit

for every hum

The asymptot

nd horizontal

ular to accoun

.  

Corbusier wit

ments  for  the

design, and an

                       85 ‐ 87, Figures

terative const

e  asymptote 

y  square  on 

tion.   Specula

man measure

tic grid forme

 Modulor me

nt for horizon

th him Modu

e  human  bod

nything with 

                    33 – 35. 

truction with 

approaches 

any  side  of 

ative, though 

ement from t

ed here echoe

easurements 

ntal bodily m

ulor System, a

dy  for  applic

ergonomic ap

 

no end. Logic

the  opposing

any  square 

most probab

the length of 

es a similar g

of the human

measurements

 

and even Alb

cation  in  the 

pplications. S

cally, because

g  vertex  of  t

can  be  cho

bly, this asym

f the small int

grid Le Corbus

n. 5 Albeit, his

s, and  it  is no

brecht Dürer 

visual  arts, 

So as a final n

e of the cont

the  square. A

osen  to  crea

mptotic grid o

testines to th

sier construc

s is ad hoc an

ot constructe

before him, 

furniture  de

note to Le Co

inuous squar

And,  since  it 

te  another  b

of anthropom

he thickness o

ted to devise

nd is trying to 

d from the o

devised num

sign,  archite

rbusier’s Mod

 

ring of 

is  an 

bodily 

metrics 

of the 

e both 

 force 

overall 

merical 

cture, 

dulor, 

we do not wish to correct his Modulor values. The reasons for not doing so have nothing to do with the 

math and tedious calculations. Rather we object to his value system altogether for democratic reasons. 

The values derived from the Modulor only correspond to the ideal male, who is six feet in height. It must 

be stressed that the  ideal male height  is different from the average male height. Since Le Corbusier  is 

French, the average male height  is 5 foot 9 ½  inches. He got the  idea to use the six foot tall man from 

English detective novels, in which the good looking man is always six feet tall. But in England the average 

man is 5 foot 9 inches tall.6 In the States the average Caucasian man is 5 foot 9 ½ inches tall.7 Clearly his 

anthropometrics  are  ideal,  rather  than  average.  Additionally,  his  anthropometric  values  are  not  in 

harmony for someone that is neither average nor ideal in height. Obviously, a house built for an average 

man  is not  in anthropometric accordance with the Modular, and therefore out of harmony. Finally, his 

system  could  be  deemed  sexist,  as  it  does  not  account  for  women,  whose  proportions  and 

anthropometrics are slightly different from a man (for instance, the hips and breasts). The very fact that 

Vitruvius’s description has always been referred to as the “Vitruvian Man” has been played upon with 

Vitruvian Woman in the Feminist movement; most notable is the Vitruvian Woman by Susan Dorothea 

White, as well as one by Nat Krate. 

One can see the can of worms that would be opened here in trying to accurately and equally account for 

the  vast  amount  of  variations  of  human  proportions  and measurements  in  all  cultures,  races,  age 

ranges, and the sexes. We will leave that for the ergonomists.  

But then again, when Le Corbusier devised his Modulor System he rounded off the numbers so that they 

may be feasibly  implemented for practical purposes. No contractor would ever try to make a concrete 

wall exactly 1.61803399… meters long. In this sense, we were being misleading when we said we would 

“correct” Le Corbusier’s Modulor. Really, we are just providing the most accurate means for creating the 

Modulor. There really is nothing wrong with the values of Modulor, except that they are only for a six‐

foot tall man. And in reality Le Corbusier did not devise his Modulor values from his anthropo‐geometry, 

but  rather  from  some basic numbers,  such as  the height of  the head,  the navel, and  the arm  raised 

above  the head. He  then  took  these numbers and either  squared  them, or produced a golden mean 

from them. In short, his values would actually be identical to the numbers of our geometry. 

Geometry and Metrics of the Great Circle 

Another significant problem with the Vitruvian Man is the great circle8. We have been assuming thus far 

that  it  is  simply  there because Vitruvius  said  so. Nowhere  in did  the  geometric  construct  say  to us  : 

“Hereupon thou shalt place thy circle, and it shall be ye radius.” (Point in fact the construct says that wu 

                                                            6 National Center for Social Research. Health Survey for England 2008. United Kingdom : National Center for Social Research. 2009. 7 National Center for Health Statistics. Anthropometric Reference Data for Children and Adults : United States 2003 – 2006, Number 10, October 22, 2008. Hayattsville, Maryland : National Center for Health Statics. 2008. 8 The term “great circle” will be used to refer to the circle created from the arms raised above the head and whose center is the navel. The same will apply for the “great square”, in which the width is created from the horizontal span  of  the  arms  (negating  the  vertical  height)  and  the  vertical  position  of  the  feet  (negating  the  horizontal position). It is these specific geometries and their specific relation to the human body that is important, for, as we will see in the discussion on dynamic anthropometrics, that the great square and circle will change sizes, but still maintain a certain relation to the human body. 

will  be  th

geometry

much is t

has alread

construct 

circumfer

upraised. 

these que

nature de

kingdom. 

The  term 

which wil

will  refer 

ground  in

from  the 

accordanc

In  order  t

Vitruvius,

Agrippa, C

these  ind

originally 

First  let u

Occult  Ph

geometrie

drawing s

that Di Vi

are alchem

with  som

geometrie

   Plate 1  

                  9 Agrippa, 

he  radius).  B

y? Where doe

hat extra len

dy been acco

(that  is,  so

rence  is  tange

In  this  sense

estions we wi

esigns  in dyn

“static huma

l satisfy vertic

to  the  static

n order to cre

static  positi

ce with the gr

to  further  ad

 Da Vinci, an

Cesare Cesar

dividuals  we 

assumed (we

us  look at the

hilosophy  Ag

es.9 It seems 

style does not

nci’s Vitruvia

mal symbols 

e  science be

es. Here are t

 

                       Heinrich Corne

But  where  do

es the extra w

gth? These m

ounted for. Ha

  to  say,  the

ential  to  the 

e  the circle h

ill demonstra

namics.  The  f

an” would be

cal anthropom

c human as a

eate the squa

ion,  or  the  l

reat circle. Th

ddress  this  p

nd Le Corbusi

iano, and Alb

will  find  tha

e will reveal D

e  former, the

rippa  produc

easy for us to

t look propor

n Man is only

inscribed abo

hind  it. But a

the six plates 

         

                   elius. De Occul

oes  it  come 

width on eith

may seem like

asn’t it? We e

  “center  of 

bottom of  t

has been acco

te that the g

fact  that natu

e assumed  to

metrics, but n

a person with

are. Therefor

egs  are  swu

his may alread

roblem  it  is 

er had to say

brecht Dürer

at  there  is  m

Da Vinci’s secr

e alchemist an

ced  six  plate

o dismiss his d

rtionate or as

y a sketch). O

out the huma

as we will pr

he produced

     Plate 2

ta Philosophia

from?  How 

her flank of th

e trivial quest

established th

inertia”),  an

the  feet and 

ounted  for v

eometries of

ure  designs  i

o mean a per

not horizonta

h  their arms 

e any  instanc

ng  outwards

dy be obvious

important  to

y on the mat

.  In examinin

more  informa

rets as we pro

nd philosoph

es  that  diag

drawings of t

s well drawn 

Or we might w

an figure, and

rove Agrippa’

 : 

 

Libri Tres. Boo

is  it  created

he square fro

tions. It may 

hat the nave

nd  therefore 

the  tips of  t

ertically and 

f nature are n

in dynamics 

rson standing

al. Although t

held outrigh

ce  in which t

s  new  geome

s with Da Vin

o  consider w

tter. Of partic

ng  the Vitruv

ation  embed

ogress). 

her Cornelius 

grammatically

he human ge

at Di Vinci’s s

want to dismi

d we know al

’s diagrams a

   

ok II, Chapter X

d  from  the  re

om the circle

be argued th

l is the cente

we  can  dra

the  fingers w

not horizont

not designed 

is  rather  crit

g with  their a

his is comple

ht and  the  fe

the arms are 

etries  are  cr

ci’s sketch. 

hat  other  int

cular  importa

ian Canon of

dded  in  Di  V

Agrippa.  In h

y  describe  th

eometries bec

sketch (and it

iss these for t

lchemy to be

are  in accord

Plate 3 

XXVII. 1533. 

est  of  the  h

e come from?

hat the great 

er of the geom

aw  a  circle  w

when  the arm

tally.  In answ

in statics, bu

tical  to  the  a

arms at  their

tely legitimat

eet are  flat o

raised or  low

reated  that  a

tellectuals  be

ance are Cor

f Proportions

Vinci’s  sketch 

his Three Boo

he  overall  h

cause his Med

t must be str

the fact that

 a lot of myst

dance with h

uman 

? How 

circle 

metric 

whose 

ms are 

wering 

t that 

animal 

r side, 

te, we 

on  the 

wered 

are  in 

esides 

nelius 

  from 

  than 

oks of 

uman 

dieval 

ressed 

there 

ticism 

uman 

  Plate 4   

Plates 1  ‐

that the n

stance the

represent

inscribed 

arm  span

illustrates

circle, wh

the cente

new featu

the vertic

still  the c

navel  lies 

the  same

geometric

Plates 5 a

in accorda

smaller th

rather tha

Let us see

geometry

1521, twe

Vitruvian 

that at so

square ca

circle : 

 

‐3  illustrate  t

navel  is the c

e body is insc

ts the full hei

in square  (th

n  is  equal  to 

s that when t

ich, in this ill

er of the body

ure : when th

cal centerline 

enter of  the 

on the cente

e  geometry  i

c construct of

and 6 illustrat

ance with ano

han the great

an an actual h

e how Plate 5

y  is  proposed

elve years bef

Canon of Pr

ome point a h

an be placed 

         

three aspects

center of the 

cribed in a cir

ght of the ar

he great squa

the  human 

he arms are 

ustration, the

y. Plate 4 dem

e arms are ra

of the body,

body. There

erline of the 

n  his  sketch

f the human b

te something 

other square 

 square; as w

human geome

5 works first.

d  by  Cesare  C

fore Agrippa’

oportions  the

uman can rai

within the g

     Plate 5

s of  the hum

body when t

rcle (the grea

rms raised ab

are) when  th

height;  in  th

raised to the

e circle can b

monstrates t

aise above th

, the human 

fore, Plate 4

legs,  i.e. the 

  of  the  Vitru

body we have

that seems r

formed by th

well as the pe

etry. 

. Agrippa  is n

Cesariano  in 

s De Occulta.

e  following a

ise the arms 

reat circle, an

 

an geometry

the arms are

t circle to be 

bove the head

e arms are h

his  stance  the

ir full height 

be inscribed in

he same geo

e shoulders a

is still inscrib

illustrates  th

legs appear 

uvian Man.  T

e proposed ab

rather forced,

he arms and l

ntagram. The

not the only o

his  Italian  tr

. Of the two w

appears  to ha

and legs to so

nd the squar

   

y we already 

e raised above

 exact). The c

d. Plate 2 illu

held perpend

e  groin  is  th

above the he

nside of a squ

ometric conse

and the feet a

bed in the sam

hat when  the

to hinge upo

Therefore  al

bove. 

, as if the hum

egs as diagon

e latter may s

one to propo

ranslation  of

woodcuts Ces

ave  some geo

ome specific 

re’s corners  l

 Plate 6 

understand. 

e the should

circle above t

strates that t

icular  to  the 

he  center  of 

ead the body

uare; in this s

equences as P

are swung ou

me great circ

e  legs are sw

on the navel. 

l  these  plate

man body co

nals, which m

seem more m

ose this geom

f  Vitruvius’s D

sariano illustr

ometric  logic

and respectiv

ie on the circ

Plate 1  illust

er  line, and  i

the head in P

the human bo

body, so  tha

the  body.  Pl

y fits into the 

stance the na

Plate 1, but w

utwards away

le and the na

wung outward

Di Vinci  illust

es  logically  f

uld not actua

means this squ

mystically cont

metry, as the 

De  Architectu

rates depictin

c within  it, na

ve height so t

cumference o

trates 

n this 

Plate 1 

ody is 

at  the 

late  3 

great 

avel is 

with a 

y from 

avel is 

ds  the 

trates 

it  the 

ally be 

uare is 

trived 

same 

ura  in 

ng the 

amely 

that a 

of the 

Ceasiano’

circle we 

therefore

the navel 

still be the

Logically, 

square in 

illustrate 

in relation

If the pro

only the g

great circ

Actually, 

great squ

generated

applies.  T

complete

on the gr

are the sh

orientatio

respective

Let’s see h

and when

generated

s woodcut e

are concerne

, the distance

to the cente

e center of th

if the  legs ar

accordance w

how the grea

n to the great

ocess starts w

great square 

le is generate

any moment

are no  long 

d. But certain

This  occurs  ro

ly upright the

eat circle’s c

houlder’s bre

on) cannot be

ely, if they do

how this wor

n  they  are  r

d. 

stablishes  th

ed with. When

e from the na

r of the feet. 

he body due t

re swung out

with the legs.

at square cha

t circle, and v

with a static h

is generated

ed and square

t  in which  th

applies.  It  is 

nly there com

oughly when

en this is the 

ircumference

adth apart. In

e determined

o not share th

ks. So when t

aised  to  the 

e navel as  th

n the legs sw

avel to the tip

So, even tho

to the limbs’ 

twards within

. This can be d

anges position

ice versa. 

human,  i.e. a 

. But  if only 

e no longer ap

e arms are  r

when  the ar

mes a point w

  the  arms  ar

height of the

e because the

n other word

d by points R

he same posit

the arms are 

height  of  th

he center,  the

ing outwards

ps of the finge

ough the nave

relationship t

n the great ci

demonstrate

n and size wh

human with

the arms are

pplies.  

aised more  t

rms are at he

hen the arms

re  raised  alm

e crest of the

e crest of a c

s, the tangen

R and L, whic

ion on the cir

perpendicula

he  head  the 

 

erefore  the c

s they always 

ers will alway

el will not be 

to the circle (

rcle, then the

d through a s

hen the arms 

  its arms rais

e raised to th

than exactly 

ead height or

s are raised s

most  straight 

e great circle.

circle cannot 

ntial crest of c

ch could be d

rcumference 

ar to the body

square  no  a

circle present

lay within th

ys be equal to

the center of

(i.e. their equ

e arms can b

series of itera

 and legs are

sed perpendi

he height of t

perpendicula

r higher  that 

o high that th

up. Once  th

 Here the fin

lie  in two dif

circle (assum

denoted by  r

of the circle. 

y the great sq

applies  and  t

t here  is  the 

e great circle

o the distance

f the square, 

ual length / ra

be raised to fo

ative diagram

e raised or low

icular to the 

the head, the

ar  to  the bod

the great cir

he circle no l

e  arms  are  r

nger tips cann

fferent point

ing some arb

right and  left 

quare is gener

the  great  cir

great 

e, and, 

e from 

it will 

adius). 

orm a 

s that 

wered 

body, 

en the 

dy  the 

rcle  is 

onger 

raised 

not be 

s that 

bitrary 

arms 

rated, 

rcle  is 

If the arm

regenerat

the huma

new squa

If the arm

the point 

the diago

with abso

sketch is 

legs  is vie

here to re

motion as

ms remain at h

ted. This is pr

an with the ar

re is smaller t

ms and legs ar

in which all f

nals of the sq

olute certainty

only the resu

ewed  in  reve

ealize that na

s well at a sta

head‐height a

recisely what 

rms raised to 

than the grea

re raised a lit

for corners o

quare are equ

y that the pe

ult of dynami

rse  then  the 

ture does des

tic stance.  

and the legs a

Da Vinci is de

head‐height 

at square of t

ttle bit more 

of the square 

ual to the dia

erceived error

c human geo

great square

sign in dynam

  

are swung ou

epicting in his

and the legs 

he static hum

  

the square w

will lay on th

ameter of the

r between th

ometries. If th

e naturally an

mics, and that

utwards to a c

s sketch : the 

 swung out. I

man. 

will become e

he circumfere

e circle. It can

e great squa

his iterative p

nd  logically  f

t nature wou

certain point 

static human

It is clear in t

even smaller. 

ence of the g

n therefore b

re and great 

process of rai

falls  into plac

ld account fo

 

then the squ

n superimpos

his stance tha

 

There then c

great circle, so

e established

circle in Da V

ising the arm

ce.  It  is quite

or its geometr

uare is 

ed on 

at the 

comes 

o that 

d here 

Vinci’s 

ms and 

 clear 

ries in 

It  is also 

Additiona

Dürer’s ill

  Al

Thus the 

held perp

center of 

the cente

the great 

can now b

not come

In order t

not  if  the

geometrie

head to t

circle. So 

                  10 Dürer, A

clear  that Ag

ally  this  is  co

ustration is W

lbrecht Dürer’s

square is at i

pendicular to 

the body. Lik

er of the squa

circle and sq

be understoo

 from a 0.6% 

to avoid conf

ey  are  natur

es of  the hum

he great squ

how can this

                       Albrect. Vier Bü

grippa’s huma

rroborated b

William Blake’

s “Proportion o

its maximum 

the body an

kewise, the sq

are shares th

uare did not 

od the reason

error by Le C

fusion  it mus

al  or  comfor

man body on

are  is not eq

 geometry be

                   ücher von Mens

an geometry 

by Albrecht D

’s watercolor

 of Man”

size when th

d the  legs ar

quare is at its

e same posit

overlap in th

n for this ove

Corbusier). 

t be noted h

rtable  to  per

ne  thing  that 

qual to the di

e possible? W

schlicher Propo

  

shown  in Pla

Dürer’s  interp

 Glad Day (17

  

he human ass

e not swung 

 minimum siz

tion as the ce

e first place t

rlap, as natu

ere that thes

rform  is  ano

may be not

stance from 

Would not the

ortion. Nüremb

ate 5 and Ce

pretation of  t

794). 

William Bl

sumes the sta

outwards; as

ze when the a

enter of the c

that this prob

re designs in 

se geometrie

other matter.

iced  is  that  t

the humeral

e arm arc out

berg. 1528. 

esariano’s wo

the Vitruvian

lake’s “Glad Da

atic stance, w

s well as whe

arms are legs

circle (the na

blem wouldn’

motion (and

es are possibl

.  If  we  are  t

the distance 

head to the 

tside of the gr

 

oodcut are co

 Man.10  Simi

 ay” 

when the arm

en the groin 

s are raised so

vel). It seems

’t exist at all. 

d that motion

le, but wheth

trying  to ma

from  the hu

crest of the 

reat circle at 

orrect. 

lar  to 

ms are 

is the 

o that 

s as  if 

But it 

n does 

her or 

p  the 

meral 

great 

some 

point? Alt

the shoul

head of th

is higher, 

then a hu

Primates 

This  imag

depiction

represent

the heigh

with arms

referred  t

and there

orthogona

position  i

Saint Pete

fashion  th

much the

Cr

Ra

Before m

nature  of

establishe

fit into th

from the 

with what

fails to do

sketch  :  n

though this  is

der  is not a f

he humerus h

and when th

uman (and all

would certain

ge  of  the  ar

s of  the Vitr

tation during 

ht of  the hea

s at head‐heig

to as a “salti

efore the legs

ally; or the b

n which  the 

er, Jesus, Sain

he Vitruvian 

 same canon,

rucifixion 

affaello Sanzio

oving forwar

f  the  extra 

ed that the ci

e human geo

asymptotic g

t we have be

o so. Here we

notice  that  D

s true, we mu

fixed point th

has flexibility 

e arm is dow

l primates) w

nly have had 

m  upraised 

uvian Man,  t

the Middle A

d. The Talism

ght. Saint And

re”. Depictio

s are parted i

beams of the 

square  is  ful

nt Andrew, O

Canon.  Imag

, albeit not al

      

o (1503 CE)  

ds and analy

lengths  flank

rcle is the res

ometry and ca

rid, or a varia

en working w

e will look at a

Da  Vinci  plac

ust stress tha

hat the arm s

in its positio

wn the head o

would not be 

a hard time c

above  the  s

the  same  sta

Ages and the 

man of Orphe

drew was cru

ns of his cru

in accordance

cross do  inte

ly  inscribed w

Orpheus / Bac

ges and  statu

l these cultur

Talisman

3rd Centu

zing Agrippa’

king  outside 

sult of dynam

an be account

ation from it)

with so far the

another little

ces  lines  at  s

at nature des

swings around

n. So when th

of the humeru

able to  lift th

climbing arou

houlder  line 

ance  is  in  eve

Proto‐Renais

eus  from  the

cified on crux

cifixions assu

e with the an

ersect orthog

within  the gr

cchus, Mithra

ues of Hindu 

res were fami

n of Orpheus

ury CE 

’s human and

of  the  body

mic anthropom

ted for in som

. If these dim

en there wou

 key to the h

several  key  b

signs  in motio

d about. Bec

he arm is upr

us is lower. If 

he arms abov

nd in the tree

  is  really  no

ery  crucifixio

ssance depicts

e 3rd Century

x decussata, o

ume either  th

ngle of the cr

gonally (at a 9

reat circle. Bu

a, Krishna, et 

deities with 

iliar with Vitr

   C

  1

d the pentacl

y  created  by

metrics. But t

me manner by

mensions of th

uld be no prob

uman geome

bodily mome

on and not st

ause of the s

raised the he

f the shoulder

ve the head (

es. 

othing  new. 

on  ever  seen.

s Christ with 

BCE depicts 

or X‐shaped c

he arms  raise

ross, which w

90° angle) an

ut whether  th

cetera, they 

multiple arm

uvius. 

Crucifixion of Sa

14th Century CE

le we need to

y  the  circle. 

the extra leng

y our proport

he circle could

blem, but ou

etry that Da V

ents,  and  no

tatics. The he

shoulder blad

ad of the sho

r was a fixed 

at  least no e

Aside  from 

.  The most  t

the arms rais

Orpheus cru

cross, but com

ed  to head‐h

would not inte

nd he assume

he crucifixion

all depict in 

ms and  legs d

aint Andrew

E 

o fully addres

It  has  now 

gth must som

tioning system

d be accounte

r proposed sy

Vinci gives us 

tice  the  dist

ead of 

de the 

oulder 

hinge 

asily). 

literal 

ypical 

sed to 

ucified 

mmon 

eight, 

ersect 

es the 

n  is of 

some 

depict 

ss the 

been 

mehow 

m (i.e. 

ed for 

ystem 

in his 

ances 

between 

Da Vinci is

divide the

Da Vinci i

height),  a

seems rig

noticed e

then agai

geometric

great circ

be illustra

the great 

geometry

            Breadt

Is this nec

their hypo

and respe

distance b

them. Althou

s illustrating i

e human in th

llustrates tha

and  therefore

ght on par, it 

arlier  in the a

n his drawing

c construct is

le is half the 

ated that leng

circle and  th

y (that is of th

th of Shoulders

cessarily so? 

otenuses hor

ectively, then 

between the 

ugh these line

is the proport

he square into

at this extra w

e  its  dimensi

is actually in 

anthropomet

g is only sketc

 revisited we

breadth of th

gth x is half t

hat  the  two a

e square insc

s = Extra Length

Indeed  it  is. 

izontally divid

the vertical d

two the corre

es do not alw

tions of squa

o fourths and

width created

on  is  half  th

error by 5.6%

tric grid that 

ch and is mea

 discover tha

he shoulders 

he breadth o

are equal. As

cribing the gre

h of Circle

If two simila

de the great 

distance betw

esponding 45

ays align with

res that prop

eighths. 

 

d by great cir

e  breadth  of

% of being on

some of the 

ant to explore

t Da Vinci is s

in the geome

of the shoulde

s a conseque

eat circle) is 4

    Leng

r 45  ‐ 45 righ

square and t

ween the two

5° vertices. Th

h the anthrop

portionally en

rcle is one eig

f  the  shoulde

ne eighth of t

lines do not 

e an idea, not

somewhat co

etric construc

ers, as well a

nce of  this g

4ϕ2. 

gth AB = x 

ht triangles a

he square ins

o hypotenuses

his is true for

pometric‐asy

large from th

ghth of the a

er. Although 

he arm span.

align with D

t to finalize it

orrect : the ex

ct proposed e

s the extra le

geometry,  the

are constructe

scribing the g

s will be equa

r all similar sq

mptotic grid,

he head in ord

 

rms span (or

in  his  sketc

. It may have

a Vinci’s  line

t. But if the o

xtra breadth o

earlier. Here 

ength produc

e  final area o

 

ed so that ea

great circle eq

al to the horiz

quares that sh

 what 

der to 

r body 

h  this 

 been 

s, but 

overall 

of the 

it can 

ced by 

of  this 

ach of 

qually 

zontal 

hare a 

common 

and proof

It can the

groin,  and

motion. A

in  size. Co

finally the

asymptot

So as the 

centers u

point  that

Agrippa  : 

degree  th

featured 

Technical 

and the u

The quest

circle,  a  c

smaller ci

To consid

are  const

pentagram

the penta

accordanc

must lay o

placemen

edge, and up

f is rather spe

en be establis

d  the  conseq

As the arms ri

onsequently 

e two centers

ic grid can ac

arms raise hi

nite at  the n

t  the circle’s 

that  if  the a

he  human w

in Robert Flu

History of th

niverse as a m

tion at hand i

circle whose 

rcle with the 

er if this geo

tants.  First,  t

m (point o). S

agram, and  t

ce with the g

on the circum

nt of the pent

pon that com

ecial. 

shed here the

quences  of  th

se above the 

as  this happ

s share the sa

count for this

igher and the

navel. Can  the

center  lays u

arms are  low

ill  rest  upon 

udd’s alchem

he Two World

macrocosm o

  Des

is : does this 

center  is  at 

groin as the c

ometry is eve

he  crown  of 

Second, the  l

herefore a  co

geometries es

mference of th

agram will ap

mon edge a c

e relationship

he  great  squ

shoulder line

pens  the  cent

ame position.

s extra length

e legs swing m

e  same be  tr

upon  the cen

ered  to a  ce

a  pentagram

al and occult

ds, published 

f man. 

stiny by Robert

really work? 

the navel. H

center? 

n correct it m

the  head  is 

egs can be sw

onstant.  In o

stablished abo

he great circle

ppear as such

common mid

p between th

are  in  relatio

e and the legs

ter of  the  sq

We will acco

h created by t

more outward

rue  for  the c

nter of  the g

rtain degree 

m, with  the 

t philosophic

in 1617, dep

t Fludd (1617)

As the legs sw

ow,  then,  ca

must first be 

constant,  as

wung outwar

order  for  two

ove, these tw

e (points m a

 : 

dpoint. But in 

e two bodily

on  to  the  gre

s are swung o

uare  approa

ount more ful

the great circ

d the square 

ircle? Can  th

roin? This  is 

and  the  legs

groin  as  the

cal  treatise Th

picting man a

wing outward

an  the  legs  sw

established w

s  this  is  the  v

rds  in order t

o  lower  vertic

wo vertices (i.

and n). Given 

the human g

y centers,  i.e. 

eat  circle wh

outwards the 

ches  the  cen

lly on how th

le shortly. 

diminishes in

he circle dimi

what  is depi

s  swung outw

  center.  A  s

The Metaphys

s a microcos

ds they alway

wing outwar

which points 

vertex  of  the

to create two

ces of  the pe

.e. the placem

these three p

geometry this

the navel an

hen  the  body

square dimin

nter of  circle,

e anthropom

n size until th

nish  in  size  t

icted  in Plate

wards  to a  ce

imilar  depict

sical, Physical

m of the univ

ys fall on the 

d  and  lie wit

on the penta

e  top point  o

o  lower vertic

entagram  to 

ment of each

points the siz

s case 

nd the 

y  is  in 

nishes 

, until 

metric‐

e two 

to  the 

e 6 by 

ertain 

ion  is 

l, and 

verse, 

great 

thin  a 

agram 

of  the 

ces of 

be  in 

 foot) 

ze and 

     

As can be

the great 

x) of the p

in which t

0.087%  o

remembe

this neglig

with the g

Corbusier

nature  of

further, p

Although 

pentagram

because t

the cente

the groin 

without e

1/64 of th

in that cas

Of  all  geo

pentagram

considere

pentagram

pentagram

the exact 

e seen, the tr

circle. But so

pentagram se

the hand raise

of  the  great 

er that the sh

gible error. W

geometry of 

r did and crea

f  the  flexibili

ossibly in a fu

this  is possib

m is nonethel

the circle insc

r of the body

(point B). Of

error  in  the s

he human hei

se the human

ometries  the

m and see a h

ed  a  humani

m  have  any 

m is a corolla

same propor

rough of the 

omething app

eems to align

ed to the heig

circle’s  radiu

houlder  is a fl

We can  there

the pentagra

ate excuses  f

ty  of  the  sh

uture paper. 

ble, Agrippa’s

less wrong fo

cribing the pe

y in this stanc

f course we 

tudy or  lab o

ght lower tha

n would not t

The H

e  pentagram 

head, arms, le

st  symbol,  a

further  impli

ry to the crea

rtioning syste

circle that  ins

pears to work

n at the inters

ght of the he

us.  Although 

lexible mome

efore establis

am. Although

for  this mild 

oulder  blade

s and Fludd’s 

or one reason

entagram exc

ce is actually a

can  imagine 

of a 16th Cent

an the groin i

ake on the fo

Human Geom

is  the  only  o

egs, arm pits,

an  esoteric  g

cations  towa

ation of the h

m as the asym

 

scribes the p

k in this insta

section of the

ad. Though t

there  is  a  v

ent  in the bo

h  that  it  is p

h this  is a neg

error. There 

e with  human

depictions o

 : the groin is

eeds the bou

about 1/64 o

that  these g

tury alchemis

s easily corre

orm of a pent

metries and th

one  that  is  a

, a groin, and 

geometry  th

ards  the  hum

human geome

mptotic‐anth

pentagram  lie

ance, as the le

e great squar

his may seem

ery  small  err

dy, so the ar

possible  for  th

gligible error 

could be som

n  geometries

of the Vitruvia

s not the cent

undaries of th

f the body’s h

geometries w

st. Of course

ected by not e

agram. 

he Pentagram

anthropomor

 a torso. Mys

hat  represent

man  geometry

etric construc

ropometric g

es outside the

eft and right 

re and circle (

m trivial, it is a

ror  in  this  g

rms can easily

he human  to

we do not w

mething mor

s,  and we w

an Man  in ac

ter of the bod

he great squa

height lower 

would appear 

e,  the center 

extending the

m 

rphic. We  ca

stically the pe

ts  the  huma

y?  Indeed  it 

ct described a

grid. 

e circumferen

vertices (i.e. 

(point z), the 

actually in err

eometry we 

y adjust to co

o be  in accord

wish to do wh

re profound  t

will  investigate

ccordance wit

dy (point A). T

re. The posit

than the cen

to be perfec

of  the body 

e legs outward

n  easily  look

entagram has

an.  But  could

does.  In  fac

above, as it fo

nce of 

point 

point 

ror by 

must 

orrect 

dance 

hat Le 

to the 

e  this 

th the 

This is 

ion of 

nter of 

ct and 

being 

d. But 

k  at  a 

s been 

d  the 

t,  the 

ollows 

It is alread

A and C a

therefore

that line A

In  looking

means  in 

golden m

on two ax

It appears

two adjac

where are

to be  a b

possibility

but it mus

If we take

line br is 

Then  line 

aefd from

of the pen

dy well know

are segmente

  line AC = ϕ.

AC = ϕ –φ and

g  at  this  geo

the  same m

ean ACD, so t

xes into golde

s that the me

cent squares 

e the other v

bit of  a  riddle

y of the two 

st be noted th

e a pentagram

drawn so tha

ab  is square

m square abcd

ntagram, so t

wn that the pe

ed  into a gold

. Likewise  lin

d line CD = φ,

metry  some 

manner descri

that squares A

en means. Sou

eans to create

from a golde

ertices? Whe

e, but  the ot

adjacent squ

hat there are 

m with a point

at br is perpe

ed  in order  to

d. In the cons

hat points e, 

entagram has

den mean by

e AD  is segm

, and therefo

things  can  r

ibed above. 

ACFE and BD

und familiar?

e the human 

en mean pro

ere is the oth

ther  vertices 

ares and the 

a few other p

t a and a poin

ndicular to li

o create a sq

struction of g

f, and q all la

s golden mea

y point B, so 

mented  into a

re line AD = ϕ

eadily be  est

In  this  respe

HG will be eq

 

geometry (th

oblem)  is  inhe

er square, so

are on  the p

golden mea

possibilities.

nt r as two ne

ne ab, so tha

quare abcd  (F

golden rectan

y on the sam

n properties.

that  line AB

a golden mea

ϕ. 

tablished  :  li

ct  the  square

qual. In this in

 

hat is our pro

erently embe

o that this is t

pentagram. W

n and their r

eighboring ve

at points b, c,

Figure  I). Nex

ngle aefd the 

me line (Figure

. For instance

B = ϕ – φ and

an by point C

nes ABC  and

e of  line ABC

nstance squar

oposal to corr

edded  into  th

two adjacent 

We will now 

relationships 

ertices on the

, and r all lay

xt construct a

line ef is alig

e II). 

e, the line seg

d  line BC = φ

C, so consequ

 

d   ACD  are  g

C will produc

re ACFE is bis

rect Le Corbu

he pentagram

squares? It s

demonstrate

to the penta

e pentagram, 

y on the same

a golden rect

gned with ver

gment 

φ, and 

uently  

golden 

ce  the 

sected 

usier’s 

m. But 

seems 

e one 

gram, 

and a 

e line. 

tangle 

rtex q 

  Fi

Following

aegi, whi

lines  bh  a

rectangle 

points j, k

the penta

Fi

Finally the

Therefore

of forming

as was es

with the a

  Fi

igure I   

g the process 

ch is segmen

and  df  are  e

ajki from sq

k, and s all lay

agram (Figure

igure III  

e original squ

e squares aeg

g the two squ

tablished abo

anthropomet

igure V  

   

established e

ted  into two 

equal  (Figure

uare aegi, so

y on the sam

e IV). Therefor

   

uare is double

gi = bjkh = elm

uares from th

ove. This is a 

ric‐asymptoti

   

 

earlier, squar

golden mean

e  III).  Still  fol

o that  line jk

e line. It can 

re squares ae

 

ed, that is sq

mg (Figure V)

he golden me

critical meas

ic grid.  

   Figur

re the golden

ns on two pe

lowing  the  e

are aligned w

therefore be

egi and bjkh a

   Figur

uare line eg,

). We have ch

an for a reas

urement in o

   Figur

re II 

n rectangle ae

erpendicular a

exact  same  p

with the vert

e established 

are equal. 

re IV 

 which lies u

hosen to dem

on : if length 

order for the 

re VI 

efd  in order t

axes by lines 

process,  then

tex s on the p

that line ks i

pon vertex l 

monstrate thi

al is ϕ ‐ φ, th

pentagram to

 

to create a s

bh and df, in

n  render  a  g

pentagram,  in

s the centerl

 

of the penta

s particular m

hen length au

o be in accord

 

quare 

n that 

golden 

n that 

ine of 

gram. 

means 

u is ϕ, 

dance 

In Figure 

is ϕ. Ther

moved to

pentagram

Fi

Although 

does  not 

pentagram

pentagram

originally 

minimum

that lengt

Therefore

   

If  a  third

following 

adjacent 

equal to ϕ

(Figure XI

and D are

to pentag

divided by

VII if the leng

efore pentag

 the other sid

ms Y and Z ar

igure VII 

this  is  techn

do,  this  is  a

m was create

m that either

pentagram 

 number of p

th al is equal 

e it can be est

       Figure VIII 

  pentagram 

illustrates  th

squares geom

ϕ – φ, and p

), then the in

e proportiona

grams B, C, a

y ϕ). One can

gth of one line

ram X is crea

de of pentagr

re equal. 

nically disasse

actually  a  fo

ed and  then 

r  is enlarged 

are  used  to

points necess

to length rt, 

tablished that

   

is  added  tha

hat  fractalizin

metry  (Figure

pentagram C e

itial two‐squa

ately similar t

and D. This n

n easily see tw

e on pentagra

ted from pen

am X as pent

embling and 

rm  of  fracta

moved, both

by the golden

  construct  t

sary for proof

and that the 

t the followin

at  is  the  gol

ng pentagram

e X). Therefor

equals φ.  If t

ares‐by‐golde

to pentagram

new  two‐squa

wo‐squares BC

am Y is ϕ – φ,

ntagram Y via

tagram Z is in 

 

rearranging  t

lizing  the  pe

 are actually

n mean or di

he  new  pen

f. In the case

two line seg

ng Figures VIII

     Figure IX 

den mean  o

ms by  the gol

re  in Figure X

this process c

en‐mean no lo

ms A, B, and C

ares BCD  is d

CD’s relations

, then the len

 the golden m

relation to p

the geometr

entagram.  Alb

y  logical and 

iminished. In 

ntagram,  and

e of pentagra

ments are pa

I and IX of pe

of  one  of  the

lden mean a

X  if pentagra

continues and

onger apply. 

C then a smal

diminished  fr

ship to two‐s

ngth of one lin

mean. So if pe

pentagram X, 

ry,  something

beit  it  seems

legitimate m

both cases t

d  three  point

m Z  it can be

arallel in the p

ntagrams pai

e  other  pent

re  in accorda

m A  is ϕ,  the

d a  fourth pe

But, since the

ler two‐squa

rom  two‐squa

quares ABC a

ne of pentagr

entagram Y is

so that 

g we  argue n

s  that  the  sm

eans of creat

three points o

ts  is  typicall

e seen  in Figu

parallelogram

irs are true :

 

tagrams,  the

ance with  the

en pentagram

entagram  is a

e pentagrams

res can be ap

ares ABC by 

as a fractal. 

ram X 

s 

nature 

maller 

ting a 

of the 

y  the 

ure VI 

m altr. 

n  the 

e  two 

m B  is 

added 

s B, C, 

pplied 

φ  (or 

  Fi

If a fifth p

asymptot

  Fi

Since  it  c

proportio

pentagram

(Figure  X

numerous

For  instan

square th

width cre

lays upon

pentagram

length of 

finger  tip

vertical  ce

igure X   

pentagram E 

ic grid create

igure XII 

can  now  be 

ns  construed

ms  are  relate

XIV).  In  lookin

s anthropome

nce,  if  two ne

hat created th

ated by the g

 the vertical c

m A, then the

a  line segme

s  (line  ab).  P

enterline of  t

   

is added (Fig

d earlier (Fig

   

established  t

d  in  the  hum

ed  to  the  hu

ng  at  how  t

etrics can be 

eighboring ve

his geometry

great circle! (

centerline of 

e centerline o

ent from pent

Pentagram  C 

the whole ge

ure XII) then 

ure XIII). 

that  the  pro

man  body,  at 

uman  geome

the  pentagra

corroborated

ertices a and

), then vertex

(Finally!) Like

the whole ge

of pentagram

tagram B is e

is  the  golde

eometry, and

   Figur

a pattern em

     Figur

portions  of  a

this  point  it

etry,  particul

ms  relate  to

d, and some n

d b of pentag

x c of the pe

ewise, the cor

eometric cons

 B is aligned 

equal to the l

en mean  of  p

d  therefore  th

re XI 

merges, name

re XIII 

a  pentagram

t will  be  inte

arly  on  the 

o  the  geome

new ones can

gram A  lay on

entagram  is v

rresponding v

struct. If pent

with the sho

length of one

pentagram B,

he vertical  li

ely that this p

m  are  a  direc

eresting  to  se

anthropo‐ge

etric  construc

n be accounte

n  the  initial s

vertically align

vertex of c  is

tagram B is th

ulder line. Fu

e arm from th

,  and  its  cen

ne of  symme

 

process echoe

 

ct  corollary  t

ee  how  thes

eometric  con

ct  in  this  m

ed for.  

square  (that 

ned with the 

s d, and verte

he golden me

urthermore th

he shoulder t

nterline  is  als

etry  for  the w

es the 

o  the 

e  five 

struct 

anner 

is  the 

extra 

ex d  is 

ean of 

he full 

to the 

so  the 

whole 

body.  The

shoulders

also aligne

Thus  far 

meaningle

somethin

then the a

  Fi

Thus in co

squares g

square ge

approach

the fracta

other wor

e  full  length 

s. And so cen

ed with the s

 

is  seems  tha

ess and  just 

g on the bod

angle of axc i

igure XV 

omparing the 

eometry in Fi

eometries are

ing point x is 

alizing pentag

rds they both

of  one  of  t

terline of pe

houlder. 

           Figure XI

t  the point  i

sits  somewhe

dy? Indeed it 

s 36°, which i

   

angle of the 

igure VIII, it c

e approaching

54° (half the 

rams (36°) is 

h approach po

the  line  segm

ntagram E (t

IV 

n which  thes

ere  randomly

does. If the f

is also the int

approaching 

an be establi

g is also point

interior angle

complement

oint x at angle

ments  of  pen

he golden me

se diminishin

y on  the con

fractlizing pen

erior angle of

   Figur

pentagrams 

shed that the

 x. The angle 

e of a pentag

tary to the an

es that add up

ntagram  C  is

ean of the go

ng pentagram

struct. Or do

ntagrams con

f any pinnacle

re XVI 

towards poin

e point towar

in which the 

gon, or half of

gle of the fra

p to 90° (Figu

s  equal  to  th

olden mean o

 

ms  approach 

oes  length ax

ntinue ad infi

e on a pentag

nt x to their re

rds which the

fractalizing t

f 108°). There

actalizing two

ure XVII). 

he  breadth  o

of pentagram

(point  x)  is  r

x actually me

initum (Figure

gram (Figure 

 

espective two

 diminishing t

wo‐squares a

efore the angl

‐squares (54°

of  the 

m C)  is 

rather 

easure 

e XV), 

XVI).  

o‐

two‐

are 

le of 

°). In 

 

Placing  t

anthropo

Figure XIV

human he

of creatin

vertical m

So it seem

a half. It c

new mean

the cours

body and 

Figure X

the  fractalizi

metrics, but 

V  is  also  the 

eight (from h

ng  the anthro

measurements

ms we have co

can be easily s

ns of admirin

e of this essa

anthropome

XVII 

ing  pentagra

it does not a

height of  th

ead to toes),

opometric‐asy

s. And in Figu

Figure XVIII 

ome full‐circle

seen the beau

g the proport

y we have int

trics (both st

ams  as  the

account for ve

he human  (or

, and the frac

ymptotic grid

ure XVIII they 

e. Actually we

uty and wond

tions, geomet

tensely been 

atic and dyna

y  are  in  F

ertical measu

r  the  arm  sp

ctalizing pent

d,  then  the p

do so indeed

e have come 

der in nature’

tries, and me

studying vari

amic). A final 

Figure  XIV  o

urements. Co

an).  Since  th

tagrams are  i

entagrams sh

. 

more than fu

’s designs. It s

easurements 

ious geometr

aspect left to

 

only  accoun

onsequently t

he  length of a

in accordance

hould also be

 

ull‐circle; mor

seems as tho

of our own b

ries in relation

o admire is th

ts  for  horiz

the  length of 

ax  is equal  t

e with the pr

e able  to est

re like a circle

ugh we have 

odies. Throug

n to the huma

e numerics o

zontal 

ax  in 

to  the 

rocess 

ablish 

e and 

a 

ghout 

an 

of 

human pr

two‐squa

Fi

If this patt

H

φ

ϕ

φ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2ϕ

2ϕ

3ϕ

3ϕ

5ϕ

5ϕ

8ϕ

8ϕ

13

13

2

2

…

…

roportions in 

res‐by‐golden

igure XIX 

tern continue

orizontal Gro

φ 

ϕ ‐ φ   

φ  

ϕ ‐ φ   

ϕ ‐ φ 

ϕ   

ϕ 

ϕ ‐ φ   

ϕ – φ 

ϕ ‐ φ   

ϕ – φ 

ϕ ‐ 2φ  

ϕ ‐ 2φ 

ϕ ‐ 3φ  

ϕ ‐ 3φ 

3ϕ ‐ 5φ 

3ϕ ‐ 5φ 

1ϕ ‐ 8φ 

1ϕ ‐ 8φ 

… 

… et cetera 

accordance w

n‐mean geom

es then a rath

owth :   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

with the fract

metries the ra

her interestin

alizing two‐sq

te at which th

g curiosity oc

  Vert

  ϕ ‐ φ

  ϕ 

  2ϕ ‐

  3ϕ ‐

  5ϕ ‐

  8ϕ ‐

  13ϕ

  21ϕ

  34ϕ

quare geome

hey increase 

ccurs : 

ical Growth :

φ 

φ 

φ 

2φ 

3φ 

‐ 5φ 

‐ 8φ 

‐ 13φ 

etry. Starting w

can be seen i

 

 

with any of th

in Figure XIX.

he 

 

Horizontally the measurements are increasing by ϕ + n (where n is the previous value established by 

increasing by ϕ). Vertically they simply increase by ϕ, and therefore diminish by φ, or 1/ϕ. It is rather 

curious that in this numeric system the numbers multiplied with either ϕ or φ follows the Fibonacci 

series, in which when any of the numbers of the series is divided by the previous number then the 

values are ϕ, or 1.618033989... But then again, phi has a very peculiar habit of repeating itself. 

We have to admit that much of what has been discussed above has been the result of correcting very 

trivial errors. But then again, it goes to show that the age old cliché “little things do matter” has some 

justifications. 

We all usually regard our bodies as a mere vessel that only exists to get our brains from place to place, 

whether it is from one meeting to another, or from the office to home, or from class to the dorms. We 

hope this paper illuminates some of the beautiful (and even mystical) qualities of these vessels we 

inhabit for the duration of our lives, and even its relationship to simple ideas, like a pentagram or a 

square. 

So what is next? Next we can try the geometries of the horse… 

Patrick M. Dey 

Damian ‘Pi’ Lanningham 

5 January 2011 

The Open Problem Society