slides toulouse
TRANSCRIPT
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Estimating quantilesand related risk measures
Arthur Charpentier
Seminaire du GREMAQ, Decembre 2007
joint work with Abder Oulidi, IMA Angers
1
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Agenda
โข General introduction
Risk measures
โข Distorted risk measuresโข Value-at-Risk and related risk measures
Quantile estimation : classical techniques
โข Parametric estimationโข Semiparametric estimation, extreme value theoryโข Nonparametric estimation
Quantile estimation : use of Beta kernels
โข Beta kernel estimationโข Transforming observations
A simulation based study
2
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Agenda
โข General introduction
Risk measures
โข Distorted risk measuresโข Value-at-Risk and related risk measures
Quantile estimation : classical techniques
โข Parametric estimationโข Semiparametric estimation, extreme value theoryโข Nonparametric estimation
Quantile estimation : use of Beta kernels
โข Beta kernel estimationโข Transforming observations
A simulation based study
3
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Risk measures and price of a risk
Pascal, Fermat, Condorcet, Huygens, dโAlembert in the XVIIIth centuryproposed to evaluate the โproduit scalaire des probabilites et des gainsโ,
< p,x >=nโi=1
pixi = EP(X),
based on the โregle des partiesโ.
For Quetelet, the expected value was, in the context of insurance, the price thatguarantees a financial equilibrium.
From this idea, we consider in insurance the pure premium as EP(X). As inCournot (1843), โlโesperance mathematique est donc le juste prix des chancesโ(or the โfair priceโ mentioned in Feller (1953)).
4
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Risk measures : the expected utility approach
Ru(X) =โซu(x)dP =
โซP(u(X) > x))dx
where u : [0,โ)โ [0,โ) is a utility function.
Example with an exponential utility, u(x) = [1โ eโฮฑx]/ฮฑ,
Ru(X) =1ฮฑ
log(EP(eฮฑX)
).
5
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Risk measures : Yarriโs dual approach
Rg(X) =โซxdg โฆ P =
โซg(P(X > x))dx
where g : [0, 1]โ [0, 1] is a distorted function.
Exampleโ if g(x) = I(X โฅ 1โ ฮฑ) Rg(X) = V aR(X,ฮฑ),โ if g(x) = min{x/(1โ ฮฑ), 1} Rg(X) = TV aR(X,ฮฑ) (also called expected
shortfall), Rg(X) = EP(X|X > V aR(X,ฮฑ)).
6
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Distortion of values versus distortion of probabilities
0 1 2 3 4 5 6
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Calcul de lโesperance mathรฉmatique
Fig. 1 โ Expected valueโซxdFX(x) =
โซP(X > x)dx.
7
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Distortion of values versus distortion of probabilities
0 1 2 3 4 5 6
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Calcul de lโesperance dโutilitรฉ
Fig. 2 โ Expected utilityโซu(x)dFX(x).
8
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Distortion of values versus distortion of probabilities
0 1 2 3 4 5 6
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Calcul de lโintรฉgrale de Choquet
Fig. 3 โ Distorted probabilitiesโซg(P(X > x))dx.
9
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Distorted risk measures and quantiles
Equivalently, note that E(X) =โซ 1
0Fโ1X (1โ u)du, and
Rg(X) =โซ 1
0Fโ1X (1โ u)dgu.
A very general class of risk measures can be defined as follows,
Rg(X) =โซ 1
0
Fโ1X (1โ u)dgu
where g is a distortion function, i.e. increasing, with g(0) = 0 and g(1) = 1.
Note that g is a cumulative distribution function, so Rg(X) is a weighted sum ofquantiles, where dg(1โ ยท) denotes the distribution of the weights.
10
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Distortion function, VaR (quantile) โ cdf
1 โ probability level
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Distortion function, TVaR (expected shortfall) โ cdf
1 โ probability level
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Distortion function, cdf
1 โ probability level
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Distortion function, VaR (quantile) โ pdf
1 โ probability level
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
01
23
45
6
Distortion function, TVaR (expected shortfall) โ pdf
1 โ probability level
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
01
23
45
Distortion function, pdf
1 โ probability level
Fig. 4 โ Distortion function, g and dg
11
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Agenda
โข General introduction
Risk measures
โข Distorted risk measuresโข Value-at-Risk and related risk measures
Quantile estimation : classical techniques
โข Parametric estimationโข Semiparametric estimation, extreme value theoryโข Nonparametric estimation
Quantile estimation : use of Beta kernels
โข Beta kernel estimationโข Transforming observations
A simulation based study
12
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Using a parametric approach
If FX โ F = {Fฮธ, ฮธ โ ฮ} (assumed to be continuous), qX(ฮฑ) = Fโ1ฮธ (ฮฑ), and thus,
a natural estimator isqX(ฮฑ) = Fโ1
ฮธ(ฮฑ), (1)
where ฮธ is an estimator of ฮธ (maximum likelihood, moments estimator...).
13
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Using the Gaussian distribution
A natural idea (that can be found in classical financial models) is to assumeGaussian distributions : if X โผ N (ยต, ฯ), then the ฮฑ-quantile is simply
q(ฮฑ) = ยต+ ฮฆโ1(ฮฑ)ฯ,
where ฮฆโ1(ฮฑ) is obtained in statistical tables (or any statistical software), e.g.u = โ1.64 if ฮฑ = 90%, or u = โ1.96 if ฮฑ = 95%.
Definition 1. Given a n sample {X1, ยท ยท ยท , Xn}, the (Gaussian) parametricestimation of the ฮฑ-quantile is
qn(ฮฑ) = ยต+ ฮฆโ1(ฮฑ)ฯ,
14
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Using a parametric models
Actually, is the Gaussian model does not fit very well, it is still possible to useGaussian approximation
If the variance is finite, (X โ E(X))/ฯ might be closer to the Gaussiandistribution, and thus, consider the so-called Cornish-Fisher approximation, i.e.
Q(X,ฮฑ) โผ E(X) + zฮฑโV (X), (2)
where
zฮฑ = ฮฆโ1(ฮฑ)+ฮถ16
[ฮฆโ1(ฮฑ)2โ1]+ฮถ224
[ฮฆโ1(ฮฑ)3โ3ฮฆโ1(ฮฑ)]โ ฮถ21
36[2ฮฆโ1(ฮฑ)3โ5ฮฆโ1(ฮฑ)],
(3)where ฮถ1 is the skewness of X, and ฮถ2 is the excess kurtosis, i.e. i.e.
ฮถ1 =E([X โ E(X)]3)
E([X โ E(X)]2)3/2and ฮถ1 =
E([X โ E(X)]4)E([X โ E(X)]2)2
โ 3. (4)
15
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Using a parametric models
Definition 2. Given a n sample {X1, ยท ยท ยท , Xn}, the Cornish-Fisher estimation ofthe ฮฑ-quantile is
qn(ฮฑ) = ยต+ zฮฑฯ, where ยต =1n
nโi=1
Xi and ฯ =
โโโโ 1nโ 1
nโi=1
(Xi โ ยต)2,
and
zฮฑ = ฮฆโ1(ฮฑ)+ฮถ16
[ฮฆโ1(ฮฑ)2โ1]+ฮถ224
[ฮฆโ1(ฮฑ)3โ3ฮฆโ1(ฮฑ)]โ ฮถ21
36[2ฮฆโ1(ฮฑ)3โ5ฮฆโ1(ฮฑ)],
where ฮถ1 is the natural estimator for the skewness of X, and ฮถ2 is the natural
estimator of the excess kurtosis, i.e. ฮถ1 =
โn(nโ 1)nโ 2
โnโni=1(Xi โ ยต)3
(โni=1(Xi โ ยต)2)3/2
and
ฮถ2 = nโ1(nโ2)(nโ3)
((n+ 1)ฮถ โฒ2 + 6
)where ฮถ โฒ2 = n
โni=1(Xiโยต)4
(โni=1(Xiโยต)2)2 โ 3.
16
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Parametrics estimator and error model
0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Density, theoritical versus empirical
Theoritical lognormalFitted lognormalFitted gamma
โ4 โ2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
Density, theoritical versus empirical
Theoritical StudentFitted lStudentFitted Gaussian
Fig. 5 โ Estimation of Value-at-Risk, model error.
17
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Using a semiparametric models
Given a n-sample {Y1, . . . , Yn}, let Y1:n โค Y2:n โค . . .โค Yn:n denotes the associatedorder statistics.
If u large enough, Y โ u given Y > u has a Generalized Pareto distribution withparameters ฮพ and ฮฒ ( Pickands-Balkema-de Haan theorem)
If u = Ynโk:n for k large enough, and if ฮพ>0, denote by ฮฒk and ฮพk maximumlikelihood estimators of the Genralized Pareto distribution of sample{Ynโk+1:n โ Ynโk:n, ..., Yn:n โ Ynโk:n},
Q(Y, ฮฑ) = Ynโk:n +ฮฒk
ฮพk
((nk
(1โ ฮฑ))โฮพk
โ 1
), (5)
An alternative is to use Hillโs estimator if ฮพ > 0,
Q(Y, ฮฑ) = Ynโk:n
(nk
(1โ ฮฑ))โฮพk
, ฮพk =1k
kโi=1
log Yn+1โi:n โ log Ynโk:n. (6)
18
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
On nonparametric estimation for quantiles
For continuous distribution q(ฮฑ) = Fโ1X (ฮฑ), thus, a natural idea would be to
consider q(ฮฑ) = Fโ1X (ฮฑ), for some nonparametric estimation of FX .
Definition 3. The empirical cumulative distribution function Fn, based on
sample {X1, . . . , Xn} is Fn(x) =1n
nโi=1
1(Xi โค x).
Definition 4. The kernel based cumulative distribution function, based onsample {X1, . . . , Xn} is
Fn(x) =1nh
nโi=1
โซ x
โโk
(Xi โ th
)dt =
1n
nโi=1
K
(Xi โ xh
)
where K(x) =โซ x
โโk(t)dt, k being a kernel and h the bandwidth.
19
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Smoothing nonparametric estimators
Two techniques have been considered to smooth estimation of quantiles, eitherimplicit, or explicit.
โข consider a linear combinaison of order statistics,
The classical empirical quantile estimate is simply
Qn(p) = Fโ1n
(i
n
)= Xi:n = X[np]:n where [ยท] denotes the integer part. (7)
The estimator is simple to obtain, but depends only on one observation. Anatural extention will be to use - at least - two observations, if np is not aninteger. The weighted empirical quantile estimate is then defined as
Qn(p) = (1โ ฮณ)X[np]:n + ฮณX[np]+1:n where ฮณ = npโ [np].
20
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
24
68
The quantile function in R
probability level
quan
tile
leve
l
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
type=1type=3type=5type=7
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
23
45
67
The quantile function in R
probability levelqu
antil
e le
vel
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โ
โโ
type=1type=3type=5type=7
Fig. 6 โ Several quantile estimators in R.
21
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Smoothing nonparametric estimators
In order to increase efficiency, L-statistics can be considered i.e.
Qn (p) =nโi=1
Wi,n,pXi:n =nโi=1
Wi,n,pFโ1n
(i
n
)=โซ 1
0
Fโ1n (t) k (p, h, t) dt (8)
where Fn is the empirical distribution function of FX , where k is a kernel and h abandwidth. This expression can be written equivalently
Qn (p) =nโi=1
[โซ in
(iโ1)n
k
(tโ ph
)dt
]X(i) =
nโi=1
[IK
(in โ ph
)โ IK
(iโ1n โ ph
)]X(i)
(9)
where again IK (x) =โซ x
โโk (t) dt. The idea is to give more weight to order
statistics X(i) such that i is closed to pn.
22
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
01
23
quantile (probability) level
Fig. 7 โ Quantile estimator as wieghted sum of order statistics.
23
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
01
23
quantile (probability) level
Fig. 8 โ Quantile estimator as wieghted sum of order statistics.
24
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
01
23
quantile (probability) level
Fig. 9 โ Quantile estimator as wieghted sum of order statistics.
25
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
01
23
quantile (probability) level
Fig. 10 โ Quantile estimator as wieghted sum of order statistics.
26
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
01
23
quantile (probability) level
Fig. 11 โ Quantile estimator as wieghted sum of order statistics.
27
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Smoothing nonparametric estimators
E.g. the so-called Harrell-Davis estimator is defined as
Qn(p) =nโi=1
[โซ in
(iโ1)n
ฮ(n+ 1)ฮ((n+ 1)p)ฮ((n+ 1)q)
y(n+1)pโ1(1โ y)(n+1)qโ1
]Xi:n,
โข find a smooth estimator for FX , and then find (numerically) the inverse,
The ฮฑ-quantile is defined as the solution of FX โฆ qX(ฮฑ) = ฮฑ.
If Fn denotes a continuous estimate of F , then a natural estimate for qX(ฮฑ) isqn(ฮฑ) such that Fn โฆ qn(ฮฑ) = ฮฑ, obtained using e.g. Gauss-Newton algorithm.
28
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Agenda
โข General introduction
Risk measures
โข Distorted risk measuresโข Value-at-Risk and related risk measures
Quantile estimation : classical techniques
โข Parametric estimationโข Semiparametric estimation, extreme value theoryโข Nonparametric estimation
Quantile estimation : use of Beta kernels
โข Beta kernel estimationโข Transforming observations
A simulation based study
29
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Kernel based estimation for bounded supports
Classical symmetric kernel work well when estimating densities withnon-bounded support,
fh(x) =1nh
nโi=1
k
(xโXi
h
),
where k is a kernel function (e.g. k(ฯ) = I(|ฯ| โค 1)/2).
If K is a symmetric kernel, note that
E(fh(0) =12f(0) +O(h)
30
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Kernel based estimation of the uniform density on [0,1]
Dens
ity
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Kernel based estimation of the uniform density on [0,1]
De
nsity
Fig. 12 โ Density estimation of an uniform density on [0, 1].
31
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Kernel based estimation for bounded supports
Several techniques have been introduce to get a better estimation on the border,
โ boundary kernel (Muller (1991))โ mirror image modification (Deheuvels & Hominal (1989), Schuster
(1985))โ transformed kernel (Devroye & Gyrfi (1981), Wand, Marron &
Ruppert (1991))โ Beta kernel (Brown & Chen (1999), Chen (1999, 2000)),
see Charpentier, Fermanian & Scaillet (2006) for a survey withapplication on copulas.
32
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Beta kernel estimators
A Beta kernel estimator of the density (see Chen (1999)) - on [0, 1] is
fb(x) =1n
nโi=1
k
(Xi, 1 +
x
b, 1 +
1โ xb
), x โ [0, 1],
where k(u, ฮฑ, ฮฒ) =uฮฑโ1(1โ u)ฮฒโ1
B(ฮฑ, ฮฒ), u โ [0, 1].
If {X1, ยท ยท ยท , Xn} are i.i.d. variables with density f0, if nโโ, bโ 0, thenBouzmarni & Scaillet (2005)
fb(x)โ f0(x), x โ [0, 1].
This is the Beta 1 estimator.
33
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
05
1015
Beta kernel, x=0.05
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02
46
810
12
Beta kernel, x=0.10
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02
46
810
Beta kernel, x=0.20
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
24
68
Beta kernel, x=0.45
Fig. 13 โ Shape of Beta kernels, different xโs and bโs.
34
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Improving Beta kernel estimators
Problem : the convergence is not uniform, and there is large second order biason borders, i.e. 0 and 1.
Chen (1999) proposed a modified Beta 2 kernel estimator, based on
k2 (u; b; t) =
k t
b ,1โt
b(u) , if t โ [2b, 1โ 2b]
kฯb(t),1โt
b(u) , if t โ [0, 2b)
k tb ,ฯb(1โt) (u) , if t โ (1โ 2b, 1]
where ฯb (t) = 2b2 + 2.5โโ
4b4 + 6b2 + 2.25โ t2 โ t
b.
35
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Non-consistency of Beta kernel estimators
Problem : k(0, ฮฑ, ฮฒ) = k(1, ฮฑ, ฮฒ) = 0. So if there are point mass at 0 or 1, theestimator becomes inconsistent, i.e.
fb(x) =1n
โk
(Xi, 1 +
x
b, 1 +
1โ xb
), x โ [0, 1]
=1n
โXi 6=0,1
k
(Xi, 1 +
x
b, 1 +
1โ xb
), x โ [0, 1]
=nโ n0 โ n1
n
1nโ n0 โ n1
โXi 6=0,1
k
(Xi, 1 +
x
b, 1 +
1โ xb
), x โ [0, 1]
โ (1โ P(X = 0)โ P(X = 1)) ยท f0(x), x โ [0, 1]
and therefore Fb(x) โ (1โ P(X = 0)โ P(X = 1)) ยท F0(x), and we may haveproblem finding a 95% or 99% quantile since the total mass will be lower.
36
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Non-consistency of Beta kernel estimators
Gourieroux & Monfort (2007) proposed
f(1)b (x) =
fb(x)โซ 1
0fb(t)dt
, for all x โ [0, 1].
It is called macro-ฮฒ since the correction is performed globally.
Gourieroux & Monfort (2007) proposed
f(2)b (x) =
1n
nโi=1
kฮฒ(Xi; b;x)โซ 1
0kฮฒ(Xi; b; t)dt
, for all x โ [0, 1].
It is called micro-ฮฒ since the correction is performed locally.
37
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Transforming observations ?
In the context of density estimation, Devroye and Gyโorfi (1985) suggestedto use a so-called transformed kernel estimate
Given a random variable Y , if H is a strictly increasing function, then thep-quantile of H(Y ) is equal to H(q(Y ; p)).
An idea is to transform initial observations {X1, ยท ยท ยท , Xn} into a sample{Y1, ยท ยท ยท , Yn} where Yi = H(Xi), and then to use a beta-kernel based estimator, ifH : Rโ [0, 1]. Then qn(X; p) = Hโ1(qn(Y ; p)).
In the context of density estimation fX(x) = fY (H(x))H โฒ(x). As mentioned inDevroye and Gyorfi (1985) (p 245), โfor a transformed histogram histogramestimate, the optimal H gives a uniform [0, 1] density and should therefore beequal to H(x) = F (x), for all xโ.
38
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Transforming observations ? a monte carlo study
Assume that sample {X1, ยท ยท ยท , Xn} have been generated from Fฮธ0 (from a famillyF = (Fฮธ, ฮธ โ ฮ). 4 transformations will be consideredโ H = Fฮธ (based on a maximum likelihood procedure)โ H = Fฮธ0 (theoritical optimal transformation)โ H = Fฮธ with ฮธ < ฮธ0 (heavier tails)โ H = Fฮธ with ฮธ > ฮธ0 (lower tails)
39
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tra
nsfo
rmed
obs
erva
tions
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tra
nsfo
rmed
obs
erva
tions
Fig. 14 โ F (Xi) versus Fฮธ(Xi), i.e. PP plot.
40
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Est
imat
ed d
ensi
ty
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
โ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Est
imat
ed d
ensi
ty
Fig. 15 โ Nonparametric estimation of the density of the Fฮธ(Xi)โs.
41
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Estimated optimal transformation
Probability level
Qua
ntile
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
12
34
5
Estimated optimal transformation
Probability level
Qua
ntile
Fig. 16 โ Nonparametric estimation of the quantile function, Fโ1
ฮธ(q).
42
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tra
nsfo
rmed
obs
erva
tions
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tra
nsfo
rmed
obs
erva
tions
Fig. 17 โ F (Xi) versus Fฮธ0(Xi), i.e. PP plot.
43
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Est
imat
ed d
ensi
ty
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
โ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Est
imat
ed d
ensi
ty
Fig. 18 โ Nonparametric estimation of the density of the Fฮธ0(Xi)โs.
44
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
12
34
Estimated optimal transformation
Probability level
Qua
ntile
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
12
34
Estimated optimal transformation
Probability level
Qua
ntile
Fig. 19 โ Nonparametric estimation of the quantile function, Fโ1ฮธ0
(q).
45
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tra
nsfo
rmed
obs
erva
tions
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tra
nsfo
rmed
obs
erva
tions
Fig. 20 โ F (Xi) versus Fฮธ(Xi), i.e. PP plot, ฮธ < ฮธ0 (heavier tails).
46
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Est
imat
ed d
ensi
ty
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
โ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Est
imat
ed d
ensi
ty
Fig. 21 โ Estimation of the density of the Fฮธ(Xi)โs, ฮธ < ฮธ0 (heavier tails).
47
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
24
68
1012
Estimated optimal transformation
Probability level
Qua
ntile
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
24
68
1012
Estimated optimal transformation
Probability level
Qua
ntile
Fig. 22 โ Estimation of quantile function, Fโ1ฮธ (q), ฮธ < ฮธ0 (heavier tails).
48
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tra
nsfo
rmed
obs
erva
tions
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tra
nsfo
rmed
obs
erva
tions
Fig. 23 โ F (Xi) versus Fฮธ(Xi), i.e. PP plot, ฮธ > ฮธ0 (lighter tails).
49
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Est
imat
ed d
ensi
ty
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
โ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Est
imat
ed d
ensi
ty
Fig. 24 โ Estimation of density of Fฮธ(Xi)โs, ฮธ > ฮธ0 (lighter tails).
50
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Estimated optimal transformation
Probability level
Qua
ntile
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Estimated optimal transformation
Probability level
Qua
ntile
Fig. 25 โ Estimation of quantile function, Fโ1ฮธ (q), ฮธ > ฮธ0 (lighter tails).
51
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
A universal distribution for losses
BNGB considered the Champernowne generalized distribution to modelinsurance claims, i.e. positive variables,
Fฮฑ,M,c (y) =(y + c)ฮฑ โ cฮฑ
(y + c)ฮฑ + (M + c)ฮฑ โ 2cฮฑwhere ฮฑ > 0, c โฅ 0 and M > 0.
The associated density is then
fฮฑ,M,c (y) =ฮฑ (y + c)ฮฑโ1 ((M + c)ฮฑ โ cฮฑ)
((y + c)ฮฑ + (M + c)ฮฑ โ 2cฮฑ)2.
52
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
A Monte Carlo study to compare those nonparametric
estimators
As in ....., 4 distributions were consideredโ normal distribution,โ Weibull distribution,โ log-normal distribution,โ mixture of Pareto and log-normal distributions,
53
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
5 10 15 20
0.0
00
.0
50
.1
00
.1
50
.2
00
.2
50
.3
0
Density of quantile estimators (mixture longnormal/pareto)
Estimated valueโatโrisk
de
nsity o
f e
stim
ato
rs
Benchmark (R estimator)HD (HarrellโDavis)PRK (Park)B1 (Beta 1)B2 (Beta 2)
โ
โ
Boxโplot for the 11 quantile estimators
5 10 15 20
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโ โโโโโโ โโโโโโ โโ โ โ
โโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโ โ โ โ โโ โ โ
โ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโ โ โโโ โ โ โโโ โโโ โ โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโ โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโ โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโ โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโ โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โ โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โ โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ โโโโโ โโโโโโโ โโ โ โ โ โ
MICRO Beta2
MACRO Beta2
Beta2
MICRO Beta1
MACRO Beta1
Beta1
PRK Park
PDG Padgett
HD Harrell Davis
E Epanechnikov
R benchmark
Fig. 26 โ Distribution of the 95% quantile of the mixture distribution, n = 200,and associated box-plots.
54
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ
โ
MSE ratio, normal distribution, HD (HarrellโDavis)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ โ โ โ โ โ โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, normal distribution, B1 (Beta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, normal distribution, MACB1 (MACROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ
โ
โโ โ
โ
โโโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, normal distribution, PRK (Park)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, normal distribution, B1 (Beta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, normal distribution, MACB1 (MACROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ
โ
โโ โ
โ
โโโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
Fig. 27 โ Comparing MSE for 6 estimators, the normal distribution case.
55
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ
โ
MSE ratio, Weibull distribution, HD (HarrellโDavis)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ โ โ โโ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, Weibull distribution, MACB1 (MACROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, Weibull distribution, MICB1 (MICROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ โโ
โโ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, Weibull distribution, PRK (Park)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0 โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, Weibull distribution, MACB1 (MACROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, Weibull distribution, MICB1 (MICROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ โโ
โโ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
Fig. 28 โ Comparing MSE for 6 estimators, the Weibull distribution case.
56
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ
โ
MSE ratio, lognormal distribution, HD (HarrellโDavis)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ โ โ โ โ โ โ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, lognormal distribution, MACB1 (MACROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
00.
51.
01.
52.
0
โ โ โโ
โ โโ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, lognormal distribution, MICB1 (MICROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ
โ
โ โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, lognormal distribution, B1 (Beta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ โ โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, lognormal distribution, PRK (Park)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, lognormal distribution, MACB2 (MACROโBeta2)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ โ โ
โ โโ โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, lognormal distribution, MICB2 (MICROโBeta2)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
00.
51.
01.
52.
0
โ
โโ โ โ โ
โ
โโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, lognormal distribution, B2 (Beta2)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ โ
โ โ โโ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
Fig. 29 โ Comparing MSE for 9 estimators, the lognormal distribution case.
57
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ
โ
MSE ratio, mixture distribution, HD (HarrellโDavis)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ โ โ โ โ
โโ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, mixture distribution, MACB1 (MACROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
00.
51.
01.
52.
0
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, mixture distribution, MICB1 (MICROโBeta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ
โ โ
โ โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, mixture distribution, B1 (Beta1)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ โโ
โ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, mixture distribution, PRK (Park)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, mixture distribution, MACB2 (MACROโBeta2)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โ โ โ โ
โ โ
โโ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, mixture distribution, MICB2 (MICROโBeta2)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
00.
51.
01.
52.
0
โ โ โ โ
โ
โโ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
โ
โ
MSE ratio, mixture distribution, B2 (Beta2)
Probability, confidence levels (p)
MS
E r
atio
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
โโ
โ
โ โ
โโ
โ
โ
n= 50n=100n=200n=500
Fig. 30 โ Comparing MSE for 9 estimators, the mixture distribution case.
58
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Portfolio optimal allocation
Classical problem as formulated in Markowitz (1952), Journal of Finance, ฯโ โ argmin{ฯโฒฮฃฯ}u.c. ฯโฒยต โฅ ฮท and ฯโฒ1 = 1
convexโ
ฯโ โ argmax{ฯโฒยต}u.c. ฯโฒฮฃฯ โค ฮทโฒ and ฯโฒ1 = 1
Roy (1952), Econometrica,โthe optimal bundle of assets (investment) forinvestors who employ the safety first principle is the portfolio that minimizes theprobability of disasterโ.
ฯโ โ argmin{VaR(ฯโฒX, ฮฑ)}u.c. E(ฯโฒX) โฅ ฮท and ฯโฒ1 = 1
nonconvex<
ฯโ โ argmax{E(ฯโฒX)}u.c. VaR(ฯโฒX, ฮฑ) โค ฮทโฒ,ฯโฒ1 = 1
59
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Empirical data, Eurostocks
DAX (1)
โ0.05 0.05
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโโโ โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โ
โโ โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โ โโโ
โ
โโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโ
โ
โ
โ โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ โ
โโ
โ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ โโ
โโ
โ
โ โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโ โโ โโโโ
โ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ โโ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ โโโโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โ
โโโโ
โโโ
โโ โ
โ
โโโโโโ
โ
โโโโ โโ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ โโ โ
โ
โ
โ โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโโโโ โโ
โโ
โโ
โ โโโโ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โ โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ0.05 0.05
โ0.05
0.05
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโโ โโโ
โโโ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โ
โโโโ
โโโ
โโ โ
โ
โโ
โโโโ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ โ
โโ
โ
โโ
โโ โ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโ โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ โโ
โโ
โ
โ โ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโโโ โโ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โ โโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ0.05
0.05
โ
โ
โโ โโ
โ
โ
โโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโ โโโโโ
โโ โโ โโ
โ
โโ
โ
โ
โโโ โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โโ
โโ โ
โโโ
โ โโ
โ โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโ โโ
โ
โ
โโ
โ
โ โโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ โ
โโโโ
โโ โ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ โ
โ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
SMI (2) โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโ โโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ โโโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโ โโ โ
โโ
โโโ โโโ
โ
โ โ
โ
โ
โโ โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ โ
โ โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โโ โ
โโโ
โ โโโ โ
โ
โโ โโ
โ
โ
โโ โโ โโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ โ
โโโโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโ
โ โโโ
โโโโโโ โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโโโ โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโ
โโ
โ โโ โ
โโ
โโ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโ โโโ
โโ
โโโโ โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ โโโ
โโ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ โโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โ โโ
โ โโ
โ โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโ
โ โโโโโ โ
โ
โ
โ โ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ โโ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โโ โ
โโโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โ โ
โโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโ
โ โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ โ โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โ โโ
โ
โ
โโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโโโ โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโโโโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ โ
โโ
โโโโโ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โ
โ
โ โโโ
โ โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ โโโ โโ โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
CAC (3)
โ0.10
0.00
0.10
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโ โ
โ
โ
โ
โโ โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ โ
โโ
โโโ
โ โ
โโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโโ โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โ โโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ0.05 0.05
โ0.05
0.05
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโ
โ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโโ โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโโโโ โ
โ โ
โ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโโโ
โโ โโ
โ โโโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ โโโ โ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ โโโโ
โโ
โ
โ โโโ
โ
โโโ
โ
โโ โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโ โ
โ
โโโ
โ
โโโโ
โ
โโ
โโ โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โ
โโ โ
โ
โโ โโ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโ โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโ โโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ โ
โ
โโโ
โ
โ โ โโ
โ โ โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโ โ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ โโ
โโโโ
โ
โ โโโ
โ
โโโโ
โโ โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโโโโ
โ
โโโ
โ
โโ โโ
โ
โโ
โโ โ
โ
โโโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โโ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ โ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ0.10 0.00 0.10
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโ
โ
โโ โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโ โ โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ โ
โโ
โโ
โโ โโโ โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ โ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโ โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ โโ โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ โ
โ
โ
โ โโ
โโโ
โ
โ
โ โโโ
โ
โโโ
โ
โโ โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโ
โ
โโโโ
โโโโ
โ
โโ
โโ โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ โ
โ
โโโโ
โ โ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ โ โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
FTSE (4)
Fig. 31 โ Scatterplot of log-returns.
60
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Alloca
tion (
3rd as
set)
Allocation (4th asset)
Quantile
ValueโatโRisk (75%) on the grid ValueโatโRisk (75%) on the grid
Allocation (3rd asset)
Alloc
ation
(4th
asse
t)
โ3 โ2 โ1 0 1 2
โ3โ2
โ10
12
Alloca
tion (
3rd as
set)
Allocation (4th asset)
Quantile
ValueโatโRisk (97.5%) on the grid ValueโatโRisk (97,5%) on the grid
Allocation (3rd asset)
Alloc
ation
(4th
asse
t)
โ3 โ2 โ1 0 1 2โ3
โ2โ1
01
2
Fig. 32 โ Value-at-Risk for all possible allocations on the grid G (surface and levelcurves), with ฮฑ = 75% on the left and ฮฑ = 97.5% on the right.
61
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ
โ
โ1.0
0.00.5
1.01.5
2.0
Optimal allocation (asset 1)
Probability level (97.5%โ75%)
weigh
t of a
lloca
tion
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
97.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
95%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
92.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
90%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
87.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
85%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
82.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
80%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
77.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
75%
โ
โ
โ
โ1.0
0.00.5
1.01.5
2.0
Optimal allocation (asset 2)
Probability level (97.5%โ75%)
weigh
t of a
lloca
tion
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
97.5%
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
95%
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
92.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
90%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
87.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
85%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
82.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
80%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
77.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
75%
โ
โ
โ
โ1.0
0.00.5
1.01.5
2.0
Optimal allocation (asset 3)
Probability level (97.5%โ75%)
weigh
t of a
lloca
tion
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ97.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
95%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
92.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
90%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
87.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
85%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
82.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
80%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
77.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
75%
โโ
โ
โ1.0
0.00.5
1.01.5
2.0
Optimal allocation (asset 4)
Probability level (97.5%โ75%)
weigh
t of a
lloca
tion
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
97.5%
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
95%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
92.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
90%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
87.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
85%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
82.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
80%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
77.5%
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
75%
โ
Fig. 33 โ Optimal allocations for different probability levels (ฮฑ =75%, 77.5%, 80%, ..., 95%, 97.5%), with allocation for the first asset (top left) upto the fourth asset (bottom right). 62
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
mean 75% 77.5% 80% 82.5% 85% 87.5% 90% 92.5% 95% 97.5%
variance
asset 1 0.2277 0.222(0.253)
0.206(0.244)
0.215(0.259)
0.251(0.275)
0.307(0.276)
0.377(0.241)
0.404(0.243)
0.394(0.224)
0.402(0.214)
0.339(0.268)
asset 2 0.5393 0.550(0.141)
0.558(0.136)
0.552(0.144)
0.530(0.152)
0.500(0.154)
0.460(0.134)
0.444(0.135)
0.448(0.124)
0.441(0.121)
0.467(0.151)
asset 3 โ0.2516 โ0.062(0.161)
โ0.083(0.176)
โ0.106(0.184)
โ0.139(0.187)
โ0.163(0.215)
โ0.196(0.203)
โ0.228(0.163)
โ0.253(0.141)
โ0.310(0.184)
โ0.532(0.219)
asset 4 0.4846 0.289(0.162)
0.319(0.179)
0.339(0.191)
0.357(0.204)
0.357(0.221)
0.359(0.205)
0.380(0.175)
0.410(0.153)
0.466(0.170)
0.726(0.200)
Tab. 1 โ Mean and standard deviation of estimated optimal allocation, for differentquantile levels.
1. raw estimator Q(Y, ฮฑ) = Y[ฮฑยทn]:n
2. mixture estimator Q(Y, ฮฑ) =nโi=1
ฮปi(ฮฑ)Yi:n, which is the standard quantile
estimate in R (see [?]),
3. Gaussian estimator Q(Y, ฮฑ) = Y + z1โฮฑsd(Y , where sd denotes the empiricalstandard deviation,
63
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
4. Hillโs estimator, with k = [n/5], Q(Y, ฮฑ) = Ynโk:n
(nk
(1โ ฮฑ))โฮพk
, where
ฮพk =1k
kโi=1
logYn+1โi:n
Ynโk:n(assuming that ฮพ > 0),
5. kernel based estimator is obtained as a mixture of smoothed quantiles,derived as inverse values of a kernel based estimator of the cumulative
distribution function, i.e. Q(Y, ฮฑ) =nโi=1
ฮปi(ฮฑ)Fโ1(i/n).
64
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
โ
โโ3
โ2โ1
01
2
Optimal allocation (asset 1)
Quantile estimator
weigh
t of a
llocatio
n โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 1raw
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 2mixture
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 3Gaussian
โ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 4Hill
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 5Kernel
โ
โ
โ
โ3โ2
โ10
12
Optimal allocation (asset 2)
Quantile estimator
weigh
t of a
llocatio
n โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 1raw
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 2mixture
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 3Gaussian
โ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 4Hill
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 5Kernel
โ
โ
โ
โ3โ2
โ10
12
Optimal allocation (asset 3)
Quantile estimator
weigh
t of a
llocatio
n
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 1raw
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 2mixture
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 3Gaussian
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 4Hill
โ โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 5Kernel
โ
โ
โ
โ3โ2
โ10
12
Optimal allocation (asset 4)
Quantile estimator
weigh
t of a
llocatio
n โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 1raw
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 2mixture
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 3Gaussian
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 4Hill
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
Est. 5Kernel
โ
Fig. 34 โ Optimal allocations for different 95% quantile estimators, with allocationfor the first asset (top left) up to the fourth asset (bottom right).
65
Arthur CHARPENTIER - Nonparametric quantile estimation.
Some references
Charpentier, A. & Oulidi, A. (2007). Beta Kernel estimation forValue-At-Risk of heavy-tailed distributions. in revision Journal of ComputationalStatistics and Data Analysis.
Charpentier, A. & Oulidi, A. (2007). Estimating allocations forValue-at-Risk portfolio optimzation. to appear in Mathematical Methods inOperations Research.
Chen, S. X. (1999). A Beta Kernel Estimator for Density Functions.Computational Statistics & Data Analysis, 31, 131-145.
Gourieroux, C., & Montfort, A. 2006. (Non) Consistency of the BetaKernel Estimator for Recovery Rate Distribution. CREST-DP 2006-32.
66