1. SISTEMAS RESORTE-MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Ley de Hooke Suponga que un resorte flexible se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se une a una masa m a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades distintas. Por la Ley de Hooke el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación s expresada en forma simple F=ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número k .

F=ks

Segunda ley de Newton Después que se une una masa m a un resorte éste alarga el resorte por una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks. Recordamos que el peso se define mediante W=mg, la condición de equilibrio es mg=ks o mg−ks=0. Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces k (s+x). Suponiendo que no hay fuerza restauradora que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas, entonces se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.

∑ F=ma

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−k ( x+s)+mg=ma−kx−ks+mg=ma

−kx=m d2 xd t 2

d2 xd t 2

+ kmx=0

Hacemos un cambio de variable para facilitar el cálculo diferencial

wn2= km

queda d2 xd t 2

+wn2 x=0 (1)

Se dice que esta ecuación describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias

relacionadas con esta ecuación x (0)=x0 y x ' (0 )=x1, el desplazamiento

inicial y la velocidad inicial de la masa respectivamente. Por ejemplo, si x0>0 , x1<0, la masa parte de un punto bajo la posición de quilibrio con

una velocidad impartida hacia arriba.

Ecuación de movimiento Para resolver la ecuación (1), se observa que la solución de su ecuación auxiliar m2+wn2=0 son números

complejos m1=wni y m12=−wni . Por la solución general queda.

x (t )=c1 coswnt+c2sin wnt (3)

El periodo del movimiento descrito por la ecuación (3) es T=2π /wn. El número T representa el tiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una oscilacón completa

de la masa. La frecuencia del movimiento es f=1T

=wn2π

y es el número

de ciclos completado cada segundo. El número wn=2√ km (medido en

rdianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema.

Hallamos el c1 yc2 con las condiciones iniciales de posición y velocidad utilizaremos un ti=0 esta condición indica el instante en que la masa empieza su movimiento.

De la posición tenemos:

x (t )=c1 coswnt+c2sin wnt

Despejamos el c1 y queda:x (t )−c2 sinwntcoswnt

=c1

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Aplicamos ti y queda:c1=x (t )

Derivamos a la posición para hallar la velocidad:

x ' ( t )=−c1wn sinwnt+c2wn coswnt

Aplicamos ti y queda:

x ' (t )=−0+c2wn

Despejamos el c2 y obtenemos:

c2=x ' ( t )wn

Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración:

x ' ' ( t )=wn2(−c1 coswnt−c2sin wnt )

2. SISTEMA RESORTE-MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento que describe la ecuación (3) supone que no hay fuerzar resturdoras actuando sobre la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante, la masa puede estar suspendida en un medio viscoso o unida a un sispositivo amortiguador.

ED de un Movimiento Libre Amortiguado En el estudio de la mecánica, las fuerzas amortiguadoras que actúan sobre un cuerpo son consideradas proporcionales a una potencia de velocidad instntánea. En particular, en los análisis anteriores se supuso que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de dx /dt . Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se deduce de la segunda ley de Newton que.

∑ F=ma

−k ( x+s)+mg−c dxdt

=ma

−kx−ks+mg−c dxdt

=ma

−kx−c dxdt

=m d2 xd t 2

d2 xd t 2

+ cmdxdt

+ kmx=0

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Donde c es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamineto actúa en dirección opuesta al movimiento.

Hacemos un cambio de variable para facilitar el cálculo diferencial

2 λ= cmy wn2= k

m queda

d2 xd t 2

+2λ dxdt

+wn2 x=0

El símbolo 2 λ se usa sólo por conveniencia algebraica, porque la ecuación axuliar es m2+2 λm+wn2=0 y, por lo tanto, las raíces correspondientes son.

Usamos la formula general:

m1,2=−b±√b2−4ac

2a

Remplazamos los valores

m1,2=−2 λ±√(2 λ)2−4wn2

2

m1,2=−2 λ2± √4 λ2−4wn2

2

m1,2=− λ±√ 4 (λ¿¿2−wn2)4¿

Queda

m1=−λ+√ λ2−wn2 y m2=−λ−√ λ2−wn2

Ahora se puede distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de λ2−wn2. Puesto que cada solución contiene el factor de amortiguamiento

e− λ , λ>0, los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando

aumenta el tiempo t .

Caso 1: λ2−wn2>0 En esta situación el sistema está sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento c es grande comparado con la constante del resortek . La solución correspondiente es.

x (t )=e−λt (c1 e√ λ2−wn2 t+c2e

−√ λ2−wn2t)

Para reducir hacemos lo siguiente, a=±√ λ2−wn2 la ecuación queda:

x (t )=e−λt (c1 ea t+c2e

−a t)

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Despejamos el c1 de la posición:x (t )e−λt

−c2 e−at

eat=c1

Aplicamos ti y queda:c1=x ( t )−c2

Derivamos a la posición para hallar la velocidad:

x ' ( t )=e− λt (c1aea t−c2ae−a t )− λe−λt (c1 ea t+c2e−a t )x ' (t )=e− λt [c1 e

a t (a− λ )−c2 e−a t (a+ λ )]

Aplicamos ti y queda:

x ' (t )=c1 (a− λ )−c2 (a+ λ )

Remplazamos el valor de c1 en x' ( t ):

x ' ( t )=(x ( t )−c2)(a−λ )−c2 (a+λ )

x ' ( t )=x ( t ) (a−λ )−c2 (a−λ )−c2 (a+λ )

x ' ( t )=x ( t ) (a−λ )−c2 (2a )

Despejamos c2

c2=−x ' ( t )−x (t ) (a−λ )

2a

Remplazamos el valor de c2 en c1:

c1=x (t )− x' ( t )−x (t ) (a−λ )

2a

Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración:

x ' ' (t )=e− λt [c1aea t (a−λ )+c2ae−a t (a+λ ) ]−λ e− λt [c1 ea t (a− λ )−c2 e

−a t (a+ λ ) ]Caso 2: λ2−wn2=0 Este sistema esta críticamente amortiguado, porque cualquier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio. La solución general es.

x (t )=e−λt (c1+c2t)

En este caso es evidente que la masa a lo suma puede pasar una vez por la posición de equilibrio.

Despejamos el c1 de la posición:

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x (t )e− λt

−c2t=c1

Aplicamos ti y queda:c1=x (t )

Derivamos a la posición para hallar la velocidad:

x ' ( t )=e− λt (c2 )−λe− λt(c1+c2 t)

Aplicamos ti y queda:

x ' ( t )=c2− λc1

Remplazamos el valor de c1 en x' ( t ):

x ' (t )=c2− λx (t )

Despejamos c2 c2=x

' ( t )+λx (t )

Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración:

x ' ' ( t )=−e− λt λ (c2 )−[ λe− λt (c2 )−λ2 e−λt (c1+c2t)]x ' ' (t )=−e− λt λ (c2 )− λe−λt [ (c2 )−λ (c1+c2t )]

Caso 3: λ2−wn2<0 En este caso el sistema está sobamortiguado puesto que el coeficiente de amoriguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces m1 y m2ahora son complejas (i=√−1)

m1,2=− λ±√ λ2−wn2

m1,2=− λ±√−1(wn2−λ2)

m1,2=− λ±√−1√wn2−λ2

m1=−λ+i√wn2−λ2 m2=−λ−i √wn2−λ2

Así que la ecuación general es:

x (t )=e−λt (c1cos √wn2−λ2 t+c2sin√wn2−λ2t)

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Hacemos un cambio en el ángulo, b=√wn2−λ2 la ecuación queda:

x (t )=e−λt (c1cos b t+c2 sinb t)

A simple vista nos damos cuenta que la ecuación es oscilatorio; pero debido al

coeficiente e− λt, las amplitudes de vibración tiende a 0 cuanto el tiempo tiende al infinito.

Despejamos el c1 de la posición:

x (t ) ebt

cosbt−c2 tan bt=c1

Aplicamos ti y queda:c1=x (t )

Derivamos a la posición para hallar la velocidad:

x ' (t )=e− λt (−c1b sinb t+c2bcos b t )−λe− λt(c1 cosb t+c2 sinb t)x ' (t )=e− λt(−c1 (bsin bt+ λcosbt )+c2(bcosbt− λsenbt))

Aplicamos ti y queda:

x ' (t )=−c1 λ+c2b

Remplazamos el valor de c1 en x' (t ):

x ' ( t )=−x ( t ) λ+c2b

Despejamos c2

c2=x ' ( t )+ λx (t )

b

Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración:

x ' ' ( t )=e− λt (−c1b (bcosbt−λ sinbt )−c2b (bsin bt+ λcosbt ) )−λ e−λt (−c1 (bsinbt+λcosbt )+c2(bcos bt−λsenbt))

3. EL CÓDIGO MATLAB Movimiento Libre no Amortiguado

function [x,a,v]=vibnoa1gdl(x0, v0, c, m, k)%VIBNOA1GDL - Este programa calculara el movimiento masa resorte sin%amortiguamiento, este aso es un poco irreal pero sirve para análisis%Elaborado por: Espinoza Pardo, Esward Joel

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%Última Actualización: 03/11/2011%Sintaxis de ejecución:% [x,a,v]=vibnoa1gdl(x0, v0, c, m, k)%variables de entrada: % x0= posición de la masa inicial en (m) % v0= velocidad de la masa inicial en (m/s) % c= coeficiente de amortiguamiento en (N.s/m) % m= masa del resorte en (Kg) % k= constante del resorte en (N/m)%variables de salida: % x= posición de la masa en el instante (t)dado(m) % v= velocidad de la masa en el instante (t) dado (m/s) % a= aceleración de la masa en el instante % (t) dado (m/s^2)%------------------------------------------------------------------------%CONDICION INICIAL PARA HALLAR LAS CONSTANTES c1 & c2 ti=0;%Cambio de variable al coeficiente de amortiguamientolanda=(c)/(2*m);%La frecuencia angularwn=sqrt(k/m);%Frecuencia de oscilaciónf=2*pi/wn;%PeriodoT=1/f;%Intervalo de tiempo en que se desea analizar el resortet=0:0.001:5*T;%%Hallamos la constante (c1) con la posición%c1=x0;%%Hallamos la constante (c2) derivando a la posición %c2=((v0)/wn)%%Ahora remplazamos c1 & c2 en la ecuación de la posición%x=c1.*cos(t.*wn)+c2.*sin(t.*wn);%%Derivamos a la posición para hallar la velocidad%v=-c1*wn.*sin(t.*wn)+c2*wn.*cos(t.*wn);%%Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración%a=-c1*wn^2.*cos(t.*wn)-c2*wn^2.*sin(t.*wn);%subplot(2,2,1)plot(t,x,'--+m','LineWidth',0.02)title('Grafico de la posición t vs x (noamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('posición en (m)') % , ))grid on subplot(2,2,2)plot(t,v,'--ob','LineWidth',0.02)title('Grafico de velocidad t vs v (noamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('velocidad en (m/s)')

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grid on subplot(2,2,3)plot(t,a,'--dc','LineWidth',0.01)title('Grafico de la aceleración t vs a (noamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('aceleración en (m/s^2)')grid on subplot(2,2,4)plot(t,x,t,v,t,a)title('Grafico simultaneo de t" vs x" ; "t vs v" ; "t vs a" (noamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('posición en (m), velocidad en (m/s), aceleración en (m/s^2), ')grid on legend('x','v','a')endImagen de la posición, velocidad y aceleración del movimiento libre no amortiguado

Movimiento Libre Amortiguado caso1: sobreamortiguado

function [x,a,v]=vibsob1gdl(x0, v0, c, m, k)%VIBSUB1GDL - Este caso el sistema esta sobreamortiguado ya que el

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%coeficiente del amoriguamiento grande comprdo con la contante del resorte%(el fluido es muy viscoso)%%Elaborado por: Espinoza Pardo, Esward Joel%Última Actualización: 03/11/2011%Sintaxis de ejecución:% [x,a,v]=vibsob1gdl(x0, v0, c, m, k)%variables de entrada: % x0= posición de la masa inicial en (m) % v0= velocidad de la masa inicial en (m/s) % c= coeficiente de amortiguamiento en (N.s/m) % m= masa del resorte en (Kg) % k= constante del resorte en (N/m)%variables de salida: % x= posición de la masa en el instante (t)dado(m) % v= velocidad de la masa en el instante (t) dado (m/s) % a= aceleración de la masa en el instante % (t) dado (m/s^2)%------------------------------------------------------------------------%CONDICION INICIAL PARA HALLAR LAS CONSTANTES c1 & c2 ti=0;%ALGUNOS CALCULOS PREVIOS:%Cambio de variable al coeficiente de amortiguamientolanda=(c)/(2*m);%La frecuencia angularwn=sqrt(k/m);%Frecuencia de oscilaciónf=2*pi/wn;%Cambio de variableb=sqrt(wn^2-landa^2);a=sqrt(landa^2-wn^2);%PeriodoT=1/f;%Intervalo de tiempo en que se desea analizar el resortet=-0:0.001:5*T;%-------------------------------------------------------------------------%Hallamos la constante (c1) con la posición%c1=x0+((v0-x0*(a-landa))/2*a);%%Hallamos la constante (c2) derivando a la posición %c2=-(v0-x0*(a-landa))/(2*a);%%Ahora remplazamos c1 & c2 en la ecuación de la posición%x=exp(-landa.*t).*(c1*exp(a.*t)+c2*exp(-a.*t));%%Derivamos a la posición para hallar la velocidad%v=exp(-landa.*t).*(a*c1.*exp(a.*t)-a.*c2.*exp(-a.*t))-(landa.*exp(-landa.*t).*(c1.*exp(a.*t)+c2.*exp(-a.*t)));%%Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración%a=exp(-landa.*t).*(a^2.*c1.*exp(a.*t)+a^2.*c2.*exp(-a.*t))-landa.*exp(-a.*t).*(a.*c1.*exp(a.*t)-a.*c2.*exp(-a.*t))+landa^2.*exp(-

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landa.*t).*(c1.*exp(a.*t)+c2.*exp(-a.*t))-landa.*exp(-landa.*t).*(a.*c1.*exp(a.*t)+a.*c2.*exp(-a.*t));%subplot(2,2,1)plot(t,x,'--+m','LineWidth',0.002)title('Grafico de la posición t vs x (sobreamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('posición en (m)') % , ))grid on subplot(2,2,2)plot(t,v,'--ob','LineWidth',0.002)title('Grafico de velocidad t vs v (sobreamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('velocidad en (m/s)')grid on subplot(2,2,3)plot(t,a,'--dc','LineWidth',0.001)title('Grafico de la aceleración t vs a (sobreamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('aceleración en (m/s^2)')grid on subplot(2,2,4)plot(t,x,t,v,t,a)title('Grafico simultaneo de t" vs x" ; "t vs v" ; "t vs a"(sobreamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('posición en (m), velocidad en (m/s), aceleración en (m/s^2), ')axis tightgrid on legend('x','v','a')endImagen de la posición, velocidad y aceleración del movimiento libre sobreamortiguado

Movimiento Libre Amortiguado caso2: críticamente amortiguado

function [x,a,v]=vibcrit1gdl(x0, v0, c, m, k)

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%VIBSUB1GDL - Este caso el sistema esta criticamente amortiguado, cualquier%ligera disminucion daria como resultado un movimiento osilatorio%%Elaborado por: Espinoza Pardo, Esward Joel%Última Actualización: 03/11/2011%Sintaxis de ejecución:% [x,a,v]=vibcrit1gdl(x0, v0, c, m, k)%variables de entrada: % x0= posición de la masa inicial en (m) % v0= velocidad de la masa inicial en (m/s) % c= coeficiente de amortiguamiento en (N.s/m) % m= masa del resorte en (Kg) % k= constante del resorte en (N/m)%variables de salida: % x= posición de la masa en el instante (t)dado(m) % v= velocidad de la masa en el instante (t) dado (m/s) % a= aceleración de la masa en el instante % (t) dado (m/s^2)%------------------------------------------------------------------------%CONDICION INICIAL PARA HALLAR LAS CONSTANTES c1 & c2 ti=0;%ALGUNOS CALCULOS PREVIOS:%Cambio de variable al coeficiente de amortiguamientolanda=(c)/(2*m);%La frecuencia angularwn=sqrt(k/m);%Frecuencia de oscilaciónf=2*pi/wn;%Cambio de variableb=sqrt(wn^2-landa^2);%PeriodoT=1/f;%Intervalo de tiempo en que se desea analizar el resortet=-0:0.001:5*t;%-------------------------------------------------------------------------%Hallamos la constante (c1) con la posición%c1=v0;%%Hallamos la constante (c2) derivando a la posición %c2=v0+landa*x0;%%Ahora remplazamos c1 & c2 en la ecuación de la posición%x=exp(-landa.*t).*(c1+c2.*t);%%Derivamos a la posición para hallar la velocidad%v=-landa*exp(-landa.*t).*(c1+c2.*t)+exp(-landa.*t)*c2;%%Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración%a=(landa^2.*exp(-landa.*t).*(c1-c2.*t))-(landa.*exp(-landa.*t)*c2-landa*c2.*exp(-landa.*t));%subplot(2,2,1)

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plot(t,x,'--+m','LineWidth',0.002)title('Grafico de la posición t vs x')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('posición en (m)') % , ))grid on subplot(2,2,2)plot(t,v,'--ob','LineWidth',0.002)title('Grafico de velocidad t vs v')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('velocidad en (m/s)')grid on subplot(2,2,3)plot(t,a,'--dc','LineWidth',0.001)title('Grafico de la aceleración t vs a')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('aceleración en (m/s^2)')grid on subplot(2,2,4)plot(t,x,t,v,t,a)title('Grafico simultaneo de t" vs x" ; "t vs v" ; "t vs a"')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('posición en (m), velocidad en (m/s), aceleración en (m/s^2), ')axis tightgrid on legend('x','v','a')endImagen de la posición, velocidad y aceleración del movimiento libre críticamente amortiguado

Movimiento Libre Amortiguado caso3: subamortiguado

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function [x,a,v]=vibsub1gdl(x0, v0, c, m, k)%VIBSUB1GDL - Este caso el sistema esta subamortiguado, el coeficiente de%amortiguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte. El%fluido del amortiguador no es muy viscoso.%%Elaborado por: Espinoza Pardo, Esward Joel%Última Actualización: 03/11/2011%Sintaxis de ejecución:% [x,a,v]=vibsub1gdl(x0, v0, c, m, k)%variables de entrada: % x0= posición de la masa inicial en (m) % v0= velocidad de la masa inicial en (m/s) % c= coeficiente de amortiguamiento en (N.s/m) % m= masa del resorte en (Kg) % k= constante del resorte en (N/m)%variables de salida: % x= posición de la masa en el instante (t)dado(m) % v= velocidad de la masa en el instante (t) dado (m/s) % a= aceleración de la masa en el instante % (t) dado (m/s^2)%------------------------------------------------------------------------%CONDICION INICIAL PARA HALLAR LAS CONSTANTES c1 & c2 ti=0;%ALGUNOS CALCULOS PREVIOS:%Cambio de variable al coeficiente de amortiguamientolanda=(c)/(2*m);%La frecuencia angularwn=sqrt(k/m);%Frecuencia de oscilaciónf=2*pi/wn;%Cambio de variableb=sqrt(wn^2-landa^2);%PeriodoT=1/f;%Intervalo de tiempo en que se desea analizar el resortet=0:0.001:9*T;%-------------------------------------------------------------------------%Hallamos la constante (c1) con la posición%c1=(x0);%%Hallamos la constante (c2) derivando a la posición %c2=(v0+x0*landa)/(b);%%Ahora remplazamos c1 & c2 en la ecuación de la posición%x=exp(-landa.*t).*(c1.*cos(t.*b)+c2.*sin(t.*b));%%Derivamos a la posición para hallar la velocidad%v=exp(-landa.*t).*(-c1*(b.*sin(t.*b)+landa.*cos(t.*b))+c2.*(b.*cos(t.*b)-landa.*sin(t.*b)));%%Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración%

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a=exp(-landa.*t).*(-c1.*(b^2.*cos(t.*b)-b*landa.*sin(t.*b))+c2.*(-b^2.*sin(t.*b)-b*landa.*cos(t.*b)))-landa*sqrt(-landa*t).*(-c1*(b.*sin(t.*b)+landa*cos(t.*b))+c2.*(b.*cos(t.*b)-landa*sin(t.*b)));%subplot(2,2,1)plot(t,x,'--+m','LineWidth',0.02)title('Grafico de la posición t vs x (subamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('posición en (m)') % , ))grid on subplot(2,2,2)plot(t,v,'--ob','LineWidth',0.02)title('Grafico de velocidad t vs v (subamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('velocidad en (m/s)')grid on subplot(2,2,3)plot(t,a,'--dc','LineWidth',0.01)title('Grafico de la aceleración t vs a (subamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('aceleración en (m/s^2)')grid on subplot(2,2,4)plot(t,x,t,v,t,a)title('Grafico simultaneo de t" vs x" ; "t vs v" ; "t vs a" (subamortiguado)')xlabel('tiempo en (s)')ylabel('posición en (m), velocidad en (m/s), aceleración en (m/s^2), ')axis tightgrid on legend('x','v','a')endImagen de la posición, velocidad y aceleración del movimiento libre subamortiguado

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