sistem as line are s

8/20/2019 Sistem as Line Are s

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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU

Resolução de equações linearesIntrodução e métodos exatos

Ivanovitch Medeiros Dantas da Silva

Universidade Federal do Rio Grande do NorteDepartamento de Engenharia de Computação e AutomaçãoDCA0399 - Métodos Computacionais para Engenharia Civil

Natal, 14 de Março de 2012

Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos


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Sumário

1 Introdução

Objetivos

Aplicações

Sistemas Lineares

2 Método de Gauss

3 Método de Jordan

4 Método LU



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Sumário

1 Introdução

Objetivos

Aplicações

Sistemas Lineares

2 Método de Gauss


4 Método LU



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Objetivos

Objetivos gerais

Definição dos conceitos de equação linear e sistema linear

Apresentação dos métodos numéricos para resolução de

sistemas lineares:Métodos exatos ou diretos: Gauss, Jordan, DecomposiçãoLUMétodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi

Aplicações dos métodos descritos na engenharia

Descrição de algoritmos para implementação em software



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Aplicações

Aplicações de sistemas lineares

Análise do estado estacionário de um sistema de reatores

(Engenharia Quı́mica/Bioengenharia)

Análise de uma treliça estaticamente determinada(Engenharia Civil/Ambiental)

Correntes e Voltagens em Circuitos de Resistores

(Engenharia Elétrica)

Sistemas Massa-Mola (EngenhariaMecânica/Aeroespacial)


I d ˜ M ´ d d G M ´ d d J d M ´ d LU


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Aplicações

Sistema de reatores

Q 1c 1 + Q 2c 2 = Q 3c 3


I t d ˜ M ´ t d d G M ´ t d d J d M ´ t d LU


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Introduçao Metodo de Gauss Metodo de Jordan Metodo LU

Aplicações

Sistema de reatores


Introducão Método de Gauss Método de Jordan Método LU


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Aplicações

Correntes e voltagens em circuitos de resistores

Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das Tensões ou Lei das Malhas)

A soma algébrica da d.d.p (Diferença de Potencial Elétrico) em umpercurso fechado é nula.

2i 1 + 4(i 1 − i 2) + 2(i 1 − i 3) − 10 = 0

2i 2 − 2i 2 + 2(i 2 − i 3) + 4(i 2 − i 1) = 0

6i 3 + 2(i 3 − i 1) + 2(i 3 − i 2) − 4 = 0




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Sistemas Lineares

O que é uma equação linear?

Uma equação é linear se:

Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência

Exemplos

3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linear

x

4

− 6y + z = 0 Não Linear




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Sistemas Lineares




Exemplos


x

4





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Sistemas Lineares




Exemplos


x

4





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Sistemas Lineares




Exemplos


x

4





13/101

¸

Sistemas Lineares




Exemplos


x

4





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¸

Sistemas Lineares




Exemplos


x

4 −6y + z = 0 N

˜ao Linear




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Sistemas Lineares




Exemplos

3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linearx 4 − 6y

+ z

= 0 Não Linear




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Sistemas Lineares




Exemplos

3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linearx 4 − 6y + z = 0 Não Linear




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Sistemas Lineares

O que são sistemas lineares?

Um conjunto de n equações lineares com n variáveis(incógnitas) é denominado de:

Sistemas de n equações lineares ouSistema Linear de Ordem n

Uma solução para um sistema linear consiste de

determinar valores para as n variáveis que satisfaçam

todas as equações simultaneamente.

x + y + z = 1x − y − z = 1

2x + 3y − 4z = 9




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Sistemas Lineares

O que são sistemas lineares?

Um conjunto de n equações lineares com n variáveis(incógnitas) é denominado de:

Sistemas de n equações lineares ouSistema Linear de Ordem n

Uma solução para um sistema linear consiste de

determinar valores para as n variáveis que satisfaçam

todas as equações simultaneamente.

x + y + z = 1x − y − z = 1

2x + 3y − 4z = 9



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Sistemas Lineares

Representação

a 11x 1 + a 12x 2 + a 13x 3 . . . + a 1n x n = b 1

a 21x 1 + a 22x 2 + a 23x 3 . . . + a 2n x n = b 2

a 31x 1 + a 32x 3 + a 33x 3 . . . + a 3n x n = b 3

. . . . . .a n 1x 1 + a n 2x 2 + a n 3x 3 . . . + a nn x n = b n

a 11 a 12 . . . a 1n

a 21 a 22 . . . a 2n ...

... . . .

...

a n 1 a n 2 . . . a nn

×

x 1

x 2...

x n

=

b 1

b 2...

b n

⇒ Ax = b




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Sistemas Lineares

Representação

a 11x 1 + a 12x 2 + a 13x 3 . . . + a 1n x n = b 1

a 21x 1 + a 22x 2 + a 23x 3 . . . + a 2n x n = b 2

a 31x 1 + a 32x 3 + a 33x 3 . . . + a 3n x n = b 3

. . . . . .a n 1x 1 + a n 2x 2 + a n 3x 3 . . . + a nn x n = b n

a 11 a 12 . . . a 1n

a 21 a 22 . . . a 2n ...

... . . .

...

a n 1 a n 2 . . . a nn

×

x 1

x 2...

x n

=

b 1

b 2...

b n

⇒ Ax = b




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Sistemas Lineares

Classificação dos Sistemas Lineares

Possı́vel ou consistente: pelo menos uma solução

Determinado : apenas uma solução.Indeterminado : mais de uma solução.

Impossı́vel ou inconsistente: nenhuma solução




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Sistemas Lineares

Classificação dos Sistemas LinearesSistema Possı́vel e Determinado




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Sistemas Lineares

Classificação dos Sistemas LinearesSistema Possı́vel e Indeterminado




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Sistemas Lineares

Classificação dos Sistemas LinearesSistema Impossı́vel




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Sistemas Lineares

Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas

São operações efetuadas sobre um sistema linear com o

intuito de obter um outro sistema linear equivalente.

Objetivo é transformar esse outro sistema linear numaversão mais fácil de resolver.

1 Trocar a ordem de duas equações do sistema.

2 Multiplicar uma equação do sistema por uma constante

não nula.3 Adicionar duas equações.




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Sistemas Lineares

Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas

São operações efetuadas sobre um sistema linear com o

intuito de obter um outro sistema linear equivalente.

Objetivo é transformar esse outro sistema linear numaversão mais fácil de resolver.

1 Trocar a ordem de duas equações do sistema.

2 Multiplicar uma equação do sistema por uma constante

não nula.3 Adicionar duas equações.




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Sistemas Lineares

Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas - Trocar a ordem de duas equações do sistema

x + y = 1

2x +

y =

5

1 1

2 1

×

x

y

=

1

5

⇒ x = 4, y = −3

2 11 1

×

x

y

=

5

1

⇒ x = 4, y = −3




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Sistemas Lineares

Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas - Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não

nula

x + y = 12x + y = 5

1 1

2 1

×

x

y

=

1

5

⇒ x = 4, y = −3

2 22 1

×

x

y

=

2

5

⇒ x = 4, y = −3




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Sistemas Lineares

Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas - Adicionar duas equações

x + y = 1

2x + y = 5

1 1

2 1

×

x

y

=

1

5

⇒ x = 4, y = −3

L2 = L2 − L1

1 1

1 0

×

x

y

=

2

4

⇒ x = 4, y = −3




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Sistemas Lineares

Observações gerais

Os métodos numéricos para resolução de sistemas

lineares que serão discutidos são usados para sistemas

lineares de ordem n que tenham solução única.

Esses sistemas são aqueles em que a matriz dos

coeficientes é não singular.

det (A) = 0




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Sistemas Lineares

Resolução numérica de sistemas lineares

Métodos exatos ou diretos

São aqueles que forneceriam a solução exata, não fossem

os erros de arredondamento, com um número finito deoperações

Métodos iterativos

São aqueles que permitem obter a solução de um sistemacom uma dada precisão através de um processo infinito

convergente




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Sumário

1 Introdução

Objetivos

Aplicações

Sistemas Lineares

2 Método de Gauss


4 Método LU




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Método da Eliminação de GaussVisão geral

O método de Gauss consiste em transformar o sistemaoriginal num sistema triangular superior (eliminaç ˜ ao

progressiva) e em seguida resolver o sistema através de

uma substituiç ˜ ao regressiva




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Método da Eliminação de GaussVisão geral




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Eliminação progressiva das variáveis - Passo 1Formando a matriz aumentada

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1

a 21 a 22 a 23 . . . a 2n ... b 2

... ...

... . . .

... ...

a n 1 a n 2 a n 3 . . . a nn ... b n




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Eliminação progressiva das variáveis - Passo 2Normalização

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1

a 21 a 22 a 23 . . . a 2n ... b 2

..

.

...

...

. ..

...

...

a n 1 a n 2 a n 3 . . . a nn ... b n

L2 = L2 − L1 × a 21a 11

L3 = L3 − L1 × a 31a 11

Ln = Ln − L1 × a n 1a 11




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Eliminação progressiva das variáveis- Passo 2Normalização

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1

0 a 22 a

23 . . . a

2n ... b 2

... ...

... . . .

... ...

0 a n 2 a

n 3 . . . a

nn

... b n




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Eliminação progressiva das variáveis- Passo 3Normalizando o próximo elemento da diagonal principal

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1

0 a 22 a

23 . . . a

2n

... b 2...

... ...

. . . ...

...

0 a n 2 a

n 3 . . . a

nn

... b n

L3 = L3 − L2 × a

32a 22

L4 = L4 − L2 × a 42a

22

Ln = Ln − L2 × a

n 2

a 22



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Eliminação progressiva das variáveis - Passo 4Normalizando até o (n-1)ésimo elemento da diagonal principal

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1

0 a 22 a

23 . . . a

2n ... b 2

... ...

... . . .

... ...

0 0 0 . . . a n −1nn ... b n −1n



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Eliminação Progressiva das variáveisAlgoritmo

Entrada: a matriz de coeficientes A(n ,n ) e o vetor dos termos independentes B (n ,1) .

Saı́da : a matriz aumentada triangular superior.

// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal

1 Para i ← 1 até n − 1

// Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna2 Para j ← i + 1 até n

3 fator ←a ji a ii

;

// Zera os elementos

4 a ji ← 0;

// Normaliza os elementos de uma linha

5 Para k ← i + 1 até n 6 a jk ← a jk - fator × a ik ;

7 b j ← b j - fator × b i ;




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Substituição regressiva - Ideia básica

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1

0 a 22 a

23 . . . a

2n

... b 2...

... ...

. . . ...

...

0 0 0 . . . a n −1nn ... b n −1n

x n = b n −1n /a

n −1nn

x n −1 = (b n −2n −1 − a

n −2n −1,n x n )/a

n −2n −1,n −1

x 1 = (b 1 − a 12x 2 − . . . − a 1n x n )/a 11




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Substituição regressiva - Exemplo

3 4 5 2 ... 8

0 2 8 7 ... 1

0 0 4 5 ... 2

0 0 0 3 ... 6




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Substituição regressivaAlgoritmo

Entrada: a matriz aumentada triangular superior (A(n ,n )

.

.

.B (n ,1)).

Saı́da : o vetor solução X (n ,1) .

1 x n ← b n a nn

// Percorre as n-1 linhas da matriz aumentada

2 Para i ← n − 1 até 13 soma ← b i ;

// Somatorio das outra incógnitas que x i depende4 Para j ← i + 1 até n 5 soma ← soma- x j × a ij ;

6 x i ←

soma

a ii ;




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Exemplo - Método de Gauss

6 2 −1

... 7

2 4 1 ... 7

3 2 8 ... 13




48/101

Exemplo - Método de GaussEliminação progressiva

6 2 −1 ... 7

2 4 1 ... 7

3 2 8

... 13

L2 = L2 − L1 ×2

6L3 = L3 − L1 ×

3

6

L2,1 = 2 − 2 = 0 L3,1 = 3 − 3 = 0

L2,2 = 4 − 23

= 103

L3,2 = 2 − 1 = 1

L2,3 = 1 +1

3=

4

3L3,3 = 8 +

1

2=

17

2

L2,4 = 7 −7

3=

14

3L3,4 = 13 −

7

2=

19

2



E l M ´ d d G


49/101

Exemplo - Método de GaussEliminação progressiva

6 2 −1

... 7

0 10343

... 143

0 1 172 ... 192

L3 = L3 − L2 × 1

103

L3,2 = 1 − 1 = 0L3,3 =

172 − 4

10 = 8110

L3,4 = 19

2 − 14

10 = 8110



E l M ´ d d G


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Exemplo - Método de GaussSubstituição regressiva

6 2 −1

... 7

0 10343

... 143

0 0 8110 ... 8110

x 3 =81108110

= 1

x 2 =143 − 4

3103

= 1

x 1 = 7+1−2

6 = 1




51/101

Alguns problemas

“Embora existam muitos sistemas de equações que

podem ser resolvidos pela eliminação de Gauss, háalgumas armadilhas que precisam ser exploradas antes

de escrever um programa de computador geral para

implementar o método”. Steven C. Chapra



Al bl


52/101

Alguns problemasDivisão por zero

Durante a normalização, se o pivô usado para normalizar

as outras equações for igual a zero, um erro ocorrerá.

0 2 3 ... 8

4 6 7 ... −3

2 1 6 ... 5

L2 = L2 − L1 × 40


Introdução M

étodo de Gauss M

étodo de Jordan M

étodo LU

Alguns problemas


53/101

Alguns problemasErros de arredondamento

Um erro de arredondamento pode torna-se

particularmente importante quando se resolve um número

grande de equações, por causa do fato de que cadaresultado depende dos resultados anteriores. Um erro nas

etapas inicias tende a se propagar causando erros nas

etapas subsequentes.

Vocês devem sempre substituir suas respostas no sistema

original para verificar se erros substanciais ocorreram.



Alguns problemas


54/101

Alguns problemasErro de arredondamento

0.0003 3.0000 ... 2.0001

1.0000 1.0000 ... 1.0000

Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1)

3 0.667 -3.000 1099

4 0.6667 0.0000 100

5 0.66667 0.30000 10

6 0.666667 0.330000 1

7 0.6666667 0.3330000 0.1



M ´ t d d i t t i l


55/101

Metodo do pivoteamento parcial

Antes que cada linha seja normalizada, é vantajoso

determinar o maior coeficiente disponı́vel na coluna abaixodo elemento pivô.

As linhas podem ser trocadas de modo que o maior

coeficiente seja o elemento pivô.



Método do pivoteamento parcial


56/101

Metodo do pivoteamento parcial

0 2 3

... 8

4 6 7 ... −3

2 1 6 .

.. 5

⇓

4 6 7

... −3

0 2 3 ... 8

2 1 6 ... 5





57/101

Metodo do pivoteamento parcialOnde posicionar o algoritmo?

Eliminação progressiva


Saı́da : a matriz aumentada triangular superior.

// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal

1 Para i ← 1 até n − 1

2 pivoteamentoParcial(A,B,i )// Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna3 Para j ← i + 1 até n


;


5 a ji ← 0;


6 Para k ← i + 1 até n

7 a jk ← a jk - fator × a ik ;8 b j ← b j - fator × b i ;





58/101

Metodo do pivoteamento parcialAlgoritmo

Entrada: A(n ,n ), B

(n ,1) e a posição j do elemento pivô.

Saı́da : a matriz aumentada com o pivoteamento parcial.

1 maxValor ← a j , j ; // pivô

2 maxLinha ← j; // linha do pivô// Identificar o maior coeficiente da coluna, a partir da linha do pivô

3 Para i ← j até n − 14 Se ABS(maxValor)

< ABS(a

i +1,

j ) Entao

5 maxValor ← a i +1, j ;

6 maxLinha ← i+1;

7 Se maxValor = a j , j Entao// Fazendo a troca entre as linhas

8 Para i ← 1 até n 9 aux ← a j ,i ;

10 a j ,i ← a maxLinha,i ;

11 a maxLinha,i ← aux;

12 aux ← b j ;

13 b j ← b maxLinha;

14 b maxLinha ← aux;





59/101

Metodo do pivoteamento parcialExemplo

0.0003 3.0000 ... 2.0001

1.0000 1.0000 ... 1.0000

Sem pivoteamento


3 0.667 -3.000 1099

4 0.6667 0.0000 100

5 0.66667 0.30000 10

6 0.666667 0.330000 1

Com pivoteamento


3 0.667 0.333 0.1

4 0.6667 0.3333 0.01

5 0.66667 0.33333 0.001

6 0.666667 0.333333 0.0001



Sumário


60/101

Sumario

1 Introdução

Objetivos

Aplicações

Sistemas Lineares

2 Método de Gauss


4 Método LU



Método de Jordan


61/101

Metodo de JordanIdeia básica

Consiste em operar transformações elementares sobre as

equações do sistema linear até que seja encontrado um

sistema diagonal equivalente.

A =

a 11 0 . . . 0

0 a 22 . . . 0..

.

..

.

. . . ..

.0 0 . . . a nn



Método de Jordan


62/101


ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + lz = m

a b c d

e f g h

i j l m

a b c d

0 f g h

0 j l m

a 0 c d

0 f g h

0 0 l m

a 0 0 d

0 f

0 h

0 0 l m

x = d

a

y = h

f

z = m

l



63/101


Método de Jordan


64/101


ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + lz = m

a b c d

e f g h

i j l m

a b c d

0 f g h

0 j l m

a 0 c d

0 f g h

0 0 l m

a 0 0 d

0 f

0 h

0 0 l m

x = d

a

y = h

f

z = m

l



Método de Jordan


65/101

Ideia básica

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + lz = m

a b c d

e f g h

i j l m

a b c d

0 f g h

0 j l m

a 0 c d

0 f g h

0 0 l m

a 0 0 d

0 f

0 h

0 0 l m

x = d

a

y = h

f

z = m

l



Método de Jordan


66/101

Ideia básica

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + lz = m

a b c d

e f g h

i j l m

a b c d

0 f g h

0 j l m

a 0 c d

0 f g h

0 0 l m

a 0 0 d

0 f

0 h

0 0 l m

x = d

a

y = h

f

z = m

l



Método de Jordan


67/101

Ideia básica

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + lz = m

a b c d

e f g h

i j l m

a b c d

0 f g h

0 j l m

a 0 c d

0 f g h

0 0 l m

a 0 0 d

0 f

0 h

0 0 l m

x = d

a

y = h

f

z = m

l



Método de Jordan


68/101

Ideia básica

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + lz = m

a b c d

e f g h

i j l m

a b c d

0 f g h

0 j l m

a 0 c d

0 f g h

0 0 l m

a 0 0 d

0 f

0 h

0 0 l m

x = d

a

y = h

f

z = m

l



Método de Jordan


69/101

Ideia básica

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + lz = m

a b c d

e f g h

i j l m

a b c d

0 f g h

0 j l m

a 0 c d

0 f g h

0 0 l m

a 0 0 d

0 f

0 h

0 0 l m

x = d

a

y = h

f

z = m

l



Método de Jordan


70/101

Exemplo

x + y + 2z = 4

2x − y − z = 0

x − y − z = −1

1 1 2 4

2 −1 −1 0

1 −1 −1 −1



Método de JordanE l


71/101

Exemplo

1 1 2 4

2 −1 −1 0

1 −1 −1 −1

L2 = L2 − L1 ×2

1L3 = L3 − L1 ×

1

1

L2,1 = 2 − 1x 2 = 0 L3,1 = 1 − 1x 1 = 0

L2,2 = −1 − 1x 2 = −3 L3,2 = −1 − 1x 1 = −2

L2,3 = −1 − 2x 2 = −5 L3,3 = −1 − 2x 1 = −3

L2,4 = 0 − 4x 2 = −8 L3,4 = −1 − 4x 1 = −5



Método de JordanE l


72/101

Exemplo

1 1 2 4

2 −1 −1 0

1 −1 −1 −1

L2 = L2 − L1 ×2

1L3 = L3 − L1 ×

1

1

L2,1 = 2 − 1x 2 = 0 L3,1 = 1 − 1x 1 = 0

L2,2 = −1 − 1x 2 = −3 L3,2 = −1 − 1x 1 = −2

L2,3 = −1 − 2x 2 = −5 L3,3 = −1 − 2x 1 = −3

L2,4 = 0 − 4x 2 = −8 L3,4 = −1 − 4x 1 = −5



Método de JordanE emplo


73/101

Exemplo

1 1 2 4

2 −1 −1 0

1 −1 −1 −1

L2 = L2 − L1 ×2

1L3 = L3 − L1 ×

1

1

L2,1 = 2 − 1x 2 = 0 L3,1 = 1 − 1x 1 = 0

L2,2 = −1 − 1x 2 = −3 L3,2 = −1 − 1x 1 = −2

L2,3 = −1 − 2x 2 = −5 L3,3 = −1 − 2x 1 = −3

L2,4 = 0 − 4x 2 = −8 L3,4 = −1 − 4x 1 = −5



Método de JordanExemplo


74/101

Exemplo

1 1 2 4

2 −1 −1 0

1 −1 −1 −1

L2 = L2 − L1 ×2

1L3 = L3 − L1 ×

1

1

L2,1 = 2 − 1x 2 = 0 L3,1 = 1 − 1x 1 = 0

L2,2 = −1 − 1x 2 = −3 L3,2 = −1 − 1x 1 = −2

L2,3 = −1 − 2x 2 = −5 L3,3 = −1 − 2x 1 = −3

L2,4 = 0 − 4x 2 = −8 L3,4 = −1 − 4x 1 = −5





75/101

Exemplo

1 1 2 4

0 − 3 −5 −8

0 −2 −3 −5

L1 = L1 − L2 ×1

−3L3 = L3 − L2 ×

−2

−3

L1,1 = 1 − 0x 1

−3= 1 L3,1 = 0

L1,2 = 1 − (−3)x

1

−3 = 0 L3,2 = −2 − (−3)x

−2

−3 = 0

L1,3 = 2 − (−5)x 1

−3=

1

3L3,3 = −3 − (−5)x

−2

−3=

1

3

L1,4 = 4 − (−8)x 1

−3=

4

3L3,4 = −5 − (−8)x

−2

−3=

1

3





76/101

Exemplo

1 1 2 4

0 − 3 −5 −8

0 −2 −3 −5

L1 = L1 − L2 ×1

−3L3 = L3 − L2 ×

−2

−3

L1,1 = 1 − 0x 1

−3= 1 L3,1 = 0

L1,2 = 1 − (−3)x

1

−3 = 0 L3,2 = −2 − (−3)x

−2

−3 = 0

L1,3 = 2 − (−5)x 1

−3=

1

3L3,3 = −3 − (−5)x

−2

−3=

1

3

L1,4 = 4 − (−8)x 1

−3=

4

3L3,4 = −5 − (−8)x

−2

−3=

1

3





77/101

Exemplo

1 1 2 4

0 − 3 −5 −8

0 −2 −3 −5

L1 = L1 − L2 ×1

−3L3 = L3 − L2 ×

−2

−3

L1,1 = 1 − 0x 1

−3= 1 L3,1 = 0

L1,2 = 1 − (−3)x

1

−3 = 0 L3,2 = −2 − (−3)x

−2

−3 = 0

L1,3 = 2 − (−5)x 1

−3=

1

3L3,3 = −3 − (−5)x

−2

−3=

1

3

L1,4 = 4 − (−8)x 1

−3=

4

3L3,4 = −5 − (−8)x

−2

−3=

1

3





78/101

Exemplo

1 1 2 4

0 − 3 −5 −8

0 −2 −3 −5

L1 = L1 − L2 ×1

−3L3 = L3 − L2 ×

−2

−3

L1,1 = 1 − 0x 1

−3= 1 L3,1 = 0

L1,2 = 1 − (−3)x

1

−3 = 0 L3,2 = −2 − (−3)x

−2

−3 = 0

L1,3 = 2 − (−5)x 1

−3=

1

3L3,3 = −3 − (−5)x

−2

−3=

1

3

L1,4 = 4 − (−8)x 1

−3=

4

3L3,4 = −5 − (−8)x

−2

−3=

1

3





79/101

Exemplo

1 0 1343

0 −3 −5 −8

0 0 1

3

1

3

L1 = L1 − L3 ×1/3

1/3L2 = L2 − L3 ×−15

L1,1 = 1 − 0x (1) = 1 L2,1 = 0

L1,2 = 0 − 0x (1) = 0 L2,2 = −3

L1,3 =1

3−

1

3x (1) = 0 L2,3 = −5 −

1

3x (−15) = 0

L1,4 =4

3−

1

3x (1) = 1 L2,4 = −8 −

1

3x (−15) = −3





80/101

Exemplo

1 0 1343

0 −3 −5 −8

0 0 1

3

1

3

L1 = L1 − L3 ×1/3

1/3L2 = L2 − L3 ×−15

L1,1 = 1 − 0x (1) = 1 L2,1 = 0

L1,2 = 0 − 0x (1) = 0 L2,2 = −3

L1,3 =1

3−

1

3x (1) = 0 L2,3 = −5 −

1

3x (−15) = 0

L1,4 =4

3−

1

3x (1) = 1 L2,4 = −8 −

1

3x (−15) = −3





81/101

p

1 0 1343

0 −3 −5 −8

0 0 1

3

1

3

L1 = L1 − L3 ×1/3

1/3L2 = L2 − L3 ×−15

L1,1 = 1 − 0x (1) = 1 L2,1 = 0

L1,2 = 0 − 0x (1) = 0 L2,2 = −3

L1,3 =1

3−

1

3x (1) = 0 L2,3 = −5 −

1

3x (−15) = 0

L1,4 =4

3−

1

3x (1) = 1 L2,4 = −8 −

1

3x (−15) = −3

Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos




82/101

p

1 0 1343

0 −3 −5 −8

0 0 1

3

1

3

L1 = L1 − L3 ×1/3

1/3L2 = L2 − L3 ×−15

L1,1 = 1 − 0x (1) = 1 L2,1 = 0

L1,2 = 0 − 0x (1) = 0 L2,2 = −3

L1,3 =1

3−

1

3x (1) = 0 L2,3 = −5 −

1

3x (−15) = 0

L1,4 =4

3−

1

3x (1) = 1 L2,4 = −8 −

1

3x (−15) = −3

Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU



83/101

1 0 0 1

0 −3 0 −3

0 0 1

313

x = 11 = 1

y = −3−

3

= 1

z =1313

= 1



84/101


Sumário


85/101

1 Introdução

Objetivos

Aplicações

Sistemas Lineares

2 Método de Gauss


4 Método LU


Método LUIntrodução


86/101

O método LU é conhecido também como método da

decomposiç ˜ ao LU ou método da fatoraç ˜ ao LU

O objetivo do método é fatorar a matriz dos coeficientes,A, em um produto entre duas matrizes:

L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos dadiagonal são iguais a 1U - matriz triangular superior, onde todos os elementos dadiagonal são diferentes de 0.

A = LU

Ax = b

LUx = b

y = Ux

Ly = b

Ux = y


Método LUIntrodução


87/101

O método LU é conhecido também como método da

decomposiç ˜ ao LU ou método da fatoraç ˜ ao LU

O objetivo do método é fatorar a matriz dos coeficientes,A, em um produto entre duas matrizes:

L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos dadiagonal são iguais a 1U - matriz triangular superior, onde todos os elementos dadiagonal são diferentes de 0.

A = LU

Ax = b

LUx = b

y = Ux

Ly = b

Ux = y



88/101


Método LUMatrizes L e U


89/101

L =

1 0 . . . 0

m 21 1 . . . 0

... ... . . . ...

m n 1 m n 2 . . . 1

U =

a (0)11 a

(0)12 . . . a

(0)1n

0 a (1)22 . . . a

(1)2n

... ... . . . ...

0 0 . . . a (n −1)nn

m i , j - são os multiplicadores (fatores) usados nos métodos de Gauss ou Jordan

a k

i , j - são os elementos de A modificados durante a triangulaçãoLembrando que Ux = y


Método LUExemplo


90/101

4 3 −1 −2

−2 −4 5 20

1 2 6 7

L =

1 0 0

−0.5 1 0

0.25 0 1

L2 = L2 − L1 ×−2

4L3 = L3 − L1 ×

1

4

L2,1 = −2 − 4x (−0.5) = 0 L3,1 = 1 − 4x 0.25 = 0

L2,2 = −4 − 3x (−0.5) = −2.5 L3,2 = 2 − 3x 0.25 = 1.25

L2,3 = 5 − (−1)x (−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x 0.25 = 6.25

L2,4 = 20 − (−2)x (−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x 0.25 = 7.50


Método LUExemplo


91/101

4 3 −1 −2

−2 −4 5 20

1 2 6 7

L =

1 0 0

−0.5 1 0

0.25 0 1

L2 = L2 − L1 ×−2

4L3 = L3 − L1 ×

1

4

L2,1 = −2 − 4x (−0.5) = 0 L3,1 = 1 − 4x 0.25 = 0

L2,2 = −4 − 3x (−0.5) = −2.5 L3

,2 = 2 − 3x 0.25 = 1.25L2,3 = 5 − (−1)x (−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x 0.25 = 6.25

L2,4 = 20 − (−2)x (−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x 0.25 = 7.50


Método LUExemplo


92/101

4 3 −1 −2

−2 −4 5 20

1 2 6 7

L =

1 0 0

−0.5 1 0

0.25 0 1

L2 = L2 − L1 ×−2

4L3 = L3 − L1 ×

1

4

L2,1 = −2 − 4x (−0.5) = 0 L3,1 = 1 − 4x 0.25 = 0

L2,

2 = −4 − 3x (−0.5) = −2.5 L3,

2 = 2 − 3x 0.25 = 1.25L2,3 = 5 − (−1)x (−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x 0.25 = 6.25

L2,4 = 20 − (−2)x (−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x 0.25 = 7.50


Método LUExemplo


93/101

4 3 −1 −2

0 − 2.5 4.5 19

0 1.25 6.25 7.5

L =

1 0 0

−0.5 1 0

0.25 −0.5 1

L3 = L3 − L2 ×1.25

−2.50

L2,1 = 0 − 0x (−0.5) = 0

L2,2 = 1.25 − (−2.5)x (−0.5) = 0L2,3 = 6.25 − 4.5x (−0.5) = 8.5

L2,4 = 7.5 − 19x (−0.5) = 17


Método LUExemplo


94/101

4 3 −1 −2

0 − 2.5 4.5 19

0 1.25 6.25 7.5

L =

1 0 0

−0.5 1 0

0.25 −0.5 1

L3 = L3 − L2 ×1.25

−2.50

L2,1 = 0 − 0x (−0.5) = 0

L2,2 = 1.25 − (−2.5)x (−0.5) = 0L2,3 = 6.25 − 4.5x (−0.5) = 8.5

L2,4 = 7.5 − 19x (−0.5) = 17


Método LUExemplo


95/101

4 3 −1 −2

0 − 2.5 4.5 19

0 1.25 6.25 7.5

L =

1 0 0

−0.5 1 0

0.25 −0.5 1

L3 = L3 − L2 ×1.25

−2.50

L2,1 = 0 − 0x (−0.5) = 0

L2,

2 = 1.25 − (−2.5)x (−0.5) = 0L2,3 = 6.25 − 4.5x (−0.5) = 8.5

L2,4 = 7.5 − 19x (−0.5) = 17

Ivanovitch Silva Introduc˜ao e m

´etodos exatos


Método LUExemplo


96/101

4 3 −1 −2

0 −2.5 4.5 19

0 0 8.5 17

L =

1 0 0

−0.5 1 0

0.25 −0.5 1

U =

4 3 −1

0 −2.5 4.5

0 0 8.5

y =

−2

19

17

x =

3

−4

2



Método LUAlgoritmo


97/101


Saı́da : a matriz aumentada triangular superior (U,y) e a matriz L.

// Inicia a matriz L, com 1’s na diagonal principal e os outros elementos tudo em

zero

1 L ← ones();// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal

2 Para i ← 1 até n − 13 pivoteamentoParcial(A,B,i )

// Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna4 Para j ← i + 1 até n


;

// Armazena os fatores na matriz L

6 l ji ← fator;


7 a ji ← 0;


8 Para k ← i + 1 até n 9 a jk ← a jk - fator × a ik ;

10 b j ← b j - fator × b i ;



Método LUQual a vantagem?


98/101

Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnicade eliminação de Gauss, qual a diferença entre essasduas técnicas?

Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentessituações mudando apenas o vetor b.Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U.Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessáriorealizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U

sempre são os mesmos.





99/101








100/101








101/101





sistem as line are s

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