simplex tabular
TRANSCRIPT
-
8/6/2019 Simplex Tabular
1/44
EL MTODO
SIMPLEX
TABULAR
-
8/6/2019 Simplex Tabular
2/44
El mtodo del simplex fue creado en1947 por el matemtico George
Dantzig.
El mtodo del simplex se utiliza, sobretodo, para resolver problemas deprogramacin lineal en los queintervienen tres o ms variables.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
3/44
La resolucin de programas linealesmediante el mtodo Simplex implica la
realizacin de gran cantidad declculos, sobre todo cuando el nmerode variables y/o restricciones esrelativamente elevado.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
4/44
Sin embargo, estos clculos no soncomplejos y pueden realizarse en modosistemtico utilizando una forma tabular.
As surgen las conocidas como tablasdel Simplex, que no son ms que unaforma de organizar los clculos.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
5/44
Sobre las tablas del Simplex comentarque su inters es totalmente
pedaggico, ya que en los casos realesla magnitud de las restricciones quesuelen aparecer hace que nadie lasutiliza de forma directa para resolverlos.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
6/44
Aplicacin del Metodo Simplex
en forma tabular.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
7/44
Problema Inicial
Maximizar
Z= f(x1, x2)= 3x1 + 2x2
sujeto a:2x1 + x2 >=18
2x1 + 3x2 >= 42
3x1
+ x2
>=24
x1 >= 0 , x2 >= 0.
(>= es mayor o igual)
-
8/6/2019 Simplex Tabular
8/44
1 Remover las igualdades
Se introduce una variable de holgura por
cada una de las restricciones, para
convertirlas en igualdades, resultando el
sistema de ecuaciones lineales:
2x1 + x2 + x3 = 18
2x1 + 3x2 + x4 = 423x1 + x2 + x5 = 24
-
8/6/2019 Simplex Tabular
9/44
2 Igualar a 0 la funcin objetivo
Z = 3x1 + 2x2
Z - 3x1 - 2x2= 0
La primera columna nos indica el numero de
iteracin actual, la siguiente indica la variablebase, la 3ra enumera las ecuaciones siendo la
funcin objetivo la N 0.
3 Crear la tabla inicial simplex
-
8/6/2019 Simplex Tabular
10/44
3 Crear la tabla inicial simplex
Las siguientes columnas son las variables
presentes en el ejercicio (incluyendo las de
holgura), mientras que en cada fila se
representa los coeficientes de las variables en
cada ecuacin. La ultima columna representa a
el valor de la solucin de cada ecuacin. La tabla
termina teniendo un formato como este.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
11/44
Formato de la tabla
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
1
Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0
1 0 2 1 1 0 0 18
2 0 2 3 0 1 0 42
3 0 3 1 0 0 1 24
NOTA: Las variables base se definen mediante las iteraciones
-
8/6/2019 Simplex Tabular
12/44
Que es una iteracin?
Durante el ejercicio nuestro objetivo es igualar
a 0 cada una de las variables menores a 0 en la
funcin objetivo (en este caso, -3x1
y -2x2).
La serie de pasos para igualar a 0 una variable
negativa en la funcin objetivo es una
ITERACION. Se debe iterar siempre que aun haya
alguna variable negativa en la funcin objetivo.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
13/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
1
Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0
1 0 2 1 1 0 0 18
2 0 2 3 0 1 0 42
3 0 3 1 0 0 1 24
En este caso
-
8/6/2019 Simplex Tabular
14/44
4 Pasos para cada Iteracin
1 Elegimos una columna o variable pivote
desde la funcin objetivo eligiendo la mas
negativa o la mayor en su valor absoluto, si hay
2 o mas iguales (por ejemplo el mas negativo es
-5 pero hay 2 con -5) se elije cualquiera de las 2.
En nuestro caso, seria -3
-
8/6/2019 Simplex Tabular
15/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
1
Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0
1 0 2 1 1 0 0 18
2 0 2 3 0 1 0 42
3 0 3 1 0 0 1 24
En este caso
Ntese que toda la columna se elegir, y por lo tanto, la variable x1de cada ecuacin
-
8/6/2019 Simplex Tabular
16/44
2 Una vez realizado esto, primero se
descartan las ecuaciones cuyo valor de la
variable pivote sea 0 (en este caso ninguna),
despus, se elegir como ecuacin pivote
aquella ecuacin cuyo valor de su solucin entre
su variable pivote sea menor a las dems
ecuaciones.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
17/44
-
8/6/2019 Simplex Tabular
18/44
3 La variable pivote de la fila pivote debe ser
igual a 1, para ello la fila debe dividirse entre un
numero que haga que esta variable pivote sea 1
3 .
Reemplazamos estos valores en la tabla.
3 0 3 1 0 0 1 24
3 0 1 1/3 0 0 1/3 8
-
8/6/2019 Simplex Tabular
19/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
1
Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0
1 0 2 1 1 0 0 18
2 0 2 3 0 1 0 42
x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8
Ahora establecemos la variable Base
con nuestra variable pivote
En este caso, ser x1
-
8/6/2019 Simplex Tabular
20/44
5 Igualar a 0 la variable pivote en las
otras variables
Empezaremos por la funcin objetivo,
multiplicamos la ecuacin pivote por un numero
para igualar el VALOR ABSOLUTO de la variable
pivote de la funcin objetivo con la variable
pivote de la ecuacin objetivo. En este caso,
seria multiplicar por 3. una vez hecho esto
efectuar una suma algebraica.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
21/44
3 0 1 1/3 0 0 1/3 8 X 3
0 1 -3 -2 0 0 0 0
+_______________________________________________________
3 0 3 1 0 0 1 24
0 1 -3 -2 0 0 0 0
+_______________________________________________________
0 1 0 -1 0 0 1 24
Este resultado se establece ahora como la funcin objetivo
-
8/6/2019 Simplex Tabular
22/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
1
Z 0 1 0 -1 0 0 1 24
1 0 2 1 1 0 0 27
2 0 2 3 0 1 0 42
x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8
Actualizando la tabla
En este caso, la x1 de la funcin objetivo se igualo a 0.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
23/44
Para las dems ecuaciones, una por una,
simplemente se multiplica la ecuacin pivote
por un numero para RESTAR la variable pivote
de la ecuacin pivote a la de la otra ecuacin
para igualarla a 0 (que en diferencia con la
funcin objetivo, este puede ser negativo y no
absoluto).
-
8/6/2019 Simplex Tabular
24/44
En este caso para la ecuacin 1 multiplicaramos
por 2 y para la ecuacin 2 seria por 2.
Esto se hace para evitar sumar la actual variablepivote en la siguiente Iteracin.
-
8/6/2019 Simplex Tabular
25/44
3 0 1 1/3 0 0 1/3 8 X -2
1 0 2 1 1 0 0 18
+_______________________________________________________
3 0 -2 -2/3 0 0 -2/3 -16
1 0 2 1 1 0 0 18
+_______________________________________________________
1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2
Este resultado se establece ahora como la ecuacion 1
-
8/6/2019 Simplex Tabular
26/44
3 0 1 1/3 0 0 1/3 8 X -2
2 0 2 3 0 1 0 42
+_______________________________________________________
3 0 -2 -2/3 0 0 -2/3 16
2 0 2 3 0 1 0 42
+_______________________________________________________
2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26
Este resultado se establece ahora como la ecuacion 2
Y nuestra tabla queda de esta manera
-
8/6/2019 Simplex Tabular
27/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
1
Z 0 1 0 -1 0 0 1 24
1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2
2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26
x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8
Actualizando la tabla
En este caso, la x1 de las ecuaciones tambin se igualan a 0.
Y con esto terminamos la Iteracin
-
8/6/2019 Simplex Tabular
28/44
-
8/6/2019 Simplex Tabular
29/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
2
Z 0 1 0 -1 0 0 1 24
1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2
2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26
x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8
Reiterando en la tabla
En este caso, se ignorara aquellas ecuaciones que ya tengan definida una
variable base
-
8/6/2019 Simplex Tabular
30/44
Reiterando en la tabla
En este caso, se ignorara aquellas ecuaciones que ya tengan definida una
variable base
Iteraci
n
Var.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
Sol /
Pivote
2
Z 0 1 0 -1 0 0 1 24 ---
1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2 6
2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26 11
x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8 ---
-
8/6/2019 Simplex Tabular
31/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
2
Z 0 1 0 -1 0 0 1 24
x2 1 0 0 1 3 0 -2 6
2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26
x1
3 0 1 1/3 0 0 1/3 8
Reiterando en la tabla
x 3 .
1 0 0 1 3 0 -2 6
1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2
-
8/6/2019 Simplex Tabular
32/44
1 0 0 1 3 0 -2 6
0 1 0 -1 0 0 1 24
+_______________________________________________________
0 1 0 0 3 0 -1 30
Este resultado se establece ahora como la funcion objetivo
Reiterando en la tabla
-
8/6/2019 Simplex Tabular
33/44
1 0 0 1 3 0 -2 6 X - 2 1/3
2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26
+_______________________________________________________
1 0 0 -2 1/3 -7 0 4 2/3 -14
2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26
+_______________________________________________________
2 0 0 0 -7 0 4 12
Este resultado se establece ahora como la ecuacion 2
Reiterando en la tabla
-
8/6/2019 Simplex Tabular
34/44
1 0 0 1 3 0 -2 6 - -1/3
3 0 1 1/3 0 0 1/3 8
+_______________________________________________________
1 0 0 -1/3 -1 0 2/3 2
3 0 1 1/3 0 0 1/3 8
+_______________________________________________________
3 0 1 0 -1 0 1 6
Este resultado se establece ahora como la ecuacion 3
Reiterando en la tabla
-
8/6/2019 Simplex Tabular
35/44
Reiterando y Actualizando la tabla
Aun tenemos -1 en x5 , por lo que debemos seguir Iterando
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
2
Z 0 1 0 0 3 0 -1 30
x2 1 0 0 1 3 0 -2 6
2 0 0 0 -7 0 4 12
x1 3 0 1 0 -1 0 1 6
-
8/6/2019 Simplex Tabular
36/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
3
Z 0 1 0 0 3 0 -1 30
x2 1 0 0 1 3 0 -2 6
2 0 0 0 -7 0 4 12
x1 3 0 1 0 -1 0 1 6
Reiterando en la tabla
-
8/6/2019 Simplex Tabular
37/44
Reiterando en la tabla
En este caso, solo queda una ecuacion sin variable base, por lo cual es la que
usaremos
Iteraci
n
Var.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
Sol /
Pivote
3
Z 0 1 0 0 3 0 -1 30 ---
x2 1 0 0 1 3 0 -2 6 ---6
2 0 0 0 -7 0 4 12 3
x1 3 0 1 0 -1 0 1 6 ---
-
8/6/2019 Simplex Tabular
38/44
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
3
Z 0 1 0 0 3 0 -1 30
x2 1 0 0 1 3 0 -2 6
x5 2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3
x1
3 0 1 0 -1 0 1 6
Reiterando en la tabla
4 .
2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3
2 0 0 0 -7 0 4 12
-
8/6/2019 Simplex Tabular
39/44
2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3
0 1 0 0 3 0 -1 30
+_______________________________________________________
0 1 0 0 1 1/4 0 0 33
Este resultado se establece ahora como la funcion objetivo
Reiterando en la tabla
-
8/6/2019 Simplex Tabular
40/44
2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3 - x 2
1 0 0 1 3 0 -2 6
+_______________________________________________________
2 0 0 0 -3 1/2 0 2 6
1 0 0 1 3 0 -2 6
+_______________________________________________________
1 0 0 1 -1/2 0 0 12
Este resultado se establece ahora como la ecuacin 1(En este caso debe ser un numero positivo en diferencia de otras ocasiones que
multiplicbamos por una negativo ya que la variable pivote de la ecuacin 1 es negativa)
Reiterando en la tabla
-
8/6/2019 Simplex Tabular
41/44
2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3 X - 1
3 0 1 0 -1 0 1 6
+_______________________________________________________
2 0 0 0 1 3/4 0 -1 -3
3 0 1 0 -1 0 1 6
+_______________________________________________________
3 0 1 0 3/4 0 0 3
Reiterando en la tabla
Este resultado se establece ahora como la ecuacin 3
-
8/6/2019 Simplex Tabular
42/44
Reiterando y Actualizando la tabla
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
3
Z 0 1 0 0 1 1/4 0 0 33
x2 1 0 0 1 -1/2 0 0 12
x5 2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3
x1
3 0 1 0 3/4 0 0 3
-
8/6/2019 Simplex Tabular
43/44
Como ven, ahora ya no hay variables negativas en la funcin objetivo, todasson mayores o igual a 0. La solucin Optima del ejercicio es 33, mientras quelos valores de decision para maximizar son los valores proporcionados por lasvariables base x1 y x2 o solucion de sus ecuaciones, en este caso, 3 y 12
IteracinVar.
BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin
3
Z 0 1 0 0 1 1/4 0 0 33
x2 1 0 0 1 -1/2 0 0 12
x5 2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3
x1
3 0 1 0 3/4 0 0 3
-
8/6/2019 Simplex Tabular
44/44
Retomando el Problema Inicial
Maximizar
Z= f(3 , 12)= 33