met simplex tabular y casos

Notas elaboradas por: M. en I. Gaston Vertiz C. 1

UAEM

FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE INGENIERÍA

CIVIL

SISTEMAS DE INGENIERÍA CIVIL 1

PROF. M. EN I. GASTON VERTIZ C.

MARZO 2013


EJEMPLO DEL MÉTODO SIMPLEX

CON ARREGLO TABULAR

Use el procedimiento descrito antes del método simplex, para encontrar la solución óptima del MPLC siguiente:

Max z = 3x1 + 9x2

s.a

x1 + 4x2 ≤ 8

x1 + 2x2 ≤ 4

x1, x2 0

SOLUCIÓN


SOLUCIÓN DEL EJEMPLO DEL

MÉTODO …

El MPLC en la forma estándar es:

Max z = 3x1 + 9x2 + 0x3 + 0x4

s.a

x1 + 4x2 + x3 = 8

x1 + 2x2 +x4 = 4

x1, x2, x3, x4 0

Ahora el tableau simplex inicial es:



MÉTODO …

X1 X2 X3 X4 LD VB Theta

1 4

1 2

1 0

0 1

8

4

X3

X4

8/4 = 2

4/2 = 2

3 9 0 0 Z

El tableau de la primera iteración es:


¼ 1

½ 0

¼ 0

- ½ 1

2

0

X2

X4

8

0

¾ 0 - 9/4 0 Z - 18



MÉTODO …

El tableau de la segunda iteración es:

Como se cumple el criterio de optimalidad, se ha

llegado a obtener la solución óptima, que es:

X2* = 2, X1* = 0 y Z* = 18


0 1

1 0

½ - ½

- 1 2

2

0

X2

X1

0 0 - 3/2 - 3/2 Z - 18


CASOS QUE SE PRESENTAN AL APLICAR EL MÉTODO SIMPLEX

En la aplicación del método simplex puede suceder que se tengan casos donde la solución óptima no es única o finita o puede haber restricciones redundantes o simplemente que no haya solución. Estos casos los podemos clasificar como:

1. Degeneración.

2. Soluciones óptimas alternantes.

3. Soluciones no acotadas.

4. Soluciones inexistentes o no factibles.


1. CASO DE DEGENERACIÓN

Cuando decimos que la variable saliente del tableau simplex, estamos usamos la regla del mínimo cociente; y si hay un empate entre dos o más razones se resuelve arbitrariamente (que para efectos de nuestro curso, se elegirá aquel que se encuentre primero de arriba hacia en la columna theta). Sin embargo, cuando sucede esto una o más veces, una de las variables básicas será necesariamente igual a cero en la siguiente iteración. En este caso decimos que la nueva solución es degenerada. Esto significa que el modelo tiene cuando menos una restricción redundante.



Se presenta el fenómeno de ciclaje. Si se observan las iteraciones 1 y 2 del tableau, se verá que el valor de la función objetivo no ha mejorado (z=18).

Gráficamente se ve que una de las restricciones es redundante ya que el punto óptimo está sobredeterminado por 3 rectas. En la práctica, saber que algunos recursos son superfluos puede ser valioso al implantar la solución o también nos puede conducir a saber que hay irregularidades en la construcción del modelo. Desgraciadamente no existen técnicas confiables para determinar degeneración a partir del tableau.



En la gráfica que se muestra abajo, presenta

tal situación:


2. CASO DE SOLUCIONES ÓPTIMAS ALTERNANTES

Este caso se presenta cuando la función a optimizar (o función objetivo) es paralela a una restricción funcional lineal, es decir, a una restricción que se satisface en el sentido de la igualdad a través de la solución óptima, la función a optimizar, será óptima en todo el segmento de dicha restricción.


EJEMPLO

Considere el MPLC que se presenta abajo. Use el procedimiento del método simplex con arreglo tabular para hallar la solución óptima.

Max z = 2x1 + 4x2

sujeto a

x1 + 2x2 ≤ 5

x1 + x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SOLUCIÓN

El modelo estandarizado es:


SOLUCIÓN EJEMPLO

Max z = 2x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4

sujeto a

x1 + 2x2 + x3 = 5

x1 + x2 + x4 = 4

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

El tableau simplex inicial es el que se presenta a continuación:


SOLUCIÓN EJEMPLO


1 2

1 1

1 0

0 1

5

4

X3

X4

5/2 = 2.5

4/1 = 4

2 4 0 0 Z

El tableau de la primera iteración es:


½ 1

½ 0

½ 0

- ½ 1

5/2

3/2

X2

X4

0 0 -2 0 Z – 10


SOLUCIÓN EJEMPLO

Como se cumple el criterio de optimalidad, entonces

se ha llegado a la solución óptima, que es:

Y el valor óptimo de la función objetivo es:

23

25

*

4

*

2*

x

xBx

10* z


COMENTARIO DE SOLUCIONES

ÓPTIMAS ALTERNANTES

Con base en la teoría preliminar estudiada en el método gráfico, se sabe que en un punto extremo (nodo de adyacencia o punto factible) se encuentra la solución óptima, siempre que el modelo tenga soluciones factibles. Ahora bien, al aplicar el método simplex se ratifica que una vez hallada una SIBF, se aplicó una sola iteración para el modelo anterior y se encontró la solución óptima en el punto extremo: (x1

* , x2

*) =(5/2, 0) y el valor de Z* =10. Sin embargo, como la pendiente de la recta de la función a optimizar es igual a la pendiente de la primera restricción funcional lineal, entonces podemos pensar que sea posible que se tengan soluciones óptimas alternantes, pues dicha posibilidad la corroboraremos en el conjunto poliédrico siguiente:


CONJUNTO POLIÉDRICO


PREGUNTA IMPORTANTE

¿Cómo sabremos que de éste tableau existen soluciones óptimas alternantes?

Al observar los coeficientes de las variables no básicas en la función z, el coeficiente de x1 es cero, lo que indica que x1 podría entrar al conjunto de las variables básicas sin alterar el valor de z, pero provocaría un cambio en los valores de las variables.

La iteración 2 hace que x1 entre a la solución básica, lo que obligará a x4 a salir y el nuevo punto extremo de la solución óptima estaría en C (x1 =3, x2 =1) con z=10.

Es útil saber que hay soluciones óptimas alternantes, pues una de ellas se puede adaptarse mejor a lo que queremos obtener, por ejemplo si se van a vender dos productos.


RESPUESTA A PREGUNTA

Es decir, si nos apoyamos en el tableau de la primera

iteración, que era:

El tableau de la segunda iteración, de la cual se

mencionó antes sería:


½ 1

½ 0

½ 0

- ½ 1

5/2

3/2

X2

X4

5

3

0 0 -2 0 Z – 10


RESPUESTA A PREGUNTA


0 1

1 0

1 - 1

-1 2

1

3

X2

X1

0 0 -2 0 Z – 10

Lo cual corrobora que la otra solución óptima alternante, se encuentra en

el punto extremo: X1 = 3 y X2 = 1, con el mismo valor óptimo de Z* = 10.


OTRA PREGUNTA IMPORTANTE

Si el método simplex sólo determina los puntos extremos B y C, ¿cómo determinar los demás puntos entre B y C?

RESPUESTA Como una combinación lineal convexa de los puntos

extremos B y C, que se mostraron en la figura anterior. Suponga que se define 0 ≤ b ≤ 1 y B: x1 = 0, x2 = 5/2 C: x1 = 3, x2 = 1 Todos los puntos entre B y C están x1 = b (0) + (1- b)(3) = 3 – 3b (1) x2 = b(5/2) + (1- b)(1) = 1 + 3b/2 (2) Cuando b = 0, entonces se obtiene (x1, x2) = (3,1) = C Cuando b = 1, entonces se obtiene (x1, x2) = (0, 5/2) =

B


OTRA PREGUNTA …

Ahora al evaluar en el punto extremo C de

coordenadas (3, 1) en la función a optimizar,

obtenemos:

Max Z = 2(3) + 4(1) = 10.

Lo cual efectivamente se corrobora lo antes obtenido

en el tableau de segunda iteración (diapositiva 19).

Otro punto entre B y C sería cuando hacemos b = ½ y

al sustituir en las ecuaciones (1) y (2) de la diapositiva

anterior, tendríamos:

X1 = 3/2 y X2 = 7/4 y al sustituir en la función a

optimizar, obtenemos: Max Z = 2(3/2) + 4(7/4) = 10.


3. CASO SOLUCIONES NO ACOTADAS

Para algunos modelos de programación lineal, los valores de las variables pueden aumentar en forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones funcionales lineales, lo cual significa que el espacio de soluciones está no acotado en al menos una dirección. Y por tanto el valor de la función a optimizar (función objetivo) puede crecer (caso de maximización) o decrecer (caso de minimización) de forma indefinida. En este caso decimos que el espacio de soluciones y el valor "optimo" de la función objetivo son no acotados.


PREGUNTA IMPORTANTE

¿Cómo sabremos cuándo sucede esto, desde el punto de vista del tableau simplex?

RESPUESTA Al realizar una iteración (búsqueda de un

nuevo nodo de adyacencia o punto extremo), investigamos primero el criterio de optimalidad, que en caso de no cumplirse, requerimos saber la variable entrante, así como la variable saliente. Debido a esto, podremos pensar en que habrá una variable entrante, que mejorará el valor de objetivo, pero no sabremos hacia qué dirección movernos, es decir no habrá variable saliente.


EJEMPLO

Considere el MPLC que se presenta abajo. Use el procedimiento del método simplex con arreglo tabular para hallar la solución óptima.

Max Z = 2x1 + x2

sujeto a

x1 - x2 10

2x1 40

x1 , x2 0

SOLUCIÓN


SOLUCIÓN EJEMPLO

El modelo estandarizado es:

Max Z = 2x1 + x2

sujeto a

x1 - x2 + x3 = 10

2x1 + x4 = 40

x1 , x2, x3, x4 0

El tableau simplex inicial es el que se presenta a continuación:


SOLUCIÓN EJEMPLO


1 - 1

2 0

1 0

0 1

10

40

X3

X4

10

20

2 1 0 0 Z

El tableau de la primera iteración es la que se muestra a continuación:


1 - 1

0 2

1 0

- 2 1

10

20

X1

X4

---

10

0 3 - 2 0 Z – 20


SOLUCIÓN EJEMPLO

El tableau de la segunda iteración es:

En el tableau de la segunda iteración, se observa que tenemos

variable entrante, pero no hay variable saliente, por lo que el

modelo se dice que es no acotado. Y por tanto, el valor de la

función objetivo crece indefinidamente, es decir el valor al

que tiende es (+ infinito) y de este modo, los valores de las

variables decisionales al menos una está no acotada en una

dirección.


1 0

0 1

0 ½

- 1 ½

20

10

X1

X2

---

---

0 0 1 - 3/2 Z – 50


CONJUNTO POLIÉDRICO


4. SOLUCIONES INEXISTENTES O NO

FACTIBLES

Este caso se presenta cuando las restricciones no se pueden satisfacerse en forma simultánea, se dice que el modelo no tiene solución factible. Si todas las restricciones son de la forma menor o igual que, y el lado derecho es positivo, entonces esta situación no se puede presentar, ya que la variable de holgura siempre produce una solución factible, y los valores de las variables decisionales tienen el valor nulo (origen). Sin embargo si se emplean otro tipo de restricciones y tenemos que emplear variables artificiales entonces podemos tener casos de no factibilidad.


EJEMPLO

Considere el MPLC que se presenta abajo. Use el procedimiento del método gráfico para hallar su solución óptima.

Max z = 3x1 + 2x2

sujeto a

2x1 + x2 2

3x1 + 4x2 12

x1, x2 0


SOLUCIÓN DEL EJEMPLO

Al dibujar el conjunto poliédrico asociado al

MPLC se obtiene:


SOLUCIÓN DEL EJEMPLO

Se observa que la intersección de los cuatro semiespacios, es el conjunto vacío.

Conclusión:

El MPLC, tiene soluciones no factibles o bien el MPLC es infactible, o bien el MPLC no tiene soluciones factibles.

Nota: Este modelo se resolverá cuando estudiemos alguno de los métodos de variables artificiales, o también conocidos como variantes de método simplex.

TAREA (MODELO 1)

Considere el MPLC que se presenta abajo. Use el procedimiento del método simplex tabular para hallar su solución óptima, y corrobore su resultado aplicando simplex matricial.

Max z = 3x1+ 5x2

sujeto a

x1 + 2x2 40

2x1 + 5x2 60

3x1 + 7x2 36

x1, x2 0


TAREA(MODELO 2)

Considere el MPLC que se presenta abajo. Use el procedimiento del método simplex tabular para hallar su solución óptima, y corrobore su resultado aplicando el simplex matricial.

Max z = 5x1+ 3x2

sujeto a

2x1 + x2 40

5x1 + 2x2 60

7x1 + 3x2 36

x1, x2 0


met simplex tabular y casos

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