SERIES NUMÉRICASCRITERIOS DE CONVERGENCIA

SERIE: es una suma de infinitos términos o sumandos y que está definida como el límite de una cierta sucesión (sucesión de sumas parciales).

SUCESION DE SUMAS PARCIALES:

RECORDANDO:

DEFINICIÓN

Ejemplo:

¿∑𝑘=1

∞ 710𝑘

= lim𝑛→∞

𝑆𝑛

Aquí:

Restando las dos sumatorias:

𝑆𝑛=109 ( 710 − 7

10𝑛+1 )( 𝑓 ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑆𝑛)

Luego se tiene:

Por lo tanto

SERIES TELESCÓPICAS:

Dada la siguiente serie:

Se tiene la sucesión de sumas parciales:

Simplificando se obtiene:

Luego:

SERIE GEOMÉTRICA

La suma parcial Sn viene dada por

Multiplicando por x a cada miembro:

Restando obtenemos:

Luego:

⇒ lim𝑛→∞

𝑆𝑛= lim𝑛→∞

𝑥−𝑥𝑛+1

1−𝑥 ={¿ 𝑥1−𝑥 ;|𝑥|<1

¿∞ ;|𝑥|>1

𝑥=1 :∑𝑘=1

∞

1𝑘 lim𝑛→∞

𝑆𝑛= lim𝑛→∞

𝑛=∞

𝑥=−1 :∑𝑘=1

∞

(−1 )𝑘 lim𝑛→∞

𝑆𝑛={¿−1 ;𝑛 : 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟¿0 ;𝑛 :𝑝𝑎𝑟¡𝑛𝑜𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒!

Concluimos que la serie

Ejercicio:

Calcule, si existe, la suma de la serie

Solución:

𝐸𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒∑𝑘=1

∞

𝑥𝑘=𝑥+∑𝑘=2

∞

𝑥𝑘

Luego:

⇒∑𝑘=2

∞

𝑥𝑘= 𝑥1−𝑥 −𝑥=

𝑥21−𝑥

Luego, podemos obtener la suma de la serie dada así:

PREGUNTA ESCENCIAL:

¿EXISTE LA SUMA DE LA SERIE?

DEFINICIÓN

La serie

Es convergente si su suma existe y es finita. En caso contrario se denomina divergente.

TEOREMA

Prueba:

Entonces se tienen las sumas parciales

Luego:

Por lo tanto

Este teorema es equivalente a la siguiente proposición:

CRITERIOS DE CONVERGENCIACRITERIO DEL TÉRMINO GENERALCRITERIO DE LA INTEGRALCRITERIO DE LA COMPARACIÓNCRITERIO DEL LÍMITE – COMPARACIÓNCRITERIO DE LA RAZÓNCRITERIO DE LA RAÍZ

PRUEBA O CRITERIO DEL TÉRMINO GENERAL:

¡Cuidado!

Recordando lo anterior:

Ejemplos:

1. Dada la serie

Calculamos el límite del término general

Entonces la serie diverge.

2.

3.

4.

Pues:

PRUEBA O CRITERIO DE LA INTEGRAL

Prueba:

Se tienen las siguientes desigualdades:

La desigualdad (1) implica que:

∫1

𝑛

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥>∑𝑘=2

𝑛

𝑎𝑘=𝑆𝑛−𝑎1

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 ,𝑠𝑖∫1

∞

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

(𝑆𝑛)𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ,𝑝𝑢𝑒𝑠𝑙𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑎𝑘𝑠𝑜𝑛𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 .

(𝑆𝑛)𝑒𝑠𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎𝑝𝑢𝑒𝑠

M

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 (𝑆𝑛)𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ,𝑒𝑠𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 lim𝑛→∞

𝑆𝑛𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 .

La desigualdad (2) implica que:

⇒ lim𝑛→∞

𝑆𝑛=∞.

Ejemplo:

Veamos si converge o diverge la serie

Tenemos la función real

Se tiene las siguientes condiciones:

𝑓 (𝑥 )=𝑥 𝑒−𝑥2

>0𝑝𝑎𝑟𝑎𝑥>0

Entonces la función es decreciente.

Veamos el comportamiento de la integral impropia

Luego tenemos:

La integral converge.

Entonces, la serie

También converge.

Ejemplo:

Estudiemos la convergencia y/o divergencia de la serie

Tenemos la función

También comprobamos que la serie es decreciente, pues

También tenemos que

Veamos la siguiente integral impropia

𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 ,𝑝𝑎𝑟𝑎𝑝 ≠1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 :

∫1

∞1𝑥𝑝𝑑𝑥= lim

𝑏→∞∫1

𝑏1𝑥𝑝𝑑𝑥=lim

𝑏→∞ ( 𝑥−𝑝+1

−𝑝+1|𝑏1 )= lim𝑏→∞ ( 𝑏−𝑝+1

−𝑝+1− 1−𝑝+1 )

𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑙 í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑑𝑒𝑙 𝑡 é 𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑏−𝑝+1

−𝑝+1,𝑚á 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ,𝑑𝑒𝑙𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 (−𝑝+1 )

Se tiene el siguiente resultado:

𝑆𝑖−𝑝+1>0(𝑒𝑠𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ,𝑠𝑖𝑝<1)𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑆𝑖−𝑝+1<0 (𝑒𝑠𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ,𝑠𝑖 𝑝>1 )𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

Como la serie sigue el comportamiento de la integral, entonces tenemos que:

∑ 1𝑘𝑝 {¿𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑠𝑖𝑝>1

¿𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑠𝑖𝑝<1

h𝐴 𝑜𝑟𝑎 ,𝑝𝑎𝑟𝑎𝑝=1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 :

∫1

∞ 1𝑥 𝑑𝑥= lim

𝑏→∞∫1

𝑏 1𝑥 𝑑𝑥= lim𝑏→∞ ( ln𝑥|𝑏1 )= lim𝑏→∞ ( ln𝑏− ln 1 )=∞

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 , 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 1𝑘 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .

PRUEBA O CRITERIO DE LA COMPARACIÓN

𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑞𝑢𝑒0≤𝑎𝑘≤𝑏𝑘

Entonces

Prueba:

Consideremos las sumas parciales:

Como los términos de las series son positivos, entonces las sumas parciales son crecientes. Es decir:

Para (1):

∑ 𝑏𝑘= lim𝑛→∞

∑𝑘=1

𝑛

𝑏𝑘= lim𝑛→∞

𝑇 𝑛=𝑇 (𝑝𝑢𝑒𝑠∑𝑏𝑘converge)

Luego, se tiene:

0≤𝑎𝑘≤𝑏𝑘⇒𝑆𝑛≤𝑇 𝑛≤𝑇

𝐴𝑠 í (𝑆𝑛)𝑒𝑠𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 .

Para (2):

𝑆𝑖∑ 𝑎𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒⇒ lim𝑛→∞

∑𝑘=1

𝑛

𝑎𝑘= lim𝑛→∞

𝑆𝑛=∞

⇒∞= lim𝑛→∞

𝑆𝑛≤ lim𝑛→∞

𝑇𝑛

Ejemplo:

Veamos si converge o diverge la siguiente serie:

𝑃𝑎𝑟𝑎𝑘≥1: 0≤ √𝑘−1𝑘2+1

≤ √𝑘𝑘2

= 1

𝑘32

𝑐𝑜𝑚𝑜𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 1

𝑘32

𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ,𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑ √𝑘−1𝑘2+1

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .

Ejemplo:

Veamos si converge o diverge la siguiente serie:

Se tienen las siguientes relaciones:

Además

𝑐𝑜𝑚𝑜𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 1𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒⇒∑ 𝑛

𝑛2−𝑐𝑜𝑠2𝑛𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .

PRUEBA DEL LÍMITE - COMPARACIÓN

𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑞𝑢𝑒𝑎𝑘>0 𝑦𝑏𝑘>0

𝑆𝑖 lim𝑘→∞

𝑎𝑘𝑏𝑘

=𝜌 ;𝜌≠0 𝑦 𝜌 ≠∞

Prueba:

𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑟 𝑦 𝑅𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟<𝜌<𝑅

𝑐𝑜𝑚𝑜𝜌= lim𝑘→∞

𝑎𝑘𝑏𝑘𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑟<𝑎𝑘𝑏𝑘

<𝑅𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑘≥𝑁

𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑞𝑢𝑒:𝑟 𝑏𝑘<𝑎𝑘<𝑅𝑏𝑘

Por el criterio de comparación se tiene que:

1 .𝑆𝑖∑ 𝑅𝑏𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .𝐸𝑠𝑡𝑜𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑎𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑖∑𝑏𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .

2 .∑ 𝑟 𝑏𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑𝑎𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .𝐸𝑠𝑡𝑜𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑎𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑖∑𝑏𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑ 𝑎𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .

En conclusión, las dos series tienen el mismo comportamiento.

Ejemplo:

Veamos la convergencia de la serie

Viendo los términos dominantes de la serie dada:

𝑛

𝑛95

=1

𝑛45

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒∑ 1

𝑛45

¡𝑒𝑠𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 !

Entonces, usamos el criterio del Límite – Comparación:

lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑏𝑛

= lim𝑛→∞ [ 3𝑛+5

5√𝑛9+2𝑛5+1∙𝑛

95

𝑛 ]= lim𝑛→∞ [( 3𝑛+5𝑛 )( 𝑛

95

5√𝑛9+2𝑛5+1 )]=3 5√1=3≠0Luego, tenemos que las dos series tienen el mismo comportamiento. Es decir, concluimos que:

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 𝑛

𝑛95

=∑ 1

𝑛45

𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 3𝑛+95√𝑛9+2𝑛5+1

𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .

PRUEBA O CRITERIO DE LA RAZÓN

𝑆𝑒𝑎𝑛𝑎𝑘>0

𝑆𝑖 lim𝑘→∞

𝑎𝑘+1𝑎𝑘

=𝐿

Entonces:

Prueba:

Para (1):

𝐶𝑜𝑚𝑜(𝑎𝑘+1𝑎𝑘 )𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑎𝐿<1

𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑟 ∈ℝ ;𝐿<𝑟<1

𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑎𝑘+1

𝑎𝑘<𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑘≥𝑁

Luego,

Así sucesivamente:

Multiplicando las k desigualdades, se obtiene:

𝑎𝑁+𝑘<𝑟𝑘𝑎𝑁

Aplicamos el criterio de comparación a las series

Tenemos que

∑𝑘=1

∞

𝑟 𝑘𝑎𝑁=𝑎𝑁∑𝑘=1

∞

𝑟 𝑘𝑒𝑠𝑢𝑛𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑔𝑒𝑜𝑚é 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑝𝑢𝑒𝑠 0<𝑟<1 )

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ,𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑𝑘=1

∞

𝑎𝑁+𝑘𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 .

Pero,

Como esta serie es convergente, entonces se concluye que:

∑𝑛=1

∞

𝑎𝑛𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 .

Para (2):

𝑆𝑖 (𝑎𝑘+1𝑎𝑘 )𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑎𝐿>1

Entonces:

⇒ lim𝑘→∞

𝑎𝑘≠0

Por el criterio del Término General concluimos que

Ejemplo:

Veamos la convergencia o divergencia de la serie

Por el Criterio de la Razón, se tiene:

lim𝑘→∞

𝑎𝑘+1𝑎𝑘

= lim𝑘→∞

(𝑘+1 )!𝑒3𝑘+3

∙ 𝑒𝑘

𝑘 != lim𝑘→∞(𝑘+1 ) !𝑘! ∙ 𝑒

𝑘

𝑒3𝑘+3= lim𝑘→∞

𝑘+1𝑒3

=∞>1

Tenemos que

Ejemplo:

Veamos la convergencia o divergencia de la serie

Aplicamos el Criterio de la Razón:

Tenemos que

PRUEBA O CRITERIO DE LA RAIZ

𝑆𝑒𝑎𝑛𝑎𝑘>0

𝑆𝑖 lim𝑘→∞

(𝑎𝑘 )1𝑘=𝐿

Entonces:

Prueba:

Para (1) :

𝐶𝑜𝑚𝑜 lim𝑘→∞

(𝑎𝑘 )1𝑘=𝐿<1

Entonces:

𝑎𝑘<𝑟𝑘𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑘≥𝑁

Usando el criterio de comparación, concluimos que

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑔𝑒𝑜𝑚é 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎∑ 𝑟𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒⇒∑ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .Para (2):

𝑆𝑖 lim𝑘→∞

(𝑎𝑘 )1𝑘=𝐿>1

Entonces

⇒ lim𝑘→∞

𝑎𝑘≠0

Por el Criterio del Término General se concluye que

Ejemplo:

Veamos la convergencia o divergencia de la serie

Por el Criterio de la Raíz:

lim𝑘→∞

(𝑎𝑘)1𝑘= lim

𝑘→∞ (( 2𝑘5+8𝑘2−75 𝑘5−2 )𝑘)1𝑘= lim

𝑘→∞

2𝑘5+8𝑘2−75𝑘5−2

=25<1

𝐶𝑜𝑚𝑜 lim𝑘→∞

(𝑎𝑘 )1𝑘<1⇒∑ 𝑎𝑘=∑ ( 2𝑘5+8𝑘2−75𝑘5−2 )

𝑘

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .